测量平差中各种模型的等价转换关系

第１８卷第１期测绘学院学擐ｖ０１．１８Ｎｏ．１捌年３月蛔ｌ丑ｌ０ｆⅫ蛐ｄｓＬ唰ｇ“＾．哪岵肚２００ｌ文章编号：１００９－４２７Ｘ（２００１）０１．０００１．０３测量平差中各种模型的等价转换关系周世健，减德彦，鲁铁定（华东地质学院洲量系。

江西临川３４４０００）摘要：基于测量平差中各种平差方法其函数模型的表达，文中重点论证了各种平差方法之闻的等价转换及箕相互关系，得到的结果有利于各种平差方法的理解与渗透，对测重教据处理理论曲分析和应用具有一定的参考价值。

关■词：平差方法；函数模型；等价转换；关系中图分类号：啪文献标识码：Ａ测量平差理论发展至今，其经典理论已趋于完善，特别是测量平差中各种平差方法的研究与实践，较为成熟。

众所周知，平差方法的不同是因函数模型而异，即函数模型确定了平差方法的异同，但随机模型对同一平差问题总是一致的。

目前对平差方法的研究，主要是概括平差模型的研究，用一概括模型从总体上来描述各种平差模型，各种平差方法的模型则为概括平差模型的特例，在这一方面的研究主要有文献［１，２］，且主要体现在一般与特殊的关系上，真正的平差计算仍按原有的平差方法进行，只是在公式的导出上可由概括平差模型简化导出。

在测量乎差的参考书中，对各种平差方法均进行了详细的公式导出，并说明了概括平差模型与各种平差模型的一般与特殊关系，对各种平差模型之间的关系未能进行论述。

这样在测量平差理解上有一定的问题，各种平差方法显得孤立，对初涉此领域的人，仍觉模糊，易于混淆与不解。

本文作者力求在各种平差方法（条件平差、间接平差、附有未知数的条件平差和附有条件的间接平差）之间的等价转换关系上进行必要的推导与论证，以利于得到各种平羞方法的等价性以及各种平差方法的联系性。

１各种平差方法的等价转换关系１．１条件平差与间接平差的关系对同一平差问题，不管用何种平差方法进行解算，结果应为一致。

考虑改正数向量的协因数矩阵，用条件平差解算为Ｑ。

‘＝ＱＡ’Ⅳ：Ａ口（１）式中，Ｑ为观测值向量的协因数矩阵；Ａ为条件平差中条件方程的系数矩阵（ｒ×ｎ），Ｒ（Ａ）＝ｒ；Ⅳ－＝Ａ舭１用间接平差进行解算，改正数向量的协因数矩阵为Ｑ：＝Ｑ一捌‰。

口７（２）式中，Ｂ为间接平差中误差方程的系数矩阵（ｎ×＃），Ｒ（口）＝ｆ；以＝Ｂ’ＰＢ；Ｐ＝口～。

对同一平差问题，上述的２个协因数矩阵应相等，即Ｑ，‘＝Ｑ。

’，则有舛７Ⅳ－一ＡＱ＝Ｑ—Ｊ日批。

一口７上式两边右乘列满矩阵ＰＢ，有ＱＡｌⅣ－＿１ＡＱ只８＝ＱＰＢ一丑Ⅳ－＿１８１ＰＢ故得ＱＡ‘Ⅳ：Ａ口＝０上式两边左乘行满矩阵Ａ，有ＡｐＡ’＾０一ＡＢ＝０由于Ａ必’Ⅳ＿～＝Ｉ，所以（盘㈨Ｂ。

Ｊ＝０（３）条件方程为ＡＶ—Ｗ＝０（４）间接平差的误差方程为’，＝风一ｆ（５）将（５）代人（４）式，得拙一ＡＩ—Ｗ＝０顾及（３）式，则有收藕日期：２０００．０９．０４；傣回日期：２０００．１０—１０基盒项目：国亲自端科学基盎赞琦顷目（硎ｌｏ“）作者筒介：周世健（１９６６一），男，江西安梧人，教授，博士，主要从事测量空『可数据赴毫与吏形监测舟析研究。

２测绘学院学报２００１年Ｗ：一Ａ１（６）一Ｖ＋Ｂｘ—ｆ＝０（１３）从（３）式与（６）式可知，条件平差与间接平差函数模型的系数矩阵之乘积等于０，常数向量则存在关系式（６），所以这两种平差方法建立相应的函数模型时，虽然没有什么联系，但组成后的系数矩阵满足恒等式（３）式，可用（３）式来验证组成的系数矩阵的正确性。

从线性空间理论上去理解，则得到两个系数矩阵所构成的线性空间为互补空间，日为线性空间Ａ的零空间，若有一系数矩阵，可通过解算得到相应的系数矩阵。

由常数项的关系式（６），从而也可由其中一个方程的常数向量，得到另一个方程的常数向量并进行两个常数向量的检核。

广义平差中的许多方法是基于间接平差原理进行推导的，若依据关系式（３），则可导出基于条件平差原理的相应公式。

诸如观测值的方差分量估计等则可仿此进行。

１．２间接平差与附有未知数的条件平差附有未知数的条件平差的数学模型为ＡＶ＋Ｂｘ—Ｗ＝０，Ｐ（７）此模型通过变换可得到相应间接平差的模型，令矿＝ＡＶ（８）则（７）式成为ｙ＝一（１ｌｘ—Ｗ）（９ａ）相应的随机模型为Ｑ，，＝ＡＱＡｌ（９ｂ）（９）式按间接平差原理解得未知参数估值为ｘ＝（Ｂ１Ｎ２Ｂ）“Ｂ’Ⅳ。

－１ｗ（１０）改正数向量的确定则对（９ａ）式变化为ＡＶ＋（蠡一ｗ）：０（１１）（１１）式中的蕊一ｗ视为常数向量，故上式按条件平差原理解算得到改正数向量为Ｖ＝ＱＡｌＫ（１２ａ）其中ｘ＝Ⅳ：（ｗ—Ｂｘ）＝Ⅳ：（Ｗ一丑（Ｂ’Ｎ２Ｂ）－１８１Ｎ２Ｗ）（１２ｂ）需要说明的是，下文所用的联系数向量均用Ｋ表示，但向量的维数和表达式都不同。

很明显，（１０）与（１２）式所得的；和ｙ与按附有未知数的条件平差原理解算所得到的结果完全相同，故附有未知数的条件平差可按间接平差原理进行解算，这样也得到了附有未知数的条件平差的另一解法，这种解法也是阶段平差解法。

间接平差的函数模型（５）式可变为上式与附有未知数的条件平差模型（７）式进行比较可知，此模型是（７）式的特例，即Ａ＝一ｌ，ｌ＝ｗ。

所以（１３）式按附有未知数的条件平差原理解算，其法方程式为（罢，钏匀一ｍ０（１４，由（１４）式的第１式，得Ｋ：只函一ＰＩ上式代入（１４）式的第２式，得Ｂ７喊一Ｂ７Ｐ１：０（１５）（１５）式即为间接平差的法方程式，可知间接平差可按附有未知数的条件平差原理进行解算，且可把间接平差视为附有未知数的条件平差的特例。

１．３条件平差与附有条件的间接年差条件平差按附有条件的间接平差模型进行解算，是选ｎ个未知数，即选ｎ个观测值的平差值作为未知参数，￡＝工＋ｙ＝Ｆ＋ＸＬ，由于必要观测数为ｔ，多余观测数为ｒ，ｒ＝ｎ—Ｉ，所选的未知参数多于必要观测数，故未知参数之间存在条件方程，方程的个数为ｒ，形式可由条件平差的函数模型来确定，此时的函数模型为ｙ＝茸ｃ１（１６）Ａｘ—Ｗ＝０Ｊ易知，此模型是附有条件的间接平差函数模型的特例（Ｂ＝Ｉ，１＝０，Ｃ＝Ａ，眦＝Ｗ）。

（１６）式按附有条件的间接平差原理解算，法方程为掣洲》（々）＝。

ｍ，由（１７）式的第１式，得ｘＬ＝０，４１置代人（１７）式的第２式，有置＝Ｎ２Ｗ（１８）从而易得ｙ＝丑＝舭１Ｎ２Ｗ（１９）（１９）式与按条件平差原理进行解算得到的结果完全相同。

附有条件的间接平差模型可分成两个平差模型（间接平差模型、条件平差模型）进行解算。

附有条件的间接平差模型为ｌ。

戤一，Ｐｌ（２０）Ｑ一巩＝０Ｊ式中，ｃ为ｓד维系数矩阵，Ｒ（ｃ）＝５。

第１期周世健等：测量平差中各种模型的等价转换关系３；７（王≠；，），而需对；７进行修正才可进行相应的“‘曼矗２Ｉ暇一砜。

１矿㈣１（２４）附有未知数的条件平差，可按附有条件的间前ｎ个未知参数与１．３中所选的观测值平差值一样，其余的ｕ一／１，个未知参数之间函数独立。

显然存在函数关系，未知参数之间的条件方程即为附ｙ．（Ｉｏ）㈡１（２５）Ａｈ＋ｍ—Ｗ：０Ｊ（２５）式与（２０）式比较可知，（２５）式为（２０）式（２５）式按附有条件的间接平差进行解算，法雕甜料…，Ａ舭７Ｋ＋瓜一Ｗ＝０（≥托）一㈤＝。

ｃ刀，（ｉ１）ｙ＋（：）ｚ一（：。

）＝。

ｃ２８，∽蚓料…，Ｋ，：蕊一Ｐ／（３０）（Ｎｃ－训≯（Ｂ眶Ｔｐ／，／－＝。

㈤，间接平差的法方程。

所以附有条件的间接平差可关系是：间接平差是附有条件的间接平差的特例差的扩展模型。

上述各种平差模型的等价转换关图１各种平差方｛岳的等价转换关系２结论１）条件平差与间接平差之间存在关系式ＡＢ：０，Ｗ：一Ａｆ，利于进行条件方程与误差方程的（下转第７页）第１期爨钢等：数字水准仪综合精度检测方法研究７量误差与相关因素的关系，可以发现在一般测量中无法发现的问题。

如测量精度不但与距离有关，还与编码规则、高差读数等有关（２８ｍ两个粗差的重复出现）；４）这种方法也有局限性，由于电子水准仪的最小读数一般为０．０１ｍ，这样可能分辨不出尺长误差小于０．０１ＩＩｔⅡＩａ／Ｉ！Ｑ（即１０ｘ１０“）的数值，不如用光电显微镜测标尺的精度高，后者可以分辨小于１×１０“的尺长误差。

数字水准仪检测方法的研究在国内还刚刚开始，有许多问题有待进一步研究和解决。

我们希望通过对不同厂家仪器的试验和分析研究，进一步完善上述检测方法。

致谢信息工程大学测绘学院９９本２班娄原松、朱晓露２位同学参加了部分试验工作，在此表示感谢。

参考文献：［１］精密数字水准测量技术规范（审定稿）［Ｒ］国家地晨局，１９９９．１２【２］＊信安，袁树忠．刘玉Ｊ！Ｉ【．赢颊澉光干涉仪［Ｍ］北京：中国计量出版社．１９８７［３］孝广云，樊铜．亭宗春藏频激光干涉仪在洲距仪精度自珊植测中的应用［Ｊｊ解放军测绘学院学报，１９９９，（３）ＭｅａｓｕｒｉｎｇＡｃｃｕｒａｃｙ豫旺嚷ｏｆｔｈｅ埘ｇｉ锄ＬｅｖｅｌｓＦＡＮＧａｎｇ，ＺＨＡＯＲｕｉ，ＬＩＧｕａｎｇ－ｐｍ，ＸＵＥＺｈｉ－ｈｏｎｇ西船矿鼬－扣曾叫ｆ＇‘≈印崎ｌｒ，ｆｏｖｎａａｏｎＤ埘惦靠嘈抽晌吼凸ｑ弛衄４５００５２，伍酬Ａｂｄｒ哪：ＡＩ脚ｎａｈｏｄ０ｆｋ咖出弈ｔ日ｌｈｄｖｆｉｔｈ面佃ｔｉｔａｎｓｂｙｄｏｕｂｌｅ帅蹦ｃｙｌａｓｅｒｍ出啪衄ｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｈｉｓｐ叩ｅｒＴｈｅｄｉｆｆｅ帕ａｃｅ嘛ｗ唧姆翻ｌｅ．，ｄ麒崦ｍｄｉｎｔｅｆｆｅｒｏｍｅｔｅｒｒｅａｄｉ硝ｍ蒯ｅｒｒｏｒ．Ｔｈｉｓ脚ｍｅｌｂｏｄ季嘴岫ａ酬ｔｔｍｕ］ｔｉｎｌ碰叫ｄｉｇｊｌ日ｌｌｅｖｅｌｍｄｍｉｆｆｓ面ｔｈｅａｒｏｓｅｔｉｍｅ脚瞄：蝴㈨；删豳；ｋ鼬；㈣责任编辑陶太欣………………………………～……………ｍ…………………一………（上接第３页）检核与转换。

特别是广义平差中，许多方法是基于间接平差模型导出的，利用此关系式就可直接得到基于条件平差模型的相关公式。

２）问接平差可按附有未知数的条件平差模型进行解算，且为其特例；附有未知数的条件平差同样可按间接平差原理进行解算，为阶段平差解算方法，均可保证结果的一致性。

３）条件平差可按附有条件的间接平差模型进行解算，且为其特例（选ｎ个观测值的平差值作为未知参数）；附有条件的间接平差也可按间接平差与条件平差原理进行解算，也为阶段平差解算方法，同样可保证结果的一致性。

４）附有未知数的条件平差可按附有条件的间接平差模型进行解算，并可认为是其特例；附有条件的间接平差也可按附有未知数的条件平差模型进行解算，解算的结果都可保证其正确性。

参考文献：［１］於宗恃．于正林．测量平差原理［Ｍ］武汉：武双测绘科技大学出版杜，１９００．［２】王新洲广义平差的概括模型［Ｊｊ武援测绘科技大学学报，２０００．Ｚ５（３）：２５７—２６０．［３］持宗俦，鲁林成渊ｔ平差基础（增订本）［Ｍ］．北京：测绘ｍ版社，１９８３．［４］黄雏彬．近代平差理论厦其应用［ＭＪ．北京：解放军出版社。