高等代数考研真题第一章多项式

且f(x)在有理数域上不可约。

第一章多项式

1 (清华

2 000— 20分)试求7次多项式f(X )，使f(M 1能被(X -1)4

整除，而f(X )-1能

被(X 1)4整除。

2、 (南航 2001 — 20 分)

(1) 设 x —2px+2 I x +3x +px+q ，求 p,q 之值。 (2) 设f(x) , g(x), h(x) € R[x]，而满足以下等式

2

(x +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0

2

(x +1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0

2 2

证明：x +1 I f(x) , x +1 I g(x)

3、 (北邮2002 —12分)证明：x d - 1 I x "- 1的充分必要条件是

d I n (这里里记号 d I n 表

示正整数d 整除正整数n )。

4、 、(北邮 2003 —15分)设在数域 P 上的多项式 g 1(x), g 2(x) , g 3(x) , f(x),已知 g 1(x) I f(x),

g 2(x) I f(x) , g 3(x) I f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：

(

〔)如果 g 1(x) ,

g 2(x) , g 3(x)两两互素，则一

定有 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x) I f(X )

(2)

如果

g

1(x) , g 2(x) , g 3(x)互素，则一定有 g 1(x)g 2(x)g 3(x)

I f(X )

5、 (北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有

1和本身，则称之为素数。证

明P 是素数当且仅当任取正整数

a ,

b 若p I ab 则p I a 或p I b 。

6、 (大连理工2003 —12分)证明：次数＞0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项

式的方幕主充分必要条件是，

对任意的多项式g(x) , h(x),由f(x) I g(x) h(x)可以推出

f(x) I g(x)，或者对某一正整数 m , f(x) I h m

(x)。

7、(厦门2004—16分)设f(x) , g(x)是有理数域上的多项式, 若存在数:-使得 f( : )=g^ )=0，则 f(x) I g(x)。

8、(南航 2004— 30 分)(1 )设 f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x '+9x 2 - 22x+8 , g(x)=x 2

+x _ 2, 将f(x)

表示成g(x)的方幕和，即将f(x)表示成

k

k-1

f(x)=C k (x)g(x) + C k-1 (x)g(x) + …+ C 1(x)g(x)+C o (x)

其中次(C(x)) ＜次(g(x))或 C(x)=0 , i=0,1,…,k 。(15 分)

(2)设 d(x)=( f(x) , g(x)) , f(x) I g(x)和 g(x) I h(x)。证明：f(x)g(x) I d(x) h(x)。 (15 分)

9、(北京化工大 2005— 20 分)设 f i (x)丰 0, f 2

(x) , g i (x) , g 2

(x)是多项式，且 g i (x)g 2

(x) I f 1(x)

f 2(x)，证明：若f1(x) I g1(x),则g2(x) I f 2(x)。

1 1 1

2 3

10、(上海交大2005—15 分)假设f(x)= 2-X 2-x 2x -1

2x2—1 3x3—1 4x3—1

(1)证明：存在实数c(0

(2)在Q(x)中将f (x)分解为不可约因式之积。

11、 (大连理工2005—10分)设f(x) ，g(x)是数域P上的多项式，证明：在数域P中，若f3(x) I g3(x),

则f(x) I g(x) o

2 3 2

12、(北航2001 —10分)求一个次数最低的多项式，使其被x +1除余x+1，被x+x+1除余

2

x To

13、 (北航2003 —10分)设h(x) , f(x) , g(x)均为域F上的一元多项式，若h(x) I f(x)，而

h(x)不整除g(x)，证明h(x)不整除f(x) +g(x) o

14、 (南航2003—20分)求满足以下条件的三次多项式f(x):

(1)x -3 整除f(x);

(2)x+3除f(x)的余数是4;

(3)x+2除f(x)的余数等于x - 2除f(x)的余数。

15、(北京科大2004—15 分)求一个三次多项式f(x),使得f(x)+1能被(x -1)整除，而f(x) - 1

能被(x + 1)2整除.

16、 (南航2003—20 分)设A€ C”：f(x) , g(x) € C[x] , f(x)的次数大于0, g(x)是A 的最小多

项式。证明：

(1)若d(x)是f(x) , g(x)的最大公因式，则rank(d(A))=rank(A);

(2)f(A)可逆的充分必要条件是f(x) , g(x)互质(或互素)。

17、(南航2005—35分)本题中等都是多项式。

(1)设匕，用(x -a), (x -b)除f(x)的余数分别为m和「2，求用(x - a) (x - b) 除f(x)的余式。(10

分)

⑵证明：若(f(x) , g(x))= d(x) , f(x) I h(x) , g(x) I h(x)则f(x)g(x) I d(x) h(x)。(10 分))

(3)设f(x)= f 1(x) f 2(x)，次(f 1(x) ) >0,次(f2(x) ) >0,且(f 1(x) f 2(x))=1。

证明：若次(g(x)) <次(f(x))，且f 2(x)不整除g(x)，则存在u(x)和v(x)，使得u(x) f 1(x)+v(x) f

2(x)= g(x)

成立，且满足次(u(x))<次(f 2(x))，次(v(x))<次(f 1(x))。(15 分)

18、 (北京科大2005 —10分)求出所有的多项式f(x)，使得(x-1)f(x +1) - (x+2)f(x) =0o

5 4 3 2 4 3

19、(北交大2002 —12 分)多项式f(x)=x +3x +x +x +3x+1 g(x)=x +2x +x+2