函数周期性总结

函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明：（1）T 必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 问题1 ①若常数T （≠0）为f (x)周期，问nT( n ∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y =sin （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T=

ωπ2 y=cos （ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= ω

π

2 y =tan （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ω

π y =|sin （ωx +φ）|（w>0）最小正周期为T= ωπ

f(x)=C(C 为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？

y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题

结论：有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、)()(x f T x f =+ ⇔)(x f y =的周期为T

2、)()(x b f a x f +=+ )(b a < ⇔)(x f y =的周期为a b T -=

3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=

4、)

()(x f c a x f =+ (C 为常数) ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5 )(1)

(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=

7、 1

)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 8、)(1)

(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=

9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=

10、)1()()2(++=++++n x f n x f n x f ；（它是周期函数，一个周期为6） 11、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a < ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -= 12、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -= 13、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(4a b T -=

14、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期a T 4=。

15、偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期a T 2=。 练习：①f(x+a)=－f(x) ②f(x+a)=)(1x f ③f(x+a)=－)

(1x f ④f(x+a)=1

)(1)(-+x f x f ⑤f(x+a)=f(x-a) T= ⑥ f(x)= f(x-a) -f(x-2a) T=6a 十一 对称性加奇偶性得到周期

f(x)为偶函数f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)则T=2a

f(x)为奇函数f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)则T=4a

eg ：练1：（07天津7）在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( )

A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数

D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数