高中数学8.6.1直线与直线垂直8.6.2直线与平面垂直第1课时学案新人教A版必修第二册

第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定

问题导学

预习教材P146－P150的内容，思考以下问题：

1．异面直线所成的角的定义是什么？

2．异面直线所成的角的范围是什么？

3．异面直线垂直的定理是什么？

4．直线与平面垂直的定义是什么？

5．直线与平面垂直的判定定理是什么？

1．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．

(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.

■[名师点拨]

当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．

2．直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．

(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．

3．直线与平面垂直的判定定理

判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．( )

(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )

(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )

答案：(1)×(2)×(3)√

直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )

A．平行．垂直

C．在平面α内．无法确定

答案：D

已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则( )

A．a∥α．a⊂α

C．a⊥α．a是α的斜线

答案：C

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．

解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的

角．

又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，

故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.

答案：90°

异面直线所成的角

如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．

求：(1)BE与CG所成的角；

(2)FO与BD所成的角．

【解】(1)如图，因为CG∥BF.

所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，

又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.

(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．

所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．

连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，

所以△AFH为等边三角形，

又知O为AH的中点，

所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.

1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．

解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，

所以∠BAF (或其补角)为异面直线OP 与CD 所成的角，由于△ABF 是等腰直角三角形，所以∠BAF ＝45°，故OP 与CD 所成的角为45°.

2．[变条件]在本例正方体中，若M ，N 分别是BF ，CG 的中点，且AG 和BN 所成的角为39.2°，求AM 和BN 所成的角．

解：连接MG ，因为BCGF 是正方形，所以BF

═

∥CG ，因为M ，N 分别是BF ，CG 的中点，所以BM ═∥NG ，所以四边形BNGM 是平行四边形，所以BN ∥MG ，所以∠AGM (或其补角)是异面直线AG 和BN 所成的角，∠AMG (或其补角)是异面直线AM 和BN 所成的角，因为AM ＝MG ，所以∠AGM ＝∠MAG ＝39.2°，所以∠AMG ＝101.6°，所以AM 和BN 所成的角为78.4°.

求异面直线所成的角的步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．

[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.

如图所示，在三棱锥A ­BCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成的角．

解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， 所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝1

2

AB .

所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.

所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE ＝45°，

即EF 与AB 所成的角为45°.

直线与平面垂直的定义