3-2-2 (10年秋)分式的运算技巧.讲义学生版
分式运算的技巧方法
分式运算的技巧方法分式运算是数学中的一种运算方法，主要涉及到分数的加减乘除等运算。
下面给出一些分式运算的技巧方法：一、分式的加减运算：1.确定两个分式的分母是否相同，如果相同，则可以直接将两个分子相加或相减，分母保持不变。
2.如果分母不同，则需要寻找一个公共分母，并通过乘以适当的因数将分子和分母都变换为公共分母的倍数。
最后再将两个分子相加或相减。
二、分式的乘除运算：1.分式的乘法是将两个分式的分子相乘，并将分母相乘，得到的分子和分母再化简为最简形式。
2.分式的除法是将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘，再将两个分子相除，两个分母相除，得到的分子和分母再化简为最简形式。
3.对于有多个分式相乘或相除的情况，可以先进行一些分式的合并，再进行乘除运算。
三、分式的化简：1.将分子和分母的最大公因数约分，使得分式变为最简形式。
2.将分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简。
3.分式相加或相减时，可以先将分子和分母的最小公倍数作为公共分母，再进行化简运算。
四、分式的整理：1.将分式中的分子和分母按照一定的规律整理成一个分数或者整数。
2.使用括号来整理分子或分母，减少操作的复杂性和错误的发生。
五、化简复杂分式：1.对于复杂的分式，可以先分解分子和分母，再进行化简运算。
2.对于双重分式（一个分子或分母是另一个分式的情况），可以使用变量来进行整理和化简。
3.对于有多个分式相加或相减的情况，可以先将分式按照一定的规律进行合并，再进行化简运算。
六、变量的运算：1.在分式中使用变量进行运算时，可以运用代数的基本运算规则进行计算。
2.在变量的运算中，可以利用代数的性质进行合并和化简，最后得到一个最简形式。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式是数学中常见且重要的运算形式，它可以表示两个数之间的比例关系或者一个数与一个无穷小量之间的关系。
分式的运算需要注意一些技巧和方法，下面我将详细介绍一些常用的技巧和方法。
1.分式的化简：分式的化简是指将一个复杂的分式转化为一个更简单的分式，通常可以通过约分或者通分来达到目的。
- 约分：如果分式的分子和分母有一个公因子，可以将这个公因子约掉。
例如，$\frac{8}{12}$可以约分为$\frac{2}{3}$。
- 通分：如果分式的分母不同，可以通过求最小公倍数来将分母变为相同的数。
例如，$\frac{1}{3}$和$\frac{2}{5}$可以通分为$\frac{5}{15}$和$\frac{6}{15}$。
2.分式的加减：分式的加减运算需要将分母变为相同，然后对分子进行相应的加减操作。
- 通分：对于两个分母不同的分式，需要找到它们的最小公倍数，然后将分母变为最小公倍数，再对分子进行加减操作。
例如，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$可以通分为$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$。
- 减法的变形：对于分式的减法运算，可以改写为加法的形式，即将减号变为加号，然后将第二个分式的分子取反。
例如，$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$可以写为$\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{-1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$。
3.分式的乘法：分式的乘法是将两个分式的分子相乘，分母相乘得到结果。
- 化简：如果乘法运算结果可以进行约分，则进行约分。
例如，$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
4.分式的除法：分式的除法是将两个分式交叉相乘，即将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子。
分式的乘除运算讲解
分式的乘除运算讲解1.引言1.1 概述分式是数学中重要且常见的概念，在解决实际问题中具有广泛的应用。
分式的乘除运算是我们在求解分式相关问题时必须掌握和应用的基础运算。
分式的乘法运算是指将两个分式相乘，得到一个新的分式。
而分式的除法运算则是将一个分式除以另一个分式，同样得到一个新的分式。
在实际生活中，我们经常遇到需要对分式进行乘除运算的情况，比如在购物中打折优惠、计算比例和比率等等。
为了正确进行分式的乘除运算，我们需要先了解分式的定义与性质。
分式可以看作是分子和分母之间带有分数线的数学表达式。
在分式中，分子表示分数的分子部分，而分母表示分数的分母部分。
分式的分子和分母都可以是整数、变量、或两者的组合。
在乘法运算中，我们将两个分式相乘，只需将它们的分子相乘，分母相乘，得到的积即为乘法结果的分子与分母。
而在除法运算中，我们将一个分式除以另一个分式，需要将被除数的分子与除数的分母相乘，被除数的分母与除数的分子相乘，从而得到商的分子与分母。
通过了解分式乘除运算的步骤和性质，我们可以更加灵活地对分式进行运算，解决实际问题中的各种分式运算题目。
分式的乘除运算不仅是数学中重要的基础知识，也是我们日常生活中的实际运用。
掌握了分式的乘除运算，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高数学解题的能力和运算的准确性。
综上所述，本文将详细介绍分式的乘除运算的定义、性质以及运算步骤，并总结其应用与拓展。
通过学习与掌握分式的乘除运算，我们可以在数学解题中更加得心应手，为日常生活中的计算和问题解决提供帮助。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行分析和讲解分式的乘除运算。
2. 正文2.1 分式的乘法运算2.1.1 定义与性质2.1.2 乘法运算的步骤2.2 分式的除法运算2.2.1 定义与性质2.2.2 除法运算的步骤3. 结论3.1 总结分式的乘除运算在本章节中，我们通过详细解释分式的乘法与除法运算，掌握了其定义、性质以及实际操作步骤。
分式的运算技巧讲义
分式的运算技巧讲义分式是由两个整式相除而得到的结果，一般形式为$\frac{a}{b}$，其中$a$和$b$都是整式，且$b$不为零。
分式的运算技巧包括分式的加减法、乘法、除法和化简。
一、加减法：当分母相同时，可以直接将分子相加或相减，分母保持不变。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=\frac{1}{1}=1$当分母不同但存在公因式时，可以先化简再运算。
例如：$\frac{2}{4}+\frac{3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$当分母不同且无公因式时，需要通分后再计算。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12} $二、乘法：将两个分式相乘时，只需要将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
例如：$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$三、除法：将一个分式除以另一个分式时，可以将两个分式的倒数相乘。
例如：$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{3} \cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$四、化简：当分式的分子和分母均存在公因式时，可以将分子和分母同时除以最大公因式，化简分式。
例如：$\frac{8}{12}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{2}{3}$另外，对于复杂的分式运算，可以利用因式分解等技巧进行化简。
以下是一些常用的因式分解技巧：1.提取公因式：当分子或分母中的各项均存在公因式时，可以将这些公因式提取出来，化简分式。
例如：$\frac{2x+4}{4x+8}=\frac{2(x+2)}{4(x+2)}=\frac{1}{2}$2.分子或分母的因式分解：当分子或分母中的整个式子能够因式分解时，可以进行因式分解后再化简。
分式的归纳总结
分式的归纳总结分式是数学中一个重要的概念，被广泛应用于各个领域，包括代数、几何和物理等。
它是一个以分数形式表示的数，由一个分子和一个分母组成。
在本文中，我们将对分式的基本概念、性质和求解方法进行归纳总结。
一、基本概念分式由一个分子和一个分母组成，分母不为零。
分子表示分数的被除数，分母表示分数的除数。
我们可以用a/b来表示一个分式，其中a为分子，b为分母。
二、分式的性质1. 两个分式的乘法：两个分式相乘时，我们将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，即(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)。
2. 两个分式的除法：两个分式相除时，我们将分子除以分母得到新的分式，即(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)。
3. 两个分式的加法：两个分式相加时，我们需要找到相同的分母，然后将分子相加，分母保持不变，即(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / (bd)。
4. 两个分式的减法：两个分式相减时，我们需要找到相同的分母，然后将分子相减，分母保持不变，即(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / (bd)。
三、分式的求解方法1. 化简分式：化简分式是指将分式的分子和分母约分到最简形式。
我们可以找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，得到最简形式的分式。
2. 分式的乘除运算：对于分式的乘法和除法，我们可以直接按照上述的性质进行计算。
3. 分式的加减运算：对于分式的加法和减法，我们需要找到相同的分母，然后按照上述的性质进行计算。
四、应用举例1. 在代数中，我们经常遇到分式方程的求解。
通过将方程中的分式化简或进行乘除加减运算，可以求得方程的解。
2. 在几何中，分数可以用来表示比例和比率。
比如，对于一个圆的面积与周长的比例，我们可以将它表示为一个分式的形式。
3. 在物理中，分式可以用来表示速度、加速度等物理量的比值。
分式运算的若干技巧
分式运算的若干技巧
在数学中，分式的运算经常被用来解决一些复杂的方程，这使得计算机科学、物理学及工程学方面的研究都变得更加得心应手。
尽管分式运算看起来有点复杂，但是通过一些有效的技巧，可以让分式运算变得简单易行。
以下是一些有效的分式运算技巧：
1、约分：约分是分式运算中最基本也是最常用的技巧，约分的目的是将分子和分母同时约简，在计算机科学上分式约分可以减少计算量，同时也有助于保持正确的结果。
2、简单运算：有时候分式运算中也可以使用简单运算，比如加减乘除等操作，比如：2/3 + 3/4 = 10/12。
3、使用分母的公约数：如果要将两个或多个分式相加减，那么，可以先将分母转化为同一个公约数，然后在进行加减操作，比如：2/3 + 3/4 = 8/12。
4、共轭分式：共轭分式是一种特殊的分式，其分子和分母的和等于1。
这种可以使用在分式的乘法、除法中，比如：3/5 * 5/3 = 3/5 * 3/5 = 1/1。
5、指数运算：指数不仅可以用来记录分式，也可以用来解决分式运算中的问题，比如：(2/3)^2 = 4/9。
6、求分式的逆数：对于一般的分式，求其逆数的步骤是：将分子和分母互换，然后用分子的取反数再除以分母，比如：2/3的逆数为：-2/3。
7、分式的混合运算：有时候也可以在分式运算中结合上述种运
算来完成混合运算，比如：(2/3 + 3/4) * 5/6 = 20/36。
以上就是一些常见的分式运算技巧，其实还有更多复杂的技巧，这里只是简单介绍了一些最基本的运算技巧。
当然，想要掌握这些技巧，不光是要理论知识，更重要的是要多加练习，不断的练习才能掌握这些技巧，实现分式运算中的高效率。
分式运算的几种技巧
分式运算的几种技巧分式运算是数学中常见的一种运算形式，也是解决实际问题中经常使用的一种方法。
在进行分式运算时，我们可以运用一些技巧来简化运算，提高计算效率。
下面将介绍几种常用的分式运算技巧。
1.化简分式化简分式是指将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去分子和分母中的公因式。
这样可以使分式的形式变得更简单，计算也更方便。
例如，对于分式$\dfrac{4x^2}{8x^3}$，我们可以将分子和分母都除以$4x^2$，得到$\dfrac{1}{2x}$。
2.扩展分式扩展分式是指将分数表达式进行相乘或相除，以得到更大的分子或分母。
这种方法在化简有理函数、做分式方程的分母有理化等问题中经常使用。
例如，对于分数$\dfrac{1}{2}$，如果要得到一个分子为3的分式，我们可以将$\dfrac{1}{2}$扩展为$\dfrac{3}{6}$。
3.分解分式分解分式是指将分式分解为其它分式的和或差。
这种方法在化简复杂的分式、分数的加减运算等问题中非常有用。
例如，对于分式$\dfrac{3x+6}{2x+4}$，我们可以将其分解为$\dfrac{3(x+2)}{2(x+2)}$，然后约去分子和分母中的公因式，得到$\dfrac{3}{2}$。
4.分数的合并与拆分分数的合并与拆分是指将多个分数合并成一个分数，或者将一个分数拆分成多个分数。
这种方法在分数的加减运算中经常使用。
例如，对于两个分数$\dfrac{2}{3}$和$\dfrac{5}{6}$，如果要将它们合并成一个分数，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后将分子相加得到$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{6}$。
如果要将一个分数拆分成多个分数，我们可以找到它们的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数。
5.分式的通分通分是指将两个或多个分母不同的分式的分母进行相乘，使它们的分母相同。
分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则
分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则初中数学中，分式是一个重要的知识点，它在数学运算中起到了重要的作用。
分式的四则运算法则是我们学习分式运算的基础，掌握了这些法则，我们就能够正确地进行分式的加减乘除运算。
下面我们将详细介绍分式的四则运算法则。
一、分式的加法和减法假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，它们的分子分别为a和c，分母分别为b和d。
那么它们的加法运算可以通过以下步骤进行：1. 找到两个分式的公共分母，记为m；2. 将两个分式的分子分别乘以m/b和m/d，得到分子为am/b，cm/d的两个分式；3. 将两个新分式的分子相加，即(am/b) + (cm/d)；4. 分子的和除以公共分母m，即[(am/b) + (cm/d)] / m。
同样地，分式的减法运算也可以按照上述步骤进行，只需要将第3步的相加改为相减即可。
二、分式的乘法分式的乘法运算较为简单，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)。
三、分式的除法分式的除法与乘法类似，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的除法运算可以用以下公式表示：(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)。
需要注意的是，除法的时候我们需要将第二个分式取倒数后再进行乘法运算。
以上就是分式的四则运算法则，通过掌握这些法则，我们可以正确地进行分式的加减乘除运算。
在实际运算中，我们还需要注意约分的情况和分母为0的特殊情况。
当分式中的分子和分母有公因子时，我们需要将其约分为最简形式，即分子和分母没有共同的约数。
而当分式的分母为0时，这个分式是无定义的，因为在数学中，除数不能为0。
通过不断的练习和运用，我们可以更好地掌握分式的四则运算法则，为更复杂的数学运算打下坚实的基础。
高中数学分式运算技巧教案
高中数学分式运算技巧教案
一、分式的加减运算技巧：
1. 确定分母相同：先进行分母合并，将各个分式的分母变为相同，再进行加减运算。
2. 分子直接相加减：分母相同的情况下，分子直接进行加减运算。
3. 化简结果：运算完成后，对结果进行化简，将分子、分母约分得到最简形式。
二、分式的乘除运算技巧：
1. 相乘：将分子相乘，分母相乘，得到乘法结果。
2. 相除：将分子相除，分母相除，得到除法结果。
3. 化简结果：对乘法、除法结果进行化简，将分子、分母约分得到最简形式。
4. 约分：在乘法、除法过程中，及时约分，减少计算复杂度。
三、分式的混合运算技巧：
1. 先乘除后加减：根据四则运算法则，先进行乘除运算，再进行加减运算。
2. 拆分运算：将复杂的混合运算拆分成分式的加减乘除运算，便于逐步计算。
3. 小心负号：在进行混合运算时，注意正负号的运算，确保结果的正确性。
通过以上分式运算技巧的讲解和示范，学生可以掌握分式的加减乘除运算方法，提高解题效率和准确性。
欢迎学生多加练习，提升数学能力！。
分式运算的技巧(精心整理,非常好用!)
分式运算的几点技巧（精心整理，非常好用！）一、分式运算的几点技巧1、分段分步通分若一次通分，计算量太大，观察各分母之间的关系，采用分段通分。
2、利用除法运算当算式的分子次数与分母次数相同或高于分母次数时，一般要先利用除法或约分对分子降次后再通分。
3、拆项后再通分分式的分子相同，分母是相邻两个连续整数的积，分式加减的项又是无法通分计算的，这类题可用列项的方法计算。
4、约分后再通分若算式中的分式不是最简分式，可先约分，再用适当方法通分，可能较简便。
5、恰当地选择运算顺序6、约分后再通分二、巧解分式求值问题1、活用公式变形2、整体代入法3、设参法4、巧代换典例1、分段分步通分例1、计算：4214111111a a a a ++++++-2、利用除法运算例2、计算：34452312-----+++-++x x x x x x x x3、拆项后再通分例3、计算：127165123112222++++++++++x x x x x x x x4、灵活运用乘法公式例4、计算：)1)(1)(1)(1)(1)(1)(1(21616884422±≠-+++++x x xx x x x x x x x x5、恰当地选择运算顺序 例5、计算：222222)1()1(b a a b a b b a b ---+++-6、约分后再通分例6、计算：343622322222+--+--+-+--x x x x x x x x x二、巧解分式求值问题1、活用公式变形例7、 已知0152=+-x x ，求221x x +2、整体代入法例8、已知分式831332=++x x ，求36212-+x x 的值。
3、设参法例9、已知c b a b a c a c b +=+=+，求))()((a c c b b a abc +++4、巧代换例10、设1=abc ，求111++++++++c ac c b bc b a ab a。
分式知识点总结提纲
分式知识点总结提纲1. 分式的定义2. 分式的组成部分：分子、分母3. 分式的形式：真分式、假分式、整式二、分式的简化与合并1. 分式的约分2. 分式的通分3. 分式的相加、相减三、分式的乘法1. 分式的乘法运算规律2. 分式的乘法的简化四、分式的除法1. 分式的除法运算规律2. 分式的除法的简化五、分式的运算法则1. 分式的加减法的运算法则2. 分式的乘除法的运算法则3. 分式的混合运算六、分式的化简与扩展1. 分式的化简方法2. 分式的扩展方法七、分式的运算应用1. 分式的运算在实际生活中的应用2. 分式的运算在数学问题中的应用八、相关练习与题目讲解1. 分式的基础练习2. 分式的综合运算题目讲解九、分式的解题方法1. 分式的解题思路2. 分式的解题技巧十、分式的延伸应用1. 分式的延伸应用领域2. 分式的在高等数学中的应用3. 分式的在工程技术中的应用十一、分式的应用案例分析1. 物理问题中的分式应用案例2. 化学问题中的分式应用案例3. 经济问题中的分式应用案例4. 地理问题中的分式应用案例5. 生活中的分式应用案例6. 数学竞赛中的分式应用案例十二、分式的的历史与发展1. 分式的历史渊源2. 分式在数学发展中的地位和作用十三、分式的输入与计算1. 分式的输入方式2. 计算器在分式计算中的应用十四、分式的教学方法与策略1. 分式的教学方法2. 分式的教学策略十五、分式的教学资源与工具1. 分式的教学资源2. 分式的教学工具十六、分式的教学案例注：以上提纲可根据实际需求进行增删和调整。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。
以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。
化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。
2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。
3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。
二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。
通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。
2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。
三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。
具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。
乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。
3.合并同类项，将分子进行相加或相减。
四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。
具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。
2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。
五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。
分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。
六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。
2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式之一，它涉及到有理数的运算和表示。
在分式运算中，有一些常用的技巧和方法可以帮助我们更好地进行运算。
以下是一些常见的分式运算技巧和方法。
1.分式化简：分式化简是分式运算的基础技巧。
化简分式可以使运算更加简便。
化简分式的方法包括因式分解、约分等。
例如，对于分式$\frac{12}{18}$，可以化简为$\frac{2}{3}$，使得运算更加简单。
2.公约数与公倍数：在分式运算中，找到分子和分母的公约数或公倍数可以帮助我们进行约分和通分。
例如，对于分式$\frac{6}{15}$，我们可以同时约分分子和分母的公约数2，得到$\frac{3}{5}$。
又如，对于分式$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{6}$，我们可以找到它们的最小公倍数12，通分得到$\frac{3}{12}$和$\frac{2}{12}$。
3.分数的乘法和除法：在分式的乘法中，我们可以直接将分子相乘，分母相乘。
例如，对于分式$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{5}$的乘法运算，可以直接得到$\frac{8}{15}$。
在分式的除法中，我们可以将除法转换为乘法，即将除数的倒数乘以被除数，例如，$\frac{2}{3}$除以$\frac{4}{5}$等价于$\frac{2}{3}*\frac{5}{4}=\frac{10}{12}$，然后再化简得到$\frac{5}{6}$。
4.分数的加法和减法：在分式的加法和减法中，我们需要找到它们的公共分母，然后将分子相加或相减。
例如，对于分式$\frac{1}{4}$和$\frac{2}{3}$的加法运算，我们需要将它们通分为$\frac{3}{12}$和$\frac{8}{12}$，然后再相加得到$\frac{11}{12}$。
对于减法运算，也是类似的步骤，例如，$\frac{2}{3}$减去$\frac{1}{4}$等价于$\frac{8}{12}$减去$\frac{3}{12}$，得到$\frac{5}{12}$。
分式的运算技巧
分式概念形如〔A、B是整式，B中含有字母〕的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。
注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。
无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
方法：数看结果，式看形。
分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
代数式分类整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称代数式。
分式的根本性质分式的分子和分母同时乘以〔或除以〕同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：〔A,B,C为整式，且B、C≠0〕运算法那么约分根据分式根本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
约分步骤：单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的乘法法那么：〔1〕两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用字母表示为：分式的加减法法那么：同分母分式的加减法法那么:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
中考数学专题复习 9 分式运算中的技巧数学课件
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进行分式运算，首先要弄清运算顺序，其次要遵循分式运算的法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，最后运 算的结果要化简.
下面我们通过(tōngguò)例题学习提高分式运算的能力与技巧.
第二页，共十一页。
类型一：按常规步骤运算
化简：
x1 x22x1 1
x2
x24
x1
解：原式＝
a b2 2ab
ab
a b2
2
ab
.
将 a＋b＝2,ab＝－5 代入上式 上式 22 2
5 14
5
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进行分式运算时，先观察分析算式具备何种特点，然后根据特点，运用乘法的分配律、约分、 乘法公式等采取简便( jiǎnbiàn)运算，做到计算量小、结果准确.
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Image
12/11/2021
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x1x2x2 1
x2
x12
x1
x2 1
＝
x1 x1
x1 ＝ x1
＝1
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类型二：先约分再化简
x2y2 4x(xy)y2
化简：
xy
2xy
解：原式＝ x y x y 2x y2
x y
2x y
＝ x y 2x y
＝x
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方法总结
无论是分式乘除运算，还是分式加减运算，确定运算顺序后，都需要先分解各个分子和分母
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类型四：分式化简求值注意整体代入
先化简，再求值：
x2 x2 x 142xx2 1 4x x4 ，其中(qízhōng)x满足x²－4x＋3＝0
小学数学分式运算技巧总结
小学数学分式运算技巧总结数学是一门重要的学科，而分式运算是其中的一个重要内容。
在小学阶段，学生需要掌握基本的分式运算技巧，为进一步的数学学习打下基础。
本文将总结小学数学分式运算的技巧，帮助学生更好地理解和应用分式运算。
一、分式的定义和基本性质在学习分式运算之前，我们先来了解分式的定义和基本性质。
分式由分子和分母组成，分母不能为零。
分式可以表示整数之间的除法运算，也可以表示代数式之间的除法运算。
1. 分式的定义：分式是一个形如a/b的数，其中a为分子，b为分母，b不等于0。
2. 基本性质：- 分子与分母互质：分子与分母没有公共的因数。
- 真分式和假分式：分子小于分母的分式被称为真分式，反之为假分式。
二、分式的四则运算1. 加法和减法：- 分母相同的分式，直接将分子相加或相减，不改变分母。
- 分母不同的分式，需先找到它们的公倍数，然后通分，再进行相加或相减。
2. 乘法：- 将分子相乘，分母相乘，得到的新的分子和分母组成新的分式。
- 可以对乘法顺序不同的分式进行变形，结果相同。
3. 除法：- 将被除数与除数的分子和分母对调，然后进行乘法运算。
- 可以将除法转化为乘法，以便进行简化。
三、分式的化简化简分式是将分子与分母约分，使得分子与分母不再有公共的因数，从而得到分式的最简形式。
化简分式的步骤如下：1. 找出分子与分母的公因数，并进行约分。
2. 若分子与分母都可以被一个数整除，则可以继续约分。
四、分式运算中的技巧1. 化简分式时，可以先找出分子与分母的公共因数，然后进行约分。
这样可以简化计算过程，并得到最简形式的分式。
2. 分式运算中，可以将分子和分母分别因数分解，再进行约分。
这样可以更直观地看到哪些因子可以约去。
3. 乘法运算中，可以将分子和分母分别进行因数分解，再进行约分。
这样可以简化分式，并得到最简形式的分式。
4. 在进行分式运算时，可以借助整数运算的方法进行计算。
例如，将分数化为带分数进行运算，再将结果转换为分数形式。
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内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质
理解分式的基本性质，并能进行简单的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算
理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题
一、比例的性质：
⑴ 比例的基本性质：a c ad bc b d
=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( )
( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩
交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c
=⇒= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd b d b d
±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b
+++=+++（...0b d n +++≠）
二、基本运算
分式的乘法：a c a c b d b d
⋅⋅=⋅ 分式的除法：a c a d a d b d b c b c
⋅÷=⨯=⋅ 乘方：()n n n n
n a a a a a a a a b b b
b b b b b ⋅=⋅=⋅个
个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：
⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数)
⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数)
⑶()n n n ab a b =(n 为整数)
知识点睛
中考要求
分式的运算技巧
⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)
负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c
+±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd
±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．
结果以最简形式存在.
一、分式的换元化简
【例1】 化简：222233223322
23()2b a b a a b a b b a b a b a a b a b a b +++÷---+-
二、利用乘法公式或因式分解法化简
【例2】 计算：221111[
]()()()a b a b a b a b -÷-+-+-
三、分式的递推通分
【例3】 计算：37
22448811248x x x a x a x a x a x x a ---+-+++-
【例4】 计算：2482
112482111111n n
x x x x x x ++++++-+++++(n 为自然数)
【巩固】已知24816
124816()11111f x x x x x x =+++++++++，求(2)f .
例题精讲
四、分式的裂项
【例5】 化简：
111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.
【巩固】化简：
22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++
【巩固】设n 为正整数，求证：
1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.
【例6】 若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求
111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值．
【例7】 化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a ---++-----+--+--+---.
【例8】 化简：222()()()()()()
a bc
b a
c c ab a b a c b c b a c a c b ---++++++++.
【巩固】化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab
------++--+--+--+.
五、分式配对
【例9】 已知：1ax by cz ===，求
444444
111111111111a b c x y z +++++++++++的值.
【例10】 有理数0a ，1a ，2a ，…，n a 满足1i n l a a -=，0i =，1，2，…，n ． 求代数式1010101001211111111n
a a a a ++++++++的值．
1.
计算：()()()b a a b b a a b b a a b 22222222222211-+-++
2. 化简：代数式32411241111x x x x x x +++-+++.
3.
化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+
4.
化简：()()()()()()a b b c c a c a c b b a a c b c b a ---++------
课后作业。