第三讲+多属性决策分析

设有n个决策指标f1 , f 2 ,, f n , (1)将n个指标以任意顺序排列 ，不妨设为f1 , f 2 ,, f n； (2)从前到后，依次赋以相 邻两指标相对重要程度 的比率值，比率值i (i 1,2,, n 1) r ri rn 1; (3)计算各指标的修正值。 赋以f n修正值k n 1, 根据ri 计算各指标的修正评分 值： ki ri ki 1 , (i 1,2,, n 1) (4)归一化处理，求出各指 标的权重，即 k i n i , (i 1,2,, n) ki
5、定性指标的量化处理 如一些可靠性、满意度等指标往往具有模糊性，可以将指标 依问题性质划分为若干级别，赋以适当的分值。一般可以分 为5级、7级、9级等。
6、原始数据的统计处理
zij =
其中,
_
yij y j y max y j j
yj
_
_
(1.00 - M) + M 是各方案属性 j 的均值, m 为方案数,
决策矩阵(属性矩阵、属性值表)
方案集 X = { x1, x2 ,, xm }
方案 x i 的属性向量 Yi = { yi1 ,…, yin } 当目标函数为 f j 时,
yij = f j ( x i )
各方的属性值可列成表(或称为决策矩阵):
y1
x1
y11
… … … … … …
yj
y1 j
… … … … … …
难，列方程和解方程的关系，理论和实践之间的关系)
设有n个决策指标fi（1≤j≤n），m个备选方案ai 1≤i≤m），m 个方案n个指标构成的矩阵 X=(xij)m×n 称为决策矩阵。决策矩阵是规范性分析的基础。 决策指标分两类：效益型（正向）指标，数值越大越优； 成本型指标（逆向指标），数值越小越优。
i
a
i 1 j 1
j 1 n n
a
n
ij
, (i 1,2,, n)
ij
例43wenku.baidu.com
使用本方法时要注意：1、指标之间要有可比性；2、应满 足比较的传递性（一致性）。
2、连环比较法（古林法）
连环比较法也是一种主观赋权法。以任意顺序排列指标，按顺 序从前到后，相邻两指标比较其相对重要性，依次赋以比率值， 并赋以最后一个指标的得分值为1；从后往前，按比率依次求 出各指标的修正评分值；最后进行归一化处理，得到各指标的 权重。
例: 学校扩建
(要求扩建的学校既要满足学生就近入学的要求，又要使扩散的费用 尽可能的少。) 学校序 费用(万 号 1 2 3 4 5 6 元) 60 50 44 36 44 30 平均就读距 离 km 1.0 0.8 1.2 2.0 1.5 2.4
研究生院试评估的部分原始数据
j i 人均专著 (本/人)
o j * j
, (1 i m,1 j n)
矩阵Y ( yij ) mn 称为极差变换标准化矩 阵。 经过变换之后，均有 yij 1，并且正、逆向指标均 0 化为 正向指标， 1为最优值， 0为最劣值。 这是一个线性变换，又 称标准0－1变换。
（3）最优值为给定区间时的变换
i 1
3(1 3), 2(1 2), 1,
当f i 比f i 1 重要(或相反)； 当f i 比f i 1 较重要(或相反)； 当f i 和f i 1 同样重要。
(i 1,2, , n 1)
例题（P44）用连环比率法计算例2－1中决策指标的权重。 本方法容易满足传递性，但也容易产生误差的传递。
准备工作和方法
• • • • • 决策指标的标准化 决策指标权重的确定 加权和法 加权积法 Topsis法
第一节 多属性决策的准备工作
多属性决策的准备工作包括：决策问题的描述、相关信息 的采集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选 （或称为筛选）。
一、决策矩阵 经过对决策问题的描述（包括设立多属性指标体系）、各 指标的数据采集，形成可以规范化分析的多属性决策矩阵。(困
期 望 利 润 (万元) 650
产 品 成 市 场 占 品率（%） 有率（%） ）投资 费用 95 30 110
（万元
产 品 外 观 美 观 比 较 美 观
730
97
35
180
520
92
25
50
美 观
数据预处理
（1）属性值有多种类型。 •有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、 科研经费等是效益型； •有些指标的值越小越好，称作成本型。 •另有一些指标的属性值既非效益型又非成本 型。
=
1 m y m i 1 ij
M 的取值可在 0.5-0.75 之间. 上式可以有多种变形, 例如:
zij ' = 01( yij y j ) / j 0.75 .
其中 j 为属性 j 的均方差,当高端与均值差大于 2.5 j 时变换后的值均为 1.00.这种变换的结果与专家打分 的结果比较吻合.
x o min xij , 则 j
1i m
yij
xij x o j x* x o j j
, (1 i m,1 j n)
1i m
对于逆向指标f j，取x* min xij , j x o max xij , 则 j
1i m
yij
x o xij j x x
②各目标属性的差异程度； ③各目标属性的可靠程度
确定权重是非常困难的，因为主观的因素，权重很难准确。
确定权的方法有两大类： 主观赋权法：根据主观经验和判断，用某种方法测定属性指标 的权重； 客观赋权法：根据决策矩阵提供的评价指标的客观信息，用某 种方法测定属性指标的权重。
两类方法各有利弊，实际应用时可以结合使用。
_
三、决策指标权的确定
多属性决策问题的特点，也是求解的难点在于目标间的矛盾性 和各目标的属性的不可公度。不可公度性通过决策矩阵的标准 化处理得到部分解决；解决目标间的矛盾性靠的是引入权 (weight)这一概念。 权，又叫权重，是目标重要性的度量。权的概念包含并反映下 列几重因素：
①决策人对目标的重视程度；
10 3
（3）归一化
• 原属性值表中不同指标的属性值的数值大小 差别很大，如总经费即使以万元为单位，其 数量级往往在千、万间，而生均在学期间发 表的论文、专著的数量、生均获奖成果的数 量级在个位或小数之间。 • 为了直观，更为了便于采用各种多目标评估 方法进行比较，需要把属性值表中的数值归 一化，即把表中数均变换到［0，1］区间上。
1、向量归一化
设决策矩阵X ( xij ) mn中，令 yij xij
x
i 1
m
, (1 i m,1 j n)
2 ij
则矩阵Y ( yij ) mn 称为向量归一标准化矩 阵。显然 0 yij 1, 并且每列的平方和等于1，即列向量的模为 。 1 本方法不改变属性的方 向，常用于计算各方案 与某种虚拟方案 （如理想点和负理想点 ）的欧式距离的场合。
二、决策指标的标准化
指标体系中各指标均有不同的量纲，有定量和定性，指标之 间无法进行比较。 将不同量纲的指标，通过适当的变化，化为无量纲的标准化 指标，称为决策指标的标准化，又叫数据预处理。 有三个作用： 1）变为正向指标 2）非量纲化，消除量纲影响，仅用数值表示优劣 3）归一化，把数值均转变为[0,1]区间上，消除指标值标度 差别过大的影响。 指标的标准化可以部分解决目标属性的不可公度性。 下面介绍几个常用的预处理方法。在决策中可以根据情况 选择一种或几种对指标值进行处理。
y1
生师比
y2
科研经费 (万元/年)
y3
逾期毕业 率 (%) y4
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.6 0.3 2.8
5 7 10 4 2
5000 4000 1260 3000 284
4.7 2.2 3.0 3.9 1.2
投资决策
指标Xj 替代方案 Ai
自行设计 （A1） 国外引进 （A2） 改 建 （A3）
例如研究生院的生师比，一个指导教师指导4至6 名研究生既可保证教师满工作量， 也能使导师有充 分的科研时间和对研究生的指导时间，生师比值过高， 学生的培养质量难以保证；比值过低；教师的工作量 不饱满。
（2）非量纲化
• 多目标评估的困难之一是指标间不可公度， 即在属性值表中的每一列数具有不同的单位 (量纲)。即使对同一属性，采用不同的计量单 位，表中的数值也就不同。 • 在用各种多目标评估方法进行评价时，需要 排除量纲的选用对评估结果的影响，这就是 非量纲化，亦即设法消去(而不是简单删去)量 纲，仅用数值的大小来反映属性值的优劣。
下面介绍几种常用的确定权的方法
1、相对比较法
相对比较法是一种主观赋权法。将所有指标分别按行和列，构 成一个正方形的表，根据三级比例标度，指标两两比较进行评 分，并记入表中相应位置，再将评分按行求和，最后进行归一 化处理，得到各指标的权重。
设有n个决策指标f1 , f 2 ,, f n , 按三级比例标度两两相 对比较评分，其分值 设为aij , 三级比例标度的含义是 ： 1, 当f i 比f j 重要时； aij 0.5, 当f i 比f j同样重要时； 0, 当f i 比f j 不重要时； 评分值构成矩阵 (aij ) mn , 显然aii 0.5, aij a ji 1, 指标f i 的权重系数： A
指标 f
i
比率值 r
i
修正评分值 指标权重值
ki wi
f1
f2
f
3 1 1 1/3 1/2 1
1/2 1/6 1/6 1/6 1/2 1 2.5
0.20 0.07 0.07 0.02 0.20 0.40 1.01
第三讲 多属性决策分析
多属性多指标综合评价特点
• 指标间的不可公度性，指标之间没有统 一量纲，难以用同一标准进行评价； • 指标之间可能存在一定的矛盾性，某一 方案提高了这个指标，却可能损害另一 指标。 上述问题即为多属性决策方法研究的问题。
基本概念
• 由多个相互联系、相互依存的评价指标， 按照一定层次结构组合而成，具有特定 评价功能的有机整体，称为多属性决策 的指标体系。
设给定的最优属性区间为 [ y ,
0 j
y* ] j
0 0 1- ( y j - yij )/( y j - y j ’)
若 yij ＜ y 0 j 若 yj ≤y ≤ yj
0
ij
zij
其中,
=
1
* 1 - ( yij - y j )/ ( y j ”- y j )
*
*
若 yij ＞ y*j
y j ’为无法容忍下限, y j ”为无法容忍上限。
4、标准样本变换法
设决策矩阵X ( xij ) mn中，令 yij xij x j sj , (1 i m,1 j n)
1 m 1 m 其中，样本均值 j＝ xij , 样本均方差 j x s ( xij x j ) 2 m i 1 m 1 i 1 矩阵Y ( yij ) mn 称为标准样本变换矩阵 。 经过变化之后，标准化 矩阵每列的均值为 ，方差为 。 0 1
2、线性比例变化法
设决策矩阵X ( xij ) mn 中，对于正向指标 j，取x* max xij 0, f j
1i m
则 yij xij x
* j
, (1 i m,1 j n)
1i m
对于逆向指标f j，取x* min xij , j 则 yij x* j xij , (1 i m,1 j n)
yn
y 1n
…
xi
…
yi1
…
yij
…
yin
…
xm
…
y m1
…
y mj
…
y mn
例: 学校扩建
(要求扩建的学校既要满足学生就近入学的要求，又要使扩散的费用 尽可能的少。) 学校序 费用(万 号 1 2 3 4 5 6 元) 60 50 44 36 44 30 平均就读距 离 km 1.0 0.8 1.2 2.0 1.5 2.4
矩阵Y ( yij ) mn 称为线性比例标准化矩 阵。 经过变换之后，均有 yij 1，并且正、逆向指标均 0 化为 正向指标，1为最优值，但最劣值不 一定为0。
3、极差变换法
设决策矩阵X ( xij ) mn 中，对于正向指标 j，取x* max xij , f j
1i m