新高一数学衔接讲义讲义系列一(完整资料)
高一数学讲义1
高一数学讲义第一章：集合第一节：集合的概念和表示方法：知识点一：元素与集合的概念一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合。
说明：1、集合是一个整体2、构成集合的对象必须是确定的。
典型例题1：判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数（2）我国的小河流巩固练习:下列各组对象中，能组成集合的有。
（1）所有的好人；（2）平面上的到原点的距离等于2的点；（3）正三角形（4）不等式x+1>0的实数解；知识点二：元素的特征与集合相等：1、元素的特征：2、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如，集合{-1，1}与集合{1，-1}是相等的。
典型例题：判断下列各组中的两个集合是否相等。
（1）{3，4}和{4,3}；（2）{7,2}和{7,2}（3）{y|y=x²，x∈R}和{x| y=x²，x∈R};知识点三：元素与集合的关系我们通常用大写拉丁字母A,B,C，…表示集合，用小写的拉丁字母a,b，c…表示集合中的元素。
知识点四：常用的数集及其记法：注意：（1）通常情况下，上面的大写英文字母不再表示其他的集合；（2）0是最小的自然数（3）对于常用数集的记法要做到范围明确，即明确各数集符号所包含的元素，记忆准确，并且书写要规范。
典型例题：1、用符号∈和∉填空；（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国A, 美国 A印度A, 英国 A(2)若A={x|x²=x},则-1 A（3）若B={x|x²+x-6=0},则3 B(3)若C={x∈N|1≤x≤10}，则8 C，9.1 C巩固练习：用符号∈和∉填空；（1）√2+√5{x|x≤2+√3}（2）3 {x|x=n²+1，n∈N}y=3+√2π，M={m|m=a+b√2,a∈Q，b∈Q}，（3）x=3−5√2则x M,y M知识点五：集合的表示方法：（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法；（2）列表法：把集合的元素一一列举出来，并用“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。
高一数学暑期预科-初高衔接课讲义
新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
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第1讲数与式910+⨯2(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。
记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B例2.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1){},,,a b c d {},a b ； (2) ∅{}1,2,3； (3) N Q ；(4) 0R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x <<{}|06x x <． 例3.写出集合｛a ，b ｝的所有子集，例4.说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝． （2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． （3）N ，N*．例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为______【典型例题—2】韦恩图：【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B=∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．【典型例题—5】空集【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅2、空集是任何集合的子集。
2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第1讲 方程的进阶——韦达定理(学生版)
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例2. 0519998081999
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2=++=+-b b a a 及已知，求b
a
的值．
【巩固练习】
1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求b
a
a b +的值
2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且b
a a
b ab 1
4,1++≠求的值．
3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．
当堂检测
1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，
则p 、q 的值分别等于 ．
2．在R t △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程
0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ．
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
同学们，今天我们学习了韦达定理，大家尝试一下借助韦达定理解下面这道题：
已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m-1)x＋m2=0的两个非零实数根，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．。
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第1讲数与式910+⨯2(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念｝，Q＝｛-1，例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B=∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．第6讲集合的基本运算知识点二、交集【内容概述】1、交集的定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫做A 与B 的交集.数学语言表述为B A ，},|{B x A x x B A ∈∈=且 .2、交集的运算必须掌握的几条性质：（1）A B B A =；（2）B B A A B A ⊆⊆ ,；（3）∅=∅=∅=A A A A A ,；（4）A B A B A =⇔⊆ ；（5）)()(C B A C B A =.【典型例题】例3.设}6,5,3,1{},4,3,1{},3,2,1{===C B A ,求)(,)(C B A C B A .变式1：已知集合},019|{22为常数a a ax x x A =-+-=，}065|{2=+-=x x x B ， }082|{2=-+=x x x C ，求当a 为何值时，∅≠B A 与∅=C A 同时成立.变式2：已知集合}9,1,5{},,12,0{2a a B a a A --=-=分别符合下列条件的a 的值.（1）B A ∈9； （2）{}B A =9.例4.设集合}|{},1,0,1{2x x x N M ≤=-=，则N M =_______________________.变式1：图中阴影部分用集合表示为_______________.变式2：已知集合}3|{},42|{a x a x B x x A <<=<<=.（1）若∅=B A ，求a 的取值范围；（2）若}4|{<<=x a x B A ，求a 的取值范围.知识点三、补集【内容概述】1.全集：在研究集合与集合之间的关系时，有时这些集合都是某一个给定集合的子集，这个给定集合可以看成一个全集，用符号“U ”表示，也就是说，全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素.2.补集：如果集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集.3.对补集定义的理解要注意以下几点：（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当做全集.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想.（3）从符号角度来看，若U x ∈，U A ⊂，则A x ∈和A C x U ∈二者必居其一.4.集合图形，理解补集的如下性质：（1）∅====∅∅=)(,)(,)(,,A C A U A C A A A C C U C U C U U U U U U(2)若B A ⊆，则)()(B C A C U U ⊇；反之，若)()(B C A C U U ⊇，则B A ⊆（3）若A=B ，则B C A C U U =；反之，若B C A C U U =，则A=B【典型例题】例 5.设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x A ，}13|{<≥=x x x B 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是__________________.变式1：已知集合}012|{2=++=b ax x x A 和}0|{2=+-=b ax x x B满足R U B C A B A C U U ===},4{)(},2{)( ,求实数a 、b 的值.变式2：设集合}123|),{(},,|),{(=--=∈=x y y x M R y x y x U ，}1|),{(+≠=x y y x N ， 则)()(N C M C U U =__________________.例 6.已知全集R U =，}12|{},523|{≤≤-=+<<=x x P a x a x M ，若P C M U ⊂，求实数a 的取值范围.变式1：已知集合},0624|{2R x m mx x x A ∈=++-=，},0|{R x x x B ∈<=，若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.变式2：已知集合}50|{≤-<=a x x A ，}62|{≤<-=x a x B . （1）若A B A = ，求a 的取值范围；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.例7.学校50名学生调查对A 、B 两个事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对A ，B 都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？例8.设集合}3,2,1{=I ，A 是集合I 的子集，如果把满足I A M = 的集合M 叫做集合A 的“配集”，则当}2,1{=A 时，A 的配集的个数是_________________.课后作业第7讲集合的综合复习第8讲函数的概念与定义域考点及考试要求1.了解函数的概念；2.理解函数的三种表示方法；3.了解简单的分段函数教学内容知识点一、区间的概念【内容概述】设baRba<∈且,,区间是集合的另一种形式.对于区间的理解应注意：2、区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b-a成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{}a；3、注意开区间),(ba与点),(ba在具体情景中的区别.若表示点),(ba的集合应为{}),(ba；4、用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；5、对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可用区间形式来表示；6、要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆.【典型例题】例1.把下列数集用区间表示：（1）}1|{-≥xx；（2）}0|{<xx；（3）}11|{<<-xx；（4）}4210|{≤≤<<xxx或知识点二、函数的定义【内容概述】一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf→:为从集合A到集合B的一个函数，记作)(xfy=，Ax∈.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合}|)({Axxf∈叫做函数的值域.显然：BAxxf⊆∈}|)({【典型例题】例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度灌水.试求水面高y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域. 例6.已知函数32341++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）知识点四、抽象函数的定义域【拓展】 【内容概述】（1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值范围；（2）函数))((x g f 的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围；（3）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中x 的取值范围为B ，求出)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域. 【典型例题】例8.已知函数)(x f 的定义域为]9,0[，求)12(+x f 的定义域.变式1：已知函数)(x f 的定义域为]13,5[，求)(2x f 的定义域.变式2：已知函数)(x f 的定义域为]3,3[-，求)12(2+x f 的定义域.例9.已知函数)(x f 的定义域为]5,21[，)1()1()(++-=x f x f x g 求)(x g 的定义域.变式1：已知函数)(x f 的定义域为]4,31[，)1()()(xf x f xg +=求)(x g 的定义域.变式2：已知函数)(x f 的定义域为]4,1[，)()()(2x f x f x g +=求)(x g 的定义域.知识点五、检验图形是否为函数图像的方法 【内容概述】要判断一个图形是否是函数图象，首先要看图形对应的x 轴部分上的任意一个x 是否都有唯一的y 与之对应.若是，则该图形是函数的图象；若至少有一个x 值，存在两个或两个以上的y 与之对应，则此图形一定不是函数的图象.或者过图形上任一点，作x 轴的垂线，若该垂线与图形无任何其他的公共点，则此图形是函数的图象，否则该图形一定不是函数的图象.除上述之外，还要关注函数的定义域、值域与图象中所示的定义域（图形正对着x 轴上的所有实数）、值域（图形正对y 轴上的所有实数）是否一致. 【典型例题】第9讲 求函数的值域例10.设}20|{},22|{≤≤=≤≤-=y y N x x M ，函数)(x f 的定义域为M ，值域为N ，则)(x f 的图象可以是（ ）A B C D 课下作业1.下列各组函数表示相等函数的是（ ）4、⎩⎨⎧<->=0,,0,)(x x x x f 与||)(x x g =5、12)(+=x x f 与xxx x g +=22)(6、|1|)(2-=x x f 与22)1()(-=t t g7、2)(x x f =与x x g =)(2.函数xx y 1+=的定义域为_______________. 3.函数12)(22-+-=a ax x x f 的定义域为A ，若A ∉2，则a 的取值范围是____.4.已知函数)(x f y =的定义域为]4,1[，求函数)(2x f y =的定义域.5.已知)(x f 的定义域为]2,0(，求函数)()12(2x f x f +-的定义域.教学目标1。
高一数学(衔接班专用)
【知识梳理】
知识点一 常用的乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3. (3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3. (4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. (5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3. 知识点二 因式分解的常用方法 (1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数， 即运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab 的逆运算进行因式分解. (2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积 形式的方法. (3)求根法：若关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是 x1，x2，则二次三项式 ax2＋bx＋c(a≠0)就 可分解为 a(x－x1)(x－x2). (4)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式. 如 2x3－x－1，试根知 x＝1 为 2x3－x－1＝0 的根，通过拆项，2x3－x－1＝2x3－2x2＋2x2－2x＋x－1 提取公 因式后分解因式.
9
【典例精析】
题型一 对集合含义的理解
例 1 考察下列每组对象能否构成一个集合. (1)不超过 20 的非负数； (2)方程 x2－9＝0 在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4) 3的近似值的全体； (5)中国著名科学家； (6)小于 8 的所有素数； (7)平面直角坐标系内第一象限的一些点； (8)所有小的正数.
D.x1＝－1，x2＝7
新高一数学衔接讲义讲义系列一
例14.设 ，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
变式1：对任意的正整数n， ______________-
变式2:选择题：若 ，则 =（）
（A）１（B） （C） （D）
变式3:计算 ．
知识点四、因式分解
【内容概述】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。
【内容概述】
1、当 时，
函数 图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；
当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最小值．
2、当 时，
函数 图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；
当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最大值．
上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
（9）计算 等于（）
（A） （B） （C） （D）
（10）若 ，则 的值为()
A． B． C． D．
2．化简：(1) (2)
3．把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)
（4） (5) (6)
第2讲一元二次函数与二次不等式
教学目标
1、能熟练掌握二次函数的图像，能够根据解析式快速画出函数的图像
2、理解并掌握二次函数的三种表达式
x/元
130
150
165
y/件
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
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第一章集合与常用逻辑用语第1节集合的概念一、集合的有关概念：1、集合的概念（1）集合：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。
通俗理解为：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、元素对于集合的关系（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……（2）元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（3）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作Aa ∈（4）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）4、特定集合及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR1N；1.5N；2Z ；二、集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例：（1）、由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为（2）、方程组⎩⎨⎧=-=+2-0y x y x 的解的集合，可以表示为（3）、所有正奇数组成的集合：2、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．格式：{x ∈A|P （x ）}即{研究对象|具有的性质}其中x 表示该集合的代表元素，()p x 表示该集合中所有的元素具有性质。
例：（1）大于1的数组成的集合可以表示为：（2）小于3的自然数组成的集合可以表示为：（3）直线y=2x-1的点组成的集合可以表示为：（4）所有直角三角形的集合可以表示为：（5）函数2-x y =的自变量的所有取值组成的集合可以表示为：（6）函数2-x y =的因变量的所有取值组成的集合可以表示为：（7）奇数集我们可以记为．注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{全体直角三角形}；{大于104的所有实数}；{大于104的实数集}3、图示法：①数轴表示，例如，不等式73x -<的解集为{|10}x R x ∈<，可以表示为②坐标平面表示法（用点和图形来表示）③用韦恩图（Venn 图）表示：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
[胡博士自编讲义]新高一衔接课01-05
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新高一数学衔接讲义（一）2017年 月 日《函数的图象（1）》1. （1）写出二次函数342+-=x x y 的顶点式、交点式，并写出其对称轴、顶点、与坐标轴的所有交点.（2）画出二次函数342+-=x x y 的简图.练习：画出二次函数232-+-=x x y 的简图。
2. （1）画出二次函数342+-=x x y 的简图.（2）x 取何值时，y ≥3 ？ （3）x 取何值时，y ＞1 ？3. （1）画出函数⎩⎨⎧≤----=)0(,510)0(,542x x x x x y ＞ 的图象.（2）x 取何值时，=y 7 ？（3）x 取何值时，y ＞7 ？ 4. （1）画出函数342+-=x x y 的图象.（2）已知方程k x x =+-342有三个实根，求k 的值； （3）已知方程k x x =+-342有四个实根，求k 的取值范围；（4）已知不等式k x x ＞342+-对于一切实数都成立，求k 的取值范围.练习： 画出函数232+-=x x y 的图象；并说明它与函数232+-=x x y 的图象有何种关系。
5.已知函数⎩⎨⎧≤≤≤-=)10(,)01(,)(2x x x x x f ＜。
根据本节课学到的知识，回答下列问题： （1）画出函数)(x f y =的图象； （2）画出函数)(x f y =的图象；（3）你能画出函数)(x f y -=和函数)(x f y -=的图象吗？6.（1）画出函数1-=x y 的图象； （2）解不等式1-x ＞1.7. （1）画出函数21-+-=x x y 的图象；（2）解不等式21-+-x x ＜5.8. [2016新课标全国Ⅰ卷选做24题] 已知函数321)(--+=x x x f .(Ⅰ) 在方格纸上画出)(x f y =的图象； (Ⅱ) 求不等式()f x ＞1的解集。
☆作业：1.高中阶段，我们将用符号)(x f y = 来表示函数，)1(f 即表示当1=x 时函数式y 的值，))(,(x f x 即表示函数图象上的点的坐标。
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第1讲数与式910+⨯2(1)n n +⨯+第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念8．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x.知识点五、集合间的基本关系【典型例题—1】子集的概念：例1.观察下列几组集合，有什么共同的地方（1）A={1，2，3} B={1，2，3，4，5}（2）A={3，5，7} B={3，5，7}（3）A=2{|210}x x x -+= B=2{|230}x x x --= 我们可以发现A 中的任何一个元素在B 中都能找到。
那么这样的两个集合是什么样的关系呢 ？【概括】对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。
记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B例2.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1){},,,a b c d {},a b ； (2) ∅{}1,2,3； (3) N Q ；(4) 0R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x <<{}|06x x <． 例3.写出集合｛a ，b ｝的所有子集，例4.说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝． （2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． （3）N ，N*．例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为______【典型例题—2】韦恩图：【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
初升高数学衔接讲义新高一数学衔接讲义一
（一）韦达定理（一元二次方程中根与系数的关系）
对于一元二次方程
2
ax
bx
c
0( a
0) ，如果方程有两个实数根
x1, x2 ，
那么
x1 x2
b , x1x2 c
a
a
说明： （ 1）定理成立的条件
例题 .若 x1 , x2 是方程
2
x
2x
0 （2）注意公式中 x1 x2
b 的负号与 b 的符号的区别 .
.
☆总结：高中阶段韦达定理相关知识点的常用等式变形：
（1）
（ 2）
（3）
（ 4）
（二）第一小单元重要知识点复习
1
2
1. （ 1）画出函数 y x 2 x 3 的图象 .
（ 2）已知关于
x的方程
2
x
2x
3
k 有三个实根，求 k 的值；
（ 3）已知关于
x的方程
2
x
2x
3
k 有四个实根，求 k 的取值范围；
（ 4）已知关于
x的不等式
2
x
2x
3＞ k 对于一切实数都成立，求
k 的取值范围 .
2. 利用学到的图象对称变换的方法，画下列函数的图象： （ 1） y x 2 ； （ 2） y x 2 .
4. 已知函数 y g ( x ) 图象关于点（ -3,-2 ）成中心对称，且 y
A(x1, y1)、 B( x2 , y2 ) 两点， 则 x1 x2
， y1 y2
g ( x) 的图象与函数 .
f (x)
1 2 交于 x3
5. 分解因式：
（1） x 2 (a 2)x 2a
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例14.设 ，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
变式1：对任意的正整数n， ______________-
变式2:选择题：若 ，则 =（ ）
（A）１ （B） （C） （D）
变式3:计算 ．
知识点四、因式分解
【内容概述】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。
②分母中有根式(如 )，或被开方数有分母(如 )．这时可将其化为 形式(如 可化为 ) ，转化为 “分母中有根式”的情况．
化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如 化为 ，其中 与 叫做互为有理化因式)．
【典型例题—2】：有理化因式和分母有理化
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如 与 ； 与 互为有理化因式。
例24.(x2-5x+2)(x2-5x+4)-8
课后练习
1．填空：
（1） （ ）；
（2） ；
(3) ．
（4）若 ，则 的值为________
（5）若 ，则 ______________
（6） ， ，则 ________________
（7）若 ，则 _______________
（8）若 ，则（ ）
分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。
例9.计算：（1） (2)
例10.设 ，求 的值
知识点三、分式
【典型例题—1】：分式的化简
例11.化简 例12.化简
【典型例题—2】：分式的证明
例13.（1）试证： （其中n是正整数）；
（2）计算： ；
（3）证明：对任意大于1的正整数 ，有 ．
分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：
（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式
（1）分组后能提取公因式
例16.把 分解因式。变式：把 分解因式。
（2）分组后能直接运用公式
例17.把 分解因式。变式：把 分解因式。
【典型例题—3】：十字相乘法
【内容概述】
（1） 型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．
∵ ，
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
（2）一般二次三项式 型的因式分解
由 ，我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 。
如果它正好等于 的一次项系数 ，那么 就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。
【典型例题—1】：公式法(立方和、立方差公)
【内容概述】
我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：
(立方和公式)
(立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
【公式1】
【公式2】 (立方和公式)
【公式3】 (立方差公式)
【公式4】 （请同学证明）
【公式5】 （请同学证明）
【典型例题—1】：
例1.计算： 例2.计算：
例3.计算(1) (2)
变式1：利用公式计算
（1） (2)
变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解
（1） （2） （3） （4）
【典型例题—2】：
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
（1） 型的因式分解
例18.把下列各式因式分解：
(1) (2)
例19.把下列各式因式分解：
(1) (2)
例20.把下列各式因式分解：
(1) (2)
（2）一般二次三项式 型的因式分解
例21.把下列各式因式分解：(1) (2)
这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。
例15.用立方和或立方差公式分解下列各多项式：
(1) (2)
变式：分解因式：(1) (2)
【典型例题—2】：分组分解法
【内容概述】
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．
第1讲 数与式
教学目标
1、理解并掌握乘法公式与因式分解
2、理解并掌握二次根式的运算与化简
3、理解并掌握繁分式的化简
重点、难点
乘法公式与因式分解
二次根式与分式
考点及考试要求
1、理解并掌握乘法公式与因式分解
2、理解并掌握二次根式的运算与化简
3、理解并掌握繁分式的化简
教学内容
知识框架
知识点一：乘法公式
【内容概述】
变式练习:
（1）x2-6x+5 （2）x2+15x+56 （3）x2+2xy-3y2（4）(x2+x)2-4(x2+x)-12
【典型例题—3】：其它因式分解的方法
（1）配方法
例22.分解因式 变式:（1）x2+12x+20 （2）a4+a2b2+b4
（2）拆项法(选讲）
例23.分解因式
（3）其它方法（选讲）
例4.计算：（1）
例5.已知 ，求 的值．
例6.已知 ，求 的值．
变式1:计算： ．
变式2:已知 ， ，求 的值．
知识点二、根式
【内容概述】
式子 叫做二次根式，其性质如下：
(1) (2)
(3) (4)
【典型例题—1】：基本的化简、求值
例7.化简下列各式：(1) (2)
例8.计算
变式1:二次根式 成立的条件是()
A． B． C． D． 是任意实数
变式2:若 ，则 的值是()
A．－３B．３C．－９D．９
变式3：计算
【说明】
1、二次根式的化简结果应满足：
①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2、二次根式的化简常见类型有下列两种：
①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；
（A） （B） （C） （D）