测量平差中各种模型的等价转换关系

第１８卷第１期测绘学院学擐

ｖ０１．１８Ｎｏ．１捌年３月蛔ｌ丑ｌ０ｆⅫ蛐ｄｓＬ唰ｇ“＾．哪岵肚２００ｌ文章编号：１００９－４２７Ｘ（２００１）０１．０００１．０３

测量平差中各种模型的等价转换关系

周世健，减德彦，鲁铁定

（华东地质学院洲量系。江西临川３４４０００）

摘要：基于测量平差中各种平差方法其函数模型的表达，文中重点论证了各种平差方法之闻的等价转换及箕相互关系，得到的结果有利于各种平差方法的理解与渗透，对测重教据处理理论曲分析和应用具有一定的参考价值。

关■词：平差方法；函数模型；等价转换；关系

中图分类号：啪文献标识码：Ａ

测量平差理论发展至今，其经典理论已趋于完善，特别是测量平差中各种平差方法的研究与实践，较为成熟。众所周知，平差方法的不同是因函数模型而异，即函数模型确定了平差方法的异同，但随机模型对同一平差问题总是一致的。目前对平差方法的研究，主要是概括平差模型的研究，用一概括模型从总体上来描述各种平差模型，各种平差方法的模型则为概括平差模型的特例，在这一方面的研究主要有文献［１，２］，且主要体现在一般与特殊的关系上，真正的平差计算仍按原有的平差方法进行，只是在公式的导出上可由概括平差模型简化导出。在测量乎差的参考书中，对各种平差方法均进行了详细的公式导出，并说明了概括平差模型与各种平差模型的一般与特殊关系，对各种平差模型之间的关系未能进行论述。这样在测量平差理解上有一定的问题，各种平差方法显得孤立，对初涉此领域的人，仍觉模糊，易于混淆与不解。本文作者力求在各种平差方法（条件平差、间接平差、附有未知数的条件平差和附有条件的间接平差）之间的等价转换关系上进行必要的推导与论证，以利于得到各种平羞方法的等价性以及各种平差方法的联系性。

１各种平差方法的等价转换关系

１．１条件平差与间接平差的关系

对同一平差问题，不管用何种平差方法进行解算，结果应为一致。考虑改正数向量的协因数矩阵，用条件平差解算为

Ｑ。‘＝ＱＡ’Ⅳ：Ａ口（１）

式中，Ｑ为观测值向量的协因数矩阵；Ａ为条件平

差中条件方程的系数矩阵（ｒ×ｎ），Ｒ（Ａ）＝ｒ；Ⅳ－＝Ａ舭１

用间接平差进行解算，改正数向量的协因数

矩阵为

Ｑ：＝Ｑ一捌‰。口７（２）式中，Ｂ为间接平差中误差方程的系数矩阵（ｎ×

＃），Ｒ（口）＝ｆ；以＝Ｂ’ＰＢ；Ｐ＝口～。

对同一平差问题，上述的２个协因数矩阵应

相等，即Ｑ，‘＝Ｑ。’，则有

舛７Ⅳ－一ＡＱ＝Ｑ—Ｊ日批。一口７

上式两边右乘列满矩阵ＰＢ，有

ＱＡｌⅣ－＿１ＡＱ只８＝ＱＰＢ一丑Ⅳ－＿１８１ＰＢ

故得

ＱＡ‘Ⅳ：Ａ口＝０

上式两边左乘行满矩阵Ａ，有

ＡｐＡ’＾０一ＡＢ＝０

由于Ａ必’Ⅳ＿～＝Ｉ，所以

（盘㈨Ｂ。Ｊ＝０（３）条件方程为

ＡＶ—Ｗ＝０（４）

间接平差的误差方程为

’，＝风一ｆ（５）将（５）代人（４）式，得

拙一ＡＩ—Ｗ＝０

顾及（３）式，则有

收藕日期：２０００．０９．０４；傣回日期：２０００．１０—１０

基盒项目：国亲自端科学基盎赞琦顷目（硎ｌｏ“）

作者筒介：周世健（１９６６一），男，江西安梧人，教授，博士，主要从事测量空『可数据赴毫与吏形监测舟析研究。

２测绘学院学报２００１年Ｗ：一Ａ１（６）一Ｖ＋Ｂｘ—ｆ＝０（１３）

从（３）式与（６）式可知，条件平差与间接平差函数模型的系数矩阵之乘积等于０，常数向量则存在关系式（６），所以这两种平差方法建立相应的函数模型时，虽然没有什么联系，但组成后的系数矩阵满足恒等式（３）式，可用（３）式来验证组成的系数矩阵的正确性。从线性空间理论上去理解，则得到两个系数矩阵所构成的线性空间为互补空间，日为线性空间Ａ的零空间，若有一系数矩阵，可通过解算得到相应的系数矩阵。由常数项的关系式（６），从而也可由其中一个方程的常数向量，得到另一个方程的常数向量并进行两个常数向量的检核。

广义平差中的许多方法是基于间接平差原理进行推导的，若依据关系式（３），则可导出基于条件平差原理的相应公式。诸如观测值的方差分量估计等则可仿此进行。

１．２间接平差与附有未知数的条件平差

附有未知数的条件平差的数学模型为

ＡＶ＋Ｂｘ—Ｗ＝０，Ｐ（７）此模型通过变换可得到相应间接平差的模型，令

矿＝ＡＶ（８）则（７）式成为

ｙ＝一（１ｌｘ—Ｗ）（９ａ）相应的随机模型为

Ｑ，，＝ＡＱＡｌ（９ｂ）（９）式按间接平差原理解得未知参数估值为

ｘ＝（Ｂ１Ｎ２Ｂ）“Ｂ’Ⅳ。－１ｗ（１０）改正数向量的确定则对（９ａ）式变化为

ＡＶ＋（蠡一ｗ）：０（１１）（１１）式中的蕊一ｗ视为常数向量，故上式按条件平差原理解算得到改正数向量为

Ｖ＝ＱＡｌＫ（１２ａ）其中

ｘ＝Ⅳ：（ｗ—Ｂｘ）

＝Ⅳ：（Ｗ一丑（Ｂ’Ｎ２Ｂ）－１８１Ｎ２Ｗ）

（１２ｂ）需要说明的是，下文所用的联系数向量均用Ｋ表示，但向量的维数和表达式都不同。

很明显，（１０）与（１２）式所得的；和ｙ与按附有未知数的条件平差原理解算所得到的结果完全相同，故附有未知数的条件平差可按间接平差原理进行解算，这样也得到了附有未知数的条件平差的另一解法，这种解法也是阶段平差解法。

间接平差的函数模型（５）式可变为

上式与附有未知数的条件平差模型（７）式进行比较可知，此模型是（７）式的特例，即Ａ＝一ｌ，ｌ＝ｗ。所以（１３）式按附有未知数的条件平差原理解算，其法方程式为

（罢，钏匀一ｍ０（１４，由（１４）式的第１式，得

Ｋ：只函一ＰＩ

上式代入（１４）式的第２式，得

Ｂ７喊一Ｂ７Ｐ１：０（１５）（１５）式即为间接平差的法方程式，可知间接平差可按附有未知数的条件平差原理进行解算，且可把间接平差视为附有未知数的条件平差的特例。１．３条件平差与附有条件的间接年差

条件平差按附有条件的间接平差模型进行解算，是选ｎ个未知数，即选ｎ个观测值的平差值作为未知参数，￡＝工＋ｙ＝Ｆ＋ＸＬ，由于必要观测数为ｔ，多余观测数为ｒ，ｒ＝ｎ—Ｉ，所选的未知参数多于必要观测数，故未知参数之间存在条件方程，方程的个数为ｒ，形式可由条件平差的函数模型来确定，此时的函数模型为

ｙ＝茸ｃ１（１６）

Ａｘ—Ｗ＝０Ｊ

易知，此模型是附有条件的间接平差函数模型的特例（Ｂ＝Ｉ，１＝０，Ｃ＝Ａ，眦＝Ｗ）。

（１６）式按附有条件的间接平差原理解算，法方程为

掣洲》（々）＝。ｍ，由（１７）式的第１式，得

ｘＬ＝０，４１置

代人（１７）式的第２式，有

置＝Ｎ２Ｗ（１８）从而易得

ｙ＝丑＝舭１Ｎ２Ｗ（１９）（１９）式与按条件平差原理进行解算得到的结果完全相同。

附有条件的间接平差模型可分成两个平差模型（间接平差模型、条件平差模型）进行解算。附有条件的间接平差模型为

ｌ。戤一，Ｐｌ（２０）

Ｑ一巩＝０Ｊ

式中，ｃ为ｓד维系数矩阵，Ｒ（ｃ）＝５。