典型例题一数项级数
高等数学：第二讲 数项级数的性质
目录
01 数项级数的性质
02
例题
1. 数项级数的性质
性质 1(1) 若级数 un 收敛， 其和为S ，则对 任意常数k ，
n1
级数 kun 也收敛， 其数项级数的性质
性质 1(2) 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与T ，
n1
n1
n1
性质 2 在级数中去掉或加上有限多项，不改变 级数的敛散性。
1. 数项级数的性质
性质 3 若级数 un 收敛，则不改变它的各项次序任意
n1
添加括号后构成的新级数 vm 仍然收敛且其和不变。 m 1
性质4 （级数收敛的必要条件）
若 un收敛， 则lim un 0
n1
n
（即
lim
n
un
0
un 发散）
n1
2. 例题
例1
讨论级数
3 2n 2 3n
n1
6n
的敛散性，若收敛求其和：
解
un
3
2n 2 3n 6n
3(1)n 2(1)n
3
2
因为级数
3(1)n n1 3
收敛,
其和为
1 1 1
3 2
级数 2 (1)n
n1
2
收敛, 其和为
1 1 1
3 2
2 所以由性质1（2）得原级数收敛，其和为
n1
n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为 S T 。
n1
两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
推论1：若级数 un 收敛，而级数 vn发散，
n1
n1
则级数 un vn 必发散。
n1
数项级数2——正项级数的收敛性
数项级数2 正项级数的收敛性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。
例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
例3 讨论级数∑∞=−1253n n n n的收敛性。
例4 讨论级数∑∞=11sinn n的收敛性。
例5 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛−11cos 1n n 的收敛性。
例6 讨论级数n n n πtan 23∑∞=的收敛性。
例7 讨论级数()∑∞=++3312n n n n 的收敛性。
例8 讨论级数()∑∞=>+1011n na a 的收敛性。
例9 讨论级数∑∞=−12121n n的收敛性。
例10 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n 的收敛性。
例11 讨论级数∑∞=12sinn nπ的收敛性。
例12 讨论级数∑∞=122sinn nn π的收敛性。
例13 讨论级数()11!2nn n ∞=+∑的收敛性。
例14 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例15 讨论级数∑∞=1!10n nn 的收敛性。
例16 讨论级数∑∞=−1212n nn 的收敛性。
例17 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例18 讨论级数∑∞=12tann nn π的收敛性。
例19 讨论级数()[]∑∞=+11ln 1n n n 的收敛性。
例20 讨论级数123nn n n ∞=⎛⎫⎪−⎝⎭∑的收敛性。
二、上面例题的详细解答。
情况1 利用比较讨论法及其极限形式讨论正项级数的收敛性 例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
解：∑∞=−12141n n 和11n n∞=∑都是正项级数，1limlim 2n n n→+∞→+∞==，调和级数11n n∞=∑发散，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−12141n n 发散。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
解： ∑∞=−123n n n 和211n n ∞=∑都是正项级数，22lim lim 3n n n →+∞==， P −级数211n n∞=∑收敛，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−123n n n 收敛。
有关级数的典型例题
n > N 1 时， x n ↘． 现证 n ® ¥ 时， x n ® 0 ．取 0 < k < a ， $N 2 > N 1 ，当 n > N 2 时有
k æ 1 ö a æ 1 ö ç1 + ÷ = 1 + + oç ÷ < 1 + ． n è n ø n è n ø
¥
例 5 设正项级数 å x 且数列 { x 单调减少． 利用 Cauchy 收敛原理证明： n 收敛， n }
n =1
lim nx n = 0 ．
n ® ¥
¥
证
由 å x { x 单调减少，有 x u n < +¥ 和 "e > 0 ，由 å n 收敛及 n } n ↘ 0 ．对
另一方面，注意 z n = cos nx + i sin nx ，又有
¥
å ( qz )
n =1
n
n =qz + ( qz )2 + ( qz )3 + L + ( qz ) +L
= qz + q 2 z 2 + q 3 z 3 + L + q n z n + L = q cos x + qi sin x + q 2 cos 2 x + q 2 i sin 2 x + L + q n cos nx + q n i sin nx
e
，因而 0 £ 2 kx 2 k < e ； 2
e
2
， ( 2 k + 1 ) u 2 k +1 2 k + 2 ) u 2 k +1 < e ． £ (
级数典型例题
级数典型例题典型例题1：计算以下级数的和：1 + 2 + 3 + 4 + ...解答：这是一个等差数列，首项a=1，公差d=1，因此可以使用等差数列的求和公式来计算和。
等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，其中n表示项数，Sn表示和。
代入a=1，d=1，得到Sn = (n/2)(2(1) + (n-1)(1)) = (n/2)(n+1)。
因此，1 + 2 + 3 + 4 + ...的和为Sn = (n/2)(n+1)。
典型例题2：计算以下级数的和：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...解答：这是一个等比数列，首项a=1，公比r=1/2，因此可以使用等比数列的求和公式来计算和。
等比数列的求和公式为：Sn = a(1-r^n)/(1-r)，其中n表示项数，Sn表示和。
代入a=1，r=1/2，得到Sn = 1(1-(1/2)^n)/(1-(1/2)) = 2 (1-(1/2)^n)。
因此，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和为Sn = 2 (1-(1/2)^n)。
典型例题3：计算以下级数的和：1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...解答：这是一个等比数列，首项a=1，公比r=1/3，因此可以使用等比数列的求和公式来计算和。
等比数列的求和公式为：Sn = a(1-r^n)/(1-r)，其中n表示项数，Sn表示和。
代入a=1，r=1/3，得到Sn = 1(1-(1/3)^n)/(1-(1/3)) = 3/2 (1-(1/3)^n)。
因此，1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...的和为Sn = 3/2 (1-(1/3)^n)。
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典型例题一数项级数
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
数项级数经典例题大全
第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ).2讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 , =n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S 12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n . ⇒n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令21nu n =, 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11sinn n n 的敛散性.(验证0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 9、判断级数()() +-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性.解1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注:对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解1212)1(3lim lim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. 13、判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法 ⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。
数项级数经典例题大全（1）
数项级数经典例题大全（1）第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||q-11( 注意n 从0开始 ).2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 ,=n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--?-=+n n n ,) (∞→n . ? n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当2≥n 时,有∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11s i n n n n 的敛散性.(验证0→/n u .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-?>+- 9、判断级数()()+-+??-+??+++??+)1(41951)1(32852951852515212n n 的敛散性.解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ?∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+?+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<="">∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ?∑+∞<. 13、判断级数∑??+21n n n 和∑??+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<="" p="" 判别法="" 时,="" 由leibniz=""> 收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈?x 收敛.证 ++??? ??-+=??+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21sin() 21sin() 21 sin(+=??--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ?∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。
数学分析数项级数
数学分析数项级数数项级数是由一组数相加而成的序列。
数项级数在数学中有着非常重要的地位，常用于研究数学分析、微积分和数论等领域。
首先，我们来定义数项级数。
数项级数是由一组实数a1, a2,a3, ... 组成的序列，将其相加得到的序列表示为：S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, ... 一般地，第n个部分和Sn为Sn = a1 +a2 + ... + an。
我们首先来讨论数项级数的部分和序列。
部分和序列是数项级数中非常重要的概念。
如果部分和序列Sn收敛于一个实数S，即lim(n→∞)Sn = S，那么我们称该数项级数是收敛的，并称S为该数项级数的和。
如果部分和序列Sn不收敛，我们称该数项级数是发散的。
接下来，我们来研究一些收敛数项级数的性质。
首先是数项级数的有界性。
如果数项级数收敛，那么它的部分和序列一定是有界的。
这是因为收敛数列的定义就包含了它的部分和序列是有界的。
其次，我们来看数项级数的比较判别法。
这是判断数项级数的敛散性的一种常用方法。
如果对于一个正数b来说，数项级数绝对值的部分和序列Sn满足Sn≤b，那么我们称该数项级数是收敛的。
该方法常用于判定数项级数在无穷大时的敛散性。
再次，我们来看数项级数的比值判别法。
如果数项级数的部分和序列Sn满足lim(n→∞) ，Sn+1 / Sn， = L，那么我们有下面的结论：1）当L<1时，数项级数是收敛的；2）当L>1时，数项级数是发散的；3）当L=1时，该方法无法判定数项级数的敛散性。
最后，我们来看数项级数的积分判别法。
对于一个连续递减的正函数f(x)，如果数项级数的部分和序列Sn与函数f(x)的积分∫(n→∞) f(x) dx之间存在以下关系：1）当∫(n→∞) f(x) dx收敛时，数项级数也是收敛的；2）当∫(n→∞) f(x) dx发散时，数项级数也是发散的。
以上是数项级数的一些基本概念和性质。
第一单元数项级数
1 xp
dx,
∑ ∑ ∑ ∫ ∫ n+1
∴ ak
k=2
=
n+1 1 np
k=2
≤
n +1 k=2
n n −1
1 xp
dx
=
n1 1 x p dx
=
1 p −1
⎛⎜⎝1
−
1 n p −1
⎞ ⎟⎠
<
1 p −1
即，部分和数列有界，因而级数收敛。
∞
∞
比较审敛法´ 设∑an 与 ∑bn 是两个正项级数，且
3n
n =1
证
设
an
=
n2n 3n
，, 则
lim an+1 a n→∞
n
=
lim
n→∞
(n
+1)2n+1 3n+1
/
n2n 3n
= lim n +1 2 n→∞ n 3
=
2. 3
故，级数收敛。
g
∑ 例7 判定级数 ∞ n! 的收敛性。
解
令 an
=
n! nn
n=1 n
，, 则
n
lim
n→∞
an+1 an
∑ ∑ ∑ ∞
∞
n=1
n=1
n=1
∞
(1) an, cn 收敛；(2) an ≤ bn ≤ cn ，则 bn 收敛。
n=1
n=1
∞
∞
n=1
∑ ∑ 证 作级数 (cn −an), (cn −bn) ，级数为正项级数，且
n=1
n=1
∞
∞
cn −bn ≤ cn −an, ∞
《高等数学》第6章1 数项级数
请双面打印/复印(节约纸张)高等数学主讲: 张小向第六章 无穷级数第一节 数项级数 第二节 反常积分判敛法 第三节 幂级数 第四节 傅里叶级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数§6.1 数项级数 一. 无穷级数的概念 1.引例1 − 2 1 − 41 − 8(3) 无法实施的奖赏(摘自/Blog/181498.aspx)国际象棋起源于印度. 棋盘上共有64个格子. 传说国王要奖赏国际象棋的发明者—— 他的大宰相西萨·班·达伊尔, 问他有什么要求, 这位大宰相跪在国王面前说: “… …”. 1+2+22 +23 +...+263 = 264−1 = 18 446 744 073 709 551 615(粒) 1000粒小麦的质量 ≈ 40g, 18 446 744 073 709 551 615粒小麦的质量大于 7000亿吨! 2008/09年度全球小麦产量: 6.56 亿吨, 7000 ÷ 6.56 ≈ 1067(年) 要用23 300 000 000辆载重量为30吨的大卡车拉1 1 1 (1) − + − + − + … 2 4 8(2) 乒乓球跳动的时间2H 2n+1H H 4 2H g + 4 3g + − g + … + 2 3ng + … 3第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数2. 定义 u1, u2, …, un, … ——无穷数列 数项级数(简称级数):n=1 nn=1 n ∞ n=1 nΣ u = u1 + u2 + … + un + …n∞Σ u 前n项部分和(简称部分和): Sn = u1 + u2 + … + un = k=1 uk Σ∞Σ u = u1 + u2 + … + un + … 项 通项(一般项)∞n=1 nΣ u 收敛: lim Sn 存在 n→∞n=1 nΣ u 的和: S = n→∞ Sn lim∞∞Σ 记为: n=1un = Sn=1 nΣ u 发散: lim Sn 不存在 n→∞∞272365083@1请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数例1. n=1 2n . Σ1 1 Sn = − + − + … + 2n = 1 − 2n . 2 4n→∞∞1例2. 等比级数(几何级数)1 1Σ aqn−1 (a ≠ 0). n=1 Sn = a + aq + aq2 + … + aqn−1 = 1 − q . (1) |q| < 1时, n→∞ Sn = 1 − q , 即 limn=1∞a − aqnlim Sn = 1, 故 n=1 2n = 1. Σ1 − 2 1 − 41 − 8∞1aΣ aqn−1 = 1 − q .∞∞alim (2) |q| > 1时, n→∞ Sn = ∞, 记为n=1Σ aqn−1 = ∞.第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数(2) |q| = 1时, lim lim ① 若q = 1, 则 n→∞ Sn = n→∞ na = ∞. a, n为奇数; ② 若q = −1, 则Sn = 0, n为偶数, lim S 不存在. n→∞ n 综上所述, 当|q| < 1时等比级数 n=1 aqn−1 (a ≠ 0) Σ 收敛, 且 Σ aqn−1 = a . n=1 1−q Σ 当|q| ≥ 1时等比级数 n=1 aqn−1 (a ≠ 0)发散.∞ ∞ ∞Σ 例3. 证明: n=11∞1 = 1. n(n+1) 1 1证明: Sn = 1×2 + 2×3 + … + n(n+1)2 2 3 1 = 1 − n+1 → 1 (n→∞), 1 1 1 = (1 − −) + (− − −) + … + (− − n+1) n 1 1即 n=1 Σ∞1 = 1. n(n+1)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数Σ 例4. 证明: n=1∞1 收敛. n21例5. 调和级数 ,n=1证明: ∀ε >0, ∃N = [−] + 1, 当n > N时, ∀p ∈ ε |Sn+p − Sn| = (n+1)2 + (n+2)2 + … + (n+p)2 = n(n+1) + … +1 1 1 1 1 (n+p−1)(n+p) 1 1 11 1 Σ −=1+−+−+…+−+… 2 3∞1 n1 n对于ε0 = 1/2, 取m = 2n, 则 |Sm − Sn| = 1 + 1 + … + 1 n+1 n+2 2n ≥ 2n = ε0 . 由Cauchy收敛准则可知{Sn}发散, 即调和级数是发散的.n= − − n+p < − < ε . n n∞ 即 n=1 12 收敛. Σ由Cauchy收敛准则可知{Sn}收敛,n272365083@2请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数二. 数项级数收敛的条件 定理1 (级数收敛的必要条件).n=1 n ∞Σ 注① n=1 un 收敛 ⇒ lim un = 0. ——原命题 n→∞n→∞ n ∞∞Σ u 收敛 ⇒ lim un = 0. n→∞∞∞limu ∃ 或 limun = a ≠ 0 ——逆否命题证明: 设 n=1un 收敛, 且 n=1 un = S, Σ Σ 则 n→∞ un = n→∞ (Sn − Sn−1) lim lim = n→∞ n − n→∞ n−1 limS limS = S − S = 0.⇒ n=1 un 发散. Σ例6. 判别下列级数的敛散性. (1) n=1 (−1)n; Σπ (3) n=1 nsin− ; Σ n∞ ∞(2) n=1 n+1 n ; Σ (4) n=1 (n − √n2 − n). Σ∞∞n第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数Σ 注② n=1 un 收敛 ⇒ lim un = 0. ——原命题 n→∞n→∞∞定理2 (Cauchy收敛准则).n=1 nlim un = 0 ⇒ n=1 un 收敛. ——逆命题 Σ 该命题不成立!∞Σ u 收敛 ⇔ 数列{Sn}收敛 ,当 n > N时,n+p∞⇔ ∀ε > 0, ∃N∈∀p∈ , 有 Σ uk = |Sn+p − Sn| < ε. k=n+1例如 n→∞ − = 0, 但 n=1 − 发散. lim n Σ n1∞1第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数∞ (−1)n−1 例7. 证明级数 n=1 n Σ 收敛.例8. 已知级数 n=1un收敛, 其中un > 0 (∀n). Σ(−1)n+p−1 n+p∞证明: |Sn+p − Sn| = n+1 + n+2 +…+ ≤1 n+1(−1)n(−1)n+1证明: 级数u1 + u3 +…+ u2k−1 + …也收敛. 证明: 记Sn = u1 + u2 +…+ un, Tn = u1 + u3 +…+ u2n−1, 由条件及Cauchy收敛准则可知 ∀ε > 0, ∃N ∈ , 当 n > N时, ∀p∈ +, 有 |Tn+p − Tn| = |u2n+1 + u2n+3 +…+ u2n+2p−1| ≤ |u2n+1 + u2n+2 +…+ u2n+2p−1| = |S2n+2p−1 − S2n| < ε . 所以级数u1 + u3 +…+ u2k−1 + …也收敛.<1 − n, ,= ε, 故 ∀ε > 0, ∃N ∈ [−] ∈1当 n > N时, ∀p∈ , 有 1 |Sn+p − Sn| < −. < ε . ε n 由Cauchy收敛准则可知该级数收敛.272365083@3请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数三. 数项级数的基本性质 性质1. 设级数 n=1 un 收敛, 且 n=1un = S, Σ Σ 则对任意常数k, 级数 n=1kun也收敛, Σ 且 n=1kun = kS. Σ 证明: 记Sn = u1 + u2 +…+ un, Tn = ku1 + ku2 +…+ kun, 则 n→∞ n = limkSn = klimSn = kS. limT n→∞ n→∞ 推论. 若k≠0, 则 n=1un 与n=1 kun 的收敛性相同. Σ Σ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞性质2. 设 n=1 un 与 n=1vn 都收敛, 且 Σ Σn=1 n ∞∞∞Σ u = S, n=1vn = T, Σ∞∞∞则 n=1(un ± vn)也收敛, 且 Σn=1 ∞Σ (un ± vn) = S ± T.∞ ∞例9. n=1un收敛, n=1vn 发散 ⇒ n=1(un + vn) _____. Σ Σ Σ第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数Σ Σ Σ 注① n=1(un + vn)收敛 ⇒ n=1 un 与 n=1 vn 都收敛.−1 例如, un = 1 , vn = n+1 , n∞∞∞Σ Σ Σ 注① n=1(un + vn)收敛 ⇒ n=1 un 与 n=1 vn 都收敛. Σ Σ Σ Σ 注② n=1un , n=1vn , n=1(un + vn), n=1(un − vn)中, 任意两个收敛, 则另外两个也收敛.上述四个级数的敛散性, 可能出现的情形: (A) 都收敛; (B) 都发散; (C) 一个收敛, 另外三个发散.∞ ∞ ∞ ∞∞∞∞则n=1 (un + vn)收敛, Σ 但 n=1un 与 n=1vn 都发散. Σ Σ1 1 1 1 1 (1− −) + (− − −) + … + (− − n+1) 2 2 3 n∞ ∞∞=1− 1n+1→ 1 (n→∞).第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数性质3. 在级数中去掉或添加有限多项, 得到的 级数与原来的级数敛散性相同.∞ 例如: (1) n=1 12 收敛 ⇒ Σ1 1 1 1 1 1 1+−+−+−+−+−+…+−+… n 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 −+−+−+−+…+−+… n 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1+−+−+−+−+−+…+−+… n 4 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + − + 5 + − + − + − + −… + − + … n 6 7 8 9 4n 1 1 1 1 + 25 + 36 + … + n2 + …收敛; 16 1 1 1 9 + 4 + 1 + − + − + … + n2 + …收敛. 4 9 ∞ 1 (2) Σ − 发散 ⇒ n=1 n 1 1 1 − + − + … + − + …发散; n 5 6 1 1 1 1 1 − + − + 1 + − + − + … + − + …发散. n 9 4 2 3272365083@4请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数性质4. 设级数 n=1un 收敛, 则不改变它的各项 Σ 次序而任意添加括号后构成的新级数n=1 n∞n=1 nΣ u = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 + …∞Σ u′ 仍然收敛, 而且和不变.∞∞部分和数列: S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 , S7 , …n=1 n证明: 注意到 n=1un 的部分和数列 {Sn} 是 Σ ′ ′ Σ u 的部分和数列 {Sn} 的子列即可. n=1 n∞Σ u′ = (u1 + u2) + u3 + (u4 + u5 + u6) + u7 + … = u1 ′ + u2 + ′ u3 + ′ S3′ , u4 + … ′ S4′ , …∞部分和数列: S1′ , S2′ ,n→∞lim Sn 存在 ⇒ n→∞ Sn = lim Sn . lim ′ n→∞第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数注: 级数(1−1) + (1−1) + (1−1) + ... 收敛, 但 1 − 1 + 1 − 1 + ... + (−1)n+1 + … 发散. 性质5. n=1 cn 收敛 ⇒ n→∞ k=n+1ck = 0. Σ lim Σ 证明: 设 n=1cn 收敛, 且 n=1 cn = S. Σ Σ 令 Rn = k=n+1ck , 称为 n=1cn的n阶余项. Σ Σ 于是 S = n→∞ Sn ⇒ n→∞ Rn = n→∞ (S − Sn) = 0. lim lim lim∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞四. 数项级数判敛法 1. 正项级数 (1) 定义 正项级数 n=1un : ∀un ≥ 0 Σ (2) 性质 ∀un ≥ 0 ⇒ {Sn}单调递增. (3) 判敛法 Σ 定理3. 正项级数 n=1un 收敛 ⇔ {Sn}有界.∞ ∞第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数例10. u1 = 1, un = ∫ n−1 xp dx (n ≥ 2, p >1), 证明 Σ un 收敛.n=1 ∞n1定理4 (比较判别法). 设0 ≤ un ≤ vn (∀n), 则 (1) n=1 vn 收敛 ⇒ n=1un 收敛. Σ Σ Σ (2) n=1 un 发散 ⇒ n=1 vn 发散. Σ∞ ∞ ∞ ∞可 改 ∃N∈ , s.t. 为 当n > N时,证明: 因为un > 0, 而且 Sn = 1 + ∫ 1 xp dx + … + ∫n−1 xp dx = 1 + ∫ 1 xp dx = 1 + 1−p x1−p1 1 1∞ n 2un ≤ vn1n111n 1Σ 证明: (1) n=1vn 收敛 ⇒ 其部分和数列{Tn}有界 ⇒ n=1un 的部分和数列{Sn}有界 Σ ⇒ Σ un 收敛.n=1 ∞ ∞∞= 1 + p−1 (1 − n p−1 ) < 1 + p−1 . 所以 Σ un 收敛.n=1(2) 由(1)立得.272365083@5请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数例11. p级数 n=1 Σ1 当p > 1时收敛, p ≤ 1时发散. . np ∞ 1 1 (1) 当 p < 0时, lim np = +∞ ⇒ n=1 np 发散. Σ n→∞ 1 1∞1 n 1 1 1 证明: 因为 lim[(1−cos−) n2] = − , n→∞ n 2例12. 证明 Σ (1 − cos−)收敛.n=1∞(2) 当0 ≤ p ≤ 1时, np ≥ − , n Σ − 发散 ⇒ n=1 np 发散. Σ n=1 n1 n 1 (3) 当 p>1时, np < ∫ n−1 p dx (n ≥ 2), x ∞ 由例10可知 Σ 1p 收敛. n=1 n∞所以 ∃N∈, s.t. 当n > N时, 有1 11∞11 1 [(1−cos−) n2 ] − − < −, n 2 4从而1 1 3 < 1−cos− < 4n2 . 4n2 n ∞ 3 又因为 Σ 4n2 收敛, n=1∞故由比较判别法可知 n=1(1 − cos−) 收敛. Σ n1第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数1 发散. n1+1/n 1 1 证明: 因为 lim( 1+1/n −) = n→∞ 1 = 1, lim 1/n n→∞ n n n例13. 证明 Σ∞推论 (比较判别法的极限形式) 设 n=1un 和 n=1 vn 均为正项级数, 且 Σ Σ 则 (1) 当0 < l < +∞时,∞ ∞ ∞ ∞ ∞n=1所以 ∃N∈1, s.t. 当n > N时, 有lim n→∞un = l, vn1 1 ( 1+1/n −) − 1 < − . n n 2 1 1 3 从而 2n < n1+1/n < 2n . ∞ ∞ 1 1 Σ 又因为 Σ 2n 发散, 故 n=1 n1+1/n 发散. n=1Σ u 与n=1 vn 的敛散性相同. Σ n=1 n (2) 当l = 0 且 n=1vn 收敛时, n=1un 也收敛. Σ Σ (3) 当l = +∞ 且 Σ vn 发散时, Σ un 也发散.n=1 n=1 ∞ ∞ ∞第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数证明: (1) 方法同例12和例13. (2) 因为 lim n→∞un = 0, vn un , s.t. 当n > N时, v < 1, n∞(3) (法一) 因为 limn→∞ ∞un = +∞, vn所以 ∃N∈, s.t. 当n > N时, un > vn .∞所以 ∃N∈ 于是un < vn .∞Σ 而 n=1vn 发散, 故 n=1un 发散. Σ (法二) 若 n=1un 收敛, Σ 则由 lim 矛盾! 故 n=1un 发散. Σ∞ n→∞ ∞ vn Σ = 0 及(2) 得 n=1vn 收敛, un ∞Σ 而 n=1vn 收敛, 故 n=1un 收敛. Σ272365083@6请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数例14. 设a >0, 讨论 Σ (a1/n + a−1/n −2)的敛散性.n=1∞定理5 (D’Alembert比值判别法). 设 Σ un 为正项级数, ∀un > 0 且 limn=1 n→∞ ∞ ∞ ∞a1/n + a−1/n − 2 at + a−t − 2 = t→0+ lim 解: lim 2 n→∞ 1/n t2 2. = (lna) 又因为 n=1 Σ∞un+1 = ρ, unΣ 则 (1) 当ρ < 1时, n=1un 收敛. (2) 当ρ > 1时, n=1un 发散. Σ达朗贝尔：法国物理学家、数学家、天文学 家哲学家。
1数项级数(成贤)
则 级数
( A). 3
n 1
un
(B ). 7 (D ). 9
(C ). 8
3.若 un 发散, 则下列结论正确的是
n 1
1 ( A). 收敛 n 1 un
( B). ( un 0.0001)发散
n 1
Hale Waihona Puke (C ). un1000 发散
( D). k un 发散
2
收敛
ln3 n 6. lim 0, n n ln3 x ln2 x ( 3 ln x ) f ( x ) ( ) 0( x 27), 2 x x ln3 n 1 又 , n n
条件收敛
三. 1.设 limn (e 1)un 1( p 0),
发散
u n 1 4. lim n u n
(n 1) n 1 1 n (1 ) n 1 a (n 1)! n e lim lim n n n n a a a n n!
e a 时, 收敛; e a 时, 发散.
n (n 2) cos 3 (n 2) , 5. 3n 3n (n 2) 1 3n 收敛, n
( A). 发散
(C ). 条件收敛
(B ). 绝对收敛
( D). 敛散性与a 有关
a 7.设 a 0, 则级数 (1) (1 cos ) n n 1
n
( A). 发散
(B ). 绝对收敛
(C ). 条件收敛
( D). 敛散性与a 有关
8.设 0, an 收 敛 ，
1
收敛
un 1 2. lim n u n
第十二章数项级数
第十二章 数项级数一、单选题（每题2分） 1、 设常数0k >,则级数21(1)nn k nn +∞=+-∑( ) A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 收敛与发散与k 有关 2、 设a 是常数，则级数()21sin n na n +∞=⎡⎤⎢⎣∑（ ） A ．绝对收敛 B.条件收敛 C. 发散 D.收敛性与a 的取值有关 3、 级数()1(1)1cos 0n n a a n +∞=⎛⎫--> ⎪⎝⎭∑常数（ ）A . 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与a 有关 4、 设常数0λ>，且级数21n n a +∞=∑收敛，则级数1(1)nn +∞=-∑ ）A . 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与λ有关 5、 设0(1,2,3,)n a n >=，且级数1n n a +∞=∑收敛，常数0,2πλ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则级数21(1)tan n n n n a n λ+∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑（ ）A . 绝对收敛 B. 条件收敛 C.发散 D. 敛散性与λ有关 6、 设()1ln 1nn u ⎛=- ⎝，则级数（ ） A .1nn u+∞=∑与21nn u+∞=∑都收敛 B.1nn u+∞=∑与21nn u+∞=∑都发散C.1nn u+∞=∑收敛而21nn u+∞=∑发散 D.1nn u+∞=∑发散而21nn u+∞=∑收敛7、 设10(1,2,)n a n n≤<=，则下列级数中肯定收敛的是（ ） A .1n n a +∞=∑ B.()11nn n a +∞=-∑C.1n +∞= D.()211nn n a +∞=-∑8、 下列各选项正确的是（ ）A. 若21nn u+∞=∑和21nn v+∞=∑都收敛，则()21nn n uv +∞=+∑ 收敛B. 若1n nn u v=∑ 收敛，则21nn u=∑和21nn v=∑都收敛C. 若正项级数1n n u +∞=∑发散，则1n u n≥D. 若级数1nn u+∞=∑收敛，且()1,2,n n u v n ≥=，则级数1n n v +∞=∑也收敛9、 若级数1nn a+∞=∑和1nn b+∞=∑都发散，则（ ）A .()1nn n ab +∞=+∑ 发散 B. 1n nn a b+∞=∑发散C.()1nn n ab +∞=+∑发散 D.()221nn n ab +∞=+∑发散10、n a 和n b 符合（ ）条件，可由1nn a+∞=∑发散推出1nn b+∞=∑发散。
1数项级数的基本概念及性质
∞
( k ≠ 0).且
∑ kun = k ∑ un n =1 n =1
性质 2:若级数 ∑ un , ∑ vn 收敛,则级数
n =1 n=1 ∞ ∞
∞
∑ (u
n =1
∞
n
± vn )也
收敛收敛,且
∑ (un ± vn ) = ∑ un ± ∑ vn n =1 n =1 n =1
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即: 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n→ ∞
当级数收敛时, 称差值
rn = s sn = un+1 + un+ 2 +
为级数的余项. 显然 lim rn = 0
n→ ∞
即
sn ≈ s
误差为 rn
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级数与数列有着密切的关系:
n 给定级数 ∑ un ,就有部分和数列 sn = ∑ ui ; i =1 n =1 给定数列{sn },就有以{sn }为部分和数列的级数:
sn = na → ∞
发散 发散
当 q = 1 时 , 级数变为 a a + a a +
∴ lim s n 不存在
n→ ∞
综上所述
a 当 q < 1 时 , 收敛 , 其和为 n 1 q ∑ aq n= 0 当 q ≥ 1 时 , 发散
∞
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例 4:
判别无穷级数
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧: 利用 "拆项相消" 求和
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1 例2. 判别级数 ∑ ln ( 1 2 ) 的敛散性 . n n= 2 解: n2 1 1 ∵ ln ( 1 2 ) = ln 2 = ln( n + 1) + ln( n 1) 2 ln n n n n 1 ∴ sn = ∑ ln ( 1 2 ) k k =2 = [ln 3 + ln 1 2 ln 2] + [ln 4 + ln 2 2 ln 3] + [ln 5 +
数项级数1——利用级数的概念和性质讨论级数的敛散性
数项级数1利用级数的概念和性质讨论级数的敛散性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。
例 利用定义判定几何级数()00n n aq a ∞=≠∑的收敛性。
例 利用定义判定级数()()∑∞=+−112121n n n 的收敛性。
例利用定义判定级数1n ∞=∑的收敛性。
例 利用定义判定级数11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛性。
例 已知级数∑∞=1n nu收敛于s ，则级数∑∞=2n nu收敛于 。
例 若∑∞=1n nu和∑∞=1n nv 都收敛，则()1nn n uv ∞=−∑必收敛，对吗？ 例 若∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都收敛，则()1nn n uv ∞=+∑必收敛，对吗？例 若∑∞=1n nu收敛，∑∞=1n nv都发散，则()1nn n uv ∞=+∑必收敛，对吗？ 例 若∑∞=1n nu发散，∑∞=1n nv都发散，则()1nn n uv ∞=+∑必收敛，对吗？例 若∑∞=1n nu发散，把∑∞=1n nu的前100项都删除后得到级数∑∞=1n nv，则∑∞=1n nv必收敛，对吗？ 例 若∑∞=1n nu发散，对级数∑∞=1n nu的项加括号后得到级数∑∞=1n nv，则∑∞=1n nv必收敛，例 若∑∞=1n nu收敛，对级数∑∞=1n nu的项加括号后得到级数∑∞=1n nv，则∑∞=1n nv必收敛，对吗？ 例 对级数∑∞=1n nu的项加括号后得到级数∑∞=1n nv，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu必收敛，对吗？ 例 对级数∑∞=1n nu的项加括号后得到级数∑∞=1n nv，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu必发散，对吗？例 判定级数11n ∞=∑的收敛性。
例 判定级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+121sin 1n n 的收敛性。
例 0lim =∞→n n u 是级数∑∞=1n nu收敛的（ ）条件。
A 、必要；B 、充分；C 、充要；D 、既非必要也非充分； 二、上面例题的详细解答。
数项级数审敛法例题及知识点总结
数项级数的审敛法方法分别有根据级数性质判断、比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法、交错级数审敛法（莱布尼茨定律）、判断绝对收敛和条件收敛。
方法一 根据级数性质判断等比级数Sn =a +aq +⋯+aq n−1=a(1−q n ) 当|q|<1时，级数收敛当|q|>1时，级数发散当|q|=1时，讨论P 级数1+1p +1p +⋯+1p 当P>1时，级数收敛当P<=1时，级数发散调和级数级数∑1n ∞n=1发散 例题：根据级数性质判断级数收敛性1、 ∑(12n +13n )∞n=1解：由∑12∞n=1为首项为12，q=12的等比级数 因为|12|<1,所以级数收敛由∑13∞n=1为首项为13，q=13的等比级数 因为|13|<1,所以级数收敛由收敛+收敛=收敛，所以原级数收敛 2、 ∑1n 2∞n=1解：由∑1n 2∞n=1为p=2的P 级数因为p>1,所以原级数收敛3、 ∑3n ∞n=1 解：由∑3n ∞n=1，知级数为调和级数，所以收敛 方法二 比较审敛法如果级数∑Un ∞n=1=U 1+U 2+⋯+U n +⋯满足条件Un ≥0(n =1、2、…),则称为正项级数如果∑Un ∞n=1和∑Vn ∞n=1满足正项级数，在0≤Un ≤Vn 的情况下，若级数∑Vn ∞n=1收敛，则级数∑Un ∞n=1收敛，若级数∑Un ∞n=1发散，则级数∑Vn ∞n=1发散。
比较审敛法步骤（1） 如果还需写通项公式写出通项公式（2） 找出小于谁或大于谁（3） 比较大小例题：根据比较收敛法求其收敛性 1、12+15+110+1n+⋯+1n +1 解：通项公式为1n +1 由0≤1n +1≤1n因为∑1n ∞n=1为p=2>1的P 级数，所以级数收敛 所以原级数收敛2、∑(n 2n+1)n ∞n=1解：由0≤(n 2n+1)n ≤(12)n 因为∑(12)n ∞n=1是q= 1 2<1的等比级数，所以级数收敛 所以原级数收敛方法三 比值审敛法设∑Un ∞n=1为正项级数，如果lim n→∞U n+1Un =ρ 当ρ<1时，级数收敛当ρ>1时，级数发散当ρ=1时，级数可能收敛可能发散 例题：用比值审敛法判断其收敛性 1、 ∑n 33n ∞n=1解：lim n→∞U n+1Un =lim n→∞(n+1)33∗3n n =13<1 所以级数收敛2、 ∑1n!∞n=1 解：lim n→∞U n+1Un =lim n→∞1(n+1)!∗n!=lim n→∞1n+1→0<1所以级数收敛方法四 根植审敛法（柯西判别法）设设∑Un ∞n=1为正项级数，如果lim n→∞√U n n =ρ 当ρ<1时，级数收敛当ρ>1时，级数发散当ρ=1时，级数可能收敛可能发散 例题：用根值审敛法判断其收敛性1、 ∑(2n+13n+1)n ∞n=1 解: lim n→∞√U n n =lim n→∞√(2n+13n+1)n n = lim n→∞2n+13n+1=23<1 所以该级数收敛方法五 交错级数审敛法可以表示为∑(−1)n−1∞n=1U n 、∑(−1)n ∞n=1U n其中U n >0,n =1,2…(莱布尼茨定律)如果级数∑(−1)n−1∞n=1U n 满足 (1)、U n ≥U n+1(2)、lim n→∞U n =0 那么级数收敛例题用交错级数审敛法求其收敛性1、∑(−1)n−1∞n=112n−1解：满足交错级数由U n =12n−1≥U n+1=12n+1且lim n→∞12n−1=0所以该级数收敛2、、∑(−1)n−1∞n=11n∗3解：满足交错级数由U n =1n∗3≥U n+1=1(n+1)∗3且lim n→∞1n∗3=0所以该级数收敛判断级数绝对收敛还是条件收敛如果正项级数∑|Un|∞n=1收敛，那么得级数∑Un ∞n=1绝对收敛如果正项级数∑|Un|∞n=1发散，那么得级数∑Un ∞n=1条件收敛1、：∑(−1)n−1∞n=112解：由∑|12∞n=1|发散所以原级数不是绝对收敛 由莱布尼茨定律U n =12n ≥U n+1=12n+1 lim n→∞12n=0 所以该级数条件收敛2、 ∑sin na(n+1)2∞n=1 解：由0≤|sin na (n+1)2|≤1n 2 由级数∑1n ∞n=1为p=2>1的P 级数 所以∑|∞n=1sin na(n+1)|收敛 所以原级数绝对收敛。
函数项级数的一般概念
函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.定义：.1 20 +++=∑∞=x x x n n 例如级数 ∑∞=++++=121)()()()(n nn x u x u x u x u {}上的函数列，称是定义在区间设 )( I x u n 上的为定义在区间 I 函数项(无穷)级数。
2.收敛点与收敛域：如果I x ∈0,数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛,则称0x 为级数)(1x u n n ∑∞=的收敛点,否则称为发散点.函数项级数)(1x u n n ∑∞=的所有收敛点的全体称为收敛域,. )(:1⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=∑∞=收敛n n x u R x K3.和函数:{}为函数项级数的称记 )( , )()( 1x s x u x s n nk k n ∑==部分和数列。
).( , )(lim , 000x s x s K x n n 记为存在则设∞→∈函数项级数的和函数：., )()(1K x x u x s n n ∈=∑∞=解：由达朗贝尔判别法，)()(1x u x u n n +x n n +⋅+=111)(11∞→+→n x,111)1(<+x 当, 2 0时或即-<>x x 原级数绝对收敛.,11>+⇒x 例1. )11()1( 1的收敛域求函数项级数n n nx n+-∑∞=二、典型例题板书,111)2(>+x当,11<+⇒x , 02时即<<-x 原级数发散., 0时当=x ; )1(1收敛级数∑∞=-n nn , 2时当-=x .11发散级数∑∞=n n ).,0[)2,(+∞--∞ 故级数的收敛域为,1|1|)3(=+x 当,2 0-==⇒x x 或板书三、小结1. 函数项级数、收敛域与和函数的概念。
2. 由数项级数的收敛判别法来确定函数项级数的收敛域。
数项级数
åb = å(
An - An +1 )
¥ P lim n = 0 å an n ®¥ S n =1 n 比收敛级数 收敛得
¥ n
问题 5 何谓一个发散的正项级数 n =1 比另一个发散的正项级数 n =1 发散得较慢？是否存在发散最慢的正项级数？
的正项级数 å vn , 一定存在另一个发散的正项级数 å u n , 使 lim
n =1 n =1
u n = 0. 证 n ®¥ v n
明如下：
¥
（1）设 å vn 为收敛的正项级数，记
n =1 ¥ ¥
s = å vn , sn = å v k ,
n =1 n =1
u n = s - sn -1 - s - sn ( s0 = 0), n = 1, 2,...
1 S - Sn -1 + S - S n
= ¥.
¥
（2）设 å vn 为发散的正项级数，记
n =1 ¥
S n = å vk , u n =
n =1 ¥
v n Sn .
则 å un 为一发散的正项级数，并使
n =1
lim
u 1 n = lim = 0. n ®¥ v n ®¥ S n n
2 u n n +1 lim = lim = 1 。 2 n ®¥ u n ®¥ ( n + 1) n ¥
问题 7 试问收敛的正项级数 å un ，其通项是否必定是单调递减
n =1
的？ 答
¥
不一定。例如级数
np é ê sin 2 ê ê n ë
2013考研提高班-级数-例题
7
B4:[99109]
n 设 a n = ∫04 tan xdx ,
π
(1)求 ∑ (an + an+2 ) 的值；
1 n=1 n
∞
(2)试证:对任意的常数 λ > 0 ，级数 ∑
an λ 收敛. n=1 n
∞
8
二、幂级数 几个常用函数的幂级数展开式：
∞ 1 n =1+x+x2+…+xn+…= ∑ x , x < 1 n=0 1− x ∞ 1 n n ② =1-x+x2-…+(-1)nxn+…= ∑ ( −1) x , x < 1 n =0 1+ x 2 n n ∞ x x x x ③e =1 + x + + L + + L = ∑ , ( − ∞ < x < +∞ ) n = 0 n! 2! n! 3 2 n +1 n 2 n +1 ∞ ( −1) x x x n + L + (−1) + L= ∑ , ( − ∞ < x < +∞ ) ④sinx= x − n = 0 ( 2 n + 1)! 3! (2n + 1)! 2n n 2n ∞ ( −1) x x2 n x ⑤cosx=1 − + L + (−1) + L= ∑ , ( − ∞ < x < +∞ ) n =0 2! (2n)! (2n)! m(m − 1)L(m − n + 1) x n m ⑥(1+x) =1 + mx + L + + L , ( x < 1) n! n n ∞ x2 n −1 x n −1 x ⑦ln(1+x)= x − + L + (−1) + L= ∑ (−1) , (-1＜x≤1) n =1 2 n n 2 n +1 2 n +1 ∞ x3 n x n x ⑧arctanx = x − + L + (−1) + L = ∑ (−1) ,(-1≤x≤1) n=0 3 2n + 1 2n + 1
级数求和的常用方法
级数求和的常用方法级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数，研究函数的性质以及进行函数值计算的一种工具,无穷级数的和是级数研究中的一项重要内容,级数求和方法在各高等数学教材中都有介绍，本文主要归纳出几种常用的级数求和方法，给初学者提供学习上的帮助.1数项级数求和的常用方法1.1 拆项法这是一种简单、常用的方法，适用于一些简单的级数求和问题,其基本思想是将级数∑∞=1n na的通项n a 分解为：n n n b b a -=+1，代入级数的部分和∑==nk kn as 1，相邻两项相消，则有11b b s n n -=+，若∞→n lim b b n =+1，则∑∞=1n n a ∞→=n lim n s =1b b -.例1 求级数∑∞=+-1)15)(45(1n n n 的和)5](1[P .解 ∑=+-=nk n k k s 1)15)(45(1=)151451(511+--∑=k k n k =)1511(51+-n 所以 ∞→n lim ∞→=n n s lim )1511(51+-n =51例2 求级数∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和)5](1[P . 解 ∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=++=nk n k n k k k k k k k s 11)2)(1(1)1(121)2)(1(1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-)2)(1(12121n n 所以 ∞→n lim ∞→=n n s lim41)2)(1(12121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-n n 由以上两个例题可知，在遇到级数通项的分母是两个或三个因式的乘积而分子是一个常数时，就可以将分母适当的拆解，化成两项的差，从而用拆项法求级数的和.1.2 利用代入法求和在求数项级数的和时，有时可先转化为相应的幂级数，利用函数的幂级数展开式以及傅立叶级数展开式，把收敛区间内相应的数代入展开式中，从而求出数项级数的和.例如，常用∑∞==0!n nxn x e)(+∞<<-∞x ，∑∞=-=02)!2()1(cos n nnn x x )(+∞<<-∞x ，∑∞=--=+11)1()1ln(n n n n x x )11(≤<-x 等来求级数的和.例3 求级数1112)2)(1()1(+∞=+++-∑n n n n n n的和.解 考虑幂级数111)2)(1()1(+∞=+++-∑n n n x n n n其收敛半径为1，所以当21=x 时级数收敛，设其和函数为)(x f ，下面在)1,0(内求)(x f ， 由于1122)2)(1(+-+=++n n n n n所以 ∑∑∞=+++∞=++--+-=1111111)1(22)1()(n n n n n n n x n x x f ∑∑∞=∞=++++-++-=111211)1(2)1(2n n n n n n n x n x x x x x x x x -++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=)1ln(2)1ln(222)1ln(21-+⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 令 21=x 便得，223ln 52)2)(1()1()21(111-=⋅++-=∑∞=++n n n n n n f 以上计算比较巧妙地运用了函数)1ln(x +的幂级数展开式.例4 求级数∑∞=-12)12(1n n 的和.解 将函数x 在[]ππ,-上展成傅立叶级数得：∑∞=---=12)12()12cos(42n n xn x ππ， []ππ,-∈x 令 π=x ，则8)12(1212π=-∑∞-n n 在学习级数这一部分内容时，熟练掌握住特殊函数的幂级数展开式和傅立叶级数的展开式是很有必要的，它对于特殊的级数求和很有帮助.1.3 方程式法利用方程式法求和的关键是构造出关于n s 的方程式，解出n s 的具体的表达式，从而求出∞→n lim n s =s .例5 求级数∑∞=-113n n n的和.解 设 ∑=-=nk k n ks 113（1）则 ∑==nk k n ks 1331 （2）(1)-（2）得：n s 32=∑-=+11311n k k -n n 3=n n3211-+ =n n323- 所以 13249-⋅-=n n ns 所以49lim 311==∞→∞=-∑n n n n s n由以上例题可知当级数通项的分母是等比序列而分子是等差序列的关系时，常常通过构造出ns 的方程式，使得问题迎刃而解.1.4 利用欧拉常数法极限∞→n lim ⎪⎭⎫⎝⎛-∑=n k n k 1ln 1的值称为欧拉常数，设为)57721.0( =c c ，则有：∑=nk k 11=n c n ε++ln 其中∞→n lim 0=n ε,利用上式，可求某些数项级数的和. 例6 求级数∑∞=+1)12(1n n n 的和. 解 =n s ∑=+nk k k 1)12(1=∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nk k k 11221=∑=nk k11-⎪⎭⎫⎝⎛++++12151312n =∑=nk k 11⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-n n n 2141211212221312112=∑=n k k 112-21221221++-∑=n kn k =()()21222ln 2ln 22++-++-++n n c n c n n εε =122222ln 222+--+-n n n εε 所以2ln 22lim )12(11-==+∞→∞=∑n n n s n n 把一些级数的部分和转换成含有欧拉常数的表达式，利用已知的欧拉常数进行求解. 1.5 利用子序列的极限[2](440)P我们知道，若2{}n s 与21{}n s +有相同的极限s ，则lim n x s s →∞=.因此对于级数1nn a∞=∑，若通项n a 0→（当n →∞），则部分和的子序列2{}n s 收敛于s ,意味着21{}n s +也收敛于s ，从而1n n a ∞=∑=s .我们把2{}n s 与21{}n s +成为互补子序列.这个道理可推广到一般：若1nn a∞=∑的通项n a 0→（n →∞），{}n s 的子序列1{}pn n s s ∞=→(p 是某个正整数)，则1n n a ∞=∑=s .这种方法称为子序列方法.例7 求级数 11111111111(1)()()2345627893++-+++-+++-+⋅⋅⋅的和. 解 此级数通项趋于零，因此只要求3n s 的极限，注意公式111123n+++⋅⋅⋅+=ln n c n ε++,其中c 为欧拉常数，0n ε→（当n →∞）因此 对原级数31111111123323n s n n=+++⋅⋅⋅+----⋅⋅⋅-=3ln 3ln ln 3n n n n εε-+-→（当n →∞） 所以 原级数的和为 ln3s =例8 将级数 111112345-+-+-的各项重新安排，使先依次出现p 个正项，再出现q 个负项，然后如此交替，试求新级数的和.解 因为通项趋于零，根据上述子序列求和法，对新级数我们只要求子序列()1{}p q n n s ∞+=的极限，新级数前()p q n +项的和()111111132124221p q n s p q p +=++⋅⋅⋅+----+-+111123412224p p q q +++--+-++11142n 212n 23q p p p p -⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+++----（）（）112n 12(22)p nq q +-----112(24)2nq q nq -⋅⋅⋅--- 11111113521242np nq=+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-- =111111111111()23452242242np np nq+++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅- 111111111(1)(1)222222np np nq=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+即 ()211ln(2)[ln()][ln()]22p q n np np nq s c np c np c nq εεε+=++-++-++→1ln 2ln 2pq+ （当n →∞）所以 所求级数的和为 1ln 2ln 2p q+当级数的某个子序列的极限能够适当的凑成欧拉常数且其通项趋与零时，常利用子序列的极限求解.1.6 利用级数的绝对收敛法若级数∑∞=1n nu是绝对收敛的级数，则当其中的项交换顺序时，级数的和不变.例9 求级数 ∑∞=+-0)!12()1(n n n n的和.解 已知 ∑∞=+-0)!12()1(n n n n绝对收敛因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-!31!2121!31⎪⎭⎫⎝⎛-=!51!4121!52 ……⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-)!12(1)!2(12)1()!12()1(n n n n nn……两边相加即得：∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---++-++-=+-0)!12()1()!2()1(!51!41!31!2121)!12()1(n nn n n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=∑∑∞=∞=00)!12()1()!2()1(21n n n n n n()1sin 1cos 21-=绝对收敛的交错级数求和时，一般常用级数的绝对收敛法求和.2函数项级数求和的常用方法2.1 逐项积分与逐项微分法在函数项级数一致收敛的条件下，如果欲求和的级数与一个已知和式的级数之间恰好存在微分(或积分)的关系，先对此级数逐项微分（或积分）后求和，然后再反过来求一次积分（或微分），便可得到此级数的和函数.例10 求级数∑∞=-112n n x n的和.解 因为 ∞→n lim nn a a 1+=∞→n lim 22)1(n n +=1， 所以1=R 当 x =1时，因为 ∞→2n ，故 当=x ±1时，级数发散所以 级数的收敛域为)1,1(-,当 )1,1(-∈x 时，令 )(x f =∑∞=-112n n x n逐项积分，得dt t f x⎰)(=dt tn n x n ∑⎰∞=-112=∑∞=1n n nx =2)1(x x- 所以当<x 1时，=∑∞=-112n n x n'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2)1()(x x x f 3)1(1x x-+=例11 求级数nn x n n 20!)12(∑∞=+的和. 解 因为 ∞→n limnn a a 1+=∞→n lim )12)(1(32+++n n n =0 故级数的收敛域为（+∞∞-,），当()+∞∞-∈,x 时， 令)(x f =nn x n n 20!)12(∑∞=+ 则 ∑∞=--+=112)!1()12(2)('n n x n n x f =[]1)1(21)!1(3)1(22+-∞=∑-+-n n x n n =24)(2x xe x xf +解一阶线性微分方程 -)('x f 24)(2x xe x xf = 有 )(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e xe e xdx x xdx2224)2(22c x e x += 因为 1)0(=f ， 代入上式得 1=c所以 当()+∞∞-∈,x 时，)12()(22+=x e x f x逐项积分与逐项微分法适用于求某些函数项级数的和函数，前提是函数项级数必须在所讨论的区间上一致收敛.2.2 三角级数求和法)442](3[P为了求级数nx un ncos 0∑∞=及nx u n n sin 0∑∞=的和，常把它视为复数域内幂级数n n n z u ∑∞=0（其中ix e z =）的实部和虚部.例12 求级数∑∞=0!cos n n nx的和. 解 令 ixe z = 考虑级数∑∞==0!n z ne n z 则 ∑∞==0!n nn z ∑∞=0!cos n n nx ∑∞=+0!sin n n nxi [])sin(sin )cos(sin cos sin cos x i x e e e x x i x z +==+故按实部和虚部对应相等的关系，即得∑∞=0!cos n n nx =)cos(sin cos x ex()∞<x 例13 求级数∑∞=1sin n n nx的和)472(]3[P . 解 令z=ixe ，则 ∑∞=-=111ln n n z nz ，而 xx iarctgx x i x z cos 1sin )cos 22ln(21)sin cos 1ln(11ln-+--=---=- )74](4[P =-xxiarctg x cos 1sin 2sin2ln -+ 则 ∑∑∑∞=∞=∞=+=111sin cos n n n n n nx i n nx n z故按实部和虚部对应相等的关系，即得∑∞=1sin n n nx ==-x x arctg cos 1sin )2(x ctg arctg =2x-π ()π20<<x在级数的通项含有正弦和余弦函数时，一般常应用三角级数求和法.以上介绍的级数求和的几种常用方法，对于解决此类问题会起到一定的指导作用.但是单纯地掌握几种方法还是远远不够的，关键是善于发现问题的特点，从而采取正确的方法解决问题.。
级数例题讲解(一)
高 等 数 学（1）学 习 辅 导（12）级数例题讲解（一）（一）、填空题1．若数项级数收敛，则_________。
解：由级数收敛的必要条件知，。
应填： 0lim =∞→n n a2. 当 时，几何级数aqnn =∞∑0收敛；当________时，发散。
解：由几何级数的性质可知，当1<q 时，∑∞=1n naq收敛．1≥q ∑∞=1n naq发散．应填：1<q ；1≥q3. 级数当________时收敛；当________时发散。
解：由p －级数的性质可知：1>p ，收敛；1≤p ，发散。
应填：1>p ； 1≤p4. 级数()151nn n -=∞∑１是 级数．解：级数∑∞=151n n 收敛，级数∑∞=11n n发散，由级数的性质可知∑∞=-1)151(n nn 是发散级数． 应填：发散5. 当________时，级数收敛。
解：由莱布尼兹判别法知，0>p ，级数收敛。
应填：0>p6. 幂级数的收敛半径是_______，收敛区间是__________。
解：由几何级数的性质可知，1<x ，级数收敛1≥x ，级数发散应填：1=R ； )1,1(-。
二、单项选择题1．若数项级数收敛，S n 是此级数的部分和，则必有（ ）。
（A ）（B ）（C ）S n 有极限 （D ）S n 是单调的解： 由级数收敛的定义，知C 真确 应选C2. 下列级数中，（ ）收敛．A.12n n =+∞∑１； B.1n n =+∞∑１；C.()-+=+∞∑12nn nn １； D.()-=+∞∑1n n n １解：由-p 级数的收敛性可知A, B 选项中的级数发散；C 选项中的级数一般项不趋于0，由收敛的必要条件知其发散；()-=+∞∑1nn n １满足莱布尼茨判别法的条件，所以收敛，故选项D 正确．应选D3. 若条件（ ）成立，则级数发散，其中S n 表示此级数的部分和。
（A ）（B ）（C ）（D ）不存在解： 由级数收敛的必要条件知，D 正确 应选D 4. 级数24n n =+∞∑的和是（ ）． A.83； B. 2； C.23； D. 1 解：由级数的性质可得3841112)41(24200=-⨯==∑∑+∞=+∞=n n n n应选A5. 当（ ）时几何级数（a ≠0）。
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(a2 n1 a2 n )
n 1
(a1 a2 ) (a3 a4 )
而收敛的级数加上括号仍收敛; A,B中的 a2n1 ,
a
n 1
2n
均发散;
C.发散级数加上括号不一定收敛。
例3（04 ，三）设有以下命题： ① 若 (u2 n1 u2 n )收敛，则 un 收敛。
散，而 (un vn ) 收敛。
n 1
故选B。
例4（04，一）设为正项级数,下列结论中正确的是
an 收敛。 A.若 lim nan 0，则级数 n 1
n
nan ,则级数发散。 B.若存在非零常数 ，使得 lim n
2 a lim n an C.若级数 n 收敛，则
n 1
n 1
② 若 un 收敛，则
n 1
u
n 1
n 1000
收敛。
un1 1 ，则 un 发散。 ③ 若 lim n u n 1 n
(un vn ) 收敛，则 un, vn 都收敛。则以上命 ④ 若 n 1 n 1 n 1 题中正确的是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④
n
1 1 ) 则级数 (1) ( un un1 n 1
n 1
A.发散；
B.绝对收敛；
C.条件收敛；
D.收敛性根据所给条件不能判断。
n 解答：选C. 由un 0 ，且 lim 1 ，知 n u n 1 n 1
lim lim(
)0 n u n u n n n 令 S n (1)k 1 ( 1 1 ) 1 (1)n1 1 n uk uk 1 u1 un1 k 1 1 1 n 1 1 lim S ( 1) ( ) 收敛,但 则 n n 从而 un un1 u1 n 1
典型例题
一.数项级数
n 1 ( 1) un 2 ， 例1 （91，一）已知级数 u2n1 5 n 1
n 1
求 u n 的和。
n 1
n 1 ( 1) un u1 u2 u3 u4 解 因 n 1
u
n 1
2 n 1
u1 u3 u5
n 1
2 lim n 级数 an 收敛，但 n an ，排除C，
故应选B。 也可用比较判别法的极限形式:
1 an lim nan lim 0 而级数 发散， n n 1 n n
因此
a
n 1
n
发散.故应选B。
n 1 例5（02，一）设 u 0n 1,2, 且 lim n u n
n 1
n 1 n 1
C 若 an 条件收敛，则 pn 与 qn 的敛散性不定。
n 1
n 1
p a D若 绝对收敛，则 与 q 的敛散性不定。
n 1 n
n 1 n
n 1
n 1
n
解答：选B；若 an 绝对收敛，即 an 收敛，当然
an an 有 an 收敛，再根据 pn 2 n 1
(1) lim
n
n 1
故
1 1 (1) ( ) 条件收敛. un un1 n 1
n 1
1 1 ( ) un un 1 n n lim( )2 而 n 1 un un 1 n
1 发散, n n 1
注意：本题不可以用莱布尼兹判别法来说明C 正确，因为不能得证数列
n 1
n
0 。
D.若级数 an发散，则存在非零常数 ，使得
n 1
lim nan
n
1 解答：用排除法：取 an ，则 lim nan 0 ，但 n nInn
1 1 an an 发散，排除 A,D 。又取 ，则 nInn n 1 n 1 n n
n 1
n 1
an an qn 2
及收敛级数的运算性质知 pn 与 qn 都收敛。
n 1
n 1
1 ) ， 例7．（92，一）设 an cos n In(1 n (n 1, 2, ) ，则级数
2 a a A n 与 n 都收敛；B
n 1
n 1
a 与 a 都发散；
故
2 u2 n1 (1)n1un un
n 1 n 1
从而
u
n
2 5 2 10 2 8
n 1 a ( 1) an收敛，则下 例2（05，三）设若 发散，
列结论正确的是
n 1
n
n 1
A. a2n1 收敛， a2n 发散；
解答：①错误；如令 un (1) ，显然， un 发散，
n
而
(u
n 1
2 n 1
u2 n )
收敛。
n 1
②正确；因为改变、增加或减少级数的有限项，不 改变级数的收敛性。 un1 lim 1可得到 un 不趋向于零，所以 ③正确；因为 n u n u n 发散。 n 1 1 1 un ， vn 都发 ④错误；如令 un n , vn n ，显然， n 1 n 1
1 1 un un 1
单调减少。
an an an an qn 例6（03，三）设 pn ， ， 2 2
，则以下命题正确的是 A 若 an 条件收敛，则 pn与 qn 都收敛。
n 1
n 1, 2,
n 1
n 1
B 若 an 绝对收敛，则 pn 与 qn都收敛。
n 1
n 1
B.
a 收敛， a 发散；
n 1 2n
n 1 2 n 1
C. (a2n1 a2n ) 收敛；
n 1
D.
(a
n 1
2 n 1
a2 n ) 收敛。
解 选D.因为
n 1 ( 1) an a1 a2 a3 a4 n 1