最新2.12导数的应用(一)汇总

2.12导数的应用(一)

第十二节导数的应用(Ⅰ)

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合] 1．函数的单调性与导数

[探究] 1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？

提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，

f′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．

2．函数的极值与导数

(1)函数的极小值：

若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．

(2)函数的极大值：

若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．

[探究] 2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？

提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件．

3．函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：

一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤为 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；

②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

[探究] 3.函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？

提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间[a ，b ]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，0]

D ．(0，＋∞)

解析：选D ∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1， 由f ′(x )>0，得e x －1>0，即x >0.

2．(教材习题改编)函数f (x )＝1

3x 3－4x ＋4有( )

A ．极大值283，极小值4

3

B ．极大值－43，极小值28

3

C ．极大值43，极小值－28

3

D ．极大值283，极小值－4

3

解析：选D ∵f (x )＝1

3x 3－4x ＋4，

∴f ′(x )＝x 2－4，令f ′(x )＝0，则x ＝±2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x ) >0.

∴f(x)极大值＝f(－2)＝28

3，f(x)极小值＝f(2)＝－4

3.

3．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()

解析：选D当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．

4．(教材习题改编)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________．

解析：由题意，得f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．由于f(－1)＝－2，f(1)＝0，f(0)＝2，故f(x)在[－1,1]上的最大值为2.

答案：2

5．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m . 又∵f (x )在R 上是单调函数， ∴Δ＝4－12 m ≤0，即m ≥1

3

答案：⎣⎡⎭

⎫1

3，＋∞

[例1] (2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ax ＋x ln x ，且图象在点⎝⎛⎭

⎫1

e ，

f ⎝⎛⎭⎫1e 处的切线斜率

为1(e 为自然对数的底数)．

(1)求实数a 的值；

(2)设g (x )＝f (x )－x x －1

，求g (x )的单调区间；

(3)当m >n >1(m ，n ∈Z )时，证明：

m

n n m >n m .

[自主解答] (1)f (x )＝ax ＋x ln x ，f ′(x )＝a ＋1＋ln x ， 依题意f ′⎝⎛⎭⎫

1e ＝a ＝1，所以a ＝1. (2)因为g (x )＝f (x )－x x －1＝x ln x x －1，

所以g ′(x )＝x －1－ln x

(x －1)2

.

设φ(x )＝x －1－ln x ，则φ′(x )＝1－1

x .

当x >1时，φ′(x )＝1－1

x >0，φ(x )是增函数，

对∀x >1，φ(x )>φ(1)＝0，即当x >1时，g ′(x )>0， 故g (x )在(1，＋∞)上为增函数；

当0

x <0，φ(x )是减函数，

对∀x ∈(0,1)，φ(x )>φ(1)＝0，即当00，故g (x )在(0,1)上为增函数． 所以g (x )的单调递增区间为(0,1)，(1，＋∞)．

(3)要证

m

n n m >n m ，即证ln n m －ln m n >ln n －ln m ， 即n －1n ln m >m －1m ln n ，m ln m m －1>n ln n n －1

.(*)

因为m >n >1，由(2)知，g (m )>g (n )，故(*)式成立，所以

m

n n m >n

m .