第9章平面解析几何直线的方程

直线的方程

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角． (2)范围：直线l 倾斜角的范围是0°≤α<180°. 2．斜率公式

(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan_α.

(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.

3．直线方程的五种形式

概念方法微思考

1．直线都有倾斜角，是不是直线都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？

提示 倾斜角α∈[0，π)，当α＝π

2时，斜率k 不存在；因为k ＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2.当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π

2时就不是了． 2．“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？

提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．

1．（2018•全国）坐标原点关于直线60x y --=的对称点的坐标为__________． 【答案】(6,6)-

【解析】设坐标原点关于直线60x y --=的对称点的坐标为(,)a b ， 则116022

b

a a

b ⎧⨯=-⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，

解得6a =，6b =-，

∴坐标原点关于直线60x y --=的对称点的坐标为(6,6)-．

故答案为：(6,6)-．

1．（2020•河南模拟）已知函数()sin cos (0)f x x a x a =-≠，满足()()3

f x f x π

-=-

+，则直线0ax y c ++=的倾斜角

为( ) A ．

6

π

B ．

3

π C ．

23

π D ．

56

π 【答案】C

【解析】函数()sin cos (0)f x x a x a =-≠，满足()()3

f x f x π

-=-

+，

∴函数()f x 关于直线6

x π

=-

对称，

()sin()cos()666

f a πππ

∴-=---=，

化为2(0a -=，

解得a =

则直线0ax y c ++=的倾斜角θ满足：tan θ=，[0θ∈，)π． 23

πθ∴=

． 故选C ．

2．（2020•宜昌模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin(2)(2

π

θ+= ) A ．

4

5

B ．45

-

C ．35

D ．35

-

【答案】C

【解析】因为角θ终边落在直线2y x =上， 所以tan 2θ=，可得21

cos 5

θ=，

所以2313sin(

2)cos2(2cos 1)(21)255

πθθθ+=-=--=-⨯-=． 故选C ．

3．（2020•0(y a a -+=为常数）的倾斜角为( ) A ．30︒ B ．60︒

C ．150︒

D ．120︒

【答案】B

0y a -+=的倾斜角是α，

则直线的方程可化为y a =+，

直线的斜率tan k α==，

0180α︒<︒，

60α∴=︒．

故选B ．

4．（2020•徐汇区一模）过点(1,0)-，且与直线11

53

x y ++=

-有相同方向向量的直线的方程为( ) A ．3530x y +-= B ．3530x y ++= C ．3510x y +-= D ．5350x y -+=

【答案】B 【解析】由

1153x y ++=

-可得，3580x y ++=，即直线的斜率3

5

-， 由题意可知所求直线的斜率率3

5

k =-，

故所求的直线方程为3

(1)5

y x =--即3530x y ++=．

故选B ．

5．（2020•普陀区一模）若直线2:

12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1

)b

，则ab 的最大值为( ) A ．

7

6

B

．4-C

．5-D

．6-【答案】B

【解析】直线2:

12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1

)b ， 则a ，0b >，21

1(2)()

a b a b a b +=++．

22121()(2)()2121b

b a a ab ab b b

a b a b a b a b a b a a

⨯

∴=+=+=

++++++⨯+． 令

0b t a =>，21

()121t g t t t

=+

++，(0)t >．

2

2

22

2(21

22()(12)(1)(1)(12)

t t g t t t t t -+

∴'=-=++++，

可得2

t =

时，()g t

取得极大值即最大值，(42g =-

故选B ．

6．（2020•南充模拟）直线3450x y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程为( ) A ．4350x y -+= B ．4350x y --= C ．3450x y +-= D ．3450x y ++=

【答案】A

【解析】在直线l '上任取一点(,)x y ，此点关于直线0x y +=的对称点(,)y x --在直线:3450l x y -+=上， 3()4()50y x ∴---+=，即4350x y -+=，