函数的基本性质_课件
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函数完整版PPT课件
16
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数，实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数，实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
2024/1/28
相位变换
通过改变函数内的常数项，实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数，实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时，函数单调递增 ；当 $k < 0$ 时，函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
2024/1/28
二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）
图像特点
一条抛物线，开口方向由 $a$ 决定（$a > 0$ 时向上开口 ，$a < 0$ 时向下开口），对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
2024/1/28
14
04
三角函数及其性质
函数完整版PPT课件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数，实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数，实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
2024/1/28
相位变换
通过改变函数内的常数项，实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数，实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时，函数单调递增 ；当 $k < 0$ 时，函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
2024/1/28
二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）
图像特点
一条抛物线，开口方向由 $a$ 决定（$a > 0$ 时向上开口 ，$a < 0$ 时向下开口），对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
2024/1/28
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04
三角函数及其性质
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目录
2024/1/28
• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程
新教材必修第一册第三章3.2函数的基本性质(全套课件)
题型二 求函数的单调区间 【典例 2】 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－1 1； (2)f(x)＝|x2－3x＋2|. [思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2) 作出函数 y＝x2－3x＋2 的图象，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴 上方，结合图象写出 f(x)的单调区间．
2．函数的单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上 单调递增 或 单调递减 ，
那么就说函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的 单调区间．
温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，
它是函数的一个局部性质．
(2)函数 f(x)在定义域的某个区间 D 上单调，不一定在定义域 上单调．如 f(x)＝x2 等．
[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？
(2) 若 本 例 (2) 中 “ 定 义 域 ( － ∞ ， ＋ ∞)” 改 为 “ 定 义 域 ( － 1,1)”，其他条件不变，如何求解？
[解] (1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－ a)2，
题型三 函数单调性的应用 【典例 3】 (1)已知函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 在[4，＋∞) 上是增函数，求实数 a 的取值范围． (2)已知 y＝f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且 f(1－ a)<f(2a－1)，求 a 的取值范围． [思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定， 与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关 系．
数 M 满足：
①∀x∈I，都有 f(x)≤M
高中数学必修一 《3 2 函数的基本性质》多媒体精品课件
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．
(× )
(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为
“存在两个自变量”．
(× )
(3)任何函数都有最大值或最小值．
( × )
(4)函数的最小值一定比最大值小．
( √ )
2.函数 y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的
单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变
量的限制条件,以防出错.
[跟踪训练五]
1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
题型二
利用函数的图象求函数的最值
例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的
最值情况,并写出值域.
3-, ≥ 1,
解:y=-|x-1|+2=
函数图象如图所示.
+
+11,
, < 1,
1,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域
为(-∞,2].
称 M 是函数 y＝f(x)
结论
称 M 是函数 y＝f(x)的最小值
的最大值
几何 f(x)图象上最 高 点
意义
的纵坐标
f(x)图象上最低 点的纵坐标
[点睛] 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y
＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(× )
(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为
“存在两个自变量”．
(× )
(3)任何函数都有最大值或最小值．
( × )
(4)函数的最小值一定比最大值小．
( √ )
2.函数 y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的
单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变
量的限制条件,以防出错.
[跟踪训练五]
1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
题型二
利用函数的图象求函数的最值
例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的
最值情况,并写出值域.
3-, ≥ 1,
解:y=-|x-1|+2=
函数图象如图所示.
+
+11,
, < 1,
1,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域
为(-∞,2].
称 M 是函数 y＝f(x)
结论
称 M 是函数 y＝f(x)的最小值
的最大值
几何 f(x)图象上最 高 点
意义
的纵坐标
f(x)图象上最低 点的纵坐标
[点睛] 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y
＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
高中数学—函数的基本性质—完整版课件
• 当 > 时， − < ，则
• − ＝ −
− ＝ − ＝ − ()．
• 综上，对 ∈ (−∞，) ∪ (，＋∞)，
• ∴ ()为奇函数．
都有 − ＝ − ()．
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −， 关于原点对称
• ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据
原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非
奇非偶函数．
• 2、如果满足定义域对称，则计算(−)，看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立，
• 则2(＋)2＋2＝0对任意的实数恒成立．
• ∴ ＝＝0.
函数的单调性
+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, ＋∞)上()的单调区间即可．
•
任取， ∈ (，＋∞)，且 < ，则
应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ，都有 ＋ ＝ ＋ − ，并且当
> 时，() > .
• (1)求证：()是上的增函数；
• (2)若()＝，解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()＝， ∴原不等式可化为( − − ) < ()，
• ∵ ()是上的增函数，
人教版高一数学必修一函数的基本性质最大(小)值课件PPT
●你是否曾遇到过这种情形,离下课还有一点时间时,你对学生 说:“如果你们保持安静,我就不会再布置更多的任务了。”学生 会有哪些反应? 你是否曾发现自己预先安排的内容已经讲完了,却还没到下课时 间,于是决定给学生布置课堂任务来填补这段空白,此时学生有哪 些反应?
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
高中数学1.3函数的基本性质 PPT课件 图文
f (x)
1、单调函数的图象特征； 2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤；
作业 1：证明函数 f(x)＝x＋4x在(0，1)上是减函数． 2、 证明函数f(x)=x 3 在(-∞，+∞)上是增函数.
思考：讨论函数 f(x )x22ax 3
在(-2,2)内的单调性.
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的单调性)
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 (1)由函数解析式求参数
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第三章 函数的概念与性质
(2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变 量的关系 f(a)<f(b)⇔am<≤b（a≤a>nb，），
m≤b≤n. ②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是 D≠在区间 D 上单调． (1)单调区间是 D：指单调区间的最大范围是 D. (2)在区间 D 上单调：指区间 D 是单调区间的子集．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
栏目 导引
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第三章 函数的概念与性质
2．已知函数 f(x)＝2x－＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为减 函数． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)， 且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21－＋x11－x22－＋x12
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第三章 函数的概念与性质
第三章 函数的概念与性质
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 (1)由函数解析式求参数
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第三章 函数的概念与性质
(2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变 量的关系 f(a)<f(b)⇔am<≤b（a≤a>nb，），
m≤b≤n. ②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是 D≠在区间 D 上单调． (1)单调区间是 D：指单调区间的最大范围是 D. (2)在区间 D 上单调：指区间 D 是单调区间的子集．
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第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
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第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
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第三章 函数的概念与性质
2．已知函数 f(x)＝2x－＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为减 函数． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)， 且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21－＋x11－x22－＋x12
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数的基本性质ppt课件
−
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
函数的基本性质.ppt
数x总有f(-x)=f(x)，且f(x)在区间(-∞，-1]上是增
函数，则( )
A.
f(
3) 2
<f(-1)<f(2)
B.f(-1)< f( 3)<f(2)
2 C.f(2)<f(-1)<
f(
3) 2
D.f(2)< f( 3) <f(-1)
2
2020-11-16
xx
9
【解析】选D.由f(-x)=f(x)可知f(2)=f(-2)，而f(x)
2020-11-16
xx
12
类型二：利用奇偶性、单调性求最值 【典例2】(1)设f(x)在[-2，-1]上为减函数，最小值 为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1，2]上 ( ) A.为减函数，最大值为3 B.为减函数，最小值为-3 C.为增函数，最大值为-3 D.为增函数，最小值为3
2020-11-16
函数的基本性质
2020-11-16
xx
1
学习目标 1.会用函数的单调性、奇偶性求最值； 2.能运用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式等问题； 重难点 1.能运用函数的单调性、奇偶性求最值； 2.单调性、奇偶性的灵活运用； 学法指导 1.系统总结函数的重要性质，结合例题明确性质间的相互联系及在解决问题中的作用； 2.进一步提升分析问题、解决问题的能力。
2020-11-16
xx
2
类型一：利用奇偶性、单调性比较大小 【典例1】(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0 时，f(x)单调递减.则下列各式成立的是 ( ) A.f(1)<f(-3) B.f(3)>f(2) C.f(-2)>f(3) D.f(2)>f(0)
函数的概念和性质PPT课件
x 0为第二类间断点 .
这种情况称为的振荡间 断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
★ 狄利克雷函数
1, 当x是有理数时, y D( x ) 0, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. ★
x , 当x是有理数时, f ( x) x , 当x是无理数时,
0
0
连续函数必有极限, 有极限不一定是连续函数. 例如
limsin x / x 1, 但函数sin x / x在x 0处不连续.
x 0
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x x 0, 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点 .
这种情况称为无穷间 断点.
1 例7 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性. x 解 在x 0处没有定义,
1 且 lim sin 不存在. x0 x
y sin 1 x
2
x0 是否连 续？又若| f ( x ) | 、 f ( x ) 在x0 连续， f ( x ) 在 续？
2
思考题解答
1、一类；一类；二类。 2、 f ( x ) 在x0 连续， lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
且 0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
f ( x ) f ( x 0 ) (或 f ( x ) f ( x 0 )) 则称 f ( x 0 )是函数 f ( x )在X上的最大值(最小值).
函数概念及性质课件
03
函数的运算
函数的四则运算
01
02
03
04
加法运算
函数加法是指将两个函数的值 分别对应相加，得到一个新的
函数。
减法运算
函数减法是指将一个函数的值 对应相减，得到一个新的函数
。
乘法运算
函数乘法是指将两个函数的值 分别对应相乘，得到一个新的
函数。
除法运算
函数除法是指将一个函数的值 对应相除，得到一个新的函数
幂函数的定义
幂函数是指形式为$y=x^n$的函数，其中$n$为实数。
幂函数的性质
幂函数具有指数为实数、幂次为整数、幂次为负数等性质，其性质与 指数和幂次有关。
幂函数的图象
幂函数的图象根据指数的不同而变化，当指数为正整数时，幂函数的 图象为凸函数；当指数为负整数时，幂函数的图象为凹函数。
对数函数
对数函数
利用函数的单调性
通过函数的单调性判断函 数的增减性，进而解决不 等式问题。
利用函数的奇偶性
利用函数的奇偶性判断函 数的对称性，简化函数图 像的绘制。
利用函数的周期性
利用函数的周期性，可以 快速求解一些周期性问题 。
利用函数解决物理问题
描述运动规律
利用函数描述物体的运动规律， 如匀速运动、匀加速运动等。
分析电路特性
利用函数分析电路的电压、电流 等特性，理解电路的工作原理。
解决波动问题
利用函数描述波动现象，如声波 、光波等，分析波的传播规律。
05
函数的扩展Байду номын сангаас识
分段函数
分段函数
分段函数是指函数在其定义域的不同 区间上由不同的表达式所表示的函数 。分段函数广泛应用于实际生活中， 如气温变化、人口增长等。
函数的性质ppt课件
社会学
在社会学中，函数被用于描述和分析各种社会现象。例如，犯罪率是社会环境和政策的函数，教育程度 是个人背景和社会环境的函数等。
05
总结与展望
总结
函数的导数
函数的导数是指函数在某一点处的切线斜 率，可以反映函数的变化速率和方向。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间上的函数 值变化趋势，可以分为单调递增和单调递 减两种情况。
周期性的判断
可以通过寻找是否存在这样的T来 判断函数是否具有周期性。
凹凸性
凹函数
如果函数f(x)在区间I上任 一点处的切线的斜率都大 于0，则称f(x)为凹函数。
凸函数
如果函数f(x)在区间I上任 一点处的切线的斜率都小 于0，则称f(x)为凸函数。
凹凸性的判断
可以通过计算二阶导数来 判断函数的凹凸性。
函数的值域是指因变 量取值范围。
02
函数的性质
奇偶性
奇函数
如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则 称f(x)为奇函数。
偶函数
如果函数f(x)满足f(-x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。
奇偶性判断
根据奇偶函数的定义，可以通过计 算f(-x)与f(x)的关系来判断函数的奇 偶性。
单调性
概率统计
在概率统计中，函数用于描述随机变量的概率分布和统计特征。通过函 数，我们可以表示和解决许多实际问题，如概率密度函数和分布函数等 。
函数在自然科学中的应用
物理学
在物理学中，函数被广泛应用于描述物体的运动、力的相互作用、电磁场等。例如，牛顿 第二定律 F=ma 就描述了力与加速度之间的关系，而加速度是速度的函数。
函数的表示方法
01
02
03
在社会学中，函数被用于描述和分析各种社会现象。例如，犯罪率是社会环境和政策的函数，教育程度 是个人背景和社会环境的函数等。
05
总结与展望
总结
函数的导数
函数的导数是指函数在某一点处的切线斜 率，可以反映函数的变化速率和方向。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间上的函数 值变化趋势，可以分为单调递增和单调递 减两种情况。
周期性的判断
可以通过寻找是否存在这样的T来 判断函数是否具有周期性。
凹凸性
凹函数
如果函数f(x)在区间I上任 一点处的切线的斜率都大 于0，则称f(x)为凹函数。
凸函数
如果函数f(x)在区间I上任 一点处的切线的斜率都小 于0，则称f(x)为凸函数。
凹凸性的判断
可以通过计算二阶导数来 判断函数的凹凸性。
函数的值域是指因变 量取值范围。
02
函数的性质
奇偶性
奇函数
如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则 称f(x)为奇函数。
偶函数
如果函数f(x)满足f(-x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。
奇偶性判断
根据奇偶函数的定义，可以通过计 算f(-x)与f(x)的关系来判断函数的奇 偶性。
单调性
概率统计
在概率统计中，函数用于描述随机变量的概率分布和统计特征。通过函 数，我们可以表示和解决许多实际问题，如概率密度函数和分布函数等 。
函数在自然科学中的应用
物理学
在物理学中，函数被广泛应用于描述物体的运动、力的相互作用、电磁场等。例如，牛顿 第二定律 F=ma 就描述了力与加速度之间的关系，而加速度是速度的函数。
函数的表示方法
01
02
03
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的最大值、最小值)
A．－1，0 C．－1，2 答案：C
B．0，2 D．12，2
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上( ) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
解析：选 A.结合函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上的图象可知函数有 最大值无最小值．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
图象法求最值的一般步骤
栏目 导引
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 函数的概念与性质
1．函数 f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最 小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
解析：选 C.由函数的图象知，当 x＝－2 时，有最小值－2；当
x＝5 时，有最大值 f(5)．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
x2－x（0≤x≤2），
2．已知函数 f(x)＝x－2 1（x>2），
求函数 f(x)的最大值和
最小值．
解：作出 f(x)的图象如图．由图象可知，当 x＝2 时，f(x)取最 大值为 2； 当 x＝12时，f(x)取最小值为－14. 所以 f(x)的最大值为 2，最小值为－14.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
利用函数的单调性求最值 已知函数 f(x)＝xx－＋12，x∈[3，5]． (1)判断函数 f(x)的单调性，并证明； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值． 【解】 (1)f(x)是增函数．证明如下： ∀x1，x2∈[3，5]且 x1<x2， f(x1)－f(x2)＝xx11＋－21－xx22＋－21＝（x13＋（2x）1－（xx22）＋2），
高三第一轮复习《函数的基本性质》市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
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考点 六
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真题再现
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误区警示
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规律探究
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即时巩固
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考点 二
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考点 五
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学案3 函数性质
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考点 六 考点 五 考点 四 考点 三 考点 二 考点 一
考纲解读 考向预测 课前热身
考点突破
即时巩固 课后拔高
真题再现 误区警示 规律探究
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考纲解读
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考向预测
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函数的基本性质PPT精品课件
k p= V 例2：物理学中的玻意耳定律
（k为正常数） 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数 即可。
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1 探究： y= 画出反比例函数 x 的图象。 （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明 你的结论。
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售 出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1 元，其销售量减少10个，为了赚到最大利 润，售价应定为多少？ 解：设利润为 x 元，每个售价为 x 元，则 每个涨（ x －50）元，从而销售量减少 10( x 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个) 2 ∴ y=(x-40)(1000-10x) =-10(x-70) 9000 (50 x＜100） ∴ x = 70时 ymax = 9000 ∴答：为了赚取最大利润，售价应定为70 元．
考点二 函数奇偶性的判定
判断函数的奇偶性，应该首先 分析函数的定义域，在分析时，不 要把函数化简，而要根据原来的结 构去求解定义域，如果定义域不关 于原点对称，则一定是非奇非偶函 数．
课堂互动讲练
例2 判断下列各函数的奇偶性： 1 2 (1)f(x)＝lgx ＋lg 2； x 1＋x (2)f(x)＝(x－1) ； 1－x x2＋x，x<0 (3)f(x)＝ 2 － x ＋x，x>0； lg(1－x2) (4)f(x)＝ . |x－2|－2
基础知识梳理
3.奇偶函数的定义域有何特点？ 【思考·提示】 若函数f(x)具 有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点 对称．反之，若函数的定义域不关于 原点对称，则该函数无奇偶性．
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单调性的概念 单调性的概念
定义法证明函数单调 性
定义法证明函数单调性 ．
观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标 ． 如何使用函数的解析式和数学语言
刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形” ？
最低点的坐标是（0，0
最高点的坐标是（0，0
最大(小)值 请您观察下列图象,比较两个函数图象及其值域,您能发现什么 ?
图中竖轴表示学习中记住的知识数 量，横轴表示时间(天数)，曲线表 示记忆量变化的规律．这条曲线告 诉人们在学习中的遗忘是有规律的 ，遗忘的进程很快，并且先快后慢 ．观察曲线，你会发现,学得的知 识在一天后，如不抓紧复习,就只 剩下原来的25%．随着时间的推 移,遗忘的速度减慢，遗忘的数量 也就减少．
2.根据定义证明函数f(x)=3x+2是增函 数
方法·规律·小结
函数单调性的判定方 (1)定法义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值→ 作 (2)图象法：画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋 势 (3)直接法：对于熟悉的函数，如一次函数、二次函数和反比 例函数等，直接写出它们的单调区间
前情回顾
函数的概念 函数的表示方法 常见的函数图象：正比例函数、反比例函数 、一次函数、二次函数
复习：几个常见函数的图 像
y=x+1
1 -1
y=-2x+2 2
1
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数 的哪些变化规律：
观察这三个图象，你能说出图象的特征吗 ？
德国 心理学家 艾宾浩斯 (H，Ebbinghaus）研究 发现，遗忘在学习之后 立即开始，而且遗忘的 进程并不是均匀的．最 初遗忘速度很快，以后 逐渐缓慢．他认为“保 持和遗忘是时间的函数 ”，你能用数学语言描 述这个变化过程吗？
【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数是一次函 数，再根据k>0,k<0时函数的单调性进行解答．
【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2 ； k>0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2; k<0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.
【提示】二次函数的对称轴x=a是函数单调区间的分界点．根据二 次函数的对称轴和区间[0,4]的关系，分 a<0,0 ，a>4,结合函数的单调性解决．画出不 同情况下函数的图象，有利于理清解题的思路．
【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函 数
【答案】最大值是9，最小值是-3.
【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[-1,0]上是减函数，在区间 (0,3]上是增函数，最小值一定在x=0时取得，最大值就是区间的两个端 点的函数值中最大的．
【答案】最大值9，最小值 0. 对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，今后可 以不加证明地使用他们的单调性求函数最值
最大(小)值
请您观察函数图像，说明最大值的含 义
探究 对函数最值的理 解
函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值 是函数在整个定义域上的最大的值或者是最小的值．
1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望它在
达到最高点爆裂．如果烟花离地面的高度h（单位m)与时间t(
单位s)之间的关系为
精品 课件
高中数学必修1
第三章 函数概念与性质
函数的基本性质
新教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
理解单调函数，奇偶函数的定义，理解增函数、减函数、奇 函数、偶函数的定义； 掌握定义法判断函数单调性，奇偶性的方法 会；结合函数图像解决简单问题 ．
教学重点
函数单调性，奇偶性的判断和应用 ．
教学难点
函数单调性，奇偶性的判断和应用 ．
必须是对于区间D内的任意两个自变量
；当
时
，总有
或
单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就 说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 y=f(x)的单调区间.
判断函数单调性的方法步 骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤 ：
3 变形（通常是因式分解和配方） ; 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性） ．
1.根据定义，研究函数f(x)=kx +b(k≠0)的单调 性.
2.物理学中的玻意耳定律
告诉我们，
对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试
用函数的单调性证明之．
取值
做差
变形
定号 结论
1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量 间的关系。
解答 生产效率随生产线.上工人数量的增加而增 加，效率达到极点后，生产效率随生产线上 工人的增加而减小。
函数 况.
中自变量的不同位置时，函数值的变化情
函数 况.
中自变量的不同位置时，函数值的变化情
函数 况.
中自变量的不同位置时，函数值的变化情
函数 况.
中自变量的不同位置时，函数值的变化情
函数 况.
中自变量的不同位置时，函数值的变化情
上升
下降
先下降后上升
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降 趋势吗？
在某一区间内， 当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升 ；当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降 ．
如何用x与 f(x)来描述上升的图象 ？
增函数
如何用x与 f(x)来描述下降的图象 ？
减函数
注意
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数 的局部性质；
，那么烟花冲出后什
么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多少（精确到1
m）？
分析：烟花的高度是时间的二次函数，根 据题意就是求出这个二次函数在什么时刻 达到最大值，以及这个最大值是多少．
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶 点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，顶点的纵坐 标就是距地面的高度．
【分析】这个函数在区间[2,6]上，显然解析式的分母是正值且随着自变量 的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数 在区间[2，6]上是减函数，因此这个函数在定义的两个端点上取得最值．
【解题过程分析】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据 这个单调性确定函数取得最值的点．因此解题过程分为两个部分，证明 函数在[2，6]上是减函数，求这个函数的最大值和最小值．