3-2-2 (10年秋)分式的运算技巧.讲义学生版

内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质
理解分式的基本性质，并能进行简单的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算
理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题
一、比例的性质：
⑴ 比例的基本性质：a c ad bc b d
=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( )
( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩
交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c
=⇒= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd b d b d
±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b
+++=+++（...0b d n +++≠）
二、基本运算
分式的乘法：a c a c b d b d
⋅⋅=⋅ 分式的除法：a c a d a d b d b c b c
⋅÷=⨯=⋅ 乘方：()n n n n
n a a a a a a a a b b b
b b b b b ⋅=⋅=⋅个
个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：
⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数)
⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数)
⑶()n n n ab a b =(n 为整数)
知识点睛
中考要求
分式的运算技巧
⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)
负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c
+±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd
±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．
结果以最简形式存在.
一、分式的换元化简
【例1】 化简：222233223322
23()2b a b a a b a b b a b a b a a b a b a b +++÷---+-
二、利用乘法公式或因式分解法化简
【例2】 计算：221111[
]()()()a b a b a b a b -÷-+-+-
三、分式的递推通分
【例3】 计算：37
22448811248x x x a x a x a x a x x a ---+-+++-
【例4】 计算：2482
112482111111n n
x x x x x x ++++++-+++++(n 为自然数)
【巩固】已知24816
124816()11111f x x x x x x =+++++++++，求(2)f .
例题精讲
四、分式的裂项
【例5】 化简：
111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.
【巩固】化简：
22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++
【巩固】设n 为正整数，求证：
1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.
【例6】 若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求
111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值．
【例7】 化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a ---++-----+--+--+---.
【例8】 化简：222()()()()()()
a bc
b a
c c ab a b a c b c b a c a c b ---++++++++.
【巩固】化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab
------++--+--+--+.
五、分式配对
【例9】 已知：1ax by cz ===，求
444444
111111111111a b c x y z +++++++++++的值.
【例10】 有理数0a ，1a ，2a ，…，n a 满足1i n l a a -=，0i =，1，2，…，n ． 求代数式1010101001211111111n
a a a a ++++++++的值．
1.
计算：()()()b a a b b a a b b a a b 22222222222211-+-++
2. 化简：代数式32411241111x x x x x x +++-+++.
3.
化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+
4.
化简：()()()()()()a b b c c a c a c b b a a c b c b a ---++------
课后作业。