讲义一：《因式分解》专题辅导讲义

因式分解专题辅导讲义

一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性。提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法。现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法。

提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考。请看下面几道例题。

例题精选1：把4224b a b a -因式分解。

解法1：)b a )(b a (b a )b a (b a b a b a 2222224224-+=-=-

解法2：)b a )(b a (b a )b a (ab )b a (ab )ab b a )(ab b a (b a b a 2222224224-+=-+=-+=- 评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法。虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单。通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化。

有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法。

例题精选2： 把c b b ab 2a c a 2222-+++因式分解。

解：222222222)b a ()b a )(b a (c )b ab 2a ()c b c a (c b b ab 2a c a ++-+=+++-=-+++ )b a bc ac )(b a ()]b a ()b a (c )[b a (++-+=++-+=

评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法。 例题精选3： 把44b 4a +因式分解。

解：222222422444)ab 2()b 2a (b a 4)b 4b a 4a (b 4a -+=-++=+

)b 2ab 2a )(b 2ab 2a (2222+-++=。

评注：多项式44b 4a +中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式。但由于这两项再加上22b a 4就是222)b 2a (+，所以先对44b 4a +加、减22b a 4，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解。上面的解法中，把44b 4a +变形为224224b a 4)b 4b a 4a (-++，形式上是由简单变复杂了，但变化后的形式为使用公式法创造了条件。

因式分解要进行到什么程度，对于单纯的因式分解题目，一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解，例如，把44b a -因式分解时，得到)b a )(b a (2222-+，并未完全达到

要求，还需要继续分解到)b a )(b a )(b a (22-++。

在解决计算、化简、解方程等问题的过程中，当因式分解作为中间步骤时，应根据具体问题来决定分解到什么程度合适。

例题精选 4：已知5.0b a ,1b a 2222=-=+，计算44b a -。

解：5.05.01)b a )(b a (b a 222244=⨯=-+=-。

评注：上面解法中，因式分解只是中间步骤，只要分解到)b a )(b a (2222-+问题就解决了，继续分解反而不利于解决问题。

我们知道，代数式中的字母是数的抽象表示。因此，因式分解是在某种数的范围中进行的，对于不同的数的范围，对同一多项式的因式分解，要进行到的程度也可能有所不同。 例题精选5: （1）在有理数范围内把4a 4-因式分解；

（2）在实数范围内把4a 4-因式分解。

解：（1）)2a )(2a (4a 224-+=-；

（2）)2a )(2a )(2a ()2a )(2a (4a 2224-++=-+=-。

评注：初中数学教科书中，如无特别声明，通常约定因式分解是在有理数范围内进行的。

5. 因式分解有什么用

因式分解是多项式的分解变形，式子变形不是无意义的变来变去的数学游戏，而是解决数学问题的重要手段。在计算、化简、解方程等问题中，因式分解可以发挥重要作用。

例题精选6：计算b 2a 21b

a a 22+-- 分析：这是两个分式相减，它们的分母不同，正如异分母分数相加减一样，这里也需要先通分。分数的通分中，可以先分解因数，再确定最简公分母，例如：

12

5322332222213214161=⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯=+。 类似地，分式的通分中，可以先分解因式，再确定最简公分母。 解：)b a )(b a (2b a )b a )(b a (2a 2)b a (21)b a )(b a (a b 2a 21b a a 22-+---+=+--+=+-- b

2a 21)b a (21)b a )(b a (2b a )b a )(b a (2b a a 2-=-=-++=-++-= 例题精选7：例 解方程05x 6x 2=++。

分析：这是一个一元二次方程。它的一边等于0，如果能将它的另一边分解为两个一次

式的乘积，则可知当这两个因式中任何一个等于0时，乘积都等于0，于是可以得出方程的解。

解：原方程可化为04)9x 6x (2=-++，02)3x (22=-+，分解因式，得到0)1x )(5x (=++。所以1x ,5x 21-=-=。

总之，因式分解是针对多项式的一种分解变形，它是解决许多数学问题的一种重要手段。

当堂检测

一、填空：（30分）

1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。

2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____

3、232y x 与y x 612的公因式是_____

4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。

5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。

6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。

7、_____)

)(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x

x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。

10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2

2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。

12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。

13、若)15)(1(152

-+=--x x ax x 则a =_____。