1.2应用举例

课题：应用举例

课型：新授编号：03 时间：2011-9-8

【学习目标】

1.掌握用正弦定理、余弦定理解任意三角形的方法；

2.会利用数学建模的思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题。

【学习重难点】

重点是培养应用意识和实践能力，难点是实际问题数学化，利用解三角形解决相关实际问题。

课前自主预习

【知识梳理】

1.基本概念

（1）在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，视线在水平线的角称为。

（2）把指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角叫方位角。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角，如北偏东600 。

2.距离问题

（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题。这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题，用就可解决问题。

（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题。首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题。

3.高度问题

测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解

三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物到一个的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。

3.角度问题

测量角度就是在三角形内利用和求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角。

【基础自测】

1.如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时最适合用数据（）

A.b

a,

,

α B.a,

,β

α C.γ,

,b

a D.b

a,

,β

2.若P在Q的北偏东440，则Q在P的（）

A.东偏北460

B.东偏北440

C.南偏西440

D.西偏南440

3.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东200 ，灯塔B在观测站C的南偏东400，则两塔的距离为。

4.在某次测量中，在A处测得同一平面上得B点仰角是600，C点的仰角为700，则B A C

∠等于。

【自主质疑】

通过对本节课的预习，你还有哪些疑问？写下来，大家共同解决。

课堂讲练互动

【能力点解读】

1.解三角形知识在生产实践中有着广泛的应用，解与三角形有关的实际问题的过程，贯穿了数学建模的思想，这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。

2.解斜三角形的应用问题，首先要增强应用数学的意识，解应用题可分为两步：第一步，先分析问题，抓住实际问题中的数量关系，将其转化成一般数学问题，即能顺利阅读，准确理解有关问题的陈述材料；第二步，利用所学知识和方法解决这个数学问题，其中的关键在于如何将实际问题数学化，也就是如何将实际问题等价转化成一个数学问题，即要具有数学建模的思想。最后，检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。

【典型例题】

题型一 测量距离问题

例 1 如右图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为

km 2

3，

030=∠=∠CDB ADB ,0

045,60=∠=∠ACB ACD ,求A 、B 两点间的距离。

题型二 测量高度问题

例2 如右图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β，已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD 。

题型三 测量角度问题

例3 在海岸A 处发现北偏东450方向，距A 处（13-）海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西750方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以310海里/小时的速度追截

走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东300方向逃窜，问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间。

易错点辨析 忽略三角形内角和定理导致出错 例4 在A B ABC 3=∆中，,求a

b 的取值范围。

【课堂小结】

通过对本节课的学习，你有哪些收获？试从知识和思想方法两方面加以总结。

【课堂检测】

1. 某同学家住8楼，距地面高约20m ，在该楼前的建筑工地上有一座塔吊，该同学测得

塔吊顶的仰角为600

，塔底的仰角为450

，那么这座塔吊的高度是 （ ）

2. 设甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为600

，从甲楼顶望乙楼顶得俯角

为300

，则甲乙两楼的高分别是 （ ）

A.m m 33

40,

320 B.m m 320

,310

C.m m 320

,)23(10-

D.

m m 33

20,

32

15

3.如下图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东150，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西300的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 海里/小时。

课后练习