函数的单调性与最值PPT课件

I. 基本初等函数的单调性:
1.若函数 y＝ax 与 y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数,则 y＝ax2＋bx
在(0，＋∞)上是( B )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减
D.先减后增
2.若 f (x) x2 2(a 1)x 2 在区间[ 0,4] 上 是单调函数,则a 的取值范围是a 3 或 a 1
3.如果函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上是
单调递增的，则实数 a 的取值范围是 ( D )
A.a>－14 B.a≥－14 C.－41≤a<0 D.－14≤a≤0
ax，x＞1 4.已知 f(x)＝4－a2x＋2，x≤1 是 R 上的单调递增函数，
则实数 a 的取值范围为( B )
II. 求函数的单调区间
求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性．
(1) f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
(2) f(x)＝|x2－4x＋3|.
补充: (3)
f
( x)
x
x2
. 1
求单调区间常用方法: (1)图象法 ; (2)导数法.
对点训练 设函数 y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定 的正数 k，定义函数 fk(x)＝fk，x，fxf＞x≤k. k， 取函数 f(x)＝2－|x|， 当 k＝12时，函数 fk(x)的单调递增区间为( C ) A.(－∞,0) B.(0,＋∞) C.(－∞,－1) D.(1,＋∞)
增函数的有: (3)(4)(5) .
(1) f(a)<f(b).
(2) 存在x1、x2∈[a,b], 当x1<x2时， f(x1)<f(x2). (3) 对任意x1、x2∈[a,b],当x1>x2时，f(x1)>f(x2).
(4)对任意x1、x2
[a, b]
( x1
x2 ), 有
f
( x1) x1
函数单调性的应用: (1)求最大、小值; (2)比较大小.
a－2x，x≥2， 对点训练 (1)已知函数 f(x)＝12x－1，x＜2， 满足对任意的实数
x1≠x2 都有fxx11－ －fx2x2＜0 成立，则实数 a 的取值范围为( B )
(x=
a)(x+ x2
a)
对勾函数
规律方法 证明或判断函数单调性有两种方法： 1定义法基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断证明； 2导数法. (温馨提醒:含有参数的复杂函数单调性常用导数法)
思考: 若函数 y ax 2 在(2,) 上单调递增, x2
求实数a 的取值范围. a 1
考向二 [014] 求函数的单调区间
2.求函数单调区间的两个注意点 (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调 区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
考向一 [013] 函数单调性的判定
即时训练. 求证: 函数f (x) x 2 在(0, 2 ]上是减函数, x
自左向右看图象是下___降__的___
二、单调性、单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是+增+函++数++或+减+函++数++，则称函数 f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f(x)的++单+调++区++间++．+++
即时训练: 1.下列表述中,可确定函数f(x)在区间[a,b]上为
第二节 函数的单调性与最值
一、增函数、减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I，如果对于任意 x1，x2∈D，且 x1＜x2，则都有： (1)f(x)在区间 D 上是增函数⇔ f(x1)＜f(x2)； (2)f(x)在区间 D 上是减函数⇔ f(x1)＞f(x2) ．
图 象 描
述 自左向右看图象是_上__升___的__
f (x2 ) x2
0
(5)对任意x1、x2 [a, b] ( x1 x2 ), 有( x1 x2 )[ f ( x1) f ( x2 )] 0
2.函数y
log5 (2
x
1)的单调增区间是(
1 2
,
)
1.设任意 x1，x2∈[a，b]且 x1＜x2，那么 (1)fxx11－－fx2x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (2)fxx11－－fx2x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
f (x) (3)若 f (x)是递增,则[ f (x)]2是递减; (4)若 f (x)是递增, g(x)是递增,则 f (x) g(x)是递增; (5)若 f (x)是递增, g(x)是递减,则 f (x) g(x)是递增.
3 5.函数 f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为_____．
在[ 2,)上是增数.
【小结】用定义法证明函数单调性的一般步骤： (1)取值:设x1,x2是给定区间内的两个值,且x1<x2； (2)作差:f(x1)－f(x2)； (3)变形:因式分解,通分等； (4)定号:确定f(x1)－f(x2)的正负号; (5)下结论:由f(x1)－f(x2)的符号确定增减性．
考向三 [015] 函数单调性的应用 (1)函数 f(x)＝x－1 1在区间[a，b]上的最大值是 1，最小值
为13，则 a＋b＝____6____. (2)若 f(x)为 R 上的增函数，则满足 f(2－m)＜f(m2)的实数 m 的取 值范围是(_－__∞_,_－__2_)_∪__(1_，__＋__∞__) __．
判断函数 f(x)＝x＋ax (a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．
Hale Waihona Puke Baidu
方法 1. (定义法) 设 x1，x2 是(0,＋∞)上任意两个数,
y
且 0＜x1＜x2,则
f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2＝(x1－x2x)1(xx21x2－a)
a
ax
方法 2. (导数法)：f ′(x)＝1－xa2
A．(1，＋∞) B．[4,8)
C．(4,8)
D．(1,8)
提醒:分段函数的单调性要结合图象“上升”、“下 降”的特点理解，注意转折点的取值。
思考: 知 f (x), g(x)都是单调函数,下列命题正确的是 (1)若 f (x)是递增, f (x)是递减; (2)若 f (x)是递减,且 f (x) 0, 1 是递增;