一元线性回归模型.
第三章 一元线性回归模型
第三章 一元线性回归模型一、预备知识（一）相关概念对于一个双变量总体,若由基础理论，变量和变量之间存在因果),(i i x y x y 关系，或的变异可用来解释的变异。
为检验两变量间因果关系是否存在、x y 度量自变量对因变量影响的强弱与显著性以及利用解释变量去预测因变量x y x ，引入一元回归分析这一工具。
y 将给定条件下的均值i x i yi i i x x y E 10)|(ββ+=（3.1）定义为总体回归函数（PopulationRegressionFunction,PRF ）。
定义为误差项（errorterm ）,记为，即，这样)|(i i i x y E y -i μ)|(i i i i x y E y -=μ，或i i i i x y E y μ+=)|(i i i x y μββ++=10（3.2）（3.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。
其中，称为解释变量x （explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；称为被解释y 变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项解释μ了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。
误差项的构成包括以下四个部分：（1）未纳入模型变量的影响（2）数据的测量误差（3）基础理论方程具有与回归方程不同的函数形式，比如自变量与因变量之间可能是非线性关系（4）纯随机和不可预料的事件。
在总体回归模型（3.2）中参数是未知的，是不可观察的，统计计10,ββi μ量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。
给定一组随机样本，对（3.1）式进行估计，若的估计量分别记n i y x i i ,,2,1),,( =10,),|(ββi i x y E 为，则定义3.3式为样本回归函数^1^0^,,ββi y （）i i x y ^1^0^ββ+=n i ,,2,1 =（3.3）注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说是随机变量，^1^0,ββ它们的随机性是由于的随机性（同一个可能对应不同的）与的变异共i y i x i y x 同引起的。
计量经济学第2章 一元线性回归模型
15
~ ~ • 因为 2是β2的线性无偏估计，因此根据线性性， 2 ~ 可以写成下列形式： 2 CiYi
• 其中αi是线性组合的系数，为确定性的数值。则有
E ( 2 ) E[ Ci ( 1 2 X i ui )]
E[ 1 Ci 2 Ci X i Ci ui ]
6
ˆ ˆ X )2 ] ˆ , ˆ ) [ (Yi Q( 1 2 i 1 2 ˆ ˆ X 2 Yi 1 2 i ˆ ˆ 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ [ ( Y X ) ] 1 2 i Q( 1 , 2 ) i ˆ ˆ X X 2 Yi 1 2 i i ˆ ˆ 2 2
16
~
i
i
• 因此 ~ 2 CiYi 1 Ci 2 Ci X i Ci ui 2 Ci ui
• 再计算方差Var( ) 2 ，得 ~ ~ ~ 2 ~ Var ( 2 ) E[ 2 E ( 2 )] E ( 2 2 ) 2
C E (ui )
2 i 2 i
i
~
i
i
i
i
E ( 2 Ci ui 2 ) 2 E ( Ci ui ) 2
i
2 u
C
i
2 i
i
~ ˆ)的大小，可以对上述表达式做一 • 为了比较Var( ) 和 Var( 2 2
些处理： ~ 2 2 2 2 Var ( 2 ) u C ( C b b ) i u i i i
8
• 2.几个常用的结果
• （1） • （2） • （3） • （4）
一元线性回归模型(计量经济学)
总体回归函数说明被解释变量Y的平均状 态（总体条件期望）随解释变量X变化的 规律。至于具体的函数形式，则由所考 察的总体的特征和经济理论来决定。
在例2.1中，将居民消费支出看成是其可 支配收入的线性函数时，该总体回归函
数为: E (Y |X i)01 X i
它是一个线性函数。其中，0，1是未知
第二章 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型
§2.1 回归分析概述 §2.2 一元线性回归模型的基本假设 §2.3 一元线性回归模型的参数估计 §2.4 一元线性回归模型的统计检验 §2.5 一元线性回归模型的预测 §2.6 一元线性回归建模实例
§2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数 三、随机扰动项 四、样本回归函数
1430 1650 1870 2112
1485 1716 1947 2200
2002
2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510
一个抽样
由于调查的完备性，给定收入水平X的消费 支出Y的分布是确定的。即以X的给定值为条 件的Y的分布是已知的，如 P(Y=561 | X = 800) =1/4。 进而，给定某收入Xi，可得消费支出Y的条 件均值，如 E(Y | X = 800) =605。 这样，可依次求出所有不同可支配收入水平 下相应家庭消费支出的条件概率和条件均值 ，见表2.1.2.
相关分析主要研究随机变量间的相关形式 及相关程度。变量间的相关程度可通过计 算相关系数来考察。
具有相关关系的变量有时存在因果关系，
这时，我们可以通过回归分析来研究它们
之间的具体依存关系。
课堂思考题
计量经济学第二篇一元线性回归模型
第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。
图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。
所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
“线性”一词在这里有两重含义。
它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。
1ty x β∂=∂，221ty β∂=∂0 ，1ty β∂=∂，2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。
随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略，（2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。
2.1.3 一元线性回归模型的基本假定通常线性回归函数E(y t ) = β0 + β1 x t 是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t ) =β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。
一元回归线性模型
一元回归线性模型
一元线性回归模型，又称为简单线性回归模型，是机器学习中常
用的回归模型，它是利用一个自变量X来预测因变量Y的结果。
一元
线性回归模型将样本数据映射为一条直线，如y=ax+b，其中a是斜率，b是截距，也就是说，一元线性回归模型中的参数是斜率和截距，而拟
合的直线就是根据样本数据估计出来的最佳拟合直线。
目标函数是求解参数 a 和 b，使得误差平方和最小，具体来说，
目标函数的表达式为：J（a,b）=Σi(yi-f(xi))^2,其中f（x）=ax+b，yi为观测值，xi为观测值对应的自变量。
对于一元线性回归模型，求解参数 a 和 b 的最优方法要么是直
接用梯度下降法求解，要么是用最小二乘法求解。
梯度下降法求解时，需构造损失函数，使用梯度下降法迭代更新参数，直到获得最优结果；而最小二乘法求解时，通过求解参数关于损失函数的导数，便可解出
模型参数，从而得到最优结果。
一元线性回归模型在实际应用中有很多优点，其中最重要的就是
它易于拟合和解释，它求解简单，可以很大程度上减少了计算复杂度，而且可以很好地预测因变量的值，也可以用来检验变量之间的关系。
计量经济学 第二章 一元线性回归模型
计量经济学第二章一元线性回归模型第二章一元线性回归模型第一节一元线性回归模型及其古典假定第二节参数估计第三节最小二乘估计量的统计特性第四节统计显著性检验第五节预测与控制第一节回归模型的一般描述（1）确定性关系或函数关系：变量之间有唯一确定性的函数关系。
其一般表现形式为：一、回归模型的一般形式变量间的关系经济变量之间的关系，大体可分为两类：（2.1)（2）统计关系或相关关系：变量之间为非确定性依赖关系。
其一般表现形式为：(2.2)例如：函数关系：圆面积S =统计依赖关系/统计相关关系：若x和y之间确有因果关系，则称(2.2)为总体回归模型，x(一个或几个）为自变量（或解释变量或外生变量），y为因变量（或被解释变量或内生变量），u为随机项，是没有包含在模型中的自变量和其他一些随机因素对y的总影响。
一般说来，随机项来自以下几个方面：1、变量的省略。
由于人们认识的局限不能穷尽所有的影响因素或由于受时间、费用、数据质量等制约而没有引入模型之中的对被解释变量有一定影响的自变量。
2、统计误差。
数据搜集中由于计量、计算、记录等导致的登记误差；或由样本信息推断总体信息时产生的代表性误差。
3、模型的设定误差。
如在模型构造时，非线性关系用线性模型描述了；复杂关系用简单模型描述了；此非线性关系用彼非线性模型描述了等等。
4、随机误差。
被解释变量还受一些不可控制的众多的、细小的偶然因素的影响。
若相互依赖的变量间没有因果关系，则称其有相关关系。
对变量间统计关系的分析主要是通过相关分析、方差分析或回归分析(regression analysis)来完成的。
他们各有特点、职责和分析范围。
相关分析和方差分析本身虽然可以独立的进行某些方面的数量分析，但在大多数情况下，则是和回归分析结合在一起，进行综合分析，作为回归分析方法的补充。
回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。
一元线性回归模型
一．一元线性回归模型1. 一元线性回归模型的基本假设有哪些？违背假设是否能估计？为什么？ 答:①E(i V |i X )=0 随机项i V 的数学期望为0 ②Var(i V |i X )=E{[i V —E(i V )]2}=E (2i V )=2u σ③COV(i V ，j V )=E{[i V —E(i V )][j V —E(j V )]}=0 i V ，j V 相互独立不相关 ④COV(i V ，i X )=0 解释变量i X 与误差项i V 同期独立无关 ⑤i V ～N(0，2u σ) i X ，i V 服从正态分布的随机变量 违背的话可以估计 但是要对原数据适当的处理 2. 方差分析表与参数估计表的结构变差来源 平方和 自由度 均方F统计量回归 残差 ESS RSS 12n - ESS22e RSS n S -= 1(2)ESSF RSSn =-总变差 TSS1n -21y TSS n S -=―2R =ESS TSS =1—RSSTSS=2212211[()()]()()ni i i n niii i x x y y x x y y ===----∑∑∑TSS=21()nii yy =-∑ ESS=21ˆ()ni yy =-∑ RSS=21ˆ()ni i y y =-∑ Eviews 输出结果 参数估计值 估计值标准差 F 检验 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C （0β） （S(0ˆβ)） 0β<对0β显著 X 1β>非线性不通过R-squared Adjusted R-squaredProb(F-statistic) >方程本身不是线性的 结论：该案例结果不理想 无论从个别还是总体上原因：(1) 0β，1β个别检验不通过 (2)F 检验远远超过期望的值(>5%or>10%) (3) 2R =拟合度特别差<50%(注：2R >80%or>70%认为拟合度好)3. 回归方程的标准记法ˆi y=0β+1βi x Se=(S(0ˆβ)) (S(1ˆβ)) 22211ˆ()ˆ22nni i i i uey yn n σ==-==--∑∑2221121ˆ()2()ni u i nii e s n x x σβ===--∑∑222211ˆ()[]()Xn ii x s nx x βσ==+-∑ 111ˆˆ()t s ββ= *代表显著性大小 **代表1%下显著 *代表5%下显著 无*代表5%下不显著 4. t 检验与F 检验的步骤(1) t 检验：01:0H β=11:0H β≠Next 111ˆˆ()t s ββ=～t(n-2) Next 查t 分布表临界值2(2)t n α- α取1%或5% Next 当|t|≥2(2)t n α-拒绝原假设10β≠说明y 对x 的一元线性相关显著当|t|<2(2)t n α-不拒绝原假设10β≠说明y 对x 的一元线性相关不显著(2) F 检验：01:0H β=11:0H β≠ Next 12ESSF RSS n =-(上：回归 下：残差)=？(假设=100)Next 查F α(1，n-2) Next 当100≥F α(1，n-2)拒绝0H 说明y 对x 的一元线性相关显著当100<F α(1，n-2)不拒绝0H 说明y 对x 的一元线性相关不显著(注：统计软件用P 值进行检验P>α等价F<F α(1，n-2)此时不拒绝0H 当P<αF>F α(1，n-2)此时拒绝0H ) 二．多元线性回归模型1. 基本假设：(1) 随机误差项i V 的条件期望值为0 即E(i V |1i X …ki X )=0 (2) 随机误差项i V 的条件方差相同Var(i V |1i X …ki X )=2u σ (3) i V 之间无序列相关COV(i V ，j V )=0 (4) i V ～N(0，2u σ)(5)各种解释变量之间不存在显著的线性相关关系 2.矩阵表达式12ˆˆˆ.ˆn y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 11112211...1.....1...k k n kn x x x x x x x ⎫⎛⎪⎪ =⎪ ⎪ ⎝⎭0ˆˆ.ˆk βββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1ˆ()()x x x y β-''= 参见P51 例3-1 3随机误差项u 的方差2u σ的最小二乘估计量221ˆ1nii X en k σ==--∑=21ˆ()1niii y yn k =---∑随机误差项i U 同方差且无序列相关 则方差协方差矩阵Var-COV(u)=E(uu ')=)(112.,...n n u E u u u u ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=2u σI4.方差分析表变差来源 平方和 自由度 均方F统计量回归 残差 ESSRSS 12n - ESS22e RSS n S -= 1(2)ESSF RSSn =-总变差 TSS1n -21y TSS n S -=―2R =ESS TSS TSS=21()n i i y y =-∑ ESS=21ˆ()n i y y =-∑ RSS=21ˆ()ni i y y =-∑ 221111(1)11RSSn n k R R TSS n k n ---=-=----- 222211ˆ()ˆ11nniiii i u ey ySe n k n k σ==-===----∑∑5. P69 8(1) 0β1β3β的个别检验不通过，2β的个别检验通过 (2)F 检验通过 对结果不满意三．违背古典假定的计量经济模型 2. 自相关D-W 检验 (1)d< L d ,u 存在一阶正自相关(2)d>4-L d ,u 存在一阶负自相关 (3)u d <d<4-u d ,不存在自相关(4)L d <d<u d ，或4-u d <d<4-L d 时,u 是否存在自相关,不能确定 4.异方差的white 检验(以二元线性模型为例) 二元线性回归模型：01122i i i i y x x u βββ=+++ ① 异方差与解释变量12,x x 的一般线性关系为：2i σ=0α+11i x α+22i x α+231i x α+242i x α+512i i x x α+i V ②<1>运用OLS 估计的式① <2>计算残差序列i并求2i<3>做2i对1i x ，2i x ，21i x ，22i x ，12i i x x 的辅助回归，即222011223142312ˆˆˆˆˆˆˆi i i i i i i e x x x x x x αααααα=+++++ ③其中2ˆi e 为2i e 的估计<4>计算估计量2nR ，n 为样本容量2R 为辅助回归的可决定系数<5>在不存在异方差的原假设下2nR 服从自由度为5的2χ分布，给定显著性水平α查2χ分布表得临界值2αχ(5) 如果2nR >2αχ(5)则拒绝原假设，表明模型中随机误差存在异方差 5.杜宾二步法：第一步求出自相关系数的估计值ˆ第二步利用ˆ进行广义差分变换 对差分模型利用OLS 求的参数0β和1β的估计值0ˆβ和1ˆβ 6.方差扩大因子检验多元回归模型中多重共线性：1x =f(x2,x3….xk) x2=f(x1,x3…xk) …xj=(x1,x2...1j x -…xk) xk=f(x1,x2….1k x -)对每个回归方程求其决定系数分别为12R ，22R (2)j R (2)k R ，在决定系数中寻求最大而接近者，比如2x R 最大，则可判定解释变量Xj 与其他解释变量的一个或多个相关程度高，因此就使回归方程式y=f(x1,x2….xk)表现高度多重共线性，计量经济学中检验多重共线性时，往往称(1-2j R )为自变量Xj 的容忍度，其倒数为方差扩大因子，记为211j jVIF R =- 当模型中全部k 个自变量所对应的方差扩大因子平均数远远大于1时就表明存在严重的多重共线性。
第二章一元线性回归模型
；
（c）比较绝对值 t1 与 tα 2 的大小。若 t1 > tα ，则拒绝原假设，判 定 β1 ≠ 0 ，解释变量 x 解释功效显著；若 t1 < tα ，则接受原假设，
2
判定
， x β1 = 0 不是有效的解释变量。
§2.3 显著性检验
（三）一元线性回归模型示例 例2.1 y=JYL，x=DSCYCZZZL，
ˆ β1 = β1 + ∑
xi − x u 2 i ∑(xi − x)
ˆ Eβ0 = β0
ˆ Eβ1 = β1
OLS估计的统计性质 §2.2 OLS估计的统计性质
在一切线性无偏估计中， ˆ ˆ 3. 在一切线性无偏估计中， β0 , β1独具最小方差
1 x2 ˆ var(β0 ) =σ 2 ( + ) 2 n ∑(xi − x)
0 ≤ R2 ≤ 1
2 R2 = rxy
计算公式
ˆ β12 ∑(xi − x)2 2 R = ∑( yi − y)2
OLS估计的统计性质 §2.2 OLS估计的统计性质
（一）线性回归模型的基本假定：
假定1. 解释变量是确定性变量，不具有随机性 假定2. (零均值假定) 假定3. (同方差假定)
Eui = 0 , i = 1 ,2 ,L, n
y = β0 + β1x + u
yi = β0 + β1xi + ui
{yi , xi }
i =1 ,2 ,L, n
i =1 ,2 ,L, n
§2.1 普通最小平方估计
（一）普通最小平方估计(OLS) 普通最小平方估计 待定回归函数 残差 残差平方和 驻点条件
ˆ ˆ ˆ y = β0 + β1x
一元线性回归模型(计量经济学)
回归分析是一种统计方法，用于研究变量之间的关系。它基于最小二乘法，寻找最合适的直线来描述变 量间的线性关系。通过回归分析，我们可以理解变量之间的因果关系和预测未知数据。
一元线性回归模型的假设
1 线性关系
2 独立误差
一元线性回归模型假设自变量和因变量之 间存在线性关系。
模型的残差项是独立的，不受其他因素的 影响。
3 常数方差
4 正态分布
模型的残差项具有恒定的方差，即方差齐 性。
模型的残差项服从正态分布。
一元线性回归模型的估计和推断
1
模型估计
使用最小二乘法估计模型的回归系数。
2
参数推断
进行参数估计的显著性检验和置信区间估计。
3
模型拟合程度
使用残差分析和R平方评估模型的拟合程度。
模型评估和解释结果
通过残差分析和R平方等指标评估模型的拟合程度，并解释模型中回归系数的 含义。了解如何正确使用模型的结果，并识别异常值和离群点对模型的影响。
一元线性回归模型(计量 经济学)
在本节中，我们将介绍一元线性回归模型，探讨回归分析的基本概念和原理， 了解一元线性回归模型所做的假设，并学习模型的估计和推断方法。我们还 将探讨模型评估和解释结果的技巧，并通过实例应用和案例分析进一步加深 对该模型的理解。最后，我们将总结和得出结论。
回归分析的基本概念和原理
实例应用和案例分析
汽车价格预测Байду номын сангаас
使用一元线性回归模型预 测汽车价格，考虑车龄、 里程等因素。
销售趋势分析
通过一元线性回归模型分 析产品销售的趋势，并预 测未来销售。
学术成绩预测
应用一元线性回归模型预 测学生的学术成绩，考虑 学习时间、背景等因素。
第二章 一元线性回归模型
__
__
2
/n
★样本相关系数r是总体相关系数 的一致估计
相关系数有以下特点：
• • • • 相关系数的取值在-1与1之间。 （2）当r=0时，线性无关。 （3）若r＞0 ，正相关，若r＜0 ，负相关。 （4）当0＜|r|＜1时，存在一定的线性相关 关系， 越接近于1，相关程度越高。 • （5）当|r|=1时，表明x与y完全线性相关 （线性函数），若r=1，称x与y完全正相关； 若r=-1，称x与y完全负相关。 • 多个变量之间的线性相关程度，可用复相 关系数和偏相关系数去度量。
●假定解释变量X在重复抽样中取固定值。 但与扰动项u是不相关的。(从变量X角度看是外生的)
注意: 解释变量非随机在自然科学的实验研究中相对
Yi 1 2 X i ui
●假定解释变量X是非随机的，或者虽然X是随机的，
容易满足，经济领域中变量的观测是被动不可控的， X非随机的假定并不一定都满足。
E( y xi ) 0 1xi
11
• 可以看出,虽然每个家庭的消费支出存在差 异,但平均来说，家庭消费支出是随家庭可 支配收入的递增而递增的。当x取各种值时, y的条件均值的轨迹接近一条直线,该直线称 为y对x的回归直线。（回归曲线）。 • 把y的条件均值表示为x的某种函数，可写 为：
E( y xi ) 0 1xi
Var ( y xi ) 2
Cov( yi , y j ) 0
y | xi ~ N (0 1xi , )
2
22
第三节 参数估计
• 一、样本回归方程
• 对于
yi 0 1 xi ui
• 在满足古典假定下，两边求条件均值，得到总体 回归函数：
一元线性回归模型
1. 提出假设 H0：r＝0 2.
线性关系不显著
计算检验统计量F
3. 确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n2找出临界值F 4. 作出决策：若F>F ,拒绝H0；若F<F ,不拒绝H0
课堂作业
1、若X表示在一家分店工作的售货人数，Y表示这家分店的年销售额 （千元），已经求出Y对X的回归方程的估计结果如下表
最小二乘法的思路
纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异大拟
合不好，差异小拟合好，所以称为残差、拟合
误差或剩余。
将所有纵向距离平方后相加，即得误差平方和，
“最好”直线就是使误差平方和最小的直线。 拟合直线在总体上最接近实际观测点。 于是可以运用求极值的原理，将求最好拟合直 线问题转换为求误差平方和最小的问题。
显著性检验
1、经济意义检验 2、统计意义检验
经济意义检验
1、检验参数估计量的符号 2、检验参数估计量的大小 3、参数之间的关系
显著性检验
1、相关系数检验 2、回归系数检验 3、线性关系检验
回归系数的检验
1. 检验 x 与 y 之间是否具有线性关系， 或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的 影响是否显著
x
最小二乘法
(
ˆ 0
和
ˆ 1
的计算公式)
ˆ ˆ 根据最小二乘法的要求，可得求解 0 和 1 的 公式如下 n Q ˆ ˆ 2(1) yi 0 1 xi 0 ˆ 0 i 1
n Q ˆ ˆ 2 yi 0 1 xi ( xi ) 0 ˆ 1 i 1
Байду номын сангаасyf
和
。
第2章一元线性回归模型
布图上的点接近于一条曲线时，称为非线性相关。简单相关按
符号又可分为 正相关 （见图2.3.4 ）、负相关 （见图2.3.8 ）和零 相关 （见图2.3.6 ）。两个变量趋于在同一个方向变化时，即同
增或同减，称为变量之间存在正相关；当两个变量趋于在相反
方向变化时，即当一个变量增加，另一个变量减少时，称为变 量之间存在负相关；当两个变量的变化相互没有关系时，称为
4、普通最小二乘法
为什么要使用OLS？ （1）OLS的应用相对简便； （2）以最小化残差平方和为目标在理论很合理； （3）OLS估计量有很多有用的性质。 1）估计的回归线通过Y和X的均值。下列等式总是
ˆ ˆX 严格成立的：设下，可以证明，OLS是 “最优”的估计方法。
2.2.2 最小二乘估计量的性质
一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其
优劣性： （1）线性。即它是否是另一个随机变量的线性函数；
（2）无偏性。即它的均值或期望是否等于总体的真实值；
（3）有效性。即它是否在所有的线性无偏估计量中具有 最小方差； （4）渐近无偏性。 即样本容量趋于无穷大时，它的均值 序列趋于总体的真值； （5）一致性。即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率 收敛于总体的真值；
1．总变差的分解
ˆ b ˆX ˆ b Yt的估计值位于估计的回归线 Y t 0 1 t 上，Y围绕其均值的变异 (Y Y )可被分解为两部分：
ˆ Y ) (1) (Y t
ˆ) (2) (Yt Y t
样本回归函数：
3．相关系数检验
（1）变量相关的定义和分类
相关：指两个或两个以上变量间相互关系的程度或强度。
2 2 ˆ e ( Y Y ) i i OLS 最小化 i i 1 i 1
一元线性回归模型
第三章 一元线性回归模型 （教材第二、三章）
第三章 一元线性回归模型
3.1 回归的涵义 3.2 随机扰动项的来源 3.3 参数的最小二乘估计 3.4 参数估计的性质 3.5 显著性检验 3.6 拟合优度 3.7 预测
学习要点 回归模型的涵义，参数的OLS估计及其性质，显著性检验
3.3 参数的最小二乘估计
例子：受教育年限与平均小时工资 预期平均工资随受教育年限的增加而增加
回归结果： Yˆi 0.0144 0.7241Xi
3.3 参数的最小二乘估计
例子：股票价格与利率 经济理论表明，股票价格和利率之间存在反向关系。
3.3 参数的最小二乘估计
例子：股票价格与利率
3.3 参数的最小二乘估计
参数估计：普通最小二乘法（OLS） 最小二乘原理：由于不能直接观察PRF：Yi B1 B2 Xi ui 所以用SRF Yi b1 b2 X i ei 来估计它，因而
ei 实际的Yi 估计的Yi Yi Yˆi Yi b1 b2 X i
下面仍然沿用一元线性回归模型来讨论。
3.4 参数估计的性质
古典线性回归模型（CLRM）的假定 假定1. 回归模型是参数线性的，但不一定是变量线性
的。回归模型形式如下（可扩展到多个解释变量）：
Yi B1 B2 Xi ui
假定2. 解释变量 X 与随机扰动项 u 不相关。
如果X是非随机的，该假定自动满足； 即使X是随机的，如果样本容量足够大，也不会对分析产生 严重影响。
斜率系数0.0013表示在其他条件保持不变的情况下，家庭年 收入每增加1美元，数学S.A.T.分数平均提高0.0013分 截距432.4138表示，当家庭年收入为0时，数学平均分大约为 432.4138。（这样的解释没有什么经济意义）
一元线性回归模型
五、随机误差项u 的意义
将表4.1中的数据在直角坐标 系中描出，则得到图4.2的散点 图。
Y
50 00
40 00 30 00
20 00
10
00
X
11223
0 5 0 5 034 45 5
图
0 0
00收入00 、00 消00费散50 点00 图50
0 0
5 0
4.2
00 00 0
该图表明了对应于各X 值的Y 的 条件分布。虽然每个个别家庭的消 费支出都有异，但图4.2清楚地表明 随着收入的增加，消费支出平均地 说也在增加。就是说，散点图启示 我们，Y 的条件均值随X 的增加而 增加。
与回归分析密切相联的是相关 分析。相关分析主要测度两个变量 之间的线性关联度，相关系数就是 用来测度两个变量之间的线性关联 程度的。例如，吸烟与肺癌、统计 学成绩与数学成绩、身高与体重等 等之间的相关程度，就可用相关系 数来测度。
而在回归分析中，我们的主要目 的在于根据其它变量的给定值来估 计或预测某一变量的平均值。例如 ，我们想知道能否从一个学生的数 学成绩去预测他的统计学平均成绩 。
第二节 一元线性回归模型
一、引例
假定我们要研究一个局部区域 的居民消费问题，该区域共有80户 家庭组成，将这80户家庭视为一个 统计总体。
我们研究每月家庭消费支出Y 与 每月可支配收入X 的关系。就是说， 已知家庭每月可支配收入，要预测家 庭每月消费支出的总体平均水平。为 此，将80户家庭分为10组。表4.1给 出了人为数据。
3．在企业中，我们很想知道人 们对企业产品的需求与广告费开支的 关系。这种研究有助于估计出相对于 广告费支出的需求弹性，即广告费支 出每变化百分之一的需求变化百分比 ，这有助于制定最优广告策略。
8.2.1一元线性回归模型(共13张PPT)
2. 在一元线性回归模型（1）中，参数b的含义是什么？
Y = bx + a + e ,
(1)
E(e) = 0, D(e) = σ2.
解：在一元线性回归模型（1）中，参数b为斜率参 数，参数b的含义是父亲的身高每增加1cm，儿子的身高 平均增加bcm.
3. 将图中的点按父亲身 高的大小次序用折线连 起来，所得到的图像是 一个折线图，可以用这 条折线图表示儿子身高 和父亲身高之间的关系 吗？
(1)
E(e) = 0, D(e) = σ2.
我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型.
其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释
变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜
率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.
模型中的Y也是随机变量，其值虽然不能由变量x的值
确定，但是却能表示为bx+a与e的和(叠加)，前一部分由 x
而对于父亲身高为 xi 的某一名男大学生，他的身高yi 并不一定为b xi +a，它仅是该子总体的一个观测值，这个 观测值与均值有一个误差项ei=yi －(bxi +a).
思考? 你能结合具体实例解释产生模型(1)中随机误 差项的原因吗?
在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差 e的原因有：
8.2一元线性回归模型及其应用
通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据 的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相 关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱 等.
进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间 的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随 机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两 个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测.
一元线性回归模型
Q =b0+b1P+ b2Yt + b3 P1 +b4Yt-1 + b5G+ u
1. u项包含的主要内容： （1）模型中省略的次要变量； （2）确定模型数学形式的误差； （3）样本点的测量误差； （4）一些随机因素。
2. u项的特性
u项包含的内容决定u项的特性是： （1）是众多因素的影响代表； （2）对被解释变量Y影响方向是各异的， 有正有负； （3）对被解释变量Y影响平均可能是0； （4）是非趋势性的随机变量。
把握这个思路很重要哦!
四、回归分析
1. 回归分析是回归模型的建立、估计、检 验理论和方法的统称
2.回归分析的主要内容
建立模型、估计模型、检验模型 、应用
二、四种重要的关系式
1. 总体关系式：Yi=b0+ u b1Xi+ i
2.总体回归方程：E（Yi）= b0+ b1Xi
3.样本关系式：Yi= bˆ0 +bˆ1 Xi+ei
复习相关概念:
1. 随机变量 2.随机变量的数字特征 数学期望 E(ui) (表示平均的指标) 方 差 Var（ui）(表示离散程度) 协 方 差 COV(ui , uj) (表示相关的指标) 3.正态分布
一元线型回归模型参数估计
一、古典假定 二、四种重要的关系式 三、普通最小二乘法 四、估计量的统计性质 五、估计量 六、随机项u的方差估计量
在计量经济模型中引入随机项扰动 ui 的理由如下：
第一，表示被解释变量Y与解释变量X的 不确定性关系
第二，模型不可能包含所有变量，次要变 量要省略 ； 第三，确定模型数学形式肯定会有误差 ； 第四，样本数据会有测量误差 ； 第五，一些随机因素无法选入模型。
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二、统计关系与确定性关系
如果给定一个变量X的结果值就可 确定另一个变量Y 的结果值，则称变 量Y是变量X 的函数，即X、Y之间是 函数关系。
在经典物理学中，给定电阻Ω,电
流I 和电压V 之间的关系即为函数
关系，即
I V Ω
。这种典型的变量关系就
是确定性关系。
在经济系统中， 这种变量之间的函 数关系或确定性关系就很少见 。常 见的是变量之间是一种不确定的关系， 既使变量X 是变量Y 的原因， 给定变 量X 的值也不能具体确定变量Y的值， 而只能确定变量Y 的统计特征，通常 称变量X 与Y 之间的这种关系为统计 关系。
在回归分析中，被解释变量Y 被 当作是随机变量，而解释变量X 则被 看作非随机变量。而在相关分析中， 我们把两个变量都看作是随机变量。
例如 ，在学生的数学成绩与统 计学成绩的分析中，如为回归分析 ，则统计学成绩是随机变量，数学 成绩是非随机变量，即数学成绩被 固定在给定的水平上，以此求得统 计学的平均成绩。而在相关分析中 ，两者处于平等地位，不存在谁为 解释变量，谁为被解释变量的问题 ，两者均为随机变量。
(Francis Galton)提出。在一篇研究 父母身高与子女身高相互关系的论文 中，高尔顿发现，虽然有一个趋势， 父母高，子女也高；父母矮，子女也 矮，但给定父母的身高，子女的平均 身高却趋向于或者回归到全体人口的 平均身高。
也就是说，当父母双亲都异常高或 异常矮，则子女的身高有趋向于人 口总体平均身高的趋势。这种现象 被称为高尔顿普遍回归定律。这就 是回归一词的原始含义。
例如，企业总产出Y 与企业的资 本投入K 、劳动力投入L 之间的关系 就是统计关系。虽然资本K 和劳动力 L 是影响产出Y 的两大核心要素，但 是给定K 、L 的值并不能确定产出Y 的值。因为，总产出Y 除了受资本投 入K、劳动力投入L 的影响外，还要
受到技术进步、自然条件等其它因素 的影响。
三、回归分析与相关 分析
庭 740 1120 1500 1900 2300 2680 3060 3420 3810 4200
消 780 1170 1560 1960 2360 2740 3140 3520 3910 4310
费 支 出 （元
）
820 860 900 940
1220 1620 2020 2420 2820 3220 3620 4020 4420
在现代，回归一词已演变为一种新 的概念。回归分析就是研究被解释变 量对解释变量的依赖关系，其目的就 是通过解释变量的已知或设定值，去 估计或预测被解释变量的总体均值。 在下面的几个例子中，我们可以清晰 地看到回归分析的实际意义。
1．高尔顿普遍回归定律。高尔顿 的目的在于发现为什么人口的身高 分布有一种稳定性。在现代，我们 并不关心这种解释，我们关心的是： 在给定父辈身高的情形下，找到儿 辈平均身高的变化规律。
与回归分析密切相联的是相关 分析。相关分析主要测度两个变量 之间的线性关联度，相关系数就是 用来测度两个变量之间的线性关联 程度的。例如，吸烟与肺癌、统计 学成绩与数学成绩、身高与体重等 等之间的相关程度，就可用相关系 数来测度。
而在回归分析中，我们的主要目 的在于根据其它变量的给定值来估 计或预测某一变量的平均值。例如 ，我们想知道能否从一个学生的数 学成绩去预测他的统计学平均成绩 。
1270 1680 2080 2480 2900 3300 3720 4130 4530
1320 1740 2140 2540 2980 3380 3820 4230 4640
第二节 一元线性回归模型
一、引例
假定我们要研究一个局部区域 的居民消费问题，该区域共有80户 家庭组成，将这80户家庭视为一个 统计总体。
我们研究每月家庭消费支出Y 与 每月可支配收入X 的关系。就是说， 已知家庭每月可支配收入，要预测家 庭每月消费支出的总体平均水平。为 此，将80户家庭分为10组。表4.1给 出了人为数据。
3．在企业中，我们很想知道人 们对企业产品的需求与广告费开支的 关系。这种研究有助于估计出相对于 广告费支出的需求弹性，即广告费支 出每变化百分之一的需求变化百分比 ，这有助于制定最优广告策略。
4．农业工作需要预计粮食产量， 需要研究粮食产量与播种面积、施 肥量、降雨量之间的依赖关系。
这种一个变量依赖于另一个或多 个变量的事例在经济系统中普遍存 在。回归分析就是要研究这种变量 之间的依存关系。
表4.1 居民收入、消费数据
X
每月家庭可支配收入（元）
Y
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 0 0 0 0 0 0 0 0 00
每
月
1050 1380 1780 2180
2900
家 700 1070 1440 1840 2240 2620 2980 3320 3710 4090
图4.1中对应于设定的父亲身高 ，儿子身高有一个分布范围。随着 父亲身高的增加，儿子的平均身高 也在增加，画一条通过儿子平均身 高的线，说明儿子的平均身高是如 何随着父亲身高的增加而增加的， 这条线就是回归线。
2．在经济学中，经济学家要研 究个人消费支出与个人可支配收入 的依赖关系。这种分析有助于估计 边际消费倾向，就是可支配收入每 增加一元引起消费支出的平均变化 。
就是说，我们如果知道了父辈的 身高，就可预测儿辈的平均身高。 假设我们得到了一组父亲、儿子 身高的数据，制成如下的散点图。 图中按统计分组的方法将父亲身 高分为若干组。
××××× ××××× ××××× cm ×××××
cm
儿 子 身 高 （
）
） （高身亲父
图4.1
给定父亲身高 儿子身高的分 布
经济计量分析
第四章 一元线性回归模型
本章介绍一元线性回归模型的概 念及一元线性回归模型所依据的理论 与应用。一元线性回归模型只包含一 个解释变量和一个被解释变量，是最 简单的线性回归模型。通过一元线性 回归模型的学习，可较容易地理解回 归分析的基本理论与应用。
第一节 回归分析的相关概念
一、回归的含 义 回归一词最早由F·高尔顿