网格纸- 描点法画函数图像
§99 函数图象总述及描点法作图
y=cosx的图象
y=tanx的图象
世上本无路 走的人多了 便有了路 三角运算公式关联图
半角
作用和差 化积升幂来自积化 和差降幂 万能 平方 关系 倒数 关系 商数 关系
一角二名三结构 和差倍半是变角 基本诱导是变名 辅助升降变结构
倍角
同角
基本 关系
辅助角
异角
加法 公式
诱导
三角式的定义
2
（两弦式） （余弦式） （正弦式）
1 - 2sin □ 2 tan□ tan 2□ 2 1 - tan □
2
2.作用：
变角变名变结构
三倍角公式
sin 3□ 3 sin □ - 4sin □
3
cos 3□ 4 cos □ - 3cos□
3
cos 2□ cos □ - sin □
2
（降幂公式）
注1.余弦倍角1变6 同+异-三个2 注2.降幂公式两端同时开方，即得半角公式
辅助角公式
1. a sin □ bcos□ a 2 b 2 sin( □ ) b （其中 tan ，Φ 与点(a,b)同象限） a 注1.使用前提是同角 少式多角成和谐 注2.a，b的确定方法： ① asin□与bcos□之间是“+”连接 ② a,b分别是sin□与cos□的系数 (a,b) 注3.辅助角φ 的确定方法： φ 方法甚多凭爱好 数形结合两限制 O 点定终边辅助角 正余系数为坐标 2. a sin □ bcos□ a 2 b 2 cos(□ ) 注.与正相反是余弦 纵横相反+变-
y=secx的图象
y=cscx的图象
练习1.画出函数y =sinx,y =cosx及y =tanx的草图 先画图象后画轴 头为负比尾加T
函数图像画法知识点总结
函数图像是一种在平面上表示函数关系的方法，通过画出函数图像，可以直观地看出函数的性质和特点。
在数学教学中，函数图像的绘制是非常重要的一部分，它帮助学生理解函数的变化规律，并且可以帮助学生更好地理解函数的性质。
在本文中，将对函数图像的画法进行详细的介绍和总结，包括常见的一些函数图像的特点和绘制方法。
一、基本函数图像的特点及绘制方法1. 直线函数 y=ax+b直线函数是最基本的函数之一，其图像在平面直角坐标系中呈直线状。
直线函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b分别是函数的斜率和截距。
当a大于0时，函数图像呈现为向上倾斜的直线；当a小于0时，函数图像呈现为向下倾斜的直线。
绘制直线函数的方法非常简单，只需取两个点就可以确定一条直线。
首先确定直线的截距b，然后再找到直线的斜率a，通过这两个参数就可以确定直线的图像了。
2. 平方函数 y=x^2平方函数是一种非常常见的二次函数，其图像呈现为抛物线形状。
平方函数的一般形式为y=x^2。
平方函数的图像对称于y轴，开口向上。
绘制平方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=-2，-1，0，1，2等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出平方函数的图像。
3. 开方函数 y=sqrt(x)开方函数是平方函数的反函数，其图像为抛物线的一条分支。
开方函数的一般形式为y=sqrt(x)。
开方函数的图像对称于x轴，开口向右。
绘制开方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=0，1，4，9等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出开方函数的图像。
4. 绝对值函数 y=|x|绝对值函数的图像呈现为一条V形状的曲线。
绝对值函数的一般形式为y=|x|。
绘制绝对值函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=-2，-1，0，1，2等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出绝对值函数的图像。
以上是一些常见的基本函数的图像特点及绘制方法，通过这些例子可以看出，绘制函数图像的方法主要是通过选取一些关键点来确定函数的图像，然后再通过连接这些点来得到完整的函数图像。
第五节函数图像
第五节(函数图像)第五节函数的图象[知识能否忆起]一、利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．二、利用基本函数的图象作图1．平移变换(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．2．对称变换(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x 轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象．3．伸缩变换(1)y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．(2)y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到．[小题能否全取]1．一次函数f(x)的图象过点A(0,1)和B(1,2)，则下列各点在函数f(x)的图象上的是()A．(2,2)B．(－1,1)C．(3,2) D．(2,3)解析：选D一次函数f(x)的图象过点A(0,1)，B(1,2)，则f(x)＝x＋1，代入验证D满足条件．2．函数y＝x|x|的图象大致是()解析：选A函数y＝x|x|为奇函数，图象关于原点对称．3．(教材习题改编)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝a x的图象可能是下列四个图象中的()解析：选B因a>0且a≠1，再对a分类讨论．4．(教材习题改编)为了得到函数y＝2x－3的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点向______平移______个单位长度．答案：右 35．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意a ＝|x |＋x令y ＝|x |＋x ＝⎩⎨⎧ 2x ，x ≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解则a >0.答案：(0，＋∞)1.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法．其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律．[注意] 对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．2．一个函数的图象关于原点(y 轴)对称与两个函数的图象关于原点(y 轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称．作函数的图象典题导入[例1] 分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |；(2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1.[自主解答] (1)y ＝⎩⎨⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图象如图1. (2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图2. (3)y ＝⎩⎨⎧x2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0.图象如图3.由题悟法画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．以题试法1．作出下列函数的图象：(1)y ＝|x －x 2|；(2)y ＝x ＋2x －1. 解：(1)y ＝⎩⎨⎧x －x 2，0≤x ≤1，－(x －x 2)，x >1或x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122－14，x >1或x <0， 其图象如图1所示(实线部分)．(2)y ＝(x －1)＋3x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，再将其向右平移1个单位，并向上平移1个单位即可得到y ＝x ＋2x －1的图象，如图2.识图与辨图典题导入[例2] (2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为()[自主解答] 法一：由y ＝f (x )的图象知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0≤x ≤1)，1(1<x ≤2). 当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎨⎧ 1(0≤x ≤1)，2－x (1<x ≤2)，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎨⎧－1(0≤x ≤1)，x －2(1<x ≤2).法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B.[答案] B由题悟法“看图说话”常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．以题试法2.(1)如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)的值等于________．(2)(2012·东城模拟)已知函数对任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为()解析：(1)∵由图象知f(3)＝1，∴1 f(3)＝1.∴f⎝⎛⎭⎪⎫1f(3)＝f(1)＝2.(2)∵对∀x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，∴f(x)是奇函数．f(0)＝0，y＝f(x)的图象关于原点对称，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－ln(－x＋1)＝－ln(1－x)，由图象知符合上述条件的图象为D.答案：(1)2(2)D函数图象的应用典题导入[例3](2011·新课标全国卷)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．1个[自主解答]根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；0<x<10时，|lg x|<1；x>10时|lg x|>1.结合图象知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．[答案] A若本例中f(x)变为f(x)＝|x|，其他条件不变，试确定交点个数．解：根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：由图象知共10个交点．由题悟法1．利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．2．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象的交点的横坐标．以题试法3．已知函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝x .若f (x )*g (x )＝min{f (x )，g (x )}，那么f (x )*g (x )的最大值是________．(注意：min 表示最小值)解析：画出示意图(实线部分)，⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2(x ≤－2)，x (－2<x <1)，2－x 2(x ≥1)， f (x )*g (x )＝其最大值为1. 答案：1[典例] (2012·天津高考)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则 实数k 的取值范围是________．[解析] 因为函数y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，所以函数y ＝kx －2的图象恒过点(0，－2)，根据图象易知，两个函数图象有两个交点时，0<k <1或1<k <4.[答案] (0,1)∪(1,4)[题后悟道] 所谓数形结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．解答本题利用了数形结合思想，本题首先作出y＝|x2－1|x－1的图象，然后利用图象直观确定直线y＝kx－2的位置．作图时应注意不包括B、C两点，而函数y＝kx－2的图象恒过定点A(0，－2)，直线绕A点可以转动，直线过B、C两点是关键点．针对训练1．(2012·长春第二次调研)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x <2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)解析：选D 因为方程f (x )－a ＝0的根，即是直线x ＝a 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －1|，x <2，3x －1，x ≥2的图象交点的横坐标，画出函数图象进行观察可以得知，a 的取值范围是(0,1)．1．函数f (x )＝2x 3的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称 解析：选D 显然函数f (x )＝2x 3是一个奇函数，所以其图象关于原点对称．2．函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图象大致是( )解析：选B 当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.3．(2012·北京海淀二模)为了得到函数y ＝12log 2(x －1)的图象，可将函数y ＝log 2x 的图象上所有的点的( )A．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度解析：选A本题考查图象的平移和伸缩．将y＝log2x的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，得y＝12log2x的图象，再将y＝12log2x的图象向右平移1个单位长度即可．4．(2011·陕西高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()解析：选B表达式“f(x)＝f(－x)”，说明函数是偶函数，表达式“f(x＋2)＝f(x)”，说明函数的周期是2，再结合选项图象不难看出正确选项为B.5．(2012·济南模拟)函数y＝lg 1|x＋1|的大致图象为()解析：选D由题知该函数的图象是由函数y＝－lg|x|的图象左移一个单位得到的，故其图象为选项D中的图象．6．(2011·天津高考)对实数a和b，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－2∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，32 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－2∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－34 C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞ 解析：选B由题意可知f (x )＝错误! ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32作出图象，由图象可知y ＝f (x )与y ＝c 有两个交点时，c ≤－2或－1<c <－34， 即函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点时实数c 的取值范围是(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－34. 7.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________．解析：当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义， 由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]． 答案：(2,8]8．函数f (x )＝x ＋1x 图象的对称中心为________．解析：f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，把函数y ＝1x 的图象向上平移1个单位，即得函数f (x )的图象．由y ＝1x 的对称中心为(0,0)，可得平移后的f (x )图象的对称中心为(0,1)．答案：(0,1)9．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1. ∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1，∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14. 答案：f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0 10．已知函数f (x )＝错误! (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．解：(1)函数f(x)的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.11．若直线y＝2a与函数y＝|a x－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，求a的取值范围．解：当0＜a＜1时，y＝|a x－1|的图象如图1所示，由已知得0＜2a＜1，即0＜a＜12.当a＞1时，y＝|a x－1|的图象如图2所示，由已知可得0＜2a＜1，即0＜a ＜12，但a ＞1，故a ∈∅. 综上可知，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12. 12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ，且g (x )＝x ＋a ＋1x ≥6，x ∈(0,2]．∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7，故a 的取值范围为[7，＋∞)．1.(2013·威海质检)函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，下列说法正确的是( )①函数y ＝f (x )满足f (－x )＝－f (x )；②函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x )；③函数y ＝f (x )满足f (－x )＝f (x )；④函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )．A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析：选C 由图象可知，函数f (x )为奇函数且关于直线x ＝1对称，所以f (1＋x )＝f (1－x )，所以f [1＋(x ＋1)]＝f [1－(x ＋1)]，即f (x ＋2)＝f (－x )．故①②正确．2．若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与函数f (x )的值域相同，则称变换T 是函数f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中变换T 不属于函数f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，变换T 将函数f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )＝2x －1－1，变换T 将函数f (x )的图象关于x轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，变换T 将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，变换T 将函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称解析：选B 对于A ，与f (x )＝(x －1)2的图象关于y 轴对称的图象对应的函数解析式为g (x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2，易知两者的值域都为[0，＋∞)；对于B ，函数f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，与函数f (x )的图象关于x 轴对称的图象对应的函数解析式为g (x )＝－2x －1＋1，其值域为(－∞，1)；对于C ，与f (x )＝2x ＋3的图象关于点(－1,1)对称的图象对应的函数解析式为2－g (x )＝2(－2－x )＋3，即g (x )＝2x ＋3，易知值域相同；对于D ，与f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3的图象关于点(－1,0)对称的图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3＋2，其值域为[－1,1]，易知两函数的值域相同．3．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式．解：(1)证明：设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f(2＋(2－x0))＝f(2－(2－x0))＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图象上，所以函数y ＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．(2)因为当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，所以f(－x)＝－2x－1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7.而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].1．设D ＝{(x ，y )|(x －y )(x ＋y )≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t (t ∈[－1,1])之间的部分的面积”为S ，则函数S ＝f (t )的图象的大致形状为()解析：选C 如图平面区域D为阴影部分，当t ＝－1时，S ＝0，排除D ；当t ＝－12时，S >14S max ，排除A 、B.2．(2012·深圳模拟)已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；③f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)解析：①错误，①即为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>1，在(0,1)上不恒成立；由题图知，0<x 1<x 2<1时，f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，②正确；图象是上凸的，③正确．答案：②③。
反比例函数的图象与性质
§11.2 反比函数的图像与性质（1）教学目标：1.类比画一次函数图象的方法，用描点法画出反比例函数的图象；2.利用反比例函数的图象得到其基本特征，认识表达式、列表、图象是相互印证、和谐统一的；3.在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“分类讨论”“数形结合”以及“从特殊到一般”的数学思想.一、学习导入复习提问（1）大家以前还学过哪些函数？研究这些函数时，我们是从哪几个方面入手的？（2）我们已经学习了反比例函数的定义，接下来还应研究它哪方面的知识呢？（3）回顾用描点法画出一次函数图象的步骤：列表、描点、连线设计意图：结合复习研究函数的一般方法，引出本节课的学习内容。
让学生类比这一过程去探究反比例函数的图象和性质，为学习反比例函数的图象和性质作好铺垫．二、探究新知【探究一】 利用手中的网格纸，画出反比例函数xy 6 的图象． 师生活动：（1）学生独立操作，用“描点”法画函数图象，教师巡视，收集并展示学生画出的典型图象．（2）针对所展示的作图里出现的问题，让学生互相完善和补充。
教师适时提问：选取自变量的值时，要注意什么？连线时要注意什么？图象延伸的趋势是怎样的？为什么？教师引导学生思考和回答。
（3）教师小结作图的注意事项，并通过课件演示作图规范。
设计意图：图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用“描点”法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数的性质有一个初步的、整体的感性认识。
列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即x ≠0）。
同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象的特征；连线时按照自变量从小到大的顺序顺次连接各点，注意图象末端的延伸和延伸的趋势，得到反比例函数的图象。
根据学生作图容易出现图象末端延伸趋势有误的问题，结合作图实例的对比，有针对性的引导学生从解析式的分析入手，让学生先进行“数”（ x ≠0，y ≠0，k ≠0）或“式”（解析式中x ，y 的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形”（图象）的认识。
用几何画板做动态函数图像的步骤
用几何画板做动态函数图像的步骤一、两点说明：1．本文适用软件为几何画板3.05板本。
2．如果需要选择两个以上对象，用选择工具时要同时按住SHIFT键。
3．如果没有特别说明，单击、双击都是指用鼠标左键。
4．单击、双击后面的词如无特别说明都是指菜单及菜单中的内容，文中省去了引号。
二、几个函数图象的作法1．正比例函数（1）作可变系数k：①单击图表中的建立坐标系，屏幕上出现平面直角坐标系；②选择x轴（用选择工具单击x轴）后单击作图中的对象上的点，此时x轴上出现一个点并且是被选择状态；③同时选择x轴和x轴上的这个点后单击作图中的垂线，屏幕上出现x轴的一条垂线；④选择这条垂线后单击作图中的对象上的点，选择这个点后单击度量中的坐标，屏幕上出现了这个点的坐标，双击这个点的坐标（或者单击度量菜单中的计算）后屏幕上出现了一个计算器，单击计算器上的数值中的点Y，计算器的屏幕上出现这个点的纵坐标，单击计算器上的确定后屏幕上出现了这个点的纵坐标；⑤用文本工具双击上面所得的纵坐标弹出度量值格式对话框，点文本格式后从键盘上输入k，单击确定后屏幕上点的纵坐标变为k=…，用选择工具拖动x轴垂线的上点可以看到k值的变化。
（2）计算函数值：①选择x轴后单击作图中的对象上的点作出x轴上的一个动点，选择这个点后单击度量中的坐标，屏幕上出现这个点的坐标，双击这个坐标弹出计算器，单击计算器上的数值中的点x，单击计算器上的确定，屏幕上出现这个点的横坐标，用（1）⑤的方法把它改为x=…；②用选择工具双击屏幕上的纵坐标（或者单击度量菜单中的计算）后屏幕上出现了一个计算器，依次单击屏幕上的k=…（省略号是数值），计算器上的乘号，电脑屏幕上的x=…后屏幕上出现kx=…。
（3）描点作图：①依次选择屏幕上的x=…，kx=…，单击图表菜单中的P绘出（x,y）,屏幕上出现以x 为横坐标，以kx为纵坐标的点；②同时选择这个点和x轴上与它对应的点，单击显示菜单中的追踪点，单击作图中的轨迹，屏幕上出现了函数的图象。
函数图像的画法
04 利用计算器或软件绘制函 数图像
使用计算器绘制函数图像
确定函数表达式
首先需要确定要绘制的函数表达式， 例如 y = x^2。
选择计算器功能
在计算器上找到绘制函数图像的功能， 通常在科学计算器上会有专门的图形 功能键。
输入函数表达式
将函数表达式输入到计算器的相应位 置。
开始绘图
按下绘图功能键，计算器会自动绘制 出该函数的图像。
函数图像的画法
contents
目录
• 函数图像的基本概念 • 常见函数的图像画法 • 函数图像的变换 • 利用计算器或软件绘制函数图像 • 函数图像的应用
01 函数图像的基本概念
函数图像的定义
函数图像
函数图像是将函数的每一个自变 量x值与对应的因变量y值，用点 表示出来，并将这些点用线连接 起来形成的图形。
二次函数的图像
总结词
抛物线形状
详细描述
二次函数图像是抛物线。根据抛物线的开口方向和顶点位置，二次函数可以分为开口向上、向下、向左和向右四 种类型。在直角坐标系中，二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。
三角函数的图像
总结词
周期性波形
详细描述
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
缺点
需要一定的编程基础，对于初学者来说可能需要一定的学习 成本。另外，软件绘图可能需要较长时间才能掌握其各种功 能和操作技巧。
05 函数图像的应用
在数学中的应用
解析几何
函数图像可以用来表示解析几何中的曲线、曲面等，帮助理解几 何概念和性质。
微积分
函数图像在微积分中用于描述函数的单调性、极值、拐点等，有助 于理解函数的性质和变化规律。
初中数学网格作图
13．（11·清远）△ABC 在方格纸中的位置如图5所示，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位．（1）△A 1B 1C 1与△ABC 关于纵轴 (y 轴) 对称，请你在图5中画出△A 1B 1C 1； （2）将△ABC 向下平移8个单位后得到△A 2B 2C 2，请你在图5中画出△A 2B 2C 2．14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,5),(4,3)A B --， C (1,1)-.（1）作出△ABC 向右平移5个单位的△111A B C ；（2）作出△ABC 关于x 轴对称的△222A B C ，并写出点2C 的坐标.15如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形.（1）将△ABC向右平移3个单位长度，画出平移后的△A1B1C1.（2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2.（3）画出一条直线将△AC1A2的面积分成相等的两部分.16.（本题满分7分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（-7，1），B（1，1），C（1，7）.线段DE的端点坐标是D（7，-1），E（-1，-7）.（1）试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；（3）画出（2）中的△DEF，并和△ABC同时绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形.17、（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0,1），B（-1,1），C（-1,3）。
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点C2的坐标；，2（3）将△A2B2C2平移得到△A3B3C3，使点A2的对应点是A3，点B2的对应点是B3，点C2的对应点是C3（4，-1），在坐标系中画出△A3B3C3，并写出点A3，B3的坐标。
2019年中考数学题型专项训练(四)网格作图
题型专项(四) 网格作图网格作图题是对图形变换的综合考查，在网格中可以同时考查平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换．此类题目属于图形的操作问题，在网格中进行图形变换的操作时，图形的每一个顶点都是关键点，可以将图形的变换操作转化为点的变换操作．此类题目属中档题，难度不大，复习时注意练习即可．1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(1，1)，C(5，1)．(1)把△ABC平移后，其中点A移到点A1(4，5)，画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2.解：(1)、(2)如图．2．(2018·昆明五华区二模)如图所示，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A(－1，5)，B(－4，2)，C(－2，2)．(1)平移△ABC，使点B移到B1(1，1)，画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2.解：(1)△A1B1C1如图所示，A1(4，4)，C1(3，1)．(2)△A2B2C2如图所示．3．(2018·曲靖罗平县三模)在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形(每个小方格的顶点叫格点)．(1)在图1中，图①经过一次平移变换(填“平移”或“旋转”或“轴对称”)可以得到图②；(2)在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A(填“A”“B”或“C”)；(3)在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④.解：如图．4．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 三个顶点都在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别为A(－1，3)，B(－3，1)，C(－1，1)．请解答下列问题：(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标；(2)画出△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 1，并求出点A 1走过的路径长．解：(1)如图，B 1(3，1)．(2)如图，A 1走过的路径长为90×π×2180＝π. 5．(2018·昆明八校联考模拟)△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示(坐标系内正方形的单位长度为1)．(1)在网格内画出△ABC 以点O 为位似中心的位似图形△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1和△ABC 的位似比为2∶1，且△A 1B 1C 1位于y 轴左侧；(2)分别写出A 1，B 1，C 1三个点的坐标：A 1(－3，－7)，B 1(－1，－1)，C 1(－7，－1)；(3)△A 1B 1C 1的面积为18．解：△A 1B 1C 1如图所示．6．(2018·云南模拟)如图，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，且B 点的坐标为(4，2)．(1)画出△OAB 向下平移3个单位长度后的△O 1A 1B 1；(2)画出△OAB 绕点O 逆时针旋转90°后的△OA 2B 2；(3)求点B 旋转到点B 2所经过的路线长．(结果保留根号和π)解：(1)如图，△O 1A 1B 1 为所求．(2)如图，△OA 2B 2为所求．(3)在Rt △AOB 中，OA ＝4，AB ＝2，∴由勾股定理，得OB ＝22＋42＝2 5.所以点B 旋转到点B 2所经过的路线长为90·π·25180＝5π.7．(2018·玉溪模拟)在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，△ABC 的三个顶点都在格点上，点B 的坐标(1，1)．请解答下列问题：(1)画出△ABC 向左平移5个单位长度后的△A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标；(2)将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°，画出旋转后的△A 2BC 2，并求出BA 所扫过的面积．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示，A 1(－1，4)．(2)△A 2BC 2如图所示，∵BA ＝32＋32＝32，∴BA 扫过的面积为90·π·（32）2360＝9π2.8．(2018·南宁)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，1)，C(3，3)．(1)将△ABC 向下平移5个单位长度后得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2；(3)判断以O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状．(无须说明理由)解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．(3)△OA 1B 的形状为等腰直角三角形．。
数学中的函数图像的绘制与应用
数学中的函数图像的绘制与应用在数学中，函数是一个非常重要的概念。
而函数图像则是对函数进行可视化的一种方式，它可以让我们更加直观地理解函数的特征和性质。
本文将探讨函数图像的绘制方法、常见的函数图像形态及其应用。
一、函数图像的绘制方法函数图像绘制是一种基于函数的可视化表示方法。
为了绘制函数图像，我们需要先确定要绘制的函数。
这样才能在坐标系内绘制出函数的图像。
下面将介绍如何在笛卡尔坐标系中绘制常见的函数图像。
1. 直线函数的图像绘制直线函数方程为y=kx+b（其中k、b为常数），其图像通常是一条斜率为k，截距为b的直线。
这里以y=2x+1为例，绘制其函数图像的步骤如下：（1）构建坐标系：在纸上画一个直角坐标系。
（2）确定坐标：通过设定变量的值进行逐一计算；或设置x轴和y轴的单位间隔，根据方程中的值确定函数图像上的点坐标。
（3）依据坐标绘图：在坐标系中依照前面计算出来的坐标，描绘出直线。
2. 幂函数的图像绘制幂函数的方程通常具有以下形式：y=x^n（其中n为常数）。
幂函数的图像形态与其幂指数的正负有关。
当幂指数为正数时，函数的图像呈现出向上的凸形状；当幂指数为负数时，函数的图像则呈现出向下的凹形状。
以y=x^2为例，绘制其函数图像的步骤如下：（1）构建坐标系：在纸上画一个直角坐标系。
（2）确定坐标：通过设定变量的值进行逐一计算；或设置x轴和y轴的单位间隔，根据方程中的值确定函数图像上的点坐标。
（3）依据坐标绘图：在坐标系中依照计算出来的坐标，连结相邻的点形成一条曲线。
由于幂函数的曲线通常比较平滑，因此绘制时需要分段绘制（例如x<0部分，x=0的位置，x>0部分等），并且需要足够细致。
3. 三角函数的图像绘制三角函数具有周期性的特点，也就意味着可以将函数图像沿周期区间翻折并重叠，以此来推出整个函数图像的形态。
以下以正弦函数y=sin(x)为例，绘制其函数图像的步骤如下：（1）构建坐标系：在纸上画一个直角坐标系。
函数描点法作图
1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换()11101a a a ay f x ><<−−−−−−−−−−−−−→，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变①＝y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． 【知识拓展】1．函数对称的重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．。
第三章 网格作图(1)
第三章网格作图网格作图的特点：仅利用无刻度直尺，利用格点来作图，所以在网格中作图时一定要体现出过的格点．基本知识一、网格中作平行图1 图2图1中虚线线段均与线段AB平行，仔细观察，可发现线段AB长宽比为3∶1的矩形对角线，故想要作出与AB线段平行的线，必然也要使得作出的线段是长宽比为3∶1的矩形对角线，所以图1、图2均满足要求，即都与AB平行．二、网格中作垂直图1图1中虚线线段均与线段AB垂直，仔细观察，可发现线段AB长宽比为3∶1的矩形对角线，故想要作出与AB线段垂直的线，必然也要使得作出的线段是长宽比为3∶1的矩形对角线．【与平行的区别在于一个竖方向，一个横方向】三、网格中作垂直平分线在网格中垂直平分线的做法，利用垂直平分线性质逆定理，首先需要找到线段A、B两点距离相等的格点，图1中的C、D、E均满足到A、B距离相等，故连接CE（或者ED或者CD均可）．此方法也适用于在网格中作线段中点，如图2图1 图2四、网格中等分线段以作三等分为例，在下列网格中，在线段AB上找一点P，使得BP=2AP．此类作图可利用相似的性质来解决，以下示范3种作法作法一 作法二 作法三五、网格中作相似三角形请分别在图1、2中作出一个△DEF ，使得△DEF 与△ABC 相似（图1和图2中的两个三角形不全等）图1 图2 【解析】在网格图中，三角形的任意一条边均可计算出来，所以常规来说只需计算出每条边，同比放大或缩小即可！本题有个特殊角，即∠ABC =135°，所以先找到135°，该角两边同倍缩小或放大即可！（图1缩小为原来的12，即相似比为1∶2；图2似比为1例题讲解例题1、已知在下列边长为1的网格图中，用3种不同的方法作一个直角三角形，使得该直角三角形面积为8．作法一 作法二 作法三【解析】由题意可知，直角边乘积为16，若均为整数，则有1×16，2×8，4×4；若均为无理；也可以从比例去解决，下面分别以上三中思路各作一个三角形．例题2、如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．已知△ABC 中，AB ，AC BC =6．（1）请你在所给的网格中画出格点△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1与△ABC 相似（画出一个即可，不需证明）；（2）试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）．【解析】（1）先画个与△ABC 全等的三角形（如图1），再以∠B 为公共角，将∠B 的边缩小一半即可（如图1）图1 图2（2）因为ABCDNMS S ∆∆=相似比2，故只需使得相似比最大即可，我们找最长边AC格中最长边为对角线，MN=，由此ND DM AB BC =所以可计算出DNDM2中点D 即为关键点，连接DM 、DN 即可．例题3、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均在格点上．（1）AB 的长等于 ；（2）在△ABC 的内部有一点P ，满足S △P AB ∶S △PBC ∶S △PCA =1∶2∶3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）．【解析】（1）AB（2）方法一：关注到S △P AB +S △PBC =S △PCA ，可得到S △PCA =12S △ABC ．如图1，找到AB 中点D ，过点D 作AC 平行线，交BC 与点E ，所以点P 必然在线段DE 上．在网格中找到一点M ，使得点C 到MB 的距离与点A 到MB 的距离之比为1∶2．如图2，点Q 为AC 三等分点，连接BO ，与线段DE 交点即为点P ．方法二：发现AC边上本身就存在点D、E使得AD:EC:DE=1∶2∶3，先作出如下图形，接着利用平行，将△ADB和△BEC面积转化．过点B作AC平行线，与l1交于点H，与l2交于点G，连接EG、DH，易证EG∥BC，DH ∥AB，所以EG与DH交点即为点P．2、请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P 向线段AB引平行线．解：如图所示，PQ即为所求．4、如图，方格图中每个小格的边长为1，仅用直尺过点C画线段CD，使CD∥AB，D是格点，过C作AB的垂线CH，垂足为H．连结BC、AD．（1）试猜想：线段BC与线段AD的关系为；（2）请计算：四边形ABCD的面积为；（3）若线段AB的长为m，则线段CH长度为．（用含m的代数式表示）解：（1）∵AD ＝BC ==BC ∥AD 且BC ＝AD ．故答案为BC ∥AD 且BC ＝AD ；（2）S ▱ABCD ＝3×512-⨯1×212-⨯1×412-⨯1×212-⨯1×4＝15﹣1﹣2﹣1﹣2＝9．故答案为9；（3）∵AB =，S ▱ABCD ＝9m ，∴AB •CH ＝9，即CH=m 5=m ．故m ．图1 图2 图3 图47、图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角△MON ，使点N 在格点上，且∠MON =90°；（2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD ，使正方形ABCD 面积等于（1）中等腰直角△MON 面积的4倍，并将正方形ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD 面积没有剩余（画出一种即可）．图1 图2 解：（1）如图1所示：∠MON ＝90°；图1 图2 图3（2）如图2、3所示．10、如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP =217，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，所以只需连接一对角线就行）解：由勾股定理得，AB 224117=+=，所以，AP 2173=时AP ∶BP ＝2∶1．点P 如图所示．11、如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）． （1）在图中画出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的位置； （2）点M 的坐标为 ；（3）判断点D （5，—2）与OM 的位置关系． （3）判断点D （5，﹣2）与⊙M 的位置关系．解：（1）如图1，点M 就是要找的圆心；（2）圆心M 的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（3）圆的半径AM 2224=+=25．线段MD 22(52)213=-+=＜25，所以点D 在⊙M 内．12、如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A 、B 、C ． （1）画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD 、CD ． （2）请在（1）的基础上，以点0为原点、水平方向所在直线为x 轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题：①OD的半径为（结果保留根号）；②若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是；③若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：（2）①在Rt△AOD中，OA＝4，OD＝2，根据勾股定理得：AD==则⊙D的半径为②AC==CD＝AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°．扇形ADC的弧长==，圆锥的底面的半径=；③直线EC与⊙D的位置关系为相切，理由为：在Rt△CEF中，CF＝2，EF＝1，根据勾股定理得：CE==在△CDE中，CD＝CE=DE＝5，∵CE2+CD2＝（）2+（2＝5+20＝25，DE2＝25，∴CE2+CD2＝DE2，∴△CDE为直角三角形，即∠DCE＝90°，则CE与圆D相一、构造直角例题1、网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin A= ．【解析】如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB＝AC＝BC＝，AD ＝ABC 是等腰三角形，由面积相等可得，12BC •AD 12=AB •CE ， 即CE 5==，sinA 35CE AC ===，故答案为35．【总结】由于格点三角形各边都可求，所以利用解直角三角形即可求出各个内角的三角函数值．二、角度转换例题2、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．思路一：构造直角连接BE ，由四边形EDBC 为正方形可知，CD ⊥BE ，∴tan ∠APD =tan ∠BPF =BFPF，设小正，可得BF =1，CD =2，由△ACP ∽△BDP ，且相似比为3∶1可得PCDP=3， ∴PC CD =34，∴PC =33242⨯=，∴PF =PC —CF =12， ∴tan ∠BPF 1=212=．思路二∶角度转换连接BE ，可知BE ∥CD ，∴∠APD =∠BPF =∠ABE ，连接AE ，AE 和BE 均为正方形对角线，易得AE ⊥BE ，tan ∠ABE =2AEBE=．例题3、在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于【答案】3 【解析】转化思路一：到格点三角形内，再用例题1的方法（此方法构造情况较多，解法较暴力，在此不一一列举，以下给出三种转化法）转化思路二：思路一的情况下，存在转化出的格点三角形恰好为直角三角形，这类方法最巧妙，但需要学生有较强的观察能力！直角构造思路三：通过连接某些辅助线，构造出直角后直接在直角三角形内求解．2、如图，在4x 5的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则tan ∠ABC = ；sin ∠ACB = ．【解析】找到与A 构成小正方形对角线的格点D 、E ，连接CD ，AE ，EB ，AC 与EB 交于点F ．由网格特点和正方形的性质可知，∠BAE ＝90°，根据勾股定理得，AE =AB ＝，DB ，DC BE ===，则tan ∠ABC 3DCDB==，又BE ⊥AC ，易得△AEF ∽△BAF ，故13AE EF AF AB AF BF ===，∴19EF BF =，∴BF =910⨯sin ∠ACB=BF BC ===，故答案为3．3、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则APPB的值＝ ，tan ∠APD 的值＝ ．【解析】∵四边形BCED 是正方形，∴DB ∥AC ，∴△DBP ∽△CAP ，∴AP ACPB DB==3， 连接BE ，∵四边形BCED 是正方形，∴DF ＝CF 12=CD ，BF 12=BE ，CD ＝BE ，BE ⊥CD ，∴BF ＝CF ，根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP ＝BD ：AC ＝1：3，∴DP ：DF ＝1：2，∴DP ＝PF 12=CF 12=BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BPF BF PF ==2，∵∠APD ＝∠BPF ，∴tan ∠APD ＝2，故答案为3，2．5、如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O ）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是 ．【解析】如图，连接EA ，EC ，设菱形的边长为a ，由题意得∠AEF ＝30°，∠BEF ＝60°，AE =，EB ＝2a ，∴∠AEC ＝90°，∵∠ACE ＝∠ACG ＝∠BCG ＝60°， ∴E 、C 、B 共线，在Rt △AEB 中，tan ∠ABC AE BE ===6、如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD ，则tan ∠DBC 的值为 ．【解析】如图，连接AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO 12=BD ，CO 12=AC ，由勾股定理得，AC ==，BD ==BO 122==，CO 12=⨯2=tan ∠DBC CO BO ===3．故案为3．7、如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，点A 、B 、C 、D 都在网格的格点上，AC 、BD 相交于点O ．图1 图2 图3 图4 （一）探索发现（1）如图1，当AB ＝2时，连接AD ，则∠ADO ＝90°，BO ＝2DO ，AD =BO 23=tan ∠AOD ＝ ．如图2，当AB ＝3时，画AH ⊥BD 交BD 的延长线于H ，则AH 32=BO ＝ ，tan ∠AOD ＝ ．如图3，当AB ＝4时，tan ∠AOD ＝ ．（2）猜想：当AB ＝n （n ＞0）时，tan ∠AOD ＝ ．（结果用含n 的代数式表示），请证明你的猜想． （二）解决问题（3）如图，两个正方形的一边CD 、CG 在同一直线上，连接CF 、DE 相交于点O，若tan ∠COE 1713=，求正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长之比． 解∶（一）探索发现（1）如图1，当AB ＝2时，∵BO ＝2DO ，BO 23=∴OD =又∵∠ADO ＝90°，AD =tan ∠AOD 3ADOD===3，即tan ∠AOD ＝3． 如图2，设DCBE 为正方形，连接CE ，交BD 于F ．∵四边形BCDE 是正方形， ∴DF ＝CF ＝BF 12=BD 12=CE ，BD ⊥CE ．根据题意得∶AB ∥DC ，∴△AOB ∽△COD ， ∴DO ∶BO ＝CD ∶AB ．当AB ＝3时，DO ∶BO ＝1∶3，∴BO 4=．∵S △ABD 12=BD •AH 12=AB •ED ，∴BD •AH ＝AB •ED ，∴AH 2AB ED BD ⋅===，DO ∶BO ＝CD ∶AB ＝1∶3，∴DO ∶DF ＝1∶2，∴OF ∶DF ＝1∶2，即OF ∶CF ＝1∶2．在Rt △OCF 中，tan ∠COF CFOF==2，∵∠AOD ＝∠COF ，∴tan ∠AOD ＝2；如图3，当AB ＝4时，DO ∶BO ＝CD ∶AB ＝1∶4，∴DO ∶DF ＝1∶2．5＝2∶5，∴OF ∶DF ＝3∶5，即OF ∶CF ＝3∶5．在Rt △OCF 中，tan ∠COF 53CF OF ==，∵∠AOD ＝∠COF ，∴tan ∠AOD 53=；故答案是32；53；（2）猜想∶当AB ＝n （n ＞0）时，tan ∠AOD 11n n +=-（结果用含n 的代数式表示）． 证明∶过点A 作AH ⊥BH 于点H ，则AH ＝BH 2=n ．∵AB ∥OD ，∴△AOB ∽△COD ， ∴1OB AB nOD CD ==，∴OB 1n =+．∴OH ＝BH ﹣OB 2=n 1n -+．∴tan ∠AOD 11AHn HDn +===-；故答案是11n n +-； （二）解决问题（3）解：如图4，过点D作DH⊥CF于点H，则tan∠DOHDHHO=．∵∠DOH＝∠COE，∴tan∠DOH1713=，又由（一）结论得：117113nn+=-，∴n152=，∴正方形ABCD和正方形CEFG的边长之比为152．图1 图2 图3 图4。
用几何画板绘制函数图象的基本技法
用几何画板绘制函数图象的基本技法李善佳（韶关学院数学与信息科学学院）（4）单击“度量”菜单下“计算”，计算214E x ； 21图2三、参数法例3 绘制二次函数y=-x 2+2x+3的图象. 操作步骤：例4 画函数223(1),1()4,1312,33x x r x x x x x ⎪--<⎪=-≤<⎨⎪⎪-≥⎩，，的图象。
操作步骤：（1）单击“图表”菜单下“新建参数”a=1，b=3（设定区间分界点）； （2）单击“图表”菜单下“新建函数”f(x)=3-(x-1)2，g(x)=4-x ，h(x)=2123x -； （3）单击“图表”菜单下“绘制新函数”1sgn()1sgn(()())1sgn()()()()()()()()222a x x ab x x b r x f x g x h x +-+--+-=⋅+⋅+⋅（如图4）.()h x =. 因此，最后画出的只是区间[a,b]上的图象.五、变换法 1. 平移一个平移就是一个向量，对于函数图象的平移，采取“标记向量”较为简单. 例7 绘制与214y x =，x ∈[-2,3]图象相同，而位置可任意改变的函数图象. 操作步骤：（1）用轨迹法绘制214y x =，x ∈[-2,3]图象（同例2）； （2）用“点工具”任作两个点A 、B ；JJ1（21091117）·中数高中第12期发稿·杜安利说明：拖动点A 或点B ，就可以把图象按向量AB 任意平移. 2. 反射 例8 绘制与214y x =，x ∈[-2,3]图象关于任意直线对称的图象.3. 旋转 例9 绘制与214y x =，x ∈[-2,3]图象绕任意点旋转任意角度的图象. 操作步骤：（1）用轨迹法绘制214y x =，x ∈[-2,3]图象（例2）； （2）用“点工具”任作点A ，选中点A ，单击“变换”菜单下“标记中心”； （3）单击“图表”菜单下“新建参数”，设置参数t ，单位设置为“弧度”，选中t ，单击“变换”菜单下“标记角度”；（4）选中点F ，单击“变换”菜单下“旋转”，在“旋转参数”中选择“标记角度”，按“确定”得到点'F ；（5）选中点E 与'F ，单击“构造”菜单下“轨迹”，得到原函数图象绕点A 旋转t 角度的图象（如图9）.。
26.1.2 反比例函数的图象和性质人教版教案设计
《反比例函数的图象与性质》教学设计教学环节（二）师生活动类比探究1.例2 画出反比例函数6yx与12yx的图象。
（我们用什么方法画反比例函数的图象呢？有哪些步骤？）分析：所要画的图象是反比例函数的图象，自变量的取值范围是x≠0，怎样取值比较恰当呢？x…-12-6-4-3-2-11236yx…-1.5-26212yx…-1-2-4-6124观察反比例函数6yx与的图象，回答下列问题：(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化?你能由他们的解析式说明理由吗？(3)对于反比例函数(0)ky kx,考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？2.画一画：回顾我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(0)ky kx的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(0)ky kx的图象和性质吗？请你借鉴画反比例函数6yx的图象的经验，在同一平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并说一说该函数图象的特征。
3.想一想：反比例函数6yx与6yx的图象有什么共同特点？有什么不同点？不同点由什么决定？他们有什么联系？12yx6yx教学环节（四）师生活动基础闯关1.反比例函数5yx的图象大致是（）2.已知反比例函数4kyx若函数的图象位于第一三象限，则k_____________;若在每一象限内，y随x增大而增大,请写出一个符合条件的k的值：4.画出函数4yx的图象：(1)列表(填空)：(2)描点连线：(3)由图象可知，函数4yx也由条曲线组成，分别位于第象限，试猜想：3yx的图象位于第象限.x…-8 -5 -4 -2 -1 1 2 4 5 8 …y……设计意图检验学生对本课知识的掌握及应用情况。
通过练习，既培养学生思维的敏捷性，又激发学生的参与和竞争意识.在回答过程中，教师给予适当评讲，并积极调动学生的参与热情，让整个课堂充满活跃的气氛.教学环节（五）师生活动中考链接1.已知k<0,则函数12,ky kx yx在同一坐标系中的图象大致是( )思考：把条件“k<0”改为“k≠0”结果还是一样吗？2.已知反比例函数)0≠(kxky－=的图象在第二、四象限，那么一次函数y=kx-k的图象经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.函数kyx与)0≠(2kkkxy－=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）4.(2017江西)如图，直线)0≠(11kxky=与双曲线2(0)ky xx相交于点P(2,4).已知点A(4,0),B(0,3)，连接AB，将AOBRt△沿OP 方向平移，使点O移动到点P，得到''PBA△ .过点A'作'A C y轴交双曲线于点C。
函数的表示方法及图像画法
三、练习题：
•1、画出一次函数g(x)=2x-1的图像. •2、画出函数h(x)=1的图像. •3、画出函数k(x)=|x|的图像. •4、用列表法给出如下函数f(x)，画出它的图像。
x
0
1
2
3
f(x) -1
1
3
5
CHENLI
29
直线上，则点P的坐标是 (4,2) ；
(2)点P(a,－b)关于x轴对称点的坐标
是 (a,b) ；
(3)点P(2-a,3a+6)到两坐标轴的距离相
等，则点P的坐标是 (3,3)或(6,-6)；
(4)点A（a+2，-1），B（-3 ,b）关于y轴对 称,则a=_1__,b=__-_1_。
CHENLI
13
CHENLI
3
函数的表示方法
CHENLI
4
二．例题讲解：
例1 ． 某市“招手即停”公共汽车的票价按 下列规则制定：
（1） 5公里以内（含5公里），票价2元；
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加 1元（不足5公里按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题 意，写出票价与里程之间的函数解析式，并 画出函数的图象．
CHENLI
15
练一练
画出函数y=x+0.5的图象
解:列表: x -3 -2 -1 0 1 2 3
y - -1.5 - 0.5 1.5 2.5 3.5
2.5
0.5
描点,并画图
y
y=x+0.5
3 2
1
-3
-2
-1 -1
o
1
2
3
-2 -3CHENLI
x