高数下册积分重点

微积分下册常见六种积分考试重点

二重积分、三重积分

第一型曲线积分、曲面积分

第二型曲线积分、曲面积分

二重积分 二重积分

二重积分/累次积分⎰⎰D

d y x f σ),(

1）⎰⎰D 在有界闭区域D 上进行积分的积分符号；D Oxy 平面上的有界闭区域，积分区域；

f (x,y ) 被积函数（其在D 上连续才可积），比如可以是区域D 的密度大小，也可以表示底面是D 的曲顶柱体的高。

2）d σ Oxy 平面上微小区域面积，面积元素（d 微分；σ D 中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。

3）微小面质量=微小面密度×微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高×微小曲顶柱体底面长度；f (x,y )d σ 微小面质量或者微小面积，被积表达式。

4）σd y x f D

⎰⎰),( 曲面D 的质量，曲顶柱体面积。此处应注意：f (x,y )>0时，二重积分积分

的现实意义才成立。

5）的面积。即为时，注意：当D D d y x f y x f D )(),(1),(σσ=≡⎰⎰

6）二重积分的计算：化二重积分为二次积分

{}{}⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰=≤≤≤≤==≤≤≤≤==)()

(21)()(212121),(),(,),()(),(),(),(,),()(),()1y x y x b a D x y x y b a D dx y x f dy d y x f b y a y x x y x y x D dy y x f dx d y x f b x a x y y x y y x D dxdy

d σσσ当当型域条件下， {}⎰⎰⎰⎰⎰⎰==≤≤≤≤=⎩⎨⎧===⨯=)()

(2121)sin ,cos ()sin ,cos (),(),()(),(,sin cos )2x r x r D D rdr

r r f d dr rd r r f d y x f r r r r D r y r x dr

rd dr rd d θθθθθθσβθαθθθθθθθσβα极坐标条件下， ⎰⎰⎰⎰'=≠∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂='→⎩⎨⎧===D D dudv

J v u y v u x f d y x f v

y u y

v x u x

v u y x J D D v u y y v u x x D dudv

J d )),(),,((),(0),(),(,,),(),()3σσ令对于区域换元条件下，

三重积分dV

z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(

1）⎰⎰⎰Ω在有界闭区域Ω上进行积分的积分符号；Ω Oxyz 空间中的有界闭区域，积分区域，

代表一几何体；f (x,y,z ) 被积函数（其在Ω上连续才可积），可以是区域Ω的密度大小。

2）dV Oxyz 空间中微小区域体积，体积元素（d 微分，V Ω中的微小几何体）。

3）微小体质量=微小体密度×微小体积；f (x,y,z )dV 微小体质量，被积表达式。

4）⎰⎰⎰Ω

dV z y x f ),,( 几何体Ω的质量。此处应注意：f (x,y,z )>0时，三重积分积分的现实

三重积分 三重积分 意义才成立。

5）的体积。即为时，注意：当ΩΩ=≡⎰⎰⎰Ω

)(),,(1),,(V dV z y x f z y x f

6）三重积分的计算：化三重积分为三次积分

{}公式应当做相应调整型域型域或者型域，若是是注：此处上的投影

在是，其中）先一后二

,),

,(]),,([),,(),(),,(),(),,(1)

,(),(),(),(212

121xz yz xy dz z y x f d d dz z y x f dV z y x f Oxy D

D y x y x z z y x z z y x y x z y x z D y x z y x z D xy xy xy

xy Ω==Ω∈≤≤=Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωσ

σ

{}{}

。

及公式应当做相应调整型域，型域或者型域，若是是另外，整。

型域，公式应做相应调型域，若是是注：此处）三管齐下

xy xy y x z y x z x y x y b a xy xy D xz yz xy y x D dz z y x f dy dx dV z y x f b x a x y y x y y x D D y x y x z z y x z z y x Ω=≤≤≤≤=∈≤≤=Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω),(),()()(21212121),,

(),,(),()(),(),(),,(),(),,(2 {}公式应做相应调整

取定，或者取定，另外，若对中已将注：所得区域的平面截闭区域是，其中）先二后一

z z D b a z z D y x z D dxdy

z y x f dz dV z y x f z z D b z a D y x z y x z

⎰⎰⎰⎰⎰⎰=

Ω=≤≤∈=ΩΩ),,(),,(,),(),,(3 ),(),,(21),sin ,cos (),,(,sin cos

sin cos ,,])2,0[,0)(,,(),,()4220

000202200z y x z y x f z drdz

rd z r r f dV z y x f drdz

rd dV z z r y r x y

x x z r y x z r r r x Oxy M P z M r r z r z y x M +Ω==⎪⎩

⎪⎨⎧===Ω=

==+=>

=<∈≥→⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩϕθθθθθθθ

θθθθθπθθ可化成）其部分，（轴为旋转轴的旋转体或是以）（积分的最佳条件

利用球面坐标计算三重令对于区域的平面，方程轴正向夹角为轴与代表过；

方程轴为旋转轴轴的柱面，以代表半径为轴正向面上的投影，在是轴的距离，到代表点柱面坐标O P