线性代数期中考试试卷
07-08-2线性代数期中试卷(文)小强
课程名称：线性代数 考试类型：期中考试 考试时间：90’ 适用班级：一．填选题(4'1040'⨯=)1. 设10a Ab ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则A 可逆的条件是ab ≠, 此时1A -=110b ab a -⎛⎫ ⎪⎝⎭.2. 在五阶行列式中1253354124a a a a a 的符号为-；3. 设132231αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则T αβ=10, Tαβ=321642963⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 4. 111213131211212223232221313233333231()22122a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=-- 5. 000100020001000000001D n n ==-(2)(1)2(1)!n n n ---, (n 为个人学号最后两位加100)6. 设4阶行列式D 中第二列元素依次为-1, 2, 1, 0, 它们的余子式依次分别是0, 3,2, 3, 则D =4；(＊如果该行列式中第一列的元素依次是2, 1, x , 0, 则x =3/2.)7. 设,A B 为3阶矩阵, ||2,||3A B ==-, 那么21*|2|T A B A A --=192.8. 若n 阶矩阵A 满足方程2230,A A I ++=则1A -=1(2)3A I -+.9. 对方程组12323123304050x kx x x x kx x x +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩, 下列命题正确的是( AD ).(A) 若方程组有非零解，则系数行列式等于0, 从而3k =-或1k =-(B) 若方程组有非零解，则系数行列式等于0, 从而3k =-且1k =- (C) 若方程组有只有零解，则系数行列式等于0, 从而3k =-或1k =- (D) 若方程组有只有零解，则系数行列式不等于0, 从而3k ≠-且1k ≠- 10. 矩阵m n A ⨯, 且()r A r m n =<<, 则正确的是( ABCD ).(A) A 中r 阶子式不全为0； (B) A 中任何阶数大于r 的子式皆为0；(C) A 不可能是满秩矩阵 (D) A 经过初等变换可化为r I O O O ⎛⎫⎪⎝⎭;二．计算题 (60')11. (8')设140320A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 121032B -⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭, 求矩阵X , 使32A X B +=. 解：由32A X B+=，得1321241025111(3)1009191/29/22223620929/21X B A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+----⎝⎭⎝⎭⎝⎭12. (8')求行列式1231232224101301D =-解：2131324341221231123112311231232201400140014014241000720072007213113072r r r r r r r r r r D --+--------=====---------13. (10')求行列式1111111n nn D n=解：112()2,,1112111211111211011112111(21)(1)i n r r c c c i nn n n n n n n n n D nn nn n n -+++=-----===--=--14. (10')求解方程组12312312323052722025440x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩.解：2131323231352(1/9)17211231123(,)52722071737254407810112311230717370717370092700131103070140013r rr r r r r r r r r AA b ---⨯--+----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-−−−→- ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫−−−→-- ⎝⎭ 1221/7(1/7)100101020013()()3r r r r Ar A +⨯⨯-⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭∴== 从而原方程组有唯一解，其解为：1231,2,3x x x ===15. (12')设033110,2123A A X A X ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求: (1) 1(2)A I --, (2)X解：1221313232(1/2)233100110010(2,)110010233100121001121001110010110010013120013120011011002111110010131200011/21/r r r r r r r r r A I I ↔++-⨯---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-−−−−→2312311100100101/21/23/221/20011/21/21/21001/23/23/20101/21/23/20011/21/21/21/23/23/2(2)1/21/23/21/21/21/22(2)(r r r r A I A X A X A I X AX A -+--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫⎪∴-=-⎪ ⎪-⎝⎭=+∴-=∴=- 11/23/23/20330332)1/21/23/21101231/21/21/2123110I A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭16. (12')设12001062410,111361611971434A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪----⎝⎭求秩()r A , 并判断A 是否为满秩矩阵.解：314123324421/21/3(1/7)1200112001062410062410111361609361511971434021714351200112001031250312503125000000312500r r r r r r r r r r r A --⨯⨯-⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−→ ⎪⎪⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ −−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()2m in(4,5)r A ⎪⎪⎪∴=<从而A 不是满秩矩阵。
线代期中(A类)试卷及答案 (2)
一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
线性代数期中考试试卷
线性代数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3阶方阵，如果A的行列式值为0，则下列哪个结论是正确的？A) A是可逆的B) A的秩小于3C) A的迹等于0D) A的逆矩阵存在2. 对于向量组的线性相关性，以下哪个说法是错误的？A) 非零向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其他向量线性表示B) 零向量与任何向量线性相关C) 一组向量线性无关，则它们不能表示为其他向量的线性组合D) 两个向量线性无关，它们可以构成一个平面3. 如果一个向量空间的基由n个向量构成，则该向量空间的维数是：A) 0B) nC) 1D) 24. 以下哪个矩阵不是正交矩阵？A) 单位矩阵B) 反射矩阵C) 对称矩阵D) 旋转矩阵5. 线性变换的核是变换的零向量，以下哪个说法是正确的？A) 核是变换的像B) 核是变换的值域C) 核是变换的零空间D) 核是变换的基二、填空题（每空1分，共10分）6. 若矩阵B是矩阵A的转置，则称矩阵B是矩阵A的_________。
7. 向量空间V中，若向量v满足Av=0，其中A是矩阵，则称v是A的_________。
8. 一个向量空间的基的向量个数称为该向量空间的_________。
9. 若矩阵A的秩等于其行数，则称矩阵A是_________的。
10. 线性变换的像空间是变换的_________。
三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，则它们的迹相等。
12. 给定两个向量v1和v2，证明它们线性无关的充分必要条件是它们构成的矩阵的行列式不为零。
四、应用题（每题15分，共30分）13. 已知矩阵A和向量b，求解线性方程组Ax=b。
14. 给定一个线性变换T: R^3 → R^2，其矩阵表示为T，求T的核和像，并证明核和像的直和等于R^3。
五、附加题（10分）15. 讨论矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3阶方阵A的特征值和特征向量的计算方法。
《线性代数》期中考试参考答案
2009至2010第 2 学期 课程名称 线性代数 信电学院期中考试试卷参考答案考试性质： 闭卷 考试时间 120 分钟说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．A; 2．A; 3．D; 4．D; 5. A; 6．C; 7．D; 8．C ． 9. D; 10.A二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11，21)(-n n ; 12．35-; 13．A nλ; 14． A -; 15．⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1716213213012; 16．.91；17. 1; 18. 1 ; 19. 1123324411233442,a a a a a a a a -. 20. 1;三、证明题（本大题共3小题，每小题10分，共计30分）21. 已知TTA ααββ=+，Tα为α的转置，T β为β的转置.（1）求证2≤)(A R ；（2）若,αβ线性相关，则2<)(A R . 证明： (1) 因为)1()1)(()()1)(()()1)(()(分分分分2≤+≤+≤+=βαββααββααR R R R R A R T T T T ，所以2≤)(A R （5分）。
(2) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=（2分）. 于是())1()()()1)(()()(分分2112<≤≤=+=+=βββββββααR R k R R A R T T T T ，即2<)(A R （3分）。
22、设向量组4321,,,ββββ线性无关,且43214432134321243211,,,ββββαββββαββββαββββα+---=-+--=--+-=---=证明向量组432,,,1αααα线性无关. 证明：[][]1234123411111111,,,,,,11111111ααααββββ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦ …………………2分 111111110,11111111P P P ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=≠⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦设可逆 …………………2分 [][]112341234,,,,,,P ββββαααα-=,12341234,,,,,,,ββββαααα即可由线性表示 …………………2分 12341234,,,,,,.ααααββββ向量组与等价 …………………2分 1234,,,,αααα由等价的向量组秩相等所以线性无关. ………2分23. 设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，T B ),,,(001 =，求证()1n A n a =+.证明： 记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立(1分)． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立（2分）． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-（3分）21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+（3分）故 ||(1)nA n a =+（1分）.四、解答题（共30分）24. 问λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ，(1)有唯一解; (2)无解;(3)有无穷多个解，并在无穷多个解时，求方程组的通解.解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr. ……………………………2分 (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.……2分(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故(1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解. …………………………………………………2分 (3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0.因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.这时原来方程组等价于1231x x x ++=，所以原方程通解为 12123111100010x x c c x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,c c 为常数。
线代期中试题EWord版
线性代数期中考试试卷E班级 学号 姓名 成绩 一、判断下列各题是否正确(每小题3分共15分)1．若A 、B 都是n 阶方阵，则||||AB BA =。
( ) 2．若矩阵A 、B 的乘积O AB =，则一定有O A =或O B =。
( ) 3．设A 为n 阶反对称阵，若n 为偶数，则||0A ≠。
( ) 4．若n 阶行列式D 中非零元素的个数小于n ，则0D =。
( ) 5．任意n 阶方阵都可以表示一系列的初等矩阵的乘积。
( ) 二、选择题（每小题3分共15分）1．设A 、B 、C 均为n 阶方阵，若由AB AC =能推出B C =，则A 应满足下列条件中的( )。
A ．A O ≠；B ．A O =；C ．||0A ≠；D ．||0A =。
2．设32214514r s a a a a a 是五阶行列式D 中的项，则下列中,r s 的值及该项的符号均对的是( )。
A ．3,5r s ==，符号为正；B ．3,5r s ==，符号为负；C ．5,2r s ==，符号为正；D ．5,3r s ==，符号为负。
3．设D 为n 阶行列式，则D 为零的充分必要条件是( )。
A ．D 中有两行(列)的对应元素成比例；B ．D 中有一行(列)的所有元素均为零；C ．D 中有一行(列)的所有元素均可以化为零；D ．D 中有一行(列)的所有元素的代数余子式均为零。
4．设A 是反对称阵，k 为正整数，则k A =( )。
A ．不是对称矩阵就是反对称矩阵，两者必居其一；B ．必为反对称阵；C ．必为对称阵；D ．既不是反对称矩阵也不是对称矩阵。
5．设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式中成立的是( )。
A ．AB BA I ==； B ．1111()()kAB k B A k R ----=∈；C ．11,A A B B --==；D ．111||||A B BA ---=。
三、计算题(每小题10分共50分)1．. 求多项式()x a a a a x aa f x aax a--=-的根。
线性代数期中考试试题+答案
线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。
线性代数期中测试题
－24
b a L b
的值为多少？ 的值为多少？ (a + ( n − 1)b )(a − b )
n −1
M
M
M
M
b b b L a n× n 5． 如果非齐次线性方程组 Ax = b （ b ≠ 0 ）中方程个数少于未知数个数，那 中方程个数少于未知数个数， ．
么 (a) Ax = b 必有无穷多解； 必有无穷多解； (b) Ax = 0 必有非零解； 必有非零解； (c) Ax = 0 仅有零解； 仅有零解； (d) Ax = b 一定无解。 一定无解。 因为秩(A)< 未知数个数 请说明理由 (b) 因为秩
答案将于今日中午12点在公共邮箱公布 答案将于今日中午 点在公共邮箱公布 下次上课点评 xxdaishu@ 密码： 密码： cumtdaishu
5
答案
6
1．已知 a = [1 , 1 , 3] , b = [2, 0 , 2] , 则 (ba ) ．
T T T
2008
2 2 6 = 8 2007 0 0 0 2 2 6
2
=?
−1
=?
3．设 3 阶方阵的列分块矩阵 A = [a1 , a 2 , a 3 ] ，且 det A = 3 ，若三阶方 ． 阵 B = [ a1 ,−2a 2 ,3a 3 ] ，则 A + B =?
a b b L b b a b L b 4．n 阶行列式 D = b b a L b ．
的值为多少？ 的值为多少？
（3）有无穷多解 ）
2 A=λ 4
λ
−1 5
−1
1 = 0 且 R( A) = R([A, b])
线性代数B期中试卷(A卷)
(A). P2 AP 1 B
(B). P 1 AP 2 B
*
6、设 3 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A ,
1 A = ，则 (3 A) 1 2 A* = 2
0 1 2 1 四、(6 分)设矩阵 A 1 1 4 ， 求 A . 2 1 0
7、 已知方阵 A 满足 A A E O , 则 A E
3Байду номын сангаас
1
. .
课号：
课名：线性代数 B
)试卷
考试考查：考试
8、设 A 是 m n m n .矩阵， C 是 n 阶可逆矩阵，秩 R ( A) r ，秩 R ( AC ) r1 , 则 (A). n r1 r , (B). r1 r n , (C). r r1 , (D). r1 n
七、(本题 15 分)设 n 阶方阵 A, B 满足 A B AB
(1). 证明 A E 可逆且其逆阵为 B E .
2 0 0 (2). 若 B 0 3 0 , 求 A . 0 0 4
(3). 等式 AB BA 是否成立? 为什么?
x1 x2 2 x3 1 2 八、(15分)设线性方程组 x1 x2 x3 2 ， 问当 取何值时， x x x 1 1 2 3
3. 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵(n>1)，下列命题正确的是 (A). (C).
.
.
T
A A
T T
A AT
(B). AB B A , (D). AB AC 且 A 0 则 B C ( E 为单位矩阵)，则等式 (C). ACB E 成立. (D). CBA E
线性代数期终考试卷
线性代数期终考试卷一、 试卷一1)填空题（每小题4分，共20分）（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300220111,则A T A= （2）在分块矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O C B O 中，已知1-B 、1-C 存在，则=-1A（3）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963042321，B 为三阶非零矩阵，满足AB=O ，则r(B)= （4）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1264，则X= （5）三次代数方程321842184211111x x x--=0的根是2）选择题（每小题3分，共15分）（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231332221131211a a a a a a a a a ,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a P 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001，则必有（ ） (A)AP 1P 2=B (B)AP 2P 1=B(C)P 1P 2A=B (D)P 2P 1A=B(2)设A 是三阶矩阵，A*是其转置伴随矩阵，又k 为常数k ≠0,1±，则(kA)*=( ) (A)kA* (B)k 2A* (C)k 3A* (D)31A* (3)若r(A)=r<n,则n 元线性代数方程Ax=b ( ) （A ） 又无穷多个解 (B)有唯一解 (C)无解 (D)不一定有解(4)下列说法中正确的是（ ）(A ）对向量组kαα,,1Λ，若有全不为零的数k c c ,,1Λ使011=++k k c c ααΛ，则k αα,,1Λ线性无关(B) 若有全不为零的数k c c ,,1Λ使011≠++k k c c ααΛ，则kαα,,1Λ线性无关(C)若向量组kαα,,1Λ线性相关，則其中每个向量皆可由其余向量线性表示 (D)任何n+2个n 维向量必线性相关(5)矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100的特征值是（ ） (A)1，1，0 (B)-1，1，1 (C)1，1，1 (D) 1，-1，-13）（每小题6分，共12分）（1）计算行列式D= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+y y x x1111111111111111 （2）已知q 1=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡313131,q 2=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21021，求q 3，使Q=[]321q q q为正交阵。
2017-2018线性代数期中考试
2017-20181 线性代数一、填空题（每小题4分，共20分）1．四阶行列式中含有441221a a a 的项为__________；2．设1221304012107301---=D ,则D 的代数余子式=23A ； 3． 设 1112131111121321222321212223313233313132333403434a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a a --=≠--=--，则 _________； 4．设A 为3阶方阵，且4A =，则*126A A --=_______________；5．已知()()()T T T123=1,-2,-1,1=2,0,,0=-4,5,2t ααα-，，0,，且3α能由12, αα线性表示，则t =______________；二、选择题（每小题4分，共20分）1.设n 阶方阵A 满足220A A E --=，则必有（ ）A. 2A E =B. A E =-C. A 不可逆D. A E -可逆 2.行列式01221≠--k k 的充分不必要条件是（）（A ）-1k ≠（B ）3k ≠（C ）3k -1k ≠≠且（D ）3k -1k ≠≠或3.设A , B 均为n 阶方阵，则下列正确的是（ ）A. B A B A +=+B. BA AB =C. BA AB =D. 111)(---+=+B A B A4. 两个n 阶初等矩阵的乘积一定为 （ ）（A ）初等矩阵；（B ） 单位矩阵；（C ） 可逆阵；（D ） 不可逆阵。
5.向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 ；)A s ααα,,,21 均不为零向量)B s ααα,,,21 中任意两个向量对应分量不成比例)C s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表出)D s ααα,,,21 中有一部分线性无关期中考试试题 学期 学年三．（13分）（1计算行列式D=ab b b ba b b b b a b bb b a（2）计算行列式D= y y x x-+-+1111111111111111四．（10分）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=4321,6063324208421221b A ，求矩阵A 及矩阵),(b A B =的秩。
x09线性代数期中考试卷及答案详解
(C) B 2 − A 2 = ( B + A)( B − A)
(C) A + B = A + B
(D)
A⋅B = A ⋅ B
) (D) A1,A2 都不一定可逆
⎛ A1 7. 设分块矩阵 A = ⎜ ⎜A ⎝ 3
O⎞ ⎟ ，其中的子块 A1, A2 为方阵，O 为零矩阵，若 A 可逆，则 ( A2 ⎟ ⎠
n
设
⎛1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎟ A=⎜ ⎜ ⎟ ，则 A = 1 ， B = 1 ，而 A + B = 0 ， A − B = 4 ⎜ 1⎟ ⎟, B=⎜ − 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7. (C)； 解：由于 A = 8. (B)； 解：用初等矩阵去左乘一个矩阵 A，相当于对 A 作相应的初等行变换，故选项(C)(D)不正确；由于题设初等矩阵是由 E 作 初等行变换 r2 ↔ r3 得到的，因此选项(B)正确。 9. (B)； 解：显然 P 是可逆矩阵，根据矩阵秩的性质，有 R ( PA) = R ( A) = 2 ，选项(B)正确。 10. (C) 解：对于非齐次线性方程组 Ax=b，①有解的充要条件 R( A) = R( A, b) ，[等价命题为：无解的充要条件 R( A) ≠ R( A, b) ]； ②有唯一解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) = A 的列数(即未知量的个数)； ③有无穷多解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) < A 的列数。 故选项(C)正确。
线性代数期中测验
线性代数期中测验一、 选择题1.设行列式==1111034222,1111304zy x zy x 则行列式（ ） A.32 B.1C.2D.38 2.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ）3.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1 B.14-C.14D.1 4.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.85.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ） A.P A B.AP C.QA D.AQ6.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为07．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 8.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.129.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A. α1，α2，α3，α4线性无关B. α1，α2，α3，α4线性相关C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示10．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B. 3 C ．4 D ．511.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )A. α1, α2,β线性无关B. β不能由α1, α2线性表示C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一12.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0B.1C.2D.313．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出二、 填空题1.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.3.行列式111123149=___________.4．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，k 为正整数，则A k = ． 5．设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则矩阵A =__________． 6．设同阶方阵A ，B 的行列式分别为-3，5，则det （AB ）=_________.7．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________.8.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________. 9.设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________.10.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.三、 解答题1.求行列式D=.0120101221010210的值2.计算行列式D =333222c c b b a a c b a cb a +++的值。
线性代数期中测试题及答案
一、填空题（每小题5分，共30分）1、三阶方阵A=1230 0 0 0 0 0λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（其中1230 λλλ≠）的逆矩阵A -1 = 。
2、已知A= 3 5 01-1 -2 02 0 0 2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A*是矩阵A 的伴随矩阵，则 (A*)-1 = 。
3、n 阶方阵A ，B 满足A+B=AB ，则B-E 可逆且（B-E ）-1 = 。
4、A 为三阶方阵， 1A =，则 1*(2) A A -- =________ 。
5、A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对调得到矩阵B ，则 AB -1 = 。
6、111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121111132221212332313133 a a a a B a a a a a a a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，10 1 01 0 00 0 1P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2 1 0 10 1 00 0 1P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 。
（用12,,A P P 表示B ）答案：1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0 /10 1/ 0 1/ 0 0 123λλλ 2、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2 0 0 0 2- 1-0 5 3 2 3、A-E 4、-1/8 5、E n (i,j ) 6、A P 2P 1二、（30分）1、计算行列式123410123110125D =--- （10分）解：7014101231107-25D =---327 1 4 (1)(1) 1 1 2 7 -2 -5+=-- 6 0 21 1 2 9 0 -1=226 2(1)-249 -1+=-=2、计算行列式D n = a a a b a a b aa b a a b a a a----(a ≠-b ) (10分)解：将第2、3、…、n 列同时加到第一列，并提取公因子，得n 1 a a b 1 a b aD [(n 1)a b] .................................1 b a a 1 a a a--=---0 0 0 -b-a 0 0 -b-a 0[(n 1)a b] .................................0 -b-a 0 0 1 a a a=--n(n 1)n 1n 12(1)(1)(b a)[(n 1)a b]---=--+--(n 1)(n 2)n 12(1)(a b)[(n 1)a b]-+-=-+--3、求下列矩阵的逆矩阵（10分）11000130000020********001A ⎛⎫⎪- ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭答案： 341400014140000012000001200001-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、（40分）1. 已知011111010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，112113B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX +B =X ，用初等变换法求X （10分） 解：由AX +B =X 知 B =X -AX =(E -A )X()100011111010111101001010011E A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭且10E A -=≠所以E -A 可逆，由此得1()XE A B -=-()111111012101113E A B ---⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭010121012101113---⎛⎫⎪−−→-⎪⎪⎝⎭ 010121002200101---⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ 100220101200101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪⎪⎝⎭2、已知矩阵A =0 1 01 2 00 0 -1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A *是矩阵A 的伴随矩阵，若矩阵B 满足（B-E ）-1 =A *-E ， 求矩阵B 。
线性代数期中考试(答案)
( C
n
)
( A) k A
( B) k A
(C ) k n A
1 0 0 1 0 0 1 1 0 A = 0 2 0 ， 则 A = 5、 设 0 0 1 0 0 3
6、 设 A=
1 −1 1 1 2 3 ， B= ；则 1 1 −1 −1 −2 4
ì ï ï x1 = ï ï ï ï 所 以 方 程 组 的 通 解 为 ï x2 = í ï ï ï ï ï ï ï ï î
0 −
3 16 7 1 − 16 0 0 0 0
9 16 5 − 16 0 − 0
9 16 5 16 0 0
ì x1 = - 4k 2 ï ï ïx = k + k +1 ï 2 1 2 ï 所以通解为 í , k1 , k 2 Î R ï x 3 = k1 ï ï ï x4 = k2 ï î
T T
( C )
中
考
试
试卷
使 用 班 级 ： 2009 经 管
考试形式：闭卷
7． A 为 m × n 矩 阵 ， r ( A) = r 的 充 分 必 要 条 件 是 ： (A)、A 中 有 r 阶 子 式 不 等 于 零 ， (C)、A 中 非 零 子 式 的 最 高 阶 数 小 于 r+1, （ 每 题 2 分 ， 共 16 分 ） 8 。.
嘉 兴 学 院
2010— 2011 学 年 第 一 学 期 期
课 程 名 称 ： 线 性 代 数 C(N) 班 级 ：____________
6. 已 知 An × n , Bm × n ， 则 ( AB ) 等 于 ： (A)、 AB ， (C)、 BAT ， (B)、 AT B ， (D)、 B T AT 。
线性代数期中卷 线性代数讲解
扬州大学试题纸( 2008－2009学年第 二 学期)学院 08级 课程 线性代数 期中试卷 班级 学号 姓名一. 填空题(3618''⨯=)1．设三阶矩阵()()2121,,,3,2,γγβγγα==B A ，其中21,,,γγβα均为三维列向量，且2,18==B A ，则=-B A 2设A 为n 阶方阵，且2=A ，则()=-*TT A A A 133．四阶行列式中，含有2413a a 的项有 . 4．设向量()()a ,6,4,5,3,2-=-=βα 线性相关，则=a .5．已知向量组321,,ααα线性无关，而向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组43214,3,2,αααα的一个极大无关组为6．设A 是34⨯的非零矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=937251B ，如果O AB =（零矩阵），则秩（A ）= ..二. 单项选择题(3618''⨯=)1．设B A ,同为n 阶方阵，则 成立， ( ) (A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C)BA AB = (D) ()111---+=+B A B A___________ 系____________ 班级_____________ 学号____________ 姓名_____________--------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------2．设A 是n m ⨯矩阵且n m <，则对于线性方程组B AX =，下列结论正确的是 （ ）(A)0=AX 仅有零解 (B) 0=AX 有非零解 (C) B AX =有惟一解 (D) B AX =有无穷多解 3．设向量组321,,:αααI 与向量组21,:ββII 等价，则必有 （ A ） (A)向量组I 线性相关 (B) 向量组II 线性无关 (C) 向量组I 的秩大于向量组II 的秩 (D) 3α不能由21,ββ线性表示4．设A 为2阶可逆矩阵，且已知 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-432121A ，则 =A （ ）(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43212 (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 (C) 143212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (D) 1432121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=500043200101A ，则A 中 （ ）(A) 所有2阶子式都不为零 (B)所有2阶子式都为零(C) 所有3阶子式都不为零 (D)至少有一个3阶子式不为零 6．设321,,ααα是四元非齐次线性方程组b AX =的三个解向量，且秩)(A =3，()()T T 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ααα，c 表示任意常数，则线性方程组b AX =的通解=X （ ） (A)()()TTc 1,1,1,14,3,2,1+ (B) ()()TTc 3,2,1,04,3,2,1+(C) ()()TTc 5,4,3,24,3,2,1+ (D) ()()TTc 6,5,4,34,3,2,1+三. 计算题(6530''⨯=)1．计算下列行列式的值1111112113114111 =630003200301041113000301032004111=----=---2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ，矩阵X 满足X A X A 21+=-*，求X（教材78页23）3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-5230121011A ，求A 的伴随矩阵*A4．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0004300002000010A ，求1-A5．已知矩阵A 与B 等价，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11210321,221320101x B A ，求x四.解答题(8324''⨯=)1．求a 的值，使向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,02,12321αααa a 线性相关。
《线性代数》期中考试试卷
《线性代数》期中练习一、选择题（只有一个正确答案，每小题3分） 1. 行列式D = 0的必要条件是（ ）(A) D 中有两行（列）元素对应成比例；(B) D 中至少有一行各元素可用行列式的性质化为0； (C) D 中有一行元素全为0；(D) D 中任意一行各元素都可用行列式的性质化为0.2. 若,0333231232221131211≠==m a a a a a a a a a D 则3332313123222121131211111254254254a a a a a a a a a a a a D ---==( ) (A) –40m (B) 40m (C) –8m (D) 20m 3. 设A ,B 均为n 阶方阵，则必有（ ）.(A) |A+B | = |A |+|B | (B) AB = BA (C) |AB | = |BA | (D) (A+B ) –1 = A –1 +B –1 4. 设A , B 均为n 阶非零矩阵，且AB = 0, 则R(A )，R(B )满足( ).(A) 必有一个等于0； (B) 都小于n; (C) 一个小于n ，一个等于n; (D) 都等于n.5. 设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100'2B A =( ).(A) (–2)n |A ||B –1| (B) –2|A '||B | (C) –2|A ||B –1| (D) (–2)2n |A ||B –1|6. 设A , B , C 为n 阶方阵，AB = BA ，AC = CA ，则( )不一定成立.(A) ABC = BCA (B) ABC = CBA (C) ABC = BAC (D) CBA = CAB 7. 设向量组(I)为 α1=(a 11, a 12, a 13)，α2=(a 21, a 22, a 23)，α3=(a 31, a 32, a 33)，向量组(II)为β1=(a 11, a 12,a 13, a 14), β2=(a 21, a 22, a 23, a 24)，β3=(a 31, a 32, a 33, a 34), 则( )(A) (I)组线性相关⇒(II)组线性相关； (B) (I)组线 性无关⇒(II)组线性无关； (C) (II)组线性无关⇒(I)组线性无关； (D) (I)组线性无关⇔(II)组线性无关. 8. 已知β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则( ).(A) α1，α2，α3线性相关； (B) α1，α2，α3线性无关； (C) α1可用β，α2，α3线性表示； (D) β可用α1，α2线性表示.9. 若向量β可由向量组A : α1, α2, … αm 线性表示, 那么向量组B : α1, α2, … αm , β的秩( )(A) 大于A 的秩 (B) 小于A 的秩 (C) 等于A 的秩 (D) 与A 的秩无关 10. 设C m ⨯n = A m ⨯s B s ⨯n , 则( ).(A) C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示； (B) C 的列向量组可由B 的列向量组线性表示； (C) A 的行向量组可由C 的行向量组线性表示； (D) B 的行向量组可由C 的行向量组线性表示. 二、填空题（每小题3分）1. 设xxxx x x x f 412412102132)(=，则x 3项的系数为_____________.2. n 阶行列式ab b a a b a b a 0000000000000000 =________________________.3. 方程02781941321111132=x xx 的全部根是___________________.4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62111402a A ，且R (A )=2，则a =____________.5. 设A 为3阶方阵，且|A |=4，则|A *-6A -1|=______________.6. 设3阶方阵A , B 满足A 2B -A -B =E , 其中E 为三阶单位矩阵，若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102020101A ，则|B |=_________________.7. A 是4⨯3矩阵，R (A )=3, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=301120201B , 则R (AB ) =____________.8. 设α1=(1, 0, 3, 5), α2=(1, 2, 1, 3), α3=(1, 1, 2, 6), α4=(1, λ, 1, 2)线性相关, 则λ=___________.9. 若矩阵A =(α1, α2, α3, α4)经初等行变换变为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00005100302102001，那么向量组α1, α2, α3, α4的一个最大线性无关组为______________, 其余向量由此最大无关组线性表示的关系式为________________________.10. 设3阶矩阵A = (α, γ 1, γ 2), B = (β, γ 1, γ 2), 且|A |=3, |B |=5, 则|A+B | =_________.三、(6分)计算行列式1111111111111111--+---+---x x x x .四、（8分）用克莱姆法则解方程组.52453⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++z y x z y x z y x五、（10分）设n 阶方阵A 和B 满足条件A+B = AB ,(1) 证明A - E , A +E 都为可逆矩阵，其中E 为n 阶单位方阵；(2) 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B , 求矩阵A .六、（8分）求向量组α1 = (1,0,2,1) , α2 = (1,2,0,1) , α3 = (2,1,3,0) , α4 = (2,5, -1,4) , α5 = (1,-1, 3, -1) 的一个最大线性无关组，并把其余向量用这个最大线性无关组线性表出.七、（8分）设向量组(I): α1, α2, …, αm ；(II): β1, β2, …, βm; (III): γ1, γ2, … , γm的秩分别为s1, s2, s3. 如果γi=αi-βi, (i=1,2,… , m), 证明s1≤s2+s3, s2≤s1+s3, s3≤s2+s1.。
线性代数期中考试试题
2010—2011学年第一学期线性代数期中考试试卷2010.11Part 1．Multiple-choice test ( 3 points/each)1. Let A= 2222011100010001and ij A be the cofactor of the (i, j) entry. Then,1n ij i j A ==∑________A .2 B. 1 C. 0 D. -22. If all the solutions of the system of equations 0AX = are solutions of 0BX =, then rank(A)_____rank(B)A. =B. ≥ C .not deteremined D. ≤3. A sufficient and necessary condition under which the homogeneous linear equations 0AX = has nonzero solutions is _______A. rank(A)<n-1B. rank(A)= n-1C. rank(A) ≤n-1D. rank(A)=n4. Let12,,s ααα (A) 12,,t βββ (B)be two vector sets and suppose that (B) can be linearly expressed by the vector set (A). If ________,then the vector set (B) must be linearly dependent.A. s>tB. s<tC. s t ≥D. s t ≤5. Let 1213A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 1012B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, which one of the following is right?________ A. AB=BA B. 222()2A B A AB B +=++C. 22()()A B A B A B +-=- D. none of the above is right6. Assume that A and B are square matrices with the same size, if 0AB =, then_________A. 0A =or 0B =B. 0A =and 0B =C. ||0A = or ||0B =D. none of the above is right7.Determine which one of the following sets form subspaces of 2R ?___________ A. {}1212(,)|0T x x x x = B. {}1212(,)|T x x x x =C. {}121122(,)|T x x x x x x =D. {}1212(,)|0T x x x x +=8. Let A be an n n ⨯matrix and 0322=--I A A . Then 1)(--I A =___________A )(4I A - B.)(41I A -. C. I 21± D. not determined Part 2． Sutmnmy completion ( 3 points/each)1. Let ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-403212221 and ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11a α. If },{ααA is a linear dependent set, then a= _________.2. For any n n ⨯ matrix A , let B be an n n ⨯ matrix, when B equals _______, we have AB BA =.3. Given the vectors 123(3,2,4),(3,2,4),(6,4,8)T T T x x x =-=--=--, the dimension of Span 123(,,)x x x is _________.4. If ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a c b c a 0,0,0 is a basis for 3R . Then c b a ,, satisfies ________. 5. Let )(ij a A = be a 33⨯ orthogonal matrix and 111=a and T b )0,0,1(=. Give all solutions for the linear system of b Ax = in vector form. ______________.6. If 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭, then X equals ___________. 7. The rank of the matrix A= 1001120131041451⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭equals___________. 8. The coordinator of a vector T )3,4,3(=ξ with respect to the basis T T T ),1,1,1(,)1,1,0(,)0,1,1(===γβα in 3R is _______________. Part 3. CALCULATE (5 points/each)1. Discuss the following system and give all solutions in vector form whenever thesystem has infinite many solutions.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++00003321432143214321ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx ax . 2. Find 23,,k A A A , if 101A λ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3. Let 423110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,2AB A B =+. Find B4. Let two subspaces }211,311,201{⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a span U and⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,412,321a a span V Determined a such that U=V and V U ≠5. Determine the nullspace of each of the following matrices. (a) 12312463--⎛⎫ ⎪--⎝⎭(6) 111222311105-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭6. Consider a nonhomogeneous system of linear equations 12312321232222x x x x x x x x x λλ-++=-⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩What value does λ take on such that the system has a solution? Part 4. PROVE1. Let {}...,,,21k ααα.is a basis for the homogneeous linear system 0=Ax . If 0≠βA , then the set }{ββαβαβα,,,,21+++k is a linear independent set. (7 points)2. (1) Let A be an n n ⨯ matrix, the elements of A are real numbers.Prove:0AX = and 0T A AX = have the same solutions. (4 points)(2). Prove that )()(A rank AA rank T =. (4 points)3. Suppose a system of fundamental solutions of the system 0s n A X ⨯= is 1,,r n αα+ ,in other words, { 1,,r n αα+ } is a basis for null space of sn A . .we expand them to the base of n R :1,,n αα , let 1(,,)r B αα= . Prove: rank of AB = the number of columns of AB . (7 points)。
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线性代数期中考试试卷文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-
中国民航大学《线性代数》期中试题A 卷
一、填空、选择题(每题3分，共24分) 1、
设自然数从小到大为标准次序，则排列32514的逆序数是_______________ 2、矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--452301143的伴随阵=*A _______________ 3、矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-174532321的秩为_______________ 4、若44535231a a a a a j i 是5阶行列式中带正号的一项，则i,j 的值为（ ） A 、i=1,j=3 B 、i=2,j=3 C 、i=1,j=2 D 、i=2,j=1 5、行列式D 非零的充分条件是（ ） A 、D 的所有元素非零； B 、D 至少有n 个元素非零； C 、D 的任意两行元素之间不成比例； D 、以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解。
6、设矩阵A 中有一个k-1阶子式不为零，且所有k+1阶子式全为零，则A 的秩r 必为（ ）
A 、r=k
B 、r=k-1
C 、r=k+1
D 、r=k-1或r=k
7、矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-311432000321的行最简形矩阵为_______________ 8、设A 为2阶矩阵，且2
1=A ，则()=-*-A A 521__________ 二、求解下列各题（每题6分，共24分）
1、计算行列式52222
5222
2522225=D
2、设33511102
4315
2113-----=D ，记D 的(i,j) 元的代数余子式为ij A ，
求444342414226A A A A +-+
3、设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111111111，B =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--150421321，求AB 3及B A T
4，求方阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---011145223的逆矩阵。
三、（8分）计算n 阶行列式
x a a a x a a a x D n =
.
四、（8分）设100,,421,312A ab A b a T 求=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 五、（10分）设 六、（10分）解线性方程组 七、（8分）证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-4
14343
232
121b x x b x x b x x b x x 有解的充要条件是
八、（8分）设阶n 矩阵A 满足阶单位阵，为n E E A ,2=
()().n E A R E A R =-++证明：。