2021高考数学二轮复习小题专题练3

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数学二轮复习专题练三核心热点突破专题六函数与导数第1讲函数图象与性质含解析

专题六函数与导数第1讲函数图象与性质高考定位1。

以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3。

函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法。

真题感悟1。

(2020·全国Ⅱ卷）设函数f（x)＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜，则f(x)(）A。

是偶函数，且在错误!单调递增B。

是奇函数，且在错误!单调递减C。

是偶函数，且在错误!单调递增D。

是奇函数，且在错误!单调递减解析f(x）＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜的定义域为错误!.∵f（－x)＝ln|－2x＋1｜－ln｜－2x－1|＝ln|2x－1｜－ln|2x＋1|＝－f（x），∴f(x）为奇函数,故排除A,C。

又当x∈错误!时，f(x）＝ln（－2x－1)－ln（1－2x）＝ln 错误!＝ln 错误!＝ln 错误!，∵y＝1＋错误!在错误!上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在错误!上单调递减。

故选D.答案D2。

（2019·全国Ⅰ卷)函数f（x）＝错误!在[－π,π］的图象大致为()解析显然f(－x）＝－f(x），x∈[－π，π],所以f(x)为奇函数，排除A；又当x＝π时，f（π）＝错误!〉0，排除B，C，只有D适合.答案D3.（2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f（x)在（－∞，0）单调递减，且f（2)＝0,则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是(）A.［－1，1］∪[3，＋∞）B.[－3,－1]∪［0,1］C.[－1，0]∪[1,＋∞）D.[－1,0]∪［1，3]解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)＝0。

又f（x）在（－∞,0）单调递减，且f（2)＝0，画出函数f（x）的大致图象如图（1）所示,则函数f(x－1）的大致图象如图（2）所示。

当x≤0时，要满足xf(x－1）≥0,则f（x－1）≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1)≥0，得1≤x≤3。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解3---导数的几何意义及函数的单调性

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第3讲导数的几何意义及函数的单调性[考情分析] 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．考点一导数的几何意义与计算核心提炼1．导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．(3)切点既在切线上，又在曲线上．2．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.例1(1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2e x－x)·cos x的图象在x＝0处的切线方程为()A．x－2y＋1＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋2＝0 D．2x－y＋1＝0答案 B解析由题意，函数f(x)＝(2e x－x)·cos x，可得f′(x)＝(2e x－1)·cos x－(2e x－x)·sin x，所以f′(0)＝(2e0－1)·cos 0－(2e0－0)·sin 0＝1，f(0)＝(2e0－0)·cos 0＝2，所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝x－0，即x－y＋2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a )0e x)，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝0=|x x y'＝(x 0＋a ＋1)0e x ＝000e x x a x (+)，化简，得x 20＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以关于x 0的方程x 20＋ax 0－a ＝0有两个不同的根，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．易错提醒求曲线的切线方程要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．跟踪演练1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为__________，____________.答案 y ＝1e xy ＝－1ex 解析先求当x >0时，曲线y ＝ln x 过原点的切线方程，设切点为(x 0，y 0)，则由y ′＝1x ，得切线斜率为1x 0，又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y 0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e ，所以切线斜率为1e ，切线方程为y ＝1ex . 同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1ex . 综上可知，两条切线方程为y ＝1e x ，y ＝－1ex . (2)(2022·保定联考)已知函数f (x )＝a ln x ，g (x )＝b e x ，若直线y ＝kx (k >0)与函数f (x )，g (x )的图象都相切，则a ＋1b的最小值为( ) A ．2 B ．2eC ．e 2D. e答案 B解析设直线y ＝kx 与函数f (x )，g (x )的图象相切的切点分别为A (m ，km )，B (n ，kn )．由f ′(x )＝a x ，有⎩⎪⎨⎪⎧ km ＝a ln m ，a m ＝k ，解得m ＝e ，a ＝e k .又由g ′(x )＝b e x ，有⎩⎪⎨⎪⎧kn ＝b e n ，b e n ＝k ，解得n ＝1，b ＝k e，可得a ＋1b ＝e k ＋e k≥2e 2＝2e ，当且仅当a ＝e ，b ＝1e时取“＝”．考点二利用导数研究函数的单调性核心提炼利用导数研究函数单调性的步骤(1)求函数y ＝f (x )的定义域．(2)求f (x )的导数f ′(x )．(3)求出f ′(x )的零点，划分单调区间．(4)判断f ′(x )在各个单调区间内的符号．例2(2022·哈师大附中模拟)已知函数f (x )＝ax e x －(x ＋1)2(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若f (x )在x ＝0处的切线与直线y ＝ax 垂直，求a 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．解 (1)f ′(x )＝(x ＋1)(a e x －2)，则f ′(0)＝a －2，由已知得(a －2)a ＝－1，解得a ＝1.(2)f ′(x )＝(x ＋1)(a e x －2)，①当a ≤0时，a e x －2<0，所以f ′(x )>0⇒x <－1，f ′(x )<0⇒x >－1，则f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减；②当a >0时，令a e x －2＝0，得x ＝ln 2a， (ⅰ)当0<a <2e 时，ln 2a>－1，所以f ′(x )>0⇒x <－1或x >ln 2a， f ′(x )<0⇒－1<x <ln 2a，则f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1，ln 2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln 2a ，＋∞上单调递增； (ⅱ)当a ＝2e 时，f ′(x )＝2(x ＋1)(e x ＋1－1)≥0，则f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(ⅲ)当a >2e 时，ln 2a<－1，所以f ′(x )>0⇒x <ln 2a或x >－1， f ′(x )<0⇒ln 2a<x <－1，则f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln 2a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫ln 2a ，－1上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减；当0<a <2e 时，f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1，ln 2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln 2a ，＋∞上单调递增；当a ＝2e 时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >2e 时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln 2a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫ln 2a ，－1上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增．规律方法 (1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论；(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．跟踪演练2 (2022·北京模拟)已知函数f (x )＝ln x －ln t x －t. (1)当t ＝2时，求f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间．解 (1)∵t ＝2，∴f (x )＝ln x －ln 2x －2， ∴f ′(x )＝x －2x －ln x ＋ln 2(x －2)2， ∴f ′(1)＝ln 2－1，又f (1)＝ln 2，∴切线方程为y －ln 2＝(ln 2－1)(x －1)，即y ＝(ln 2－1)x ＋1.(2)f (x )＝ln x －ln t x －t， ∴f (x )的定义域为(0，t )∪(t ，＋∞)，且t >0，f ′(x )＝1－t x －ln x ＋ln t (x －t )2，令φ(x )＝1－t x－ln x ＋ln t ，x >0且x ≠t ， φ′(x )＝t x 2－1x ＝t －x x 2， ∴当x ∈(0，t )时，φ′(x )>0，当x ∈(t ，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，t )上单调递增，在(t ，＋∞)上单调递减，∴φ(x )<φ(t )＝0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在(0，t )，(t ，＋∞)上单调递减．即f (x )的单调递减区间为(0，t )，(t ，＋∞)，无单调递增区间．考点三单调性的简单应用核心提炼1．函数f (x )在区间D 上单调递增(或递减)，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在x ∈D 上恒成立．2．函数f (x )在区间D 上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在x ∈D 上有解．例3 (1)若函数f (x )＝e x (cos x －a )在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝e x (cos x －a )＋e x (－sin x )＝e x (cos x －sin x －a )，∵f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递减，∴f ′(x )≤0在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上恒成立，即cos x －sin x －a ≤0恒成立，即a ≥cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4恒成立，∵－π2<x <π2，∴－π4<x ＋π4<3π4，∴－1<2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，∴a ≥ 2.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a ＝0.1e 0.1，b ＝19，c ＝－ln 0.9，则( )A ．a 0，v (x )>0，w (x )>0.①设f (x )＝ln[u (x )]－ln[v (x )]＝ln x ＋x －[ln x －ln(1－x )]＝x ＋ln(1－x )(0<x ≤0.1)，则f ′(x )＝1－11－x ＝x x －1<0在(0,0.1]上恒成立，所以f (x )在(0,0.1]上单调递减，所以f (0.1)<f (0)＝0＋ln(1－0)＝0，即ln[u (0.1)]－ln[v (0.1)]<0，所以ln[u (0.1)]<ln[v (0.1)]．又函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以u (0.1)<v (0.1)，即0.1e 0.1<19，所以a 0在(0,0.1]上恒成立，所以h (x )在(0,0.1]上单调递增，所以h (x )>h (0)＝(1－02)·e 0－1＝0，即g ′(x )>0在(0,0.1]上恒成立，所以g (x )在(0,0.1]上单调递增，所以g (0.1)>g (0)＝0·e 0＋ln(1－0)＝0，即g (0.1)＝u (0.1)－w (0.1)>0，所以0.1e 0.1>－ln 0.9，即a >c .综上，c <a <b ，故选C.规律方法利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．跟踪演练3 (1)(2022·全国甲卷)已知9m ＝10，a ＝10m －11，b ＝8m －9，则( )A ．a ＞0＞bB ．a ＞b ＞0C ．b ＞a ＞0D ．b ＞0＞a答案 A解析 ∵9m ＝10，∴m ∈(1,2)，令f (x )＝x m －(x ＋1)，x ∈(1，＋∞)，∴f ′(x )＝mx m －1－1， ∵x >1且1<m <2，∴x m －1>1，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增，又9m ＝10，∴9m －10＝0，即f (9)＝0，又a ＝f (10)，b ＝f (8)，∴f (8)<f (9)<f (10)，即b <0<a .(2)已知变量x 1，x 2∈(0，m )(m >0)，且x 1<x 2，若2112x x x x 恒成立，则m 的最大值为(e ＝2.718 28…为自然对数的底数)( )A ．e B. e C.1eD ．1 答案 A解析 ∵2112x x x x ⇒x 2ln x 1<x 1ln x 2，x 1，x 2∈(0，m )，m >0，∴ln x 1x 1<ln x 2x 2恒成立，设函数f (x )＝ln x x ，∵x 1<x 2，f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(0，m )上单调递增，又f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(x )>0⇒0<x <e ，即函数f (x )的单调递增区间是(0，e)，则m 的最大值为e.专题强化练一、单项选择题1．(2022·张家口模拟)已知函数f (x )＝1x －2x ＋ln x ，则函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为() A ．2x ＋y －2＝0 B ．2x －y －1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．2x －y ＋1＝0答案 C解析因为f ′(x )＝－1x 2－2＋1x ，所以f ′(1)＝－2，又f (1)＝－1，故函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －1)，化简得2x ＋y －1＝0.2．已知函数f (x )＝x 2＋f (0)·x －f ′(0)·cos x ＋2，其导函数为f ′(x )，则f ′(0)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 C解析因为f (x )＝x 2＋f (0)·x －f ′(0)·cos x ＋2，所以f (0)＝2－f ′(0)．因为f ′(x )＝2x ＋f (0)＋f ′(0)·sin x ，所以f ′(0)＝f (0)．故f ′(0)＝f (0)＝1.3．(2022·重庆检测)函数f (x )＝e －x cos x (x ∈(0，π))的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫0，3π4 D.⎝⎛⎭⎫3π4，π 答案 D解析 f ′(x )＝－e －x cos x －e －x sin x ＝－e －x (cos x ＋sin x )＝－2e －x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时， e －x >0，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4>0，则f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π时，e －x >0，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4<0，则f ′(x )>0. ∴f (x )在(0，π)上的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫3π4，π.4．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝(x －1)e x －mx 在区间x ∈[1,2]上存在单调递增区间，则m 的取值范围为( )A ．(0，e)B ．(－∞，e)C ．(0,2e 2)D ．(－∞，2e 2)答案 D解析 ∵f (x )＝(x －1)e x －mx ，∴f ′(x )＝x e x －m ，∵f (x )在区间[1,2]上存在单调递增区间，∴存在x ∈[1,2]，使得f ′(x )>0，即m <x e x ，令g (x )＝x e x ，x ∈[1,2]，则g ′(x )＝(x ＋1)e x >0恒成立，∴g (x )＝x e x 在[1,2]上单调递增，∴g (x )max ＝g (2)＝2e 2，∴m <2e 2，故实数m 的取值范围为(－∞，2e 2)．5．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0b >c B ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a答案 B解析由b ＝ln 1.52＋1＝ln 1.5＋1，令f (x )＝ln x ＋1－x ，则f ′(x )＝1x －1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0；所以f (x )＝ln x ＋1－x 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f (1)＝0，则f ( 1.5)<0，因此ln 1.5＋1－ 1.5<0，所以b <c ，又因为c ＝ 1.5<1.3，所以ln 1.5＋1< 1.5<1.3，得ln 1.5<0.3＝ln e 0.3，故 1.5<e 0.3，所以a >c .综上，a >c >b .二、多项选择题7．若曲线f (x )＝ax 2－x ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则a 的取值可以是() A ．－12 B ．0 C.18 D.14答案 ABC解析依题意，f (x )存在垂直于y 轴的切线，即存在切线斜率k ＝0的切线，又k ＝f ′(x )＝2ax ＋1x －1，x >0，∴2ax ＋1x －1＝0有正根，即－2a ＝⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 有正根，即函数y ＝－2a 与函数y ＝⎝⎛⎭⎫1x 2－1x ，x >0的图象有交点，令1x ＝t >0，则g (t )＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，∴g (t )≥g ⎝⎛⎭⎫12＝－14，∴－2a ≥－14，即a ≤18.8．已知函数f (x )＝ln x ，x 1>x 2>e ，则下列结论正确的是() A ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0B.12[f (x 1)＋f (x 2)]<f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x22C ．x 1f (x 2)－x 2f (x 1)>0D ．e[f (x 1)－f (x 2)]<x 1－x 2答案 BCD解析 ∵f (x )＝ln x 是增函数，∴(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，A 错误；12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12(ln x 1＋ln x 2)＝12ln(x 1x 2)＝ln x 1x 2，f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝ln x 1＋x 22，由x 1>x 2>e ，得x 1＋x 22>x 1x 2，又f (x )＝ln x 单调递增，∴12[f (x 1)＋f (x 2)]<f ⎝⎛⎭⎫x1＋x 22，B 正确；令h (x )＝f (x )x ，则h ′(x )＝1－ln x x 2，当x >e 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴h (x 1)<h (x 2)，即 f (x 1)x 1< f (x 2)x 2⇒x 1f (x 2)－x 2f (x 1)>0， C 正确；令g (x )＝e f (x )－x ，则g ′(x )＝e x－1，当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴g (x 1)<g (x 2)，即e f (x 1)－x 1<e f (x 2)－x 2⇒e[f (x 1)－f (x 2)]<x 1－x 2，D 正确．三、填空题9．(2022·保定模拟)若函数f (x )＝ln x －2x＋m 在(1，f (1))处的切线过点(0,2)，则实数m ＝______. 答案 6解析由题意，函数f (x )＝ln x －2x ＋m ，可得f ′(x )＝1x ＋321x ，可得f ′(1)＝2，且f (1)＝m －2，所以m －2－21－0＝2，解得m ＝6. 10．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，则不等式f (2x －1)<f (x ＋1)的解集为________．答案 (0,2)解析 f (x )的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当x >0时，f ′(x )＝2x ＋sin x ，令g (x )＝2x ＋sin x ，则g ′(x )＝2＋cos x >0，∴f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )>f ′(0)＝0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，∴原不等式化为|2x －1|<|x ＋1|，解得0<x <2，∴原不等式的解集为(0,2)．11．(2022·伊春模拟)过点P (1,2)作曲线C ：y ＝4x的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________．答案 2x ＋y －8＝0解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y ′＝－4x 2，所以曲线C 在A 点处的切线方程为y －y 1＝－4x 21(x －x 1)，将P (1,2)代入得2－y 1＝－4x 21(1－x 1)，因为y 1＝4x 1，化简得2x 1＋y 1－8＝0，同理可得2x 2＋y 2－8＝0，所以直线AB 的方程为2x ＋y －8＝0.12．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，对于任意不同的x 1，x 2∈(0，＋∞)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>3，则实数a 的取值范围是________．答案a ≤－1解析对于任意不同的x 1，x 2∈(0，＋∞)，有 f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>3. 不妨设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)<3(x 1－x 2)，即f (x 1)－3x 1<f (x 2)－3x 2，设F (x )＝f (x )－3x ，则F (x 1)<F (x 2)，又x 1<x 2，所以F (x )单调递增，F ′(x )≥0恒成立．F (x )＝f (x )－3x ＝12x 2－(a ＋3)x ＋ln x . 所以F ′(x )＝x －(3＋a )＋1x ＝x 2－(3＋a )x ＋1x，令g (x )＝x 2－(3＋a )x ＋1，要使F ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需g (x )＝x 2－(3＋a )x ＋1≥0恒成立，即3＋a ≤x ＋1x 恒成立，x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，所以3＋a ≤2，即a ≤－1.四、解答题13．(2022·滁州模拟)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a ∈R )．(1)若函数在x ＝1处的切线与直线x －4y －2＝0垂直，求实数a 的值；(2)当a >0时，讨论函数的单调性．解函数定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x )＝2x －2＋a x. (1)由已知得f ′(1)＝2×1－2＋a ＝－4，得a ＝－4.(2)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x(x >0)，对于方程2x 2－2x ＋a ＝0，记Δ＝4－8a .①当Δ≤0，即a ≥12时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当Δ>0，即0<a <12时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝1－1－2a 2，x 2＝1＋1－2a 2. 又a >0，故x 2>x 1>0.当x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．综上所述，当a ≥12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－2a 2，1＋1－2a 2上单调递减． 14．(2022·湖北八市联考)设函数f (x )＝e x －(ax －1)ln(ax －1)＋(a ＋1)x .(e ＝2.718 28…为自然对数的底数)(1)当a ＝1时，求F (x )＝e x －f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，F (x )＝e x －f (x )＝(x －1)ln(x －1)－2x ，定义域为(1，＋∞)，F ′(x )＝ln(x －1)－1，令F ′(x )>0，解得x >e ＋1，令F ′(x )<0，解得1<x <e ＋1，故F (x )的单调递增区间为(e ＋1，＋∞)，单调递减区间为(1，e ＋1)．(2)f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，1上有意义，故ax －1>0在⎣⎡⎦⎤1e ，1上恒成立，可得a >e ，依题意可得f ′(x )＝e x －a ln(ax －1)＋1≥0在⎣⎡⎦⎤1e ，1上恒成立，设g (x )＝f ′(x )＝e x －a ln(ax －1)＋1，g ′(x )＝e x－a 2ax －1，易知g ′(x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递增，故g ′(x )≤g ′(1)＝e －a 2a －1<0，故g (x )＝f ′(x )＝e x －a ln(ax －1)＋1在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递减，最小值为g (1)，故只需g (1)＝e －a ln(a －1)＋1≥0，设h (a )＝e －a ln(a －1)＋1，其中a >e ，由h ′(a )＝－ln(a －1)－a a －1<0可得， h (a )＝e －a ln(a －1)＋1在(e ，＋∞)上单调递减，又h (e ＋1)＝0，故a ≤e ＋1.综上所述，a 的取值范围为(e ，e ＋1]．。

高考数学二轮复习专练二中档小题(三)

中档小题(三)1．(2013·江西省高三上学期七校联考)若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为( )A ．(1，9)B ．[1，9]C ．[6，9)D ．(6，9] 2．(2013·荆州市质量检测)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导数是f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝3xC ．y ＝－3xD ．y ＝4x3．(2013·南昌市第一次模拟测试)双曲线x 2b 2－y 2a 2＝－1(a >0，b >0)与抛物线y ＝18x 2有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为233，则双曲线的离心率等于( )A ．2 B.233C.322D. 3 4．(2013·长春市第一次调研测试)若x ∈(1，4)，设a ＝x 12，b ＝x 23，c ＝ln x ，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．b >c >a 5．(2013·郑州市第二次质量检测)已知A (1，2)，B (3，4)，C (－2，2)，D (－3，5)，则向量AB →在向量CD →上的投影为( )A.105B.2105C.3105D.41056．(2013·安徽省“江南十校”联考)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 013＝( )A. 2 012－1B. 2 013－1C. 2 014－1D. 2 014＋17．(2013·广州市调研测试)在区间[1，5]和[2，4] 上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.3132 8．(2013·郑州市第一次质量检测)把70个面包分五份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，则最小的一份为( )A ．2B ．8C ．14D ．209．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0，表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)10．(2013·东北三校第一次联合模拟考试)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin(4x ＋π6)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)＋2C ．y ＝2sin(4x ＋π3)＋2D ．y ＝2sin(4x ＋π6)＋211．(2013·安徽省“江南十校”联考)从某校高中男生中随机抽取100名学生，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从身高在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，则这2人的身高不在同一组内的概率为________．12．(2013·武汉市武昌区联合考试)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的全面积为________．13．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.14．(2013·武汉市高中毕业生调研测试)从圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋24＝0外一点P 向该圆引切线PT ，T 为切点，且|PT |＝|PO |(O 为坐标原点)，则(1)|PT |的最小值为________；(2)|PT |取得最小值时点P 的坐标为________．备选题 1．(2013·洛阳市统一考试)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π2．(2013·海淀区第二学期期中练习)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1，0)，则|PF ||P A |的最小值是( )A.12B.22C.32D.232 3．(2013·高考安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．4．(2013·湖南省五市十校联合检测)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．答案：1．【解析】选D.依题意， P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －52a ＋1>33a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6，9]．2．【解析】选A.由已知得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2为偶函数，∴a ＝0，∴f (x )＝x 3－2x ，f ′(x )＝3x 2－2.又f ′(0)＝－2，f (0)＝0，∴y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .3．【解析】选B.双曲线与抛物线x 2＝8y 的公共焦点F 的坐标为(0，2)，由题意知点(33，2)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝413b 2－4a 2＝－1，得a 2＝3，故e ＝c a ＝233. 4．【解析】选B.由于x >1，所以x 23>x 12>1，即b >a >1.又1<x <4，所以1<x <2，0<ln x <1，所以b >a >c .5．【解析】选B.依题意得AB →＝(2，2)，CD →＝(－1，3)，|CD →|＝10，AB →·CD →＝－2＋6＝4，向量AB →在向量CD →上的投影等于410＝2105.6．【解析】选C.由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 014－2 013)＝ 2 014－1.7．【解析】选 B.方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b2e ＝c a ＝a 2－b 2a <32，即⎩⎨⎧a 2>b 2a 2<4b 2，化简得⎩⎨⎧a >ba <2b，又a ∈[1，5]，b ∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532.8．【解析】选A.由题意知，中间一份为14，设该等差数列的公差为d (d >0)，则这五份分别是14－2d ，14－d ，14，14＋d ，14＋2d .又16(14＋14＋d ＋14＋2d )＝14－2d ＋14－d ，解得d ＝6.故14－2d ＝2.9．【解析】选C.当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此，m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.10．【解析】选D.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A＝2，由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，可得ω＝4，由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.11．【解析】身高在[60，70)的男生人数为0.030×10×100＝30，同理[70，80)的人数为20，[80，90]的人数为10，所以按分层抽样选取6人，各小组依次选3人，2人，1人，分别记为a ，b ，c ；A ，B ，M ；从这6人中选取2人共有15种结果，其中身高不在同一组内的结果有11种．故概率P ＝1115.【答案】111512．【解析】由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为23的圆台，则几何体的全面积S ＝π×1＋π×9＋π×(4＋12)＝26π.【答案】26π13．【解析】当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－(23a n －1＋13)＝23(a n －a n －1)， ∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2，∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.【答案】(－2)n －1 14．【解析】圆C 的标准方程为：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设P (x ，y )，由|PT |＝|PO |得(x －3)2＋(y －4)2－1＝x 2＋y 2，得3x ＋4y －12＝0，P 的轨迹为直线：3x ＋4y －12＝0，当圆心C到直线的距离最小时，切线PT 取最小值，|PT |min ＝125，此时P 点坐标为(3625，4825)．【答案】(1)125 (2)(3625，4825)备选题 1．【解析】选C.取SC 的中点E ，连接AE 、BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S -ABC 的外接球的球心，即点E 与点O 重合，OA ＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，球O 的表面积为4π×OA 2＝16π.2．【解析】选B.依题意知x ≥0，则焦点F (1，0)，|PF |＝x ＋1，|P A |＝（x ＋1）2＋y 2＝（x ＋1）2＋4x ，当x ＝0时，|P A ||PF |＝1；当x >0时，1<|P A ||PF |＝1＋4x（x ＋1）2≤1＋4x （2x ）2＝2(当且仅当x ＝1时取等号)．因此当x ≥0时，1≤|P A ||PF |≤2，22≤|PF ||P A |≤1，|PF ||P A |的最小值是22.3．【解析】设C (x ，x 2)，由题意可取A (－a ，a )，B (a ，a )，则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a )x 2＋a 2－a ＝0，即y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（1－2a ）≥0，a 2－a ≥0，（1－2a ）2－4（a 2－a ）>0，解得a ≥1.【答案】[1，＋∞) 4．【解析】令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )，⎩⎨⎧c ＝2x ＋π3d ＝12sin x，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是[－12，12]．【答案】[－12，12]。

2021高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题二数列第2讲数列求和及综合问题含解析

高考数学二轮复习专题练：第2讲数列求和及综合问题高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1，所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92.因为数列{a n}的前16项和为540，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.①因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1，所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38，所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.②由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184.又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，所以a1＋a1＋10＋a1＋44＋a1＋102＝184，所以a1＝7.法二同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1，由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋12＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋14，所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋14＋a 1.所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝a 1＋⎝⎛⎭⎫34×12＋1＋14＋a 1＋⎝⎛⎭⎫34×32＋3＋14＋a 1＋⎝⎛⎭⎫34×52＋5＋14＋a 1＋ ⎝⎛⎭⎫34×72＋7＋14＋a 1＋⎝⎛⎭⎫34×92＋9＋14＋a 1＋⎝⎛⎭⎫34×112＋11＋14＋a 1＋ ⎝⎛⎭⎫34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 72.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析法一因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1.所以S 6＝－1×（1－26）1－2＝－63.法二由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63. 答案－633.(2020·新高考山东卷)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.解 (1)设{}a n 的公比为q (q ＞1). 由题设得a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8. 解得q ＝12(舍去)，q ＝2.由题设得a 1＝2.所以{}a n 的通项公式为a n ＝2n .(2)由题设及(1)知b 1＝0，且当2n ≤m ＜2n＋1时，b m ＝n .所以S 100＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6＋b 7)＋…＋(b 32＋b 33＋…＋b 63)＋(b 64＋b 65＋…＋b 100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.4.(2020·全国Ⅰ卷)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项. (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得2a 1＝a 2＋a 3，即2a 1＝a 1q ＋a 1q 2.所以q 2＋q －2＝0，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2. 故{a n }的公比为－2.(2)记S n 为{na n }的前n 项和.由(1)及题设可得a n ＝(－2)n －1，所以S n ＝1＋2×(－2)＋…＋n ·(－2)n －1，－2S n ＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n ·(－2)n . 所以3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n ·(－2)n ＝1－(－2)n 3－n ·(－2)n .所以S n ＝19－(3n ＋1)(－2)n9.考点整合1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.2.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 3.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.温馨提醒裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.热点一 a n 与S n 的关系问题【例1】设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值. 解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *，所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1，两式相减，得a n ＋1＝－14a n ，又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－14，所以数列{a n }是公比、首项均为－14的等比数列.所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎝⎛⎭⎫－14n. (2)由(1)知b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1，数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2，所以A n ＝1－1（n ＋1）2.因此{A n }是单调递增数列，∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝34；A n 没有最大值.探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .2.由S n 求a n 时，一定注意分n ＝1和n ≥2两种情况，最后验证两者是否能合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示.【训练1】 (2020·合肥检测)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )，若{b n }是递增数列，求实数a 的取值范围. 解 (1)a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)， a 2n －1＝S n －1＋S n －2(n ≥3).相减可得a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，∵a n ＞0，a n －1＞0，∴a n －a n －1＝1(n ≥3). 当n ＝2时，a 22＝a 1＋a 2＋a 1， ∴a 22＝2＋a 2，a 2＞0，∴a 2＝2. 因此n ＝2时，a n －a n －1＝1成立. ∴数列{a n }是等差数列，公差为1. ∴a n ＝1＋n －1＝n .(2)b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )＝(n －1)2＋a (n －1)， ∵{b n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝n 2＋an －(n －1)2－a (n －1) ＝2n ＋a －1＞0，即a ＞1－2n 恒成立，∴a ＞－1.∴实数a 的取值范围是(－1，＋∞). 热点二数列求和方法1 分组转化求和【例2】 (2020·山东五地联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2)，所以S 2a 1＝1＋2＝3，得a 1＝d ，又易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n .因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.探究提高 1.求解本题要过四关：(1)“转化”关，把不等式的解转化为方程根的问题；(2)“方程”关，利用方程思想求出基本量a 1及d ；(3)“分组求和”关，观察数列的通项公式，把数列分成几个可直接求和的数列；(4)“公式”关，会利用等差、等比数列的前n 项和公式求和. 2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.本题易忽视数列通项的下标如错得a 2n ＝n ，应注意“＝”左右两边保持一致.【训练2】 (2020·潍坊调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和P n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝4，所以a n ＝4n ，因为T n －2b n ＋3＝0，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0，两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，则数列{b n }为首项为3，公比为2的等比数列，所以b n ＝3·2n －1.(2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数，当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝（4＋4n －4）·n 22＋6（1－4n 2）1－4＝2n ＋1＋n 2－2.当n 为奇数时，法一 n －1(n ≥3)为偶数，P n ＝P n －1＋c n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1，n ＝1时符合上式.法二 P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝（4＋4n ）·n ＋122＋6（1－4n －12）1－4＝2n ＋n 2＋2n －1.所以P n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数.方法2 裂项相消求和【例3】 (2020·江南六校调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)证明：{a n }为等比数列；(2)记b n ＝log 2a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫λb n b n ＋1的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围.(1)证明由已知，得a 1＝S 1＝2，a 2＝S 1＋2＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝(S n ＋2)－(S n －1＋2)＝a n ，所以a n ＋1＝2a n (n ≥2).又a 2＝2a 1，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解由(1)可得a n ＝2n ，所以b n ＝n . 则λb n b n ＋1＝λn （n ＋1）＝λ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，T n ＝λ⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝λ⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1，因为T n ≥10，所以λn n ＋1≥10，从而λ≥10（n ＋1）n ，因为10（n ＋1）n ＝10⎝⎛⎭⎫1＋1n ≤20，所以λ的取值范围为[20，＋∞).探究提高 1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 【训练3】设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和.解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.方法3 错位相减法求和【例4】 (2020·济南统测)在①a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，②b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，③S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解答问题.已知等差数列{a n }的公差为d (d >1)，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，且a 1＝b 1，d ＝q ，________.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解选条件①.(1)∵a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，2a 1＋5d ＝6a 1d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝256，d ＝512(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n ，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －2＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n.上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝3－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n －1.选条件②.(1)∵b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝3a 1d 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a nb n ，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －2＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n.上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝3－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n －1.选条件③.(1)∵S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋7d ＝8a 1d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝218，d ＝38(舍去)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a nb n ，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －2＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n.上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n －1.探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解. 2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练4】 (2020·潍坊模拟)在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n .公差不等于0的等差数列{b n }满足________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解因为a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，所以{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n －1.选①②时，设数列{b n }的公差为d 1. 因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3(ⅰ).因为b 2n ＝2b n ＋1，所以当n ＝1时，b 2＝2b 1＋1(ⅱ). 由(ⅰ)(ⅱ)解得b 1＝23，b 2＝73，所以d 1＝53，所以b n ＝5n －33.所以b n a n ＝5n －33n .所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝231＋732＋1233＋…＋5n －33n ，所以13S n ＝232＋733＋1234＋…＋5n －83n ＋5n －33n ＋1.上面两式相减，得23S n ＝23＋5⎝⎛⎭⎫132＋133＋…＋13n －5n －33n ＋1 ＝23＋56－152×3n ＋1－5n －33n ＋1＝32－10n ＋92×3n ＋1. 所以S n ＝94－10n ＋94×3n.选②③时，设数列{b n }的公差为d 2.因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3，即2b 1＋d 2＝3.因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 2)2＝b 1(b 1＋3d 2)，化简得d 22＝b 1d 2.因为d 2≠0，所以b 1＝d 2，从而d 2＝b 1＝1，所以b n ＝n . 所以b n a n ＝n 3n －1.所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，所以13S n ＝131＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n .上面两式相减，得23S n ＝1＋131＋132＋133＋…＋13n －1－n 3n ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n －n 3n ＝32－2n ＋32×3n . 所以S n ＝94－2n ＋34×3n －1.选①③时，设数列{b n }的公差为d 3.因为b 2n ＝2b n ＋1，所以b 2＝2b 1＋1，所以d 3＝b 1＋1.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 3)2＝b 1(b 1＋3d 3)，化简得d 23＝b 1d 3.因为d 3≠0，所以b 1＝d 3，无解，所以等差数列{b n }不存在.故不合题意. 热点三与数列相关的综合问题【例5】 (2020·杭州滨江区调研)设f (x )＝12x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n＋1＝f ′(a n )，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)由f (x )＝12x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2.∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1. ∴a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＋1－a n ＝2，因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2，等比数列{b n }中，设公比为q ，∵b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， ∴q ＝3.∴b n ＝3n －1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 可化为3n －12≤n 2.又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2.故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.探究提高 1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意； (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练5】已知数列{a n }与{b n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n (n ∈N *)，若{a n }是各项为正数的等比数列，且a 1＝2，b 3＝b 2＋4. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝a n b n b n ＋1(n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和，证明：T n ＜1.(1)解由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n ，① 当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝2b n －1，② ①－②可得a n ＝2(b n －b n －1) ⇒a 3＝2(b 3－b 2)＝2×4＝8，∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }的公比为q ， ∴a 1q 2＝8⇒q ＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *). ∴2b n＝21＋22＋23＋…＋2n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，∴b n ＝2n －1(n ∈N *).(2)证明由已知c n ＝a n b n ·b n ＋1＝2n（2n －1）（2n ＋1－1）＝12n－1－12n ＋1－1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝121－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，当n ∈N *时，2n ＋1＞1， ∴12n ＋1－1＞0，∴1－12n ＋1－1＜1，故T n ＜1.A 级巩固提升一、选择题1.已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023解析因为2n ＋12n ＝1＋12n ，所以T n ＝n ＋1－12n ，则T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210，又m >T 10＋1 013，所以整数m 的最小值为1 024. 答案 C2.(2020·河北“五个一”名校联盟诊断)在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项的和为( ) A.1 009B.1 010C.2 019D.2 020解析设{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，a 1＋9d ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2 020项的和S 2 020＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2 019＋b 2 020)＝2×1 010＝2 020. 答案 D3.数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝( )A.9998B.2C.9950D.99100解析对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫199－1100]＝2×⎝⎛⎭⎫1－1100＝9950. 答案 C4.(多选题)(2020·青岛质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝S n ＋2a n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和为T n ，n ∈N *，则下列选项正确的为( ) A.数列{a n ＋1}是等差数列 B.数列{a n ＋1}是等比数列 C.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1 D.T n <1解析由S n ＋1＝S n ＋2a n ＋1，得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1，可化为a n ＋1＋1＝2(a n ＋1).由a 1＝1，得a 1＋1＝2，则数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.则a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1.由2n a n a n ＋1＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1，得T n＝1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1<1.所以A 错误，B ，C ，D 正确.故选BCD. 答案 BCD5.(多选题)(2020·烟台模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝n ·(－1)n （n ＋1）2，其前n 项和为S n ，且m ＋S 2 019＝－1 009，则下列说法正确的是( ) A.m 为定值B.m ＋a 1为定值C.S 2 019－a 1为定值D.ma 1有最大值解析当n ＝2k (k ∈N *)时，由已知条件得a 2k ＋a 2k ＋1＝2k ·(－1)k (2k ＋1)，所以S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝a 1－2＋4－6＋8－10＋…－2 018＝a 1＋1 008－2 018＝a 1－1 010，所以S 2 019－a 1＝－1 010.m ＋S 2 019＝m ＋a 1－1 010＝－1 009，所以m ＋a 1＝1，所以ma 1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋a 122＝14，当且仅当m ＝a 1＝12时等号成立，此时ma 1取得最大值14.故选BCD. 答案 BCD 二、填空题6.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ，所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－27.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n ＋1，则a 1＝________，a n ＝________. 解析令n ＝1，则2S 1＝3a 1＋1，又S 1＝a 1，所以a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(3a n －3a n －1)，整理得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3(n ≥2).因此，{a n }是首项为－1，公比为3的等比数列. 故a n ＝－3n －1. 答案－1 －3n －18.(2020·福州调研)已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________.解析 S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1，故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 又a n ＝2n ，∴S n －na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50 ＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5. 答案 5 三、解答题9.(2020·合肥调研)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 10＝4，S 15＝30. (1)求数列{a n }的通项公式以及前n 项和S n ；(2)记数列{2a n ＋4＋a n }的前n 项和为T n ，求满足T n ＞0的最小正整数n 的值. 解 (1)记数列{a n }的公差为d ，S 15＝30⇒15a 8＝30⇒a 8＝2，故d ＝a 10－a 810－8＝1，故a n ＝a 10＋(n －10)d ＝4＋n －10＝n －6，S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝－5n ＋n （n －1）2＝n 22－11n2.(2)依题意，2a n ＋4＋a n ＝n －6＋2n －2 T n ＝(－5－4＋…＋n －6)＋(2－1＋20＋…＋2n －2)＝n （n －11）2＋2n －12，当n ＝1时，T 1＝－1×10＋21－12＜0；当n ＝2时，T 2＝－2×9＋22－12＜0；当n ＝3时，T 3＝－3×8＋23－12＜0；当n ＝4时，T 4＝－4×7＋24－12＜0；当n ≥5时，n （n －11）2≥－15，2n －12≥312，所以T n ＞0.故满足T n ＞0的最小正整数n 的值为5.10.(2020·临沂模拟)甲、乙两同学在复习数列时发现曾经做过的一道有关数列的题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知________. (1)判断S 1，S 2，S 3的关系；(2)若a 1－a 3＝3，设b n ＝n 12|a n |，记{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <43.甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是S 1，S 3，S 2成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题. (1)解由S 1，S 3，S 2成等差数列，得 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝2a 1＋a 1q ，解得q ＝－12或q ＝0(舍去).若乙同学记得的缺少的条件是正确的，则公比q ＝－12.所以S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝a 1－12a 1＝12a 1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1－12a 1＋14a 1＝34a 1，可得S 1＋S 2＝2S 3，即S 1，S 3，S 2成等差数列.(2)证明由a 1－a 3＝3，可得a 1－14a 1＝3，解得a 1＝4，所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫－12n －1.所以b n ＝n 12|a n |＝n 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝23n ·⎝⎛⎭⎫12n. 所以T n ＝23⎝⎛⎭⎫1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ， 12T n ＝23⎝⎛⎭⎫1×14＋2×18＋3×116＋…＋n ×12n ＋1，两式相减，得12T n ＝23⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋116＋…＋12n －n ·12n ＋1 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n ·12n ＋1，化简可得T n ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n ＋22n ＋1.由1－n ＋22n ＋1<1，得T n <43.B 级能力突破11.设数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，a n ，S n ，a 2n成等差数列，设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n ＝（ln x ）na 2n ，若对任意的实数x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)和任意正整数n ，总有T n <r (r ∈N *)，则r 的最小值为________.解析由题意得，2S n ＝a n ＋a 2n，当n ≥2时，2S n －1＝a n －1＋a 2n －1，∴2S n －2S n －1＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝1，即数列{a n }是公差为1的等差数列，又2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21，a 1＝1，∴a n ＝n (n ∈N *).又x ∈(1，e]，∴0<ln x ≤1，∴T n ≤1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2，∴r ≥2，即r 的最小值为2. 答案 212.(2020·衡水中学检测)等差数列{a n }的公差为2，a 2，a 4，a 8分别等于等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c na n ＝b n ＋1，求数列{c n }的前2 020项的和.解 (1)依题意得b 23＝b 2b 4，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，所以a 21＋12a 1＋36＝a 21＋16a 1＋28，解得a 1＝2.∴a n ＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，所以q ＝b 3b 2＝a 4a 2＝84＝2，又b 2＝a 2＝4，∴b n ＝4×2n －2＝2n .(2)由(1)知，a n ＝2n ，b n ＝2n . 因为c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＋c n a n ＝2n ＋1①当n ≥2时，c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＝2n ②由①－②得，c n a n ＝2n ，即c n ＝n ·2n ＋1，又当n ＝1时，c 1＝a 1b 2＝23不满足上式，∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8，n ＝1，n ·2n ＋1，n ≥2.故S 2 020＝8＋2×23＋3×24＋…＋2 020×22 021 ＝4＋1×22＋2×23＋3×24＋…＋2 020×22 021设T 2 020＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋2 019×22 020＋2 020×22 021③，则2T 2 020＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋2 019×22 021＋2 020×22 022④，由③－④得：－T 2 020＝22＋23＋24＋…＋22 021－2 020×22 022 ＝22（1－22 020）1－2－2 020×22 022＝－4－2 019×22 022，所以T 2 020＝2 019×22 022＋4，所以S 2 020＝T 2 020＋4＝2 019×22 022＋8.。

高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题3立体几何文科第1讲空间几何体三视图表面积与体积文理

表面两两垂直的平面共有
(C )
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
23
【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：平面与平面的位置关系：平面ABCD⊥平面PBC、平面ABCD⊥平面PCD、平面PBC⊥平面PCD、平面PAB⊥平面PBC、平面PAD⊥平面PCD.故选C．
Ⅲ卷
题号 3、12 11、 20(2)
9
考查角度
分值
与棱锥有关的计算；求球的表面积 10
在求点到面的距离时涉及球的表面积；
求四棱锥的体积
11
由三视图求几何体的表面积
5
9
年份 2019
2018
卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
Ⅲ卷
题号 16 16 16 9 16
3、12
考查角度点到平面的距离多面体的棱长与面的个数
21
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的 z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
22
1．(2020·浙江模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体
38
考向2 空间几何体的体积
典例3 (1)(2020·葫芦岛模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱
长为2，在A，B，C，D，C1，D1这六个顶点中，选择两个点与A1，B1构
成正三棱锥P，在剩下的四个顶点中选择两个点与A1，B1构成正三棱锥
Q，M表示P与Q的公共部分，则M的体积为
( A)
A．13

2023年高考数学二轮复习第三篇小题提速练透大题规范增分第4讲排列、组合、二项式定理

项式系数之和为 64，则该展开式中的 x6 的系数是
(B )
A．60
B．160
C．180
D．240
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
【解析】由已知可得 2n＝64，解得 n＝6，则二项式的展开式的通项公式为 Tr＋1＝C6r (2x3)6-r1xr＝C6r ·26-rx18-4r，令 18－4r＝6，解得 r＝3，所以展开式中含 x6 的系数为 C36 ·23＝160，故选 B.
【解析】根据题意，分 2 种情况讨论： ①3 人中有 1 人分得 3 张，其余 2 人各 1 张，有 C13 A33 ＝18 种分法， ②3 人中有 1 人分得 1 张，其余 2 人各 2 张，有 3A33 ＝18 种分法，则有 18＋18＝36 种分法，即不同的分法种数为 36，故选 B.
第三篇小题提速练透•大题规范增分
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
在yx2Tr＋1＝C5r x4-ryr+2 中，令 r＝1，可得：yx2T2＝C15 x3y3，该项中 x3y3 的系数为 5，
所以 x3y3 的系数为 10＋5＝15，故选 C.
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
第三篇小题提速练透•大题规范增分
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3．(2022·全国新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有
A．12种 C．36种
B．24种 D．48种
(B )
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
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新高考数学一轮二轮复习专题-专题三函数的概念、图象和性质(原卷版)-4月5月真题汇编

专题三函数的概念、图像和性质一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为,(4)R f x +是偶函数，(6)3f =，()f x 在(,4]-∞上单调递减，则不等式(24)3f x -<的解集为（）A ．(4,6)B ．(,4)(6,)-∞⋃+∞C ．(,3)(5,)-∞⋃+∞D ．(3,5)2．（2021·北京石景山区·高三一模）已知22,0()32,0x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，若()f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．[0,1]C ．[1,0]-D ．(1,0)-3．（2021·天津南开区·高三一模）函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()21xf x x=-B ．()221xf x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-4．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．11,63⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭5．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的是（） A ．当m =0时，函数m y x =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C ．幂函数m y x =图象不可能在第四象限内D ．若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的增函数6．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知函数()f x ，()g x 满足()()()()xx f x g x ef xg x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则()()()sin 2x h x f x g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅的图像大致是（） A ． B ．C ．D ．7．（2021·天津高三月考）函数241x y x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．（2020·上海高一专题练习）单调增函数()f x 对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，若()()33920x x x f k f ⋅+--<恒成立，则k 的取值范围是（）A ．()1-B ．(),1-∞C ．(0,1⎤⎦D ．)1,⎡+∞⎣9．（2021·全国高三专题练习（理））已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭（）A ．()6063,e+∞B ．()20210,eC ．()2021,e+∞ D ．()60630,e10．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数()22cos sin e ex xx x f x --=+，则函数()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．11．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））设函数()ln 31ln 31f x x x =++-，则()f x （）A ．是偶函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增B ．是奇函数，且在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．是偶函数，且在1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭单调递增D ．是奇函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减12．（2021·全国高三月考（理））已知函数()12cos 122x xf xx -=⋅+，则()f x 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．13．（2021·全国高三月考（文））已知奇函数()f x 的定义域为{},0x x R x ∈≠，且有()()33f x f x =，()11f =，当120x x >>时，()()()121233120f x f x x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，则不等式()29f x x x≥的解集为（） A ．(][),33,-∞-+∞ B ．[)(]3,00,3- C ．(][),11,-∞-+∞D ．[)(]1,00,1-14．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()11f =．若1x ∀，()2,x ∀∈-∞+∞，当12x x <时，()()122144f x x f x x ->-，则不等式()()4ln 455ln 45f x x ->--⎡⎤⎣⎦的解集为（）A ．5e ,4+⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．55e ,44+⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．55e ,44+⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．（2021·全国高三月考（文））若函数2()f x x =在区间[,]a b 上的值域为[,1]()t t t +∈R ，则b a -（）A ．有最大值，但无最小值B ．既有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值16．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞上单调递减，()20f =，则()()10+<f x f x 的解集为（） A ．()()2,10,1--⋃ B ．()()1,01,2- C ．()1,2- D ．()2,1-17．（2021·全国）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足：①对任意的1x ，()212[5,1]x x x ∈--≠，都有()()21210f x f x x x ->-；②(1)y f x =+是奇函数；③(1)=-y f x 为偶函数.则（）A ．(2021)(22)(3)f f f >>B ．(22)(3)(2021)f f f >>C ．(3)(22)(2021)f f f >>D ．(22)(2021)(3)f f f >>18．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()f x 定义域为R ，满足()()2f x f x =-，且对任意121x x ≤<均有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦成立，则满足()()2130f x f x ---≥的x 的取值范围是（）A ．(]2,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．（2021·全国高三专题练习（理））函数1010y =的图象可能是下图中的（）A ．B ．C ．D ．20．（2021·山东青岛市·高三一模）已知()y f x =为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（） A ．1-B ．0C ．1D ．221．（2021·全国高三专题练习（文））设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4-D ．()()8,40,4--⋃22．（2021·全国高三专题练习（文））函数ln ||()||x f x x =的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．23．（2021·全国高三专题练习（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2二、多选题24．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：()coshxf x a a=，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh x ＝e e 2x x -+，相应地双曲正弦函数的表达式为sinh x ＝e e 2x x--．若直线x ＝m 与双曲余弦函数C 1与双曲正弦函数C 2的图象分别相交于点A ，B ，曲线C 1在点A 处的切线l 1与曲线C 2在点B 处的切线l 2相交于点P ，则下列结论正确的为（）A ．cosh(x ﹣y )＝cosh x cosh y ﹣sinh x sinh yB ．y ＝sinh x cosh x 是偶函数C ．(cosh x )′＝sinh xD ．若△P AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，则实数m ＝025．（2021·全国高三专题练习）已知函数232(1)()1x x f x x ++=+，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象的对称中心是（0，1）B ．函数()f x 在R 上是增函数C ．函数()f x 是奇函数D ．方程(21)(2)2f x f x -+=的解为14x =26．（2021·全国高三专题练习）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：1,()0,c x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中Q 为有理数集，c Q 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为,(),c a x QD x b x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中a ，b R ∈且a b ），以下对()D x 说法正确的是（）A ．当a b >时，()D x 的值域为[],b a ；当a b <时，()D x 的值域为[],a bB ．任意非零有理数均是()D x 的周期，但任何无理数均不是()D x 的周期C ．()D x 为偶函数D ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性27．（2021·浙江高一开学考试）已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中正确的有（） A ．1yg f x 为偶函数B ．()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数C ．()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称D ．1yf g x 为偶函数28．（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中，()f x 与g()x 不表示同一函数．．．．．．．的是（） A ．()1f x x ，21()1x g x x -=+B ．()|1|f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =，0()(1)g x x =+D ．()f x x =，2()g x =29．（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题30．（2021·浙江高一期末）设,a b ∈R，已知函数3,1(),1x f x bx x x ≤=⎨+>⎪⎩，若()f x 是在R 上的增函数，则b 的取值范围是_________.31．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知可导函数()f x 的定义域为(0,)+∞，满足()2()0xf x f x '-<，且(2)4f =，则不等式()24x x f >的解集是________．32．（2021·安徽省泗县第一中学高二月考（文））已知()f x 是定义在R 上的函数，且()()12()12f x f x f x +-=--，若(1)2f =+，则(2025)f =______．33．（2021·全国高三专题练习）设f (x )是定义在R 上周期为2的函数，当x ∈(-1，1]时，22,10()1x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，其中m ∈R .若f (116)=f (32)，则m 的值是___________.34．（2021·全国高三专题练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(2020)(2021)f f +=__________． 35．（2020·上海高一专题练习）设R a ∈，若0x >时，均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值集合．．为_________. 36．（2021·上海高一）设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，且()12(13)f x x x =--≤≤，则使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为____．四、解答题37．（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()2144m f x m m x+=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减.38．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）设函数e ()e x x af x a+=-（e 为常数，e ＝2.718 28…，a ∈R ）.（1）若函数()f x 为奇函数，求实数a 的值；（2）若1a =-.①判断并证明函数f (x )的单调性；②若存在[]22x ∈-，，使得f (x 2＋2mx )+f (2－m )=0成立，求实数m 的取值范围. 39．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()2af x x x=+．（1）判断()f x 的奇偶性，并给出理由；（2）当16a =时，①用定义证明函数()f x 在区间[)2,+∞上是单调增函数；②若存在()0,x ∈+∞，使得不等式()42f x m m <-成立，求实数m 的取值范围．40．（2020·上海高一专题练习）幂函数273235()(1)t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.41．（2021·湖北高二月考）已知函数ln ()xf x x=．（1）判断()f x 的单调性，并比较20222021与20212022的大小；（2）若函数2()(1)(()1)2ag x x x f x =-+-，其中1a e ≤<，判断()g x 的零点的个数，并说明理由．42．（2021·浙江高一期末）设函数()()()212,xxk f x k x R k Z -=+-⋅∈∈（1）若()k f x 是偶函数，求k 的值（2）若存在]2[1x ∈，，使得()()014f x mf x +<成立，求实数m 的取值范围；（3）设函数()()()0224g x f x f x λ=-+若()g x 在[)1,x ∈+∞有零点，求实数λ的取值范围．43．（2021·安徽高一开学考试）已知函数()21,0,0x ax x f x e x -⎧+<=⎨≥⎩且()()013f f +-=.（1）求实数a 的值；（2）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()()()()2121bf b x b f x +-+≥恒成立，求正数b的取值范围.44．（2020·上海高一专题练习）求下列函数的值域（1）34x y x +=-；（2）25243y x x =-+；（3）y x =；（4）22436x x y x x ++=+-；（5）4y =；（6）y x =+（7）y =；（8）y =（9）312x y x +=-；（10）2211()212x x y x x -+=>-. 45．（2020·上海高一专题练习）根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；（3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立46．（2020·上海高一专题练习）()f x =为奇函数，则a 的取值范围 47．（2020·上海高一专题练习）已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,1,1a b ，0a b +≠，有()()0f a f b a b+>+成立；（1）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式11()21f x f x ⎛⎫+< ⎪-⎝⎭； 48．（2020·上海高一专题练习）已知二次函数2()(1)f x ax a x a =+-+.（1）函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）关于x 的不等式()2f x x≥在[]1,2x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）函数21(1)()()a x g x f x x--=+在(2,3)上是增函数，求实数a 的取值范围. 49．（2021·上海高一）设函数2()(3)3f x mx m x =+--（1）若对任意[]1,3x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围（2）若存在[]1,3x ∈，不等式()0f x >成立，求实数m 的取值范围50．（2021·山东德州市·高一期末）已知函数()y f x =的图象与()()log 0,1a g x x a a =>≠的图象关于x 轴对称，且()g x 的图象过点()4,2. （1）若()()315f x f x ->-+成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意[]1,4x ∈，不等式()204x f x g m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围. 51．（2021·四川高一开学考试）设函数()223,f x x ax a =-+∈R ．（1）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最小值()g a 的表达式；（2）求函数()g a 的最大值．五、双空题52．（2021·山东菏泽市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的偶函数且()01f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2021f =________．()411n i f i -==∑_____________．。

2021高考数学二轮复习专题练二基础小题练透热点专练2不等式含解析

高考数学二轮复习专题练：热点专练2 不等式一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若a ，b ，c 为实数，且a a bD.a 2>ab >b 2解析 c ＝0时，A 不成立； 1a －1b ＝b －a ab>0，B 错； b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab<0，C 错；由a ab >b 2，D 正确. 答案 D2.已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A.2B.－2C.－12D.12解析依题意，－1与－12是(ax －1)(x ＋1)＝0的两根，且a <0，∴－1×⎝⎛⎭⎫－12＝ (－1)×1a ，则a ＝－2.答案 B3.若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A.2B.12C.4D.14解析因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号). 又因为2a ＋b ＝4， ∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2，∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). 答案 B4.(2020·日照检测)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最大值是( ) A.－4B.－2C.2D.4解析由题意得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当x ＝y ＝－1时取等号)，∴1≥22x ＋y ，∴14≥2x ＋y ，∴2－2≥2x ＋y ，∴x ＋y ≤－2.∴x ＋y 的最大值为－2. 答案 B5.(2020·菏泽模拟)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53C.2D.54解析由x >0，y >0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，当且仅当x ＝3，y ＝233时取等号，∴xy 的最大值为2.答案 C6.(2020·滨州模拟)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则（x ＋1）（2y ＋1）xy 的最小值为( )A.2 2B.2 3C.4 2D.4 3解析 ∵x >0，y >0，∴xy >0.∵x ＋2y ＝5，∴（x ＋1）（2y ＋1）xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy≥212＝43，当且仅当2xy ＝6xy，即x ＝3，y ＝1或x ＝2，y ＝32时取等号.∴（x ＋1）（2y ＋1）xy的最小值为4 3.答案 D7.设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A.16B.9C.4D.2解析在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋ax －1＋1≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号).由题意知2a ＋1≥5.所以a ≥4. 答案 C8.(2020·宜昌模拟)若对任意的x ∈[1，5]，存在实数a ，使2x ≤x 2＋ax ＋b ≤6x (a ∈R ，b >0)恒成立，则实数b 的最大值为( ) A.9B.10C.11D.12解析已知当x ∈[1，5]时，存在实数a ，使2x ≤x 2＋ax ＋b ≤6x 恒成立，则－x 2＋2x ≤ax ＋b ≤－x 2＋6x ，令f (x )＝－x 2＋2x (1≤x ≤5)，g (x )＝－x 2＋6x (1≤x ≤5)，作出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，要使b 最大，且满足－x 2＋2x ≤ax ＋b ≤－x 2＋6x (1≤x ≤5)，则直线y ＝ax ＋b 必过(1，5)，且与函数y ＝f (x )的图象相切于点B .易得此时b ＝5－a ，此时的直线方程为y ＝ax ＋5－a .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋5－a ，y ＝－x 2＋2x ，得x 2＋(a －2)x ＋5－a ＝0.∴Δ＝(a －2)2－4(5－a )＝0，解得a ＝－4或a ＝4(舍去)，∴b max ＝5－(－4)＝9.故选A. 答案 A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.(2020·德州模拟)对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是( ) A.若a >b ，则ac <bc B.若a ab >b 2 C.若c >a >b >0，则a c －a >bc －bD.若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0解析若c >0，则由a >b 得ac >bc ，A 错；若a ab ，ab >b 2，a 2>ab >b 2，B 正确；若c >a >b >0，则c －b >c －a >0，∴1c －a >1c －b >0，∴a c －a >bc －b ，C 正确；若a >b ，且a ，b 同号，则有1a <1b ，因此由a >b ，1a >1b 得a >0，b <0，D 正确.故选BCD.答案 BCD10.(2020·石家庄一模)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋b ＋c ≤ 3 B.(a ＋b ＋c 2)≥3 C.1a ＋1b ＋1c≥2 3D.a 2＋b 2＋c 2≥1解析由基本不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )＝2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＝b ＝c ＝±33时，等号成立.∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc＋ca )≥3，∴a ＋b ＋c ≤－3或a ＋b ＋c ≥ 3.若a ＝b ＝c ＝－33，则1a ＋1b ＋1c＝－33<2 3.因此，A ，C 错误，B ，D 正确.故选BD. 答案 BD11.(2020·济南一中期中)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最小值4 B.ab 有最小值12C.a ＋b 有最大值 2D.a 2＋b 2有最小值12解析对于A ，因为a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，所以有1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4(当且仅当a ＝b 时取等号)，故A 正确；对于B ，因为a ，b 是正实数，所以有1＝a ＋b ≥2ab ，即ab ≤12(当且仅当a ＝b 时取等号)，故B 不正确；对于C ，因为a ，b 是正实数，所以有a ＋b2≤（a ）2＋（b ）22＝12，即a ＋b ≤2(当且仅当a ＝b 时取等号)，故C 正确；对于D ，因为a ，b 是正实数，所以有a ＋b2≤a 2＋b 22，即a 2＋b 2≥12(当且仅当a ＝b 时取等号)，故D 正确.故选ACD. 答案 ACD12.(2020·烟台模拟)下列说法正确的是( ) A.若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4 B.若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1C.若x ，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1D.函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为9解析对于A ，取x ＝32，y ＝12，可得2x ＋2y ＝32>4，A 错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD. 答案 BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.解析由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥22a ·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.答案 1414.(2020·深圳统测)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则xy 的最小值为________，实数m 的取值范围为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，∴2x ＋1y ＝1，∴1＝2x ＋1y ≥22x ·1y，∴xy ≥8，当且仅当x ＝4，y ＝2时取等号，∴x ＋2y ＝xy ≥8，∴m 2＋2m <8，解得－4<m <2. 答案 8 (－4，2)15.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________.解析因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案 416.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 解析法一由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.法二设x 2＋y 2＝t ＞0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1，所以4y 4－5ty 2＋1＝0.由Δ＝25t 2－16≥0，解得t ≥45⎝⎛⎭⎫t ≤－45舍去. 故x 2＋y 2的最小值为45.答案 45。

专题3-2 解三角形最值范围与图形归类-2023年高考数学二轮复习讲练测(全国通用)(原卷版)

专题3-2解三角形最值、范围与图形归类目录讲高考 ............................................................................................................................................................................... 1 题型全归纳 ...................................................................................................................................................................... 2 【题型一】最值与范围1：角与对边 .................................................................................................................... 2 【题型二】最值与范围2：角与邻边 .................................................................................................................... 2 【题型三】范围与最值3：有角无边型 ............................................................................................................... 3 【题型四】最值与范围4：边非对称型 ............................................................................................................... 4 【题型五】最值：均值型 .......................................................................................................................................... 4 【题型六】图形1：内切圆与外接圆 .................................................................................................................... 4 【题型七】图形2：“补角”三角形 .................................................................................................................... 6 【题型八】图形3：四边形与多边形 .................................................................................................................... 7 【题型九】三大线1：角平分线应用 .................................................................................................................... 8 【题型十】三大线2：中线应用 ............................................................................................................................. 8 【题型十一】三大线3：高的应用 ......................................................................................................................... 9 【题型十二】证明题 ................................................................................................................................................. 10 专题训练 (10)讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ．2．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-． (1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．3．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．4．（2021·全国·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．5．（2021·北京·统考高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ∠；（2）再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件①：ABC 的周长为4+条件①：ABC题型全归纳【题型一】最值与范围1：角与对边【讲题型】例题1.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为()()22,,,sin sin sin sin sin a b c B C A B C -=- （1）求A ；（2）已知a =.例题2.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；1.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2sin 2cos )A ABC +sin 30A -. （1）求A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆的周长L 的取值范围.2.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且()222πcos B b a c ac sinAcosA---=（1）求角A ；（2）若a =bc 的取值范围．【题型二】最值与范围2：角与邻边【讲题型】例题1..已知ABC 为锐角三角形，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，ABC 满足：222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤.（1）求角A 的取值范围；1.．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求角B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 面积的取值范围．2.在ABC 中，设A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+. （1）求A ；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围.【题型三】范围与最值3：有角无边型【讲题型】例题1.三角形ABC 中，已知222sin sin +sin sin sin A B A B C +=，其中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.（△）求角C 的大小；（△）求a b c+的取值范围.例题2.在锐角三角形ABC,若 (I)求角B(II)求的取值范围【练题型】1.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（△）若a =5c =，求b （△）求cos sin A C +的取值范围．ac c b a c b a 3))((=+++-A A cos sin 3+2.在锐角三角形ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin cos sin cos C B a BB b A-=.（1）求A ；（2）求bc的取值范围.【题型四】最值与范围4：边非对称型【讲题型】例题1.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求2a b -的范围.【练题型】在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，222sin sin sin 2sin sin A C B A C +=+．（△）求角B 的大小；（△）若ABC 为锐角三角形，2b =，求2a c -的取值范围．【题型五】最值：均值型【讲题型】例题1.已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值.【练题型】1.在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD =BC BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则的取值范围是_．【题型六】图形1：内切圆与外接圆【讲题型】例题1.在①ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知4b =，2c =，且sin sin sin()C B A B =+-． (1)求角A 和边a 的大小； (2)求①ABC 的内切圆半径．例题2.ABC 中，已知1AB =，7BC =D 为AC 上一点，2AD DC =，AB BD ⊥. (1)求BD 的长度；(2)若点P 为ABD △外接圆上任意一点，求2+PB PD 的最大值.b cc b+【讲技巧】外接圆：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。

2021新高考数学二轮复习专题练：小题满分限时练

限时练(一)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ＝{x |x 2－2x ＜0}，N ＝{－2，－1，0，1，2}，则M ∩N ＝( ) A.∅ B.{1}C.{0，1}D.{－1，0，1}解析 ∵M ＝{x |0＜x ＜2}，N ＝{－2，－1，0，1，2}，∴M ∩N ＝{1}. 答案 B2.设(2＋i)(3－x i)＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A.5B.13C.2 2D.2解析易得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(x ，y ∈R ). ∴⎩⎨⎧6＋x ＝3，3－2x ＝y ＋5，∴⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4，故|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5. 答案 A3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 8＝0，S 11＝33，则公差d 的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 ∵a 2＋a 8＝2a 5＝0，∴a 5＝0，又S 11＝（a 1＋a 11）×112＝11a 6＝33，∴a 6＝3，从而公差d ＝a 6－a 5＝3. 答案 C4.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB.存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC.存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD.存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析对于A ，a ∥α，a ∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以A 不是α∥β的一个充分条件.对于B ，a ⊂α，a ∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以B 不是α∥β的一个充分条件.对于C ，由a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α可得α∥β或α，β相交，所以C 不是α∥β的一个充分条件.对于D ，存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，如图，在β内过b 上一点作c ∥a ，则c ∥α，所以β内有两条相交直线平行于α，则有α∥β，所以D 是α∥β的一个充分条件.答案 D5.设双曲线的一条渐近线为方程y ＝2x ，且一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为( ) A.54x 2－5y 2＝1 B.5y 2－54x 2＝1 C.5x 2－54y 2＝1D.54y 2－5x 2＝1解析抛物线y 2＝4x 的焦点为点(1，0)，则双曲线的一个焦点为(1，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a 2＋b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝55，b ＝255，所以双曲线方程为5x 2－54y 2＝1. 答案 C6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目，则P (A |B )的值为( ) A.14B.34C.29D.59解析 ∵P (B )＝3344，P (AB )＝A 3344，由条件概率P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝A 3333＝29.答案 C7.在如图所示的△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，CD 上，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则向量BE →·AB→＝( )A.9B.4C.－3D.－6解析根据题意，AB ＝3，BD ＝2AD ，则AD ＝1，在△ADC 中，又由AC ＝2，∠BAC ＝60°，则DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠BAC ＝3，即DC ＝3，所以AC 2＝AD 2＋DC 2，则CD ⊥AB ，故BE →·AB →＝(BD →＋DE →)·AB →＝BD →·AB →＋DE →·AB →＝BD →·AB →＝3×2×cos 180°＝－6. 答案 D8.设定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x )＝f (4－x )，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －e x ＋1，若a ＝f (2 022)，b ＝f (2 019)，c ＝f (2 020)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.c <a <bD.b <a <c解析因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (4－x )，则f (x )的周期为4，则a ＝f (2 022)＝f (2)，b ＝f (2 019)＝f (3)＝f (4－3)＝f (1)，c ＝f (2 020)＝f (0). 又当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －e x ＋1，知f ′(x )＝1－e x <0. ∴f (x )在区间[0，2]上单调递减，因此f (2)<f (1)<f (0)，即a <b <c . 答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·聊城模拟)已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A.C 的方程为x 23－y 2＝1 B.C 的离心率为 3C.曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点D.直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点解析 ∵双曲线的渐近线为y ＝±33x ，∴设双曲线C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ≠0).又双曲线C 过点(3，2)，∴323－(2)2＝λ，解得λ＝1，故A 正确.此时C 的离心率为3＋13＝233，故B 错误.双曲线C 的焦点为(－2，0)，(2，0)，曲线y ＝e x －2－1经过点(2，0)，故C 正确.把直线方程代入双曲线C 的方程并整理，得x 2－6x ＋9＝0，所以Δ＝0，故直线x －2y －1＝0与双曲线C 只有一个公共点，所以D 错误.故选AC. 答案 AC10.(2020·青岛质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ，x ∈R ，则( ) A.－2≤f (x )≤2B.f (x )在区间(0，π)上只有1个零点C.f (x )的最小正周期为πD.直线x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴解析已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R ，则－2≤f (x )≤2，A 正确；令2x －π6＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，则f (x )在区间(0，π)上有2个零点，B 错误；f (x )的最小正周期为π，C 正确；当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin(2×π3－π6)＝2，所以直线x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，D正确.故选ACD.答案ACD11.在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的竞赛成绩(单位：分)统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法中正确的是()A.成绩在[70，80)的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5D.考生竞赛成绩的中位数约为75解析由频率分布直方图可知，成绩在[70，80)的考生人数最多，所以A正确.不及格的人数为4 000×(0.01＋0.015)×10＝1 000，所以B正确.考生竞赛成绩的平均数约为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5，所以C正确.设考生竞赛成绩的中位数约为x0，因为(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，D错误.故选ABC.答案ABC12.下列结论正确的是()A.若a>b>0，c<d<0，则一定有b c> a dB.若x>y>0，且xy＝1，则x＋1y>y2x>log2(x＋y)C.设{a n}是等差数列，若a2>a1>0，则a2>a1a3D.若x∈[0，＋∞)，则ln(1＋x)≥x－1 8x2解析对于A，由c<d<0，可得－c>－d>0，则－1d>－1c>0，又a>b>0，所以－ad>－bc，则bc>ad，故A正确.对于B，取x＝2，y＝12，则x＋1y＝4，y2x＝18，log2(x＋y)＝log 252>1，故B 不正确.对于C ，由题意得a 1＋a 3＝2a 2且a 1≠a 3，所以a 2＝12(a 1＋a 3)>12×2a 1a 3＝a 1a 3，故C 正确.对于D ，设h (x )＝ln(1＋x )－x ＋18x 2，则h ′(x )＝11＋x －1＋x 4＝x （x －3）4（x ＋1），当0<x <3时，h ′(x )<0，则h (x )单调递减，h (x )<h (0)＝0，故D不正确.故选AC. 答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)与双曲线E ：x 2－y 2＝1的渐近线相切，则r ＝________.解析 ∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0.依题意，得r ＝21＋1＝1. 答案 114.已知等差数列{a n }，其前n 项和为S n .若a 2＋a 5＝24，S 3＝S 9，则a 6＝________，S n 的最大值为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析由S 3＝S 9，得a 4＋a 5＋…＋a 9＝0，则a 6＋a 7＝0.又a 2＋a 5＝24，所以设等差数列{a n }的公差为d ，可得⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝0，a 1＋d ＋a 1＋4d ＝24，解得⎩⎨⎧a 1＝22，d ＝－4，所以a 6＝a 1＋5d ＝2，S n ＝－2n 2＋24n ＝－2(n －6)2＋72，故当n ＝6时，S n 取得最大值72. 答案 2 7215.若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝________. 解析由已知得C 25·22＋a ·C 35·23＝20，解得a ＝－14. 答案－1416.(2020·河南百校大联考)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示)，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若“牟合方盖”的体积为163，则正方体的外接球的表面积为________.解析因为“牟合方盖”的体积为163，又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4，所以正方体的内切球的体积V球＝π4×163＝43π.则内切球的半径r＝1，正方体的棱长为2.所以正方体的体对角线d＝23，因此正方体外接球的直径2R＝d＝23，则半径R＝ 3.所以正方体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π(3)2＝12π.答案12π限时练(二)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数z＝1－3i1＋i在复平面内对应的点位于()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析z＝1－3i1＋i＝（1－3i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝－1－2i，∴复数z在复平面内对应的点(－1，－2)在第三象限.答案 B2.若集合A＝{x|x(x－2)＞0}，B＝{x|x－1≤0}，则A∩(∁R B)＝()A.{x|x＞1或x＜0}B.{x|1＜x＜2}C.{x|x＞2}D.{x|x＞1}解析易知A＝{x|x＞2或x＜0}，∁R B＝{x|x＞1}，∴A∩(∁R B)＝{x|x＞2}.答案 C3.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表：根据上表可得到回归直线方程y ^＝0.75x ＋a ^，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为( ) A.19.5万元 B.19.25万元 C.19.15万元D.19.05万元解析易知x －＝4，y －＝16.8.∵回归直线y ^＝0.75x ＋a ^过点(4，16.8)，∴a ^＝16.8－4×0.75＝13.8，则y ^＝0.75x ＋13.8.故7月份的销售额y ^＝0.75×7＋13.8＝19.05(万元). 答案 D4.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A.－3 2B.3 2C.6D.－6解析通项T r ＋1＝C r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 23－r(－x 4)r＝C r 3(2)3－r(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6. 答案 D5.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 2＋b 3＋b 4＝9，则a 5＝( ) A.8B.16C.32D.64解析由{a n }是等比数列，且b n ＝log 2a n ， ∴{b n }是等差数列，又b 2＋b 3＋b 4＝9，所以b 3＝3.由b 1＝log 2a 1＝1，知公差d ＝1，从而b n ＝n ，因此a n ＝2n ，于是a 5＝25＝32. 答案 C6.(2020·青岛质检)某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率是( ) A.112125B.80125C.113125D.124125解析某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相应独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫453＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝112125. 答案 A7.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π，且x ≠0)的图象可能为( )解析由f (－x )＝－f (x )及－π≤x ≤π，且x ≠0判定函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，B 选项；当x >0且x →0时，－1x →－∞，cos x →1，此时f (x )→－∞，排除C 选项，故选D. 答案 D8.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 为BC 边上的一点，且BD →＝2DC →，则AB →·AD →＝( ) A.13B.23C.1D.2解析以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示.则A (0，0)，B (3，0)，C (－1，3)，∵BD→＝2DC →，∴BD →＝23BC →＝23(－4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，∴AD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，AB →＝(3，0)，所以AB →·AD→＝3×13＋0×233＝1. 答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·淄博模拟)甲、乙、丙三家企业的产品成本(万元)分别为10 000，12 000，15 000，其成本构成比例如图，则下列关于这三家企业的说法正确的是( )A.成本最大的企业是丙B.其他费用支出最高的企业是丙C.支付工资最少的企业是乙D.材料成本最高的企业是丙解析由扇形统计图可知，甲企业的材料成本为10 000×60%＝6 000(万元)，支付工资10 000×35%＝3 500(万元)，其他费用支出为10 000×5%＝500(万元)；乙企业的材料成本为12 000×53%＝6 360(万元)，支付工资为12 000×30%＝ 3 600(万元)，其他费用支出为12 000×17%＝2 040(万元)；丙企业的材料成本为15 000×60%＝9 000(万元)，支付工资为15 000×25%＝ 3 750(万元)，其他费用支出为15 000×15%＝2 250(万元).所以成本最大的企业是丙，其他费用支出最高的企业是丙，支付工资最少的企业是甲，材料成本最高的企业是丙.故选ABD.答案 ABD10.(2020·海南模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，则下列说法正确的是( )A.φ＝π6B.函数f (x )的最小正周期为πC.函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称D.函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12解析由题意可知函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 正确；将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以－π2＋φ＝π6，所以φ＝2π3∈(0，π)，A 错误；f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2－π3，k ∈Z ，C 错误；令2k π＋π2≤2x ＋2π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，D 正确.故选BD.答案 BD11.已知实数a >b >0，则下列不等关系正确的是( ) A.b a lg a ＋lg b2C.a ＋1b a －b解析对于A ，因为b a －b ＋4a ＋4＝b （a ＋4）－a （b ＋4）a （a ＋4）＝4（b －a ）a （a ＋4），又a >b >0，所以b a b >0，得a ＋b 2>ab ，所以lg a ＋b 2>lg ab ，即lg a ＋b 2>lg a ＋lg b2，故B 正确；因为a ＋1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a ＝(a －b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )＋a －b ab ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab ，又a >b >0，所以a ＋1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a >0，即a ＋1b >b ＋1a ，故C 错误；因为a >b >0，所以a－b >0，则(a －b )2＝a ＋b －2ab ，而(a －b )2＝a －b ，即(a －b )2－(a －b )2＝2b －2ab ＝2(b －ab )，又a >b >0，所以b －ab <0，所以(a －b )2<(a －b )2，即a －b <a －b ，故D 错误.故选AB. 答案 AB12.(2020·临沂模拟)已知点P 在双曲线C ：x 216－y 29＝1上，点F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点.若△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的是( ) A.点P 到x 轴的距离为203 B.|PF 1|＋|PF 2|＝503 C.△PF 1F 2为钝角三角形 D.∠F 1PF 2＝π3解析由双曲线C ：x 216－y 29＝1可得，a ＝4，b ＝3，c ＝5，不妨设P (x P ，y P )，由△PF 1F 2的面积为20，可得12|F 1F 2||y P |＝c |y P |＝5|y p |＝20，所以|y P |＝4，选项A 错误.将|y P |＝4代入双曲线C 的方程x 216－y 29＝1中，得x 2P16－429＝1，解得|x P |＝203.由双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，4，可知|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫203－52＋（4－0）2＝133.由双曲线的定义可知|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝133＋8＝373，所以|PF 1|＋|PF 2|＝373＋133＝503，选项B 正确.在△PF 1F 2中，|PF 1|＝373>2c ＝10>|PF 2|＝133，且cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝－513<0，则∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，选项C 正确.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝319481≠12，所以∠F 1PF 2≠π3，选项D 错误.故选BC. 答案 BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.某年级有1 000名学生，一次数学考试成绩服从正态分布X ～N (105，102)，P (95≤X ≤105)＝0.34，则该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为________.解析 ∵数学考试成绩服从正态分布X ～N (105，102)，∴考试成绩关于X ＝105对称.∵P (95≤X ≤105)＝0.34，∴P (X >115)＝12×(1－0.68)＝0.16，∴该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为0.16×1 000＝160. 答案 160 14.曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________. 解析 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2，∴y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0.答案 2x －y ＋1＝015.已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n＋1成立的n 的最小值为________，此时S n ＝________.(本小题第一空3分，第二空2分)解析所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26.当n ＝1时，S 1＝1<12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3<12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6<12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10<12a 5＝60，不符合题意；……；当n ＝26时，S 26＝21×（1＋41）2＋2×（1－25）1－2＝441＋62＝503<12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×（1＋43）2＋2×（1－25）1－2＝484＋62＝546>12a 28＝540，符合题意.故使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27. 答案 27 54616.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，有下列判断：①平面PB 1D ⊥平面ACD 1； ②A 1P ∥平面ACD 1；③异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3；④三棱锥D 1－APC 的体积不变.其中，正确的是________(把所有正确判断的序号都填上). 解析在正方体中，B 1D ⊥平面ACD 1，B 1D ⊂平面PB 1D ，所以平面PB 1D ⊥平面ACD 1，所以①正确.连接A 1B ，A 1C 1，如图，容易证明平面A 1BC 1∥平面ACD 1，又A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，所以②正确.因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1P 与AD 1所成的角就是直线A 1P 与BC 1所成的角，在△A 1BC 1中，易知所求角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以③错误.VD 1－APC ＝VC －AD 1P ，因为点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥D 1－APC 的体积不变，所以④正确. 答案 ①②④限时练(三)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·河南联检)已知集合A ＝{x ∈N |x 2<8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则B ∪(∁A C )＝( ) A.{2，3，4，5} B.{2，3，4，5，6} C.{1，2，3，4，5，6}D.{1，3，4，5，6，7}解析因为A ＝{x ∈N |0<x <8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，所以∁A C ＝{1，4，5，6}，所以B∪(∁A C)＝{1，2，3，4，5，6}.故选C.答案 C2.若z＝(3－i)(a＋2i)(a∈R)为纯虚数，则z＝()A.163i B.6i C.203i D.20解析因为z＝3a＋2＋(6－a)i为纯虚数，所以3a＋2＝0，解得a＝－23，所以z＝203i.故选C.答案 C3.(2020·潍坊模拟)甲、乙、丙、丁四位同学各自对变量x，y的线性相关性进行试验，并分别用回归分析法求得相关系数r，如下表：哪位同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性？()A.甲B.乙C.丙D.丁解析由于丁同学求得的相关系数r的绝对值最接近于1，因此丁同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性.故选D.答案 D4.设a＝ln 12，b＝－5－12，c＝log132，则()A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c解析由题意易知－a＝ln 2，－b＝5－12，－c＝log32.因为12＝log33<log32<ln 2<1，0<5－12<4－12＝12，所以－b<－c<－a，所以a<c<b.故选B.答案 B5.(2020·青岛质检)已知某市居民在2019年用手机支付的个人消费额ξ(元)服从正态分布N(2 000，1002)，则该市某居民在2019年用手机支付的消费额在(1 900，2 200]内的概率为()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.A.0.975 9B.0.84C.0.818 6D.0.477 2解析 ∵ξ服从正态分布N (2 000，1002)，∴μ＝2 000，σ＝100，则P (1 900<ξ≤ 2 200)＝P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＋12[P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)]≈0.682 7＋12(0.954 5－0.682 7)＝0.818 6.故选C. 答案 C6.设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交C 于点A ，B ，且AF →＝2FB →，则直线AB 的斜率为( ) A.2 2 B.2 3 C.±2 2D.±2 3解析由题意知k ≠0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2p k y －p 2＝0.不妨设A (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，B (x 2，y 2).因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.又y 1y 2＝－p 2.所以y 2＝－22p ，x 2＝p 4，所以k AB＝－22p －0p 4－p 2＝2 2.根据对称性，直线AB 的斜率为±2 2. 答案 C7.已知点A (1，0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝( ) A.12B.1C.2D.3解析设|OC→|＝r ，则OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ，由已知，得OA →＝(1，0)，OB →＝(1，3)，又OC→＝－4OA →＋λOB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝－4(1，0)＋λ(1，3)＝(－4＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32r ＝－4＋λ，12r ＝3λ，解得λ＝1.答案 B8.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝3BD，将△ADE 沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥A－BCED体积最大时，二面角A－BC－D 的大小为()A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析因为AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形，过A作BC的垂线AH，垂足为H，交DE于O，∴当△ADE⊥平面BCED时，四棱锥A－BCED体积最大.由DE⊥AO，DE⊥OH，AO∩OH＝O，可得DE⊥平面AOH，又BC∥DE，则BC⊥平面AOH，∴∠AHO为二面角A－BC－D的平面角，在Rt△AOH中，由AOOH＝ADDB＝3，∴tan∠AHO＝AOOH＝3，则二面角A－BC－D的大小为π3.答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·济宁模拟)“悦跑圈”是一款社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2019年1月至2019年11月每月跑步的里程(十公里)的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是()A.月跑步里程数逐月增加B.月跑步里程数的最大值出现在9月C.月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程数相于6月至11月波动性更小，变化比较平稳解析根据折线图可知，2月跑步里程数比1月小，7月跑步里程数比6月小，10月跑步里程数比9月小，A 错误.根据折线图可知，9月的跑步里程数最大，B 正确.一共11个月份，将月跑步里程数从小到大排列，根据折线图可知，跑步里程的中位数为8月份对应的里程数，C 正确.根据折线图可知D 正确.故选BCD. 答案 BCD10.下列各式中，值为12的是( ) A.sin 15°cos 15°B.cos 2π6－sin 2π6C.1＋cos π62D.tan 22.5°1－tan 222.5°解析 sin 15°cos 15°＝sin 30°2＝14，排除A ；cos 2π6－sin 2π6＝cos π3＝12，B 正确；1＋cos π62＝1＋322＝2＋32，排除C ；tan 45°＝2tan 22.5°1－tan 222.5°，得tan 22.5°1－tan 222.5°＝12，D 正确.故选BD.答案 BD11.已知{a n }是等比数列，若a 6＝8a 3＝8a 22，则( )A.a n ＝2n －1B.a n ＝2nC.S n ＝2n －1D.S n ＝2n ＋1－2解析设数列{a n }的公比为q ，由a 6＝8a 3，得a 3·q 3＝8a 3，则q 3＝8，所以q ＝2.又8a 3＝8a 22，则a 2·q ＝a 22，又a 2≠0，所以a 2＝2，即a n ＝a 2q n －2＝2n －1，所以a 1＝1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1，故选AC.答案 AC12.数列{F n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{F n }的前n项和为S n，则下列结论正确的是()A.F n＝F n－1＋F n－2(n≥3)B.S4＝F6－1C.S2 019＝F2 020－1D.S2 019＝F2 021－1解析根据题意有F n＝F n－1＋F n－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 019＝F2 021－1.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设a＝210＋1211＋1，b＝212＋1213＋1，则a，b的大小关系为________.解析法一由题意知，a－b＝210＋1211＋1－212＋1213＋1＝（210＋1）（213＋1）－（212＋1）（211＋1）（211＋1）（213＋1）＝3×210（211＋1）（213＋1）>0，故a>b.法二可考虑用函数的单调性解题.令f(x)＝2x＋12x＋1＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12x＋1＋1，则f(x)在定义域内单调递减，所以a＝f(10)>b＝f(12).答案a>b14.(2020·深圳统测)很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全.某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123).已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为________.解析由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成的“递增型验证码”共有C410个，而首位数字是1的“递增型验证码”有C38个.因此某人收到的“递增型验证码”的首位数字是1的概率p＝C38C410＝415.答案4 1515.设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的右焦点的坐标为________，离心率为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析如图，∵直线4x－3y＋20＝0过点F，∴F(－5，0)，半焦距c＝5，则右焦点为F2(5，0).连接PF2.设点A为PF的中点，连接OA，则OA∥PF2.∵|OP|＝|OF|，∴OA⊥PF，∴PF2⊥PF.由点到直线的距离公式可得|OA|＝205＝4，∴|PF2|＝2|OA|＝8.由勾股定理，得|FP|＝|FF2|2－|PF2|2＝6.由双曲线的定义，得|PF2|－|PF|＝2a＝2，∴a＝1，∴离心率e＝ca＝5.答案(5，0) 516.(2020·厦门质检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点，动点Q在侧面D1DAA1(包含边界)内运动，且QB∥平面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为________.解析因为QB∥平面D1NT，所以点Q在过点B且与平面D1NT平行的平面内，如图，取DC的中点E1，取A1G＝1，则平面BGE1∥平面D1NT.延长BE1，交AD 的延长线于点E，连接EG，交DD1于点I.显然，平面BGE∩平面D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI.∵DE1綊12AB，∴DE1为△EAB的中位线，∴D为AE的中点.又DI∥AG，∴DI＝12AG＝1，∴GI＝（2－1）2＋32＝10.答案10限时练(四)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，则A∩(∁R B)＝()A.[2，3)B.(2，3)C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析A＝{x|y＝log2(x－2)}＝(2，＋∞)，∵B＝{x|x2≥9}＝(－∞，－3]∪[3，＋∞)，∴∁R B＝(－3，3)，则A∩(∁R B)＝(2，3).答案 B2.设x，y∈R，i为虚数单位，且3＋4iz＝1＋2i，则z＝x＋y i的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析z＝3＋4i1＋2i＝（3＋4i）（1－2i）5＝115－25i，则z－＝115＋25i，z－对应点⎝⎛⎭⎪⎫115，25在第一象限.答案 A3.(2020·福建漳州适应性测试)如图是某地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{a n}，{a n}的前n项和为S n，则下列说法中正确的是()A.数列{a n}是递增数列B.数列{S n}是递增数列C.数列{a n}的最大项是a11D.数列{S n}的最大项是S11解析因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即a7>a8，所以{a n }不是递增数列，所以A 错误；因为2月23日新增确诊病例数为0，所以S 33＝S 34，所以数列{S n }不是递增数列，所以B 错误；因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列{a n }的最大项是a 11，所以C 正确；由a n ≥0，知S n ＋1≥S n ，故数列{S n }的最大项是最后一项，所以D 错误.故选C. 答案 C4.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为( ) A.112B.12C.13D.16解析大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总个数n ＝C 24A 33＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m ＝A 33＋C 23A 22＝12，所以小明恰好分配到甲村小学的概率p ＝m n ＝1236＝13. 答案 C5.(2020·荆门模拟)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋12x 7的展开式中，有理项的项数为( ) A.1B.2C.3D.4解析该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 7x7－r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·x 7－3r 2，r ＝0，1，2，…，7.当r ＝1，3，5，7时，T r ＋1为有理项，共有4项.故选D. 答案 D6.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，A 1C →＝(0，2，－2)， ∴cos 〈AD →，A 1C →〉＝AD →·A 1C →|AD →||A 1C →|＝12，∴〈AD →，A 1C →〉＝π3. 答案 B7.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB→|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A. 3B.2 3C.2D.3解析由OC→＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →)，所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OB →·12(OA →＋OB →)＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB →)，又△OAB 为等边三角形，所以OA →·OB →＝2×2cos 60°＝2，OA →2＝4，OB →2＝4，所以OC →·OM →＝3. 答案 D8.(2020·天津适应性测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，2x －4x ，x >0.若函数F (x )＝f (x )－|kx －1|有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫916，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916解析当k ＝12时，|kx －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥2，1－12x ，x <2.作出函数y ＝f (x )与y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1的图象，如图.此时两函数的图象有且只有3个交点，此时F (x )有且只有3个零点，排除B ，C.当k ＝－120时，|kx －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧－120x －1，x ≤－20，1＋120x ，x >－20，作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1的图象，如图.由图可得函数y ＝f (x )的图象与y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1的图象有且只有3个交点，此时F (x )有且只有3个零点，排除A.故选D. 答案 D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知0<c <1，1>a >b >0，则下列不等式成立的是( )A.c a <c bB.a a ＋c ab cD.log a c >log b c解析构造函数y ＝c x ，因为0<c <1，所以函数y ＝c x 是减函数，而a >b >0，根据指数函数的单调性得c a<c b，故A 正确；由题意得a ＋c a ＝1＋c a ，b ＋c b ＝1＋cb ，因为0<c <1，1>a >b >0，所以0<c a <c b ，即0<a ＋c b b b ＋c ，故B 错误；由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c <a b ，整理得ba c <ab c ，故C 错误；由已知得log a c >0，log b c >0，又0<log c a <log c b ，所以1log c a >1log c b ，则log a c >log b c ，故D 正确.故选AD.答案 AD10.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则函数f (x )的对称中心可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1 解析由图象知A ＝3＋12＝2，B ＝3－12＝1，又T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )，取k ＝0，有x ＝－π6；k ＝1，x ＝π3. 答案 CD11.对于函数f (x )＝ln xx ，下列说法正确的是( )A.f (x )在x ＝e 处取得极大值1eB.f (x )有两个不同的零点C.f (4)＜f (π)＜f (3)D.π4＜4π解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.∴f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因此f (x )在x ＝e 处取得极大值f (e)＝1e ，A 正确.令f (x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )有且仅有一个零点，B 错误.由f (x )在(e ，＋∞)上单调递减，得f (4)＜f (π)＜f (3)，则C 正确.因为f (4)＜f (π)，即ln 44＜ln ππ，所以ln 4π＜ln π4，则4π＜π4，D 错误.综上知，正确的为AC. 答案 AC12.(2020·烟台诊断)已知P 是双曲线C ：x 23－y 2m ＝1(m >0)上任意一点，A ，B 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点.设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为233，则下列说法正确的是( )A.双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1 B.双曲线C 的离心率为2C.函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点D.直线2x －3y ＝0与双曲线C 有两个交点解析设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2).由A ，B 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点，得B (－x 1，－y 1)，则x 213－y 21m ＝1，x 223－y 22m ＝1.两式相减，得x 21－x 223＝y 21－y 22m ，所以y 21－y 22x 21－x 22＝m 3.又直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，所以k 1k 2＝y 1－y 2x 1－x 2×－y 1－y 2－x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝m3.所以|k 1|＋|k 2|≥2|k 1||k 2|＝2m3，当且仅当|k 1|＝|k 2|时取等号.又|k 1|＋|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为233，所以2m 3＝233，解得m ＝1.因此双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1，则A 项正确.因为a ＝3，b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23＝233，则B 项不正确.双曲线C 的左、右焦点分别为(－2，0)，(2，0)，而当x ＝2时，y ＝log a (2－1)＝log a 1＝0，所以函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点(2，0)，则C 项正确.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x 23－y 2＝1消去y ，得x 2＝－9，此方程无实数解，所以直线2x －3y ＝0与双曲线C 没有交点，则D 项不正确.故选AC. 答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和.已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为________.解析设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4，即(2a 3－3d )2＝(a 3－2d )·(4a 3－2d ).又a 3＝5，所以(10－3d )2＝(5－2d )(20－2d )，解得d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. 答案 a n ＝2n －114.已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________. 解析由题意知，直线EF 的斜率存在且不为0，故设直线EF 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程y 2＝2px 联立，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋p 2k 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，点M 为线段EF 的中点，得x 1＝p 22＝p 4.由|NF |＝x 2＋p 2＝12，得x 2＝12－p2.由x 1x 2＝p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－p 2＝p 24，得p ＝8或p ＝0(舍去).答案 815.(2020·长郡中学适应性考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别为棱AA 1，AB ，AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面ABB 1A 1和面ABCD 内作弧MN 和NE ，并将两弧各五等分，分点依次为M ，P 1，P 2，P 3，P 4，N 以及N ，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4，E .一只蚂蚁欲从点P 1出发，沿正方体的表面爬行至点Q 4，则其爬行的最短距离为________.(参考数据：cos 9°≈0.987 7，cos 18°≈0.951 1，cos 27°≈0.891 0)解析在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别为棱AA 1，AB ，AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在平面ABB 1A 1和平面ABCD 内作弧MN 和NE .将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面ABB 1A 1共面的位置，如图(1)，则∠P 1AQ 4＝180°10×8＝144°，所以P 1Q 4＝2sin 72°.将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面ADD 1A 1共面的位置，将ABB 1A 1绕AA 1旋转至与平面ADD 1A 1共面的位置，如图(2)，则∠P 1AQ 4＝90°5×2＋90°＝126°，所以P 1Q 4＝2sin 63°.因为sin 63°<sin 72°，且由诱导公式可得sin 63°＝cos 27°，所以最短距离为|P 1Q 4|＝2sin 63°≈2×0.891 0＝1.782 0.图(1)图(2)答案 1.782 016.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＜a ，x 2，x ≥a ，若函数f (x )在R 上是单调的，则实数a 的取值范围是________；若对任意的实数x 1＜a ，总存在实数x 2≥a ，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，则实数a 的取值范围是________(本小题第一空2分，第二空3分).解析令x ＋2＝x 2，得x ＝－1或x ＝2.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，若函数f (x )在R 上单调，只需a ≥2.若对任意的实数x 1＜a ，总存在实数x 2≥a ，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，可得x 1＋2＋x 22＝0，即－x 22＝x 1＋2，即有a ＋2≤0，解得a ≤－2.答案 [2，＋∞) (－∞，－2]限时练(五)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数z ＝i1＋i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A.12B.－12C.12iD.－12i解析 z ＝i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i 2＋12，∴z 的虚部为12.答案 A 2.已知集合A ＝{－1，0，1，2，3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x ＋1≥0，则A ∩B 中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析由x －2x ＋1≥0，得x ≥2或x ＜－1，则B ＝{x |x ≥2，或x ＜－1}，∴A ∩B ＝{2，3}，A ∩B 中有2个元素.答案 B3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x ≤0，2x ＋1，x ＞0，则f (－2)＋f (1)＝( )A.6＋32B.6－32C.72D.52解析 f (－2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝12，f (1)＝21＋1＝3.∴f (－2)＋f (1)＝3＋12＝72. 答案 C4.在某项检测中，测量结果服从正态分布N (2，1)，若P (X <1)＝P (X >1＋λ)，则λ＝( ) A.0B.2C.3D.5解析依题意，正态曲线关于x ＝2对称，又P (X <1)＝P (X >1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2. 答案 B5.(2020·天津适应性测试)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为36，E 为棱CC 1上的点，且CE ＝2EC 1，则三棱锥E －BCD 的体积是( )A.3B.4C.6D.12解析 ∵CE ＝2EC 1，∴V E －BCD ＝13×12×23×V ABCD －A 1B 1C 1D 1＝19×36＝4.故选B. 答案 B6.函数f (x )＝x 2－2ln|x |的图象大致是( )。

2023年高考数学二轮复习第三篇小题提速练透大题规范增分第5讲统计、概率和成对数据的统计分析

∴P(X＞4)＝P(X＜0)＝0.158 7，
∴P(0≤X≤4)＝1－P(X＞4)－P(X＜0)＝1－0.158 7－0.158 7＝0.682
6.
故选C.
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
5．(2022·萍乡三模)具有线性相关关系的变量 x，y 有一组观测数据(xi，
yi)(i＝1，2，…，8)，其回归直线方程是^y＝b^x＋18，若 x1＋x2＋x3＋…＋x8
个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在
一个253
D．16
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
【解析】从 24 个节气中任选 2 个节气，这 2 个节气恰好在一个季节的事件总数为：4C26 ＝60，
从 24 个节气中选取两个节气的事件总数有：C224 ＝276， ∴P＝26706＝253，故选 C.
的平均数为2＋2 3＝2.5，
故选 D.
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
3．(2022·青岛二模)二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中
的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧四句
诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬
小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
6．(2022·浦东新区二模)甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月
的产品生产产量(单位：件)情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：
60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是

《创新设计》2021届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)习题：专题三数列

第1讲等差数列、等比数列的基本问题高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A 级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n 项和等概念，一般不会单独考查；(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C 级.真题感悟1.(2022·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________.解析设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎨⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 答案 202.(2021·江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（2＋n ）（n －1）2，即a n ＝n （n ＋1）2，令b n ＝1a n，故b n ＝2n （n ＋1）＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n－1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 答案 20113.(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.解析在点(a k ，a 2k )处的切线方程为：y －a 2k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，所以a k ＋1＝a k 2，故{a n }是a 1＝16，q ＝12的等比数列，即a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案 214.(2021·江苏卷)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________.解析设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由已知条件得12q ＋12q 2＝3，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2，或q ＝－3(舍去)，a n ＝a 5q n －5＝12×2n －5＝2n －6，a 1＋a 2＋…＋a n ＝132(2n －1)， a 1a 2…a n＝2－52－42－3…2n －6＝2n 2－11n 2，由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，可知2n －5－2－5>2n （n －11）2，由2n －5－2－5>2n （n －11）2，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5<213，所以n 的最大值为12. 答案 12 考点整合 1.等差数列(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ， (2)求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ， (3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m )d ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，成等差数列. 2.等比数列(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；(2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q ；(3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m ·q n －m ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，(S m ≠0)成等比数列. 3.求通项公式的常见类型(1)观看法：利用递推关系写出前几项，依据前几项的特点观看、归纳、猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明.(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(4)累加法：在已知数列{a n }中，满足a n ＋1＝a n ＋f (n )，把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解.(5)叠乘法：在已知数列{a n }中，满足a n ＋1＝f (n )a n ，把原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解.(6)构造等比数列法：在已知数列{a n }中，满足a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解.热点一等差、等比数列的基本运算【例1】 (1)(2022·全国Ⅰ卷改编)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝________. (2)(2022·连云港调研)在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 3＋a 4＋…＋a 8＝________. (3)(2021·湖南卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.解析 (1)由等差数列性质，知S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98.(2)依据等差数列性质计算.由于{a n }是等差数列，所以a 3＋a 4＋…＋a 8＝3(a 5＋a 6)＝3.(3)由3S 1，2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，∴公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.答案 (1)98 (2)3 (3)3n －1探究提高 (1)等差、等比数列的基本运算是利用通项公式、求和公式求解首项a 1和公差d (公比q )，在列方程组求解时，要留意整体计算，以削减计算量.(2)在解决等差、等比数列的运算问题时，经常接受“巧用性质、整体考虑、削减运算量”的方法.【训练1】 (1)(2022·江苏卷)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________.(2)(2022·北京东城区模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于________.(3)(2021·潍坊模拟)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前87项和S 87＝140，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝________.解析 (1)由于a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.(2)由已知得S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝－2，又S m ＝a 1－a m q 1－q ＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1q m －1＝－16，代入可求得m ＝5.(3)法一 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 84)＝a 1q 2·1－（q 3）291－q 3＝q 21＋q ＋q 2·a 1（1－q 87）1－q ＝47×140＝80. 法二设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 85，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 86，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87，由于b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝140，所以b 1(1＋q ＋q 2)＝140，而1＋q ＋q 2＝7，所以b 1＝20，b 3＝q 2b 1＝4×20＝80. 答案 (1)4 (2)5 (3)80热点二等差、等比数列的判定与证明【例2】 (2022·南师附中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，且S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *，且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－1194，且3b n －b n －1＝n (n ≥2，且n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n －a n }为等比数列.(1)解由S n ＝S n －1＋a n －1＋12，得S n －S n －1＝a n －1＋12，即a n －a n －1＝12(n ∈N *，n ≥2)，则数列{a n }是以12为公差的等差数列，又a 1＝14， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12n －14. (2)证明 ∵3b n －b n －1＝n (n ≥2)， ∴b n ＝13b n －1＋13n (n ≥2)， ∴b n －a n ＝13b n －1＋13n －12n ＋14＝13b n －1－16n ＋14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －1－12n ＋34(n ≥2).b n －1－a n －1＝b n －1－12(n －1)＋14＝b n －1－12n ＋34(n ≥2)， ∴b n －a n ＝13(b n －1－a n －1)(n ≥2)，∵b 1－a 1＝－30≠0，∴b n －a n b n －1－a n －1＝13(n ≥2).∴数列{b n －a n }是以－30为首项，13为公比的等比数列. 探究提高推断和证明数列是等差(比)数列的两种方法(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n 为同一常数. (2)中项公式法：①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列；②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列.【训练2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数. (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由. (1)证明由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，① 知a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，② ②－①得：a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. ∵a n ＋1≠0，∴a n ＋2－a n ＝λ.(2)解由题设可求a 2＝λ－1，∴a 3＝λ＋1，令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4.由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列. 热点三求数列的通项[微题型1] 由S n 与a n 的关系求a n【例3－1】 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12.求数列{a n }的通项公式.(2)(2022·岳阳二模节选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3, n ∈N *.证明：a n ＋2＝3a n ；并求a n .解 (1)由a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，得S n －S n －1＋2S n ·S n －1＝0，所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列.又1S 1＝2，所以1S n＝2n ，故S n ＝12n ，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1）(n ≥2，n ∈N *)，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.(2)由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .又∵a n ≠0，所以a n ＋2a n ＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列.因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1. ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －12，n 为奇数，2×3n －22，n 为偶数.探究提高给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .[微题型2] 已知a n 与a n ＋1的递推关系式求a n【例3－2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n a n ＋n ＋12n ，求数列{a n }的通项公式；(2)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，求通项a n ；(3)已知a 1＝4，a n ＋1＝2a n 2a n ＋1，求通项a n .解 (1)由已知得a 1＝1，且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n，∴a 22＝a 11＋121，a 33＝a 22＋122，…，a n n ＝a n －1n －1＋12n －1，∴a n n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1(n ≥2).∴a n ＝2n －n2n －1(n ≥2)，又a 1＝1适合上式，∴a n ＝2n －n2n －1.(2)由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＋a n ＋1a n ＝n ＋1，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2. 又a 1＝1，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·…·23·1＝2n ＋1. 故数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1.(3)∵a n ＋1＝2a n 2a n ＋1，两边取倒数得1a n ＋1＝12a n ＋1，设b n ＝1a n ，则b n ＋1＝12b n ＋1，则b n ＋1－2＝12(b n－2)，∴b n ＋1－2b n －2＝12，故{b n －2}是以b 1－2＝1a 1－2＝－74为首项，12为公比的等比数列.∴b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－74⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即1a n－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－74⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，得a n ＝2n ＋12n ＋2－7.探究提高 (1)形如b n ＋1－b n ＝f (n )，其中f (n )＝k 或多项式(一般不高于三次)，用累加法即可求得数列的通项公式；(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )，可用累乘法；(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列；(4)形如a n ＋1＝qa n ＋q n (q 为常数，且q ≠0，q ≠±1)，解决方法是在递推公式两边同除以q n ＋1. 【训练3】 (1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. ①求a 2的值；②求数列{a n }的通项公式.(2)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1＋S n ＝a 2n ＋1，数列{b n }满足b n ·b n ＋1＝3a n ，且b 1＝1.求数列{a n }、{b n }的通项公式.解 (1)①依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4. ②当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， 2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，以上两式相减得，2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23. 整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.(2)∵S n ＋1＋S n ＝a 2n ＋1，① S n ＋S n －1＝a 2n (n ≥2)，②①－②得a n ＋1＋a n ＝a 2n ＋1－a 2n ，∴(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0， ∵a n ＋1＞0，a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ≠0， ∴a n ＋1－a n ＝1(n ≥2)，又由S 2＋S 1＝a 22，得2a 1＋a 2＝a 22，即a 22－a 2－2＝0，∴a 2＝2，a 2＝－1(舍去)，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n .又b n ·b n ＋1＝3a n ＝3n ，③ b n －1b n ＝3n －1(n ≥2)，④ ③④得b n ＋1b n －1＝3(n ≥2)，又由b 1＝1，可求b 2＝3.故b 1，b 3，…，b 2n －1是首项为1，公比为3的等比数列；b 2，b 4，…，b 2n 是首项为3，公比为3的等比数列.∴b 2n －1＝3n －1，b 2n ＝3·3n －1＝3n . ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －12，n 为奇数，3n 2，n 为偶数.1.在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算.2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又便利的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要留意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.3.应用关系式a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，肯定要留意分n ＝1，n ≥2两种状况，在求出结果后，看看这两种状况能否整合在一起.一、填空题1.(2021·南通模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 3＋a 15＝10，则a 5的值为________. 解析设数列{a n }的公差为d ，∵a 1＋a 15＝2a 8，∴2a 8＋3a 3＝10，∴2(a 5＋3d )＋3(a 5－2d )＝10，∴5a 5＝10，∴a 5＝2.答案 22.在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝________. 解析设等比数列{a n }的公比为q ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝8，a 1q 4＋a 1q 6＝4，解得q 4＝12.又a 9＋a 11＝a 1q 8＋a 3q 8＝(a 1＋a 3)q 8＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，a 13＋a 15＝a 1q 12＋a 3q 12＝(a 1＋a 3)q 12＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. 答案 33.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大. 解析依据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，即a 8＞0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10＜0，∴a 9＜0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大. 答案 84.等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于________. 解析由a 2，a 4，a 8成等比数列，得a 24＝a 2a 8，即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，∴a 1＝2. ∴S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝2n ＋n 2－n ＝n (n ＋1). 答案 n (n ＋1)5.(2022·宿迁调研)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于________.解析依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30.又S 20＞0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，则S 40＝S 30＋（S 30－S 20）2S 20－S 10＝70＋40220＝150.答案 1506.若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q ＝________.解析由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的状况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的状况有：a ，－2，b ；b ，－2，a . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2 解之得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9. 答案 97.(2022·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为__________.解析设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝8，q ＝12，∴a 1a 2…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12（－3）＋（－2）＋…＋（n －4）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212n （n －7）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －722－494，当n ＝3或4时，12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最小值－6，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最大值26，所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 648.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________. 解析设数列{a n }的首项和公差分别为a 1，d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝0，15a 1＋105d ＝25，⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝23，则nS n ＝n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3n ＋n （n －1）3＝n 33－103n 2. 设函数f (x )＝x 33－103x 2，则f ′(x )＝x 2－203x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，但6＜203＜7，且f (6)＝－48，f (7)＝－49，由于－48＞－49，所以最小值为－49. 答案－49 二、解答题9.(2022·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n. 由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.10.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1， (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列. a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12. (2)由(1)知1a n ＝23n －1.由于当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.11.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )在直线2x ＋y －2＝0上. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意，可得2a n ＋1＋S n －2＝0.① 当n ≥2时，2a n ＋S n －1－2＝0.②①－②，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以a n ＋1a n ＝12(n ≥2).由于a 1＝1，2a 2＋a 1＝2，所以a 2＝12. 所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知，S n ＝1－12n1－12＝2－12n －1. 若⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列，则S 1＋λ＋λ2，S 2＋2λ＋λ22，S 3＋3λ＋λ23成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2＋9λ4＝S 1＋3λ2＋S 3＋25λ8，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋9λ4＝1＋3λ2＋74＋25λ8，解得λ＝2.又λ＝2时，S n ＋2n ＋22n ＝2n ＋2，明显{2n ＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，使得数列{S n ＋λn ＋λ2n }成等差数列.第2讲数列的综合应用高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题；(2)求数列的前n 项和的几种方法；(3)数列与函数、不等式、数论等学问结合的综合问题.题型一般为解答题，且为压轴题.真题感悟(2022·江苏卷)记U ＝{1，2，…，100}.对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T ＜a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D . (1)解当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝a 2＋9a 2＝30， ∴a 2＝3，a 1＝a 23＝1，故a n ＝a 1q n －1＝3n －1.(2)证明对任意正整数k (1≤k ≤100). 由于T ⊆{1，2，…，k }，则S T ≤a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝1＋3＋32＋…＋3k －1＝3k －12＜3k ＝a k ＋1.因此，S T ＜a k ＋1.(3)证明设A ＝∁C (C ∩D )，B ＝∁D (C ∩D )，则A ∩B ＝∅，S C ＝S A ＋S C ∩D ，S D ＝S B ＋S C ∩D ，S C ＋S C ∩D －2S D ＝S A －2S B ， ∴S C ＋S C ∩D ≥2S D 等价于S A ≥2S B . 由条件S C ≥S D 可得S A ≥S B . ①若B ＝∅，则S B ＝0，所以S A ≥2S B 成立，②若B ≠∅，由S A ≥S B 可知A ≠∅，设A 中的最大元素为I ，B 中的最大元素为m ，若m ≥I ＋1，则由(2)得S A ＜S I ＋1≤a m ≤S B ，冲突. 又∵A ∩B ＝∅，∴I ≠m ，∴I ≥m ＋1， ∴S B ≤a 1＋a 2＋…＋a m ＝1＋3＋32＋…＋3m －1＜a m ＋12≤a I 2≤S A2，即S A ＞2S B 成立.综上所述，S A ≥2S B .故S C ＋S C ∩D ≥2S D 成立. 考点整合 1.数列求和常用方法(1)分组转化求和：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简洁的数列，最终分别求和.(2)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 两边同乘以相应等比数列的公比q ，得到qS n ＝a 1q ＋a 2q ＋…＋a n q ，两式错位相减即可求出S n .(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.2.数列中的不等式问题主要有证明数列不等式、比较大小或恒成立问题，解决方法如下： (1)利用数列(或函数)的单调性；(2)放缩法：①先求和后放缩；②先放缩后求和，包括放缩后成等差(或等比)数列再求和，或者放缩后成等差比数列再求和，或者放缩后裂项相消法求和.热点一数列求和与不等式的结合问题【例1】 (2022·泰州调研)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *).若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n－1b n(n ∈N *).记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *). 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1).故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *).②由于c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0；当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1，而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0，得n （n ＋1）2n ≤5·（5＋1）25<1，所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *，恒有S 4≥S n ，故k ＝4.探究提高 (1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最终利用数列或数列对应函数的单调性求解.(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常利用放缩法或单调性法证明.(3)当已知数列关系式时，需要知道其范围时，可借助数列的单调性，即比较相邻两项的大小即可.【训练1】 (2022·洛阳二模)已知数列{a n }中，a 2＝2，S n 是其前n 项和，且S n ＝na n2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若正项数列{b n }满足a n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n 22，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和为T n ，求使得n ＋12－T n ＞30成立的正整数n 的最小值. 解 (1)令n ＝1，得a 1＝0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n 2－（n －1）a n －12.可得(n －2)a n ＝(n －1)a n －1，当n ≥3时，a n a n －1＝n －1n －2，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 3a 2×a 2＝2(n －1)，明显当n ＝1，2时，满足上式.所以a n ＝2(n －1). (2)由于a n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n 22，所以2(n －1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n 22＝log 2b 2n －log 24＝2log 2b n －2，即2n ＝2log 2b n ，∴b n ＝2n ， a n b n ＝2（n －1）2n ＝n －12n －1，所以T n ＝020＋121＋222＋323＋…＋n －12n －1，12T n ＝021＋122＋223＋…＋n －22n －1＋n －12n ，作差得12T n ＝12＋122＋…＋12n －1－n －12n ＝1－12n －1－n －12n ＝1－n ＋12n .∴T n ＝2－n ＋12n －1.所以n ＋12－T n＝2n －1＞30，当n ≥6时，不等式恒成立，所以正整数n 的最小值为6. 热点二有关数列中计算的综合问题【例2】 (2022·镇江期末)已知数列{a n }的各项都为自然数，前n 项和为S n ，且存在整数λ，使得对任意正整数n 都有S n ＝(1＋λ)a n －λ恒成立.(1)求λ的值，使得数列{a n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }为等比数列，此时存在正整数k ，当1≤k ＜j 时，有∑i ＝k ja i ＝2 016，求k .解 (1)法一由于S n ＝(1＋λ)a n －λ，① 所以S n ＋1＝(1＋λ)a n ＋1－λ，② 由②－①得λa n ＋1＝(1＋λ)a n ，③当λ＝0时，a n ＝0，数列{a n }是等差数列.当λ≠0时，a 1＝(1＋λ)a 1－λ，a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝1λa n ，④ 要使数列{a n }是等差数列，则④式右边1λa n 为常数，即a n ＋1－a n 为常数，④式左边a n ＋1－a n ＝0，a n ＝0，与a 1＝1冲突.综上可得，当λ＝0时，数列{a n }为等差数列，且a n ＝0. 法二若数列{a n }是等差数列，必有2a 2＝a 1＋a 3，当λ＝0时，a 1＝a 2＝a 3＝0，满足2a 2＝a 1＋a 3，此时S n ＝a n ，则S n ＋1＝a n ＋1，故a n ＝0，当λ≠0时，a 1＝1，a 2＝1＋1λ，a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ2，由2a 2＝a 1＋a 3，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ2，该方程无解，综上可得，当λ＝0时，数列{a n }为等差数列，其中a n ＝0. (2)由(1)可得，当λ＝0时，数列{a n }不是等比数列，当λ＝－1时，由①得S n ＝1，则a 1＝S 1＝1， a n ＝S n －S n －1＝0(n ≥2)，不是等比数列.当λ≠0，且λ≠－1时，得a n ＋1a n ＝1＋1λ，{a n }为公比为1＋1λ的等比数列，又对任意n ，a n ∈N ，则q ＝1＋1λ∈N ，故仅有λ＝1，q ＝2时，满足题意，又由(1)得a 1＝1，故a n ＝2n －1. 由于∑i ＝kja i ＝2k －1（2j －k ＋1－1）2－1＝2 016，所以2k －1(2j －k ＋1－1)＝2 016＝25×32×7，由题意j －k ＋1≥2，2j －k ＋1－1为大于1的奇数，所以2k －1＝25，k ＝6，则2j －5－1＝32×7，2j －5＝64，j ＝11，故仅存在k ＝6时，j ＝11，∑i ＝k ja i ＝2 016.探究提高此类问题看似简洁，实际简单，思维量和计算量较大，难度较高.【训练2】 (2011·江苏卷)设M 为部分正整数组成的集合，数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项的和为S n ，已知对任意的整数k ∈M ，当整数n ＞k 时，S n ＋k ＋S n －k ＝2(S n ＋S k )都成立.(1)设M ＝{1}，a 2＝2，求a 5的值； (2)设M ＝{3，4}，求数列{a n }的通项公式.解 (1)由题设知，当n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)，即(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1，从而a n ＋1－a n ＝2a 1＝2.又a 2＝2，故当n ≥2时，a n ＝a 2＋2(n －2)＝2n －2.所以a 5的值为8.(2)由题设知，当k ∈M ＝{3，4}且n ＞k 时，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n ＋2S k 且S n ＋1＋k ＋S n ＋1－k ＝2S n ＋1＋2S k ，两式相减得a n ＋1＋k ＋a n ＋1－k ＝2a n ＋1，即a n ＋1＋k －a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋1－k ，所以当n ≥8时，a n －6，a n －3，a n ，a n ＋3，a n ＋6成等差数列，且a n －6，a n －2，a n ＋2，a n ＋6也成等差数列.从而当n ≥8时，2a n ＝a n ＋3＋a n －3＝a n ＋6＋a n －6，(*)且a n ＋6＋a n －6＝a n ＋2＋a n －2.所以当n ≥8时，2a n ＝a n ＋2＋a n －2，即a n ＋2－a n ＝a n －a n －2.于是当n ≥9时，a n －3，a n －1，a n ＋1，a n ＋3成等差数列，从而a n ＋3＋a n －3＝a n ＋1＋a n －1，故由(*)式知2a n ＝a n ＋1＋a n －1，即a n ＋1－a n ＝a n －a n －1.当n ≥9时，设d ＝a n －a n －1.当2≤m ≤8时，m ＋6≥8，从而由(*)式知2a m ＋6＝a m ＋a m ＋12，故2a m ＋7＝a m ＋1＋a m ＋13.从而2(a m ＋7－a m ＋6)＝a m ＋1－a m ＋(a m ＋13－a m ＋12)，于是a m ＋1－a m ＝2d －d ＝d .因此，a n ＋1－a n ＝d 对任意n ≥2都成立.又由S n ＋k ＋S n －k －2S n ＝2S k (k ∈{3，4})可知，(S n ＋k －S n )－(S n －S n －k )＝2S k ，故9d ＝2S 3且16d ＝2S 4.解得a 4＝72d ，从而a 2＝32d ，a 3＝52d ，又由S 3＝92d ＝a 1＋a 2＋a 3，故a 1＝d2.因此，数列{a n }为等差数列，由a 1＝1知d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. 热点三有关数列中证明的综合问题【例3】 (2022·南通、扬州、泰州调研)已知数列{a n }，{b n }均为各项都不相等的数列，S n 为{a n }的前n 项和，a n ＋1b n ＝S n ＋1(n ∈N *). (1)若a 1＝1，b n ＝n2，求a 4的值；(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{b n ＋λ}为等比数列；(3)若{a n }的各项都不为零，{b n }是公差为d 的等差数列，求证：a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是d ＝12.(1)解由a 1＝1，b n ＝n2知a 2＝4，a 3＝6，a 4＝8. (2)证明由于a n ＋1b n ＝S n ＋1，① 所以当n ≥2时，a n b n －1＝S n －1＋1，②由①－②得，当n ≥2时，a n ＋1b n －a n b n －1＝a n ，③ 由③得，当n ≥2时，b n ＝a n a n ＋1b n －1＋a n a n ＋1＝1q b n －1＋1q ，所以b n ＋11－q ＝1q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －1＋11－q .又由于b n ＋11－q ≠0(否则{b n }为常数数列与题意不符)，所以存在实数λ＝11－q，使得{b n ＋λ}为等比数列. (3)证明由于{b n }为公差为d 的等差数列，所以由③得，当n ≥2时，a n ＋1b n －a n (b n －d )＝a n ，即(a n ＋1－a n )b n ＝(1－d )a n ，由于{a n }，{b n }各项均不相等，所以a n ＋1－a n ≠0，1－d ≠0，所以当n ≥2时，b n 1－d ＝a na n ＋1－a n，④ 当n ≥3时，b n －11－d ＝a n －1a n －a n －1，⑤ 由④－⑤得，当n ≥3时，a n a n ＋1－a n －a n －1a n －a n －1＝b n －b n －11－d ＝d 1－d，⑥先证充分性，即由d ＝12证明a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列. 由于d ＝12，由⑥得a na n ＋1－a n －a n －1a n －a n －1＝1，所以当n ≥3时，a n a n ＋1－a n ＝1＋a n －1a n －a n －1＝a na n －a n －1，又a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1，即a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列.再证必要性，即由a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列证明d ＝12. 由于a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列，所以当n ≥3时，a n ＋1－a n ＝a n －a n －1，所以由⑥得a n a n ＋1－a n －a n －1a n －a n －1＝a n a n －a n －1－a n －1a n －a n －1＝1＝d1－d，解得d ＝12.所以a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是a ＝12.探究提高分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)证明数列为等差或等比数列需要先证任意两项的差或比值为定值，证明充要条件需要证明充分性与必要性等，确定解题的规律次序. 【训练3】 (2022·江苏卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”.(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d ＜0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立.(1)证明由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n＝a m .所以{a n }是“H 数列”.(2)解由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .由于{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.由于d ＜0，所以m －2＜0，故m ＝1.从而d ＝－1.当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数，n ∈N *，于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”.因此d 的值为－1.(3)证明设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *). 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *). 下证{b n }是“H 数列”.设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *)，于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n （n ＋1）2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”.同理可证{c n }也是“H 数列”.所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立. 热点四数列中的探究性问题【例4】设数列{a n }的前n 项积为T n ，已知对∀n ，m ∈N *，当n ＞m 时，总有T nT m ＝T n －m ·q (n －m )m (q＞0是常数).(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设正整数k ，m ，n (k ＜m ＜n )成等差数列，试比较T n ·T k 和(T m )2的大小，并说明理由； (3)探究：命题p ：“对∀n ，m ∈N *，当n ＞m 时，总有T nT m＝T n －m ·q (n －m )m (q ＞0是常数)”是命题t ：“数列{a n }是公比为q (q ＞0)的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.(1)证明设m ＝1，则有T n T 1＝T n －1·q n －1，由于T i ≠0(i ∈N *)，所以有T nT n －1＝a 1·q n －1，即a n ＝a 1·q n－1，所以当n ≥2时a na n －1＝q ，所以数列{a n }是等比数列.(2)解当q ＝1时，a n ＝a 1(n ∈N *)，所以T n ＝a n 1，所以T n ·T k ＝a n 1·a k 1＝a n ＋k 1＝a 2m 1＝T 2m ，当q ≠1时，a n ＝a 1·q n －1，T n ＝a 1·a 2…a n ＝a n1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝a n1·qn （n －1）2，所以T n ·T k ＝a n 1·qn （n －1）2·a k 1·q k （k －1）2＝a n ＋k1·qn 2－n ＋k 2－k2，T 2m ＝a 2m 1·qm (m －1).由于n ＋k ＝2m 且k ＜m ＜n ，所以a n ＋k1＝a 2m1，n 2＋k 2－n －k 2＝n 2＋k 22－m ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋k 22－m ＝m 2－m ，所以若q ＞1，则T n ·T k＞T 2m ；若q ＜1，则T n ·T k ＜T 2m .(3)解由(1)知，充分性成立；必要性：若数列{a n }成等比数列，则a n ＝a 1·q n －1，所以当q ≠1时，T n ＝a n 1·qn （n －1）2，则T n T m＝a n 1·qn （n －1）2a m 1·q m （m －1）2＝a n －m 1·q n 2－n －m 2＋m 2＝a n －m 1·q （n －m ）（n ＋m －1）2，T n －m ·q (n－m )m＝a n －m1·q（n －m ）（n －m －1）2·q(n －m )·m＝a n －m1·q（n －m ）（n －m －1）＋2（n －m ）m2＝a n －m1·q（n －m ）（n ＋m －1）2.所以，“对∀n ，m ∈N *，当n ＞m 时总有T n T m＝T n －m ·q (n －m )m 成立；同理可证当q ＝1时也成立.所以命题p 是命题t 的充要条件.探究提高数列中的比较大小与其它比较大小的方法类似，也是差比法或商比法.另外探究充要条件要从充分性、必要性两个方面推断与查找.【训练4】 (2022·南京调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑i ＝1n(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出全部的m ，n ；若不存在，请说明理由. 解 (1)设数列{a n }的公差为d . 由于2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎨⎧2（a 1＋4d ）－（a 1＋2d ）＝13，4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k ，代入不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1得λ·2k ＜4k ，从而λ＜4k2k .设f (k )＝4k 2k ，则f (k ＋1)－f (k )＝4k ＋12（k ＋1）－4k 2k ＝4k （3k －1）2k （k ＋1）.由于k ∈N *，所以f (k ＋1)－f (k )＞0，所以f (k )是递增的，所以f (k )min ＝2，所以λ＜2. ②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，则T 2k －1＝T 2k －(－1)2k a 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k ，代入不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·(1－2k )＜(2k －1)4k ，从而λ＞－4k .由于k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ＞－4. 综上所述，λ的取值范围为(－4，2).(3)假设存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列，则(S m －S 2)2＝S 2·(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)，所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12，即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.由于n ＞m ＞2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.由于2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立，故不存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列.1.数列与不等式综合问题(1)假如是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要留意比较法、放缩法、基本不等式的应用；(2)假如是解不等式，留意因式分解的应用. 2.数列与函数的综合问题(1)函数条件的转化：直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量x 换为n 即可. (2)数列向函数的转化：可将数列中的问题转化为函数问题，但要留意函数定义域. 3.数列中的探究性问题处理探究性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行规律推理.若由此导出冲突，则否定假设，否则，给出确定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用.还可以依据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解.一、填空题1.(2021·全国Ⅱ卷)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________. 解析由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以S n ≠0，所以S n ＋1－S nS n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n . 答案－1n2.(2022·江苏卷改编)各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 7＝4，a 6＝8，若函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析由于各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 7＝4，a 6＝8，所以a 4＝2，q ＝2，故a n ＝2n －3，又f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2＋2×2－2＋3×2－2＋…＋10×2－2＝2－2×10×112＝554.答案 5543.已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝1，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，则{a n }的前n 项和S n ＝________. 解析 ∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝2， ∴数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝20，a 3－a 2＝21，a 4－a 3＝22，…，a n －a n －1＝2n －2， ∴a n －a 1＝20＋21＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1，∴a n ＝2n －1－1，∴S n ＝(20＋21＋…＋2n －1)－n ＝1－2n1－2－n ＝2n －n －1.答案 2n －n －14.(2021·南京、盐城模拟)已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________.解析依题意得S n ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43；当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，1.由函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上是增函数得S n －1S n的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1772，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，712，因此有A ≤－1772，B ≥712，B －A ≥712＋1772＝5972，即B －A 的最小值是5972. 答案 59725.数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为________.解析由于a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos2n π3－sin 2 n π3＝n 2cos 2n π3，由于cos 2n π3以3为周期，且cos 2π3＝－12，cos 4π3＝－12， cos 6π3＝1，所以S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋222＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－42＋522＋62＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－282＋2922＋302＝∑k ＝110⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（3k －2）2＋（3k －1）22＋（3k ）2＝∑k ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫9k －52＝470.答案 470 二、解答题6.数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27. (1)求a 1，a 2的值；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，∴a 2＝9，∵9＝2a 1＋22＋1，∴a 1＝2. (2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，(n ≥2且n ∈N *)∴2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，∴4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，∴4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，∴t ＝1. 即存在实数t ＝1，使得{b n }为等差数列. (3)由(1)，(2)得b 1＝32，b 2＝52，∴b n ＝n ＋12， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1， S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1] ＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，① ∴2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n －2n ，② 由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n＋n ＝1＋2×1－2n1－2－(2n＋1)×2n ＋n＝(1－2n )×2n ＋n －1， ∴S n ＝(2n －1)×2n －n ＋1.7.(2022·江苏卷)已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n，n ∈N *. (1)设b n ＋1＝1＋b n a n ，n ∈N *，求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2是等差数列；(2)设b n ＋1＝2·b na n，n ∈N *，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值.(1)证明由题设知a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n＝1＋b n an1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝b n ＋11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，所以b n ＋1a n ＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋1a n ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝1(n ∈N *)，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2是以1为公差的等差数列.(2)解由于a n ＞0，b n ＞0，所以（a n ＋b n ）22≤a 2n ＋b 2n ＜(a n ＋b n )2，从而1＜a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n≤ 2.(*) 设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0知q ＞0.下证q ＝1.若q ＞1，则a 1＝a 2q ＜a 2≤2，故当n ＞log q 2a 1时，a n ＋1＝a 1q n ＞2，与(*)冲突；若0＜q ＜1，则a 1＝a 2q ＞a 2＞1，故当n ＞log q 1a 1时，a n ＋1＝a 1q n ＜1，与(*)冲突.综上，q ＝1，故a n ＝a 1(n ∈N *)，所以1＜a 1≤ 2.又b n ＋1＝2·b n a n ＝2a 1·b n (n ∈N *)，所以{b n }是公比为2a 1的等比数列.若a 1≠2，则2a 1＞1，于是b 1＜b 2＜b 3.又由a 1＝a 1＋b n a 21＋b 2n得b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1(n ∈N *)，所以b 1，b 2，b 3中至少有两项相同，冲突，所以a 1＝2，从而b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1＝ 2.所以a 1＝b 1＝ 2.8.(2021·江苏卷)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和.记b n ＝nS nn 2＋c ，n ∈N *，其中c 为实数.(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 证明由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d . (1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.由于d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于全部的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于全部的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差为d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于全部的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋(b 1－d 1－a ＋12d )n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1).。

热点专题03 求极限无穷等比数列(选填题)高考数学二轮复习热点考题精华篇(上海专用)(解析版)

热点专题03求极限无穷等比数列（选填题）每个模块详细全面的知识点讲解+专题练习，可以在本人的作品的一轮复习找到对应资料一、填空题 1．若{}n a 是无穷等比数列，且12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，则1a 的取值范围为___________. 【答案】(0,2)(2,4)【解析】先设无穷等比数列的公比为q ，根据无穷等比数列各项和的性质，由题中条件，得到121a q=-，1q <且0q ≠，即可求出结果.设无穷等比数列的公比为q ，因为12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，即()11lim 21n n a q q→∞-=-，即11lim 211n n q a q q →∞⎛⎫-= ⎪--⎝⎭，所以只需121a q=-，1q <且0q ≠，所以122a q =-，因为1q <且0q ≠，即10q -<<或01q <<，则022q <-<或220q -<-<，因此2224q <-<或0222q <-<，即122(0,2)(2,4)=-∈⋃a q . 故答案为：(0,2)(2,4).【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于掌握无穷等比数列各项和的性质，为使无穷等比数列各项和为常数，公比q 必然满足1q <且0q ≠，进而即可求解.2．无穷等比数列{}n a 中，23342,1a a a a +=+=，则此数列的各项和S =________________【答案】163【解析】先利用已知条件求出等比数列的首项和公比，再求{}n a 的前n 项和，取极限即可求解.设等比数列{}n a 公比为q ，则()342323a a a q a q q a a +=+=+，所以12q =，解得：12q =，由()22312a a a q q+=+=可得111224a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得183a=，所以18132n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其前n 项和为81132161113212nnnS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 1611616116lim lim 1lim 323323nn n x x x S →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故答案为：1633．2225lim 410n n n n →∞+=++__________________．【答案】2【解析】分子分母同时除以2n ，再求极限即可.2222522520lim lim 24104101100n n n n n n n n→∞→∞+++===++++++，故答案为：24．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所有项的和为S ，且lim(2)1n n S S →∞-=，则其首项1a 的取值范围________ 【答案】(2,1)(1,0)---【解析】无穷等比数列{}n a 的公比q 满足0||1q <<,而lim(2)21n n S S S S S →∞-=-=-=,再结合11a S q=-,可求得1||110a +<<,解不等式即可.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,11a S q=-,则0||1q <<, 因为lim n n S S →∞=,所以lim(2)lim lim221n n n n n S S S S S S S →∞→∞→∞-=-=-=-=,则111a q=--,11q a =+, 因为0||1q <<,所以1||110a +<<,解得1(2,1)(1,0)a ∈---.故答案为:(2,1)(1,0)---.【点睛】本题考查了数列极限的应用,考查了学生对极限知识的掌握,要注意公式11a S q=-中0||1q <<,属于中档题. 5．在数列{}n a 中，已知13a =.若对于任意大于1的正整数n，点在直线0x y --=，则2lim(1)nn a n →∞=+______.【答案】3 【解析】==，公差d ==即23n a n =，再由数列的极限运算即可得解.由题意0===，所以数列=d =()1n d -=，所以23n a n =，所以22223lim lim 3lim 3(1)132121100n n n n n n n n na n →∞→∞→∞=++++===+++. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了等差数列的判定及通项公式的应用，考查了数列极限的求解与运算求解能力，属于中档题.6．如果函数()log a f x x =的图像经过点1,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2lim n n a a a →∞+++=______.1【解析】先根据题意求出a 的值，再有等比数列前n 项和公式列出2n a a a +++的和，再用极限的方法即可求解.将点1,22P ⎛⎫⎪⎝⎭代入()log a f x x =，可得1log 22a =，即a =所以212⎫⎪-⎪⎝⎭+++=nna a a 所以()21221limim l →∞→∞⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++==⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=⎝⎭n n n n a aa .1【点睛】本题主要考查用极限的方法求无穷等比数列各项的和，涉及到对数函数的应用，属于中档题.7．设数列{}n a 的前n 项和为221(*)n S n n N =+∈，则2lim nn nS a →∞=__________. 【答案】18【解析】先算出n a ，从而可求2lim n n nS a →∞，因为221(*)nS n n N =+∈，故3,142,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故()22222122121lim lim lim 1684224n n n n n S n n a n n →∞→∞→∞++====-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：18. 【点睛】方法点睛：求数列极限时，要注意利用常见的数列极限来求解，如11lim0,lim 02n n n n →∞→∞==，还要注意合理变形，从而可以利用常见极限.8．等差数列{}n a 中，公差为d ，设n S 是{}n a 的前n 项之和，且1d >，计算()1lim +1n n n n S n a d →∞⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭__________. 【答案】12【解析】下利用等差数列的通项公式和前n 项和公式将()1nn S n a +用1a ，d和n 表示，再结合1d >求极限即可.因为{}n a 是等差数列，所以()11na a n d +-= ，()112n n n S na d -=+，所以()()()()21121111222111n n d d n n n a n na d S n a dn a n a dn a n d ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭==+++-++-⎡⎤⎣⎦，因为1d>，所以1lim0n n d→∞=，所以()1lim +1n n n n S n a d →∞⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭()212111222lim lim 12n n n n d d d n a n S n a dn a n a d d →∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭===+++-，故答案为：129．1,1100001,100012n n n n n a n +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则lim n n a →∞=___________ 【答案】0 【解析】由题意可得1lim lim 2n n n n a →∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即可得答案.由题意可得10lim lim 2n n nn a →∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：010．设(),n n n P x y 是直线()*21+=∈+n x y n N n 与圆222x y +=在第四象限的交点，则极限1lim 1→∞+=-n n ny x _____. 【答案】1 【解析】当n →∞时，直线方程无限趋近于直线21x y +=，直线21x y +=与圆222x y +=在第四象限的交点坐标为()1,1P -，11+-n n y x 表示点(),n n n P x y 与点()1,1P -连线的斜率，故11lim 1n n n OP y x k →∞+=--，代入计算即可得结果.因为lim11n nn →∞=+，所以当n →∞时，直线方程无限趋近于直线21x y +=，又直线21x y +=与圆222x y +=在第四象限的交点坐标为()1,1P -，11+-n n y x 表示点(),n n n P x y 与点()1,1P -连线的斜率，当n →∞时，(),n n x y 无限趋近于点(1,1)-，因此，极限11lim11n n n OPy x k →∞+=-=-. 故答案为：1 【点睛】本题考查极限的计算，考查两点斜率公式，考查了转化与化归的思想.11．1111lim 11113452n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】2 【解析】先化简原式为22lim()lim()221n n n n n→∞→∞=++，即得解.由题得1111lim 11113452n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦234122lim lim()lim()22345221n n n n n n n n n→∞→∞→∞+⎡⎤⋅⋅⋅⋅===⎢⎥++=+⎣⎦. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查数列的极限的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知2231lim 45n n cn n an bn →∞⎛⎫++-= ⎪+⎝⎭，则a b c ++=__________. 【答案】92【解析】先对所求的极限通分化简，再分析分子分母项的系数求解.因为()3222322224341313144lim 4lim lim →∞→∞→∞⎛⎫-+-++⎛⎫⎛⎫++++---== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n an b n cn n cn n cn an bn n an bn an bn an bn ，若0a ≠则极限不可能是常数，所以0a = ，所以()3224341lim →∞⎛⎫-+-++= ⎪+⎝⎭n an b n cn an bn ()2341lim →∞⎛⎫-++ ⎪⎝⎭n b n cn bn ，同理340-=b ，解得 34b =，所以 ()2134114lim lim lim 533344→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪-+++==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n c b n cn cn c n bn n ，解得154c =，所以a b c ++=92故答案为：92【点睛】本题主要考查数列极限的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．2222212342lim ...11111n n n n n n n →∞⎛⎫+++++=⎪+++++⎝⎭____________ 【答案】2 【解析】先求出和，再由极限定理求极限．2222222222(21)1234212222lim ...lim lim lim 11111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+++++⎛⎫+++++=== ⎪++++++++⎝⎭212lim211n n n→∞+==+，故答案为：2 【点睛】本题考查求数列的极限，对于和的极限需先求出和，然后再求极限，不可先极限再求和．14．数列{}n a 满足*142()1n n n a a n N a +-=∈+． ①存在1a 可以生成的数列{}n a 是常数数列；①“数列{}n a 中存在某一项4965ka =”是“数列{}n a 为有穷数列”的充要条件； ①若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是()(),11,2-∞-；①只要113232k k k ka +-≠-，其中*k N ∈，则lim n n a →∞一定存在；其中正确命题的序号为__________. 【答案】①① 【解析】根据已知中数列{}n a 满足*142()1n n n a a n N a +-=∈+．举出正例11a =或12a =，可判断①；举出反例115a =，可判断①；举出反例12a =-，可判断①；构造数列12n n n ab a -=-，结合已知可证得数列{}n b 是以32为公比的等比数列，进而可判断①．解：当11a =时，1n a =恒成立，当12a =时，2n a =恒成立，故①正确；当115a =时，则21a =-，由递推公式*142()1n n n a a n N a +-=∈+，可知数列{}n a 只有这两项，数列{}n a 为有穷数列，但不存在某一项4965k a =，故①错误；当12a =-时，()()1,11,2a ∈-∞-，此时210a =，33811a =，数列不存在单调递增性，故①错误；1421n n n a a a +-=+∴142331111n n n n n a a a a a +---=-=⋯++① 且142242211n n n n n a a a a a +---=-=⋯++①①÷①得：11113222n n n n a a a a ++--=--令12n n n a b a -=-，则数列{}n b 是以32为公比的等比数列则113()2n n b b -=11111132()112233()1()122n n n n b a b b ----∴==+--当113232k k k k a +-≠-时，11123()12n b -+-的极限为2，否则式子无意义，故①正确故答案为：①① 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题15．如果等差数列{}{},n n a b 的公差都为()0d d ≠，若满足对于任意*n N ∈，都有n n b a kd -=，其中k 为常数，*k N ∈，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim 3n n n a b a b a b →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭，则k =__________ 【答案】2 【解析】由等差数列通项公式得21n a n =-，由新定义可得212n n b a kd n k =+=-+，11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k==---+--+，分别讨论1k =，2，3，⋯，m ，求得的极限，由数列的单调性可得2k=．由等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，可得12(1)21n a n n =+-=-，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，可得212n n b a kd n k =+=-+，由11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k ==---+--+，则1122111111111(1)21233221212n n a b a b a b k k kn n k++⋯+=-+-++-++--+，当1k =时，若1122111111111lim()lim (1)23352121n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+，不成立；当2k=时，112211111111111lim()lim (1)4537592123n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 1111141lim (1)432123433n n n →∞=+--=⨯=++，成立；当3k=时，112211111111111lim()lim (1)67395112125n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 11111112323lim (1)63521232561590n n n n →∞=++---=⨯=+++，不成立；同理可得km =时，1122111111lim()(1)2321n n n a b a b a b m m →∞+++=+++-，由1111(1)23213m m +++=-，即11213213m m +++=-，可设11213213m mc m =+++--，1120213m m c c m +-=-<+，可得{}m c 递减，20c =，可得仅有2k=时，11221111lim()3n n n a b a b a b →∞+++=，故答案为2．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消法求和，以及数列极限的求法，考查分类讨论思想方法和运算能力、推理能力，属于中档题．二、单选题 16．下列关于极限的计算，错误的是（）A ．2227lim 57n n n n →∞++=+221722lim 755n n n n→∞++=+ B ．222242lim n n n n n →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭222242lim lim limn n n nn n n →∞→∞→∞=+++0000=+++=C ．)lim limnn n →∞=12n == D ．已知2,3,n n n n a n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则()12lim n n a a a →∞+++= 12222319121324----+=-- 【答案】B 【解析】先计算每个极限，再判断，如果是数列和的极限还需先求和，再求极限．2227lim 57n n n n →∞++=+221722lim 755n n n n→∞++=+，A 正确；①222222422211(1+2++)(1)12n n n n n n n n n n+++==⋅+=+， ①22224211lim lim(1)1lim 1n n n n n nn n n→∞→∞→∞⎛⎫+++=+=+=⎪⎝⎭，B 错；)limlimn n n →∞→∞=12n ==，C 正确；若2,3,n n n n a n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，()12lim n n a a a →∞+++需按奇数项和偶数项分别求和后再极限，即()12lim n n a a a →∞+++= 12222319121324----+=--，D 正确．故选：B ．【点睛】本题考查数列的极限，掌握极限运算法则是解题基础．在求数列前n 项和的极限时，需先求出数列的前n 项和，再对和求极限，不能对每一项求极限再相加．17．已知数列{}n a 满足12n n a pa +=+(0)p ≠，1a R ∈，则下列命题中的真命题是（）A ．2p =-，则数列{2}n a +一定是等比数列B ．1p >，10a ≠，数列{}n a 不存在极限C ．1p ≠，数列2{}1n a p +-一定是等比数列D ．0||1p <<，则数列{}n a 的极限为21p- 【答案】D 【解析】把递推式12n n a pa +=+变形为122()11n n a p a p p ++=+--，然后根据数列的概念进行判断．①12n n a pa +=+，①122()11n n a p a p p ++=+--，当2p =-时，若12a =-，则120a +=，数列{2}n a +一定不是等比数列，A 错；当1p >，10a ≠，当12=01a p +-时，201n a p +=-，即2=1n a p --，此时2lim 1nn a p →∞=--，B 错； 1p ≠，12=01a p +-时，数列2{}1n a p +-不是等比数列，C 错； 0||1p <<，若12=01a p +-，则2=1n a p --，此时22lim 11n n a p p →∞=-=--，若1201a p +≠-，2{}1n a p +-是等比数列，122()11n n a a p p p +=+--，122()11n n a a p p p =+---， 1122222lim lim[()]lim[()]11111n n n n n n a a p a p p p p p p→∞→∞→∞=+-=+-=-----，D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推公式，考查数列的极限，解题时由递推公式变形构造出数列后，根据等比数列的定义判断新数列是否是等比数列，是等比数列的情况下求出数列的通项公式，再由数列的极限的定义确定是否存在极限，极限是什么．18．若数列{}n a 的通项公式1,1,211,3,3n nn n a n n N *⎧=⎪⎪+=⎨⎪≥∈⎪⎩前n 项和为n S ，则下列结论中正确的是（）A ．lim n n a →∞不存在 B ．8lim 9n n S →∞=C ．lim 0n n a →∞=或1lim 3n n a →∞=D ．1lim 18n n S →∞=【答案】B 【解析】先利用等比数列求和公式求和，再求极限得结果.1lim lim03nnn n a →∞→∞==3234211(1)11111551133+++(1)1233336618313n n n n S ---=++=+=+--因此2511518lim lim[(1)]61836189n n n n S -→∞→∞=+-=+= 故选：B 【点睛】本题考查数列解析以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 19．下列命题正确的是（）A ．若lim ,lim n n n n a A bB →∞→∞==，则limn n na Ab B →∞=B ．若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=C ．若22lim nn a A →∞=，则lim n n a A →∞=D ．若0n a ≠，则lim 0n n a →∞≠ 【答案】B 【解析】利用举反例的方法排除A 、C 、D,并利用极限的运算法则判定B 对于选项A,当0B =时,lim n n na Ab B →∞=无意义,故A 错误；对于选项C,当()1nn a =-时,()22lim lim 11nn n n a →∞→∞=-=,此时lim n n a →∞不存在,故C 错误；、对于选项D,当1n a n=时,0n a ≠,但1lim 0n n →∞=,故D 错误；对于选项B,根据极限的运算法则,当lim n n a A →∞=时,()lim n n n a a A A →∞⋅=⋅,即22lim n n a A →∞=,故B 正确；故选：B 【点睛】本题考查举反例法处理选择题,考查极限的运算法则的应用20．已知两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点 P 1是线段 OQ 的中点，点 P 2是线段 QP 1的中点， P 3 是线段 P 1P 2的中点，……，P n + 2是线段 P n P n +1的中点，则点 P n 的极限位置应是（）A ．(,)22a bB ．(,)33a bC ．22(,)33a b D ．33(,)44a b 【答案】C 【解析】由中点坐标公式求得部分中点的坐标，再寻求规律，求极限得之．解：两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点1p 是线段 OQ的中点，点2p 是线段 QP 1 的中点，3p 是线段 P 1P 2 的中点，……1,22a P b ⎛⎫⎪⎝⎭∴ 2,2424a a P b b ⎛⎫++⎪⎝⎭∴ 3,248248a a a b b b P ⎛⎫+-+-⎪⎝⎭∴ 4,2481624816a a a a b b b b P ⎛⎫+-++-+ ⎪⎝⎭∴5,24816322481632a a a b P aa b b b b ⎛⎫+-+-+-+- ⎪⎝⎭∴……∴点n P 的位置应是()()()()()()()()234234,2222222222n n a a a ab b b abb⎛⎫⎪++++++++++ ⎪-----⎝---⎭其中()()()()()121234112211122262222122n n naa aaaa a aa --⎡⎥=-⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦++++++=+⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭---⎢⎣⎦-- ⎪⎝⎭故()()()()1234312l lim 2im 1226226222n n n n a a a a a a a a a a-∞→∞→⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫++++++⋅--=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎢⎥⎪⎣=-⎪⎣⎦⎩⎭⎦ 同理()()()()1234312l lim 2im 1226226222n n n n b bb b b bb b b b-∞→∞→⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫++++++⋅--=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎢⎥⎪⎣=-⎪⎣⎦⎩⎭⎦ ∴点n P 的极限位置应是22(,)33a b．故选：C．【点睛】本题主要考查中点坐标公式和数列求和以及推理思想的应用．21．数列{}n a 满足1110,1810(*)n n a a a n n N +==++∈，记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则)n →∞=( ) A ．1B ．12C ．13D ．16【答案】D 【解析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入)n →∞求得答案.解：由已知1110,1810n n a a a n +==++，2118110a a ∴-=⨯+，3218210a a -=⨯+，118(1)10n n a a n --=-+，累加得：21(1)18[12(1)]10(1)101892nn n a a n n n n n -=+++⋯+-+-=+⨯=+， ()()22223996+1=31n n n n n n <+<++，331n n ∴+，3n ∴=，223n ====，则16n n →∞==. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题.22．若,,||||a b R a b ∈>且11lim lim n n n nn n n n a b a b a a-+→∞→∞++>，则a 的取值范围为（） A ．1a >或1a <- B ．11a -<< C ．1a >或10a -<< D ．1a <-或01a <<【答案】D 【解析】根据数列极限运算法则化简11lim lim n n n nn n n n a b a b a a -+→∞→∞++>，求出关于a 的不等式，即可求解.11lim lim n n n nn n n n a b a b a a -+→∞→∞++>化为 1lim ))li ()(m(()n n n n b ba aa a →∞→∞>++， ||||,li 1(1)(1)(,m )0,0n nb a b a a a a a a →∞>∴=-+∴><，∴1a <-或01a <<.故选:D 【点睛】本题考查数列极限，考查分式不等式，属于中档题.23．若1lim 12n n r r +→∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则r 的取值范围是（）A ．13r -≥或1r -≤ B ．13r >-或1r <- C ．13r >-或1r -≤ D ．113r --≤≤ 【答案】C 【解析】根据极限存在得到1112r r -<≤+，计算得到答案.1lim 12n n r r +→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则1112r r -<≤+，解得13r >-或1r -≤故选：C 【点睛】本题考查了根据极限求参数的范围，忽略掉等号是容易发生的错误.24．若lim()n n n a b →∞+存在，则有（） A ．lim n n a →∞与lim n n b →∞一定都存在 B ．lim n n a →∞与lim n n b →∞只能有一个存在 C ．lim n n a →∞与lim n n b →∞不可能都不存在 D ．lim n n a →∞与lim n n b →∞或者都存在，或者都不存在【答案】D 【解析】逐个选项判断在lim()n n n a b →∞+的极限存在的条件下，各个命题是否成立。

2021-2022年高考数学二轮复习第五部分短平快增分练专题二规范练5.2.3大题规范练三

2021年高考数学二轮复习第五部分短平快增分练专题二规范练5.2.3大题规范练三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2B －C2－sin B ·sin C ＝2－24.(1)求角A ；(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由cos 2B －C2－sin B ·sin C ＝2－24，得cos B －C 2－sin B ·sin C ＝－24，∴cos(B ＋C )＝－22， ∴cos A ＝22(0＜A ＜π)，∴A ＝π4. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－2bc ≥(2－2)bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，即bc ≤8(2＋2)．∴S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤4(2＋1)，即△ABC 面积的最大值为4(2＋1)．2．(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥CD ∥EF ，CD ＝EF ＝CF ＝2AB ＝2AD ＝2，∠DCF ＝60°，AD ⊥CD ，平面CDEF ⊥平面ABCD .(1)求异面直线BE 与CF 所成角的余弦值； (2)证明：直线CE ⊥平面ADF ；(3)已知P 为棱BC 上的点，且二面角P DF A 为60°，求PE 的长．解：(1)∵CD ∥EF ，CD ＝EF ＝CF ＝2，∴四边形CDEF 为菱形．∵∠DCF ＝60°，∴△DEF 为正三角形．取EF 的中点G ，连接GD ，则GD ⊥EF ，∴GD ⊥CD . ∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，GD ⊂平面CDEF ，CD ＝平面CDEF ∩平面ABCD ，∴GD ⊥平面ABCD ，∴GD ⊥AD ，GD ⊥CD .∵AD ⊥CD ，∴DA ，DC ，DG 两两垂直．如图，以D 为原点，DA ，DC ，DG 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系．∵CD ＝EF ＝CF ＝2，AB ＝AD ＝1，∴A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，E (0，－1，3)，F (0,1，3)，∴BE →＝(－1，－2，3)，CF →＝(0，－1，3)．设异面直线BE 与CF 所成的角为α，则cos α＝|cos 〈BE →，CF →〉|＝|BE →·CF →||BE →||CF →|＝58×4＝528.(2)证明：∵DA →＝(1,0,0)，DF →＝(0,1，3)，CE →＝(0，－3，3)，∴CE →·DA →＝0，CE →·DF →＝0，∴CE ⊥DA ，CE ⊥DF .∵DA ，DF 是平面ADF 内的两条相交直线，∴直线CE ⊥平面ADF .(3)依题意可设P (a,2－a,0)(0≤a ≤1)，平面PDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵n ·DF →＝0，n ·DP →＝0，∴⎩⎨⎧y ＋3z ＝0，ax ＋2－a y ＝0.令y ＝3a ，则x ＝3(a －2)，z ＝－a ，∴n ＝(3(a －2)，3a ，－a )．∵二面角P DF A 为60°，CE →＝(0，－33)是平面ADF 的一个法向量， ∴|cos〈n ，CE →〉|＝|n ·CE →||n ||CE →|＝43a12×3a －22＋3a 2＋a 2＝12. 解得a ＝23，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，0， ∴PE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12＋0－32＝453.3．(本小题满分12分)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：有2人不赞成的概率；(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解：(1)由表知，年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为P ＝C 14C 25·C 14·C 16C 210＋C 24C 25·C 24C 210＝410×2445＋610×645＝2275. (2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 26C 210＝610×1545＝15，P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 26C 210＋C 24C 25·C 14·C 16C 210＝410×1545＋610×2425＝3475，P (ξ＝2)＝2275，P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 24C 210＝410×645＝475，∴ξ的分布列是∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×5＋1×75＋2×75＋3×75＝5.4．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 为坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值．解：(1)由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋18－2b 2＝0.由题意Δ＝24(b 2－3)＝0，得b 2＝3，则直线l 与椭圆E 的交点坐标为(2,1)所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2,1)．(2)证明：由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m 3，y ＝1＋2m3.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3，|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋4m 2－12＝0.由Δ＝16(9－2m 2)＞0，解得－322＜m ＜322.则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|PA |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12把y 1＝12x 1＋m 代入得|PA |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m3－x 2. 所以|PA |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3x 1＋x 2＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123 ＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |.5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2a 2ln x －x 2(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)讨论函数f (x )在区间(1，e 2)上零点的个数(e 为自然对数的底数)．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2ln x －x 2， ∴f ′(x )＝2x－2x ，∴f ′(1)＝0，又f (1)＝－1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋1＝0.(2)∵f (x )＝2a 2ln x －x 2，∴f ′(x )＝2a 2x －2x ＝2a 2－2x 2x ＝－2x －ax ＋ax，∵x ＞0，a ＞0，∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，当x ＞a 时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在(0，a )上是增函数，在(a ，＋∞)上是减函数． (3)由(2)得f (x )max ＝f (a )＝a 2(2ln a －1)．讨论函数f (x )的零点情况如下：①当a 2(2ln a －1)＜0，即0＜a ＜e 时，函数f (x )无零点，在(1，e 2)上无零点； ②当a 2(2ln a －1)＝0，即a ＝e 时，函数f (x )在(0，＋∞)内有唯一零点a ，而1＜a ＝e ＜e 2，∴f (x )在(1，e 2)内有一个零点；③当a 2(2ln a －1)＞0，即a ＞e 时，由于f (1)＝－1＜0，f (a )＝a 2(2ln a －1)＞0，f (e 2)＝2a 2ln e 2－e 4＝4a 2－e 4＝(2a －e 2)(2a ＋e 2)，当2a －e 2＜0，即e ＜a ＜e 22时，1＜e ＜a ＜e 22＜e 2，f (e 2)＜0，由函数的单调性可知，函数f (x )在(1，a )内有唯一零点x 1，在(a ，e 2)内有唯一零点x 2，∴f (x )在(1，e 2)内有两个零点．当2a －e 2≥0，即a ≥e 22＞e 时，f (e 2)≥0，而且f (e)＝2a 2·12－e ＝a 2－e ＞0，f (1)＝－1＜0，由函数的单调性可知，无论a ≥e 2，还是a ＜e 2，f (x )在(1，e)内有唯一的一个零点，在(e ，e 2)内没有零点，从而f (x )在(1，e 2)内只有一个零点．综上所述，当0＜a ＜e 时，函数f (x )无零点；当a ＝e 或a ≥e22时，函数f (x )有一个零点；当e ＜a ＜e22时，函数f (x )有两个零点．请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋3cos ty ＝5＋3sin t (其中t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若A ，B 分别为曲线C 1，C 2上的动点，求当AB 取最小值时△AOB 的面积．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋3cos ty ＝5＋3sin t 得C 1的普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝9，由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入上式得C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1. (2)如图，当A ，B ，C 1，C 2四点共线，且A ，B 在线段C 1C 2上时，|AB |取得最小值，由(1)得C 1(4,5)，C 2(0,1)，∴kC 1C 2＝5－14－0＝1，则直线C 1C 2的方程为x －y ＋1＝0，∴点O 到直线C 1C 2的距离d ＝12＝22，又|AB |＝|C 1C 2|－1－3＝4－02＋5－12－4＝42－4，∴S △AOB ＝12d |AB |＝12×22×(42－4)＝2－ 2.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知|x ＋2|＋|6－x |≥k 恒成立．(1)求实数k 的最大值；(2)若实数k 的最大值为n ，正数a ，b 满足85a ＋b ＋22a ＋3b＝n .求7a ＋4b 的最小值．解：(1)因为|x ＋2|＋|6－x |≥k 恒成立，设g (x )＝|x ＋2|＋|6－x |，则g (x )min ≥k . 又|x ＋2|＋|6－x |≥|(x ＋2)＋(6－x )|＝8，当且仅当－2≤x ≤6时，g (x )min ＝8，所以k ≤8，即实数k 的最大值为8.(2)由(1)知，n ＝8，所以85a ＋b ＋22a ＋3b ＝8，即45a ＋b ＋12a ＋3b＝4，又a ，b 均为正数，所以7a ＋4b ＝14(7a ＋4b )⎝ ⎛⎭⎪⎫45a ＋b ＋12a ＋3b＝14[(5a ＋b )＋(2a ＋3b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫45a ＋b ＋12a ＋3b ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋42a ＋3b 5a ＋b ＋5a ＋b 2a ＋3b≥14×(5＋4)＝94，当且仅当42a ＋3b 5a ＋b ＝5a ＋b 2a ＋3b ，即a ＝5b ＝1552时，等号成立，所以7a ＋4b 的最小值是94.。

《创新设计》2021届高考数学(理)二轮复习(全国通用) 训练专题三数列第1讲 Word版含答案

一、选择题1.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于( ) A.3 B.4 C.5D.6解析由已知得S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝－2，又S m ＝a 1－a m q1－q ＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1q m －1＝－16，代入可求得m ＝5. 答案 C2.(2022·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n (n ＋1) B.n (n －1) C.n （n ＋1）2D.n （n －1）2解析由a 2，a 4，a 8成等比数列，得a 24＝a 2a 8，即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，∴a 1＝2.∴S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝2n ＋n 2－n ＝n (n ＋1). 答案 A3.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A.150 B.－200 C.150或－200D.400或－50解析依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30.又S 20＞0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，则S 40＝S 30＋（S 30－S 20）2S 20－S 10＝70＋40220＝150. 答案 A4.(2021·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A.a 1d ＞0，dS 4＞0 B.a 1d ＜0，dS 4＜0 C.a 1d ＞0，dS 4＜0D.a 1d ＜0，dS 4＞0解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3，∴dS 4＝－2d 23＜0，故选B.答案 B5.(2022·福州二模)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A.6 B.7 C.8D.9解析由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的状况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的状况有：a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2解之得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. ∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D. 答案 D 二、填空题6.(2022·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为__________.解析设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝8，q ＝12，∴a 1a 2…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12（－3）＋（－2）＋…＋（n －4）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212n （n －7）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －722－494，当n ＝3或4时，12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最小值－6，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最大值26，所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 647.数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝15，且对任意正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n ＜t 恒成立，则实数t 的最小值为________.解析令m ＝1，可得a n ＋1＝15a n ，所以{a n }是首项为15，公比为15的等比数列，所以S n ＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫15n 1－15＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ＜14，故实数t 的最小值为14.答案 148.(2021·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________.解析设数列{a n }的首项和公差分别为a 1，d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝0，15a 1＋105d ＝25，⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝23，则nS n ＝n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3n ＋n （n －1）3＝n 33－103n 2. 设函数f (x )＝x 33－103x 2，则f ′(x )＝x 2－203x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，但6＜203＜7，且f (6)＝－48，f (7)＝－49，由于－48＞－49，所以最小值为－49. 答案－49 三、解答题9.(2022·新课标全国Ⅱ卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1， (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列.a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.由于当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.10.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )在直线2x ＋y －2＝0上. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意，可得2a n ＋1＋S n －2＝0.①当n ≥2时，2a n ＋S n －1－2＝0.②①－②，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以a n ＋1a n ＝12(n ≥2).由于a 1＝1，2a 2＋a 1＝2，所以a 2＝12.所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知，S n ＝1－12n1－12＝2－12n －1.若⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列，则S 1＋λ＋λ2，S 2＋2λ＋λ22，S 3＋3λ＋λ23成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2＋9λ4＝S 1＋3λ2＋S 3＋25λ8，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋9λ4＝1＋3λ2＋74＋25λ8，解得λ＝2.又λ＝2时，S n ＋2n ＋22n ＝2n ＋2，明显{2n ＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，使得数列{S n ＋λn ＋λ2n }成等差数列.11.(2022·太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *，a 1＝2. (1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3nS n －n ＋1(n ∈N *)的前n 项和为T n ，证明：T n ＜6.证明 (1)由于S n ＝a n ＋1＋n －2，当n ≥2时，S n －1＝a n ＋(n －1)－2＝a n ＋n －3，两式相减，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1，即a n ＋1＝2a n －1.设c n ＝a n －1，代入上式，得c n ＋1＋1＝2(c n ＋1)－1，即c n ＋1＝2c n .又S n ＝a n ＋1＋n －2，则a n ＋1＝S n －n ＋2，故a 2＝S 1－1＋2＝3.所以c 1＝a 1－1＝1，c 2＝a 2－1＝2，故c 2＝2c 1.综上，对于正整数n ，c n ＋1＝2c n 都成立，即数列{a n －1}是等比数列，其首项a 1－1＝1，公比q＝2.所以a n －1＝1×2n －1，故a n ＝2n －1＋1.(2)由S n ＝a n ＋1＋n －2，得S n －n ＋2＝a n ＋1＝2n ＋1，故S n －n ＋1＝2n .所以b n ＝3n2n . 所以T n ＝b 1＋b 2＋...＋b n －1＋b n ＝32＋622＋ (3)2n ，① 2×①，得2T n ＝3＋62＋3×322＋ (3)2n －1，②②－①，得T n ＝3＋32＋322＋…＋32n －1－3n2n＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1－3n 2n＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－3n 2n ＝6－3n ＋62n .由于3n ＋62n ＞0，所以T n ＝6－3n ＋62n ＜6.。

2021新高考数学二轮复习：题型强化练3 解答题组合练(A)

题型强化练3解答题组合练(A)1.(2020山东青岛一模,17)设等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为T n.已知a1b1=2,S2=6,S3=12,T2=43,n∈N*.(1)求{a n},{b n}的通项公式;(2)是否存在正整数k,使得S k<6k,且T k>139?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.2.(2020山东济南二模,18)已知△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(1)证明:a cos B+b cos A=c;(2)在①2c-bcosB =acosA,②c cos A=2b cos A-a cos C,③2a-bcosCcosA=ccosBcosA这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答.若a=7,b=5,,求△ABC的周长.3.(2020北京朝阳一模,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,四边形ACC1A1是正方形,点D,E分别是棱BC,BB1的中点,AB=4,AA1=2,BC=2√5.(1)求证:AB⊥CC1;(2)求二面角D-AC1-C的余弦值;(3)若点F在棱B1C1上,且B1C1=4B1F,判断平面AC1D与平面A1EF是否平行,并说明理由.4.(2020海南线上诊断性测试,21)如图,已知点F 为抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点,过焦点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ,N 两点,且当直线l 的倾斜角为45°时,|MN|=16. (1)求抛物线C 的方程.(2)试确定在x 轴上是否存在点P ,使得直线PM ,PN 关于x 轴对称?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.题型强化练3 解答题组合练(A )1.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,在数列{a n }中,a 3=S 3-S 2=6.又S 2=a 1+a 2=a 3-2d+a 3-d=12-3d=6,解得d=2, 则a 1=a 3-2d=2,所以a n =2+(n-1)×2=2n. 由a 1b 1=2,得b 1=T 1=1,因为b 2=T 2-T 1=43-1=13,设数列{b n }的公比为q , 所以q=b 2b 1=13,所以b n =1×(13)n -1=(13)n -1.(2)存在正整数k ,使得S k <6k ,且T k >139.由(1)知,S k =k (a 1+a k )2=k (k+1),因为S k =k (k+1)<6k ,整理得k 2-5k<0,解得0<k<5.又因为T k =1×(1-13k )1-13=32(1-13k )=32−12×3k -1,且T k =32−12×3k -1>139,即13k -1<19,解得k>3.因为k 为正整数,所以k=4. 2.(1)证明由余弦定理可得,a cos B+b cos A=a ·a 2+c 2-b22ac+b ·b 2+c 2-a 22bc=a 2+c 2-b 2+b 2+c 2-a 22c=c ,所以a cos B+b cos A=c.(2)解选①:因为2c -bcosB =acosA ,所以2c cos A=b cos A+a cos B ,由(1)中所证结论可知,2c cos A=c ,即cos A=12. 因为A ∈(0,π),所以A=π3.选②:因为c cos A=2b cos A-a cos C ,所以2b cos A=a cos C+c cos A ,由(1)中的证明过程同理可得,a cos C+c cos A=b , 所以2b cos A=b ,即cos A=12.因为A ∈(0,π),所以A=π3. 选③:因为2a-b ·cosCcosA =c ·cosB cosA ,所以2a cos A=b cos C+c cos B , 由(1)中的证明过程同理可得,b cos C+c cos B=a , 所以2a cos A=a ,即cos A=12.因为A ∈(0,π),所以A=π3.在△ABC 中,由余弦定理知,a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即25+c 2-10c ·1=49, 化简得c 2-5c-24=0,解得c=8或c=-3(舍),所以a+b+c=7+5+8=20, 即△ABC 的周长为20.3.(1)证明因为四边形ACC 1A 1是正方形,所以CC 1⊥AC.又因为平面ABC ⊥平面ACC 1A 1,平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC ,所以CC 1⊥平面ABC. 又因为AB ⊂平面ABC ,所以AB ⊥CC 1.(2)解由(1)知,CC 1⊥AB ,AA 1∥CC 1,所以AA 1⊥AB.又AB=4,AC=AA 1=2,BC=2√5,所以AB 2+AC 2=BC 2.所以AC ⊥AB. 如图,以A 为原点,建立空间直角坐标系A-xyz.所以A (0,0,0),B (4,0,0),C (0,0,2),A 1(0,2,0),D (2,0,1),C 1(0,2,2),E (4,1,0),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2).由题意可知,平面ACC 1的一个法向量为u =(1,0,0). 设平面AC 1D 的一个法向量为v =(x ,y ,z ),则{v ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,v ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{2x +z =0,2y +2z =0.令x=1,解得z=-2,y=2,所以v =(1,2,-2).设二面角D-AC 1-C 的平面角为θ,则|cos θ|=|u ·v ||u ||v |=11×3=13. 由题知,二面角D-AC 1-C 为锐角,所以其余弦值为13. (3)解平面AC 1D 与平面A 1EF 不平行.理由如下:由(2)知,平面AC 1D 的一个法向量为v =(1,2,-2),且A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-1,0),所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =2≠0,所以A 1E 与平面AC 1D 不平行. 又因为A 1E ⊂平面A 1EF ,所以平面AC 1D 与平面A 1EF 不平行.4.解 (1)当直线l 的倾斜角为45°,则l 的斜率为1,∵F (p 2,0),∴l 的方程为y=x-p2.由{y =x -p2,y 2=2px ,得x2-3px+p 24=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=3p ,∴|MN|=x 1+x 2+p=4p=16,p=4,∴抛物线C 的方程为y 2=8x.(2)假设满足条件的点P 存在,设P (a ,0),由(1)知F (2,0), ①当直线l 不与x 轴垂直时,设l 的方程为y=k (x-2)(k ≠0),由{y =k (x -2),y 2=8x ,得k 2x 2-(4k 2+8)x+4k 2=0, Δ=(4k 2+8)2-4·k 2·4k 2=64k 2+64>0,x 1+x 2=4k 2+8k2,x 1x 2=4.∵直线PM ,PN 关于x 轴对称, ∴k PM +k PN =0,k PM =k (x 1-2)x 1-a ,k PN =k (x 2-2)x 2-a. ∴k (x 1-2)(x 2-a )+k (x 2-2)(x 1-a )=k [2x 1x 2-(a+2)·(x 1+x 2)+4a ]=-8(a+2)k=0, ∵k ≠0,∴解得a=-2,则P (-2,0).②当直线l 与x 轴垂直时,由抛物线的对称性,易知PM ,PN 关于x 轴对称,此时只需P 与焦点F 不重合即可. 综上,存在唯一的点P (-2,0),使得直线PM ,PN 关于x 轴对称.。

2023高考数学二轮复习专题复习03 等式与不等式的性质 (解析版)

专题03等式与不等式的性质【考点预测】1.比较大小基本方法（1）基本性质bc【方法技巧与总结】1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.【题型归纳目录】题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围题型四：不等式的综合问题【典例例题】题型一：不等式性质的应用例1．（2022·北京海淀·二模）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（）A ．110x y +>B ．330x y +>C ．lg()0x y +>D ．sin()0x y +>【答案】B 【解析】【分析】取特殊值即可判断A 、C 、D 选项，因式分解即可判断B 选项. 【详解】对于A ，令11,2x y ==-，显然01112yx +=-<，错误；对于B ，()()()23322213024x y x y x xy y x y x y y ⎡⎤⎛⎫+=+-+=+-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1,02x y y ==不能同时成立，故()2213024x y x y y ⎡⎤⎛⎫+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，正确；对于C ，取1,0x y ==，则lg()0x y +=，错误；对于D ，取1,3x y ==，则sin()sin 40x y +=<，错误. 故选：B.例2．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（） A ．a c b c +<+ B ．11a b< C ．ac bc > D ．b a c ->【答案】A【解析】【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解. 【详解】对于A 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a b a c b c <⇒+<+，A 选项正确；对于B 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若2a =-，1b =-，则11a b>，B 选项错误；对于C 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，0c >，0a b ac bc <<⇒<，C 选项错误；对于D 选项，因为0a b b a <⇒->，0c >，所以无法判断b a -与c 大小，D 选项错误. 例3．（2022·山西·模拟预测（文））若0αβ<<，则下列结论中正确的是（） A ．22αβC ．1122αβ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin sin αβ<【答案】B 【解析】【分析】对于A ，利用不等式的性质判断，对于B ，利用基本不等式判断，对于C ，利用指数函数的性质判断，对于D ，举例判断【详解】∵0αβ<<，∴0αβ->->，∴22αβ>，故A 错误；∵0αβ<<，∴0,0αββα>>，∴2βαααββ+≥=． ∵αβ≠，∴2βααβ+>，故B 正确； ∵101,2αβ<<<，∴1122αβ>⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故C 错误；令,2παπβ=-=-，此时sin 0,sin 1,sin sin αβαβ==->．故D 错误．故选：B ．（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（） A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．1ab b>+ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可．【详解】解：对于非零实数a ，b 满足||1a b >+，则()22||1a b >+，即2222||11a b b b >++>+，故A 一定成立；因为1||1122a b a b b +>+≥+⇒>，故B 一定成立；又()2||10b -≥，即212||b b +≥，所以24||4a b b >≥，故C 一定成立；对于D ：令5a =，3b =，满足||1a b >+，此时5143a b b =<+=，故D 不一定成立．故选：ABC（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（） A ．1ab ≤ B ．2a b +≥ C ．1a b -> D ．3a b -<【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断. 【详解】对于A ，由3ab a b ++= ，a b +≥，当且仅当a b = 时等号成立，3ab ∴+≤ ，)310≤ ，1ab ∴≤ ，当且仅当1a b == 时等号成立，故A 正确；对于B ，由3ab a b ++=，得()()4114,11a b b a ++=∴+=+ ，由基本不等式得)44(1)(1)2122211a b a b a a a +=+++-=++-≥-=++ ，当且仅当a=b =1时成立；故B 正确；对于C ，若1,1,a b == 满足3ab a b ++=，01a b -=＜，故C 错误；对于D ，∵3ab a b ++=，∴3ab a b a b =+++＞，由B 的结论得23a b ≤+＜，()()()()222949439a b a b ab a b a b --=+--=+--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2421730a b a b a b a b =+++-=+++-＜，()29,3a b a b ∴--＜＜，故D 正确；故选：ABD.（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a ，b ，c 满足c <a 0 B ．c （b -a ）<0 C ．22cb ab < D ．ab ac >【答案】BCD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】解：因为a ，b ，c 满足c <a >->->，所以ac （a -c ）<0 ，c （b -a ）<0，22cb ab <，ab ac >，故选：BCD（多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设a b c <<，且0a b c ++=，则（） A ．2ab b ，所以ac bc <，故B 正确，因为0<<a c ，所以11a c<，故C 正确，因为a b <，所以a b ->-，所以0c a c b ->->，所以1c ac b->-，故D 错误，故选：BC【方法技巧与总结】1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2．充分利用基本初等函数性质进行判断．3．小题可以用特殊值法做快速判断．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式例8．（2022·全国·高三专题练习（文））设2312m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1312n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A ．m p n <，再由作商法判断m p >.【详解】因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以12331122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以n m > 2320323155212215⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以m p >，所以n m p >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题. 例9．（2022·全国·高三专题练习）若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．【答案】＜【解析】【分析】作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解【详解】易知a ，b 都是正数，b a ＝232ln 3ln 3ln 93ln 2ln 2ln8==＝log 89＞1，所以b ＞a .故答案为：＜例10．（2022·全国·高一）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．【答案】（1）()()()2153x x x ++<+；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）()()15x x ++与()23x +作差，判断差的正负即可得出结论；（2）结合不等式的性质分析即可证出结论. 【详解】（1）由题意，()()()2153x x x ++-+ 22656940x x x x =++---=-<，所以()()()2153x x x ++<+．（2）证明：因为11a b<，所以110a b -<，即0b aab -<，而a b >，所以0b a -<，则0ab >．得证．例11．（2022·湖南·高一课时练习）比较()()213a a +-与()()62745a a -++的大小．【答案】()()213a a +-<()()62745a a -++ 【解析】【分析】做差比较大小即可. 【详解】()()()()2221362745(253)(253)60a a a a a a a a +---++=----+=-<⎡⎤⎣⎦,∴()()213a a +-<()()62745a a -++.例12．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1))21与)21；(2)()()2211xx ++与()()2211xx x x ++-+．【答案】(1)221)1)≤(2)()()2211x x ++()()2211x x x x ≤++-+【解析】【分析】利用作差法得出大小关系. (1)))()()221111m m -=--+=-因为0m ≥，所以221)1)0-≤，当且仅当0m =时，取等号.即221)1)≤ (2)()()2211xx ++()()2211x x x x -++-+()()2222222121x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+--+-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为0x ≥，所以()()2222221210x x x x ⎡⎤⎡⎤+--+-≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当0x =时，取等号.故()()2211x x ++()()2211x x x x ≤++-+.【方法技巧与总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性. 比较法又分为作差比较法和作商比较法. 作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若0,0a b >>，则1b b a a >⇔>；1b b a a <⇔<；1bb a a =⇔=；若0,0a b <<，则1b b a a >⇔<；1b b a a <⇔>；1bb a a=⇔=. 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围例13．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞【答案】A 【解析】【分析】设2()(52)x y m x y n x y +=+++，求出,m n ，再根据不等式的性质即可得出答案. 【详解】解：设2()(52)x y m x y n x y +=+++，则5221m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得13m n ==，故112()(52)33x y x y x y +=+++，又因1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，所以()()1112,523333x y x y +≥+≥，所以21x y +≥. 故选：A.例14．（2022·全国·高三专题练习）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（） A ．724a b -≤-≤ B ．629a b -≤-≤ C ．629a b ≤-≤ D ．228a b -≤-≤【答案】A 【解析】【分析】先求2b -的范围，再根据不等式的性质，求2a b -的范围. 【详解】因为14b -≤≤，所以822b -≤-≤，由12a ≤≤，得724a b -≤-≤. 故选：A.例15．（2022·全国·高三专题练习）若,x y 满足44x y ππ-<<<，则x y -的取值范围是（）A ．(,0)2π-B ．(,)22ππ-C ．(,0)4π-D ．(),44ππ-【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，求得0x y -<，且22x y ππ-<-<，即可求解.【详解】由x y <，可得0x y -<，又由44y ππ-<<，可得44y ππ-<-<，因为44x ππ-<<，可得22x y ππ-<-<，所以02x y π-<-<，即x y -的取值范围是(,0)2π-.故选：A.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a <－2，3<b <4，则2a b的取值范围为（）A ．(1，3)B ．4934⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．2334⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】A 【解析】【分析】先求出a 2的范围，利用不等式的性质即可求出2a b的范围.【详解】因为－3<a <－2，所以a 2∈(4，9)，而3<b <4，故2a b的取值范围为(1，3)，故选：A ．例17．（2022·江西·二模（文））已知122x y ≤-≤，1231x y -≤+≤，则6x ＋5y 的取值范围为______．【答案】[]1,4- 【解析】【分析】由()652223x y x y x y +=-++结合不等式的性质得出答案. 【详解】解：()652223x y x y x y +=-++，即()()1212223221x y x y +⨯-≤-++≤+⨯ 故6x ＋5y 的取值范围为[]1,4-．故答案为：[]1,4-例18．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13] 【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围. 【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=， ∵f (x )值域为[]0,∞+，∴0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222221111111m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212m n m n m n +++-++=221mn +-∴221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=， ∴222211m n n m +++∈[1,13]. 故答案为：[1,13].例19．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a ，b ，c ，满足a b c >>，且0a b c ++=，那么ca的取值范围是_________．【答案】122c a -<<- 【解析】【分析】根据不等式的性质求得ca的取值范围.【详解】由于a b c >>，且0a b c ++=，所以0,0a c ><，,,2,2cb ac a c a a c a=----<>->-， 1,2,2c a c c a c a -->-><-，所以122c a -<<-. 故答案为：122c a -<<-例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()34f x x ax b =++，当[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则a b +=____________．【答案】-3 【解析】【分析】可以取特殊值112x x =±=±，时，()11f x -≤≤恒成立，从而求出a 和b ﹒【详解】当[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则()11f x -≤≤对任意[]1,1x ∈-恒成立，则112x x =±=±，时，()11f x -≤≤恒成立1141x a b =-≤++≤，①1141141x a b a b =--≤--+≤⇒-≤+-≤，②1111222a xb =-≤++≤，③111111122222a a xb b =--≤--+≤⇒-≤+-≤，④①+②282253a a -≤+≤⇒-≤≤-：③+④21231a a -≤+≤⇒-≤≤： 3a ∴=-，代入①20b -≤≤：代入③02b ≤≤： 0b ∴=，30a b ∴=-=，，3a b ∴+=-﹒证明()343f x x x =-满足题意：()343f x x x =-，则()()2112302f x x f x x ''=-=⇒=±，，由表可知，|f (x )|≤1在[-1，1]上恒成立满足题意﹒故答案为：-3. 【点睛】本题考察恒成立问题，根据函数和区间的特殊性，可取特殊值得到关于a 和b 的不等式组，求出a 和b 的范围，从而确定a 和b 的取值﹒例21．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ，ln b ≥a ，则ba的取值范围是___.【答案】[e ，7] 【解析】【分析】由题意可求得b a≤7；由ln b ≥a 可得b ba lnb ≥（b 12e ≥），设函数f （x ）x lnx =（x 12e ≥），利用其导数可求得f （x ）的极小值，也就是ba的最小值.【详解】∵正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∴5﹣3a ≤4﹣a ， ∴a 12≥. ∵5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∴5a -34b a a ≤≤-1.从而ba≤7， ∵ln b ≥a ，∴b ba lnb≥（b 12e ≥），设f （x ）x lnx =（x 12e ≥），则f ′（x ）21lnx lnx -=（），当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0， ∴当x ＝e 时，f （x ）取到极小值，也是最小值. ∴f （x ）min ＝f （e ）＝e . ∴ba≥e ， ∴ba的取值范围是[e ，7]. 故答案为：[e ，7].例22．（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 均为正实数，且111,,232425abbc ca a bb cc a+++，那么111a b c ++的大值为__________．【答案】4 【解析】【分析】本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可【详解】因为,,a b c 均为正实数，所以由题可得：22203,04,05a b b c a c b bc ac a +++<≤<≤<≤，即1203b a<+≤，1204c b <+≤，1205a c <+≤，三式相加得：1110312a b c ⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭，所以11104a b c <++≤所以111a b c++的最大值为4故答案为：4【方法技巧与总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.题型四：不等式的综合问题例23．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e1b aa b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（）①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④5ln 5a b +<+A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】【分析】①，分析得到,a b <所以1122b a --<正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断2ln(5)2ln(5)a b +<+再构造函数利用导数判断函数的单调性即得解. 【详解】解：①，若02,e e 1,11b aa ab b -+≥∴≤=∴>+，所以矛盾，所以,a b <所以1122b a --<正确； ②，1111b a a b a b a b -<-∴+<+，，设21(1)(1)(),(0),()x x f x x x f x x x +-'=+>∴=，所以当(0,1)x ∈时，函数()f x 单调递减，当(1,+)x ∈∞时，函数()f x 单调递增，因为a b <，所以11a b ab+<+不恒成立，如1151,(),1,(1)2()2222a fb f f ====<，所以该命题错误；③，e e a b a b -<-，设()e ,()e 10,()x x g x x g x g x '=-∴=->∴在(0,)+∞单调递增，因为a b <，所以e e a b a b -<-恒成立，所以该命题正确；④，5ln2ln(5)2ln(5)5a a b b +<⇔+<++设()2ln(5)h x x =+所以2()h x '==所以函数()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 取131,e,(1)e 3e,1b b a b b -==∴+=+ 设()(1)e ,()(2)e 0x x k x x k x x '=+∴=+>，所以()k x 在(0,)+∞单调递增， (1)2e 3e k =<，2(2)3e 3e k =>，所以存在(1,2),(1)e 3e b b b ∈+>，此时2ln(5)2ln(5)a b +>+ 所以该命题错误. 故选：B例24．（2022·江西·临川一中高三期中（文））若实数a ，b 满足65a a b <，则下列选项中一定成立的有（） A ．a b D ．ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先由65a a b <得到0a b <<或0b a <<，再利用不等式的性质、函数的单调性进行判定. 【详解】因为65a a b <，所以655()0a a b a a b --=<，显然0a ≠，所以()0a a b -<，所以00a a b >⎧⎨-<⎩或00a a b <⎧⎨->⎩，即0a b <<或0b a <<；若0a b <<，则a b <，33a b <，0e e 1a b -<=，ln ln10a b ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若0b a <<，则a b >，33a b >，0>e e 1a b -=，ln ln10a b ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；即一定成立的是选项D. 故选：D.例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若m ，n ∈+N ，则下列选项中正确的是（） A ．()()1log 1log 2m m m m ++<+ B ．(n m m n mn ⋅≥C ．()()22sin 1sin 31n n n n n ππ⋅<+⋅>+ D ．1121111n n n n n n n n +++++<++ 【答案】C 【解析】【分析】对于A ，作商比较，对于B ，令1,2m n ==判断，对于C ，利用在单位圆中，内接正n 边形的面积小于内接正()1n +边形的面积判断，对于D ，利用放缩法判断【详解】解：对于A 选项，由于m ，n ∈+N ，故由对数的定义得2,N m m +≥∈，()()1log 10,log 20m m m m ++>+>，所以()()()()211111log 2log 2log log 2log log 12m m m m m m m m m m m m ++++++++⎛⎫=+⋅≤ ⎪+⎝⎭()()()22211log 1log2144m m m m m ++⎡⎤++⎣⎦=<=，所以()()1log 1log 2m m m m ++>+，故A 错误；对于B 选项，令1,2m n ==，则(21122,n m m n mn =⨯==⋅(n m m n mn <⋅B 错误；对于C 选项，因为，在单位圆中，内接正n 边形的面积小于内接正()1n +边形的面积，所以()112π12π11sin 111sin 221n n S n S n n n +=⋅⋅⋅⋅<=+⋅⋅⋅⋅+，故C 正确；对于D 选项，由于112111,111n n n n n n n n n +++++===++，故D 错误．故选：C（多选题）例26．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知0,0a b >>，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（） A ．19ab ≤B ．219a b+≥CD【答案】BCD 【解析】【分析】根据导数的几何意义得21a b +=，再根据基本不等式与柯西不等式可判断出答案. 【详解】设切点为00(,)x y ，因为1e x y -'=，所以01e 1x -=，得01x =，所以122a b +=-，所以21a b +=，对于 A，12a b =+≥18ab ≤，当且仅当11,42a b 时，等号成立，故A 不正确；对于B，212122()(2)55b a a b a b a b a b+=++=++≥+9=，当且仅当13a b ==时，等号成立，故B 正确；对于C=25a =，15b =时，等号成立，故C 正确；对于D，22222(12⎡⎤⎡⎤≤+⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦33(2)22a b =+⋅=，所以，又21a b +=，即12,63a b ==时，等号成立. 故选：BCD（多选题）例27．（2022·辽宁辽阳·二模）已知0a >，0b >，且24a b +=，则（） A ．124a b ->B ．22log log 1a b +≤ C≥D ．412528a b +≥ 【答案】BD 【解析】【分析】由不等式的性质与基本不等式对选项逐一判断【详解】对于A ，02a <<，()()42344,2a b a a a -=--=-∈-，所以12416a b -<<，故A 错误，对于B ，420a b =+≥>，即0<02ab ，()222log log log 1a b ab +=≤，故B 正确，对于C，228a b =++≤C 错误，对于D，4122171725288488a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当825a b ==时，等号成立，故D 正确．故选：BD（多选题）例28．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（） A ．1ab ≤ B ．2a b +≥ C ．1a b -> D ．3a b -<【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断. 【详解】对于A ，由3ab a b ++= ，a b +≥，当且仅当a b = 时等号成立，3ab ∴+≤ ，)310≤ ，1ab ∴≤ ，当且仅当1a b == 时等号成立，故A 正确；对于B ，由3ab a b ++=，得()()4114,11a b b a ++=∴+=+ ，由基本不等式得)44(1)(1)2122211a b a b a a a +=+++-=++-≥-=++ ，当且仅当a=b =1时成立；故B 正确；对于C ，若1,1,a b == 满足3ab a b ++=，01a b -=＜，故C 错误；对于D ，∵3ab a b ++=，∴3ab a b a b =+++＞，由B 的结论得23a b ≤+＜，()()()()222949439a b a b ab a b a b --=+--=+--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2421730a b a b a b a b =+++-=+++-＜，()29,3a b a b ∴--＜＜，故D 正确；故选：ABD.例29．（2022·全国·高三专题练习）若x ，y R ∈，设2223M x xy y x y =-+-+，则M 的最小值为__．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】将M 化简可得2211224M x y y ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，由此即可求出结果.【详解】因为()()2222221121321344M x y x y y x y x y y y y y y ⎡⎤=-+++=-++++++---⎢⎥⎣⎦221112244x y y ⎛⎫=--+-≥- ⎪⎝⎭．当且仅当0y =，12x =时取等号．所以M 的最小值为14-．故答案为：14-．例30.（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论： ①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【答案】①④ 【解析】【分析】利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x ＝0、y ＝2log 3可判断②，取特殊值y ＝12可判断③．【详解】对于①，∵20,20x y >>，∴由224x y +=得，422x y =+≥即4≥，解得2x y +≤(当且仅当1x y ==时取等号)，故①一定成立；对于②，当20,log x y ==3时，224x y +=成立，但1xy ≥不成立，故②不一定成立；对于③，当12y =时，由224x y +=得24x =则132343022xy +-=-=>，即23x y +>，故③不一定成立；④将224x y +=两边平方得144216x y x y ++++=， ∴144162x y x y +++=-，由①可知：131********x y x y x y x y +++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-11621688x y ++⇒-≥-=，∴448x y +≥，当且仅当1x y ==时取等号，因此④一定成立﹒ 故答案为：①④﹒ 【点睛】本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒【过关测试】一、单选题 1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为(0)b a b >>，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则（） A ．2a bv +=B．v =C2a bv +< D．b v <<【答案】D 【解析】【分析】平均速度等于总路程除以总时间【详解】设从甲地到乙地的的路程为s ，从甲地到乙地的时间为t 1，从乙地到甲地的时间为t 2，则 1s t a=，2s t b =，1222211s s v s s t t a b a b===+++，∴221111v ba bb b=>=++，2211ab v a b a b==<=++ 故选:D.2．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知0a b <<，则（） A ．110->a bB ．sin sin 0a b ->C ．0a b -<D ．ln()ln()0a b -+->【答案】A 【解析】【分析】利用特殊值法，结合已知逐一判断即可. 【详解】因为0a b <<，所以110b aa b ab--=>，选项A 正确；当2π,πa b =-=-时，显然满足0a b <<，但sin sin 0a b -=，选项B 不正确；当2π,πa b =-=-时，显然满足0a b <<，但0a b ->，选项C 不正确；当1,123a b =-=-时，显然满足0a b <<，但是ln()ln()0a b -+-<，选项D 不正确，故选：A3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若a b <，则下列结论正确的是（） A ．330a b -> B ．22a b < C ．()ln 0a b -> D ．a b <【答案】B 【解析】【分析】对于A 、B ，构造函数，借助函数单调性比大小；对于C ， ()ln a b -没有意义；对于D ，取特值判断. 【详解】对于A ，构造函数3()f x x =，因为3()f x x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，33a b ∴<，330a b ∴-<，故A 答案不对；对于B ，构造函数()2x f x =，因为()2x f x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，22a b ∴<，故B 答案正确；对于C ，a b <，()ln a b ∴-没有意义，故C 答案不对；对于D ，取=11a b ，-=时，=a b ，故D 答案不对；故选：B.4．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a bC ．22lg lg a b > D ．33a b >【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，由11b aa b ab--=，因为a b >，可得0b a -<，当ab 不确定，所以A 错误；对于B 中，只有当0,0,a b a b >>，不相等时，才有a b +>B 错误；对于C 中，例如1,2a b ==-，此时满足a b >，但22lg lg a b <，所以C 错误；对于D 中，由不等式的基本性质，当a b >时，可得33a b >成立，所以D 正确. 故选：D.5．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【答案】D 【解析】【分析】对于A ，B ，C 可以取特殊值验证，对于D ，根据题意得330a b >>，3333a b b b --+>+，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2b a =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332b a b b --≥+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D.6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知0a >，0b >，22a b m +=，则以下正确的是( ) A ．若1m =，则1a b + B ．若1m =，则331a b + C ．若2m =，则2a b +> D ．若2m =，则332a b +【答案】D 【解析】【分析】A ：取特例a b ==B ：求出01a <<，01b <<，根据幂函数在(0，1)之间的性质即可判断；C ：根据不等关系2222a b a b ++ D ：构造33222()(())a b a b a b ++-+并判断其范围，表示出33+a b ，结合C 项范围即可判断. 【详解】A ：若221a b +=，取a b ==1a b +，故A 错误； B ：若221a b +=，则01a <<，01b <<，∴33221a b a b +<+=，故B 错误； C ：当222a b +=时，∵222a bab +，∴()222222a ba b ab +++，∴222()24a b a b ++，∴221222a b a b a b ++=⇒+，故C 错误；D ：当222a b +=时，3322233222()(()2()0)a b a b a b a b b a a b ab a b ++-+=+-=-， 22233()4a b a ba b a b+∴+=++，由C 知，2a b +，42a b∴+，332a b ∴+，故D 正确. 故选：D.7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（） ①a b < ②11a b a b+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】【分析】求出a 、b 的值，比较a 、b 的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为32a =，53b =，则3log 2a =，5log 3b =.对于①，3223<，则2323<，从而2333320log 1log 2log 33a =<=<=，3235>，则2335>，则235552log 5log 3log 513b =<=<=，即2013a b <<<<，①对；对于②，()()()11111a b ab a b a b a b a b ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为2013a b <<<<，则0a b -<，01ab <<，所以，11a b a b+>+，②错；对于③，355522log 2log 32log 2log 4ab =⋅==，所以，355353542log 2log 3log 4log 2log log log 03a b ab +-=+-=->，所以，2a b ab +>，③错；对于④，构造函数()ln x f x x =，其中0e x <<，则()21ln xf x x -'=. 当0e x <<时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,e 上单调递增，因为01a b <<<，则()()f a f b <，即ln ln a ba b<，可得b a a b <，所以，b a a a b b +<+，④对. 故选：B.8．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b为等比数列，则下列不等式一定成立的是（） A ．1423b b b b +≤+ B ．4132b b b b ≤-- C ．3124a a a a ≥ D ．3124a a a a ≤【答案】D 【解析】【分析】对选项A ，令112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可检验；对选项B ，令2nn b =即可检验；对选项C ，令n a n =即可检验；对选项D ，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可. 【详解】若112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则12341111,,,248b b b b ==-==-可得：14237184b b b b +=>=-+，故选项A 错误；若2nn b =，则12342,4,8,16b b b b ====可得：4132144b b b b -=>-=，故选项B 错误；若n a n =，则12341,2,3,4a a a a ==== 可得：124346a a a a =<=，故选项C 错误；不妨设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则有：()112411133a a a a d a a d =+=+()()22311121223a d a d a d a a d a =++=++则有：4223120a a a a d -=≥，故选项D 正确故选：D 二、多选题9．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b ab+<+ D ．11a b a b+>+ 【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，利用()()1110a b ab a b --=+--<作出判断；B 选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD 选项，用作差法求解.由于两个不相等的正实数a 和b ，满足1ab >，所以a 和b 可取一个比1大，一个比1小，即()()1110a b ab a b --=+--<，故1ab a b +<+，A 错误；由题意得：2a b +>>，所以()2log 1a b +>，B 正确；()111111a b a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，但不知道a 和b 的大小关系，故当a b >时，11a b a b+>+，当a b <时，11a b a b +<+，C 错误；()1111a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，0a b +>，所以()11110a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11a b a b+>+，D 正确. 故选：BD10．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论正确的是（） A ．2ab b > B ．ac bc <C ．11a c> D ．1a cb c->- 【答案】BCD 【解析】【分析】根据不等式的基本性质依次判断选项即可. 【详解】A ：由a b c >>且0a b c ++=，可知a >0，c <0，b 的值不确定，故由a b >，不能推出2ab b >，故A 错误；B ：由0a b c ><，，得ac bc <，故B 正确；C ：由于0a >，0c <，得11a c>，故C 正确； D ：由a b c >>得0a c b c ->->.所以1a cb c->-，故D 正确，故选：BCD.11．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1,01a b c >><<，则下列不等式一定成立的有（） A ．()()c c a c b c -<- B ．log (1)log (1)a b c c +<+ C ．log log 2a c c a +≥ D ．22224a c b c c >>【答案】BD 【解析】对于A ，利用幂函数的性质判断，对于BC ，利用对数函数的性质判断，对于D ，利用不等式的性质分析判断【详解】对于A ，因为01c <<，所以c y x =在(0,)+∞上单调递增，因为,01a b c c >><<，所以0a c b c ->->，所以()()cca cbc ->-，所以A 错误，对于B ，因为1a b >>，所以当1x >时，log log a b x x <，因为01c <<，所以11c +>，所以log (1)log (1)a b c c +<+，所以B 正确，对于C ，因为1,01a b c >><<，所以log 0,log 0a c c a <<，所以log log 0a c c a +<，所以C 错误，对于D ，因为1,01a b c >><<，所以22210a b c >>>>，所以22224a c b c c >>，所以D 正确，故选：BD12．（2022·河北保定·一模）已知a 、b 分别是方程20x x +=，30x x +=的两个实数根，则下列选项中正确的是（）. A ．10b a -<<< B ．10a b -<<< C ．33a b b a ⋅<⋅ D ．22b a a b ⋅<⋅【答案】BD 【解析】【分析】在同一直角坐标系中画出2,3,x x y y y x ===-的图象，可判断AB ，然后结合不等式的性质可判断CD. 【详解】函数2,3,x x y y y x ===-在同一坐标系中的图象如下：所以10a b -<<<，所以22,33,0a b a b b a<<<-<-所以()()22,33a b a bb a b a -⋅<-⋅-⋅<-⋅所以22b a a b ⋅<⋅，33a b b a ⋅⋅> 故选：BD 三、填空题13．（2022·四川泸州·三模（文））已知x ，R y ∈，满足224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +<；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．【答案】①④ 【解析】【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可. 【详解】①：因为224x y +=，所以有4222422x y x y x y +=+≥≥≥⇒+≤，故本结论一定成立； ②：当20,log 3x y ==时，显然224x y +=成立，但是1xy ≥不成立，故本结论不一定成立； ③：当1x y ==时，显然224x y +=成立，但是23x y +<不成立，故本结论不一定成立； ④：因为224x y +=，所以114421644162x y x y x y x y ++++++=⇒+=-，由①可知： 1311213228281621688x y x y x y x y x y +++++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-⇒-≥-=，所以448x y +≥，因此本结论一定成立，故答案为：①④14．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数x 、y 满足223x y -≤+≤，220x y -≤-≤，则34x y -的取值范围为______．【答案】[7,2]- 【解析】【分析】设34(2)(2)x y m x y n x y -=++-，利用待定系数法求出,m n 的值，然后根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：设34(2)(2)x y m x y n x y -=++-，则2324m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩，所以34(2)x y x y -=-++2(2)x y -，因为223x y -≤+≤，220x y -≤-≤，所以3(2)2x y -≤-+≤，42(2)0x y -≤-≤，所以7342x y -≤-≤，故答案为：[7,2]-.15．（2022·全国·高三专题练习）如果a >b ，给出下列不等式：①11a b<；②a 3>b 32ac 2>2bc 2；⑤ab >1；⑥a 2＋b 2＋1>ab ＋a ＋b .其中一定成立的不等式的序号是________．【答案】②⑥ 【解析】【分析】对,a b 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立. 【详解】令1,1a b ==-，11a b>=11a b =-<，排除⑤.当0c 时，排除④.由于幂函数3y x =为R 上的递增函数，故33a b >，②是一定成立的.由于()()()()22222111102a b ab a b a b a b ⎡⎤++-++=-+-+->⎣⎦，故221a b ab a b ++>++.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥. 【点睛】本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的,a b 举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.16．（2022·全国·高三专题练习）设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______.【答案】12 【解析】利用方程组形式，可得()223nm x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求得,m n 后结合不等式性质即可求得3x y 的最小值. 【详解】设()223nm x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即322m n m n xy x y -+-=⋅所以2123m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩所以()2123x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭因为238xy ≤≤，249x y≤≤，所以()121183xy-≤≤ 由不等式性质可知()212132x xy y -⎛⎫≤⋅≤ ⎪⎝⎭即3132x y ≤≤，当且仅当()212418x yxy -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，解得74552,2x y ==. 综上可知，3x y的最小值为12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知1a >，1b >，2222,1111a b b a M N a b a b =+=+----．（1）试比较M 与N 的大小，并证明；（2）分别求M ，N 的最小值．【答案】（1）M N ≤；证明见解析；（2） M ，N 的最小值都是8．【解析】【分析】（1）利用作差比较法，得到2()()0(1)(1)a b a b M N a b -+-=-≤--，即可求解；（2）化简1111411a b a M b =-++-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）M 与N 的大小为M N ≤，证明：由22222()()1111(1)(1)a b b a a b a b M N a a b b a b -+-=-+-=-------，因为1a >，1b >，所以0a b +>，10a ->，10b ->，2()0a b -≥，所以2()()0(1)(1)a b a b a b -+-≤--，所以M N ≤. （2）因为2222[(1)1][(1)1]1111a b a b M a b a b -+-+=+=+----111144811a b a b =-++-++≥=--，当2a b ==时取等号，又由（1）N M ≥，所以M ，N 的最小值都是8．18．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b 均为正实数.试比较33+a b 与22a b ab +的大小；（2）已知a ≠1且a ∈R ，试比较11a-与1a +的大小. 【答案】（1）33+a b ≥22a b ab +；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）将目标代数式作差得2()()a b a b -+，即可知大小关系；（2）利用“作差法”有21(1)11a a a a-+=--，对a 分类讨论即可判断大小. 【详解】（1）∵a ，b 均为正实数，∴332222222()()()()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +-+=---=--=-+≥，即33+a b ≥22a b ab +. （2）由21(1)11a a a a-+=--. ①当a =0时，21a a=-0，则11a =-1a +； ②当a <1且a ≠0时，21a a >-0，则11a >-1a +； ③当a >1时，21a a<-0，则11a <-1a +. 综上，当a =0时，11a =-1a +；当a <1且a ≠0时，11a >-1a +；当a >1时，11a<-1a +. 19．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①0ab >；②c da b>；③bc ad >，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明. 【答案】可组成3个正确命题，证明见解析. 【解析】【分析】根据不等式的性质逐个分析每个命题的真假即可. 【详解】（1）对②变形：0c d bc ad a b ab->⇔>，由0,ab bc ad >>得②成立，∴①③⇒②.。

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A．208B．212
C．216D．220
6．设等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn.若a1＝d＝1，则的最小值为( )
A．10B.
C. D. ＋2
7．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋ <t，则实数t的取值范围为( )
A. B.
C. D.
15．对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12n}的通项公式为an＝－n2＋12n－32，其前n项和为Sn，则对任意m，n∈N*(m<n),Sn－Sm的最大值为________．
6．解析：选B.由已知得＝＝＋＋ ≥2 ＋＝，当且仅当n＝4时“＝”成立．
7．解析：选D.依题意得，当n≥2时，an＝＝＝2n2－(n－1)2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，＝＝ × ，即数列是以为首项，为公比的等比数列，等比数列的前n项和等于＝ < ，因此实数t的取值范围是 .
3．解析：选D.因为等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋ d，所以S1，S2，S4分别为a1，2a1－1，4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解得a1＝－ .
4．解析：选C.因为2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，所以2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝n－1(n≥2)，两式相减得2nan＝1(n≥2)，a1＝也满足上式，故an＝，
17．已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0，6Sn＝a ＋3an，n∈N*,bn＝，若任意n∈N*，k>Tn恒成立，则k的最小值是________．
小题专题练(三)
1．解析：选B.数列{an}递减⇒an<an－1.反之不成立，例如an＝，此数列是摆动数列．故选B.
2．解析：选B.设数列{an}的公比为q，依题意得＝＝q3，因此q＝ .注意到a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)，即有S8－S4＝q4S4，因此S8＝(q4＋1)S4，＝q4＋1＝，选B.
8．若数列{an}对于任意的正整数n满足：an＞0且anan＋1＝n＋1，则称数列{an}为“积增数列”．已知“积增数列”{an}中，a1＝1，数列{a ＋a }的前n项和为Sn，则对于任意的正整数n，有( )
A．Sn≤2n2＋3B．Sn≥n2＋4n
C．Sn≤n2＋4nD．Sn≥n2＋3n
9．已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于( )
A．20B．17
C．19D．21
10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝a －an＋1(n∈N*)，则m＝＋＋…＋的整数部分是( )
A．1B．2
C．3D．4
11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝5，a5＝3，则an＝________，S7＝________．
12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，则a4＝________，S5＝________．
8．解析：选D.因为an＞0，所以a ＋a ≥2anan＋1.因为anan＋1＝n＋1，所以{anan＋1}的前n项和为2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝＝，所以数列{a ＋a }的前n项和Sn≥2× ＝(n＋3)n＝n2＋3n.
9．解析：选C.因为a9＋3a11<0，所以由等差数列的性质可得a9＋3a11＝a9＋a11＋2a11＝a9＋a11＋a10＋a12＝2(a11＋a10)<0，
又a10·a11<0，所以a10和a11异号，
又因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，
所以数列{an}是递减的等差数列，所以a10>0，a11<0，
所以S19＝＝＝19a10>0，
所以S20＝＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)<0，
A．2B．－2
C. D．－
4．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，数列的前n项和为Sn，则S1·S2·S3·…·S10＝( )
A. B.
C. D.
5.
如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)＝x＋ (x>0)的图象上，若点Bn的坐标为(n，0)(n≥2，n∈N*)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2＋a3＋…＋a10＝( )
13．已知等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.设{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn.若n2(Tn＋1)＝2nSn，n∈N*，则d＝________，q＝________．
14．已知数列{an}满足(n＋2)an＋1＝nan，a1＝1，则an＝________；若bn＝ an，Tn为数列{bn}的前n项和，则T3＝________．
小题专题练(三) 数列
1．无穷等比数列{an}中，“a1>a2”是“数列{an}为递减数列”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为( )
A. B.
C．2D．17
3．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为( )
故＝＝－，
Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，
所以S1·S2·S3·…·S10＝ × × ×…× × ＝，故选C.
5．解析：选C.由题意得|AnDn|＝|BnCn|＝n＋，设点Dn的坐标为，则有x＋＝n＋，得x＝ (x＝n舍去)，即An ，则|AnBn|＝n－，所以矩形的周长为an＝2(|AnBn|＋|BnCn|)＝2 ＋2 ＝4n，则a2＋a3＋…＋a10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216.