典型例题一数项级数

散，而 (un vn ) 收敛。
n 1

故选B。
例4（04，一）设为正项级数,下列结论中正确的是
an 收敛。 A.若 lim nan 0，则级数 n 1
n

nan ,则级数发散。 B.若存在非零常数 ，使得 lim n
2 a lim n an C.若级数 n 收敛，则

n 1
n 1
an an qn 2
及收敛级数的运算性质知 pn 与 qn 都收敛。
n 1
n 1


1 ) ， 例7．（92，一）设 an cos n In(1 n (n 1, 2, ) ，则级数
2 a a A n 与 n 都收敛；B


n 1
n 1
(1) lim
n
n 1
故
1 1 (1) ( ) 条件收敛. un un1 n 1
n 1

1 1 ( ) un un 1 n n lim( )2 而 n 1 un un 1 n
1 发散, n n 1

注意：本题不可以用莱布尼兹判别法来说明C 正确，因为不能得证数列
n 1

n 1
Hale Waihona Puke Baidu
B.
a 收敛， a 发散；
n 1 2n
n 1 2 n 1

C. (a2n1 a2n ) 收敛；
n 1

D.
(a
n 1

2 n 1
a2 n ) 收敛。
解 选D.因为
n 1 ( 1) an a1 a2 a3 a4 n 1

故
2 u2 n1 (1)n1un un
n 1 n 1

从而
u
n
2 5 2 10 2 8
n 1 a ( 1) an收敛，则下 例2（05，三）设若 发散，


列结论正确的是

n 1
n
n 1
A. a2n1 收敛， a2n 发散；
n 1
2 lim n 级数 an 收敛，但 n an ，排除C，
故应选B。 也可用比较判别法的极限形式:
1 an lim nan lim 0 而级数 发散， n n 1 n n
因此
a
n 1

n
发散.故应选B。
n 1 例5（02，一）设 u 0n 1,2, 且 lim n u n
n
1 1 ) 则级数 (1) ( un un1 n 1
n 1

A.发散；
B.绝对收敛；
C.条件收敛；
D.收敛性根据所给条件不能判断。
n 解答：选C. 由un 0 ，且 lim 1 ，知 n u n 1 n 1
lim lim(
)0 n u n u n n n 令 S n (1)k 1 ( 1 1 ) 1 (1)n1 1 n uk uk 1 u1 un1 k 1 1 1 n 1 1 lim S ( 1) ( ) 收敛,但 则 n n 从而 un un1 u1 n 1
n 1
n
0 。
D.若级数 an发散，则存在非零常数 ，使得
n 1

lim nan
n
1 解答：用排除法：取 an ，则 lim nan 0 ，但 n nInn

1 1 an an 发散，排除 A,D 。又取 ，则 nInn n 1 n 1 n n



解答：①错误；如令 un (1) ，显然， un 发散，
n

而
(u
n 1

2 n 1
u2 n )
收敛。
n 1
②正确；因为改变、增加或减少级数的有限项，不 改变级数的收敛性。 un1 lim 1可得到 un 不趋向于零，所以 ③正确；因为 n u n u n 发散。 n 1 1 1 un ， vn 都发 ④错误；如令 un n , vn n ，显然， n 1 n 1
(a2 n1 a2 n )
n 1

(a1 a2 ) (a3 a4 )
而收敛的级数加上括号仍收敛; A,B中的 a2n1 ,
a
n 1

2n
均发散;
C.发散级数加上括号不一定收敛。
例3（04 ，三）设有以下命题： ① 若 (u2 n1 u2 n )收敛，则 un 收敛。
n 1

n 1 n 1
C 若 an 条件收敛，则 pn 与 qn 的敛散性不定。
n 1
n 1



p a D若 绝对收敛，则 与 q 的敛散性不定。
n 1 n
n 1 n

n 1
n 1
n
解答：选B；若 an 绝对收敛，即 an 收敛，当然


an an 有 an 收敛，再根据 pn 2 n 1
a 与 a 都发散；
1 1 un un 1
单调减少。
an an an an qn 例6（03，三）设 pn ， ， 2 2
，则以下命题正确的是 A 若 an 条件收敛，则 pn与 qn 都收敛。
n 1
n 1, 2,

n 1

n 1

B 若 an 绝对收敛，则 pn 与 qn都收敛。
典型例题
一.数项级数
n 1 ( 1) un 2 ， 例1 （91，一）已知级数 u2n1 5 n 1
n 1


求 u n 的和。
n 1

n 1 ( 1) un u1 u2 u3 u4 解 因 n 1

u
n 1

2 n 1
u1 u3 u5
n 1
n 1
② 若 un 收敛，则
n 1

u
n 1

n 1000
收敛。
un1 1 ，则 un 发散。 ③ 若 lim n u n 1 n
(un vn ) 收敛，则 un, vn 都收敛。则以上命 ④ 若 n 1 n 1 n 1 题中正确的是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④