南昌大学数学物理方法期末考试试卷2011A卷答案

南昌大学2011学年第二学期期末考试试卷

三、偏微分方程求解题 (共24 分)

1. 求解波动方程)(0+∞<<-∞=-x u u xx tt 满足

初始条件 x x u x u t t

t cos ,20

0====的定解问题。 (本小题 10 分)

解： 由达朗贝尔公式可得

)2()sin()sin()cos()()cos()()]sin()()sin()[(2

1

)

2(cos |cos )]

sin()()sin()[(21

)

2(sin |sin 2

1)

4(cos 21)]()[(21222222

分分分分t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x x d t x t x t x t x x d x d t x t x u t x t

x t

x t x t x t x t

x t x t x t x -++----+++---+++

=-+---+++=-+=+-++=⎰

⎰⎰+-+-+-+=-=+-ξξξξξξξξξξξξξξ

2. (1) 已知矩形区域ππ≤≤≤≤y x 0,0上的拉普拉斯方程

⎩⎨⎧==<<<<=+==;0| ,0|);0 ,0(

,00

πππx x yy xx u u y x u u 试导出其一般解为

nx e B e

A y x u n ny n ny

n

sin )() ,(1

∑∞

=-+=

，

其中n A 和n B 是只与n 有关的系数。 (9分)

(2) 利用(1)的结果求解泊松方程

⎪⎩⎪

⎨⎧==-==<<<<=+====.

cos sin |,0|;sin | |);0 ,0( sin 0

0x x u u y u u y x y u u y y x x yy xx ππππ 提示：寻找泛定方程的一个特解,v 使得经变换w v u +=后所得w 的泛定方程和第一组边值都是齐次的。(5分)

(1) 证明： 设有试探解)()(y Y x X u =，(1分) 代入泛定方程和齐次边界条件

⎩⎨

⎧===+0)()0(0

''πλX X X X .0''=-Y Y λ (1分)

求解本征值问题，得本征值),3,2,1(2

==n n

λ 本征函数),3,2,1(sin )( ==n nx

C x X (4分) 再解Y 的微分方程得ny ny

Be Ae

y Y -+=)( (2分)

所以，一般解为

nx e B e A y x u n ny

n ny n sin )() ,(1

∑∞

=-+=

(1分)

（2）解：特解,sin y v -= (1分) 变换w v u +=使

⎪⎩⎪

⎨⎧====<<<<=+====.

cos sin |,0|;0| |);0 ,0(

00

0x x w w w w y x w w y y x x yy xx ππππ (1分) 由（1）得满足w 的齐次泛定方程和第一组齐次边值的解为

nx e B e A w n ny

n ny n sin )(1∑∞

=-+= (1分) 因为上述解还满足第二组边界条件，于是

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∑∞

=-x nx e B e A B A n n n n n

n n 2sin 21sin )( 01

ππ

即).2(0,)

(21

2222≠==-=-=-n B A e e B A n n π

π

(1分) 最后，得解

.2sin )()

(21sin ) ,(2222x e e e e y y x u y

y ----+-=π

π (1分)