离散数学12格和布尔代数
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第十二章 格和布尔代数
12.1 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证：如果b a ，则)()(c a b c b a ∨∧∧∨
证明
因为b a ，且)(c a a ∨ ，所以)(c a b a ∨∧ 。
又因为b c b ∧，且c a c c b ∨∧ ，所以)(c a b c b ∨∧∧ 。 即)(c a b ∨∧是a 和c b ∧的上界，从而有：
)()(c a b c b a ∨∧∧∨ 。
12.2 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证： （1）)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ （2）)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ (1)证明
因为c a a b a a ∨∨ ,，所以)()(c a b a a ∨∧∨ 。
又因为b a b c b ∨∧ ，且c a c c b ∨∧ ，所以)()(c a b a c b ∨∧∨∧ 。 即)()(c a b a ∨∧∨是a 和c b ∧的上界。 所以，)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ 。 （2）证明
因为a b a ∧，a c a ∧，则有a c a b a )()(∧∨∧。
又因为b b a ∧，有c b b b a ∨∧ ，同理c b c a ∨∧ 。从而有c b c a b a ∨∧∨∧ )()(。 即)()(c a b a ∧∨∧是a 和c b ∨的下界。 因此，)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ 。
10.3 设),,(∧∨A 是一个代数系统，其中∨和∧是满足吸收律的二元运算，证明：∨和∧也满足等幂律。 证明
因为∨和∧是满足吸收律，所以a b a a =∨∧)(，a b a a =∧∨)(。于是有：
)((b a a a a a ∧∨∧=∧
)(c a a ∨∧= （其中b a c ∧=） a =
同理可证，a a a =∨。 故∨和∧也满足等幂律。
10.4 证明：一个格是可分配的，当且仅当对于这个格中的任意元素a ，b 和c ，有
)()(c b a c b a ∧∨∧∨
证明
（1）必要性
因为a c a ∧和c b c b ∧∧ ，所以)()()(c b a c b c a ∧∨∧∨∧ 。 又因为格为分配格，所以)()()(c b c a c b a ∧∨∧=∧∨。 因此，)()(c b a c b a ∧∨∧∨ 。 （2）充分性
因为对于c b a ,,∀，有)()(c b a c b a ∧∨∧∨ ，则
)()()(c c b a c b a ∧∧∨=∧∨ （等幂律）
c c b a ∧∧∨=))(( （结合律） c c b a ∧∧∨))(( （假设） c a c b ∧∨∧=))(( （交换律） )()(c a c b ∧∨∧ （假设）
又因为b a a ∨ ，c c ，所以c b a c a ∧∨∧)( ；同理，c b a c b ∧∨∧)( 因此，c b a c b c a ∧∨∧∨∧)()()( 综上所述，)()()(c b c a c b a ∧∨∧=∧∨ 故该格是可分配的。
10.5 证明一个格),( A 是分配的，当且仅当对A 中的任意元素a ，b 和c ，有
)()()()()()(a c c b b a a c c b b a ∨∧∨∧∨=∧∨∧∨∧
证明
（1）必要性
因为格),( A 是分配的，所以对于任意的A c b a ∈,,，我们有：
)
()()()()()()()
)(())(())()(())()(()
()()(a c c b b a a c a b c b c a a c b c b a a c b b a c c b b a a c c b b a ∨∧∨∧∨=∨∧∨∧∨∧∨=∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∧∨∧∨∧=∧∨∧∨∧
（2）充分性
因为对于任意的A c b a ∈,,，我们有：
)()()()()()(a c c b b a a c c b b a ∨∧∨∧∨=∧∨∧∨∧
从而把上式中的c b a ,,分别代以)(,),()(c b a c a b a ∨∨∧∨得：
)))()(()(())(()))()(((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨∧∨∧∨ )))()(()(())(()))()(((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨=
因为，)))()(()(())(()))()(((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨∧∨∧∨ )))()(()(())(()))(()((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨∧∨∧∨= )))()(()(())(())((c a b a c b c b a a b a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨∧∨= ))()()(()))(((c a b a c b c b a a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨=
))()())((c a b a c b a ∨∧∨∧∨∨= ))()()((a c c b b a a ∧∨∧∨∧∨= )()())((a c c b b a a ∧∨∧∨∧∨= )()(a c c b a ∧∨∧∨= )())((c b a c a ∧∨∧∨= )(c b a ∧∨=
又因为)))()(()(())(()))()(((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨ )()()()()()(c b a c b a c b a c b a c a b a ∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨∧∨=