近世代数课件--2.3理想与商环

I
生成元.
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§3 理想与商环
注意 (1)与群的情形类似,一个环 R 的任意两个互不
包含的子环(理想)的并不再是环 R 的子环(相应地,理想). (2)由命题 3.4 可知,对于一个环 R 的任意有限个理想, 譬如, I 1 , I 2 , , I n ,我们有
出,作为加群, Z / n
.此
外,对于任意的 [ a ], [ b ] Z n ,我们有
[ a ] a n a ( n ) , [b ] b n b ( n )
, .
从而,
[ a ] [ b ] [ ab ] ab n ab ( n ) ( a ( n )) ( b ( n ))
§3
理想与商环
(2)设 I 是环 R 的一个理想.若 S 是 R 的非空子集, 使得 I ( S ) ,则称 S 为理想 I 的一个生成集.若存在 R 的 有限子集 { a1 , a 2 , , a n } ,使得 I 为
R
({ a 1 , a 2 , , a n })
,则称 I
的 一个有限生成 的理想;不致 混淆时,可将 ({ a1 , a 2 , , a n }) 简记作 ( a1 , a 2 , , a n ) . (3) 设 I 是 环 R 的 一 个 理 想 . 若 存 在 a I , 使 得 (a ) ,则称 I 为环 R 的主理想,并称 a 为理想 I 的一个
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§3
理想与商环
注意 (1)环 R 的左理想和右理想都是环 R 的子环. (2)任何环 R 都有理想,例如, { 0 } 和 R ,它们分别称 为环 R 的零理想和单位理想,统称为环 R 的平凡理想. 没有非平凡的理想的环都称为单环.
命题 3.3
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第二章
环
论
2012-9-19
数学与计算科学学院
目
§1 环的概念
录
§2
§3 §4 §5 §6
多项式环
理想与商环 环的同态 交换环 整环的因子分解
§7 唯一分解环上的多项式环
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§3
理想与商环
设 R 是一个环, S 是 R 的一个非空子集.如果 S 关于环
因此 ab
I a ' b ' I
.这样一来,我们可以定义 R / I 上的 ,a, b R .
乘法 ”如下: “
（ a I ) ( b I ) ab I
显而易见, R / I 上的乘法对 R / I 上的加法适合分配律. 所以 ( R / I , , ) 是一个环.
§3 理想与商环
现在考察
a I a ' I R/I
.对于任意的
a , a ' , b , b ' R
,若
且b I
b ' I
,则 a a ' I 且 b b ' I ,从而, ,
ab a ' b ' a ( b b ' ) ( a a ' ) b ' I
J K
.所以 I
J
是环 R 的包含 I 和 J 的最
有了命题 3.4(1),我们可以引入如下定义:
定义 3.5
S
(1)设 R 是一个环.对于 R 的任意非空子集
,我们将环 R 的包含 S 的最小理想称为环 R 的由 S 生成
的理想,记作 ( S ) .
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1 I
I
.此外,如果环 R 有单位元 1 ,那么
就是环 ( R / I , , ) 的单位元.我们将环 ( R / I , , )
的单位元记作 1 .于是 1 1 I .
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§3 理想与商环
例 4
(( n ), )
u ab
rR
J
和任意的 u I J :不妨设
I
,其中 a I , b J .于是, ra , ar
, rb , br , .
J
,从而,
ru r ( a b ) ra rb I J
ur ( a b ) r ar br I J
I J K
.
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2012-9-
§3
理想与商环
Iα
证明 是加群
(1)设 { I α } α Α 是 R 的一族理想.于是, α Α 的子群.对于任意的
ra , ar I α , α Α ,
rR
(R, )
和任意的
a α Α I α ,我们有
和 构成一个环 “ R ' 关于 ” “ ”
a b , ab R ' , ab R ' .
(2)环 R 的任意子环 R ' 的零元就是环 R 的零元;子环 R ' 中任意 元素 a 在 R ' 中的负元就是 a 在 R 中的负元. (3)任何环 R 都有子环,例如, { 0 } 和 R . { 0 } 和 R 都称为环 R 的 平凡子环. 若 R ' 是环 R 的子环并且 R ' 是 R 的真子集,则称 R ' 为环 R 的真 子环.
§3 理想与商环
(3)若 R 是交换环,则对于任意的 a R ,
( a ) { ra na | r R , n Z } ;
若 R 是一个有单位元的交换环,则对于任意的 a R ,
( a ) aR { ar | r R } .
Δ
例 2
考察整数环 ( Z , , ) .由于它是有单位元的交换环.
设 R 是一个环, I 是 R 的非空子集.则 I
为环 R 的理想的充分必要条件是: Ⅰ. a b I , a , b I ; Ⅱ. ra , ar
2012-9-
I , r R ,a I
.□
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§3
理想与商环
命题 3.4 的理想.
| k Z }.
nR
.事实
设 R 是一个环, I 是环 R 的一个理想.由于 I 是环 R 的 加群的正规子群,因此我们可以谈论商群 ( R / I , ) ,其中
R / I {a I | a R} .
当然, ( R / I , ) 是交换群.
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因此 I J 是环 R 的理想.
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§3
最后,显而易见,
理想与商环
I I { 0} I J
,J
{ 0} J I J
;
对于环 R 的任何包含 I 和 J 的理想 K ,由 I 和 J 都是加群 K 的子集可知 I 小理想.□
这就是说,商环 Z /( n ) 的乘法与模 n 剩余类的乘法是一致的.所以 商环 Z /( n ) 就是模 n 剩余类环 Z n .
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§3 理想与商环
命题 3.7 的理想; (2)若 L 是环 R / I 的一个理想,则存在 R 的一个理想 J , 使得 I J ,并且 L
设 n 是一个正整数, n 是 n 生成的加群 ( Z , ) 的子
群 , ( n ) 是 n 生 成的环 ( Z , , ) 的 理 想.例 2 中已 经指出 ,加群 与加群 ( n , ) 是同一个群.其次,在第一章§5 中已经指
Z n .因此,作为加群,我们有 Z /( n ) 察偶数环 ( R , , ) .由于它是交换环.因此,对于
nR { nr | r R } { 2 nk | k Z } .
任意的非零偶数 n ,我们有 显然, nR 是偶数环 R 的理想,但 n nR .因此 ( n ) 上, R 的由 n 生成的主理想为 ( n ) { nk
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§3 理想与商环
定义 3.6
R
我们将如上定义的环 ( R / I , , ) 称为环
关于理想 I 的商环.
注意
我们已经约定,将环 R 的零元记作 0 .为了
避免记号上的混淆,我们将环 ( R / I , , ) 的零元记作 0 . 根据环 ( R / I , , ) 的零元的定义, 0 就是加群 ( R / I , ) 的零元 I ,即 0
设 R 是一个环.
Iα
(1)若 { I α } α Α 是环 R 的一族理想,则 α Α
R
也是环
(2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
I J {a b | a I , b J }
也是环 R 的理想,而且是环 R 的包含 I 和 J 的最小理想, 也 就 是 说, 对于 R 的 任 何 包 含 I 和 J 的 理 想 K , 总 有
R ' , a , b R ' ,即 R ' 关于环 R
的乘法 ”封闭. “
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§3
注意
理想与商环
(1)若 R 是一个环, R ' 是 R 的一个非空子集,则
R'是R
的子环 , a , b R ' ,并且