固体物理第3课晶格对称操作与分类-精选
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固体物理学§1.7 晶格的对称性
轴—m—i
Ci
C3i
S4
正四面体
T Th Td
正八面体
O Oh
8
固体物理
固体物理学
四、晶系和空间点阵形式：
1、七个晶系：根据晶胞的类型，找相应特征对称元素，可以把 32个点群划分为七个晶系。特征对称元素中，高轴次的个 数愈多，对称性高。晶系从对称性由高到低的划分。
划分的法: 首先规定每个晶系的特征对称元素, 不是该晶系 的晶体的全部对称元素，而是一些有代表性的对称元素(该晶 系所有点群共有的对称元素).
C3 ,C3i ,C3V ,D3 ,D3d
a b c, 900 a b c, 900
1200 a b c, 900
a b c, 900
C2V ,D2 ,D2h
a b c, 900
C2 ,CS ,C2h a b c, 900 , 900
19
固体物理
固体物理学
布拉维点阵中为什么没有底心四方和面心四方？
20
固体物理
六方
单斜
固体物理学
立方
正方 正交
三角
三斜
21
固体物理
固体物理学
原子分数坐标：顶点（0，0，0）
体心（1/2，1/2，1/2）
面心（1/2，1/2，0），（1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2）
底心（1/2，1/2，0）
晶胞参数： a,b,c; , , ; 原子分数坐标
五、空间群：七个微观对称元素（i, m, n, n，点阵，nm ， ）
结合十四种空间点阵形式（立方P I F，六方H，四方P I，
三方R，正交P I F C，单斜P C，三斜P）进行合理组合，得
到且只能得到230种空间群。 由俄 федаров 完成 230个空间群分布：三斜 2个，单斜 13个，正交 59个，四方 68个
固体物理学-宏观对称性和晶格分类
ε xy ε yy
ε ε
xz yz
⎤ ⎥ ⎥
⎣⎢ε zx ε zy ε zz ⎥⎦
立方对称晶体：
⎡ε0 0 0 ⎤
ε
=
⎢ ⎢
0
ε0
0
⎥ ⎥
⎣⎢ 0 0 ε0 ⎥⎦
六方对称晶体：
⎡ε ⊥ 0 0 ⎤
ε
=
⎢ ⎢
0
ε⊥
0
⎥ ⎥
⎣⎢ 0 0 ε // ⎥⎦
11
晶体宏观对称性及其分类
• 宏观对称性 • 点群 • 空间群 • 晶体结构分类
群为一组“元素”的集合，G≡（E, A, B, C, …)，且这些“元素”在定义 一定的“乘法法则”下（不等价于数学乘法），满足下列性质： 1. 闭合性--- 集合内任意两元素“乘积”仍为集合元素
A, B ∈ G, 则AB=C ∈ G 2. 单元性---存在单位元素E，使得所有元素A：
AE= A 3. 可逆性---任意元素A存在逆元素A-1 满足
4
立方对称（sc、bcc、fcc）操作
(a)
(b)
(c)
•沿图（a）立方轴转动π/2、 π、 3π/2，有3个立方轴，共9个对称操作。 •沿图（b）面对角线转动π，有6条面对角线，共6个对称操作。 •沿图（c）体对角线转动2π/3、 4π/3，有4个体对角线，共8个对称操作。 •不动为一个对称操作。 •以上共24个对称操作，以上操作再加上反演为新的对称操作。 •共48个对称操作。
5
正四面体对称操作
•沿立方轴转动 π，有3个立方轴，共3个对称操作。 •沿图（c）体对角线转动2π/3、 4π/3，有4个体对角线，共8个对称操作。 •不动为一个对称操作。以上共12个对称操作。 •相对立方对称，少去的12个对称操作，即绕立方轴转π/2、3π/2以及绕 面对角线转动π，再加上中心反演为正四面体的对称操作。 •共24个对称操作。
固体物理知识点总结
一、考试重点晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识二、复习内容第一章晶体结构基本概念1、晶体分类及其特点：单晶粒子在整个固体中周期性排列非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间2、晶体的共性：解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质各向异性晶体的性质与方向有关旋转对称性平移对称性3、晶体平移对称性描述：基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元格点用几何点代表基元，该几何点称为格点晶格、平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量基矢元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。
原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。
每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。
晶格常数WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。
WS原胞含一个格点复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格简单格子点阵格点的集合称为点阵布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。
4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、金刚石闪锌矿铅锌矿氯化铯氯化钠钙钛矿结构5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。
六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列5、晶体对称性及分类：对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质对称面对称中心旋转反演轴8种基本点对称操作14种布拉菲晶胞32种宏观对称性7个晶系6、描述晶体性质的参数：配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。
晶体对称性
6次反轴为3次轴加对称面
准 晶
晶体中只有1， 2，3，4，6 次旋转轴，没有 5次轴和大于6 次以上的轴，可 以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面， 而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间来直观理解。因此固体中不可能存 在 5 次轴曾是大家的共识，然而1984年美国科学家Shechtman在急冷的铝 锰合金中发现了晶体学中禁戒的 20 面体具有的 5 次对称性，这是对传统晶 体观念的一次冲击。
晶体的宏观对称性的描述
原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同 的宏观对称性 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的 不变性 三维情况下，正交变换的表示:
x x ' a11 y y ' a 12 z z' a 13
−1 ������ = 0 0
0 0 −1 0 0 −1
0 0 −1
1 0 ������(������������) = 0 1 0 0 1 0 ������ = 0 1 0 0 0 0 1
像转操作(Rotary reflection):
������������������������ ������ ������ = ������������������������ 0
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其 构成原子的长程有序，而不是平移对称性， 具有 5 次对称性的准晶体(Quasicrystal) 就是属于原子有严格的位置有序，而无平 移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得到理解。实际是一种准 周期结构，是介于周期晶体和非晶玻璃之 间的一种新的物质形态—准晶态。
(3). 底心单斜
C2 , Cs , C2 h
准 晶
晶体中只有1， 2，3，4，6 次旋转轴，没有 5次轴和大于6 次以上的轴，可 以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面， 而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间来直观理解。因此固体中不可能存 在 5 次轴曾是大家的共识，然而1984年美国科学家Shechtman在急冷的铝 锰合金中发现了晶体学中禁戒的 20 面体具有的 5 次对称性，这是对传统晶 体观念的一次冲击。
晶体的宏观对称性的描述
原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同 的宏观对称性 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的 不变性 三维情况下，正交变换的表示:
x x ' a11 y y ' a 12 z z' a 13
−1 ������ = 0 0
0 0 −1 0 0 −1
0 0 −1
1 0 ������(������������) = 0 1 0 0 1 0 ������ = 0 1 0 0 0 0 1
像转操作(Rotary reflection):
������������������������ ������ ������ = ������������������������ 0
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其 构成原子的长程有序，而不是平移对称性， 具有 5 次对称性的准晶体(Quasicrystal) 就是属于原子有严格的位置有序，而无平 移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得到理解。实际是一种准 周期结构，是介于周期晶体和非晶玻璃之 间的一种新的物质形态—准晶态。
(3). 底心单斜
C2 , Cs , C2 h
固体物理学-晶格结构的分类
注：四方也不可能有底心（或面心），假如有，则破坏了“点
阵点最少”的原则，还可画出只有一个点阵点的格子。
Solid State Physics
三角和六角晶系的关系
（1）围绕z 轴旋转一周，三角晶系晶体的横轴可以重合三次，六角晶系的横轴则重合六次
（2）三角晶系有两种格子，其中一种和六方格子相同（注意对称轴不同）
另外一种则为三角晶胞（菱面三角晶胞），通常也采用六角晶胞来进行描述，
称为R心六角晶胞
（3）六角格子中，部分属于六角晶系，部分属于三角晶系
Solid State Physics
“底心四方”
“面心四方”
Solid State Physics
单斜（P）
单斜（C）
晶胞类型： a b c
三斜（P）
固体物理
Solid State Physics
1.7 晶格结构的分类
Solid State Physics
晶胞的选取
晶格对称性
基矢的模=晶轴上的周期(晶格常数)
晶胞的基矢方向=晶轴方向
十四种布喇菲格子
格点分布特点
晶胞基矢的特征
七大晶系
റ
、、
റ
റ 为布喇菲原胞三个矢，
റ
՜
՜
、、 分别为 与 ՜
晶胞类型：a b c
90
90
90
在这些型式中，其对称性由高到低的排列顺序为：
立方﹥六方﹥三方﹥四方﹥正交﹥单斜﹥三斜
Solid State Physics
立方
a
a
a
三方
六方
四方
c
a
a a
固体物理晶体结构12晶格基本类型
20
固体物理导论
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
3. 正交
abc a b 90
c
ba a b
布拉维格子： 1. 简单正交 2. 底心正交 3. 体心正交 4. 面心正交
21
固体物理导论
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
4. 四方
abc a b 90
6. 三角
abc
a b 120 , 90
布拉维格子：三角
c
b ab a
24
固体物理导论
7. 六角
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
abc a b 90 , 120
布拉维格子：六角
c
b ab a
25
固体物理导论
第 1 章 晶体结构
B′
于纸面的轴旋转a角度为
aa
对称操作 C → C′
A
B
C
D
根据格点的等价性，绕通过C点垂直于纸面 的轴旋转-a角度也为对称操作 B → B′
BC // B′C′
B′C′ = m BC, m∈ Z
B′C′ = BC[1+2cos(p-a)]
2
固体物理导论
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
m BC= BC[1+2cos(p-a)] cosa = (1-m)/2
11
固体物理导论
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
7. 只包含旋转反演轴的点群，标记为Sn 群，但 S1=Ci， S2=Cs， S3=C3h，只有S4，S6群，共2个
8. 立方对称的48个对称操作称为立方点群，用 Oh标记；正四面体的24个对称操作，称为正四 面体群，用Td 标记。共2个
固体物理学-晶体对称性
轴为n度旋转—反演轴，又称为n度象转轴。只有1，2，3，4，6。
(2)符号表示
1，2，3，4，6
2.n度象转轴简析
n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分析，可以
得到象旋转轴只有 4 是独立的。
Solid State Physics
(1) 1 象转轴—实际上就是对称心i
z ( u轴 )
A
A 点 绕 旋 转 轴 (z 轴 ) 旋
于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转--反演点对称操作构成的群，
称作点群。
理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型。
这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。
所以又称宏观对称性。
**在数学分析中需要考虑晶体结构周期性重复的制约。当晶体具有一个以上
如图所示，A和A'等同，如同镜子一样。
2.表示方式
(1)熊夫利符号表示— ;
(2)国际符号表示—m。
z
A
A
y
O
x
x , y, z
A
A
x , y, z
O-xy 相当于镜面。
Solid State Physics
镜面操作的数学描述
如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
0 0
0
0
1
|A|=1 or -1
单位矩阵
Solid State Physics
基本对称操作
平移（Translation）
中心反演（Inversion）—具有对称中心
转动（Rotation)—具有对称轴
镜面（Reflection)—具有对称面
平移是一切晶体的内部结构都具有的对称性
固体物理：第三章 晶格振动总结-
..
x m 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
x2n1 Aei t 2n1aq
2n+2
O A
x2n Bei t2naq
π
o
πq
2a
2a
2 {(m M ) m2 M 2 2mM cos 2aq}
mM
π q π
2a
2a
x x , 2n
2(n N )
三维晶格振动、声子
；
(3)设晶体由N个原子组成,共
有3N个频率为的振动。
E
3N
e kBT
1
1 2
德拜模型 (1)晶体视为连续介质,格波视 为弹性波； (2)有一支纵波两支横波；
(3)晶格振动频率在 0 ~ D 之间 (D为德拜频率)。
E
D 0
e kBT
1
1 2
(
)d
9N
3 D
2
爱因斯坦模型
CV
3 Nk Bf E
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目 或格波振动模式数目是否是一回事？
• 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨 论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中 的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近
似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效 成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W
b11W
b12 E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项
b11W
为准弹性恢复力，
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
1-3晶体的对称分类
晶面符号
晶面符号
四,晶棱符号
1,晶棱符号 , 将任何晶棱平移 到坐标轴原点, 到坐标轴原点,在此 晶棱上任取一点M获 晶棱上任取一点 获 取在三个轴上的坐标 0X,0Y,0Z,除以 , , , 轴率,化为最简数, 轴率,化为最简数, 取其比值加方括号, 取其比值加方括号, 即为晶棱符号. 即为晶棱符号.
晶轴选择的原则
晶系 等轴晶系 三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系 选轴原则 以相互垂直的三个L4或L4i或L2为x,y,z轴 以唯一的L3为z轴,以与z轴垂直的并互成1200 的三个L2或 三个对称面法线或三个晶棱方向为x,y,u轴. 以唯一的L4或L4i为z轴以与z轴垂直的并互成900 的两个L2 或两个对称面法线或两个晶棱方向为x,y轴. 以唯一的L6或L6i为z轴以与z轴垂直的并互成1200 的三个 L2或三个对称面法线或三个晶棱方向为x,y,u轴. 以相互垂直的三个L2为x,y,z轴,在L22P中,以唯一的 L2为z轴,以2P的法线为x,y轴. 以唯一的L2或对称面法线为y轴,以垂直y轴的两个晶棱方 向为x,z轴. 以不在同一平面内的三个晶棱方向或角顶连线为x,y,z 轴
2.确定过程 2.确定过程 (1)求出晶面在坐标轴X,Y, (1)求出晶面在坐标轴X 求出晶面在坐标轴 上的相应截距0A 0B, 0A, Z上的相应截距0A,0B,0C ; (2)除以轴率,得到截距系数 (2)除以轴率 除以轴率, 0A/a=A,0B/b=B,0C/c=C; 0A/a=A,0B/b=B,0C/c=C; (3)取截距系数的倒数H=1/A, 取截距系数的倒数H=1/A H=1/A, K=1/B ,L=1/C ; (4)将H,K,L化为没有公约 数的整数比h 数的整数比h:k:l (5)将h,k,l加小括号(hkl) 加小括号(hkl) (6)h,k,l称为晶面指数或 密勒指数; 密勒指数; (hkl) 称为该晶 面的晶面符号. 面的晶面符号.
固体物理基础第3章 晶格振动理论
14
第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
这是由2N个方程组成的联立方程组。同样，该方程组 应该具有下列形式的格波解，只是由于P原子和Q原子质量 的不同，其格波解的振幅不同：
第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
这是由2N个方程组成的联立方程组。同样，该方程组 应该具有下列形式的格波解，只是由于P原子和Q原子质量 的不同，其格波解的振幅不同：
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
固体物理(第3课)晶格对称操作与分类
正交晶系
简单正交
底心正交
体心正交
面心正交
a≠b≠c
α=β=γ=90º
有3个互相垂直的2度轴
三角晶系
四方晶系
a
a
a 简单三方 一个3度轴 a=b=c α=β=γ≠90º
简单四方
体心四方
一个4度轴
a=b≠c α=β=γ=90º
六角晶系
(4)像转：
如果晶体绕某固定轴u旋转2π/n后，再通过某点O作 中心反演，能与自身重合，则此对称操作称为像转， 轴u称为n度像转对称轴，记作 n 。 n =1,2,3,4,6 如果晶体中存在i和n，则晶体中必有 n ；但晶体中如 果存在 n ，则未必有n和i。 (示意图) n 不是独立的对称操作：只有 4 是独立的。
一个2度轴或1个对 称面
有3个互相垂直的2 度轴 一个3度轴 一个4度轴
2，m， 2/m
222 mm2 mmm ， ，
正交
三角 四方
中级
a≠b≠c α=β=γ=90º
a=b≠c α=β= 90º γ=120º a=b=c α=β=γ=90
六角
一个6度轴
高级
立方
简单立方， 体心立方， 面心立方
四个3度轴
晶系示意图
级别 晶系 三斜 布喇菲 原胞数 简单三斜 对称特征 没有对称轴或只有 一个反演中心 坐标系的性质 a≠b≠c α≠β≠γ a≠b≠c α=γ=90º β＞90º a≠b≠c α=β=γ=90º a=b=c α=β=γ≠90º
点群 符号
1，
低级
单斜
简单单斜， 底心单斜
简单正交， 底心正交， 体心正交， 面心正交。 简单三方 /三角 简单四方， 体心四方 简单六方/六 角
晶格的对称性
用布拉伐格子来
对称操作的集合，
表征，平移一个
称为平移群。
布拉伐格子的晶 格矢量
空
晶格的对称性也可用一
间
tl1l2l3 l1a1 l2a2 l3a3
系列转动（或转动加反
群
后，晶体自身重 合，称为平移对 称操作。
演）对称操作来描述， 这些对称操作的集合组 成点群。
增加的两类对称操作
对于布拉伐格子，在点群操作和平移操作下 都是不变的，但对于基元内多于一个原子的复 式晶格来说，晶格在点群操作后接着平移操作 才是不变的，单独的一种都不是独立的对称操 作。因此，全面分析晶格对称性，必须考虑平 移对称性。
§1-4 晶格的对称性(symmetry)
1、七个晶系 2、十四种布拉伐格子 3、空间群
七个晶系与十四个布拉伐格子关系图
晶体的32种 宏观对称性 类型可以分 成七类，即 七个晶系。 其中每个晶 系包含若干 种点群，它 们具有某些 共同的对称 素。
立方晶系 六角晶系 四方晶系 三角晶系 正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
考虑晶格的平移对称性后，增加两类对称操 作：
n度螺旋轴
滑移反映面
(1) n度螺旋轴
A4
定义：一个n度螺旋轴u表示绕轴每
4
A3
转2π/n角度后，再沿该 轴的方向平移 T/ n的l倍，则晶体中原子和相同的原
子重合（l为小于n 的整数；T为沿u轴
3
方向上的周期矢量）。
A2
A1
2
A
1
4度螺旋轴
晶体只能有1、2、3、4、6度螺旋轴。
面心正交
a1 a2 a3 a1, a2 , a3 互相垂直
立方晶系
立方晶系 简单立方
23晶体的对称性和分类
晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映 出来,如sc、bcc、fcc结构的立方晶体,绕晶胞的任 一基矢轴旋转π/2或π/2的整数倍的操作,都能使晶 体的外形保持不变,这就是晶体的对称性.
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作. 晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）. 这种对称性不仅表现在晶体的几何外形上,而且 反映在晶体的宏观物理性质中,称为晶体的宏观 对称性.
3
4
1
3
4
1
2
4 2 晶体中独立的宏观对称操作 (或对称元素)只有8种, 即： 1、2、3、4、6、i、m、4。其中数字n(1、2、3、4、 6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演 （或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。
这种表示方法属于国际符号(International notation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮 (Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。
如果一个晶体先绕某轴旋转2n再进行中心反演后晶体保持不变称该轴为n次或n度旋转反演轴记为由于晶体周期性的限制旋转反演轴也必须遵循晶体的对称性定律1次旋转反演轴就等价于对称中心i2次旋转反演轴就等价于垂直于该轴的对称镜面m3次旋转反演轴就等价于3次纯旋转轴加上对称中心记为只有具有4次旋转反演轴的晶体既没有4次纯旋转轴也没有对称中心i但包括一个与4次旋转反演轴重6次旋转反演轴等价于3次纯旋转轴加上垂直于该轴的对称镜面m记为所以旋转反演轴中只有是独立的对称素旋转反演对称操作中只有4度旋转反演对称操作是独立的晶体中独立的宏观对称操作或对称元素只有8种
A 1
(3) 镜面反映(Reflection across a plane) 一个镜面反映对称操作(symmetry operation of mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进 行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于 这个反射面的位置是等价的,点阵具有镜面反射 对称性.如以xy面为镜面，则(x, y, z) →(x, y, -z)。 用矩阵形式表示，则有
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点群和空间群
(1)点群：一个晶体所包含的全部对称操作的集合。 (2)最简单的点群是Cn群，即旋转，利用二维晶格可 证明。 (3)若只考虑宏观对称性，不考虑平移，晶体中有8种 独立的对称元素：1，2，3，4，6，i，m ，4 组合起 来，得到32种宏观对称类型，即32种点群。* (4)空间群：点群的延伸，32种点群再加另外两种操 作，导出230种微观对称类型。
轴u称为n度像转对称轴，记作n 。
n=1,2,3,4,6 如果晶体中存在i和n，则晶体中必有 n；但晶体中如
果存在 n ，则未必有n和i。 (示意图)
不n 是独立的对称操作：只有 是4 独立的。 1 i， 2 m ， 3 3 i， 6 3 m
(示意图)
正四面体示意图 4
a aa´a
b´ b
1.7 晶体的宏观对称性与晶格结构的分类
系统的一些要素等价。 对称性使系统的描述简化。 晶体的对称操作：使晶体与自身重合的操作，操作 之后，点阵不变 。
1.7.1 晶体的对称性与对称操作
平移，旋转，镜反射， 中心反演。
1.7.2 对称操作的变换关系
(1)旋转/转动：
❖如果晶体绕固定轴u旋转角度=2/n后，能与自身 重合，则此对称操作称为旋转，轴u称为n度旋转对 称轴（n度轴），记作n。
aa´ b
b´
转动2/4， 中并并心非非对4度反称旋演旋转转
返回
正四面体示意图
返回
闪锌矿和金钢石4度像转
返回
像转示意图
2m
1i
2 m
像转示意图
120°
a 60° a1
a3 a2
33i6m
返回
平移示意图
返回
若 设R R A A、 RR BB为 m空 a1n间 a2任 pa3意两 向 m、 点 n量 、 的 p， Z位置 则A、B点处于等价位置
一个6度轴
立方晶系
简单立方
体心立方
面心立方
四个3度轴和三个4度轴 a=b=c α=β=γ=90º
(100)(010)(001)完全对称，可用{100}表示，称为等效 晶面
布喇菲原胞示意图
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作业：
1 如果晶体中存在i和n，则晶体中必有n；但晶
体中如果存在 n ，则未必有n和i。上述说法是否
正确，请举例说明。 2 总结像转与中心反演、旋转、镜面对称的关系。 3 总结七大晶系的对称特征及坐标轴的性质。
晶系示意图
级别
晶系
布喇菲 原胞数
对称特征
坐标系的性质
点群 符号
三斜
简单三斜
没有对称轴或只有 一个反演中心
a≠b≠c α≠β≠γ
1，
低级 中级
单斜 正交 三角 四方
简单单斜， 底心单斜
简单正交， 底心正交， 体心正交， 面心正交。
简单三方 /三角
简单四方， 体心四方
一个2度轴或1个对 称面
有3个互相垂直的2 度轴
a=b=c α=β=γ=90
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三斜晶系和单斜晶系
c
b
a
abc
简单三斜
点群：1
三斜晶系
c
1度旋转
2π/1
b
a
简单单斜
底心单斜
a≠b≠c α=γ=90º β＞90º
一个2度轴或1个对称面，2，m， 单斜2/晶m系
又名石青，化学成分Cu3[CO3]2(OH)2，单斜晶 系斜方柱晶类。 （均为复式布拉菲晶格）
a≠b≠c α=γ=90º β＞90º
a≠b≠c α=β=γ=90º
一个3度轴 一个4度轴
a=b=c α=β=γ≠90º
a≠b≠c α=β=γ=90º
2，m， 2/m
222 ， mm2 ， mmm
高级
六角 立方
简单六方/六 角
一个6度轴
简单立方， 体心立方，
面心立方
四个3度轴
a=b≠c α=β= 90º γ=120º
(3)反映（镜面反演，镜象）：
如果晶体中存在一个 平面，当以它作为xoy 面，并将晶体中任一点 （x，y，z）变为（x， y，-z）时，晶体能与 自身重合，则该对称操 作称为反映，该平面称 为晶体的对称面或镜面， 记作m。
(4)像转：
如果晶体绕某固定轴u旋转2π/n后，再通过某点O作 中心反演，能与自身重合，则此对称操作称为像转，
正交晶系
简单正交
底心正交
体心正交
a≠b≠c α=β=γ=90º
有3个互相垂直的2度轴
面心正交
三角晶系
四方晶系
a
a
a
简单三方 一个3度轴
a=b=c α=β=γ≠90º
简单四方
体心四方
一个4度轴
a=b≠c α=β=γ=90º
六角晶系
c
a a 简单六方
a=b≠c α=β= 90º
γ=120º
晶系与布喇菲原胞
结晶学中的布喇菲原胞(晶胞)一般包括几个最小重复 单元，格点不仅在顶角上，而且可以在体心或面心上。 晶轴：晶胞的基矢沿对称轴或在对称面的法向上，构 成晶了系晶：体把的晶坐胞标基系矢，a 、 基b 矢、 c 即满是足晶同轴一。类要求(边长a，b， c和夹角α，β，γ)的一种或数种布喇菲格子称为一个 晶系。 七大晶系→14种布喇菲格子（14种布喇菲原胞，14种 晶胞）* (示意图)
❖n=1,2,3,4,6
n度旋转
==22/4/1326
1984 年谢赫曼在二元和三元合金中发现了违反了晶体平 移对称性的五重旋转对称。
准晶具有清晰的五重衍射花样，肯定具有长程的五重旋 转对称，但不具有长程和平移对称性。
获2019年度诺贝尔化学奖。
铝锰准晶体合金的原子排列模型
(2)中心反演：
如果晶体中存在一 个固定点O，当以O 为坐标原点，并将晶 体中任一点（x，y， z）变为（－x，-y，z）时，晶体能与自 身重合，则该对称操 作称为中心反演，点 O为反演中心，记作i。
点群和空间群
(1)点群：一个晶体所包含的全部对称操作的集合。 (2)最简单的点群是Cn群，即旋转，利用二维晶格可 证明。 (3)若只考虑宏观对称性，不考虑平移，晶体中有8种 独立的对称元素：1，2，3，4，6，i，m ，4 组合起 来，得到32种宏观对称类型，即32种点群。* (4)空间群：点群的延伸，32种点群再加另外两种操 作，导出230种微观对称类型。
轴u称为n度像转对称轴，记作n 。
n=1,2,3,4,6 如果晶体中存在i和n，则晶体中必有 n；但晶体中如
果存在 n ，则未必有n和i。 (示意图)
不n 是独立的对称操作：只有 是4 独立的。 1 i， 2 m ， 3 3 i， 6 3 m
(示意图)
正四面体示意图 4
a aa´a
b´ b
1.7 晶体的宏观对称性与晶格结构的分类
系统的一些要素等价。 对称性使系统的描述简化。 晶体的对称操作：使晶体与自身重合的操作，操作 之后，点阵不变 。
1.7.1 晶体的对称性与对称操作
平移，旋转，镜反射， 中心反演。
1.7.2 对称操作的变换关系
(1)旋转/转动：
❖如果晶体绕固定轴u旋转角度=2/n后，能与自身 重合，则此对称操作称为旋转，轴u称为n度旋转对 称轴（n度轴），记作n。
aa´ b
b´
转动2/4， 中并并心非非对4度反称旋演旋转转
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正四面体示意图
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闪锌矿和金钢石4度像转
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像转示意图
2m
1i
2 m
像转示意图
120°
a 60° a1
a3 a2
33i6m
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平移示意图
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若 设R R A A、 RR BB为 m空 a1n间 a2任 pa3意两 向 m、 点 n量 、 的 p， Z位置 则A、B点处于等价位置
一个6度轴
立方晶系
简单立方
体心立方
面心立方
四个3度轴和三个4度轴 a=b=c α=β=γ=90º
(100)(010)(001)完全对称，可用{100}表示，称为等效 晶面
布喇菲原胞示意图
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作业：
1 如果晶体中存在i和n，则晶体中必有n；但晶
体中如果存在 n ，则未必有n和i。上述说法是否
正确，请举例说明。 2 总结像转与中心反演、旋转、镜面对称的关系。 3 总结七大晶系的对称特征及坐标轴的性质。
晶系示意图
级别
晶系
布喇菲 原胞数
对称特征
坐标系的性质
点群 符号
三斜
简单三斜
没有对称轴或只有 一个反演中心
a≠b≠c α≠β≠γ
1，
低级 中级
单斜 正交 三角 四方
简单单斜， 底心单斜
简单正交， 底心正交， 体心正交， 面心正交。
简单三方 /三角
简单四方， 体心四方
一个2度轴或1个对 称面
有3个互相垂直的2 度轴
a=b=c α=β=γ=90
返回
三斜晶系和单斜晶系
c
b
a
abc
简单三斜
点群：1
三斜晶系
c
1度旋转
2π/1
b
a
简单单斜
底心单斜
a≠b≠c α=γ=90º β＞90º
一个2度轴或1个对称面，2，m， 单斜2/晶m系
又名石青，化学成分Cu3[CO3]2(OH)2，单斜晶 系斜方柱晶类。 （均为复式布拉菲晶格）
a≠b≠c α=γ=90º β＞90º
a≠b≠c α=β=γ=90º
一个3度轴 一个4度轴
a=b=c α=β=γ≠90º
a≠b≠c α=β=γ=90º
2，m， 2/m
222 ， mm2 ， mmm
高级
六角 立方
简单六方/六 角
一个6度轴
简单立方， 体心立方，
面心立方
四个3度轴
a=b≠c α=β= 90º γ=120º
(3)反映（镜面反演，镜象）：
如果晶体中存在一个 平面，当以它作为xoy 面，并将晶体中任一点 （x，y，z）变为（x， y，-z）时，晶体能与 自身重合，则该对称操 作称为反映，该平面称 为晶体的对称面或镜面， 记作m。
(4)像转：
如果晶体绕某固定轴u旋转2π/n后，再通过某点O作 中心反演，能与自身重合，则此对称操作称为像转，
正交晶系
简单正交
底心正交
体心正交
a≠b≠c α=β=γ=90º
有3个互相垂直的2度轴
面心正交
三角晶系
四方晶系
a
a
a
简单三方 一个3度轴
a=b=c α=β=γ≠90º
简单四方
体心四方
一个4度轴
a=b≠c α=β=γ=90º
六角晶系
c
a a 简单六方
a=b≠c α=β= 90º
γ=120º
晶系与布喇菲原胞
结晶学中的布喇菲原胞(晶胞)一般包括几个最小重复 单元，格点不仅在顶角上，而且可以在体心或面心上。 晶轴：晶胞的基矢沿对称轴或在对称面的法向上，构 成晶了系晶：体把的晶坐胞标基系矢，a 、 基b 矢、 c 即满是足晶同轴一。类要求(边长a，b， c和夹角α，β，γ)的一种或数种布喇菲格子称为一个 晶系。 七大晶系→14种布喇菲格子（14种布喇菲原胞，14种 晶胞）* (示意图)
❖n=1,2,3,4,6
n度旋转
==22/4/1326
1984 年谢赫曼在二元和三元合金中发现了违反了晶体平 移对称性的五重旋转对称。
准晶具有清晰的五重衍射花样，肯定具有长程的五重旋 转对称，但不具有长程和平移对称性。
获2019年度诺贝尔化学奖。
铝锰准晶体合金的原子排列模型
(2)中心反演：
如果晶体中存在一 个固定点O，当以O 为坐标原点，并将晶 体中任一点（x，y， z）变为（－x，-y，z）时，晶体能与自 身重合，则该对称操 作称为中心反演，点 O为反演中心，记作i。