复变函数——第四章级数
第四章复变函数级数
第四章复变函数级数第四章复变函数级数（42）⼀、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：lim n n z z →∞= 由于n n n iv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞=式成⽴时, 等价于lim ,n n u u →∞=lim n n v v→∞=1nn z ∞=∑收敛的充要条件是1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都收敛。
2．复数级数（定义）：设有复数项级数 +++=∑∞=k k n z z z z 211若其前n 项和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞=∑收敛,⽽数列{}n S 的极限S 叫做级数1n k z ∞=∑的和.否则称级数1n k z ∞=∑发散。
由于∑∑==+=n k kn v i uS 11，所以11lim lim limnk n k n n n k n k u u S S u iv v v →∞=→∞→∞=?=??==+=??∑∑；绝对收敛：若⼀个级数的模级数∑∞=1k k z 收敛,则称级数∑∞=1k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。
3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：∑∞=++++=010)()()()(k k k z f z f z f z f ，其中前n 项和：∑==nk k n z f S 0)(。
若对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是⼀个复函数:∑∞==)()(k k z f z s .则()s z )称为级数0()k k f z ∞当n N >时，1|()|n pk k n f z ε+=+<∑(p 为任意正整数)则称级数0()n n f z ∞=∑在B 内(或曲线L 上)⼀致收敛。
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
《复变函数论》第四章
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
复变函数幂级数
z
f()d
cnzn1
zR ,CzaR
0
n0 n1
---幂级数的逐项积分运算
整理课件
30
例4 求幂级数的和函数及收敛圆.
(1) nnz112z3z2 n1
(2)
zn
z2 z
z3
n1 n
23
整理课件
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若 n收 n1
敛 n收
n1
敛 (例.如:
n1
(1)ni n
)
定义 若n收 敛 ， 则称n为 绝 对 收 敛 ；
n1
n1
若n发 散 ，而n收 敛 ， 则称n为
n1
n1
n1
条 件 收.敛
整理课件
9
例2 下列级数是否收敛否？绝是对收敛？
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.
整理课件
20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
n0
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
0
0 0
证明 (i) 0, ln i m cn c n 1z zn n1ln i m cc n n 1z z
(i) f(z)在 zR内 解 . 析
(i)if'(z ) ( c n z n ) ' (c n z n ) ' n n z n c 1 z R
n 0
n 0
n 1
---幂级数的逐项求导运算
(ii)i f(z)d z
复变函数与积分变换第4章4.1收敛数列与收敛级数
3
§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,
复变函数 第四章 级数
∞
∞
n
Proof:
2 α n = a n + ibn , | α n |= a n + bn2
∞ ∞
2 2 由： |α n |= ∑ a n + bn ∑ n =1 n =1
| a |≤ a 2 + b 2 n n n 收敛， 收敛，及 2 2 | bn |≤ an + bn
y R
R 0 x
则称：（ ） 为收敛半径 则称：（1）R为收敛半径 ：（ （2）| z |< R 为收敛圆域 ）
返回
╬
2、幂级数的三种收敛情况： 、幂级数的三种收敛情况：
处收敛， ，收敛圆域为点圆； （1）只在原点 z = 0 处收敛，R=0，收敛圆域为点圆； ） （2）在整个复平面上处处收敛， = +∞ ）在整个复平面上处处收敛， R （3）在复平面上有时收敛，有时发散，则R为一个 ）在复平面上有时收敛，有时发散， 为一个 确定的正实数。 确定的正实数。
（5） 令 ζ = z − 1, ）
z 是复变量。 是复变量。
注：当 a = 0 时，幂级数为
∞ n =0 ∞
cn z n , ∑
n =0 n ∞ n =0
∞
ζ = z − a ， 则 ： c n ( z − a ) = ∑ c nζ n 令 ∑
故：只须讨论形如
c n z n 的幂级数。 ∑ 的幂级数。
n =0
返回
╬
2、幂级数在一点 z 0 的收敛性 、
收敛， （1） 若 ∑ c n z 0 收敛，则 z 0 称为 ）
n n =0 ∞
c n z n 的收敛点。 ∑ 的收敛点。
n=0
∞
复变函数PPT第四章
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z
z
0
( n 1) z dz z
n n 0
n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0
z 1 .
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0
1 n 解 因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z
( 1)
复变函数：第四节罗朗(Laurent)级数
内 展 开 成Laurent级 数 。
y
y
y
o 1 2x
o 1 2x
o 1 2x
（i) 0 z 1 (ii) 1 z 2
(iii) 2 z
解 f (z) 1 1 1z 2z
(i) 0 z 1 z 1 z 1
2
故
f
(z
)
1
1
z
1 2
1
1
z
2
(1 z z2 zn ) 1 (1 z z2 ) 2 24
1 2
3 4
z
7 8
z2
(1
n0
1 2n1
)zn
(ii)1 z 2 z 1 1 1 又 z 2 z 1
z
2
f (z)
1 1
z
1 2
z
1 z
1 1 1
1 2
1 1
z
z
2
1 z
(1
1 z
1 z2
)
1 2
(1
z 2
z2 4
)
1 zn
1 z n1
1 z
1 2
z 4
z2 8
式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进
行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路
定理可将cn写成统一式子：
cn
1
2i
c (
f (
z0
) )n
1
d
(n
0,1,2,)
f (z) cn (z z0 )n 证毕！ n
级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。
cn (z z0 )n c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n (2)
复变函数论第4章
n1
n
当z 2时,
原级数成为
n1
1, n
调和级数，发散.
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
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结束
铃
例3 求幂级数 (cosin)zn的收敛半径:
n0
解
因为
cn
cos in
cosh n
1 (en 2
en ),
所以
lim cn1 n cn
n1 n
解 (1) 因为 lim cn1 lim ( n )3 1,
n cn
n n 1
或
1
lim n
n
cn
lim n n
n3
lim 1 1. n n n3
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铃
所以收敛半径 R 1, 即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
铃
补充求：等比级数
ar n1 的敛散性。
n1
解：等比级数的部分和为：
Sn
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) 1 r
已利用等比数列求和公式：
Sn
a1 anq 1 q
当公比|r|<1时，lim n
Sn
lim
n
a(1 rn ) 1 r
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
R min( r1, r2 )
复变函数第4章
《复变函数》(第四版) 第4章
第19页
[证]
因
cn
z0n收
敛,
则
lim
n
cn
z0n
0,
n0
则存在M使对所有的n有 | cnz0n | M
如果
|
z
||
z0
|,
则
|z| | z0 |
q
1,
而
n
|
cnzn
||
cn z0n
|
z z0
Mq n
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第20页
n
|
i )n 2
5 (cos
2
i sin )n
2 5
n
cos(n
)
i
sin(
n
)
|n |
n1
n1
2 n
5
收敛.
(公比 |q | < 1)
∴ 原级数绝对收敛.
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第12页
解: 3)
|n |
(1 i)n ( 2 )n cos in
( 2)n ( 2 )n cos in
1 2
| z |2
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第35页
当 1 | z |2 1, 即| z | 2时, 原级数绝对收敛. 2
当 1 | z |2 1, 即| z | 2时, 原级数发散. 2
故 原级数收敛半径 R 2.
注: 求形如 n z2n 或 n z2n1 (n 0 )
1 chn
en
2 en
2 en
而
第4章-复变函数项级数04-洛朗级数
利用洛朗级数展开式的唯一性及双边幂级数在收敛圆环 域内可以逐项求导和逐项积分的性质。
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
解:1）直接展开法 解析，故积分为0；
1
1
z
n0
zn,
z 1
1
1
z
n0
zn,
的收敛区域为
可以证明:双边幂级数在收敛环域内的和函数是解析函数， 可以逐项求导、逐项积分
Re
当 R e 时，
Re
2 解析函数的洛朗展开定理
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
说明：
（1）洛朗级数是双边幂级数，泰勒级数只有正幂项； （2）洛朗级数是泰勒级数的推广，泰勒级数是洛朗级数 的特殊情况； （3）系数公式不同，洛朗系数不能利用高阶导数公式.
3 求解析函数洛朗展开式的方法
R2 z z0 R1
第四章 复变函数项级数
第四讲 洛朗级数
主要内容
1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展开定理 3. 求解析函数洛朗展开式的方法
1 双边幂级数
1
1
z
1
z
z2
z3
zn
,
n0
zn ,
z 1
双边幂级数
既含有正幂项又含有负幂项的级数
无首项， 不能用部分和来定义收敛和发散.
结论: 双边幂级数 圆环域
z 1
1
1全是负幂项，有无穷多项）
1
1
z
复变函数4章幂级数
则存在M 使对所有的n有 | c z | M
n n 0
|z| 如果 | z || z0 |, 则 q 1, | z0 |
z 而 | cn z || cn z | z0
n n 0 n
Mq
n
7
z n | cn z || c z | Mq z0
中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收 敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛
圆上是否收敛, 则不一定.
12
例1 求幂级数
z
n 0
n
1 z z z
2 n
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn 1 z z
2
1- z z , ( z 1) 1- z
称为这级数的部分和.
3
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0) 称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和 一定是z的一个函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
处处收敛 , 即 R=. 如果 =+, 则对复平 面内除 z=0 外的一切 z, 级数 收敛, 因此
n0
n0
都不
cn z n
也不能收敛, 即 R=0.
18
定理三 (根值法 ) 敛半径 R
1
如果 n
lim n | c n | 0
, 则收
.
19
复变函数(余家荣)4
n 1
n1
命题 设 zn an ibn ,则级数 zn 绝对收敛当且仅当实级数 an和 bn都绝
n 1
n1
n1
对收敛.
命题 设级数 zn 和 zn 绝对收敛，且和分别为 及 ，则级数
n 1
n 1
绝对收敛于 .
2.复级数与复函数序列
定义 设 fn (z)（n 1,2, ) 定义在集合E上,则
使得lim n
zn
z0 , 则在 |
z
z0
|
R内
f
( z)
0.
定理 设
(1) f (z) 在区域 D内解析,
(2) 存在 f (z) 的零点构成的序列{zn},{zn}收敛于z0 D.
则在 D内 f (z) 0.
• • • • • • z
•
•
z0•
D
推论 如果 f (z) 和 g(z) 在区域 D内解析, 集合{z : z D, f (z) g(z)} 在区域 D内有一个极限点,则在 D内 f (z) g(z).
数 fn (z)在 c 上一致收敛于(z) 或 f (z), 则 n1
或
问题: 设 fn (z)(n 1,2, )在区域 D上解析, 函数列{ fn (z)}或函数项级
数 fn (z)在 D 上一致收敛于(z)或 f (z), 那么(z)或 f (z)在 D上解析吗？ n1
定理 设 fn (z) (n 1,2, )在区域 D上解析. 如果函数列{ fn (z)}或函数
例 1. 由于
所以z 0是 sin z 的可去奇点. z
由于
所以z
0是
sin z2
z
的1阶极点.
2. 由于
1
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级
数
∑f
n =1
+∞
n
( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + f 3 ( z ) +
+ f n ( z) +
为复
= f1 ( z ) + f 2 ( z ) +
+ f n ( z) = ∑ f k ( z) ．
k =1
n
sn ( z0 ) 若 z 0 ∈ D ，极限 nlim → +∞
敛点；
= s ( z0 )
存在，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z0 处收敛，和
∑f
n =1
+∞
n
( z0 ) = s ( z0 ) ， z0 为收
若 z 0 ∈ D ， {sn ( z 0 )} 发散，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z 0 处发散， z 0 为发散点．
D1 收敛域
D2 发散域
∑αn = s
n =1
+∞
Δ
收敛； 若 {s n }
∑α
n =1
+∞
n
收敛
⇔
∑a
n =1
+∞
n
和
∑b
n =1
+∞
n
均收敛．
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 证： s n = ∑ α k = ⎜ ∑ ak ⎟ + i ⎜ ∑ bk ⎟ ． k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
此定理将复级数的审敛问题转化为实级数的审敛问题． 级数收敛之必要条件：
复变函数论 第四章 复级数
第四章 复级数§1.级数的基本性质教学目的与要求: 了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛一致收敛等概念,掌握解析函数项级数的性质.重点: 解析函数项级数.难点：一致收敛的函数项级数;解析函数项级数. 课时：2学时1.复数项级数定义4.1 复数项级数就是121nn n zz z z ∞==++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.1)其中n z (1,2,)n =为复数定义4.2 对于复数项级数(4.1)，设 n σ=121nnn k zz z z ==++⋅⋅⋅+∑ (4.2)若lim n n σ→∞存在，则称级数(4.1)收敛，否则为发散.据此定义，我们立即推出：若级数(4.1)收敛，则1lim lim()0n n n n n z σσ-→∞→∞=-= (4.3)其次，由复数的性质易于推得 定理4.1 设111n nn n n n z ai b ∞∞∞====+∑∑∑ (4.4)其中,n n a b (1,2,)n =均为实数，则级数(4.3)收敛的充要条件为基数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质，不再一一给出.定理4.2（柯西收敛准则）级数(4.1)收敛的充要条件是0,N ε∀>∃，使n N >及P N ∀∈，均有11Pn kn n P k zz z ε+++==++<∑定义4.3 若级数1nn z∞=∑收敛，则称级数1nn z∞=∑为绝对收敛.由关系式1kk a∞=∑及1111kk k k k k k k k bz a b ∞∞∞∞∞=====≤=≤+∑∑∑∑及定理4.1即可推得.定理4.3 级数(4.1)绝对收敛的充要条件为：级数1kk a+∞=∑及1kk b+∞=∑绝对收敛.再由定理4.2可知：绝对收敛级数必为.收敛级数. 例1.对于级数1nn a+∞=∑当1a <时，由于111121n knn k a aa aσ+∞=-==+++=-∑，而当1a <时，1lim 0n n a+→∞=，于是1lim 1n n aσ→∞=- 因此级数1nn a ∞=∑(1)a <收敛且有111n n a a∞==-∑， 显然，当1a <时，级数1nn a∞=∑亦为绝对收敛的级数.2.复函数项级数定义4.4设函数()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在复平面点集E 上有定义，则称级数11()()()nn n fz f z f z ∞==+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.5)为定义在E 上的复函数项级数.定义4.5 设函数()f z 在E 上有定义，如果z E ∀∈，级数(4.5)均收敛于()f z ，则称级数(4.5)收敛于()f z ，或者说级数(4.5)和函数()f z 记作1()()nn fz f z ∞==∑ (4.6)定义4.6 如果0,()N N εε∀>∃=，使得当n N >时，对任一z E ∈，均有1()()nkk fz f z ε=-<∑则称级数(4.5)在E 一致收敛于()f z .与定理4.2类似地我们有定理4.4 级数(4.5)在E 上一致收敛的充要条件是：0,()N N εε∀>∃=，使当n N >时，对任一z E ∈及P N ∀∈均有1()()n n P f z f z ε++++<由此我们即得一种常用的一致收敛的判别法：定理4.5 (魏尔斯特拉斯M -判别法) 设()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在点集E 上有定义12n a a a ++++为一收敛正项级数，若在E 上成立()(1,2,)n n f z a n <=⋅⋅⋅则级数(4.5)在E 上一致收敛于()f z ，则()f z 在E 上一致收敛.与实数项级数一样，不难证明以下定理：定理4.6 设()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在复平面点集E 上连续，级数(4.5)在E 上一致收敛于()f z ，则()f z 在E 上连续.定理4.7 设()n f z (1,2,)n =⋅⋅⋅在简单曲线C 上连续，级数(4.5)在C 上一致收敛于()f z ，则1()()n n CCn f z dz f z dz ∞==∑⎰⎰.对于复函数项级数的逐项求导问题，我们考虑解析函数项级数，首先，引入一个新概念.定义4.7 设函数()n f z (1,2,)n =⋅⋅⋅在区域D 内解析,如果级数(4.5)在D 内任一有界闭区域上一致收敛于函数()f z ,则称级数(4.5)在D 内闭一致收敛于()f z .由此,我们有下列重要的魏尔斯特拉斯定理.定理4.8 设函数()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在区域D 内解析,级数1()nn fz ∞=∑在D 内中闭一致收敛于函数()f z ,则()f z 在D 内解析,且在D 内成立()()1()()k k n n fz f z ∞==∑ (1,2,)k =⋅⋅⋅证明: 0z D ∀∈,取0r >,使得0(,)U z r D ⊂.在U 内任作一条简单闭曲线C ,根据定理4.7及柯西定理推得1()()0n CCn f z dz f z dz +∞===∑⎰⎰.因而由莫勒拉定理知()f z 在U 内解析,再由0z D ∈的任意性即得()f z 在D 内解析.其次,设U 的边界r C D ⊂,由已知条件得1()nn fz +∞=∑在r C 上一致收敛于()f z ,从而110()()k n f z z z +∞+=-∑在r C 上一致收敛于1()()k f z z z +-,根据定理4.7,我们有 10!()2()r k C k f z dz i z z π+-⎰=110()!2()r n k C n f z k dz i z z π+∞+=-∑⎰ 即 ()()001()()k k n n fz f z +∞==∑ (1,2,)k =⋅⋅⋅ 于是定理结论成立.作业:第178页 1.§2幂级数教学目的与要求: 了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法.掌握幂级数在收敛圆内一些基本性质及幂级数在收敛圆周上的性质.重点: 幂级数收敛半径的求法; 幂级数在收敛圆内一些基本性质. 难点：幂级数在收敛圆周上的性质. 课时：2学时 定义4.8 形如()000100()()()k n n n n n fz a z z a a z a z z +∞==-=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑ (4.7)的级数称为幂级数,其中z 是复变量, (1,2,)n a n =⋅⋅⋅是复常数. 特别地,当00z =时,级数(4.7)就变为010nn n n n a za a z a z +∞==++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.8)幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中应用也比较方便.我们首先研究级数(4.8)的收敛性.显然,当00z =时,级数(4.8)总是收敛的. 当00z ≠时,则有定理4.9 如果幂级数(4.8)在1(0)z ≠收敛,则对任意满足1z z <的z ,级数(4.8)绝对收敛.若级数(4.8)在2z 发散,则对任意满足2z z >的z ,级数(4.8)发散.证明:级数(4.8)在1z 收敛.∴1lim 0nn n a z →∞=从而0M ∃>,使得1nn a z M ≤ (0,1,2,)n =⋅⋅⋅其次,级数(4.8)可写成11()nn n n z a zz +∞=⋅∑,因此111n n n n n n z z a z a z M z z =≤⋅1(1)nz k z =< 由于级数nn Mk+∞=∑收敛,故级数(4.8)绝对收敛.根据上述结论用反证法即可推得定理第二部分成立,于是定理得证.由此,我们可知存在实数R ,(0)R <<+∞,使得级数(4.8)当z R <时绝对收敛,当z R >时发散.R 称为级数(4.8)的收敛半径, z R <称为收敛圆,当R =+∞时,我们说(4.8)的收敛半径是+∞,收敛圆为复平面.当0R =时,我们说(4.8)的收敛半径是0,收敛圆只有一点0z =,以下说幂级数有收敛圆均指收敛半径大于0的情况.通常,幂级数(4.8)的收敛半径可用以下公式求得:定理4.10 (柯西Cauchy -阿达玛Hadamard 公式).若以下条件之一成立.(1)1limn n na l a +→∞= (4.9)(2)n l = (4.10)则当0l <<+∞时, (4.2)的收敛半径1R l=,当R =+∞,l =+∞时, 0R =.下面我们证明幂级数的和函数在其收敛圆内解析.定理4.11 设幂级数(4.8)的收敛圆为:V z R <.则它的和函数.01()nn f z a a z a z =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ (4.11)在V 内解析,且()1()!(1)!(1,2,)n n n f z n a n a z n +=+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ (4.12)证明:事实上,对0r R ∀<<,则在z r =上n nn n a z a r ≤由定理4.9知级数(4.8)在z r =上绝对收敛,从而根据M -判别法知(4.8)在z r ≤上一致收敛,故(4.8)在z r <中内闭一致收敛,在z r <内, (4.2)的和函数()f z 解析且(4.12)成立,由0r R <<的任意性即知定理成立.但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散. 例2 级数2111n z z z z=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 的收敛半径为1 由于在收敛圆1z =上,此级数一般不趋于0,因而在1z =上级数处处发散,但其和函数却除1z =处处解析.例3 级数11(1)n n z n n ++∞=+∑的收敛半径为1在收敛圆1z =上, 11(1)(1)n z n n n n +=++而级数11(1)n n n +∞=+∑收敛,故此技术在收敛圆上也处处收敛.作业: 第178页 2 (1) (3) 3 (2)§3解析函数的泰勒Taylor 展式教学目的与要求: 了解泰勒定理; 掌握初等解析函数的展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数.重点: 泰勒定理,初等函数的泰勒展开式. 难点：泰勒定理证明. 课时：2学时一．定理4.12(泰勒Taylor 展式)设函数()f z 在圆0:U z z R -<内解析,则在U 内()00000()()()()()()1!!n n f z f z f z f z z z z z n '=+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ (4.13)证明: 1z U ∀∈,以1z 为心作一圆C U ⊂,且使1z C ∈,(如图4.1)U图4.1则由柯西公式111()()2C f f z d i z ξξπξ=-⎰ (4.14)而当C ξ∈时,101z z q z ξ-=<-,因此有101011()z z z z ξξ=----01100000()11()1n n n z z z z z z z ξξξ+∞+=-=⋅=-----∑ (4.15) 由于(4.15)右端级数当C ξ∈时是一致收敛的,把(4.15)代入(4.14)后逐项积分得10100()()()n n f z a a z z a z z =+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ (4.16)其中 ()010()1()2()!n n n C f z f a d i z n ξξπξ+==-⎰(1,2,)n =⋅⋅⋅ (4.17) 由1z 为U 内任意一点知定理成立.结合定理4.11与4.12我们就可推出:推论4.2 幂级数是它的和函数()f z 在收敛圆内的泰勒展式.即()000()(),!n n f z a f z a n == (1,2,)n =⋅⋅⋅推论4.3 函数()f z 在一点0z 解析的充要条件是: ()f z 在0z 的某一邻域内有泰勒展式(4.13).与实变数的情形相同,我们不难求得某些初等函数的泰勒展式. 二． 求泰勒展式的方法1．求Taylor 系数n C =()()!n f a n如求ze 在z=0的展开式0C =0e =1 1C ='0()1!z z e = =11!,1!n C n =,∴z e =1+z+22!z +33!z+=0!nn z n ∞=∑ ()z <∞2.利用级数的运算。
复变函数-第4章
n →∞ ∞ 则称函数序列{ f n ( z )}n =1 在G上逐点收敛到函数 f(z), f(z)称为 ∞
{ f n ( z )}∞=1 在G上的极限函数. 相应地, 若级数 ∑ f j ( z ) 的部分 n
∞
和函数序列在G上逐点收敛到 f(z), 则称级数 ∑ f j ( z ) 收敛于
∞
n =1
求导运算和无穷和运算可交换
∞
返回泰勒级数
定理 (实函数项级数逐项求导) 设实级数 ∑ f n ( x) 的各项在 区间[a, b]上都有连续的导数,
∑
n =1
∞
∑f
n =1
∞
n
( x) 在[a, b]上逐点收敛且
n =1
⎞ ∞ d f n′( x) 在[a, b]上一致收敛, 则 d ⎛ ∞ f n ( x). ⎜ ∑ f n ( x) ⎟ = ∑ dx ⎝ n =1 ⎠ n =1 dx
∑c
j =0
∞
j
绝对收敛. 正项级数
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛. 由比较判别法可知, 绝对收敛
收敛
绝对收敛级数的两个重要性质:
(1) 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序, 亦绝对收敛, 且和不变. (2) 两个绝对收敛的复级数
∞
∑c
j =0
∞
j
= S , ∑ c′j = S ′ 按对角线
∞
(3i ) j 由比式判别法知 ∑ 收敛. j! j =0
注意: 若 lim j →∞
j →∞
c j +1 cj
= L = 1, 或 lim j | c j | = L = 1,
复变函数第四章
使级数对一 切Mzn∈收E敛,有,则|f复n(z函)|≤数M项n (级n=数1,2,…fn)(,z而)在且点正集项E上
n1
绝对收敛且一致收敛.
n1
这样的正项级数
M
称为函数项级数
n
fn
(z)
的优级数.
n 1
n1
定理4.6 设级数 fn(z)的各项在点集E上连续,并
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
且一致收敛于f(z)n,则1 和函数 f (z) fn(z)也在E
上连续.
n1
定理4.7 设级数 fn(z)的各项在曲线C上连续,并 n1
且在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:
C f (z)dz C fn(z)dz n1
定义4.5 设函数fn(z)(n=1,2,…)定义于区域D内,若 级数(4.2)在D内任一有界闭集上一致收敛,则称此 级数在D内内闭一致收敛.
由定理4.7得 c f (z)dz c fn (z)dz 0 n1
于是，由摩勒拉定理知，f(z)在 K 内解析，即
在 z0 D 解析。由于 z0 D 的任意性，
故f(z)在区域 D 内解析。
(2)设z0的某邻域U的边界圆K也在D内，对于z K ,
n1
(z
fn(z) 一致收敛于
f(z),对于E上的每一点z,级数(4.2)均收敛于f(z),则称
f(z)为级数(4.2)的和函数,记为: f (z) fn(z) n1
定义4.4 对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数
f(z),使对任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N时,对
一致切收的 敛于z∈f(Ez均)，有记|作f(z:)-sn(z)|<fεn ,则zz称E 级f z数 (4.，2)在E上其一
第四章 复变函数的级数
(2)zn
(1)n i n1
则ln i m xn (1)n, 而该极限不存在，
故该极限不存在。
3. 复数项级数
设 {zn}{xnyn}(n1,2,)为一复数
表达式 zk z1z2zn k1
称为复数项级数.
6
n
前 n 项的和 Sn zkz1z2zn k1
称为级数的前 n 项部分和.
级数收敛与发散的概念
重要结论:
ln i m zn 0级
数zn发
n1
散 .
定义：如果 z n 收敛, 称级数 z n 为绝对收敛.
n1
n1
如果 z n 收敛, 而 z n 不收敛的级数
n1
n1
称为条件收敛. 11
绝对收敛级数的性质：
如 果zn收,敛 那 么 zn也收 . 敛
n1
n1
证明：由于 zn xn2yn2,
n1
称为复变函数项级数。
级数前n项的和
S n ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
找到一N 个 ()当 ,正 n数 N时 ,有znz0 .
则 称n当 时zn ， 以 z0为极限。
此时也称{复 zn}收 数敛 列z于 0.
记作 ln imzn z0 .
2
复数列收敛与实数列收敛的关系：
复数 {zn}(列 n1,2,)收敛 z0的 于充要条
ln i x m nx0, ln i y m ny0.
由 z 于 1时 ,当 ln i s m n ln i 1 m 1 z z n 1 1z
所以z当 1时级数. 收敛
复数项级数与实数项级数收敛的关系：
级数zn (xniyn)收敛的充要: 条
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f ( z ) g( z ) ( an z ) ( bn z ),
n n n 0 n 0
R min(r1 , r2 )
(anb0 an1b1 a0bn ) z n ,
n0
zR
2)幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f ( z ) an z n , 又设在
z z n z (5) cos z 1 ( 1) , 2! 4! ( 2n)!
2
4
2n
( z )
n 1 z2 z3 z n (6) ln(1 z ) z ( 1) , 2 3 n1 n 1 z ( 1)n ( z 1) n1 n0
那末 f ( z ) 在 D 内可展开成洛朗级数
f (z)
n
n c ( z z ) n 0 ,
1 f ( ) 其中cn d 为洛朗系数. n 1 2πi C ( z0 )
( n 0 , 1 ,)
C为圆环域内绕 z0 的任一正向简单闭曲线.
1 cn1 如果 lim , 那末收敛半径 R . n c n
方法2: 根值法(柯西判别法)
如果 lim n cn , 那末收敛半径 R
n
1
.
即
1 , 0 ; R , 0; 0, .
5 幂级数运算法则
则 1 时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3根值法：lim n un
3 复函数项级数
设{ f n ( z )} 是在点集E上有定义的一复函数列,
表达式
f
n1
n
( z )＝f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f n ( z ) ...
幂级数
洛朗级数
充 要 条 件
必 要 条 件
泰勒级数
f ( z ) 在 z0 解析
复 变 函 数
1、复数项级数
设{ zn } { xn iyn } ( n 1, 2,)为一复数列,
表达式
z
n1
n
z1 z2 zn
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
n 0
z R 内 g ( z ) 解析且满足 g( z ) r , 那末当 z R
n f [ g ( z )] a [ g ( z )] . 时, n n 0
3) 幂级数在收敛圆内的解析性
设幂级数
c (z z )
n 0 n 0
n
的收敛半径为R , 那末
n c ( z z ) n 0 n 0
的级数称为幂级数.
当 z0 0 时，
n 2 n c z c c z c z c z . n 0 1 2 n n 1
幂级数是最简单的解析函数级数，收敛区域是一个圆.
4 c ( z z ) 收敛半径的求法
n n 0 n 0
方法1: 比值法(达郎贝尔判别法)
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内解析, z0 为 D 内的一
点, d 为 z0 到 D 的边界上各点的最短距离, 那末
n 当 z z0 d 时, f ( z ) cn ( z z0 ) 成立, n 0
泰勒展开式
泰勒级数
1 ( n) 其中 cn f ( z0 ), n 0, 1, 2, n!
(7) (1 z ) 1 z
( 1)
2! n!
z
2
( 1)( 2)
3! z n ,
z3
( 1)( n 1)
( z 1)
7、洛朗级数
定理
设 f ( z ) 在圆环域 R1 z z0 R2 内处处解析，
常见函数的泰勒展开式
2 n n z z z (1) e z 1 z , ( z ) 2! n! n 0 n!
1 ( 2) 1 z z 2 z n z n , ( z 1) 1 z n 0 1 ( 3) 1 z z 2 ( 1)n z n ( 1)n z n , 1 z n 0 ( z 1) 2 n 1 z3 z5 z (4) sin z z ( 1)n , 3! 5! ( 2n 1)! ( z )
1)幂级数的四则运算
(1)设 f ( z ) an z n , R r1 , g( z ) bn z n , R r2 .
n 0 n 0
f ( z ) g( z ) an z n bn z n (an bn ) z n ,
n 0 n 0 n 0
(1) 它的和函数 f ( z ) , 即 f ( z )
是收敛圆 z z0 R 内的解析函数 . (2) f ( z ) 在收敛圆 z z0 R 内的导数可将其幂
n1 级数逐项求导得到, 即 f ( z ) ncn ( z z0 ) . n1
6 泰勒级数
sn z1 z2 zn 称为级数的部分和.
那么{ sn }为一复数列Leabharlann 2、 复数项级数敛散性判别
zn ?0 判别复数项级数的 zn 敛散性时, 可先考察 lim n
n 1
lim zn 0, 级数发散; n 如果 lim z 0, 进一步判断. n n
4-6习题课
级数习题课
1、重点和难点 2、内容总结 3、习题处理
一、重点与难点
函数展开成泰勒级数与洛朗级数 重点：
难点：函数展开成洛朗级数
二、内容提要1
z为复常数
z
n 1
n
zn fn ( z )
复数项级数
收敛半径的计算
函数项级数
收敛条件
收敛半径R 运算与性质
绝 对 收 敛 条 件 收 敛
部分和极限
√实虚部级数收敛性 √绝对收敛否
充要条件：
z
n 1
n
收敛
x 与 y 都收敛
n 1 n n 1 n
必要条件： 绝对收敛 正项级数
条件收敛
u
n 1
n
收敛判别命题：
1比较法： un vn ,
un1 lim 2比值法： n u n
n
v n 收敛，则 un 收敛； n 1 n 1
称为复数项无穷级数. 部分和 其最前面 n 项的和
sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) 称为级数的部分和.
那么{ sn ( z )}为一复函数列
4. 幂级数的敛散性
在复变函数项级数中, 形如
n 2 n c ( z z ) c c ( z z ) c ( z z ) c ( z z ) n 0 0 1 0 2 0 n 0 n0