微积分在物理学上的应用复习过程
(完整word版)微积分在物理学上的应用
微积分在物理学上的应用1 引言微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算,因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。
而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的.对于大学物理问题，可是使其化整为零,将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析.只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单,可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。
而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。
这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。
2 微积分的基本概念及微分的物理含义微积分是一种数学思想，其建立在函数,实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。
在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小的个体,我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和.例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加,无限求和，就可以得出总的位移。
在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑.在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体的物理量和角度去判断他的正确含义。
例:如图所示,一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。
解：设在某个时刻,长直导线电流产生的磁场为B=在图中做一个微元面dS，dS=ldx，则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场,微元面dS上的磁通量为d线圈围成的面上通过的磁通量为线圈中的感应电动势为在这个例题中，微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有，但他们的物理含义却是不一样的，前者的表示微元面dS上的磁通量，是一个微小量,而后者的表示的是微笑时间内的磁通量变化量,是一个微小变化量。
知识讲解 物理学中微元法的应用
物理学中微元法的应用【高考展望】随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。
教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。
高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。
在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。
【知识升华】“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。
微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。
利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。
【方法点拨】应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。
微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。
【典型例题】类型一、微元法在运动学、动力学中的应用例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物体的位移与时间的关系式为2012x v t at =+，试推导。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分作为数学的一个基础分支，在物理学中发挥着至关重要的作用。
它不仅提供了描述物理现象的数学语言，还为解决复杂的物理问题提供了有力的工具。
本文将探讨微积分在物理学中的几个关键应用。
一、运动学分析在物理学中，运动学研究物体的运动状态和变化规律。
微积分在这里的应用主要体现在速度和加速度的概念上。
速度是位移对时间的导数，而加速度则是速度对时间的导数。
通过微积分，我们可以精确地描述物体运动的瞬时状态，进而深入理解运动的本质。
二、力学系统在力学系统中，微积分用于分析力的作用效果。
牛顿第二定律表明，物体的加速度与作用在其上的合外力成正比，这需要用到微分来描述加速度随时间的变化。
同时，通过积分可以计算出在一定时间内，物体因受力而产生的位移或速度变化。
三、电磁学电磁学是研究电荷产生电场和磁场以及这些场如何影响电荷的科学。
在电磁学中，微积分被用来描述电场和磁场的空间分布。
例如，电势差可以通过电场强度的积分得到，而电流产生的磁场则可以通过安培环路定理来计算，这涉及到对闭合路径的线积分。
四、热力学热力学是研究能量转化以及物质状态变化的学科。
在热力学中，微积分用于计算热量、功和内能等物理量的变化。
例如，通过对温度-熵图的面积积分，可以得到系统的热量变化；而对压强-体积图的面积积分，则可以得到系统对外做的功。
五、量子力学量子力学是研究微观粒子行为的基本理论。
在量子力学中，微积分用于描述波函数的时间演化和空间分布。
薛定谔方程就是一个典型的偏微分方程，它描述了量子态随时间的演变。
通过求解这个方程，可以得到粒子在不同能级的概率分布。
六、光学在光学领域，微积分用于分析光的传播和干涉现象。
波动方程描述了光波的传播特性，而通过积分方法可以解释光的干涉和衍射现象。
例如，通过计算两束光波的相位差积分，可以得到它们相遇时的干涉图样。
总结微积分在物理学中的应用广泛而深刻，它不仅是描述自然现象的语言，也是解决物理问题的工具。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用The application of calculus in physics摘要: 关于“微积分”是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论，使运算也更加简便 。
“应用数学处理物理问题的能力”是我们必须掌握的一种解决物理问题的方法，“能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系，根据数学的特点、规律，进行推导、求解，并根据结果做出物理判断、进行物理解释，得出物理结论”是物理解题中运用的数学方法，微积分就是其中一种。
关键词: 微积分Key words: calculus基金项目：本文为大学生科研项目批准文号xs11035资助项目作者简介：姓名：李东康（出生年月198211），女，吉林省；单位全称：通化师范学院物理学院，职称：助教；研究方向：光学；刘明娟，通化师范学院物理学院本科学生；1、微积分1.1定义：设函数()x F 在[]b a ,上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点a=0X <1X <...<1-Xn <Xn =b 把区间[]b a ,分成n 个小区间[][]n n x x x x ,,110- 。
在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()i i i x x ≤≤-ζ1，作函数值()i f ζ与小区间长度的乘积()xi i f ∆ζ，并做出如果不论对[]b a ,怎样分法，也不论在小区间上的点i ζ怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()x f 在区间[]b a ,上的定积分。
设函数()x f y =在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在此区间内。
如果函数的增量()()00x f x f x y -∆+=∆可表示为 ()x x y A ∆O +∆=∆（其中A 是不依赖于x∆的常数），而()x ∆O 是比x ∆高阶的无穷小，那么称函数()x f 在点0x 是可微的，x A ∆称作函数在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作y d ，即x y A d ∆=。
微积分在物理学上的应用
1 引言微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。
而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。
对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。
只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。
而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。
这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。
2 微积分的基本概念及微分的物理含义微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。
在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。
例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。
在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。
在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体的物理量和角度去判断他的正确含义。
例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。
解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为B=在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为d线圈围成的面上通过的磁通量为线圈中的感应电动势为在这个例题中，微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有，但他们的物理含义却是不一样的，前者的表示微元面 dS上的磁通量，是一个微小量，而后者的表示的是微笑时间内的磁通量变化量，是一个微小变化量。
物理知识点之《微积分在高中物理中的应用》
物理知识点之《微积分在高中物理中的应用》物理知识点之《微积分在高中物理中的应用》微积分在高中的越来越加强，主要原因一方面是微积分和微元法有助于理解高中的很多物理，数学知识，另一方面是微积分作为大学理工科的基础课，微积分的重要性不言而喻，而且很多在大学表现出了对这部分知识的强烈的不适应。
因此高中阶段接触简单的微积分对高中和大学的学习都很有帮助。
首先，导数和积分的最直观的表现：位置，速度，加速度三个物理量之间的关系。
以时间为自变量，则速度是位置和时间关系函数的导函数，也就是表示任意一点位置和时间关系图像的切线斜率的函数，加速度是速度时间函数关系的导函数。
同理，我们知道加速度时间图像中面积表示的是速度的变化量，也就是对加速度和时间的函数求积分可以得到速度时间关系;类似的速度时间图像中的面积表示位移，也就是对速度时间函数求积分得到位置时间关系。
用这个方法可以推导直线运动中的加速运动的各种公式，在此就不再赘述。
其次，导数等于零时，则函数则有极值。
这个在物理中应用明显。
物理题目中经常出现有关于极值情况的描述，比如，平衡，距离最大或者距离最小，能量最大，能量最小，速度最大，速度最小等等情况。
这些都表示可以用某个函数的导数为零的方法来求。
例如我们最常见到的平衡问题，其实都是能量和位置的函数关系中的导数为零。
能量和位置关系的导数的相反数，就是这个能量对应的力的大小。
再次，用积分方法，可以求体积，面积，重心等等问题，这些问题在高考中涉及较少，但是通过这些问题的计算可以帮助同学们对于微积分，微元法，对于重心等物理概念有更深入的'了解。
例如，在2010年人大附中分班考试的压轴题中就考察了均匀质量球壳的重心问题。
用类似的方法，可以求球体的表面积，球体体积等等。
除此之外，在高中所学知识中，可以用微积分帮助理解的内容还有很多。
通过这些内容的学习，既可以加强学生对物理概念的认识，也可以加深学生对微积分的领会。
毕竟微积分当时发明的目的就是为了解决物理问题。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学的一个重要分支，它研究的是变化、运动以及量的变化。
它的基本思想在物理学中具有广泛的应用，涵盖了从简单的运动到复杂的力学系统、热力学、电磁学甚至量子力学等多个领域。
本文将探讨微积分在物理学中的一些关键应用，阐明其理论基础和实际重要性。
一、微积分的基本概念在讨论微积分在物理学中的应用之前，有必要简要理解微积分的基本概念。
微积分主要由两部分组成：微分和积分。
微分主要用于研究函数在某一特定点的变化率，而积分则用于计算函数在一个区间内的累积量。
这两者通过微积分基本定理紧密相连，前者为后者提供了定义和理论基础。
二、运动学中的应用运动学是物理学的一个分支，专注于物体的运动描述。
在运动学中，微积分被用于处理位置、速度和加速度之间的关系。
位置与速度假设一个物体在直线上的位置可以用时间t的函数x(t)来表示。
通过对位置函数进行微分，可以得到物体的瞬时速度，即：反之，如果已知物体的速度v(t)，我们可以对其进行积分以求得位置x(t)：[ x(t) = v(t) dt ]加速度与速度类似地，加速度是速度随时间变化的速率。
其表达为：[ a(t) = ]同样，若已知加速度a(t)，则可以通过积分求得速度：[ v(t) = a(t) dt ]这些公式使得我们能够通过已知的条件推导出另一个量，极大地方便了运动分析。
三、力学中的应用力学是研究物质及其运动规律的一门科学，其中涉及到很多与微积分密切相关的概念。
牛顿第二定律牛顿第二定律指出，一个物体所受的总外力等于其质量与加速度的乘积。
数学表达为：[ F = m a ]考虑到加速度a可以表示为速度对时间的导数，我们有：因此，力F也可以被视为对动量p = mv（即质量与速度的乘积）时间变化率的描述：[ F = ]这表明，在系统分析中，通过微分我们能理解物体动量变化与受力之间深刻而又紧密的关系。
动能定理此外，微积分也被广泛应用于动能定理中。
动能是与物体运动状态相关的一种能量形式，其表达式为：[ KE = mv^2 ]当受力做功W时，系统的动能改变可以表示为：[ W = KE_f - KE_i = _{x_i}^{x_f} F dx ]此处，功W是通过移位过程中的力F与位移x之间关系而得出的，这展示了微积分在分析能量转化过程中的重要性。
微积分在高中物理教学及高考中的应用
探索篇•方法展示微积分作为一种重要的数学方法，不只在大学物理中的应用十分广泛，在高中物理中微积分思想也有很多应用，并且在高考试题中也时有出现。
一、高中物理教学中常见的微积分应用1.微元法定义瞬时速度在高中物理学习之初瞬时速度的定义中就涉及微积分思想，求物体在某处的瞬时速度，可在该点附近取一段位移除以对应的时间即可得到该段位移的平均速度，所取的位移越小，其对应的时间越小，所得到的平均速度越接近所求点的瞬时速度，当所取位移近似为零时，所得到的平均速度即可认为是所求点的瞬时速度，在该部分内容中采用了微元并取极限的方法，其实就是微积分中最基本的微元思想。
2.微分与斜率在加速度的定义中a=ΔvΔt，当t→0时a=ΔvΔt=dv dt，与微积分中的微分即求导对应，也就是数学中的斜率，斜率的使用在高中物理中比较常见，如，加速度a=ΔvΔt对应v-t图像的斜率还有E=ΔϕΔt对应ϕ-t图像的斜率，此外借助斜率还可求出函数的最值。
3.积分与面积在匀变速直线运动位移的推导中，由于速度是变化的，采用微元法取非常短的时间，将变化的速度转化为不变的速度，然后用相加的方法，得出v-t图像所围的面积表示位移，即借助积分思想来完成。
该思想在计算变力做功中同样加以应用，通过微元法取一小段位移，将变力做功转化为恒力做功，并将各段做功相加的方法，得出F-S图像所围的面积代表力做功。
可见，微积分思想在高中物理中出现的并不少，主要采用无限接近思想解决瞬时值问题，通过化变量为恒量的方法来解决变量问题。
因此高中阶段的瞬时值问题、斜率问题、极值问题、面积问题大多由微积分思想得出。
二、高考中常见微积分思想应用实例分析高中物理教学中常见的微积分思想在高考试题中也有所体现。
例1.（2014年山东理综19题）如图，半径为R的均匀带正电薄球壳，其上有一小孔A。
已知壳内的场强处处为零；壳外空间的电场与将球壳上的全部电荷集中于球心O时在壳外产生的电场一样。
微积分在高中物理中的应用
121微积分在高中物理中的应用邓圭恩微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
微积分是指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微积分的思想。
本文分析了微积分在高中物理的一些具体应用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来解决物理中的问题。
数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。
运用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便实用又强大的工具。
1微积分在高中动力学中的应用 1.1利用微积分解决变速运动问题在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师的思维能力都是一个很大的考验。
但微积分知识和思想能帮助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于下面这一道题：例2：狐狸沿半径R 的圆轨道以恒定速率v 奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心O 出发以相同的速率v 追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。
（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并画出轨道曲线。
（2）判断猎犬能否追上狐狸。
这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复杂冗长，很多同学并不能很好的理解。
而如果我们选用微积分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。
取圆心O 为坐标原点，从O 到狐狸的初始位置设置极轴，建立极坐标系。
我们先得到猎犬切向、径向加速度、速度与猎犬所在的r、θ的关系狐狸的圆运动角速度为：Rv dt d ==ωθ当狐狸在θ角位置时，圆心O、猎犬D 及狐狸F 共线，如图所示故猎犬的横向速度为猎犬的径向与切向速度为：r Rv dt d rv ==θθ，vRr v v v r 22221-=-=θ 径向与切向加速度为：R r R v v dtd r dt d dt dr r a 122222-⋅==+⋅=ωθθθv r a R r dt dr dr dv r dt dv dt d r d r d r r r 22222222)(-=-⋅=-=-=ωωθθ 由r R v v r d dr r22-==θθ积分：⎰⎰=-θθθ022d r R dr r 可得猎犬的轨道方程为: θ=Rr arcsin 即θsin R r =猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。
微积分在物理学中的应用
大学物理课题名称：微积分在物理学中的应用专业：数学与应用数学班级：学号：姓名：指导老师：摘要在大学物理学当中，许多问题都会用到微积分来解决。
微积分是研究函数的的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
微积分最重要的思想就是用“微元”与“无限逼近”，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行，这就是微积分在各个领域中应用的优点。
微积分作为一种分析连续过程累积的方法已经成为解决问题的基本方法。
物理学更是接近于生活，因此微积分也经常应用于物理学当中。
关键词：微积分物理学微元以前听过这样一句话“学好数理化，走遍天下都不怕”，可以知道，数理是不分家的。
我们知道从物理到数学其实就是一个建模抽象的过程，同时也是一个化归的过程，也就是说，物理中的任何一个领域都必然地涉及数学,不存在与数学毫无关联的物理分支。
所以，在物理学当中是处处用到数学知识的，在这里要说的就是微积分在物理学当中的应用。
微积分的方法是一种辨证的思想方法，它包含了有限与无限的对立统一，近似与精确的对立统一。
它把复杂的物理问题进行时间、空间上的有限次分割，在有限小的范围内进行近似处理，然后让分割无限的进行下去，局部范围无限变小，那么近似处理也就越来越精确，这样在理论上得到精确的结果。
微分就是在理论分析时，把分割过程无限进行下去，局部范围便无限小下去。
积分就是把无限小个微分元求和。
这就是微积分的方法。
物理学就是要抓住主要方面而忽略次要方面，从而使得复杂问题简单化，因此在大学物理中应用微积分的方法，能够把看似复杂的问题近似成简单基本可研究的问题。
物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础。
实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。
微积分在高中物理中的应用
微积分在高中物理中的应用一、非匀变速直线运动的位移计算一小球以速度v 做直线运动，其速度随时间变化规律为22+-=t v ，求小球在0—1s 内的位移。
由题意可知，小球的速度并不是均匀变化的，无法运用匀变速直线运动的公式计算位移，现在尝试运用微积分的思想来解决问题。
试想，将[0，1]这段时间分为n 个时间段：[0，n 1]，[n 1，n 2],…，[nn 1-,1] 每个时间段的长度为 nn t t t t t i i 101=-=-=∆- 当Δt 很小时，在[t 1-i ,t i ]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似的以速度v(t 1-i )做匀速运动，在这一段时间上物体的位移t t v x i i ∆≈∆-)(1在[0，1]上物体的总位移∑∑=-=∆=∆=n i i n i it t v x x 111)(∑=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=n i i n n t x 12121- ()[]()()22111131-26121n 1-2121n 1-2111110-3222322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=+-+⋯++=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋯-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n n n n n n nn n n n n 所以，n 越大即t ∆越小时，时间段[0，1]分得越细，∑=∆n i i x 1与x 的近似程度就越好，当∞→n 时，两者之差趋向于零，即3522111131-lim lim 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=∞→=-∞→∑x n n x tv x n ni i n 所以，小球在0—1s 内的位移为35m 由此可以看出利用微积分思想可以解决非匀速直线运动的位移问题。
此过程比较麻烦，也可以直接使用牛顿—莱布尼茨公式。
二、变力作功在弹簧的弹性限度内，将其从平衡位置拉到距平衡位置l m 处，已知弹簧劲度系数为k ,求此过程中拉力F 所做的功W 。
在弹性限度内，拉力F 与弹簧拉伸长度成正比()kx x F =所以 20202121kl kx dx kx W ll ===⎰ 拉力F 所做的功为221kl三、交变电流有效值的计算求正弦式交变电流t I i m ωsin =的有效值解： 设电流的有效值为I ，则i W Rt I =2将t I i m ωsin =等号两边同时平方得到t I i m ω222sin =Rt I Q 2=令 T t =所以在半个周期内TRI W t t RI W dt t RI W dt t I R W dt t I R W m i T m i T m i Tmi Tm i 2202202202222412sin 412122cos 2122cos 1sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰⎰ωωωωω所以 TR I W Rt I m i 2241==2221m I I =2mI I = 正弦式交流电的有效值为2mI I =。
微积分在物理的应用
微积分在物理的应用微积分是数学中的一个重要分支，它在物理学中有着广泛的应用。
物理学领域中的微积分主要涉及到有关运动、力学、能量、功等方面的计算。
以下将分步骤阐述微积分在物理学中的应用。
第一步，微积分在运动学中的应用。
运动学是研究物体运动状态及其规律的一门学科。
微积分可以帮助我们求出物体运动过程中的速度、加速度、位移等参数。
当需要知道物体在某一时刻的速度时，可以通过微积分的导数计算。
同样地，当需要知道物体在某一时刻的加速度时，可以通过微积分的二阶导数计算。
微积分也可以用于求解物体的位移，这是通过将速度对时间积分得到的。
第二步，微积分在力学中的应用。
力学是研究物体在受外力作用下运动、平衡和变形规律的一门学科。
微积分可以帮助我们计算物体在不同受力状态下的运动轨迹，从而分析出受力过程。
在求解物体受力的过程中，可以通过微积分的积分方式得到物体的总受力。
同时，微积分也可以计算出物体所受的重力、弹力、张力等，从而提供更加精确的计算。
第三步，微积分在能量中的应用。
能量是指物体进行运动和发生变形时所具有的能力。
微积分可以帮助我们计算物体在不同状态下的能量变化量。
当物体在运动过程中所进行的功时，可以通过微积分的积分方式计算出功率。
当需要知道物体在某个瞬间的能量时，积分可以帮助得出更加精确的计算结果。
综上所述，微积分在物理学中的应用非常广泛，主要通过计算物体的运动、力学和能量等方面。
在进行微积分计算时，必须基于正确的公式和理论基础，从而得出准确的结果。
对于学习微积分的人来说，需要认真掌握微积分的基本知识和技能，以便于在物理学中应用。
微积分思想在高中物理中的典型应用
微积分思想在高中物理中的典型应用任孝有 任雅群（北京市通州区潞河中学 北京 １０１１００）（收稿日期：２０１９－０４－１６）摘要：微积分思想是现代物理学中的重要思想，它将复杂变化的物理过程转化为定量可解，对学生物理思维和数学思维的提升十分有益．本文结合高中物理中的典型习题，实际说明了如何运用微积分思想解决物理问题．关键词：微积分 图像面积 物理方程 对如图１所示的匀加速直线运动过程，将其运动过程分为ｎ个运动间隔，如图２所示，每个间隔的时间为Δｔｉ，每个间隔的最小速度为ｖｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则每个间隔的位移近似为ｘｉ＝ｖｉΔｔｉ，全程的总位移近似为Ｘ＝ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋…＝∑ｘｉ，在几何上体现为如图２所示的Δｔｉ上的矩形面积和，此时的Ｘ小于真实总位移．增大ｎ从而减小Δｔｉ，ｖｉ更加接近全程的真实速度，则ｘｉ更加接近对应过程的真实位移，Ｘ也更加接近真实总位移，矩形面积和也更加接近梯形面积；令ｎ趋近于无穷，则ｘｉ和Ｘ趋近于真实值，即对ｎ取极限后，矩形面积和等于梯形面积，也就是图线与横纵轴所围成图形的面积，为真实的位移．因此直接求得梯形面积，就可算出对应的变速运动的位移．其他物理过程同理．图１ 匀加速直线运动ｖ－ｔ图像图２ 匀加速直线运动分割当然，如果ｖｉ表示的是每个间隔的最大速度，取和后Ｘ大于真实值，但取极限后，Ｘ转化为真实值，仍旧体现为图线与横纵轴所围成图形的面积．分割，化变为恒获得物理意义；求和，获得宏观近似值；取极限，获得精确值．以上过程是一种连续后的跳跃，突变．也就是说，在数学图像中，如果横纵轴两个物理量的乘积是个新物理量，而且这个物理量是个过程量，那么图像与横纵轴所围的面积就反映着这个过程量的具体数值．但如果是个状态量则对应的是矩形面积，不可累加，如图３所示电源的Ｕ－Ｉ图像．櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆 （ｍｇ）２＋（ｑＥ）槡２ｍｇ＝ｖＭｖＮ（１２）设Ｍ和Ｎ离开电场的动能分别为Ｅｋ１和Ｅｋ２，由题设条件可得Ｅｋ１＝１．５Ｅｋ２．即 １２ｍｖ２Ｍ＝１．５×１２ｍｖ２Ｎ（１３）联立式（１２）、（１３）可得 Ｅ＝ｍｇ槡２ｑ（１４）点评：在这道题中运用了运动的合成与分解、平均速度、动量定理、相似比等方法．巧妙的分别在水平方向和竖直方向来进行分析研究，一切问题迎刃而解．图３ Ｕ－Ｉ图像１ 数学图像的面积先微分再积分【例１】电容器充电后就储存了能量，某同学研究电容器储存的能量Ｅ与电容器的电容Ｃ，电荷量Ｑ及电容器两极间电压Ｕ之间的关系．他从等效的思想出发，认为电容器储存的能量等于把电荷从一个极板搬运到另一个极板过程中克服电场力所做的功．为此他做出电容器两极间的电压ｕ随电荷量ｑ变化的图像如图４所示．请按照他的想法，推导电容器储存的能量．图４ ｕ－ｑ图像解析：电容器两极板间电压为ｕ′时，从一个极板搬运Δｑ的电荷量到另一极板，克服电场力所做的功近似为Ｗ＝Δｑｕ′，图像上体现为Δｑ上方小矩形的面积，类似于ｖ－ｔ图像，图线与横轴所围的面积表示的就是充电过程中克服电场力做功即最终储存的电能Ｅ＝１２ｑＵ＝１２ＣＵ２＝１２ｑ２Ｃ小结：克服电场力做功的过程就是其他形式的能转化为电容器储存的能量的过程．【例２】利用图像分析问题是物理学中常用的方法，其中的斜率、面积通常具有明确的物理意义．（１）小明以６ｍ／ｓ的初速度将足球水平踢出，足球在草坪上滚动直到停下来的全过程中的速度－时间图像如图５所示．图５中图线与坐标轴所围的面积等于１２个小方格的面积．求足球滚动了多远才停下来？解析：图５中图线与坐标轴所围的面积即为足球滚动距离，每个小格代表的距离为１ｍ，所以足球滚动了１２ｍ才停下来．图５ 足球在草坪滚动时的ｖ－ｔ图像（２）用如图６所示的电路研究电容器的放电过程，其中电压传感器相当于一个理想电压表，可以显示电阻箱两端电压随时间的变化关系．实验时将电阻箱Ｒ的阻值调至２ ０００Ω，将开关Ｓ拨到ａ端，电源向电容器充电，待电路稳定后，将电压传感器打开，再将开关Ｓ拨到ｂ端，电容器通过电阻箱放电．以Ｓ拨到ｂ端时为ｔ＝０时刻，电压传感器测得的电压Ｕ随时间ｔ变化图像如图７所示．忽略导线及开关的电阻，且不考虑电路的辐射问题．求电容器所带电荷量的最大值．图６ 研究电容器放电过程电路图图７ 电阻箱两端Ｕ－ｔ图像解析：Ｕ－ｔ图像面积无物理意义，但改造成ＵＲ ｔ图像即Ｉ－ｔ图像，面积即最大电荷．在电容器放电过程中的极短时间内有ΔＱ＝ＩΔｔ根据欧姆定律有Ｉ＝ＵＲＵ ｔ图线与ｔ轴所围面积除以电阻Ｒ即为电容器所带电荷量的最大值，由图可知该面积等于１２个小方格的面积．因此电容器所带电荷量的最大值Ｑ＝６×１０－３ Ｃ小结：非规则图形如何求总面积？数格！对于不是整格的，将不足半格与超过半格凑成一个整格，但不好凑怎么办？舍去不足半个的，只数超过半个的就可以！不能恰好凑成一个呢？数格子也是一种测量方法，有误差不可避免！可以将格子分得尽可能小，以减小误差．计算时，注意横纵轴的物理单位．这种思想在“用油膜法估测分子大小”的实验中得到很好的体现．【例３】摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米．电梯的简化模型如８所示．考虑安全、舒适、省时等因索，电梯的加速度ａ随时间ｔ变化．已知电梯在ｔ＝０时由静止开始上升，ａ－ｔ图像如图９所示．类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由ｖ－ｔ图像求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图９所示ａ－ｔ图像，求电梯在第１ｓ内的速度改变量Δｖ１和第２ｓ末的速率ｖ２．图８ 电梯简化模型图９ 电梯ａ－ｔ图像解析：Δｖ１＝１２×１×１ｍ／ｓ＝０．５ｍ／ｓｖ２＝Δｖ２＝１２（１＋２）×１ｍ／ｓ＝１．５ｍ／ｓ小结：面积是速度的变化量而不是速度，清楚乘积的物理意义才能正确解决问题．【例４】如图１０所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计．物块（可视为质点）的质量为ｍ，在水平桌面上沿ｘ轴运动．以弹簧原长时物块的位置为坐标原点Ｏ，当弹簧的伸长量为ｘ时，物块所受弹簧弹力大小Ｆ＝κｘ，κ为常量．请画出Ｆ随ｘ变化的示意图，并根据Ｆ－ｘ图像求物块沿ｘ轴从Ｏ点运动到位置ｘ的过程中弹力所做的功．图１０ 例４情境图解析：根据胡克定律Ｆ＝κｘ，可以画出Ｆ－ｘ图像如图１１所示，有Ｗ＝－１２κｘ２图１１ Ｆ－ｘ图像小结：弹簧弹力的功写成－κｘ·ｘ则是以末状态的力充当了全程的力，忽视了弹簧弹力是变力的特点．【例５】如图１２所示的匀强磁场内有一光滑水平轨道，在外力作用下，金属杆从Ｏ点由静止开始向右做匀加速运动．加速度大小为ａ，磁感应强度大小为Ｂ，光滑轨道宽Ｌ，左侧电阻阻值为Ｒ，不计其他电阻．求在从静止开始的一段时间ｔ内安培力的冲量大小．图１２ 例５情境图解析：根据题意有Ｆ安＝ＢＩＬＩ＝ＢＬｖＲｖ＝ａｔ联立以上３式Ｆ安＝Ｂ２ Ｌ２ ａＲｔ画出安培力的冲量与时间关系的Ｆ安－ｔ图像，如图１３所示，由图像面积可得安培力的冲量Ｉ安＝１２ｔＢ２ Ｌ２ ａＲｔ＝Ｂ２ Ｌ２ ａ２Ｒｔ２图１３ Ｆ安－ｔ图像小结：可否不画图，直接根据安培力的平均值Ｆ安＝０＋Ｂ２ Ｌ２ ａｔＲ２计算冲量？不可以，因为需要体现Ｆ安与时间ｔ是线性关系．２ 物理方程的先微分再积分【例６】如图１４所示，空间有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为Ｂ，一个质量为ｍ，电荷量为＋ｑ的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为μ．现使圆环以初速度ｖ０向上运动，经时间ｔ圆环回到出发位置．不计空气阻力．已知重力加速度为ｇ．求当圆环回到出发位置时速度ｖ的大小．图１４ 例６情境图解析：在圆环运动的过程中，圆环受向下的重力ｍｇ，水平方向的洛伦兹力ｑｖＢ，细杆的弹力Ｎ和摩擦力ｆ，其中ｆ一直与运动方向相反，且摩擦力的大小ｆ＝μＮ＝μｑｖＢ圆环从开始向上运动到回到出发位置的过程中，取竖直向上为正方向，根据动量定理有Ｉｆ－ｍｇｔ＝－ｍｖ－ｍｖ０而Ｉｆ＝－∑ｆ上ｉｔ上ｉ＋∑ｆ下ｉｔ下ｉ＝－∑μｑｖ上ｉＢｔ上ｉ＋∑μｑｖ下ｉＢｔ下ｉ＝－μｑＢ∑ｖ上ｉｔ上ｉ＋μｑＢ∑ｖ下ｉｔ下ｉ＝μｑＢ（ｘ下－ｘ上）＝０所以ｖ＝ｇｔ－ｖ０小结：需要对上下两个过程分别使用微积分，因为向上运动的距离与返回运动的距离相等，最终求得滑动摩擦力的冲量为零．【例７】如图１５所示，在竖直向下的磁感应强度为Ｂ的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道ＭＮ和ＰＱ固定在水平面内，相距为Ｌ．一质量为ｍ的导体棒ａｂ垂直于ＭＮ和ＰＱ放在轨道上，与轨道接触良好．轨道和导体棒的电阻均不计．若轨道左端Ｍ与Ｐ间接一电容器，电容器的电容为Ｃ，导体棒在水平向右恒力Ｆ的作用下从静止开始运动．求导体棒运动过程中加速度的大小．图１５ 例７情境图解析：导体棒ａｂ向右加速运动，在极短时间Δｔ内，导体棒的速度变化Δｖ，根据加速度的定义ａ＝ΔｖΔｔ导体棒产生的电动势变化ΔＥ＝ＢＬΔｖ电容器增加的电荷Δｑ＝ＣΔＥ＝ＣＢＬΔｖ根据电流的定义Ｉ＝ΔｑΔｔ解得Ｉ＝ＣＢＬａ导体棒ａｂ受到的安培力Ｆ安＝ＢＩＬ＝Ｂ２ Ｌ２ Ｃａ根据牛顿第二定律Ｆ－Ｆ安＝ｍａ解得ａ＝Ｆｍ＋ＣＢ２ Ｌ２小结：加速度是恒定的吗？不清楚！为了求出加速度，分割后看成是匀变速运动，此处也是化变为恒，是化变加速为匀加速，即变化的ａ转化为恒定的ａ．从最终结果看出，ａ与时间无关，也就是说各段的ａ相同，即全程是匀加速直线运动．上什么山唱什么歌，具体问题要具体分析．【例８】在磁感应强度为Ｂ，方向如图１６所示的匀强磁场中，两根平行且光滑的金属轨道ＭＮ和ＰＱ固定在水平面内，相距为Ｌ，电阻不计．轨道端点Ｍ和Ｐ间接有阻值为Ｒ的电阻．一个长为Ｌ，质量为ｍ，阻值为ｒ的金属导体棒ａｂ垂直于ＭＮ和ＰＱ放在轨道上，与轨道接触良好．给导体棒ａｂ瞬时速度ｖ０，求：金属棒ａｂ向前运动的最大距离ｘ．图１６ 例８情境图解析：以金属棒为研究对象，在很短的一段时间Δｔ内根据动量定理 ＢｉＬΔｔ＝ｍΔｖｉ（１）在某时刻根据全电路欧姆定律ｉ＝ＢＬｖｉＲ＋ｒ（２）由式（１）、（２）得 ＢＢＬｖｉＲ＋ｒＬΔｔ＝ｍΔｖｉ（３）ａｂ经时间ｔ停下来，对式（３）在时间ｔ内求和 ∑ＢＢＬｖｉＲ＋ｒＬΔｔ＝∑ｍΔｖｉ ＢＢＬＲ＋ｒＬ∑ｖｉΔｔ＝ｍ∑Δｖｉ ＢＢＬＲ＋ｒＬｘ＝ｍｖ０（４）解得ｘ＝ｍｖ０（Ｒ＋ｒ）Ｂ２ Ｌ２小结：安培力的冲量，用式（４）左侧计算出的结果是真实值还是近似值？式（１）左侧的匀速如何对应于右侧的变速？下面简要说明为什么是近似值．对于在一极短时间Δｔ内，初速度为ｖｉ的匀减速直线运动过程，结合Ｆ安－ｔ图像，如图１７所示，安培力的冲量ＩＦｉ＝１２Ｂ２ Ｌ２ｖｉＲ＋ｒ＋Ｂ２ Ｌ２（ｖｉ－ａΔｔ）Ｒ＋ｒ［］Δｔ＝Ｂ２ Ｌ２２（Ｒ＋ｒ）（２ｖｉΔｔ－ａΔｔ ２）图１７ Δｔ时间内Ｆ安－ｔ图像因为Δｔ为一极短时间，Δｔ ２相对于Δｔ来说可以忽略不计，所以ＩＦｉ＝Ｂ２ Ｌ２Ｒ＋ｒｖｉΔｔ＝Ｂ２ Ｌ２Ｒ＋ｒｘｉ同样ａｂ经时间ｔ停下来，对上式在时间ｔ内求和ＩＦ＝Ｂ２ Ｌ２Ｒ＋ｒｘ与式（４）左侧一致，因此近似在Δｔ ２的忽略上．物理结果是存在误差的，但这个误差是极小的，可以满足实际的需要．微积分思想与整体法和隔离法是一脉相承的，只是操作时，先分析可研究的局部，再获得整体，适当的练习有益于学生尤其是高三学生物理思维的提升．参考文献１ 程守洙，江之永．普通物理学．北京：高等教育出版社．２０１６２ 匡继昌．微积分和无穷小量的哲学思考．数学教育学报，２００７，１６（２）。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学的一个重要分支，它在物理学中有着广泛的应用。
物理学研究的是自然界中的各种现象和规律，而微积分则为我们提供了一种强大的工具，帮助我们理解和描述这些现象和规律。
本文将探讨微积分在物理学中的应用，并且通过几个具体例子来说明其重要性。
首先，微积分在物理学中的一个重要应用是对物体的运动进行描述和分析。
牛顿运动定律是经典力学的基础，而微积分则是对运动进行建模和求解的数学工具。
例如，当我们研究一个物体在一维直线上的运动时，我们可以通过微积分的方法求解物体的位移、速度和加速度之间的关系。
通过对位移-时间曲线进行微分，我们可以得到速度-时间曲线；通过对速度-时间曲线进行微分，我们可以得到加速度-时间曲线。
这样，我们就可以通过微积分来分析物体在不同时间点的位置、速度和加速度等信息。
其次，微积分在物理学中的另一个重要应用是对物体的力学性质进行研究。
力学是物理学的一个分支，研究物体的运动和相互作用。
微积分可以帮助我们理解和描述物体受力的变化和作用力的大小。
例如，当我们研究一个物体在重力场中的运动时，我们可以通过微积分的方法求解物体所受的重力和空气阻力之间的平衡关系。
通过对受力-时间曲线进行积分，我们可以得到物体的动能和势能之间的关系。
这样，我们就可以通过微积分来分析物体在不同位置和时间点的受力情况。
此外，微积分还在热力学和电磁学等领域中有着重要的应用。
热力学研究的是热能的传递和转化，而微积分可以帮助我们理解和描述热能的变化和流动。
例如，当我们研究一个物体的温度随时间的变化时，我们可以通过微积分的方法求解物体所受的热量和热容之间的关系。
通过对温度-时间曲线进行积分，我们可以得到物体的热能和热功之间的关系。
这样，我们就可以通过微积分来分析物体在不同温度和时间点的热力学性质。
在电磁学中，微积分也起着重要的作用。
电磁学研究的是电荷和电磁场之间的相互作用，而微积分可以帮助我们理解和描述电荷和电场的变化和分布。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用宋书宇(淮南第四中学ꎬ安徽淮南２３２００１)摘㊀要:本文主要介绍积分学在物理学中的一些应用ꎬ根据问题的具体背景ꎬ应用有关的物理定律ꎬ将问题归结为积分计算或者简单的微分方程求解.在具体归结中一般均可用微元法.关键词:积分ꎻ微分ꎻ物理ꎻ力学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－０１１０－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:宋书宇(１９８９.５－)ꎬ男ꎬ安徽省淮南人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀数学和物理学是相通的ꎬ很多的数学问题具有物理背景ꎬ而很多的物理问题也需要数学工具来解决.文章利用微积分对物理学中一些经典问题进行探究ꎬ不仅是从高观点来理解物理ꎬ同时也是在探索物理中的数学方法.１做功问题例１㊀把质量为ｍ的物体从地球(其半径为Ｒ)表面抬升到高度为ｈ的地方ꎬ需要对它做多少功?若物体远离至无穷远处ꎬ则功等于多少?解法１㊀如图１所示ꎬ取地球中心为原点ꎬ取Ｏｘ轴垂直向上.设物体当前的位置为ｘꎬ考虑将其从高度ｘ提升到ｘ＋ｄｘ时需要做的功.图１㊀例１题图从万有引力定律可知ꎬ所要做的功为ｄＷ＝ＧＭｍｘ２ｄｘ.利用当ｘ＝Ｒ时有Ｆ＝ｍｇꎬ于是有ＧＭｍＲ２＝ｍｇꎬ从而可以得到ＧＭ＝ｇＲ２.由ｄＷｄｘ＝ｍｇＲ２ｘ２可知有Ｗ(ｘ)＝－ｍｇＲ２ｘ＋Ｃ.然后再利用Ｗ(Ｒ)＝０ꎬ就可以求出待定常数Ｃ＝ｍｇＲꎬ于是功Ｗ(ｘ)＝ｍｇＲ１－Ｒｘæèçöø÷.用高ｘ＝Ｒ＋ｈ代入ꎬ就知道将物体从地面提高ｈ所需要做的功为Ｗ(Ｒ＋ｈ)＝ｍｇＲ１－ＲＲ＋ｈæèçöø÷＝ｍｇＲｈＲ＋ｈ.这个答案在ｈ≪Ｒ时也就与ｍｇｈ差不多.对于ｈ为无穷远的情况ꎬ只要令ｈң＋¥取极限ꎬ就得到将物体抛至无穷远处所需要做的功为ｍｇＲ.若令ｍｇＲ＝１２ｍｖ２ꎬ则就得到ｖ＝２ｇＲꎬ这就是将地面上的物体送到无穷远处所需要的初始速度.它与物体的质量ｍ无关ꎬ一般称之为第二宇宙速度ꎬ记为ｖ２.取ｇ＝９.８ｍ/ｓ２ꎬＲ＝６.３８ˑ１０３ｋｍꎬ可计算出ｖ２ʈ１１.２ｋｍ/ｓ.解法２㊀在求出ｄＷｄｘ之后ꎬ只要利用Ｗ(Ｒ)＝０就可以用定积分计算如下:０１１Ｗ(Ｒ＋ｈ)＝ʏＲ＋ｈＲＷᶄ(ｘ)ｄｘ＝ʏＲ＋ｈＲｍｇＲ２ｘ２ｄｘ＝ｍｇＲ２－１ｘæèçöø÷Ｒ＋ｈＲ＝ｍｇＲ２１Ｒ－１Ｒ＋ｈæèçöø÷＝ｍｇＲｈＲ＋ｈ.而当ｈң＋¥时则可直接计算广义积分如下:Ｗ(＋¥)＝ｌｉｍｈң＋¥ʏＲ＋ｈＲｍｇＲ２ｘ２ｄｘ＝ʏ＋¥ＲｍｇＲ２ｘ２ｄｘ＝ｍｇＲ２－１ｘæèçöø÷＋¥Ｒ＝ｍｇＲ.注㊀以上两个解法无本质差别ꎬ都是从ｄＷｄｘ＝ｍｇＲ２ｘ２出发求未知函数Ｗ(ｘ).一般而言ꎬ若取ｘ为自变量ꎬｙ(ｘ)为未知函数ꎬ则将Ｆｘꎬｙꎬｄｙｄｘæèçöø÷＝０ꎬ或者ｄｙｄｘ＝ｆ(ｘꎬｙ)称为(常)微分方程.若后一式的右边不出现ｙꎬ则就是求不定积分.它是最简单的微分方程ꎬ本题就是如此.从不定积分知道ꎬ其中出现待定常数.如解法１所示ꎬ根据条件Ｗ(Ｒ)＝０可以求出这个常数ꎬ从而得到完全确定的解.这在微分方程理论中称为初始条件[１].２压力问题例２㊀求水对坚直放置的半圆形挡板的压力ꎬ该挡板的半径为ａꎬ而水面位于挡板顶部直径的位置.解法１㊀如图２所示ꎬ将原点置于水面ꎬＯｘ轴垂直于水面指向下方.图２㊀解法１示意图㊀㊀㊀㊀图３㊀解法２示意图考虑挡板在水深为ｘ和ｘ＋ｄｘ之间的部分(即图２的阴影带区)ꎬ深度ｘ处的压强为ρｇｘꎬ其中ρ为密度ꎬ可取为１ꎬｇ是重力加速度.为简明起见ꎬ下面略去这个常数因子.将深ｘ处的压强乘以阴影带区的面积ꎬ近似地得到ｄＦ＝２ｘａ２－ｘ２ｄｘ.将它对ｘ从０到ａ积分得到Ｆ＝２ʏａ０ｘａ２－ｘ２ｄｘ＝－２３ａ２－ｘ２()３２ａ０＝２３ａ３.解法２㊀如图３所示ꎬ考虑挡板在角φ到φ＋ｄφ之间的扇形部分.可以将它近似地看成为一个三角形ꎬ它的质心离开原点的距离为２ａ/３.水对这个扇形的压力等于扇形面积乘以水在质心处的压强.这就是２３ａｃｏｓφˑ１２ａ２ｄφ＝１３ａ３ｃｏｓφｄφ.利用对称性ꎬ将它对于φ在０ꎬπ２[]上积分并乘以２ꎬ就得到Ｆ＝２３ａ３ʏπ２０ｃｏｓφｄφ＝２３ａ３.注㊀这里需要解释一下ꎬ在解法２中ꎬ作用在一个小扇形上的水压力为什么等于其面积乘以在其质心处的压强.为此只要注意水的压强值(在忽略常数因子后)等于深度ｘꎬ也就是到Ｏｙ轴的距离.因此解法２的做法是合理的[２].３动能问题例３㊀半径为Ｒ而密度为δ的均质球体以角速度ω绕其直径旋转ꎬ求此球的动能.解㊀对于由质点ｍｉ(ｉ＝１ꎬ ꎬｎ)组成的离散系统ꎬ绕固定轴旋转的动能为Ｔ＝１２ðｎｉ＝１ｍｉｖ２ｉꎬ其中ｖｉ是质点ｍｉ的速度ꎬ若旋转的角速度为ωꎬ则ｖｉ＝ｒｉωꎬ其中ｒｉ是质点ｍｉ到旋转轴的距离ꎬｉ＝１ꎬ ꎬｎ.这样就得到力学中计算动能的公式为Ｔ＝１２ðｎｉ＝１ｍｉｖ２ｉ＝１２ω２ðｎｉ＝１ｍｉｒ２ｉ＝１２Ｍ(２)ω２ꎬ其中Ｍ(２)是质点系的转动惯量.对质量为连续分布的系统ꎬ只要将上述ｍｉ用微分代替ꎬ将求和改为求积分即可得到.因为可以求出本题的球关于直径的转动惯量为Ｍ(２)＝８π１５Ｒ５δꎬ故本题的答案是１１１Ｔ＝１２Ｍ(２)ω２＝４π１５Ｒ５δω２.４吸引力问题例４㊀线密度μ０为常数的无穷直线以怎样的力吸引距此直线距离为ａ而质量为ｍ的质点?解㊀如图４所示ꎬ将该直线(棒)置于Ｏｘ轴上ꎬ考虑微元ｄｘ对点(０ꎬａ)处的质点的引力.图４㊀例４题图微元ｄｘ的质量为μ０ｄｘꎬ它到点(０ꎬａ)的距离是ｘ２＋ａ２ꎬ因此根据万有引力定律知道该微元对质量ｍ的质点的引力是Ｆ＝ｋｍμ０ｄｘｘ２＋ａ２ꎬ其中ｋ为常数ꎬ力的方向从点(０ꎬａ)指向点(ｘꎬ０).利用对称性ꎬ合力在ｘ方向的分量为０ꎬ在ｙ方向的分量小于０.因此只要将上述Ｆ投影到Ｏｙ轴方向再积分即可.这样就列出积分公式如下:ｋμ０ｍʏ＋¥－¥１ｘ２＋ａ２ ａｘ２＋ａ２ｄｘ＝２ｋａμ０ｍʏ＋¥０ｄｘｘ２＋ａ２()３２.作代换ｘ＝ａｔａｎｔꎬ就得到２ｋａμ０ｍʏ＋¥０ｄｘｘ２＋ａ２()３２＝２ｋｕ０ｍａʏπ２０ｓｅｃ２ｔｓｅｃ３ｔｄｔ＝２ｋｕ０ｍａʏπ２０ｃｏｓｔｄｔ＝２ｋｕ０ｍａ.５容器形状的确定问题例５㊀旋转体容器应该具有什么形状ꎬ才能使液体从容器底部流出时ꎬ液体上表面的下降是均匀的?解㊀如图５所示为容器的一个截面.设想该容器是用ｘＯｚ平面内的曲线ｚ＝ｚ(ｘ)围绕Ｏｚ轴旋转得到ꎬ其中设ｚ(０)＝０ꎬ曲线在第一象限中.图５㊀例５题图假设容器中液体的流出孔开在底部原点处ꎬ则根据托里拆利定律ꎬ液体从容器中流出的速度为ｖ＝ｃ２ｇｈꎬ其中ｇ为重力加速度ꎬｈ为孔上方的液体水平面的高度ꎬｃ＝０.６为实验所得系数.如图５所示ꎬ液体水平面的高度是时间的函数ꎬ记为ｚ(ｔ)ꎬ则在时间ｄｔ内ｚ(ｔ)下降ｄｚ时容器内减少的液体体积就等于流出的液体量.用托里拆利定律ꎬ就得到液体的流出量为ｖｄｔ＝ｃ２ｇｚｄｔꎬ而液面高度从ｚ＋ｄｚ降到ｚ时的液体体积可从旋转体的生成知道是πｘ２ｄｚ.于是就有πｘ２ｄｚ＝ｃ２ｇｚ１２ｄｔ也就是微分方程ｄｚｄｔ＝ｃ２ｇπ ｚ１２ｘ２根据题意要求ｄｚｄｔ为常数ꎬ因此就得到ｚ＝Ｃｘ４ꎬ其中Ｃ为常数.对于物理问题的理解和解决ꎬ可以从微积分的视角来分析ꎬ这样才能看清问题的本质.在日常教学中ꎬ也可以给学生渗透微积分的知识与方法ꎬ如在变力做功或者变速运动的问题中.这样ꎬ可以帮助学生建立完整的知识框架和认知结构ꎬ对激发学生学习物理的兴趣以及学生今后物理学习的潜能是非常有帮助的.参考文献:[１]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１０.[２]谢惠民ꎬ沐定夷.吉米多维奇数学分析习题集学习指引(第二册)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１１(４).[责任编辑:李㊀璟]２１１。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用The application of calculus in physics摘要: 关于“微积分”是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论，使运算也更加简便 。
“应用数学处理物理问题的能力”是我们必须掌握的一种解决物理问题的方法，“能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系，根据数学的特点、规律，进行推导、求解，并根据结果做出物理判断、进行物理解释，得出物理结论”是物理解题中运用的数学方法，微积分就是其中一种。
关键词: 微积分Key words: calculus基金项目：本文为大学生科研项目批准文号xs11035资助项目作者简介：姓名：李东康（出生年月198211），女，吉林省；单位全称：通化师范学院物理学院，职称：助教；研究方向：光学；刘明娟，通化师范学院物理学院本科学生；1、微积分1.1定义：设函数()x F 在[]b a ,上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点a=0X <1X <...<1-Xn <Xn =b 把区间[]b a ,分成n 个小区间[][]n n x x x x ,,110- 。
在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()i i i x x ≤≤-ζ1，作函数值()i f ζ与小区间长度的乘积()xi i f ∆ζ，并做出如果不论对[]b a ,怎样分法，也不论在小区间上的点i ζ怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()x f 在区间[]b a ,上的定积分。
设函数()x f y =在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在此区间内。
如果函数的增量()()00x f x f x y -∆+=∆可表示为 ()x x y A ∆O +∆=∆（其中A 是不依赖于x∆的常数），而()x ∆O 是比x ∆高阶的无穷小，那么称函数()x f 在点0x 是可微的，x A ∆称作函数在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作y d ，即x y A d ∆=。
(完整)微积分在物理 中的简单应用(DOC)
求解在立体斜面上滑动的物体的速度擦因数μ恰好满足一物体放在斜面上,物体与斜面间的摩αμtg =，α为斜面的倾角.今使物体获得一水平速度0V 而滑动，如图一，求:物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。
G ，弹力N以及摩擦力解：物体在某一位置所受的力有:重力f 。
摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ====重力在斜面上的分力为1G,如图二,将1G 分解为两个分力：1G ''是1G 沿轨迹切线方向的分力，φαφsin sin sin 11mg G G =='' ；1G'是沿轨迹法向的分力，φαφcos sin cos 11mg G G =='，如图三。
根据牛顿运动定律,得运动方程为τma f G =-''1(1） n ma G ='1（2) 由（1)，)1(sin sin )sin sin sin (1-=-=φααφατg mg mg m a 而,dtdVa =τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）式中φ是t 的函数,但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分,要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到φφd d ds V V dS dt 1==（4） 而φd ds表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式，ρφα2cos sin V mmg = (5）由式(3）（4）（5）,可得到 ,)sec (φφφd tg V dV-= φφφφd tg V dV V V ⎰⎰-=00)sec (， 积分,得到)sin 1ln()ln(sec cos ln lnφφφφ+-=+--=tg V V， .sin 10φ+=V V运用积分法求解链条的速度及其时间子上,一边长度为1L ,另一条匀质的金属链条，质量为m,挂在一个光滑的钉一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。
微积分在物理中的应用
微积分在物理中的应用微积分是数学的一个分支，它研究函数的极限、导数、积分以及无穷级数等概念。
微积分在物理学中有着广泛的应用，它是理解和描述自然界现象的重要工具。
本文将探讨微积分在物理学中的几个关键应用。
运动学分析在物理学中，微积分用于描述和分析物体的运动。
速度和加速度的概念都与微积分紧密相关。
速度是位移对时间的导数，而加速度是速度对时间的导数。
通过微积分，我们可以从物体的运动方程出发，计算出在任何给定时刻的速度和加速度。
力学在力学中，微积分用于计算变力所做的功以及物体的动能和势能。
功是力沿其作用方向的位移的积分，而动能和势能的计算则涉及到对速度和位置的函数进行积分。
此外，牛顿的运动定律也可以结合微积分来预测物体在复杂力作用下的行为。
热力学热力学是研究能量转换的物理学分支，微积分在这里扮演着核心角色。
例如，热容的计算需要对温度-热能关系进行积分处理。
此外，熵的概念也与微积分密切相关，因为它涉及到系统状态的概率分布的对数的积分。
电磁学在电磁学中，微积分用于计算电场和磁场中的通量以及电荷分布产生的电势。
麦克斯韦方程组描述了电磁场如何随时间变化，而这些方程的求解往往需要用到微积分的知识。
电势差的计算就是一个积分过程，涉及到电场强度沿特定路径的积分。
量子力学量子力学是现代物理学的一个基本理论，它描述微观粒子的行为。
微积分在量子力学中的应用包括波函数的分析，这些波函数的平方给出了找到粒子的概率密度。
薛定谔方程是量子力学中的核心方程之一，它的解通常需要使用到微积分技巧。
结论微积分不仅是数学的一个重要分支，也是物理学不可或缺的工具。
从经典力学到量子力学，微积分提供了一种强大的语言来描述和理解自然界的基本规律。
通过微积分，物理学家能够精确地预测和解释各种物理现象，从而深化我们对宇宙的理解。
微积分法在高中物理中的应用
微积分法在高中物理中的应用作者：张振荣来源：《中学物理·高中》2014年第02期最近两年的高中物理练习题中出现了这样一种处理问题的方法：为了求总和，先分割成无数小微元再求和，有种欲擒故纵的演绎思想，这就是数学上的积分法.微积分法最初的建立本身就是为了研究物体的运动问题而提出来和被广泛的应用的.牛顿对其的解释是，已知连续运动的路径求速度就是微分，已知运动的速度求一段时间内的路程就是积分.可见微积分，就其发展的经历以及对物理学的作用来说，可以说是功不可没，只不过以往高中数学没有学习微积分，所以这种方法在高中阶段被搁置了，实在是种缺憾.随着新课改的推进，由于高中数学内容的改动，增加了微积分，故相应微积分在处理高中物理问题的思想和方法又浮出来，会逐渐被广泛应用，可以说是符合学生学习发展的客观需要，是与时俱进的体现，掌握和熟练应用这部分内容来处理高中物理问题应该成为一种基本要求.我们先来体会一下：如图1所示，在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，有两条相互平行的且相距L的光滑金属导轨P1P2P3-Q1Q2Q3，两导轨间用阻值为R的电阻连接，导轨P2P3、Q2Q3在同一水平面上，P2Q2⊥P2P3，倾斜导轨和水平导轨均用相切的一小段光滑圆弧连接，其长度可以略去不计.在倾角为θ的斜导轨P1P2-Q1Q2上放置一根质量为m的细金属杆AB，杆AB 始终垂直于导轨并与导轨保持良好接触.现用沿P1P2方向的拉力F施加于杆AB，使杆AB在高h处由静止开始向下做匀加速直线运动，当杆AB运动到P2Q2时撤去拉力，最终在CD处停下，测得CD与P2Q2之间的距离为s.不计导轨和杆A的电阻，不计空气阻力.求：（1）杆AB下滑的过程中通过电阻R的电荷量q.（2）杆AB运动到P2Q2处时的速度大小v.（3）回路中的最大感应电流IM和杆AB在斜导轨上的加速度大小a.在高三复习时讲解用这种方法时，担心学生不能接受，而实际恰恰相反，学生接受和理解的相当容易，因为已有了数学功底.实际上微积分的思想在高中物理学习中是贯穿始终的，最初接触应该是由v-t图象求位移的时候，只不过当时学生数学上还没有学到此部分内容，故只是把思想加以渗透，没有过多解释及应用.高中所谓的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分，在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道.现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移大小等于速度时间图象与时间轴所围图形的“面积”，在高二数学课学习过以后我们可以加以巩固，把这种方法应用到解决物理问题上来，学生很容易接受，同时又多了一种处理变加速直线运动的方法，具有很强的实际意义，毕竟实际运动更多的是变加速运动，学生又多了一种处理问题的方法.从物理中来回到物理中去，这种方法已经很广泛的被运用解决各种问题当中.再如：如图2所示，四分之一光滑绝缘圆弧轨道AP和水平绝缘传送带PC固定在同一竖直平面内，圆弧轨道的圆心为O，半径为R；P点离地高度也为R，传送带PC之间的距离为L，沿逆时针方向的传动速度v=2gR ，在PO的左侧空间存在方向竖直向下的匀强电场.一质量为m、电荷量为+q的小物体从圆弧顶点A由静止开始沿轨道下滑，恰好运动到C端后返回.物体与传送带间的动摩擦因数为μ，不计物体经过轨道与传送带连接处P时的机械能损失，重力加速度为g.（1）匀强电场的场强E为多大；（2）物体返回到圆弧轨道P点，物体对圆弧轨道的压力大小；（3）若在直线PC上方空间再加上匀强磁场，方向垂直于纸面向里，磁感应强度为B（图中未画出），物体从圆弧顶点A静止释放，运动到C端后做平抛运动，落地点离C 点的水平距离为R，试求物体在传送带上运动的时间t.在物理学中，这是一种很重要的计算方法，千万不可忽视.如求变力功问题：利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内，力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加，即“无限求和”，则总的功就可以知道.在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性，这种思想无不贯穿整个高中物理.“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维.我们教学的时候，要学会这种研究问题的思想和方法，并传授给学生，符合学生求知发展的需求，在处理物理问题上更可以起到事半功倍的效果.实际上大学物理中几乎每个物理量都和微积分有着联系，由于高中教学数学内容的更新，这种处理问题的方法过渡到高中是一种必然趋势.。
微积分在大学物理的一些应
微积分在大学物理的一些应用摘要在大学物理中微积分有非常大的用处，随处可见给我们解题带来的方便。
即如在质点运动，力学，功，热学，电磁学等都有体现出了。
在习题解答中也处处能用到，也许是他们的特殊的性质和集合意义，让他们在物理应用中非常的全面。
如在质点运动中瞬时速度，用符号 “v ”表示，即00()()limlim t t r t t r t r d rv t t dt∆→∆→+∆-∆===∆∆。
微积分作为数学的一门分支学科，在物理学中有着非常重要的应用价值。
大学物理中，我们常常研究始终都在变化的物理量，会觉得很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就就可以认为是常量处理，最终加起来就行了。
关键词：微积分，取极限，分割，求导引言微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，“无限细化”就是微分，“无限求和”就是积分。
在学习物理的过程中，我们常常是在研究不规则的物理量或物理状态。
有了这个思想，那我们就可以把问题细化，研究一个小的微元的变化量，然后相加，非常方便。
一、力学 1.1质点运动学1、若质点在t ∆时间内的位移r ∆，则定义r ∆与t ∆的比值为质点在这段时间内的平均速度，写为 rv t∆=∆ 其分量形式r x y z v i j k t t t t∆∆∆∆==++∆∆∆∆ 当0t ∆→时，平均速度的极限值叫做瞬时速度，用符号“v ”表示，即00()()limlim t t r t t r t r d rv t t dt∆→∆→+∆-∆===∆∆0t ∆→时，r ∆的量值r ∆可以看作和s ∆相等，此时瞬时速度的大小d rv dt=等于质点在该点的瞬时速率ds dt。
t 时刻质点的速度为();v t 在t t +∆时刻，质点位于下一点时其速度为()v t t +∆；则在时间t 内，质点的速度为()()v v t t v t ∆=+∆-。
定义质点在这段时间内的平均加速度为 v a t∆=∆ 平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。
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的长直导线旁有一共面的单匝矩形线
圈 ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。
解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为 B=
在图中做一个微元面 dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元 面 dS 上的磁通量为
d 线圈围成的面上通过的磁通量为
线圈中的感应电动势为
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微积分在物理学上的 应用
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微积分在物理学上的应用
1 引言 微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，
其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通 用的符号来进行讨论。而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍 的。对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空 间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单， 可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题 的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称 为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解 决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。
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是十分复杂的，但如果“权函数”具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相 等），原本复杂的题目就会化成简单的形式更有利于我们去解决问题。 例：求半径为 R 的均匀带电半球面在点 O 的电场强度，设球面上电荷面密度σ>0.
解法一：
如图，在球面上任取面元 dS，将其上的电
荷为一点电荷 dq，则有 dq= dS= (Rd )(R )d
在这个例题中，微元面 dS 的磁通量与线圈的感应电动势都有 ，但他们的 物理含义却是不一样的，前者的 表示微元面 dS 上的磁通量，是一个微小 量，而后者的 表示的是微笑时间内的磁通量变化量，是一个微小变化量。
3 微元的选取以及微积分解决物理问题时的一般步骤
3.1 微元的选取 在使用微积分去解决物理问题时，微元的选取是非常重要的，有的时候在
2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探
讨的就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出 的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我 们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体 的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以 在其运动过程中选取一个微小的时间 dt，而这一时间内的位移为 dt，在每一段 时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的 运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以 得出总的位移。
=
dd
则该点电荷元在点 O 产生的场强
dE=dq/(4 ε0 )=
d d /(4 ε0)
根据对称性，即得出点 O 场强 E0 沿 Z 轴正方向，大小为
E=∫∫dE = /(4ε0)
解法二：
如图，沿着与 Z 轴的垂直方向把半球面分割成许
多不同半径的带电圆环，任取一圆环，其上的电荷在点 O 产生的场强
dE=dqz/[4 ε0
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在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，
我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方
面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学
角度去理解其为无限小，更要结合具体
的物 i=
解：
如图建立坐标系，在没有摩擦力的情况下，当桶内水
位高度为 h-x 时，水从小孔中单位时间内流过单位截面积的流量为
v=
，其中 g 为重力加速度
设积分变量 x,其变化区间为[0，h]
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任取[x,x+Δx]∈[0,h]，当桶中液体下降Δx 时，所需要的时间用 dt 表示，根据
微元的选择上并不是仅仅只有一个，因此，选取一个合适的微元对我们解决问 题会有很大帮助。
我们通常在微元的选取方面有以下几点注意，第一，在我们选取微元时， 要保证我们们所选择的微元能够让我们可以将原本的问题近似处理的比较简 单，以使我们能够更加便利且清晰的区解决物理问题；第二，我们要使我们选 择的微元尽可能地大，这样在我们去积分时可以更为方便，如果微分过细，那 么我们的过程会更精准，可是相对的，我们在积分时面临的过程也会更加繁 琐，因此我们要处理好微分和积分之间的运算；第三，能用一元微元去解决问 题时尽量使用一元微元，因为重积分使用起来要比一元积分麻烦的很多。
题目简单且物理含义比较明显，且遵从题意，可直接进行积分。 2.若是题目较复杂，根据题意，对于一个暂态过程写出一个平衡等式，然
后对两边微分，在得到一个微元结果后，对这个分式进行积分操作。 以上步骤都是在遵从题意的基础下进行，进行微分分析的结果一般是一个
微分方程，在求解时要注意初始条件，在积分时，更要注意取上下限时，要满 足边界条件。 例：圆柱形桶的内壁高为 h，内半径为 R，桶底有一半径为 r 的小孔，试问从盛 满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多长时间？
]
=( /2ε0)
d
方向沿 OZ 轴正方向，点 O 场强
E=∫dE= /(4ε0)
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由例子可知选取的微元不同，解法也是不同的，代表的物理含义也是不一 样的，然而微元的选取并不影响结果，因此我们要正确理解其含义，才能更好 地从物理概念，物理实质上去把握微积分。
3.2 微积分解决物理问题时的一般步骤 1.根据题意分析，选取一个具有广泛意义的微元，对微元进行分析，若是
选取微元要遵循以下几个原则：1.可加性原则，由于在题目中我们所选取 的微元要可以叠加演算，因此，选取的微元要具备可加性；2.有序性原则，为 了保证我们所选取的微元能够在叠加区域可以不遗漏，不重复的叠加，我们就 需要注意按照量的某种序来选取微元；3.平权型原则，叠加演算实际上就是一 种复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数”而言，叠加演算，也就是求定积分