5.4 反常积分

x → −∞
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
∫a
+∞
f ( x ) dx = F ( x )
= F (+∞ ) − F (a ) = F (b) − F (−∞ ) = F (+∞) − F (−∞)
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∫−∞ f ( x) dx = F ( x) ∫−∞ f ( x) dx = F ( x)
+∞
∫
+∞
a
f ( x)dx = lim
u →+∞ a
∫
u
f ( x)dx.
4
例1. 求曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积。 解： 面积的含义可理解为Βιβλιοθήκη A=∫+ ∞ dx
1 y= 2 x
A
b
1
x
2 b
1 dx A = lim ∫ 2 = lim − b → + ∞ x 1 b→ +∞ 1 x 1 = lim 1 − = 1 b → + ∞ b
u →+∞ a
lim
∫
u
f ( x)dx = J ,
(1)
则称此极限J为函数 f ( x)在 [a, +∞) 上的无穷限反常积分 (简称无穷积分), 记作
并称
∫
+∞
J =∫
+∞
a
f ( x)dx,
+∞
a
f ( x)dx, 收敛.
如果极限(1)不存在, 称 即：
∫
+∞
∫
a
f ( x)dx 发散.
a
f ( x)dx = lim
u →+∞ a
∫
u
f ( x)dx
2
类似地,可定义:
f ( x) 在 ( −∞, b] 的无穷积分:
∫
+∞
b
−∞
f ( x )dx = lim
u →−∞ u
∫
b
f ( x )dx.
f ( x) 在 (−∞, +∞) 上的无穷积分, 则定义为:
f ( x )dx ∫ ∫=
−∞
c
−∞
f ( x )dx + ∫
分别讨论每一区间上的反常积分.
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(3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为
v.p.∫
+∞ −∞ b
f ( x) dx = lim
f ( x ) dx ∫ a→ +∞ −a
a
v.p.∫ f ( x) dx (c 为瑕点, a < c < b)
a
c −ε b f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = lim+ ∫ c +ε a ε →0
注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下 反常积分收敛 .
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例题 试证
解:
∫0
+∞
dx x =∫ d x , 并求其值 . 4 4 0 1+ x 1+ x
+∞
2
令t=1 x
1 1 ∫+∞ 1 + 14 (− t 2 ) d t
0 t
=∫
∴
+∞
0
t2 dt 4 1+ t
∫0
+∞
2 +∞ x dx 1 +∞ d x d = + x ∫ ∫ 4 4 4 0 1+ x 2 0 1+ x 1+ x
因此这两个无穷积分都收敛． 故
a +∞ dx dx dx ∫−∞ 1 + x 2 = ∫−∞ 1 + x 2 + ∫a 1 + x 2 =π . +∞
注: 上述结果与 a 无关，因此若取 a = 0, 则可使计算过程更简洁些．
7
引入记号
F (+∞) = lim F ( x) ;
x→ +∞
F (−∞) = lim F ( x)
1
b
5
例2. 证明第一类 p 积分 时发散 . 证: 当 p =1 时有
当 p >1 时收敛 ; p≤1
= [ ln x
当 p ≠ 1 时有
]
+∞ a
= +∞
+ ∞ , p <1
a 1− p , p >1 p −1
x = a 1− p
1− p
+∞
a 1− p 因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为 ; p −1 当 p≤1 时, 广义常积分发散 .
16
例9. 证明反常积分 时发散 . 证 : 当 q = 1 时, 当 q≠1 时
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
b [ ] = ln x − a + a
= +∞
( x − a) = 1− q
1− q
(b − a )1− q , b = 1− q + a +∞,
+∞, 1 , p −1 ( p − 1) a
p ≤1 p >1
+∞,
q ≥1
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说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 . 例如 ,
=∫
1 1 x2 0 x2 + 1 x2
0
1+
dt = ∫
1
d( x − 1 ) x +2
0 ( x − 1)2 x
dt =∫ −∞ 2 + t 2 (2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,
可相消吗?
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例7. 计算反常积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 − a x π 原式 = arcsin = arcsin 1 = a 0 2 例8. 讨论反常积分 的收敛性 .
0−
0 dx 1 dx 1 1 1 下述解法是否正确 : = ∫ 2 +∫ 2 = − + − =∞ 解: + −1 x 0x x x 0 1 dx −1 11 ∫ 2 = − = − 1 − 1 = − 2 , ∴积分收敛 −1 x −1 所以反常积分 x 发散 .
q <1 q >1
(b − a )1− q ; 所以当 q < 1 时, 该反常积分收敛 , 其值为 1− q 当 q ≥ 1 时, 该反常积分发散 .
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3 ( x + 1) 2 ( x − 1) f ′( x ) 例10. 设 f ( x ) = , 求 I =∫ d x. 3 2 −1 1 + f ( x ) x ( x − 2)
3 0− 2− = [ arctan f ( x ) ] + [ arctan f ( x )] + + [ arctan f ( x )] + 2 0 −1
− ] 2
π
32 − ] = arctan − 2π 2 27 18
π
内容小结
1.反常积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限
2. 两个重要的反常积分
6
dx . 例3. 讨论下列无穷积分的收敛性：∫−∞ 2 1+ x
+∞
解: 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分：
+∞ dx dx ∫−∞ 1 + x 2 和 ∫a 1 + x 2 . a dx π = lim (arctan a − arctan u ) =arctan a + , 由于 ulim →−∞ ∫u 1 + x 2 u →−∞ 2 +∞ dx π lim lim (arctan u − arctan a) = = − arctan a, u →+∞ ∫a 1 + x 2 u →+∞ 2 a
1 = 2 p
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2. 无界函数的反常积分 引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 y 开口曲边梯形的面积可记作 所围成的
1 y= x
其含义可理解为 1 dx 1 A = lim ∫ = x lim 2 ε ε → 0+ ε x ε → 0+
A
= lim 2(1 − ε ) = 2
ε → 0+
0ε
1 +∞ 1 + x 2 = ∫ dx 4 2 0 1+ x
22
1 = ∫ 2
1 +1 +∞ x 2 1 + x2 0 x2
dx
1 1 +∞ 1 = ∫ d (x − ) 2 x 2 0 (x − 1) + 2
x
=
1 2 2
arctan
x−1 x 2
+∞ 0+
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II. 无穷积分的性质与收敛判别法 一、无穷积分的性质
∫
+∞
a
f ( x)dx = lim
u →+∞ a
∫
u
f ( x)dx
+∞ a
记 F (u ) = ∫a f ( x)dx 则有
u
∫
f ( x)dx = lim F (u ).
u →+∞
数列极限的柯西收敛准则: {an } 收敛 ∀ε > 0, ∃N ∈ N + , ∀n, m > N : | an − am |< ε . 函数当自变量趋于正无穷时的柯西收敛准则:
3.分部积分公式：∫ udv = uv | − ∫ vdu
a b a a