拉普拉斯变换的基本性质

t0
1 s t0 s2
F2
(s)
L
(t
t0
)u
(t
)
F1
(s)
1
s s2
t0
F4 (s)
L (t
t0 )u(t
t0)
1 s2
e s t0
F3(s) Ltu(t t0 ) L(t t0 )u(t t0 ) t0u(t t0 )
F4 (s)
t0 s
e s t0
s t0 1 est0 s2
aa
： 证明 L f (at) f (at) estd t 0
令τ at
f
(τ
)
(
e
s a
)τ
d(
τ
)
0
a
时移和尺度变换都有:
1
( s )τ
f (τ)e a d τ
1 F(s)
a 0
aa
L
f
(at
b)u(at
b)
1
F
(
s
)
sb
ea
(a 0,b 0)
aa
四．s 域平移
若 L f (t) F (s)
(3)表达式
0
等0
所表示的信号不能用时移性质
t0 0。
f (t t0 )，f (t)u(t t0 )，f (t t0 )u(t)
二．延时（时域平移）
例：已知
1 f (t) 0
0<t <t0
其余
求 F(s)
解： 因为 f (t) u(t) u(t t0 )
所以 F (s) L[ f (t)] L[u(t)] L[u(t t0)]
dt2
ssF (s)
f
(0 )
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
L
d
f d
n (t) tn
sn
F
(s)
n1 r0
s n r 1
f
(r
)
(0
)
六．时域积分定理
若
L f (t) F(s)
则
L
t
f
(τ) d
τ
F (s) s
1 s
0
f ( ) d τ
t
:
e t
sin(ω0t)u(t)
(s
ω0 α)2
ω02
五．时域微分定理
若 L f (t) F(s)
则
L
d
f (t) d t
sF (s)
f
(0 )
证明：
f (t) estd t f (t) est [sf (t) est ]d t
0
00
f (0) sF(s)
推广：
L
d
f 2 (t)
二．延时（时域平移）
时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。
f (t) fT (t)u(t)
f1(t)u(t) f1(t T )u(t T ) f1(t 2T )u(t 2T )
F (s) F1(s) F1(s)eTs F1(s)e2Ts
1 1 eTs
F1 ( s)
(t
)
f (t) 的拉普拉斯变换 2
F(s)
解：F(s)
F1 (s)
F2 (s)
s
1 1
(s
1 1)(s
2)
(s
s 1 1)(s
2)
s
1
2
说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。
二．延时（时域平移）
若 L f (t) F (s)
则
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s) est0
则
L f (t) eαt F (s α)
证明：
L f (t) eαt
f (t) eαtestd t F (s α)
0
例：求 eαt c的o拉氏s变ω换 0t
解：已知
: L cos(ω0t )u(t )
s2
s ω02
所以
e t
wk.baidu.com
cos(ω0t)u(t)
(s
sα α)2
ω02
同理
§ 4.2 拉普拉斯变换的基本 性质
一．线性性
若
L f1(t) F1(s),
L
f2 (t)
F2
(s),
K1,
K 为常数 2
则
LK1 f1(t) K2 f2 (t) K1F1(s) K2F2 (s)
例：已知
f1 (t )
F1 (s)
s
1 1
f2 (t)
F2
(s)
(s
1 1)(s
2)
求
f1
证明：
L f (t t0 )u(t t0 )
0
f
(t
t0 )u(t
t0 ) estd t
t0
f
(t
t0 ) estd t
令 τ t t0 f (τ) est0 esτd τ 0
F (s) est0
二．延时（时域平移）
注意：
(1)一定是
的形式的信号才能用时移性质
f (t t )u(t t ) (2)信号一定是右移
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
例：周期冲击序列
(t 的拉氏变T换为 )u(t)
T
(t
)u
(t
)
1
1 eTs
1 1 eTs
二．延时（时域平移）
例 已知 f (t) t u (t 1),求 F( s)
解： F (s) L[tu(t 1)] L[(t 1)u(t 1) u(t 1)]
解：4种信号的波形如图
f1(t) t t0
f2 (t) (t t0 )u(t)
0
0
t0
t
t0
t
f3 (t) t u(t t0 )
f4 (t) (t t0 ) u(t t0 )
0
0
t0
t
t0
t
二．延时（时域平移）
f4 (t) 只有信号
可以用延时性质
F1(s)
Lt
t0
1 s2
1 s
0
t
证明：
f ( ) d τ f ( ) d τ f ( ) d τ
0
①
②
① 0 f ( ) d τ 1 0 f ( ) d τ
s
t 因为第一项与 无关，是一个常数
②
0
t 0
f
(
)
d
τ
e st
d
t
e st s
t 0
f ( ) d τ
0
1 s
t f (t) estd t
1 ( s2
1 s
)es
例 已知 f (t)＝ 2 cos(t π)u(t), 求F(s)。 4
解：f (t) 2 cos t cos π 2 sin t sin π cos t sin t
4
4
F (s)
1
s s2
1
1 s
2
s 1 1 s2
三．尺度变换
若
L f (t) F(s)
则
L f (at) 1 F( s ) (a 0)
0
1 t f (t) estd t F (s)
s0
s
六．时域积分定理
例：求图示信号的拉普拉斯变换
f (t) 1
解：
0
2
4
t
f (t) 1 t u(t) u(t 2) ( 1 t 2)u(t 2) u(t 4)
1 1 est0 1 (1 est0 )
ss
s
二．延时（时域平移）
例： 已知单位斜变信号
t u(t ) 的拉普拉斯变换为
1 s2
求 f1(t) t t0，f2 (t) (t t0 )u(t)，f3(t) t u(t t0 )，
f4 (t) (t t0 ) u(t t0 ) 的拉普拉斯变换