高一数学第一讲

A B

B

A A

B A B

A ．

B ．

C ．

D ． §1.1.1 集合的含义与表示

¤例题精讲：

【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；

（2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：； 用列举法表示为.

（2）用描述法表示为： 用列举法表示为

【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17B .

【例3】试选择适当的方法表示下列集合：

（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；

（2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2

y x

=

的自变量的值组成的集合. §1.1.2 集合间的基本关系

¤例题精讲：

【例1】用适当的符号填空：

（1）{菱形}{平行四边形}； {等腰三角形}{等边三角形}. （2）∅2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅{0}； N {0}. 【例2】设集合1

,,}22

{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.

【例

3】

若集

合

{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.

¤例题精讲：

【例1】设集合,{|15},{|39},,

()U

U R A x x B x x A

B A B ==-≤≤=<<求.

【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：

（1）()A

B C ； （2）()A A B C .

【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.

【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A

B ，

()U C A B ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.

§1.2.1 函数的概念

¤例题精讲：

【例1】求下列函数的定义域：（1）1

21

y x =

+-；（2）y =

.

【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）32

54x y x

+=-； （2）22y x x =-++. 【例3】已知函数1(

)1x

f x x

-=+. 求：

（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 【例4】已知函数2

2(),1x f x x R x =∈+.

（1）求1()(f x f x +的值；（2）计算：111

(1)(2)(3)(4)()()()234

f f f f f f f ++++++.

§1.2.2 函数的表示法

¤例题精讲：

【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．

【例2】已知f (x )=333322x x x x

-⎧++⎪⎨+⎪⎩(,1)

(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.

【例3】画出下列函数的图象：

（1）|2|y x =-；

（2）|1||24|y x x =-++.

§1.3.1 函数的单调性

¤例题精讲：

【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1

x

f x x =

-在区间（0，1）上的单调性. 【例2】求下列函数的单调区间：

（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++. 【例3】已知31

()2

x f x x +=

+，指出()f x 的单调区间. .

§1.3.2函数值域

1、求下列函数的值域：

①、y= 4-3+2x-x2 ：配方及图象法：

②、y=1-2x +x 的值域 （换元法答案：);

③、y= 1-x

2x+5 分离常数法：

④、y= 3x

x2+4

判别式法或均值不等式法：

2.求函数y ＝－x 2

＋4x －1 ，x ∈[-1,3) 在值域。

解、（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域（注意描成阴影部分）

§1.3.1 函数最大（小）值

¤例题精讲：

【例1】求函数2

6

1

y x x =

++的最大值.

【例2】求函数21y x x =+-的最小值.

解：

【例3】求下列函数的最大值和最小值：

（1）25332,[,]22

y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--. 解：

§1.3.2 函数的奇偶性

¤例题精讲：

【例1】判别下列函数的奇偶性：

（1）31

()f x x x

=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：

【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1

()()1

f x

g x x -=

+，求()f x 、()g x . 解