拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换是一种将一个函数f(t) 转换成另一个函数F(s)
的变换工具，它与傅里叶变换有一些相似之处，但拉普拉斯变换更
加适用于求解微分方程。
拉普拉斯变换的性质包括：
1. 线性性：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是F1(s) 和F2(s)，那么对于任意常数a 和b，它们的线性组合af1(t) +
bf2(t) 的拉普拉斯变换是aF1(s) + bF2(s)。
2. 移位性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么e^(-
at)f(t) 的拉普拉斯变换是F(s+a)。
3. 前移性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么t^n f(t) （n 为非负整数）的拉普拉斯变换是 (-1)^n F^(n) (s)，其中
F^(n) 表示F(s) 的 n 阶导数。
4. 卷积定理：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是
F1(s) 和F2(s)，那么它们的卷积f(t) = f1(t) * f2(t) 的拉普拉
斯变换是F1(s)F2(s)。
在求解微分方程时，拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数
方程，并使复杂的微分方程分析更容易。
将微分方程用拉普拉斯变
换表示后，可以通过代数运算求解它们的解析解，并通过反演拉普
拉斯变换得到原始函数的解析表达式。
特别地，拉普拉斯变换可以
轻松地求解初值问题和边界条件问题，因为它们的解析解可以在拉
普拉斯域中被求出。
K1.06-拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
则 f(at) ←→ 1 F ( s ) aa
Re[s]>a0换
例 如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = es (1 es s es )
s2
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。
解： y(t)= 4 f(0.5t)
f(t) 1
Y(s) = 4×2 F(2s)
拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
知识点K1.06
拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
主要内容：
1.拉普拉斯变换的线性性质 2.拉普拉斯变换的尺度变换性质
基本要求：
1.熟练拉普拉斯变换的线性、尺度变换等性质 2.结合性质计算信号的拉氏变换
1
拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
K1.06 拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
一、线性性质
若 f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1 f1(t)+a2 f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
如 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
二、尺度变换
若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0
8 e2s 2s 2
(1 e2s
2s e2s )
0 12 t y(t) 4
2 e2s s2
(1 e2s 2s e2s )
0
24 t
3
信号与系统 拉普拉斯变换的基本性质
L
f
(at
b)u(at
b)
1
F
(
s
)
sb
ea
(a 0,b 0)
aa
信号与系统
四．s 域平移
若 L f (t) F(s)
则 L f (t) eαt F (s α)
证明：
L f (t) eαt
f (t) eαtestd t f (t) e(αs)td t F (s α)
sF (s)
f
(0 )
证明： f (t) estd t f (t) est [sf (t) est ]d t
0
0
0
推广：
f (0) sF(s)
L
d
f 2 (t)
dt2
s
L
d
f (t)
dt
f
(0 )
ssF(s)
f
(0 )
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
s0
f
(0
)
lim
s0
d f (t) estd t 0 d t
f
(0
)
lim
t
f
(t)
f (0 )
lim f (t) t
信号与系统
九．初值定理和终值定理
例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值
I(s) s 2 s(s 2)
H(s)
s2
8 10s
169
V(s)
2s3 10 s3 (s 1)
t0 0
证明：
L f (t t0 )u(t t0 )
0
f
(t
t0 )u(t
13.2 拉普拉斯变换的基本性质
（2） f(t)=δ(t) ） 由于 δ(t)=dε(t)/dt
冲击函数 单位阶跃函数
L[δ (t )] = L[dε (t ) / dt ]
f(0-)=0
1 =s - 0 s
=1
三、积分性质
函数f(t)的象函数与其积分 函数 的象函数与其积分 有如下关系 若 则 L[f(t)]= F(s)
∫
t
1 jωt − jωt −st = ∫ (e − e )e dt 0− 2 j 1 1 1 = s − jω − s + jω 2j
ω = 2 s +ω2
（2）f(t)=K(1-e-at) ） L[K(1-e-at)] =L[K] -L[Ke-at]
§13. 2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
是两个任意的时间函数， 设f1(t)和f2(t)是两个任意的时间函数，它们的 和 是两个任意的时间函数 象函数分别为F 象函数分别为 1(s) 和F2(s) ，A1和A2是两个任意实 常数， 常数， L[A1f1(t)+ A2f2(t)] = A1L [f1(t) ] + A2L[f2(t)] = A1 F1(s) + A 2F2(s) 证明： 证明：P291
函数f(t)的象函数与其导数 函数 的象函数与其导数f ’(t)=df(t)/dt的象函 的象函数与其导数 的象函 数之间有如下关系 若 则 L[f(t)]= F(s) L[f ’(t)]=sF(s)- f(0-)
例：利用导数性质求以下函数的象函数： 利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) ） （2）f(t)=δ(t) ）
0−
f (ξ )dξ 的象函数之间
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换t t8 卷积定理L[ [f i(t—l)f2&)dE] =L[ [f i(t)f2(t—l)dl] = F i(s)F2(s)用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设F(s)是s 的有理真分式A(s)二0有重根设A(s) = 0有r 重根s ，F(s)可写为F s-(s-s ,)r(s-s ri ) (s-s n )B(s)b m 「4 g b0A(s)n ,n 」a n S - a n 」s 山…“y s - a 。
式中系数a 0, a i ,..., a n J ,a n , b °,b i , b m 」,b m 都是实常数; 将F(s)展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
m,n 是正整数。
按代数定理可①A(s) = 0无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
i C 2C jC nF(s) 121— s — s i s — S 2s — ss_s nC i(F-1)式中，q,s 2,…,s n 是特征方程 A(s) = 0的根。
C i 为待定常数，称为 可按下式计算：F(s)在S i 处的留数,式中,C =lim (s _sJF (s)S Tic _ B(s) iA(s)s zs iA (s)为A(s)对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式(4 I l j n C i =L !F (S )】=L 巨一—S — Sj 一 f(t)C in -s it=' Ci e ii =1(F-2)(F-3)F-1 )可求得原函数(F-4)B(s)式中, 其中,& r -(S —S i) (s—s)C if ,s〜) CriS —■S r iG •…©S - s S—S nS i为F(s)的r重根，S r审,…,s n为F(s)的n-r个单根;C r +，…,C n 仍按式(F-2)或(F-3)计算，C r，C rj，…, C i则按下式计算:f(t)为厂c r =lim (s — sj r F(s)T id rC ri =lim [(s -sj F(s)] dss :siC i原函数f (t)二L°〔F(s) I冷冗加(DEi d(7C i _____ . C r i ....(F-5)(s -S i)r 1(s—s i) S —S r*G *…+C nS — S j S —S nt r^ +…+c2t +G e Sit(r-2)! 2 5S i t°e iF-6)欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
拉普拉斯变换基础知识讲解
0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
s2
s
2
初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
终值定理：
lim f (t)存在时 t
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
证：利用导数性质
lim
s0
t (t) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
n!
(S )n1
cost (t)
S
S2 2
e-t (t )
1
S
e-t sint (t)
(S )2 2
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
e sT
/
2
)
[
f
(t )]
1 1 esT
1 ( s
1 s
e ) sT /2
1 S
( 1
1 e ST
/2)
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
(S
1
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+=nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）。
K1.10-拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
知识点K1.10
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
主要内容： 1.拉普拉斯变换的初值定理 2.拉普拉斯变换的终值定理 基本要求： 1.掌握拉普拉斯变换的初值、终值定理 2.熟练计算初始值和终止值
1
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
K1.10 拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞), 而不必求出原函数f(t)。 初值定理
设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，
若F(s)为假分式化为真分式），
则 f (0) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
终值定理
若f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0,
0<0，则
f () lim sF(s) s0
2
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
例1
F(s)
s2
2s 2s
2
f (0) lim sF(s) lim 2s2 2
s
s s 2 2s 2
f () lim sF(s) lim 2s2 0
s0
s0 s 2 2s 2
例2
s2 F(s)
s2 2s 2
F(s)
1
2s 2 s2 2s
2
1
F1(s)
f
(0)
lim
s
sF1(s)
lim
s
2s2 2s s2 2s 2
2
f () lim sF(s) lim s3 0
s0
s0 s2 2s 2
3
拉普拉斯变换的使用方法
拉普拉斯变换的使用方法拉普拉斯变换是 Fourier 变换的一种推广，常用于处理时域信号的频率特性或者复杂微分方程。
一、拉普拉斯变换的定义在复平面上，有一个以原点为极点的复函数：$F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}$ dt，其中 $s=x+jy$，$f(t)$ 是一段时间内的信号。
这个复函数 $F(s)$ 叫做 $f(t)$ 的拉普拉斯变换，通常用$\mathcal{L}\{f(t)\}$ 表示。
在掌握了拉普拉斯变换一些基本的性质之后，我们就可以利用这种变换来简化复杂的微分方程和求解系统的稳定性等问题。
二、拉普拉斯变换的基本性质1. 线性性质：$\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{ g(t)\}$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。
2. 移位性质：$\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}\mathcal{L}\{f(t)\}$，其中$u(t-a)$ 是单位阶跃函数。
3. 放缩性质：$\mathcal{L}\{f(at)\}=\frac{1}{a}\mathcal{L}\{f(t)\}$，其中$a$ 是常数。
4. 差分性质：$\mathcal{L}\{\frac{df(t)}{dt}\}=s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)$。
5. 积分性质：$\mathcal{L}\{\int_{0}^{t}f(\tau)d\tau\}=\frac{1}{s}\mathcal{L}\ {f(t)\}$。
三、拉普拉斯变换的应用1. 求解微分方程：考虑一个一阶微分方程 $y'+ay=f(t)$，我们可以在两边同时做拉普拉斯变换，得到：$sY(s)-y(0)+aY(s)=F(s)$于是，我们就可以直接求出 $Y(s)$ ：$Y(s)=\frac{1}{s+a}\cdot F(s)+\frac{y(0)}{s+a}$然后再做逆变换，就可以得到原方程的解 $y(t)$。
信号与系统 拉普拉斯变换的基本性质
t0 0
L f (t t0 )u(t t0 )
0
f
(t
t0 )u(t
t0 ) estd t
t0
f
(t
t0 ) estd t
令 τ t t0 f (τ) est0 esτd τ 0
est0 f (τ) esτd τ 0
F (s) est0
二．延时（时域平移）
V(s)
2s3 10 s3 (s 1)
解：
初值
i(0 )
lim
s
sI (s)
lim
s
s
s2 s(s 2)
1
终值
i() lim sI (s) 1
s0
初值
h(0
)
lim
s
sH
(s)
lim
s
s2
8s 10s
169
0
终值
h()
lim
s0
sH (s)
lim
s0
s2
8s 10s
169
0
注意应用终值定理的条件是满足的。
则
L
t
f
(τ)
d
τ
F
s(2s、)如项果为1s0f
( 0t)是f一(个)因d果τ 信号，则这一
证明： t f ( ) d τ 0 f ( ) d τ t f ( ) d τ
0
①
②
① 0 f ( ) d τ 1 0 f ( ) d τ
s
②
0
t 0
f
(
)
d
τ
e
st
令τ at
f
(τ
)
(
e
拉普拉斯变换的基本性质
§ 4.3 拉普拉斯变换的基本性质主要内容线性；原函数微分；原函数积分；延时（时域平移）；s 域平移；尺度变换；初值；终值 卷积；对s 域微分；对s 域积分一．线性例题： 已知则同理二．原函数微分证明：推广：电感元件的s 域模型 [][][])()()()( ,),()( ),()( 22112211212211s F K s F K t f K t f K L K K s F t f L s F t f L +=+==则为常数，若()tj t j e e t t f ωωω-+==21)cos()([]αα+=-s e L t 1()[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=ωωωj s j s t L 1121cos 22ω+=s s ()[]22sin ωωω+=s t L [])0()(d )(d ),()(--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=f s sF t t f L s F t f L 则若()()()())(0 d d 000s sF f t e t sf e t f t e t f st st st +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='-∞∞--∞⎰⎰()()[])0()0()( )0(0d )(d 22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡f sf s F s f f s F s t t f L ∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10)(1)0()(d )(d n r r r n n n f ss F s t t f L设应用原函数微分性质三．原函数的积分证明：① ② ()s s F =电容元件的s 域模型)(t i+-)(t v L L t t i L t v LL d )(d )(=[][])()(),()(s V t v L s I t i L L L L L ==[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s I sL i s sI L s V()s V L +-[]，则若)()(s F t f L =()s f s s F f L t )0()(d )(1--∞-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ττ()()()ττττττd d d 00⎰⎰⎰+=∞-∞-t t f f f ① ② ()()01-f ()()s f 01-→()⎰⎰∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡00d d t e f st t ττ()()⎰⎰-∞-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t st t st t e t f s f s e 000d 1d ττ()⎰-=t st te tf s 0d 1+-)t v C C ⎰∞-=t c C i C t v ττd )(1)([][])()( ),()(s V t v L s I t i L C C C C ==设四．延时（时域平移）证明：0)(st e s F -=五．s 域平移证明：六．尺度变换证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--s i s s I C s V C C C )0()(1)()1()0(1)(1-+=C C v s s I sCsC 1()-01C v s +-()s V C[][]0)()()( )()(00st e s F t t u t t f L s F t f L -=--=，则若[]⎰∞----=--00000d )()()()(t e t t u t t f t t u t t f L st ⎰∞--=0d )(0t st t e t t f ，令0t t -=τ代入上式则有,d d ,0ττ=+=t t t []⎰∞---=--000d )()()(0τττs st e e f t t u t t f L [][])()( )()(αα+==-s F e t f L s F t f L t ，则若[])(d )()(0ααα+==⎰∞----s F t e e t f e t f L st t t [][]()0 1)( ),()(>⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a s F a at f L s F t f L 则若[]⎰∞--=0d )()(t e at f at f L st时移和标度变换都有时:七．初值八．终值终值存在的条件:证明：根据初值定理证明时得到的公式九．卷积，则令at =τ[]⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=0d )()(a e f at f L a s τττ⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0d )(1τττa s e f a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=a s F a 1[]()0,0 1)()(>>⎪⎭⎫ ⎝⎛=---b a e a s F a b at u b at f L a b s 若)(lim )0()(lim ),()(d )(d )(0s sF f t f s F t f t t f t f s t ∞→+→==−→←+则可以进行拉氏变换，且及若()应化为真分式：不是真分式若,s F k s F s F -=)()(1[][])(lim )(lim )(lim )0(0t f ks s sF k s F s f t s s +→∞→∞→+=-=-=()()()项。
K1.07-拉普拉斯变换的性质—时移、复频移特性
若 f(t) ↔F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 , 则 f(t-t0)(t-t0) ↔ e-st0F(s) , Re[s]>0
若 f(t)为因果信号，则 f(t-t0) ↔ e-st0F(s)
f(at-t0)(at-t0) ↔
1
t0
ea
sF(s)源自aa例1 求如图信号的单边拉氏变换。
f1(t) 1
0
1t
f2(t) 1
解：f1(t) = (t) –(t-1)
F1(s)=
1 s
(1
es )
F2(s)= F1(s)
-1 0
1t
2
拉普拉斯变换的性质—时移、复频移特性
例2 已知f1(t) ←→ F1(s)，求f2(t)←→F2(s)
f1(t) 1
解： f2(t) = f1(0.5t) –f1 [0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s)
二、复频移特性
若f(t) ←→F(s) , Re[s]>0 , 且有复常数sa=a+ja,
则f(t)esat ←→ F(s-sa) , Re[s]>0+a
例1
已知因果信号f(t)的象函数F(s)=
s s2 1
求e-tf(3t-2)的象函数。
解：e-tf(3t-2)
←→
(s
s 1 1)2
9
2(s1)
e3
例2 f(t)=cos(2t–π/4) ←→ F(s)= ?
解：cos(2t–π/4) =cos(2t)cos(π/4) + sin(2t)sin (π/4)
F(s)
s2
s
4
信号与系统 拉普拉斯变换的基本性质概要
令τ
t t0
f (t t0 ) e st d t
t0
f ( τ ) e st0 e sτ d τ
0
e
st0
0
f (τ ) e d τ
sτ
F ( s) e st0
信号与系统
二．延时（时域平移）
注意：
(1)一定是
f (t t0 )u (t t0 )的形式的信号才能用时移性质 t0 0。 f (t t0 )，f (t )u (t t0 )，f (t t0 )u (t )等
一．线性性质
若 则 为常数 L f1 (t ) F1 ( s), L f 2 (t ) F2 ( s), K1 , K 2
L K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t ) K1F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
1 1 f1 (t ) F1 (s) f2 (t ) F2 (s) (s 1)(s 2) s 1
F ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e 1 F ( s) Ts 1 1 e
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换
等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
Ts
F1 ( s )e
2Ts
=F1 ( s ) e nTs
n 0
1 Ts 1 e
信号与系统
求周期冲激序列 T (t )u(t )的拉普拉斯变换
周期冲激序列 T (t )u(t )的第一个周期信号为 (t )， 它的拉普拉斯变换为 1，所以有 1 T ( t )u ( t ) 1 e Ts
信号与系统
求图所示单边周期矩形脉冲序列的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换性质
拉普拉斯变换性质
理解
拉普拉斯变换(Laplace transformation)是在积分变换中把连续时变信号转换成正负无穷大范围的指数型时定信号的单边变换，它是一种统计与信号分析的重要算法，建立在Fourier变换的基础上，被广泛应用于数学、电子、通讯及其他领域。
拉普拉斯变换的核心思想是用一个类似函数的谱线替换一个时变函数，解决复杂的求解问题，能够将难以求解的时变函数拆分成一组解析函数，利用标准函数轻松地求解出结果，从而提高求解算法的效率。
拉普拉斯变换具有以下性质：
（1）线性性质：在拉普拉斯变换中，加性和乘性定律成立，也即可以用拉普拉斯变换把复合函数分解成基本函数的叠加，且变换后的结果是它们变换的乘积的和。
（2）卷积性质：拉普拉斯变换能够有效地把连续时变信号的卷积操作转换成简单的乘法操作，拉普拉斯变换可以将连续时变函数的卷积操作转换为拉普拉斯变换之后函数的乘积操作。
（3）滞后性质：拉普拉斯变换的结果，只与函数的滞后的部分有关，因此可以使用拉普拉斯变换来实现信号的滞后处理。
（4）收敛性质：拉普拉斯变换的结果受被变换函数的收敛性的影响，而不受其具体形式的影响。
因此，对收敛的函数，可以通过拉普拉斯变换将其变换为正负无穷大范围的指数函数，使其受到解析处理，然后得到函数解析形式的结果。
函数的拉普拉斯变换和反变换的性质
函数的拉普拉斯变换和反变换的性质函数的拉普拉斯变换和反变换是数学中的重要概念，它们被广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析等领域。
在实际应用中，我们需要了解函数的拉普拉斯变换和反变换的性质，以便更好地理解这些概念。
下面我将从理论和实际应用两方面，分别探讨函数的拉普拉斯变换和反变换的性质。
函数的拉普拉斯变换的性质首先，我们来看函数的拉普拉斯变换的基本性质：1. 线性性：如果f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)，那么af(t)+bg(t)的拉普拉斯变换为aF(s)+bG(s)，其中a和b是实数或复数。
2. 移位性：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t-a)的拉普拉斯变换为e^(-as)F(s)。
这意味着，在时间上移动f(t)相当于在频率域上乘以一个指数函数e^(-as)。
3. 导数性质：如果f(t)的导数为f'(t)，那么f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，f'(t)的拉普拉斯变换为sF(s)-f(0)，其中f(0)是f(t)在t=0时的值。
4. 积分性质：如果f(t)的积分为F_0(t)，那么f(t)的拉普拉斯变换为F(s)/s，其中F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
5. 移位定理：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t-a)的拉普拉斯变换为e^(-as)F(s)。
这意味着，在时间上移动f(t)相当于在频率域上乘以一个指数函数e^(-as)。
上述性质是函数的拉普拉斯变换的基本性质，可以帮助我们更好地理解函数的拉普拉斯变换。
函数的反变换的性质接下来，我们来看函数的反变换的性质。
函数的反变换实际上是将函数从频率域转换回时域，因此它的性质更加重要。
对于函数F(s)，记它的反变换为f(t)，即F(s)的反变换为f(t)=L^(-1){F(s)}。
则函数的反变换的性质如下：1. 线性性：如果F_1(s)和F_2(s)的反变换分别为f_1(t)和f_2(t)，那么aF_1(s)+bF_2(s)的反变换为af_1(t)+bf_2(t)。
拉普拉斯变换的性质
0 0 时，有
snF s t
此性质可以将f (t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2 求
f t t m 的拉氏变换（m为正整数）。
f
m1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
拉普拉斯变换的基本性质
本讲介绍拉氏变换的基本性质, 它们在拉氏变换的 实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性 质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定
理的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c，
0
e t d }d t
0
1 t f (t ) e dt t s f (t ) st f (t ) e dt L t t
f (t ) L F ( s ) d s. s t
由于 f 0 f 0
一方面 L f
(m)
0 0, 而 f
m
t m!
1 t u t m! s ; L m! m! L
m smL t t ；
另一方面 L f
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例3 求 f t t 2 cos kt(k为实数) 的拉氏变换.
L t cos kt 1 L cos kt ( s ) 3 2 s 2 s 6 k s 2 2 2 2 3 (s k ) s k
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t0
1 s t0 s2
F2
(s)
L
(t
t0
)u
(t
)
F1
(s)
1
s s2
t0
F4 (s)
L (t
t0 )u(t
t0)
1 s2
e s t0
F3(s) Ltu(t t0 ) L(t t0 )u(t t0 ) t0u(t t0 )
F4 (s)
t0 s
e s t0
s t0 1 est0 s2
dt2
ssF (s)
f
(0 )
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
L
d
f d
n (t) tn
sn
F
(s)
n1 r0
s n r 1
f
(r
)
(0
)
六．时域积分定理
若
L f (t) F(s)
则
L
t
f
(τ) d
τ
F (s) s
1 s
0
f ( ) d τ
t
(t
)
f (t) 的拉普拉斯变换 2Fra bibliotekF(s)
解：F(s)
F1 (s)
F2 (s)
s
1 1
(s
1 1)(s
2)
(s
s 1 1)(s
2)
s
1
2
说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。
二．延时（时域平移）
若 L f (t) F (s)
则
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s) est0
(3)表达式
0
等0
所表示的信号不能用时移性质
t0 0。
f (t t0 )，f (t)u(t t0 )，f (t t0 )u(t)
二．延时（时域平移）
例：已知
1 f (t) 0
0<t <t0
其余
求 F(s)
解： 因为 f (t) u(t) u(t t0 )
所以 F (s) L[ f (t)] L[u(t)] L[u(t t0)]
0
t
证明：
f ( ) d τ f ( ) d τ f ( ) d τ
0
①
②
① 0 f ( ) d τ 1 0 f ( ) d τ
s
t 因为第一项与 无关，是一个常数
②
0
t 0
f
(
)
d
τ
e st
d
t
e st s
t 0
f ( ) d τ
0
1 s
t f (t) estd t
§ 4.2 拉普拉斯变换的基本 性质
一．线性性
若
L f1(t) F1(s),
L
f2 (t)
F2
(s),
K1,
K 为常数 2
则
LK1 f1(t) K2 f2 (t) K1F1(s) K2F2 (s)
例：已知
f1 (t )
F1 (s)
s
1 1
f2 (t)
F2
(s)
(s
1 1)(s
2)
求
f1
:
e t
sin(ω0t)u(t)
(s
ω0 α)2
ω02
五．时域微分定理
若 L f (t) F(s)
则
L
d
f (t) d t
sF (s)
f
(0 )
证明：
f (t) estd t f (t) est [sf (t) est ]d t
0
00
f (0) sF(s)
推广：
L
d
f 2 (t)
1 ( s2
1 s
)es
例 已知 f (t)＝ 2 cos(t π)u(t), 求F(s)。 4
解：f (t) 2 cos t cos π 2 sin t sin π cos t sin t
4
4
F (s)
1
s s2
1
1 s
2
s 1 1 s2
三．尺度变换
若
L f (t) F(s)
则
L f (at) 1 F( s ) (a 0)
二．延时（时域平移）
时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。
f (t) fT (t)u(t)
f1(t)u(t) f1(t T )u(t T ) f1(t 2T )u(t 2T )
F (s) F1(s) F1(s)eTs F1(s)e2Ts
1 1 eTs
F1 ( s)
0
1 t f (t) estd t F (s)
s0
s
六．时域积分定理
例：求图示信号的拉普拉斯变换
f (t) 1
解：
0
2
4
t
f (t) 1 t u(t) u(t 2) ( 1 t 2)u(t 2) u(t 4)
解：4种信号的波形如图
f1(t) t t0
f2 (t) (t t0 )u(t)
0
0
t0
t
t0
t
f3 (t) t u(t t0 )
f4 (t) (t t0 ) u(t t0 )
0
0
t0
t
t0
t
二．延时（时域平移）
f4 (t) 只有信号
可以用延时性质
F1(s)
Lt
t0
1 s2
1 s
则
L f (t) eαt F (s α)
证明：
L f (t) eαt
f (t) eαtestd t F (s α)
0
例：求 eαt c的o拉氏s变ω换 0t
解：已知
: L cos(ω0t )u(t )
s2
s ω02
所以
e t
cos(ω0t)u(t)
(s
sα α)2
ω02
同理
证明：
L f (t t0 )u(t t0 )
0
f
(t
t0 )u(t
t0 ) estd t
t0
f
(t
t0 ) estd t
令 τ t t0 f (τ) est0 esτd τ 0
F (s) est0
二．延时（时域平移）
注意：
(1)一定是
的形式的信号才能用时移性质
f (t t )u(t t ) (2)信号一定是右移
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
例：周期冲击序列
(t 的拉氏变T换为 )u(t)
T
(t
)u
(t
)
1
1 eTs
1 1 eTs
二．延时（时域平移）
例 已知 f (t) t u (t 1),求 F( s)
解： F (s) L[tu(t 1)] L[(t 1)u(t 1) u(t 1)]
1 1 est0 1 (1 est0 )
ss
s
二．延时（时域平移）
例： 已知单位斜变信号
t u(t ) 的拉普拉斯变换为
1 s2
求 f1(t) t t0，f2 (t) (t t0 )u(t)，f3(t) t u(t t0 )，
f4 (t) (t t0 ) u(t t0 ) 的拉普拉斯变换
aa
： 证明 L f (at) f (at) estd t 0
令τ at
f
(τ
)
(
e
s a
)τ
d(
τ
)
0
a
时移和尺度变换都有:
1
( s )τ
f (τ)e a d τ
1 F(s)
a 0
aa
L
f
(at
b)u(at
b)
1
F
(
s
)
sb
ea
(a 0,b 0)
aa
四．s 域平移
若 L f (t) F (s)