实数的运算一对一辅导讲义
1对1讲义实数
学海教育一对一个性化辅导讲义学员姓名 朱文洁 学校 十五中 年级及科目七年级数学教师Wang longbiao课 题 实数授课时间：18:30----20:30教学目标教学内容【基础知识梳理】 1、无理数（1）概念：无限不循环小数的小数叫做无理数它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π（2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例1.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个A 2B 3C 4D 5例2.下列说法中，正确的是（ ） A ．数轴上的点都表示有理数 B ．用根号表示的数不一定都是无理数C ．1/27 的立方根是±1/3D ．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数变式训练1、下列说法正确的是（ ） A ．4的平方根是2B ．38是无理数C ．实数和数轴上的点一一对应D ．无限小数都是无理数2、若|a |=2．那么实数a 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．0【实数】（1）有理数与无理数统称为实数。
一对一讲义实数计算
龙文教育一对一讲义教师: 学生: 日期: 星期: 时段:课 题实数（一）学习目标与分析1. 公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba ba =（a ≥0，b ＞0）从右往左的运用．2. 了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四则运算．3. 灵活运用两个法则进行有关实数的四则运算．学习重点1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题。
学习方法 讲练结合法学 习 内 容 与 过 程教 师 分 析 与 批 改1．计算23475482131-+的结果是 ( )A. 2B. 0C. -3D. 3 2．化简：①1132328-+； ②125205-；③22)77()77(--+。
3．已知,32,32-=+=y x 22y xy x+-求。
学习内容与过程教师分析与批改二．选择题：11．计算：= （）（A）（B）（C）或（D）12．9的平方根是（）（A）. 3 （B）. －3 （C）. 3 （D）. 8113．用科学记数法表示0.00032，正确的是（）（A）.（B）. （C）.（D）.14．在实数π，2，，，tan45°中，有理数的个数是（）（A） 2个（B） 3个（C） 4个（D） 5个15．0.00898用科学记数法表示为（）（A） 8.98×10-3（B） 0.898×10-3（C） 8.98×10-4（D） 0.898×10-416．观察下列各题的运算①，②·，③(sin225°+sin265°－t（A）n225°·)0=1，④，⑤(－7)2=14，⑥|4－7|=7－4其中算对的有（）（A）③⑤（B）②⑥（C）③④⑤⑥（D）⑤⑥。
第2讲 实数
师航教育一对一个性化辅导讲义第2讲 实数【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.重难点；数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题的形式出现，实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算，常以计算或化简题型出现．另外，命题者也会利用分析归纳总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力第2讲实数考点一 实数的分类 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分： 按与0的大小关系分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数 实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5，32等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即0a ≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：(1)运算法则、运算律有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．(2)运算顺序在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 考点二 平方根、算术平方根、立方根 1、平方根、立方根类型项目平方根 立方根被开方数 非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==2．算术平方根(1)如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记作a .零的算术平方根是零，即0＝0.(2)算术平方根都是非负数，即a ≥0(a ≥0)． (3)(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝|a |.(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)；a b ＝ab(a ≥0，b ＞0)．【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中最基本的概念之一。
简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。
有理数，大家应该都比较熟悉，像整数（包括正整数、零、负整数）和分数（包括有限小数和无限循环小数），都属于有理数。
比如5、0、－3 、1/2 、0333 等等。
而无理数，则是那些无限不循环小数。
比较典型的无理数有圆周率π（约等于 31415926）、根号 2（约等于 14142135）等等。
二、实数的性质1、实数的有序性实数是可以按照大小顺序排列的。
对于任意两个实数 a 和 b，要么a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种情况必有且仅有一种成立。
2、实数的稠密性在任意两个不同的实数之间，总是存在着无数个其他的实数。
这意味着实数在数轴上是密密麻麻分布的，没有任何空隙。
3、实数的运算性质实数具有加、减、乘、除（除数不为 0）四则运算的封闭性。
也就是说，两个实数进行四则运算，其结果仍然是实数。
例如：3 ＋ 5 ＝ 8，5 2 ＝ 3，3 × 4 ＝ 12，6 ÷ 2 ＝ 3 。
而且，实数的运算还满足交换律、结合律和分配律。
交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a ，a × b ＝ b × a 。
结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c) ，（a × b) × c ＝ a ×（b ×c) 。
分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c 。
三、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都对应着一个实数。
例如，实数 5 可以用数轴上距离原点 5 个单位长度且在正方向上的点来表示；实数－3 则可以用数轴上距离原点 3 个单位长度且在负方向上的点来表示。
四、实数的分类1、按符号分类实数可以分为正实数、零和负实数。
七年级下册实数以及实数的运算讲义
环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义年 级 ： 上 课 次 数 ：学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段教 学 内 容【基础知识网络总结与新课讲解】6.2 实 数知识点一 无理数的概念定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926…，2 1.414213=，－1.010010001…，都是无理数。
注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。
例1 332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π-----有理数{ } 无理数{ }想一想：有理数与无理数的区别？注意：判断一个数是否为无理数，不能只从形式上看，带根号的不一定是无理数，只有开方开不尽的数是无理数。
练习：下列说法正确的是（ ）A.分数是无理数B.无限小数是无理数C.不能写成分数形式的数是无理数D.不能再数轴上表示的数是无理数知识点二 实数1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类：① 按定义分类： ② 按大小分类例2.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④有理数都是实数，实数不都是有理数；⑤实数都是无理数，无理数都是实数；⑥实数的绝对值都是非负实数；⑦有理数都可以表示成分数的形式。
2. 实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a、b互为相反数。
②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。
1ab a=⇔、b互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
(完整版)实数讲义
当 时， ，例如
5、立方根的概念及性质（例8）
（1）立方根的定义：一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的立方根，也叫做 的三次方根.如 ，2叫做8的三次方根.
(2)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
（3）立方根的表示：数 的立方根用符号“ ”来表示，读作“三次根号 ”。其中， 称为被开方数，3称为根指数。
12、近似数（例15）
接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，我们把它叫做近似数.
注意：近似数产生的原因主要有两种：（1）有些需要度量的数，由于受到测量工具精度的限制，得到完全准确的数值几乎是不可能的，这就需要用和准确数尽可能接近的数来表示；（2）有时没有必要完全准确，用近似数表示就可以了.
6、开立方（例9）
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
（1）开立方是一种运算，是与加、减、乘、除、乘方一样的运算，是求立方根的过程，立方和开立方互为逆运算.
（2）由立方根的性质可知开立方的结果是唯一的.
7、无理数（例10）
（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.
（2）无理数的常见类型主要有以下3种：
（3）对于带有“文字单位”的近似数，在确定其精确到哪一位时，分为两种情况：文字单位前面是整数，如18亿，则它精确到文字单位这一位（亿位）；文字单位前面是小数，如2.61万，则先将它还原为普通数26100，此时1所在的数位（百位）就是它精确到的数位.
三、例题讲解
1、下列各数中，没有平方根的是（）
A.1 B.0 C. D.
所有带根号且被开方数是开方开不尽的数；
圆周率 及一些含有 的数；
无理数与有理数的和、差，无理数乘或除以一个不为0的有理数所得的结果.
12.6 实数的运算 讲义
第十二章 第6讲 实数的运算学习目标理解实数的运算法则、性质和顺序并能根据相关知识进行实数运算；会利用平方根意义化简根式；掌握实数的加、减、乘、除、开方、乘方的运算；能辨别精确数与近似数，并能确定近似数的精确度，能求出近似数的有效数字。
知识精要1.实数的运算法则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，有理数的运算法则和运算性质在实数范围内仍然适用。
2.实数的运算顺序：实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减。
同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的要先算括号里面的。
3.实数的运算结果：对于涉及无限小数的运算，可以根据保留几位小数的要求，取无限小数的近似值(有限小数)进行运算，将实数的运算转化为有限小数的运算，逐步接近原来的运算结果；对于涉及无理数的运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简，其结果可能是化简了的一个算式。
4.实数的运算性质： (1)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0(,)0(,0)0(,2a a a a a a a (2))0()(2≥=a a a (3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab (4))0,0(>≥=b a ba b a 5.实数的精确度：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数(或近似值)。
近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求叫做精确度。
近似数的精确度通常有以下两种表示方式：(1)精确到哪一数位，例如：精确到百分位，或精确到0.01；(2)保留几个有效数字。
有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。
经典题型精讲(一)实数的基本运算例1.不用计算器，计算： (1)520⨯ (2)33913÷ (3))32132(33-- (4)1523458⨯- (5)51107÷⨯ (6)42625)2(+- (7)0)14.3()23)(23(-+-+π (8)22)572()572(-+举一反三：计算下列各题： (1))32332(23-- (2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--)7721(737274 (3)2)2(16+ (4)2332⨯÷÷ (5)332332÷⨯ (6)332332÷⨯ (7)32053÷⨯ (8)[]2232)7(- (9)22)23()23(--+例2.化简：(1)347+ (2)2)549549(--+ (3)722341012--+举一反三：化简：(1)2)23(- (2)2)10(-π (3))7(962=+-x x x例3.已知：0981642=+-+-a a b a ，求实数b a 、的值。
人教版中考数学复习机构一对一讲义：实数、整式及分式
实数、整式及分式(2019-2-23)
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三、数与式提高专题
精讲精练
题型 1 新定义运算：
a*b 例 1、对于两个不相等的实数 a、b，定义一种新的运算如下，
a﹣ a bb（a
b＞0） ，
3*2 如：
32 3﹣2
5 ，那么 6*（5*4）=
．
题型 2：逆用幂的运算性质
题型二：计算
例 2：计算：
+（2018﹣π）0
实数、整式及分式(2019-2-23)
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变式练习 2：
（1）先化简，再求值： a2 1 a2 2a 1 ,其中a 1
a 1
a2 a
2 3
（2）已知 1 + 1 = ab
5
（a≠b），求
a
ba
b
a
b
a
b
的值．
题型三：找规律（提高题型）
D．2.1³1011 元
2、若 x 2y+9 与|x﹣y﹣3|互为相反数，则 x+y 的值为（
）
A． 3
B． 9
C． 12
D． 27
实数、整式及分式(2019-2-23)
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3、下列计算正确的是（ ）
A．a＋a＝2a
B．b3²b3＝2b3
C．a3÷a＝a3
D．(a5)2＝a7
A． （1，4）
B． （5，0）
C． （6，4）
D． （3，0）
实数、整式及分式(2019-2-23)
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（3）阅读材料：求 1+2+22+23+24+…+22017 的值． 解：设 S=1+2+22+23+24+…+22016+22017，将等式两边同时乘以 2 得：
实数一对一讲义
龙文教育1对1个性化教案教导处签字：日期： 年 月 日学生 学 校 年 级教师授课日期 授课时段课题 实数（二)重点难点 实数的概念及分类、平方根、立方根的概念及性质教 学 步 骤 及 教 学 内 容一、热身导入：检查上节课作业完成情况，并讲评。
二、检查漏洞：通过常见例题的完成，了解孩子对本节重难点，易错点内容的掌握情况。
三、主要知识点讲解：1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；2、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零,算数平方根具有双重非负性。
3、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、课堂练习及延伸：根据本节课的全部内容及例题的分析，让孩子完成相关练习，再次基础上作延伸。
五、教学反馈：根据孩子的课堂表现及完成练习的情况，了解孩子对本节内容的掌握及理解程度。
六、课堂小结：让孩子归纳并总结出本节课的主要内容，自己的优缺点，老师在补充。
课后评价一、学生对于本次课的评价o特别满意o满意o一般o差二、教师评定1、学生上次作业评价o好o较好o一般o差2、学生本次上课情况评价o好o较好o一般o 差作业布置教师留言教师签字：家长意见家长签字：日期：年月日龙文教育1对1个性化讲义课前小测：1.64的算术平方根和64-的立方根的和是（ ）A.0B.6C.4D.4- 2.能与数轴上的点一一对应的是（ ）A 整数B 有理数C 无理数D 实数 3.213-=-a ,则a 的值是（ ）A.１B.２C.３D.４.4．设面积为3的正方形的边长为x ，那么关于x 的说法正确的是（ ）A. x 是有理数B.x =3±C. x 不存在D. x 是1和2之间的实数5.32-的绝对值是 （ ） A.32+ B.32--C.23-D.32-7.在4144.1-，2-，722，3π，32-，∙3.0， 121111*********.2中，无理数的个数是 .8.a 是9的算术平方根，而b 的算术平方根是4，则=+b a . 9. 比较下列实数的大小①140 12 ②215- 5.0；10．判断：（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是0或1．（ ） （5）若,2||=x 则2=x （ ）一、主要知识点回顾：1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
实数
； ，小数部分是 。
5
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3 3 8、若 15.625＝2.5， x＝25，则 x＝
2 2
个性教育一对一辅导 ；9、若 x ＝(－3) ，y＝(－2) ，则 x＋y＝ ； 。 ； ； 。
3
；
10、如果 1.0167 是 a 的一个平方根，那么 a 的另一个平方根是 11、4－ 5在数轴上对应点在整数 a 和 b 之间，且 a－b＝1，则 a＋b＝ 12、数轴上到数 2对应点的距离为 3 的点所对应的数是 13、当 x＝ 15、 已知 A= ，y＝
龙文教育教务处 2
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（1） 概念：一般地，一个数的立方等于 a，这个数叫做 a 的立方根，也叫做 a 的三次方根。 （2） 表示：读作“三次根号” 。 （3） 性质：由一个正数的立方还是一个正数；0 的立方乃是 0；负数的立方还是一个负数。 （4） 开立方：求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。 注意： （1）任意实数都有立方根，(2)开立方与立方互为逆运算。 （3）√a 的根指数 2 可以省略，即写成√a,但√ a 中的根指数 3 不能省略，要写在根号的左上角。 （4）立方根等于它本身的数有三个,它们分别是 1，0，-1.（5）开 立方的结果是唯一的。 剖析： （1）求一个数的立方根，实质是利用立方运算来求得，因此熟记常见简单数的立方。便于快速解决此类题 目。 （2）任何数的立方根有且只有一个。 （3）一个数 a 的立方根 √a 与 a 的符号相同。 例 1、求下列各数的立方根： ； ；1；0；－1；－343；－0．729
169 13 ＝－ 64 8 ）
2
169 13 ＝ 64 8 1 3
2
D、±
169 13 ＝± 64 8
七下实数辅导讲义(一)
第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a”。
（5有意义的条件是a ≥0。
（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根的区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成） 5、实数的分类（1）按实数的定义分类： （2）按实数的正负分类： （3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。
一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。
注意：题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⎪⎪⎨⎧=>==0002a a a a a2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
实数概念一对一辅导资料
为____________________ 平方根： 下列说法不正确的是( A、
)
1 1 的平方根是 B、-9 是 81 的一个平方根 C、0.2 的算数平方根 0.04 D、0 的平方根是 0 5 25
81 的平方根为__________________，算术平方根______________ 若 5a+1 和 a-19 是正数 m 的两个平方根，求 a 和 m 的值。
____(a 0) (2)代数定义： a ____(a 0) ____(a 0)
5、平方根、算数平方根与立方根的概念 （1）平方根：若_________________,则 x 是 a 的平方根，记作__________0 的平方根为_______. __________平方根为算术平方根。 0 的算术平方根为_______________.常见的非负数包括_________ 常见的形式有______________、______________、__________________.非负数的性质：如果几个 非负数之和为 0，那么这几个非负数均为_________. (2)立方根：若_________________，则 x 是 a 的立方根，记作_______________. 6、平方根的性质 一个正数有两个______________的平方根；0 的平方根为____________，___________没有平方根。
图4 ）
A. a b
B. a b
C. a b ）
D. b a 0
有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则 a+b 的值（
A．大于 0
B．小于 0
C．小于 a
D．大于 b
]如图，数轴上 A、B 两点对应的实数分别是 1 和 3 ，若点 A 关于点 B 的对称点为点 C，则点 C 所 对应的实数为（ A. 2 3 1 ） B. 1 3 C. 2 3 D. 2 3 1
初中数学七年级寒假班讲义实数运算2(乘除) (2)
学科教师辅导教案学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：朱兴课程主题：实数计算授课时间： 2018年学习目标实数计算2教学内容内容回顾1）近似数；2）实数加减知识精讲知识点一（实数运算）1.实数的运算规则在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立实数运算时注意事项：两个有理数可以任意进行加减乘除乘方运算，其结果一定是有理数；两个无理数在进行加减乘除乘方运算时，结果可能是有理数，可能是无理数，且进行乘除运算时，只有被开方数相同才能运算，原理类似于合并同类项。
2.实数的运算顺序实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的。
3.实数的运算结果涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简。
4.实数)0(≥a a 运算法则（1）()(0)a c b c a b c c ±=±≥ （2）)0,0(≥≥=⋅b a ab b a （3）()0,0a aa b bb =≥> （4）())0(≥=a a a n n例1. 计算：（1）1232⨯÷ （2）(323)3-÷试一试：计算：（1）23(27653)-+ （2）(432)22-÷例2. 计算：（1）2(23)+ （2）(2332)(2332)+-试一试：计算：(236)(236)+--+例3. 计算：（1）20132014(32)(32)-+ （2）()2213223-⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭例4、估计10＋1的值是（ ）（A ）在2和3之间 （B ）在3和4之间 （C ）在4和5之间（D ）在5和6之间试一试：11-3的整数部分和小数部分分别是多少？※例5：设54.12254.1==b a ，，求b a ÷※例6：若实数x ，y 使得38y x y --与互为相反数，求y x 的四次方根例7． 计算：])2()2(3[)1.08(81162321324-+---⨯-÷--例8. 计算下列各题：（1）228.21.2+ （2）)433(12+（3）222430-- （4）)13)(618(+-【试一试】 1. 计算下列各题： （1）33--； （2）133(233)22-+； （3） 147[2737(77)]2--+-；（4）1232-⨯÷； （5）45117(17)(17)÷÷； （6）(123)3+⨯；（7）12(2)2+； （8）55(21)(21)+-试一试：若22x 44x y 16x 2-+-=+-，求y x +2的立方根知识点二（实数计算综合应用） 【知识梳理】1．三类非负数：正的偶次方根、偶次方、绝对值。
实数及其运算单元讲义
实数综合运算（讲义）一、知识点睛1. 实数计算：（1）分部分：观察式子结构，以加、减法为标志，分部分，每部分一个模块； （2）做运算：辨析种类，依法则，做运算，不图一步到底，不跳步，平均使用精力；（3）巧检验：“抽查”、“普查”相结合，“横向”、“纵向”相结合． 2. 含特殊角（15°的倍数）的三角形：利用三角形的高构造直角，把特殊角放在直角三角形中，使用三边关系来求解．二、精讲精练化简：1.)((2132+2.3.4.5.32-+-6. 212-⎛⎫- ⎪⎝⎭7. (2-8. (021+9.3--10. ))201220133112-+11. 解方程：（110=+ （21)x x =+12. 某片绿地形状如图所示，其中AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∠A =60°，AB =200m ，CD =100m ，求AD ，BC 的长．13. 在△ABC 中，∠BAC =135°，AB =1，AC =，求BC 的长．14. 在△ABC 中，∠A =150°，AB =AC =2，求BC 的长．A15. 在△ABC 中，∠ABC =120°，AB =1，BC =4，求AC 的长．BA60°DCA BA16. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =75°，AC =1，求斜边AB 的长．（提示：作AB 的垂直平分线DE ，交AB 于点D ，交BC 于点E ）ACBDE三、回顾与思考______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________【参考答案】1．7- 2．3．45．-6．2 7．528．7-9．189- 10．52- 11．（1）10x = （2）3x =-12．AD=(400m -；BC=()200m 13．BC14．BC=15．AC16．AB实数综合运算（随堂测试）1. 化简： （1）（2）3180125--.÷（3(202-+(（4）20122013222)(2. 在△ABC 中，∠BAC =135°，AB =7，AC=BC 的长．CBA【参考答案】1．（1）（2）4 （3）3（43 2．BC =17实数综合运算（作业）化简：1.((221+3+-2.(223.1126-4. 032-5. )216.(1-7.213-⎛⎫-⎪⎝⎭8.201220131+9.在△ABC中，∠ABC=120°，ABBC=求AC的长．【参考答案】1．11-2．5-3．645．6．57．11-8．CBA9．AC二次根式拓展提高（讲义）一、知识点睛1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)20y z +=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)x _____=． (3)x _____=．_______=；2=_______． 2． 根据数轴和线段的几何特征建等式．C如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用． _________=；(2)若00m n ＞，＞，则_________.==4． 实数比较大小．(1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法(4)分母有理化二、精讲精练1．若x ，y 为实数，且20x +=，则2013x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 22210y y ++=，则yx =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数．4．若a，b(10b-=，则20132012a b-=________．5x的值为________．6．7．若3y=，则y x=________．8．若=y3x+4y=________．9．当1<<4x10．实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示：化简：a ab +++112．12．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为（）A B1C1D13．如下图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B 两点对应的实数是和-1，则点C 所对应的实数是（ ）A ．B ．C ． 1D ．14．数轴上A ，B 和2，若点A 关于点B 的对称点为点C ， 则点C 所对应的实数为 ．15．若3x =，则267____________．x x -+=16．若2x ，则245x x +-=__________．17．已知22=-=x y 求22x xy y ++的值．18．已知11a a +=+221a a+的值．19．化简下列各式：（1 （2（3（4（5（6．20．比较实数大小．（11______4；（24；（3（5；（6______-8．【阅读理解与创新探究】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．【思想应用】这个点的位置，可以借助于勾股定理来构造直角三角形来解决．请你利用勾股定理在下图的数轴上找出【思想类比1】x＞y＞0）的大小，并说明理由．小明受此启发，想用数形结合的思想来处理，联想到勾股定理，1决上述问题，你能说明里面的道理吗？___________________________________________.yxx-y CBD EA图（1）图（2）【思想类比2】已知m，n均为正实数，且m+n=2．的最小值．如图（2），AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，试表达CE和DE的长度，并据此解决上述最小值问题．的最小值是____．三、回顾与思考______________________________________________________ ______________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．（1）0；0；0 （2）0 （3）0 （4）x ；x 2．c -a ；b -c ；2a bc +=3．a b ±二、精讲精练1．B 2．-2 3．169 4．-2 5．±1 6．6 7．188．-79．3 10．2c -a 11．2 12．C 13．D 14．4-15．0 16．2003 17．15 18．9+19．（11 （21 （3（41 （5 （620．（1）＞ （2）＜ （3）＜ （4）＜ （5）＞ （6）＜ 【阅读理解和创新探究】 【思想应用】作图，略【思想类比1】∵222+=∴由勾股定理逆定理可得，∴由三角形三边关系可得，【思想类比2】设AE =m ，BE =n ，且m +n =2．如图，可得CE DE ．∴CE +DE ∴连接CD ，则CD 长就是最小值即CD ．【探究迁移】13二次根式拓展提高（随堂测试）1. （1）若y =，则2x -4y =________.（22013x -=_________． （3）若1x ，则221x x +-=___________．2. 如图，在数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B 两点对应的实数是1和，则点C 所对应的实数是_________.3. 化简：（1 （2．4. 当-2<x <1【参考答案】1．（1）-2 （2）-1 （3）20102．23．（1）3 （2）2+ 4．3二次根式拓展提高（作业）2110y -=________．22()224y -互为相反数，那么2x y -的值为（ ）A ．4B ．-4C ．-8D ．-523．若实数a ，b (20b -=，则_____a b +=．24________．25．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长,400b -=,则△ABC 的形状为_________．26．若12y =________． 27．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示：化简：2a b c ++28．当2<x <32923．x +-30．如图，矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，AD 在数轴上，若以点D 为圆心，对角线BD 的长为半径作弧交数轴的负半轴于点M ，则点M 所表示的数为___________．31．如图，点A 和点C 关于点B 对称，且B ，C 分别对应着数轴上表示1点，则点A 表示的数是__________．32．比较实数大小：（12+（233．若5x =，则21018_______x x -+=．34．若3x =，则264x x +-=__________．35．已知12a a +=，求221a a+的值． 36．化简：（1（2（3【参考答案】1．2．C 3．7 4．6 5．直角三角形6．127．b +c 8．1 9．3x -8 10．-1-11．2 12．（1）＞ （2）＞ 13．0 14．200015． 16．（1） （2 （3）2。
七年级数学：实数的运算(一)辅导教案
七年级数学：实数的运算（一）辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题实数的运算（一）教学内容1．理解数轴为实数轴，并掌握实数的大小比较方法，理解实数的绝对值、相反数的意义；2．理解实数的运算法则、性质和顺序并能根据相关知识进行实数运算；会利用平方根意义化简根式。
采用师生互动和学生讨论的形式无理数可以在数轴上表示出来吗？（1）在数轴上表示2（2）在数轴上表示可以让学生们讨论总结，然后给出结论总结：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而且这样的点是唯一的。
反过来，数轴上的每一个点也可以用唯一的一个实数来表示。
数轴上的点和实数一一对应。
在实数范围内定义绝对值、相反数绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
·30.5A A’1 2 4-0.5 BA(O)F’-1 1-2 2·····FGH（E）A BCD(0)(0)0(0)(0)(0)a aa aa a aa aa a>⎧≥⎧⎪===⎨⎨-≤⎩⎪-<⎩或相反数：绝对值相等符号相反的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。
非零实数a的相反数是-a实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数。
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。
从数轴上看，右边的数总比左边的数大.常见的无理数的大小：2 1.4143 1.7325 2.2366 2.4497 2.64610 3.162≈≈≈≈≈≈练习比较下列每组数的大小：（1）65-与；（2）65与；（3）65--与；（4）10-与π；如图11-4，已知数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是2、32-、212、5-，O为原点，求（1）线段OA、OB、OC、OD的长度.（2）求线段BC的长度.归纳总结：练习已知数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是2、243-、22、2-，求：（1）在数轴上描出点A、B、C、D；（2）线段AB、BC、CD、AC的长度.232,323,232⨯++以上算式有什么特征？计算的结果是什么？B0 222132-5-A CD O在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点的距离是AB a b=-有理数的运算法则、运算性质以及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用。
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（2）一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是。
（3）如果a≠0，那么它的倒数为。
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
二、例题讲解
例1.把下列各数分别填写在相应的括号内．
无理数集合｛ ｝；
例5.计算： ；
答案：解：原式
；
三、课堂练习
.1、 满足 ，则
2、填空：
（1） 的相反数是，绝对值是。
（2）绝对值等于 的是， 的平方等于。
（3）比较大小：－７ 。
3、例：计算下列各式的值，并说出每一步的依据是什么？
（1） ；（2）
（3） ；（4）
（5）、 （ +2） （6）、 （ + ）
四、课堂小结
有理数集合｛ ｝；
正实数集合｛ ｝；
分数集合｛ ｝；
负无理数集合｛ ｝．
答案：解：无理数集合｛ ｝；
有理数集合｛ ｝；
正实数集合｛ ｝；
分数集合｛ ｝；
负无理数集合｛ ｝．
例2.化简： ．
答案：解： ，
．
故 ．
例3题计算： ．
答案：解：原式
例4.已知 ，求代数式 的值．
答案：解：
又由已知可得 ，
，
故原式 ．
6、下列说法正确的是( )
A、 的平方根是 B、 表示6的算术平方根的相反数
C、任何数都有平方根D、 一定没有平方根
7、若 ，则
8、 在两个连续整数 和 之间，即 ，那么 、 的值是
9、计算下列各题
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律吗？
根据这个规律先写出下面的结果，并说明理由
10、已知: ，求： 的平方根
课题
实数的运算
授课日期及时段
教学目的
理解与掌握实数的运算律与运算法则
教学内容
一、知识梳理
（一）、温故知新：
1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律。
3、说一说有理数的混合运算顺序。
（二）、新知导学：
1、思考：
的相反数是， 的相反数是，0的相反数是。
实数的运算按照实数的运算规律和法则
五、课后训练
1、若a+b=0，则a与b_______________________。
2、若︱x︱=a则x=_____________。
3、若a表示任意一个实数，数a的相反数是_____________。
4、分别写出 ， 的相反数。
5、指出 ， 各是什么数的相反数？