理论力学第七版第十章动量定理共64页
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理论力学第十章
第十章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理。
注意动量、动量矩、动能与力系的主矢、主矩和做功之间的关系。
注意刚体上的一个重要的点：质心。
重点：动量定理和质心运动定理。
§10--1 动量与冲量1、动量的概念：物体之间的相互作用效应跟质量与速度的乘积有关。
飞针穿透玻璃；高速路上的飞石；飞鸟撞击飞机；子弹击中目标。
/ kg m s单位:⑴、质点的动量：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。
()mv 动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
⑵、质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
李禄昌1()n i i i p m v ==∑()i i c m r r m∑=质心公式：1()n i i i dr m dt ==∑()i i d m r dt =∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？⑵、质点系的动量：( )c d m r dt = cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
c ωv C =0v Cc ωc o v C2．冲量的概念：I Ft =常力的冲量：I F t =d d 变力的元冲量：0tI F t=⎰d 在作用时间t 内的冲量: 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
冲量：作用力与作用时间的乘积。
冲量是矢量，冲量的单位是N.S 。
在~ 内，速度由~ ，有1t 2t 1v 2v §10-2 动量定理1、质点的动量定理：由牛顿第二定律：()mv Ft =d d ()mv F t=d d 得：质点动量定理的微分形式：质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
221t mv mv F t I -==⎰d外力：，内力：()e i F ()i i F 质点动量定理的积分形式：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。
理论力学第十章PPT
(i )
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力 元冲量的矢量和； 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和。
在 t1 t2 内，动量由 p1~ p2 ，有 ~
p2 − p1 = ∑ Ii(e)
i=1
n
称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间 间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内 作用于质点系外力冲量的矢量和。 动量定理微分形式的投影式
dpx = ∑ Fx(e) dt
dpy dt
= ∑F
(e) y
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律 ．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ， 则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0， 则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
第十章 动 量 定 理
§10-1 动量与冲量
1．动量 ． 质点的动量 质点系的动量
mv
n i=1
单位： kg⋅ m/ s
p = ∑mivi
dri d p = ∑mivi = ∑mi = ∑mi ri dt dt ∑mi ri 质心 rc = ， m = ∑mi m
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力 元冲量的矢量和； 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和。
在 t1 t2 内，动量由 p1~ p2 ，有 ~
p2 − p1 = ∑ Ii(e)
i=1
n
称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间 间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内 作用于质点系外力冲量的矢量和。 动量定理微分形式的投影式
dpx = ∑ Fx(e) dt
dpy dt
= ∑F
(e) y
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律 ．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ， 则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0， 则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
第十章 动 量 定 理
§10-1 动量与冲量
1．动量 ． 质点的动量 质点系的动量
mv
n i=1
单位： kg⋅ m/ s
p = ∑mivi
dri d p = ∑mivi = ∑mi = ∑mi ri dt dt ∑mi ri 质心 rc = ， m = ∑mi m
10《理论力学》课件
n
r I (e)
i
i 1
－－质点系动量定理微分形式的投影式 －－质点系动量定理的积分形式
即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段时
间内作用于质点系外力冲量的矢量和.
p2 x
p1x
I
(e) x
p2 y
p1y
I (e) y
p2 z
p1z
I
(e) z
－－质点系动量定理积分形式的投影式
3．质点系动量守恒定律
r dIi(e)
Fi(i)dtr dp
或
dt
r F (e)
i
－－质点系动量定理的微分形式
即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢 量和;或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的 矢量和.
dpx dt
F (e) x
dpy dt
F (e) y
dpz dt
F (e) z
pr 2
pr1
力在此段时间内的冲量.
2.质点系的动量定理
外力: 内力性质:
r Fi ( e,)
r
r
内力:
F (i) i
r
r
F (i) i
0
MO (Fi(i) ) 0
r Fi(i)dt
0
质 点: 质点系:
dpr
d(mivri )
r d(mivi
)
r
Fi(e)dt
r
r
Fi
(e)dt
r
Fi(i)dt
r
Fi(e)dt
问题：内力是否影响质心的运动？ 质心运动定理与动力学基本方程有何不同？
在直角坐标轴上的投影式为:
ma
Cx
理论力学课件-动量定理
所以， 所以，系统的动量大小为
vA
A D
C
p=
p +p
2 x
2 y
ω O
vE
φ E
1 = (5 1 +4m )lω m 2 2
方向余弦为为
vD
x
px c s( p x) = o , , p
co p y) = s( ,
py p
22
解法二: 解法二 整个机构的动量等于曲柄OA、规尺 、 整个机构的动量等于曲柄 、规尺BD、 滑块B 的动量的矢量和， 滑块 和D的动量的矢量和，即 的动量的矢量和
y vB B
vA
A D x
p = pOA + pBD + pB + pD
其中曲柄OA的动量 OA=m1vE ,大小是 其中曲柄 的动量p 的动量 大小是
ω O
vE
φ E
vD
y
pOA = m1vE = m1lω/2
其方向与v 一致，即垂直于OA并顺着 并顺着ω的转 其方向与 E一致，即垂直于 并顺着 的转 向(图 b) 图
31
质点系动量定理
p = ∑ mi vi
d(mvi ) d p i =∑ = d t d t
n
∑ma =∑F
i i i
n n d (mi vi ) = ∑ Fi (e ) + ∑ Fi (i ) ∑ dt i =1 i =1 i =1
∑F =0 i
(i)
dp (e) =∑ i F dt
质点系动量对时间的导数， 质点系动量对时间的导数，等于作用于它 上所有外力的矢量和，称为动量定理 动量定理。 上所有外力的矢量和，称为动量定理。
？
14
9.1 动量与冲量
vA
A D
C
p=
p +p
2 x
2 y
ω O
vE
φ E
1 = (5 1 +4m )lω m 2 2
方向余弦为为
vD
x
px c s( p x) = o , , p
co p y) = s( ,
py p
22
解法二: 解法二 整个机构的动量等于曲柄OA、规尺 、 整个机构的动量等于曲柄 、规尺BD、 滑块B 的动量的矢量和， 滑块 和D的动量的矢量和，即 的动量的矢量和
y vB B
vA
A D x
p = pOA + pBD + pB + pD
其中曲柄OA的动量 OA=m1vE ,大小是 其中曲柄 的动量p 的动量 大小是
ω O
vE
φ E
vD
y
pOA = m1vE = m1lω/2
其方向与v 一致，即垂直于OA并顺着 并顺着ω的转 其方向与 E一致，即垂直于 并顺着 的转 向(图 b) 图
31
质点系动量定理
p = ∑ mi vi
d(mvi ) d p i =∑ = d t d t
n
∑ma =∑F
i i i
n n d (mi vi ) = ∑ Fi (e ) + ∑ Fi (i ) ∑ dt i =1 i =1 i =1
∑F =0 i
(i)
dp (e) =∑ i F dt
质点系动量对时间的导数， 质点系动量对时间的导数，等于作用于它 上所有外力的矢量和，称为动量定理 动量定理。 上所有外力的矢量和，称为动量定理。
？
14
9.1 动量与冲量
理论力学第七版第十章 动量定理
第九章 质点动力学的基本方程 课程回顾 1、牛顿三定律适用于惯性参考系
(1) 质点具有惯性，其质量是惯性的度量 质点具有惯性， (2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例 (2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例 (3)作用力与反作用力等值、方向、共线， (3)作用力与反作用力等值、方向、共线，分别 作用力与反作用力等值 作用于两物体上。 作用于两物体上。
§10-1 动量与冲量 10一、冲 量
单位： N·s 1、常力的冲量 常力与作用时间t的乘积 F·t 称为常力的冲量。并用I表 常力与作用时间t 称为常力的冲量。并用I 冲量是矢量，方向与力相同。 示，冲量是矢量，方向与力相同。
I = F⋅ t
2、变力的冲量 若力F是变力， 若力 是变力，可将力的作用时间 t 分成无数的微小时间 是变力 dt，在每个 dt 内，力 F 可视为不变。 可视为不变。 ， 元冲量——力 元冲量——力F在微小时间段 dt 内的冲量称为力F 的元冲量。 内的冲量称为力F 元冲量。 变力 F 在 t1~t2 时间间隔内的冲量为： 时间间隔内的冲量为：
§10-2 动量定理 10二、冲量定理
p2 − p1 = ∑∫ F dt ≡ ∑I
t1
t2
t2
(e)
具体计算时，往往写成投影形式， 具体计算时，往往写成投影形式，即
p2x − p1x = ∑∫ Fx dt ≡ ∑Ix
t1
(e)
p2y − p1y = ∑∫ Fy dt ≡ ∑Iy
t2 t1
(e)
p2z − p1z = ∑∫ F dt ≡ ∑Iz z
I = ∫ Fdt
t1
t2
§10-1 动量与冲量 102、变力的冲量
t
I =∫ F dt
(1) 质点具有惯性，其质量是惯性的度量 质点具有惯性， (2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例 (2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例 (3)作用力与反作用力等值、方向、共线， (3)作用力与反作用力等值、方向、共线，分别 作用力与反作用力等值 作用于两物体上。 作用于两物体上。
§10-1 动量与冲量 10一、冲 量
单位： N·s 1、常力的冲量 常力与作用时间t的乘积 F·t 称为常力的冲量。并用I表 常力与作用时间t 称为常力的冲量。并用I 冲量是矢量，方向与力相同。 示，冲量是矢量，方向与力相同。
I = F⋅ t
2、变力的冲量 若力F是变力， 若力 是变力，可将力的作用时间 t 分成无数的微小时间 是变力 dt，在每个 dt 内，力 F 可视为不变。 可视为不变。 ， 元冲量——力 元冲量——力F在微小时间段 dt 内的冲量称为力F 的元冲量。 内的冲量称为力F 元冲量。 变力 F 在 t1~t2 时间间隔内的冲量为： 时间间隔内的冲量为：
§10-2 动量定理 10二、冲量定理
p2 − p1 = ∑∫ F dt ≡ ∑I
t1
t2
t2
(e)
具体计算时，往往写成投影形式， 具体计算时，往往写成投影形式，即
p2x − p1x = ∑∫ Fx dt ≡ ∑Ix
t1
(e)
p2y − p1y = ∑∫ Fy dt ≡ ∑Iy
t2 t1
(e)
p2z − p1z = ∑∫ F dt ≡ ∑Iz z
I = ∫ Fdt
t1
t2
§10-1 动量与冲量 102、变力的冲量
t
I =∫ F dt
理论力学第10章(动量定理)
从而摩擦力为 Fd f FN f (F sin 45o mg cos 30o)
代入(1)式，求得所需时间为
t
mv
0.0941 s
F cos 45o mg sin 30o f (F sin 45o mg cos 30o)
理论力学
18
[例6]如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑 动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。
rvC
mi rvi mi
mirvi m
设rrC
r xCi
r yC j
r zCk ,则
xC
mi xi m
,
yC
mi m
yi
,
zC
mi zi m
理论力学
4
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心 是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。
d dt
(mvz )
Fz
质点的动量守恒
Fx
dt
mv2 y
mv1y
Iy
t2
t1
Fy
dt
mv2z
mv1z
Iz
t2
t1
Fz
dt
若 F 0 ，则 mv 常矢量，质点作惯性运动
若 Fx 0 ，则 mvx 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动
二、质点系的动量定理
对质点系内任一质点 i，
都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量
也为m。求当 = 45º时系统的动量。
解:
曲柄OA： m , vC1
理论力学@10动量定理
第10章 动量定理主要内容10.1.1 质点系动量及冲量的计算质点的动量为v K m =质点系的动量为C i i m m v v K ∑=∑=式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中v Ci 为第i 个刚体质心的速度。
常力的冲量t ⋅=F S力系的冲量⎰∑=∑=21d )(t t i i t t F S S或⎰⎰=∑=2121d )(d )(R t t t t i t t t t F F S10.1.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即)(d de i tF K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0)(=∑e iF ，质点系动量守恒，即K =常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。
10.1.3 质心运动定理质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即()())(d d d de i i i c m tM t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为)(1Cie i ni m F a∑=∑=式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。
10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。
若流体的流量为Q ，密度为ρ。
流体流经弯管时的附加动约束力为)(12Nv v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。
基本要求1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。
2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。
当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。
3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。
第十章动量定理PPT课件
va a a1
FN qV r(vb va )
FN
G
b b1
b b1
Fb vb
第27页/共42页
例 水流在等截面直角弯管中作定常流动，流速为v，弯管横截面面积为A， 求管壁对流体的附加动反力。
y v1
v2 x
第28页/共42页
FN qV r(vb va ) qv A1v1 A2v2 Av
第22页/共42页
解: 应用动量定理求解
p m2ew px m2ew coswt py m2ewsinwt
由
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1g m2g
得 Fx m2ew 2 sin wt Fy (m1 m2 )g m2ew 2 coswt
第23页/共42页
另解 应用质心运动定理求解
rC
miri m
m m i
z
Mi
ri rC
C
zi
zC
O
yi
xi
y xC
x
yC
xC
mixi m
,
yC
mi m
y
i
,
zC
m iz m
i
在地面附近，质点系的质心与重心相重合。 质心比重心具有更广泛的意义。
第31页/共42页
2、 质心运动定理
rC
miri m
改写为 mrC miri
两边对时间求导
py mvCy myC m1lw coswt
系统动量的大小为:
p
p
2 x
p
2 y
lw
4(m1 m2 )2 sin 2 wt m12 cos2 wt
第9页/共42页
理论力学第十章课件 动量定理
p解 :pd0t内ppa流b1bb11过截ppa面baa的1 (质pb量b1 及p动a1量b )变 (化p为a1b paa1 )
qV dt(vb va )
流体受外力如图, 由动量定理,有
qV
dt(vb
va
)
(P
Fa
Fb
F )dt
即
qV
(vb
va
)
P
Fa
Fb
F
设
F
F
F
F
解:如图所示
m1 m2 aCx Fx F
xC
m1
r 2
cos
m2 r cos
b
m1
1 m2
aCx
d2 xC dt 2
r 2
m1 m2
m1 2
m2
cos
t
应用质心运动定理,解得
Fx
F
r 2
m1 2
m2
cos
t
显然,最大水平约束力为
Fmax
F
r 2
m1 2
m2
e 例 10-6 地面水平,光 质量 m2.
求:质心运动方程、轨迹及系统动量.
解:设 t ，质心运动方程为
xC
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos t
2(m1 m2 ) l cost
2m1 m2
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin
t
m1 2m1
m2
l sin
t
消去t 得轨迹方程
[
xc
mAxA mB (xA a b) 0
mA 3mB
xA
qV dt(vb va )
流体受外力如图, 由动量定理,有
qV
dt(vb
va
)
(P
Fa
Fb
F )dt
即
qV
(vb
va
)
P
Fa
Fb
F
设
F
F
F
F
解:如图所示
m1 m2 aCx Fx F
xC
m1
r 2
cos
m2 r cos
b
m1
1 m2
aCx
d2 xC dt 2
r 2
m1 m2
m1 2
m2
cos
t
应用质心运动定理,解得
Fx
F
r 2
m1 2
m2
cos
t
显然,最大水平约束力为
Fmax
F
r 2
m1 2
m2
e 例 10-6 地面水平,光 质量 m2.
求:质心运动方程、轨迹及系统动量.
解:设 t ，质心运动方程为
xC
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos t
2(m1 m2 ) l cost
2m1 m2
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin
t
m1 2m1
m2
l sin
t
消去t 得轨迹方程
[
xc
mAxA mB (xA a b) 0
mA 3mB
xA
理论力学10动量矩定理
3D空间应用
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
理论力学第七版
Reduction of Forces System) 等效力系、力系的简化、合力、分力 3、建立各种力系的平衡条件(Establishing Equilibrium
Conditions for Forces System) 研究作用在物体上的各种力系所需满足的平衡条件。 按作用线所在的位置，分为平面力系和空间力系。 按作用线之间的相互关系，分为共线力系、平行力系、汇 交力系和任意力系。 满足平衡条件的力系成为平衡力系。
绪论 Preface
一、理论力学的研究对象和内容(Object and Contents of Study
for Theoretical Mechanics)
理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学。物体在
空间的位置随时间的改变，称为机械运动。平衡是机械运
动的特殊情况。
研究内容(Contents of Study)：
Concurrent Equilibrium)
公理4 (Axiom 4) 作用和反作用定律(Action and Reaction Law) 公理5 (Axiom 5) 刚化原理(The Principle of rigid body)
4、力系(Forces System)：作用于物体上的一群力。 5、平衡(Equilibrium)：物体相对于惯性参考系（如地面）
保持静止或作匀速直线运动。
静 力 学（引言）
二、研究内容(Contents of Study) 1、物体的受力分析(Free-body Diagram) 分析物体所受的力，以及每个力的作用位置和方向。 2、力系的等效替换（或简化）(Equivalent Replacement or
equilibrium)
公理3 (Axiom 3) 加减平衡力系原理(The Principle of Addition or
Conditions for Forces System) 研究作用在物体上的各种力系所需满足的平衡条件。 按作用线所在的位置，分为平面力系和空间力系。 按作用线之间的相互关系，分为共线力系、平行力系、汇 交力系和任意力系。 满足平衡条件的力系成为平衡力系。
绪论 Preface
一、理论力学的研究对象和内容(Object and Contents of Study
for Theoretical Mechanics)
理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学。物体在
空间的位置随时间的改变，称为机械运动。平衡是机械运
动的特殊情况。
研究内容(Contents of Study)：
Concurrent Equilibrium)
公理4 (Axiom 4) 作用和反作用定律(Action and Reaction Law) 公理5 (Axiom 5) 刚化原理(The Principle of rigid body)
4、力系(Forces System)：作用于物体上的一群力。 5、平衡(Equilibrium)：物体相对于惯性参考系（如地面）
保持静止或作匀速直线运动。
静 力 学（引言）
二、研究内容(Contents of Study) 1、物体的受力分析(Free-body Diagram) 分析物体所受的力，以及每个力的作用位置和方向。 2、力系的等效替换（或简化）(Equivalent Replacement or
equilibrium)
公理3 (Axiom 3) 加减平衡力系原理(The Principle of Addition or
理论力学第10章
第 第10 10章 动量定理和 动量定理和动量矩定理动量矩定理第 第10 10章 动量定理和动量矩定理 □ 动量定理、动量矩定理 □ 质心运动定理 □ 讨论□ 质点系相对质心的动量矩定理□动量定理和动量矩定理的应用□ 动量、动量矩动量、动量矩★ 质点动量质点动量 质点的动量质点的动量 (momentum) —— 质点的 质量与质点速度的乘积，称为质点的动量质量与质点速度的乘积，称为质点的动量 = vp m = 动量具有矢量的全部特征，所以动量 是矢量，而且是定位矢量。
是矢量，而且是定位矢量。
所有质点动量的矢量和，称为 所有质点动量的矢量和，称为质点系的动 量 量，又称为 ，又称为动量系的主矢量 动量系的主矢量，简称为 ，简称为动量主矢 动量主矢。
= ii im v p å = ★ 质点系动量质点系动量 质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬时都具有各自的动量矢。
质点系中所有质点动量矢的集合，称为 的动量矢。
质点系中所有质点动量矢的集合，称为动量系。
动量系。
= ) , , , ( 2 2 1 1 nn m m m v v v p × × × = 根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式 iii Cmm i i i C å = rr iii Cmm i i i C å = vv Cm v p =★ 冲量冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量，用I 表示即 I = F t若作用力F 为变量，在微小时间间隔d t 内，F 的冲量称为元冲量。
即 d I = F d t力F 在作用时间t 内的冲量是矢量积分ò = ttd F I★ 质点动量矩 ★ 质点系动量矩□ 动量矩动量矩( v r v M mm O ´ = ) ( 质点对于点 质点对于点OO 的位矢与质点 动量叉乘，所得到的矢量称为 质点对于点 质点对于点O O 的动量矩。
理论力学-动量定理
第10章 动量定理
几个有意义的实际问题 动量定理与动量守恒 质心运动定理 应用举例
几个有意义的实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几个有意义的实际问题
？ 偏心转子电动机工作时为什么会左右运动？
这种运动有什么规律？ 会不会上下跳动？
几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时， 磅 秤指示数会不会发生的变化？
建立Oxy 坐标系。
yA 2lsin
xB 2lcos
vA yA 2l cos 2l cos
vB
vxB xB 2l sin 2l sin
B p 2lm sini 2lm cosj
2lm (-sini cosj)
参考性例题 1
动量定理与动量守恒
质点系的动量定理
对质点系中第i个质点应用牛顿第二定律有：
d dt
(mi
vi )
Fiபைடு நூலகம்
Fii Fie
其中
F
i i
内力）；
为质点系中其它质点作用在第 i 个质点上的力（即
F
e i
为质点系以外的物体作用在第
i 个质点上的力（即外
力）质。点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一阶导数，等于作
p mv
动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量。 动量具有明显的物理意义，它是力的作用效应的一种量度。 如：子弹的质量很小，但由于其运动速度很大，故可穿透坚硬 的钢板；即将靠岸的轮船，虽速度很慢，但由于质量很大，仍 可撞坏用钢筋混凝土筑成的码头。
动量定理
质点系的动量
质点系中所有质点动量的矢量和，称 为质点系的动量。
理论力学基础动量定理讲解
m a m d d v tF d d(m tv ) F
微分形式： d(mv)FdtdI
t2
积分形式： mv2 mv1 Fdt I t1
理论力学基础动量定理讲解
21
投影形式： ddt(mvx)Fx
ddt(mvy) Fy ddt(mvz) Fz
质点的动量守恒
若 F 0 ，则 mv常矢量，
若 Fx 0 ，则 mvx 常量，
16
例题. 水平面上放一均质 三棱柱 A,在此三棱柱上又 放一均质三棱柱B. 两三棱
柱的横截面都是直角三角
B
形,且质量分别为M和m.设
各接触面都是光滑的,在图 A
示瞬时, 三棱柱A的速度为
v, 三棱柱B相对于A的速度 为u, 求该瞬时系统的动量.
理论力学基础动量定理讲解
17
解:取系统为研究对象
B
PAx = M v PAy = 0
A
v vcy vc
C
vcx
设 杆AB质心 C 的速度为vC
由 vc = ve + vr
ve = v
vr
1 2
l
B
1 vcxv2lc os
vcy
1l 2
sin
PAB x m v1 2mlcos PABy12mlsin
PxMmv1 2mlcos
பைடு நூலகம்
Py
1mlsin 2
理论力学基础动量定理讲解
则小三角块 vavvr 由水平方向动量守恒及初始静止；则
M(v)mavx0 M ( v) m (vrx v) 0
vvrxM m m S S rxM m 理论m 力学基础 动S 量 定理M 讲m 解m Srx M m m (ab)25
微分形式： d(mv)FdtdI
t2
积分形式： mv2 mv1 Fdt I t1
理论力学基础动量定理讲解
21
投影形式： ddt(mvx)Fx
ddt(mvy) Fy ddt(mvz) Fz
质点的动量守恒
若 F 0 ，则 mv常矢量，
若 Fx 0 ，则 mvx 常量，
16
例题. 水平面上放一均质 三棱柱 A,在此三棱柱上又 放一均质三棱柱B. 两三棱
柱的横截面都是直角三角
B
形,且质量分别为M和m.设
各接触面都是光滑的,在图 A
示瞬时, 三棱柱A的速度为
v, 三棱柱B相对于A的速度 为u, 求该瞬时系统的动量.
理论力学基础动量定理讲解
17
解:取系统为研究对象
B
PAx = M v PAy = 0
A
v vcy vc
C
vcx
设 杆AB质心 C 的速度为vC
由 vc = ve + vr
ve = v
vr
1 2
l
B
1 vcxv2lc os
vcy
1l 2
sin
PAB x m v1 2mlcos PABy12mlsin
PxMmv1 2mlcos
பைடு நூலகம்
Py
1mlsin 2
理论力学基础动量定理讲解
则小三角块 vavvr 由水平方向动量守恒及初始静止；则
M(v)mavx0 M ( v) m (vrx v) 0
vvrxM m m S S rxM m 理论m 力学基础 动S 量 定理M 讲m 解m Srx M m m (ab)25
理论力学第十章
质心运动定理：质点系的总质量与质心加速度的乘积等于
作用于质点系外力的矢量和。 内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动.
2.质心运动定理
在直角坐标轴上的投影式为:
ma Cx F
(e ) x
maCy Fy(e)
maCz F
(e ) z
在自然轴上的投影式为:
2 dvC vC (e) (e) m Ft m Fn dt
第十章 动量定理
§10-1 动量与冲量
1．动量
质点的动量 单位
z
mv
mi
rc
vi
pi mi vi
kg m / s n p mi vi 质点系的总动量
i 1
ri
x mi ri rc 质心 ， m mi m 动量：描述 drc dri m mi mi vi 质点或质点 dt dt 系运动状态 总动量 p mvc 的参量。
l 2m1 m1 2 sin t yC l sin t 2m1 m2 2m1 m2
消去t 得轨迹方程
xc yc 2 [ ] [ ]2 1 2(m1 m2 )l /( 2m1 m2 ) m1l /( 2m1 m2 )
系统动量沿x, y轴的投影为:
px mvCx mxC 2(m1 m2 )l sin t
p p0 pa1b1 pab ( pbb pa b ) ( pa b paa ) 1 1 1 1 pbb1 paa1 qV dt (vb va )
流体受外力如图, 由动量定理,有
即 设
qV dt (vb va ) ( P Fa Fb F )dt qV (vb va ) P Fa Fb F F F F
作用于质点系外力的矢量和。 内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动.
2.质心运动定理
在直角坐标轴上的投影式为:
ma Cx F
(e ) x
maCy Fy(e)
maCz F
(e ) z
在自然轴上的投影式为:
2 dvC vC (e) (e) m Ft m Fn dt
第十章 动量定理
§10-1 动量与冲量
1．动量
质点的动量 单位
z
mv
mi
rc
vi
pi mi vi
kg m / s n p mi vi 质点系的总动量
i 1
ri
x mi ri rc 质心 ， m mi m 动量：描述 drc dri m mi mi vi 质点或质点 dt dt 系运动状态 总动量 p mvc 的参量。
l 2m1 m1 2 sin t yC l sin t 2m1 m2 2m1 m2
消去t 得轨迹方程
xc yc 2 [ ] [ ]2 1 2(m1 m2 )l /( 2m1 m2 ) m1l /( 2m1 m2 )
系统动量沿x, y轴的投影为:
px mvCx mxC 2(m1 m2 )l sin t
p p0 pa1b1 pab ( pbb pa b ) ( pa b paa ) 1 1 1 1 pbb1 paa1 qV dt (vb va )
流体受外力如图, 由动量定理,有
即 设
qV dt (vb va ) ( P Fa Fb F )dt qV (vb va ) P Fa Fb F F F F
理论力学经典课件-动量定理
动量定理
※ 几种有意义旳实际问题 ※ 动量与冲量 ※ 动量定理 ※ 质心运动定理 ※ 结论与讨论
几种有意义旳实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几种有意义旳实际问题
偏心转子电动机
？ 工作时为何会左
右运动； 这种运动有什么
规律； 会不会上下跳动； 利弊得失。
几种有意义旳实际问题
？ 蹲在磅秤上旳人站起来时
Fy(e) Fy m1g m2 g mi aiy
Fy (m1 m2 )g m2e 2 sin t
例 题7
已知：杆长为 2l； m ； ；
求： 转轴 O 处旳约束力。
O
解：取杆为研究对象
aC l; aCn l 2
aCx aC sin aCn cos l( sin 2 cos)
aCx 0
b
m2g
vCx const 0
m1g
O
x
xC 恒量
xC1
m1b m1
m2a m2
m2g m1g
xC 2
m1(b
s) m2 (a m1 m2
s
l)
பைடு நூலகம்
xC1 xC 2
s m2l m1 m2
结论与讨论
质点系旳动量定理
dp dt FRe
d (
dt
i
mi vi ) FRe
质量流旳流体形式
质量流旳气体形式
质量流旳颗粒形式
由滑流边界线定旳空气流
定常质量流 —— 质量流中旳质点流动过程中，在每一位 置点都具有相同速度。
定常质量流特点
1、质量流是不可压缩流动；
2、非粘性 —— 忽视流层之间以及质量流与管壁之间
旳摩擦力。
根据上述定义和特点，有
※ 几种有意义旳实际问题 ※ 动量与冲量 ※ 动量定理 ※ 质心运动定理 ※ 结论与讨论
几种有意义旳实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几种有意义旳实际问题
偏心转子电动机
？ 工作时为何会左
右运动； 这种运动有什么
规律； 会不会上下跳动； 利弊得失。
几种有意义旳实际问题
？ 蹲在磅秤上旳人站起来时
Fy(e) Fy m1g m2 g mi aiy
Fy (m1 m2 )g m2e 2 sin t
例 题7
已知：杆长为 2l； m ； ；
求： 转轴 O 处旳约束力。
O
解：取杆为研究对象
aC l; aCn l 2
aCx aC sin aCn cos l( sin 2 cos)
aCx 0
b
m2g
vCx const 0
m1g
O
x
xC 恒量
xC1
m1b m1
m2a m2
m2g m1g
xC 2
m1(b
s) m2 (a m1 m2
s
l)
பைடு நூலகம்
xC1 xC 2
s m2l m1 m2
结论与讨论
质点系旳动量定理
dp dt FRe
d (
dt
i
mi vi ) FRe
质量流旳流体形式
质量流旳气体形式
质量流旳颗粒形式
由滑流边界线定旳空气流
定常质量流 —— 质量流中旳质点流动过程中，在每一位 置点都具有相同速度。
定常质量流特点
1、质量流是不可压缩流动；
2、非粘性 —— 忽视流层之间以及质量流与管壁之间
旳摩擦力。
根据上述定义和特点，有
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则得：
F F iF e
F i 0
dp
dt
Fe 质点系动量定理的微分形式
§10-2 动量定理
一、动量定理
dp
Fe
dt
即，质点系动量对时间的导数，等于作用于它上所有外力的矢
量和，这就是质点系动量定理的微分形式。常称为动量定理。
具体计算时，往往写成投影形式，即
d d x p t F x e d d y p t F y e d d z p t F ze
§10-1 动量与冲量
例10-1
例10-1：椭圆规尺BD的质量为2m1；曲柄OA的质量 为m1；滑块B和D的质量均为m2，已知： OA=BA=AD=l ；曲柄和尺的质心分别在其中点上；
曲柄绕O轴转动的角速度ω为常量，试求当曲柄OA与
水平成角 时整个机构的动量。
§10-1 动量与冲量
例10-1
p x m 1 v E s i 2 m n 1 v A s i m 2 v n D
p px 2p2 y1 25m 14m 2l
cop s,xpx, cop s,ypy
p
p
§11-1 动量与冲量
例10-1
曲柄OA的动量 pOA m1vE
大小： pO Am 1vEm 1l 2
方向：与 vE 方向一致，垂直 于OA并顺着ω的方向
§10-1 动量与冲量
例10-1
p p B p B D p D 2 m 1 m 2 v A
m 12 ls i n 2 m 1ls i n m 22 ls in
52m12m2lsin
§10-1 动量与冲量
例10-1
p y m 1 v E c o 2 m 1 s v A c o m 2 v B s m 12 lc o s2 m 1lc o s m 22 lc os 52m12m2lcos
上式为一矢量积分，具体计算时，可投影于固定坐标 系上
t
t
t
Ix0F x dtIy0F ydtIz0F zdt
§10-2 动量定理
一、动量定理
因为质点系的动量为 p mv ，对该式两端求导数，
得
ddptddmtv ma
F
分析右端，把作用于每个质点的力F分为内力F(i)和外力F(e)，
即，质点系的动量在固定轴上的投影对时间的导数，等于 该质点系所有外力在同一轴上的投影的代数和。
§10-2 动量定理
一、动量定理 dp
Fe
dt
质点系动量定理的微分形式
二、冲量定理
设在 t1 到 t2 过程中，质点系的动量由 p1 变为 p2，则对上式积
分，可得
p2p1
t2F edt
t1
I
（2）质点系的动量
质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系
的动量。用 p 表示，即有
n
p mivi mv
i1
§10-1 动量与冲量
一、动 量 1、动量的定义
pmv
（2）质点系动量的投影式 以px，py 和 pz 分别表示质点系的动量在固定直
角坐标轴x，y 和 z 上的投影，则有
p x m xp y vm yp zv m z v
2、变力的冲量
若力F是变力，可将力的作用时间 t 分成无数的微小时间 dt，在每个 dt 内，力 F 可视为不变。
元冲量——力F在微小时间段 dt 内的冲量称为力F 的元冲量。
变力 F 在 t1~t2 时间间隔内的冲量为：I
t2
Fdt
t1
§10-1 动量与冲量
2、变力的冲量
t
I 0 Fdt
即，质点系的动量在一段时间内的变化量，等于作用于质点系 的外力在同一段时间内的冲量的矢量和，这就是质点系动量定 理的积分形式。常称为质点系的冲量定理。
§10-2 动量定理
二、冲量定理 p2p1
t2F ed t
I
t1
具体计算时，往往写成投影形式，即
p2x p1x
t2 t1
Fx
e
dt
由于动量pOA的方向也与vA的 方向一致，所以整个椭圆机构
的动量方向与vA相同，而大小 等于 p pOA p
1 2
m1l
2m1
m2
l
1 2
5m1
4m2
l
§10-1 动量与冲量
一、冲 量
1、常力的冲量
单位： N·s
常力与作用时间t的乘积 F·t 称为常力的冲量。并用I表
示，冲量是矢量，方向与力相同。 IFt
Ix
p2 y p1y t2ຫໍສະໝຸດ t1Fyedt
Iy
p2z p1z
t2 t1
Fz
e
dt
Iz
即，质点系动量在某固定轴上投影的变化量，等于
作用于质点系的外力在对应时间间隔内的冲量在
同一轴上的投影的代数和。
§10-2 动量定理
本章将阐明及应用动量定理
第十章 动量定理
第 十
§10-1 动量 与 冲量
章
动
§10-2 动 量 定 理
量
定
理
§10-3 质心运动定理
第十章 动量定理 几个实际问题
第十章 动量定理 几个实际问题
§10-1 动量与冲量
一、动 量
1、动量的定义
（1）质点的动量 单位 kgm/s
质点的质量 m 与速度 v 的乘积 mv 称为该质 点的动量。动量是矢量，方向与质点速度方向一致。
pmv
质点系的动量，等于质点系的总质量与质心速度的乘积。
投影到各坐标轴上有 px m vx Mvcx py m vy Mvcy
pz m vz Mvcz
§10-1 动量与冲量
2、质点系动量的简捷求法
p m v M v c
可见，如质点系的动量主矢=0，只说明其质心静止不动，而质点 系内各质点可各自运动。 质点系的动量是描述质点系随质心运动的一个物理量，它不能描 述质点系相对于质心的运动，这个问题将在动量矩定理讨论。
例如：射出的子弹、船的靠岸
§10-1 动量与冲量
2、质点系动量的简捷求法
质点系的动量
p mv
§10-1 动量与冲量
2、质点系动量的简捷求法
质点系的质心C的矢径表达式为
mrM rc
rc
mr
M
mM
当质点系运动时，它的质心一般也是运动的，将上式
两端对时间求导数m ，v 即得M vc
p
能得到什么结论？
第九章 质点动力学的基本方程
课程回顾 3、质点动力学的两类基本问题
(1) 已知质点的运动，求作用于质点的力 (2)已知作用于质点的力，求质点的运动
动力学
第十章 动量定理
动量、动量矩和动能定理从不同的 侧面揭示了质点和质点系总体的运动变 化与其受力之间的关系，可用以求解质 点系动力学问题。
动量、动量矩和动能定理称为动力 学普遍定理。