奥数新定义运算(精)
六年级奥数--定义新运算
六年级奥数——定义新运算2019.06一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b)。
求27*9。
2.设2*2a b a b=+，那么求10*6和5*（2*8）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
练习2：1．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。
2．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p 2+（p －q ）×2。
求30△（5△3）。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为: 因此练习3：1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。
四年级奥数定义新运算
定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。
试计算：（1）5△6；（2）6△5。
练习1：（1）设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
（2）：设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。
试计算：（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。
练习2：（1）对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。
计算3⊕5。
（2）新运算规定：P☆Q=5P+4Q，求8☆9☆2。
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。
练习3：（1）如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：3▽4。
（2）如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。
例4：2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。
按此规律计算：7▽3。
练习4：（1）有一个数学运算符号“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。
按此规律计算：8▽4。
（2）2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。
按此规律计算7▽3例5：对运算Θ∆和，规定a b a b a b b a b a -⨯=Θ+⨯=∆,，求）（）（4232Θ∆∆练习5：（1）已知a,b 是任意的自然数，规定：2,1-⨯=∨-+=∧b a b a b a b a ，求）（）（5386∨∧∧（2）规定运算“☆”为：若a>b ，则a ☆b=a ＋b ；若a=b ，则a ☆b=a －b ＋1；若a<b ，则a ☆b=a ×b 。
奥数 新定义运算
奥数定义新运算我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
一、定义1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。
注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、◆、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。
二、初步例题诠释例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32例2、假设a ★b = ( a + b )÷b 。
求8 ★5 。
分析与解：该题的新运算被定义为: a ★b等于两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a代表数字8，b代表数字5。
8 ★5 = （8 + 5）÷5 = 2.6例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。
求6◎（9◎2）。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。
这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。
6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。
小学奥数-定义新运算
小学奥数-定义新运算小学奥数——定义新运算1.定义运算△为a△b=3×a-2×b。
求4△3，3△4，（17△6）△2，17△（6△2）和5△b=5时的b的值。
2.定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b）。
求5※7，7※5，12※（3※4），（12※3）※4和3※（5※x）＝3时的x的值。
3.暂无内容。
4.已知4※2=14，5※3=22，3※5=4，7※18=31，求6※9的值。
5.定义运算▽为a▽b=a×b+a-b，求5▽8.6.定义运算△为a△b=a+(a+1)+(a+2)+……(a+b-1)，其中a,b表示自然数。
求1△100的值和5△b=5时的b的值。
7.定义运算为a b3a4b，求(87) 6.8.定义运算⊖为a⊖b=5×a×b-(a+b)，求11⊖12.9.定义运算※为a※b=2×a×b-1/4×b，求8※(4※16)。
10.定义运算□为x□y=(x+y)/4，求a□16=10中a的值。
11.定义运算为a b=a×b/(a+b)，求21010的值。
12.定义运算※为P※Q=(P+Q)/2，求4※(6※8)和x※(6※8)=6时的x的值。
13.定义运算⊕为x⊕y=(x+1)/y，求3⊕(2⊕4)的值。
14.已知4⊗8=16，10⊗6=26，6⊗10=22，18⊗14=50，求7⊗3的值。
15.定义运算为a b=(a+3)×(b-5)，求5(67)的值。
16.定义运算为x y=6x+5y和△为x△y=3xy，求(23)△4的值。
读一读】狼&羊羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以我们定义了两种运算，用符号△表示羊和狼的运算，用符号☆表示羊与羊战胜狼的运算。
具体规则见上文。
四年级奥数一定义新运算
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1
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新 的运算符号包含多种基本（混合）运算。
例1.若A★B=(2A+1)ⅹb,求5★6的值
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把 已知的数代入，转化为加、减、乘、除运算 然后按照基本运算过程、规律进行运算。
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2
例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍 减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。试计算： （1）5△6；（2）6△5。
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例2.定义新运算aΔb=(a+1)÷b,求6Δ（3Δ4） 的值。
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例2.已知a,b是任意自然数，我们规定： a⊕b=a+b-1,a⊙b=ab-2， 那么4⊙ [(6⊕8) ⊕(3⊙5)]等于多少?
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例3.羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼， 我们规定一种运算，作符号Δ表示：羊Δ羊=羊；羊Δ狼 =狼；狼Δ羊=狼；狼Δ狼=狼，以上运算的意思是羊与 羊在还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起 时便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜我们规定另 一种运算，用符号☆表示；羊☆羊=羊；羊☆狼=羊； 狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是当羊与羊 在一起时还是羊，狼与狼在一起时还是狼，当狼与羊在 一起时它便被羊赶走而只剩下羊了，对羊或狼可以用上 面规定的运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右， 括号内先算，运算结果是羊或狼，求下式的结果;羊Δ （狼☆羊）☆羊Δ（狼Δ狼）。
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3
1、设a、b都表示数，规定： a○b=6×a－2×b。试计算 3○4。
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(完整版)定义新运算(小学数学五年级奥数)
定义新运算知识与方法：对于常用的加、减、乘、除等运算，我们已经熟知它们的运算法则和计算方法，如6+ 2=8, 6X2=12等。
都是2和6,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。
由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。
对应法则不同就是不同的运算。
当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。
通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。
这节课，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。
解决定义新运算这类题的关键：是抓住定义的本质借用“ +、一、X、十”四则运算进行的，解答时要弄活新运算与四则运算的关系。
特别注意运算顺序，每个新定义的运算符号只能在本题中使用，新运算不一定符合运算定律。
例1:设a、b都表示数，规定：aAb =3X a— 2X b。
试计算：(1) 3A2; (2) 2A3。
练习1:1. 设a b都表示数，规定：a。
b=5X a— 2X b。
试计算3042. 设a b都表示数，规定：a*b=3x a+ 2X b。
试计算：5*6例2:对于两个数a与b,规定b=3a+ 2a,试计算( 3^5)练习2:1.对于两个数a与b,规定：aOb=a+3b，试计算405062.对于两个数A与B,规定：A△ B=2X A — B,试计算5A6A7例3:对于两个数a, b,规定：a金b=ax b+ a+ b,试计算：9 ®练习3:1.对于两个数a, b,规定：a$b=ax b— ( a+ b),试计算：6 ® 7.2..对于两个数A与B,规定：A GB=A X B-2,试计算：8 99例4:如果2、3=2 + 3 + 4, 5A4=5+ 6+ 7+ 8,那么按此规律计算：(1) 3A5;(2) 8A3。
练习4:1.如果4A2=4X 5, 2A3=2X 3X 4,那么按此规律计算:5A4。
2.如果24=24- (2+ 4), 3V6=36- (3 + 6), 6V3=63- (6+ 3),那么按此规律计算:7V2.例5:对于两个数a与b,规定aDb=a(a+1)+(a+2)+・・・(a+b— 1)。
六年级奥数定义新运算及答案（最新编写-修订）
定义新运算1.规定:a ※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5= 。
2.如果a △b 表示,例如3△4,那么,当a △5=30时, b a ⨯-)2(44)23(=⨯-=a= 。
3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= 。
4.已知a,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,,那么2-=⊗ab b a 。
[]=⊗⊕⊕⊗)53()86(45.x 为正数,<x>表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 。
6.如果a ⊙b 表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x ⊙5比5⊙x 大5时, b a 23-x= 。
7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= 。
8.规定一种新运算“※”: a ※b=.如果(x ※3)※4=421200,那么)1()1(++⨯⋅⋅⋅⨯+⨯b a a a x= 。
9.对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x ※y=,其中的表示cxy by ax -+c b a ,,已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x ※m=x(m ≠0),则m 的数值是 。
10.设a,b 为自然数,定义a △b 。
ab b a -+=22(1)计算(4△3)+(8△5)的值；(2)计算(2△3)△4；(3)计算(2△5)△(3△4)。
11.设a ，b 为自然数，定义a ※b 如下:如果a ≥b ，定义a ※b=a-b ，如果a<b ，则定义a ※b= b-a 。
最新小学三年级奥数讲义定义新运算
△*△p 4 6 定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：、 、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题 1】假设 a*b=(a+b)+(a-b)，求 13*5 和 13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于 a 和 b 两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在 13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习 1：13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=265*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=261.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求 27*9。
2.设 a*b=a2+2b ，那么求 10*6 和 5*（2*8）。
3.设 a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题 2】设 p 、q 是两个数，规定： q=4×q-(p+q)÷2。
求 △3错误!6)。
【思路导航】根据定义先算 4△6。
在这里“ ”是新的运算符号。
△3 错误! 6)＝△3 【×6－（4+6）÷2】＝△3 19＝4×19－（3+19）÷2练习 2：1．设 p 、q 是两个数，规定 △p q ＝4×q －（p+q ）÷2，求 △5 △（ 4）。
精品文档52．设p、q是两个数，规定△p q＝p2+（p－q）×2。
五年级奥数：定义新运算
五年级奥数：定义新运算五年级奥数重难点：定义新运算定义新运算是指使用新的符号来进行运算。
在解题时需要按照所规定的“运算程序”进行运算，以得出最终结果。
不同的题目有不同的规定，我们应该严格按照题目中的规定进行运算。
类型一：直接运算型在这种类型的问题中，我们需要直接根据运算公式进行计算。
例如，对于题目“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求4★5，我们可以直接代入A=4，B=5，然后按照规定进行计算。
练题：1.设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。
试计算3○4.2.“♀”表示一种新的运算，规定A♀B=2A+3B，求0.3♀1.4.3.设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。
试计算：（1）（5*6）*7（2）5*（6*7）4.a、b是自然数，规定a※b=（a+b）÷2，求3※（4※6）5.令A®B=3×A+4×B，试计算：（1）（4®5）®6（2）（1®5）+（2®4）类型二：反解未知数型在这种类型的问题中，我们需要建立方程来求解未知数。
例如，对于题目规定a＆b=3a-2b，如果x＆4=7，求x的值，我们可以建立方程3x-8=7，然后解方程得到x=5.练题：1.如果规定 ab cd =a×d－b×c，已知126 x2.4=7.2，求x的值。
2.对于任意正整数a,b，规定a※b=a÷b×2+3.若256※a=19，求a的值。
3.对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。
已知x□6=27，求x。
类型三：观察规律型在这种类型的问题中，我们需要观察规律来进行计算。
例如，对于题目如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26，那么9※5=？我们可以发现，每个数的结果都是从第一个数开始加上后面的连续的几个数，因此9※5=9+10+11+12+13=55.练题：1.已知1∆3=1×2×3，6∆5=6×7×8×9×10，求2∆5.2.如果2※3=2+3+4=9，5※4=5+6+7+8=26，按此规则计算：（1）1※x=15（2）x※3=12类型四：综合类型在这种类型的问题中，我们需要综合运用不同的方法来进行计算。
最新小学奥数训练题 定义新运算
专业 Word 可修改 欢迎下载1 定义新运算1、 规定a*b=(b ＋a)×b，求(2*3)*5。
2、 定义运算“△”如下：对于两个自然数a 和b ，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b 。
例如：4△ 6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。
根据上面定义的运算， 18△12等于几？3、 两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为a7b 。
例如，135=3。
根据这样定义的运算，(269) 4等于几？ 4、 规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3 5=3。
请计算下式：[(70 3)△5]×[ 5 (3△7)]。
5、 对于数 a ， b ， c ， d ，规定〈a ， b ， c ，d 〉=2ab-c ＋d 。
已知〈1，3，5，x 〉=7，求x 的值。
6、 规定： 6* 2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234。
求7*5。
7、 如果用φ(a)表示 a 的所有约数的个数，例如φ(4)=3，那么φ(φ(18))等于几？8、 如果a △b 表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a △2)△3=12时， a 等于几？9、10、 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算“*”：a*b ＝a(a ＋1)(a ＋2)…(a＋b-1)。
如果(x*3)*2＝3660，那么x 等于几？11、 有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。
装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数减去4；装置D ∶将输入的数乘以3。
这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B 就写成A·B，输入1后，经过A ·B，输出3。
(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？(3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？。
小学六年级奥数第一讲：定义新运算【附练习题】
【导语】知⼰知彼，百战不殆，熟悉每⼀种题型的解法，这样才会对考试中不同形式的题⽬都应付⾃如。
⽆忧考准备了以下内容，供⼤家参考。
第1讲定义新运算 ⼀、知识要点 定义新运算是指运⽤某种特殊符号来表⽰特定的意义，从⽽解答某些算式的⼀种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代⼊，转化为常规的四则运算算式进⾏计算。
定义新运算是⼀种⼈为的、临时性的运算形式，它使⽤的是⼀些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号⾥⾯的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
⼆、精讲精练 【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这⾥的“*”就代表⼀种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算⼩括号⾥的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算⼩括号⾥的（5*4）。
练习1： 1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这⾥“△”是新的运算符号。
练习2： 1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
四年级奥数(定义新运算)
奥数：定义新运算1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。
注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、▴、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。
例题1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
变式训练1.假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。
求 8 ★ 4变式训练2.如果a◎b=a×b-(a+b)。
求6◎（9◎2）例题2、A，B表示两个数，定义A△B表示(A+B)÷2，求(1)(3△17) △28 (2)[(1△9) △11] △6。
变式训练1、设a▽b=a×b+a-2b，按此规定计算：（1）8▽5 (2)(4▽6) ▽7例题3、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。
求6Δ5。
变式训练1.规定3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，…按此规定计算：11*5；200*3例题4、狼和羊在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号“△”表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△狼=狼。
用符号“☆”表示：羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼。
对羊和狼，可以用上面规定的运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，先算括号内的，运算的结果或是羊，或是狼。
求下列结果1、羊△狼☆羊2、羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）课堂作业1、设a，b都表示自然数，规定a☆b=3a+b÷2，计算：（1）5 ☆6 （2）6☆8（3）2☆（3☆6）（4）（2☆8）☆102、设m，n都表示自然数，规定m#n=2m+3n，计算4#3，2#20.3、假设a ★ b = ( a + b )÷（a-b）。
奥数专题-定义新运算(带答案完美排版)
定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 ×39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※ 5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13那么8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ?b＝a×b＋a＋b.①求6 ?2，2 ?6；②求（1 ?2）?3，1 ?（2 ?3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ?2＝6×2＋6＋2＝20，2 ?6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ?2）?3＝（1×2＋1＋2）?3＝5 ?3＝5×3＋5＋3＝231 ?（2 ?3）＝1 ?（2×3＋2＋3）＝1 ?11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“?”是否满足交换律：a ?b＝a×b＋a＋bb ?a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ?b＝b ?a，因此“?”满足交换律.再看“?”是否满足结合律：（a ?b）?c＝（a×b＋a＋b）?c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc ＋ac ＋bc ＋ab ＋a ＋b ＋c .a ?（b ?c ）＝a ?（b ×c ＋b ＋c ）＝a ×（b ×c ＋b ＋c ）＋a ＋b ×c ＋b ＋c＝abc ＋ab ＋ac ＋a ＋bc ＋b ＋c＝abc ＋ac ＋bc ＋ab ＋a ＋b ＋c .（普通加法的交换律） 所以（a ? b ）? c ＝a ?（b ? c ），因此“?”满足结合律.说明：“?”对于普通的加法不满足分配律，看反例：1 ?（2＋3）＝1 ? 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ? 2＋1 ? 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 ?（2＋3）≠ 1 ? 2＋1 ? 3.例4、有一个数学运算符号“?”，使下列算式成立：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？解：通过对2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25这几个算式的观察，找到规律：a ?b ＝2a ＋b ，因此7?3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以首先要计算出k 的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a *3，按“*”的定义： a *3=ma+3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a *3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时： （2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k有36k=64，解出k=971，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n =1，k=971 m=1 n =2 m=2 n =23（舍去） m=3n =1这组值应舍去.所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.课后习题1.a *b 表示a 的3倍减去b 的21，例如：1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6； ②7*（2*1）.2.定义新运算为 a 一b ＝b 1a +， ①求2一（3一4）的值； ② 若x 一4＝1.35，则x ＝？3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值. 4.定义两种运算“?”、“?”，对于任意两个整数a 、b ，a ?b ＝a ＋b ＋1， a ?b=a ×b －1，①计算4?[（6?8）?（3?5）]的值；②若x ?（x ?4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y=y ×2x ×m y×x ×6+（其中m 是一个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成立，求a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x *y=xy 1＋））（（A y 1x 1++， 已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值. 8.a ※b=b÷a b a +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++ =？ 课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4 左边： 8.解：由于9.解：按照规定的运算：x △10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1）=10x +（1+2+3+?+9）=10x + 45因此有10x + 45=65，解出x=2.定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a 、b 都表示数，规定a △b ＝3×a －2×b ，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b ＝2，求b .例2、定义运算※为 a ※b ＝a ×b －（a ＋b ），①求5※7，7※5； ②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？ ④如果3※（5※x ）＝3，求x . 例3、定义新的运算a ? b ＝a ×b ＋a ＋b .①求6 ? 2，2 ? 6；②求（1 ? 2）? 3，1 ?（2 ? 3）；③这个运算有交换律和结合律吗？例4、有一个数学运算符号“?”，使下列算式成立：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？例5、x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.课后习题1.a *b 表示a 的3倍减去b 的21，例如：1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6； ②7*（2*1）.2.定义新运算为 a 一b ＝b 1a +， ①求2一（3一4）的值； ② 若x 一4＝1.35，则x ＝？3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值. 4.定义两种运算“?”、“?”，对于任意两个整数a 、b ，a ?b ＝a ＋b ＋1， a ?b=a ×b －1，①计算4?[（6?8）?（3?5）]的值；②若x ?（x ?4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y=y ×2x ×m y×x ×6+（其中m 是一个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成立，求a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x *y=xy 1＋））（（A y 1x 1++， 已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值. 8.a ※b=b÷a b a +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值.9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++ =？[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
小学三年级奥数讲义定义新运算
、知识要点定义新运算定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值 代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如： *、△、©等, 这是与四则运算中的“ +、一、x 、+ ”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题 1】假设 a*b=(a+b)+(a-b)，求 13*5 和 13* (5*4 )。
【思路导航】 这题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差。
这里的“* ”就代表种新运算。
在定义新运算中同样规定了要 先算小括号里的。
因此，在 13* ( 5*4 ) 中，就要先算小括号里的(5*4 )。
练习1: 1•将新运算“ *”定义为：a*b=(a+b) x (a-b). 13*5= (13+5) + (13-5) =18+8=26 5*4= (5+4) + (5-4) =10 13* (5*4) =13*10= (13+10) + (13-10) =26求 27*9 。
2. 设 a*b=a2+2b ，那么求 10*6 和 5* (2*8 )。
3. 设 a*b=3a — b x 1/2，求(25*12 ) * (10*5 )。
【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △ q=4x q-(p+q)-2。
求 3、(4 △ 6)。
【思路导航】 根据定义先算4 △ 6。
在这里“△”是新的运算符号。
练习2： 1 .设 p 、q 是两个数，规定 p △ q = 4X q —( p+q )* 2,求 5△( 6△ 4)。
2 .设p 、q 是两个数，规定 3 .设M N 是两个数，规定p △ q = p2+ ( p — q )x 2。
奥数新定义运算(精)
【例2】已知2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.
求:(13*3；(24*5；(3若1*x=123，求x.
【分析与解】观察两个已知等式可以发现，“*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。
以上运算的意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了，小朋友总是希望羊能战胜狼。所以我们规定另一种运算，用符号“☆”表示：羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼。
这个运算的意思是羊和羊在一起还是羊，狼和狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而剩下羊了。
【理一理】
新定义运算注意的问题:
(1新定义运算一般不满足运算定律
如:a△b≠b△a a△(b△c≠(a△b△c
(a*b△c≠(a△c*(b△c
(2“+”“-”“×”“÷”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序.
四、练一练
1、规定a*b=4a-3b，计算：（1.5*0.8）*0.5
2、设a，b都表示自然数，规定a☆b=3a+b÷2，计算：
=[20÷2] △29 =[5△9] △6
=10△29 =[(5+9÷2] △6
=(10+29÷2 =7△6
=39÷2 =(7+6÷2
=19.5 =6.5
【试一试】
1、A，B表示两个数，定义A*B=2×A-B.试求:
(1(8.5×6.9*5 (2(119.8-29.8*(13.65+12.35
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奥数定义新运算我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
一、定义1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。
注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。
二、初步例题诠释例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32例2、假设a ★ b = ( a + b ÷ b 。
求8 ★5 。
分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a代表数字8，b代表数字5。
8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6例3、如果a◎b=a×b-(a+b。
求6◎（9◎2）。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。
这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。
6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。
求6Δ5。
分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。
因此可以按照这个规律进行解答。
6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070 例5、如果规定2=1×2×3，3=2×3×4，4=3×4×5，……计算（-）×。
分析与解：该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为X=（X-1）×X×（X+1）。
由于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。
（-）×= ×-×=-×=（1-）= ×（1-）=×（1-）=×=例6、规定a▲b=5a+ab-3b。
求（8▲5）▲X=264中的未知数。
分析与解：根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。
（8▲5）▲X=264（5×8 + ×8×5-3×5）▲X=26445▲X=2645×45+×45×X-3X=264225+X-=264225+X=264X=39X=2三、边学边试【例1】A，B表示两个数，定义A△B表示(A+B÷2，求(1(3△17 △29；(2[(1△9 △9] △6。
【分析与解】定义新运算符号“△”表示A△B=(A+B÷2，即两个数做“△”运算就是求这两个数的平均值.如:3△17=(3+17÷2=10，再用10与29做运算，10△29=(10+29÷2=19.5(1原式=[(3+17÷2] △29 (2原式={[(1+9÷2] △9}△6=[20÷2] △29 =[5△9] △6=10△29 =[(5+9÷2] △6=(10+29÷2 =7△6=39÷2 =(7+6÷2=19.5 =6.5【试一试】1、A，B表示两个数，定义A*B=2×A-B.试求:(1(8.5×6.9*5 (2(119.8-29.8*(13.65+12.352、设a▽b=a×b+a-2b，按此规定计算：（1）8▽1.25 (2(4▽2.5 ▽7【例2】已知2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.求:(13*3；(24*5；(3若1*x=123，求x.【分析与解】观察两个已知等式可以发现，“*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。
（1）3*3=3+33+333=369（2）4*5=4+44+444+4444+44444=49380（3）提示：因为1* x=1+11+111+…=123所以倒着算：123-1=122 122-11=111 111-111=0 即：1+11+111=1*3=123从而可知x=3【试一试】已知5△3=5×6×7，3△6=3×4×5×6×7×8，按此规定计算：（1）（4△3）+（6△2）（2）（3△2）×（4△3）【例3】设A⊕B=2×（A+B）-2×（A÷B），计算：（1）（12⊕4）⊕13；（2）70⊕（18⊕4）。
【分析与解】观察已知等式可知：“⊕”定义表示的是两个数和的2倍与商的2倍的差。
如：12⊕4=2×（12+4）-2×（12÷4）=26 （1）原式=[2×（12+4）-2×（12÷4）] ⊕13=[2×16-2×3] ⊕13=26⊕13=2×（26+13）-2×（26÷13）=2×39-2×2=78-4=74（2）原式=70⊕[2×（18+4）-2×（18÷4）]=70⊕[2×22-2×4.5]=70⊕35=2×(70+35-2×(70÷35=206【试一试】1、规定a⊙b=(a+b÷(a-b，按此规定计算:(121⊙5 (2(18⊙9 ⊙22、设a#b=5a-2b，计算：（12.5#8）#19.72【例4】小辉用电脑设计了A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.装置A:将输入的数加上5；装置B:将输入的数除以2；装置C:将输入的数减去4；装置D:将输入的数乘3.这些装置可以连接，如果装置A后面连接装置B，就写成A·B，输入1后，经过A·B输出了3.那么，输入9，经过A·B·C·D输出几?【分析与解】A·B·C·D=[(9+5÷2-4]×3=9所以输出的是9【试一试】同学们在做这样一个数字游戏:一张带有数字的卡片在A，B，C，D四位同学间传递，当传递给A时，A将该数字乘5传出，当传递给B时，B将该数字除以2传出，当传递给C时，C将该数字加18传出，当传递给D时，D 将该数字减去9后交给主持人，如果一张卡片经过A传递给B记为A→B，那么一张带有18的数字卡片，经过A→B→C→D的传递后交给主持人时卡片上的数字是多少?【理一理】新定义运算注意的问题:(1新定义运算一般不满足运算定律如:a△b≠b△a a△(b△c ≠(a△b △c(a*b △c≠(a△c*(b△c(2“+”“-”“×”“÷”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序.四、练一练1、规定a*b=4a-3b，计算：（1.5*0.8）*0.52、设a，b都表示自然数，规定a☆b=3a+b÷2，计算：（1）5☆6 （2）6☆5（3）2☆（3☆5）（4）（2☆3）☆53、规定3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，…按此规定计算：11*54、如果1=1！，1×2=2！，1×2×3=3！，…1×2×3×4×…×99×100=100！那么1！+2！+3！+4！+…+100！的个位数字是几？5、狼和羊在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号“△”表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△狼=狼。
以上运算的意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了，小朋友总是希望羊能战胜狼。
所以我们规定另一种运算，用符号“☆”表示：羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼。
这个运算的意思是羊和羊在一起还是羊，狼和狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而剩下羊了。
对羊和狼，可以用上面规定的运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，先算括号内的，运算的结果或是羊，或是狼。
求下列结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）。