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人教版高中数学必修第三册全册WORD讲义《导学案》
8.1.1向量数量积的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义．教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.知识点一两个向量的夹角(1)定义：给定两个01非零向量a，b(如图所示)，在平面内任选一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则称02[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作03〈a，b〉.(2)根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且040≤〈a，b〉≤π，〈a，b〉＝05〈b，a〉.时，称向量a与向量b垂直，记作07a⊥b.在(3)垂直：当〈a，b〉＝06π2讨论垂直问题时，规定08零向量与任意向量垂直．知识点二向量数量积(内积)的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称01|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝02|a||b|cos〈a，b〉.由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数．知识点三平面向量的数量积的性质(1)当e是单位向量时，因为|e|＝1，所以a·e＝01|a|·cos〈a，e〉.(2)a⊥b⇔02a·b＝0.(3)a·a＝03|a|2，即04|a|＝a·a.(4)cos〈a，b〉＝05a·b(|a||b|≠0).|a||b|(5)|a·b|06≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．知识点四向量的投影如图1，设非零向量AB→＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的01投影向量或投影．类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l 上的投影称为a在向量b上的02投影.如图2中，向量a在向量b上的投影为03.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量04共线，但它们的方向既有可能05相同，也有可能06相反.知识点五向量数量积的几何意义如图(1)(2)(3)所示．当〈a ，b 〉<π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向01相同，而且||＝02|a |cos〈a ，b 〉；当〈a ，b 〉＝π2时，为零向量，即||＝030；当〈a ，b 〉>π2时，的方向与b 的方向04相反，而且||＝05－|a |cos 〈a ，b 〉.一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称06|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是07非负数，也可能是08负数.两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．1．a 在b 方向上的投影的数量也可以写成a ·b|b |，它的符号取决于角θ的余弦值．2．在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.3．a ·b 的符号与a 与b 的夹角θ的关系设两个非零向量a与b的夹角为θ，则(1)若a·b>0⇔θ为锐角或零角．当θ＝0°时，a与b共线同向，a·b>0.或a与b中至少有一个为0.(2)a·b＝0⇔θ＝π2(3)a·b<0⇔θ为钝角或平角，当θ＝180°时，a与b共线反向，a·b<0.特别注意a，b共线同向与共线反向的特殊情况，即a·b>0(<0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)．4．向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ的主要应用(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)．求夹角，应正确求出两个整体：数量积a·b与模(2)利用公式变式cosθ＝a·b|a||b|积|a||b|，同时注意θ∈[0，π]．(3)利用a·b＝0证明垂直问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a·b＝0，则a⊥b.()(2)两个向量的数量积是一个向量．()(3)当a∥b时，|a·b|＝|a||b|.()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)已知向量a与向量b的夹角为30°且|a|＝3，则a在b上的投影的数量为____.(2)已知|a|＝4，|b|＝22，且a与b的夹角为135°，则a·b＝____.(3)在直角坐标系xOy内，已知向量AB→与x轴和y轴正向的夹角分别为120°和30°，则BA→在x轴、y轴上的投影的数量分别为____和____.答案(1)32(2)－8(3)12|AB→|－32|AB→|题型一两个向量夹角的定义例1已知向量a，b的夹角为60°，试求下列向量的夹角：(1)－a，b；(2)2a，23b.[解]如图，由向量夹角的定义可知：(1)向量－a，b的夹角为120°.(2)向量2a，23b的夹角为60°.(1)向量的夹角是针对非零向量定义的．(2)注意向量的夹角是[0°，180°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与AB→的夹角，作AD→＝CA→，则∠BAD才是向量CA→与AB→的夹角．|a|，求a－b与a的夹角．[跟踪训练1]已知向量a与b的夹角为60°且|b|＝12解如图，作OA→＝a，OB→＝b，则∠BOA＝60°，连接BA，则BA→＝a－b.取OA的中点D，连接BD，∵|b|＝1|a|，∴OD＝OB＝BD＝DA，2∴∠BDO＝60°＝2∠BAO，∴∠BAO＝30°.∴a－b与a的夹角为30°.题型二向量数量积的定义例2(1)已知|a|＝5，|b|＝2，若①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.(2)已知|a|＝4，|b|＝2，b2－a2＝3a·b，求向量a与向量b的夹角．[解](1)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝5×2×1＝10；若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝5×2×(－1)＝－10.②当a⊥b时，则它们的夹角为90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝5×2×0＝0.③当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos30°＝5×2×32＝53.(2)由题意，得4－16＝3a ·b ，∴a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，向量a 与向量b 的夹角为120°.1．求向量数量积的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积．(2)a 与b 垂直当且仅当a ·b ＝0.(3)非零向量a 与b 共线当且仅当a ·b ＝±|a ||b |.2．求向量夹角的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和数量积，根据夹角公式求出向量夹角的余弦值．(2)注意向量夹角的范围为[0，π]，从而确定夹角的大小．[跟踪训练2](1)已知|a |＝4，|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ＝π3，求a ·b .(2)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，求a 与b 的夹角．解(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×5×12＝10.(2)设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.题型三向量的投影例3已知直线l ，(1)|OA →|＝4，〈OA→，l 〉＝60°，求OA →在l 上的投影的数量OA 1；(2)|OB →|＝4，〈OB →，l 〉＝90°，求OB →在l 上的投影的数量OB 1；(3)|OC→|＝4，〈OC→，l〉＝120°，求OC→在l上的投影的数量OC1.＝2.[解](1)OA1＝4cos60°＝4×12(2)OB1＝4cos90°＝4×0＝0.(3)OC1＝4cos120°＝4 2.对向量投影的理解从定义上看，向量b在直线(或非零向量)上的投影是一个向量，投影的数量可正、可负、可为零．(1)当θ(2)当θ(3)当θ＝0时，该数量为|b|.(4)当θ＝π时，该数量为－|b|.注意：此处b为非零向量．时，该数量为0.(5)当θ＝π2时，a在e方向[跟踪训练3]已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为π3上的投影的数量为()A．43B．4C．42D．8＋32答案B解析因为a在e方向上的投影的数量为|a|cosπ＝4，故选B.3题型四向量数量积的几何意义及应用例4(1)已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影的数量是32，则a ·b 为()A ．3 B.92C ．2D.12(2)如图，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且AB ＝2DC ＝4.E 为腰BC 上的动点．求AE→·AB →的取值范围．[解析](1)设a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝|a ||b |cos θ＝|b ||a |cos θ＝3×32＝92.(2)如图，过E 作EE ′⊥AB ，垂足为E ′，过C 作CC ′⊥AB ，垂足为C ′.则AE →在AB →上的投影为AE ′→，∴AE →在AB →上的投影的数量为|AE ′→|，由向量数量积的几何意义知AE →·AB →＝|AE ′→||AB →|＝4|AE ′→|.∵E 在腰BC 上运动，∴点E ′在线段C ′B 上运动，∴|AC ′→|≤|AE ′→|≤|AB→|，∴2≤|AE ′→|≤4，∴8≤4|AE ′→|≤16，∴AE→·AB→的取值范围是[8,16]．[答案](1)B(2)见解析利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量，代入向量数量积的公式即可．利用向量数量积判断几何图形形状或解决最值范围问题时，常结合图形直观分析得到结果．[跟踪训练4](1)若E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，且(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，则四边形EFGH是()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)已知a·b＝16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|＝____.答案(1)C(2)4解析(1)因为(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，所以AC→·BD→＝0，所以AC→⊥BD→.又因为E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，所以四边形EFGH的两组对边分别与AC，BD平行，且EF⊥EH，所以四边形EFGH为矩形．(2)设a与b的夹角为θ，因为a·b＝16，所以|a||b|cosθ＝16.又a在b方向上的投影的数量为4，所以|a|cosθ＝4，所以|b|＝4.1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影的数量为()A.125B．3C．4D．5答案A解析设a与b的夹角为θ，则向量a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝a·b|b|＝12 5.2．已知|a|＝4，|b|＝2，当它们之间的夹角为π3时，a·b＝() A．43B．4C．83D．8答案B解析根据向量数量积的定义得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×cosπ3＝4.3．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是()A.0，π6 B.π3，πC.π3，2π3 D.π6，π答案B解析由题意可得，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∵|a|＝2|b|，∴cosθ≤12θ∈π3，π.故选B.4．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是() A．e1在e2上的投影的数量为sinθB．e21＝e22C．任给θ∈[0，π]，(e1＋e2)⊥(e1－e2)D．不存在θ，使e1·e2＝2答案BCD解析对于A，因为e1，e2为单位向量，所以e1在e2上的投影的数量为|e1|cosθ＝cosθ，A错误；对于B，e21＝e22＝1，B正确；对于C，如图，设AB→＝e1，AD→＝e2，则易知四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，即(e1＋e2)⊥(e1－e2)，C正确；对于D，e1·e2＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，所以D正确．5．在△ABC中，已知|AB→|＝|AC→|＝6，且AB→·AC→＝18，则△ABC的形状是____.答案等边三角形解析∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC，∴cos∠BAC＝12，∴∠BAC＝60°.又|AB→|＝|AC→|，∴△ABC为等边三角形．一、选择题1．若|a|＝2，|b|＝12，〈a，b〉＝60°，则a·b等于()A.1 2B.1 4C．1D．2答案A解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×12×12＝12.2．在Rt△ABC中，角C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16答案D解析解法一：∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos A，△ACB为直角三角形，∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·|AC→||AB→|＝|AC→|2＝16.故选D.解法二：∵△ACB为直角三角形，∴AB→在AC→上的投影为AC→，∴AB→·AC→＝AC→2＝16.故选D.3．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴正方向上的投影的数量为()A．－53B．5C．－5D．53答案A解析a在x轴正方向上的投影的数量为|a|cos150°＝－53.4．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是()A．1B．2C．3D．4答案A解析设a，b的夹角为θ，因为|a·b|＝4|b||cosθ|≥10，所以|b|≥104|cosθ|≥52，由向量形式的三角不等式得，|a－2b|≥||a|－|2b||＝|2|b|－4|≥|2×52－4|＝1.5．(多选)关于菱形ABCD的下列说法中，正确的是()A.AB→∥CD→B．(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)C．(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0D.AB→·AD→＝BC→·CD→答案ABC解析∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴AB→∥CD→，A正确；∵对角线AC 与BD互相垂直，且AB→＋BC→＝AC→，BC→＋CD→＝BD→，∴AC→⊥BD→，即(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)，B正确；∵AB→－AD→＝DB→，BA→－BC→＝CA→，∵DB→⊥CA→，即DB→·CA→＝0，∴(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0，C正确；易知〈AB→，AD→〉＝180°－〈BC→，CD→〉，且|AB→|＝|AD→|＝|BC→|＝|CD→|，∴AB→·AD→＝－BC→·CD→，D错误．故选ABC.二、填空题6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，a＝3，b＝1，∠C＝30°，则BC→·CA→等于____.答案－332解析BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos(180°－30°)＝ab cos150°＝－332.7．若|a|＝2，b＝－2a，则a·b＝____.答案－8解析|b|＝2|a|＝4，且b与a反向，∴〈a，b〉＝180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×4×(－1)＝－8.8．给出下列命题：①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；④若a·b＝0，则a，b至少有一个为0；⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立．其中真命题为____.答案①解析由数量积的定义逐一判断可知，只有①正确．三、解答题9．已知正方形ABCD的边长为1，分别求：(1)AB→·CD→；(2)AB→·AD→；(3)AC→·DA→.解如图，(1)〈AB→，CD→〉＝π，∴AB→·CD→＝－1.(2)〈AB →，AD→〉＝π2，∴AB →·AD →＝0.(3)〈AC →，DA →〉＝3π4，∴AC →·DA →＝2×1×cos 3π4＝－1.10．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ.求θ的取值范围．解∵AB→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6>0，∴cos θ>0，∴θ为锐角，如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则|CD |＝|BC |sin θ.由题意，知AB→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6，①S ＝12|AB ||CD |＝12|AB →||BC →|sin θ.②由②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .∵3≤S ≤3，∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1.又θ为AB →与BC →的夹角，θ∈[0，π]，∴θ∈π6，π4.1．(多选)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，给出以下结论，其中正确的是()A.AH→·(AC→－AB→)＝0B.AB→·BC→<0⇒△ABC为钝角三角形C.AC→·AH→|AH→|＝c sin BD.BC→·(AC→－AB→)＝a2答案ACD解析因为AC→－AB→＝BC→，且AH⊥BC，所以AH→·(AC→－AB→)＝0，故A正确；在△ABC中，由AB→·BC→<0，只能得出角B为锐角，不能判断出△ABC的形状，故B不正确；AH→|AH→|是AH→的单位向量，依据数量积的几何意义可知AC→·AH→|AH→|为AC→在AH→方向上的投影，为b sin C＝c sin B，故C正确；因为AC→－AB→＝BC→，所以BC→·(AC→－AB→)＝|BC→|2＝a2，故D正确．2．已知a，b是两个非零向量．(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．解(1)∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.又|a|＝3，|b|＝4，∴|cos〈a，b〉|＝6|a||b|＝63×4＝12，∴cos〈a，b〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.(2)如图所示，在平面内取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|，所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC→＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a |＝|b |＝|a －b |，即|OA→|＝|OB →|＝|AB →|，所以∠AOC ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6.8.1.2向量数量积的运算律(教师独具内容)课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律．教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用．教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.知识点平面向量数量积的运算律已知向量a ，b ，c 与实数λ，则交换律a ·b ＝01b ·a结合律(λa)·b＝02λ(a·b)＝03a·(λb)分配律(a＋b)·c＝04a·c＋b·c对向量数量积的运算律的几点说明(1)向量数量积不满足消去律：设a，b，c均为非零向量且a·c＝b·c，不能得到a＝b.事实上，如右图所示，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，AB⊥OC于D，可以看出，a，b在向量c上的投影分别为|a|cos∠AOD，|b|cos∠BOD，此时|b|cos∠BOD＝|a|cos∠AOD＝OD.即a·c＝b·c.但很显然b≠a.(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a·b)c≠a(b·c)，这是由于a·b，b·c都是实数，(a·b)c表示与c方向相同或相反的向量，a(b·c)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于向量a，b，c等式(a·b)·c＝a·(b·c)恒成立．()(2)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为－2，则a·(a－b)＝____.(2)已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝____.(3)已知|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则|a2－b2|＝____，|a－b|＝____，|a2＋b2|＝____.答案(1)8(2)－7(3)28237100题型一求向量的数量积例1已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3 3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．[跟踪训练1]在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝____.答案－14解析由已知得AD→＝12(AB→＋AC→)，AE→＝23AC→，BE→＝BA→＋AE→＝23AC→－AB→，所以AD→·BE→＝12(AB→＋AC→)·－＝12×→|2－|AB→|2－13AB→·＝1 2×1－13cos60°＝－14.题型二求向量的夹角例2已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．[解]设a，b的夹角为θ，∵单位向量e1，e2的夹角为60°，∴e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝12.∴a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝e1·e2＋e22－2e21－2e1·e2＝e22－2e21－e1·e2＝1－2－12＝－32，|a|＝a2＝(e1＋e2)2＝|e1|2＋|e2|2＋2e1·e2＝1＋1＋1＝3.|b|＝b2＝(e2－2e1)2＝|e2|2－4e1·e2＋4|e1|2＝1＋4－4×12＝3.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－323×3＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.求向量a，b夹角θ的思路(1)解题流程求|a|，|b|→计算a·b→计算cosθ＝a·b|a||b|→结合θ∈[0，π]，求出θ(2)解题思想：由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．[跟踪训练2]已知|a|＝3，|b|＝5，|a＋b|＝7，求a·b及a与b的夹角．解∵|a＋b|＝7，∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝34＋2a·b＝49，∴a·b＝152.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝1523×5＝12又θ∈[0，π]，故a与b的夹角θ＝60°.题型三求向量的模例3已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°.求：(1)向量b的模；(2)向量2b＋a的模．[解](1)∵a2＝4，∴|a|2＝4，即|a|＝2.把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得1＋|a|＋a·b＝0，∴a·b＝－3，则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，∴|b|＝3.(2)(2b＋a)2＝4b2＋a2＋4a·b＝4×9＋4＋4×(－3)＝28，∴|2b＋a|＝27.极化恒等式求模长(1)两个结论①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：①(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.②(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2.说明：下列结论也是成立的：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.(2)由上述结论，我们不难得到4a·b＝(a＋b)2－(a－b)2，即a·b＝1[(a＋b)2－(a－b)2]．4我们把该恒等式称为“极化恒等式”．(3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．②一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2等．提醒：向量的模是非负实数；一个向量与自身的数量积等于它的模的平方．，求|a－b|，|a＋b|.[跟踪训练3]已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3解解法一：|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉＝53.＝52＋52＋2×5×5×cosπ3|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉＝5.＝52＋52－2×5×5×cosπ3解法二：以a，b为邻边作▱ABCD，设AC，BD相交于点E，如图所示．∵|a|＝|b|且∠DAB＝π3，∴△ABD为正三角形，∴|a－b|＝|DB→|＝5，|a＋b|＝|AC→|＝2|AE→|＝2|AB→|2－|BE→|2＝252－5 2253.题型四用向量数量积解决垂直问题例4已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，求证：(a－b)⊥c.[证明]证法一：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|·cos120°－|b||c|cos120°＝0.∴(a－b)⊥c.证法二：如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，连接AB，AC，BC，三条线段围成正三角形ABC，O为△ABC的中心，∴OC ⊥AB.又BA→＝a－b，∴(a－b)⊥c.要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式．要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式．[跟踪训练4]如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .证明设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →a 12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE→，即AF ⊥DE .1．若向量a 的方向是正北方向，向量b 的方向是西偏南30°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )等于()A.32B ．－32C.23D ．－23答案B解析由题意知a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝－12.∴(－3a )·(a ＋b )＝－3a 2－3a ·b ＝－32.2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －b |等于()A．1 B.2C.3D．2答案A解析|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝12＋12－2·1·cos〈a，b〉＝2－2cos60°＝1.3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．以上均不正确答案C解析由(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，得CB→·(AB→＋AC→)＝0，又CB→＝AB→－AC→，∴(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0，即|AB→|2－|AC→|2＝0.∴|AB→|＝|AC→|.∴△ABC为等腰三角形．，则4．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3实数λ＝____.答案－8或5解析由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，则49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b.，即λ2＋3λ－40由a，b，c为单位向量，得a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcosπ3＝0，解得λ＝－8或λ＝5.5．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.解(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4a2－4a·b－3b2＝61，，所以4×42－4×4×3cosθ－3×32＝61，cosθ＝－12又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°.(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13，所以|a＋b|＝13，同理可求得|a－b|＝37.一、选择题1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C，解析由题意可得a·b－b2＝0，设a与b的夹角为θ，则2cosθ＝1，cosθ＝12又θ∈[0，π]，∴θ为60°.2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1 B.7C．4＋3D．27答案B解析根据题意，得|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7.3．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为()A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析∵0＝AB→·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →，∴∠BAC ＝90°.故选A.4.如图，O ，A ，B 是平面上的三点，C 为线段AB 的中点，向量OA→＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )＝()A ．1B ．3C ．5D ．6答案D解析由题图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP→＝OC →＋CP →＝12(OA →＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP→·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12×(42－22)＝6.5．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是()A ．a ·c －b ·c ＝(a －b )·cB ．(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直C ．|a |－|b |＜|a －b |D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2答案ACD解析因为a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则由向量数量积的运算律，知A ，D 正确；由向量减法的三角形法则，知C 正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0.所以(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，B 错误．故选ACD.二、填空题6．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝____.答案11解析原式展开，得|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4|a ||b |cos90°－2|a ||c |cos60°－4|b ||c |cos60°＝11.7．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 的夹角的余弦值为____.答案－13解析由|a |＝3|b |，得|b ||a |＝13.由|a |＝|a ＋2b |，两边平方得|a |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，整理得a ·b ＝－|b |2.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－|b |2|a ||b |＝－|b ||a |＝－13.8．已知向量AB→与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为____.答案712解析因为向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2，所以AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos120°＝3×2 3.由AP→⊥BC→，得AP→·BC→＝0，即AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，所以AC→2－λAB→2＋(λ－1)AB→·AC→＝0，即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝7.12三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(k a－b)．解由已知，得a·b＝4×816.(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162，∴|4a－2b|＝16 3.(2)若(a＋2b)⊥(k a－b)，则(a＋2b)·(k a－b)＝0.∴k a2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.10.如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足AP→＝λPB→.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA→|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →的取值范围．解(1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)．∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →.(2)OA→·OB →＝|OA →||OB →|cos60°＝6.∵AP→＝λPB →，∴OP→－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →，∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB→＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＋λ1＋λOB OB →－OA →)＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ＞0，∴3－131＋λ∈(－10,3)．∴OP→·AB →的取值范围是(－10,3)．1．已知向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，OP→＝tOA→，OQ→＝(1－t)OB→，t∈R，|PQ→|在t＝t0时取得最小值，当0<t0<15时，夹角θ的取值范围是()A.0，π3π3，π2C.π2，2π30，2π3答案C解析因为向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，所以OA→·OB→＝2cosθ，由PQ→＝OQ→－OP→＝(1－t)OB→－tOA→，得|PQ→|2＝PQ→2＝(1－t)2OB→2－2t(1－t)·OA→·OB→＋t2OA→2＝(5＋4cosθ)t2－(2＋4cosθ)t＋1，所以t0＝1＋2cosθ5＋4cosθ，由0<1＋2cosθ5＋4cosθ<15，解得－1 2<cosθ<0，因为0≤θ≤π，所以π2<θ<2π3.故选C.2．平面四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DA→＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD的形状．解∵AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0，即a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，由上式可得(a＋b)2＝(c＋d)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.又a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2.①同理可得a2＋d2＝b2＋c2②由①②，得a2＝c2，且b2＝d2，即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，也即AB＝CD，且BC＝DA.∴四边形ABCD为平行四边形．故AB→＝－CD→，即a＝－c，∴a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，∴a⊥b，即AB→⊥BC→.综上知，四边形ABCD为矩形．8.1.3向量数量积的坐标运算(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示．教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题.知识点一向量数量积的坐标运算已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝01x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于02它们对应坐标乘积的和.知识点二向量的长度已知a＝(x1，y1)，则|a|＝01x21＋y21，即向量的长度等于02它的坐标平方和的算术平方根.知识点三两向量夹角的余弦设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝01x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.知识点四两点间的距离如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝01(x2－x1)2＋(y2－y1)2.知识点五用坐标表示两向量垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔01x1x2＋y1y2＝0.1．两个向量垂直的条件已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，如果x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数．如果a⊥b，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行．这是因为a⊥b，有x1x2＋y1y2＝0(*)，当x2y2≠0时，(*)式可以表示为x1－y2＝y1x2，即向量(x1，y1)与向量(－y2，x2)平行．对任意的实数k，向量k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．2．不等式|a·b|≤|a||b|的代数形式若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a |＝x 21＋y 21，|b |＝x 22＋y 22.由|a·b |≤|a ||b |得|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22，当且仅当a ∥b ，即x 1y 2－x 2y 1＝0时取等号，即不等式(x 1x 2＋y 1y 2)2≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)成立．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ＝(1,1)，b ＝(－2,2)，则a·b ＝0.()(2)若a ＝(4,2)，b ＝(6，m )且a ⊥b ，则m ＝－12.()(3)若a·b ＞0(a ，b 均为非零向量)，则〈a ，b 〉为锐角．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为____.(2)已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝____.(3)设a ＝(2,0)，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a·b ＝____.(4)已知a ＝(3,4)，则与a 垂直的单位向量有________，与a 共线的单位向量有________.答案(1)π6(2)2(3)1－45，－35，－题型一向量数量积的坐标运算例1已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求：(1)向量a 的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)b＝0.(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．[跟踪训练1]已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．解解法一：(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2.∵a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.题型二向量的夹角问题例2已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a与b的数量积及a与b的夹角的余弦值．[解]＋b ＝(2，－8)，－b ＝(－8，16)，＝(－3，4)，＝(5，－12).∴a ·b ＝(－3,4)·(5，－12)＝(－3)×5＋4×(－12)＝－63.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－63(－3)2＋42×52＋(－12)2＝－635×13＝－6365.∴a 与b 的夹角的余弦值为－6365.利用数量积求两向量夹角的步骤特别提醒：已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为[0，π]，故不存在讨论角的终边所在象限的问题．[跟踪训练2]设向量a ＝(－2sin α，2cos α)(0≤α≤π)，b ＝(－25，0)，则a 与b 的夹角为____.答案|π2－α|解析设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22＝45sin α2×25＝sin α，∵α∈[0，π]，∴θ＝|π2－α|.题型三向量的长度、距离问题例3已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3.求|3a＋b|的值．[解]设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵|a|＝|b|＝1，∴x21＋y21＝1，x22＋y22＝1，3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∵|3a－2b|＝(3x1－2x2)2＋(3y1－2y2)2＝3，∴9x21－12x1x2＋4x22＋9y21－12y1y2＋4y22＝9，∴13－12(x1x2＋y1y2)＝9.∴x1x2＋y1y2＝13.∵3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2,3y1＋y2)，∴|3a＋b|＝(3x1＋x2)2＋(3y1＋y2)2＝9x21＋6x1x2＋x22＋9y21＋6y1y2＋y22＝10＋6(x1x2＋y1y2)＝10＋6×13＝23.(1)在上述解题过程中，根据|a|＝|b|＝1，可以设a＝(cosβ，sinβ)，b＝(cosα，sinα)．(2)利用本题的解法可解决下面的一般性问题：若向量a，b满足|a|＝|b|＝r1，及|λ1a＋μ1b|＝r2求|λ2a＋μ2b|的值．(3)注意区别m＝n与|m|＝|n|，其中m＝n表示的是向量关系，即(x1，y1)＝(x2，y2)，而|m|＝|n|表示的是数量关系，即x21＋y21＝x22＋y22.[跟踪训练3]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝____.答案25解析解法一：设OB→＝(x，y)，由|OA→|＝|OB→|，知x2＋y2＝10.①由题意知OA→·OB→＝x－3y＝0.②＝3，＝1＝－3，＝－1.当x＝3，y＝1时，AB→＝OB→－OA→＝(2,4)，则|AB→|＝25；当x＝－3，y＝－1时，AB→＝(－4,2)，则|AB→|＝25.故|AB→|＝25.解法二：由题意知，|AB→|就是以OA→，OB→对应线段为邻边的正方形的对角线长，因为|OA→|＝10，所以|AB→|＝2×10＝25.题型四两向量垂直条件的应用例4如图所示，以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．[解]设点B(x，y)，则OB→＝(x，y)，AB→＝(x－5，y－2)．因为∠B＝90°，所以x(x－5)＋y(y－2)＝0，又|AB→|＝|OB→|，所以x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，2＋y 2－5x －2y ＝0，x ＋4y ＝29，1＝72，1＝－322＝32，2＝72.即点B利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算再将向量问题转化为代数问题来解决．[跟踪训练4]在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB 是直角，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .证明建立如图所示的平面直角坐标系，设CA ＝CB ＝2，则A (2,0)，B (0,2)，C (0,0)，设E (x ，y )．∵D 为BC 的中点，∴D (0,1)．∵AE ＝2EB ，∴AE →＝23AB →，∴(x －2，y )＝23(－2,2)，－2＝－43，＝43，＝23，＝43，∴∴AD→·CE→＝(－＝－43＋43＝0，∴AD→⊥CE→，∴AD⊥CE.题型五向量数量积的综合应用例5若函数f(x)＝－2<x<10)的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，O为坐标原点，则(OB→＋OC→)·OA→＝() A．－32B．－16C．16D．32[解析]令f(x)＝0，得π6x＋π3kπ，k∈Z，∴x＝6k－2，k∈Z.∵－2<x<10，∴x＝4，即A(4,0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，∴B，C两点关于点A对称，即x1＋x2＝8，y1＋y2＝0.故(OB→＋OC→)·OA→＝(x1＋x2，y1＋y2)·(4,0)＝4(x1＋x2)＝32.[答案]D与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角函数的图像和性质等知识．[跟踪训练5]设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，AP→＝λAB→.若OP→·AB→≥P A→·PB→，则实数λ的取值范围是()A.12≤λ≤1B．1－22≤λ≤1C.12≤λ≤1＋22D．1－22≤λ≤1＋22答案B解析设P(x，y)，则由AP→＝λAB→，得(x－1，y)＝λ(－1,1)，－1＝－λ，＝λ，∴x－1＋y＝0.①又OP→·AB→≥PA→·PB→，∴(x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)．整理，得x2＋y2－2y≤0，即x2＋(y －1)2≤1.②将①整理，得x＝1－y，代入②中，得(y－1)2≤12.即－22≤y－1≤22.∴1－22≤y≤1＋22.结合题意，得1－22≤y≤1，即1－22≤λ≤1.故选B.1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于()A．3 B.13C．－13D．－3答案C解析∵3a·b＝(6，－9)·(x,2x)＝－12x＝4，∴x＝－13.2．已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形ABCD是() A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形答案B解析∵AB→＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →＝DC →，又AD→＝(4,6)，∴AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AD →.∵|AB→|≠|AD →|，∴选B.3．正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是____.答案－32解析解法一：如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，∴a －12，b －12，－c ＝(1,0)，∴a ·b ＋32×＝－12，同理b ·c ＝c ·a ＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.解法二：a·b ＋b·c ＋c·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝3＝－32.4．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝____.答案31010解析∵a ＝(3,3)，由2b －a ＝(－1,1)可得b ＝(1,2)，∴cos α＝a ·b |a ||b |＝918×5＝31010.5.如图，已知△ABC 的面积为32，AB ＝2，AB→·BC →＝1，求边AC 的长．解以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐标为(x ，y )(y >0)，因为AB ＝2，∴点B 的坐标是(2,0)，∴AB→＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )．∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝52.又S △ABC ＝32，∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32，∴C AC →∴|AC→|＝＝342，故边AC 的长为342.一、选择题1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝()A．23B．7C．－23D．－7答案D解析a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.2．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案A解析∵AB→＝(1,1)，AC→＝(－3,3)，∴AB→·AC→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AC→，∴A＝90°，故选A.3．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为() A．(3，－2)B．(3,2)C．(－3，－2)D．(－3,2)答案C解析设c＝(x，y)2x－3y＝0，x－2y＝1，x＝－3，y＝－2.4．与已知向量a 72，12，b12，－72的夹角相等，且模为1的向量是()－45，－223，答案B解析设与向量ab1的向量为(x，y)＋y2＝1，＋12y＝12x－72y，＝45，＝－35＝－45，＝35，故选B.5．(多选)设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，则a，b的取值可能为()A．a＝2，b＝1B．a＝7，b＝5C．a＝9，b＝6D．a＝12，b＝9答案ABD解析由图知，要使OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，只需使AB→⊥OC→，即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，得4a－5b－3＝0，则a，b需满足关系式4a－5b＝3，结合选项可知，A，B，D中a，b的取值满足条件．故选ABD.二、填空题6．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是____.答案103，＋∞解析x应满足(x,2)·(－3,5)<0且a，b不共线．解得x>103且x≠－65，∴x>103.7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角为____.答案120°解析由已知，得a＋b＝－a，∴a与c的夹角与c与a＋b的夹角互补．又cos〈a＋b，c〉＝(a＋b)·c|a＋b||c|＝12.∴〈a＋b，c〉＝60°.∴a与c的夹角是120°.8．已知向量a＝(cos2θ，sin2θ)，向量b＝(2,0)，则|2a－b|的最大值是____.答案22解析令t＝cos2θ(0≤t≤1)，则a＝(t,1－t)，所以|2a－b|2＝(2t－2)2＋(2－2t)2＝8(t－1)2.所以|2a－b|＝22|t－1|＝22(1－t)，故当t＝0时，|2a－b|取得最大值22.三、解答题9．在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD是BC边上的高，求。
人教新课标版数学高一数学人教B版必修3学案几何概型
§3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型自主学习学习目标1．通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型．2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．自学导引1．几何概型的概念事件A理解为区域Ω的某一子区域A，如图，A的概率只与子区域A的____________(长度、面积或体积)成________，而与A的________和________无关．满足以上条件的试验称为____________．2．几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A的概率定义为：________________，其中，μΩ表示________________，μA表示________________________．对点讲练知识点一与长度或角度有关的几何概型例1公共汽车站每隔5 min有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min的概率．点评几何概型应用广泛，其难点是确定几何度量．本例中，设定乘客到站后开来一辆公共汽车的时刻t后，就容易写出Ω、A，这里设“t”是关键．变式迁移1某人从东西走向的河的南岸向东北方向游去，游了100 m后没有到岸边，随后，他随意选定了一个方向继续游，求这个人游100 m之内能够到达南岸边的概率．知识点二与面积有关的几何概型例2在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm，6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖．设投镖击中线上或没有投中木板都不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？点评在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，然后利用公式P(A)＝构成事件A的区域面积来计算事件的概率．试验的全部结果构成的区域面积变式迁移2两个对讲机持有者莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机接收范围为25公里，在下午3∶00时莉莉正在基地正东距离基地30公里以内的某处向基地行驶．而此时霍伊正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试计算他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？知识点三与体积有关的几何概型问题例3在1升高产小麦种子中混入了1粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则“取出的种子中含有麦锈病的种子”的概率是多少？点评如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积．其概率的计算P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.变式迁移3有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．1．几何概型与古典概型的异同点(1)相同点古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的．(2)不同点①古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．②在古典概型中，概率为0的事件为不可能事件，概率为1的事件是必然事件，而在几何概型中概率为0的事件可能发生，概率为1的事件不一定发生．2．几何概型计算步骤(1)判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概型更难于判断．(2)计算基本事件的总体与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)．这是计算的难点．(3)利用概率公式计算.课时作业一、选择题1．两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.16 2．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则豆子落在红色区域和落在黄色或绿色区域的概率分别是( )A.13，23B.13，16C.16，13D.23，343．在正方形ABCD 内任取一点P ，则使∠APB >90°的概率是( )A.π8B.π4C.π16D.π24．在半径为1的半圆内，放置一个边长为12的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，落在正方形内的概率为( )A.12B.14C.14πD.12π5．在区间(10,20－1,20,30,2内来到车站，故Ω＝{x |t －5<x ≤t }，欲乘客候车时间不超过3 min ，必有t －3≤x ≤t ，所以A ＝{x |t －3≤x ≤t }，所以P (A )＝A 的度量Ω的度量＝35＝0.6. 答 乘客候车时间不超过3 min 的概率为0.6.变式迁移1 解如图所示，某人从B 沿北偏东45°方向游了100 m 到达O 点处．由图可知，∠OBA ＝45°，OA ＝OB ＝100 m ，在点O 处只有向阴影方向游100 m 之内才能到达岸边，故所求的概率为P ＝90°360°＝14. 例2 解 S 正方形＝16×16＝256(cm 2)，S 小圆＝π×22＝4π(cm 2)，S 圆环＝π×42－π×22＝12π(cm 2)，S 大圆＝π×62＝36π(cm 2)，S 大圆外＝16×16－36π＝(256－36π)(cm 2)，则(1)投中大圆的概率P (A 1)＝36π256≈0.442. (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率为P (A 2)＝12π256≈0.147. (3)投中大圆之外的概率为P (A 3)＝256－36π256＝1－36π256＝1－P (A 1)≈0.558. 变式迁移2 解 设x 和y 分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x ≤30,0≤y ≤40.则他俩所有可能的距离的数据构成有序数对(x ，y )，这里x ，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为试验的全部结果，每一个点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈这一事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生，因此构成该事件的点由满足不等式x 2＋y 2≤25的数对组成，此不等式等价于x 2＋y 2≤625.图中，长和宽分别为40和30的矩形区域表示试验的所有结果构成的区域，以25为半径的14圆的区域表示事件发生的区域，而矩形的面积为30×40＝1 200(平方公里)，而扇形的面积为14π×252＝625π4(平方公里)，故所求事件成功的概率为 P ＝625π4×1 200＝625π4 800＝25π192. 例3 解 取出10毫升种子，其中“含有麦锈病种子”记为事件A ，则P (A )＝取出的种子体积所有种子体积＝101 000＝0.01. 所以“含有麦锈病种子”的概率为0.01.变式迁移3 解 记“小水杯中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出水的体积有关，符合几何概型的条件，又μA ＝0.1升，μΩ＝2升，所以由几何概型的概率公式，得P (A )＝μA μΩ＝0.12＝0.05. 课时作业1．B2．A3．A4．D5．C 6.113解析 由题意得，区域D 所对应的面积是大正方形的面积S 大＝13，事件A ＝{飞镖落在阴影部分}对应的区域面积是阴影部分(小正方形)的面积，S阴＝(13－22－2)2＝1，所以P (A )＝113. 7.7138.23解析 由|x |≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23. 9．解 如图所示，在CB 上取点M 0，使∠CAM 0＝30°，设BC ＝a ，则CM 0＝33AC ＝33BC ＝33a . 于是有P (∠CAM <30°)＝CM 0CB ＝33a a＝33. 10．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。
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3.3.1 几何概型教材剖析：和古典概型同样，在特定情况下，我们能够用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材第一经过实例对照观点赐予描绘，而后经过平均随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的 P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更为系统和完好．这节内容中的例题既平常易懂，又拥有代表性，有益于我们的教与学生的学．教课重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法预计未知量；教课难点是突出用样本预计整体的统计思想，把求未知量的问题转变为几何概型求概率的问题．教课目的： 1. 经过这节内容学习，让学生认识几何概型，理解其基本计算方法并会运用．2.经过比较前方学过的知识，让学生自主思虑，找寻几何概型的随机模拟计算方法，设计预计未知量的方案，培育学生的实质操作能力．3.经过学习，让学生领会试验结果的随机性与规律性，培育学生的科学思想方法，提升学生对自然界的认知水平．教课重点与难点：是随机模拟部分．这节内容的教课需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例 2 中的随机撒豆子的模型等．教课中应该注意让学生实质着手操作，以使学生相信模拟结果的真切性，而后再经过计算机或计算器产生平均随机数进行模拟试验，获得模拟的结果．随机模拟的教课中要充足使用信息技术，让学生亲身着手产生随机数，进行模拟活动．教课过程：一、问题情境如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ地区时，甲获胜，不然乙获胜．问题：在以下两种状况下分别求甲获胜的概率．二、成立模型1. 提出问题第一指引学生剖析几何图形和甲获胜能否相关系，若相关系，和几何体图形的什么表面特点相关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积相关．即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B 与 N 的次序，结果能否发生变化？（教师还可做出其余变换后的图形，以示决定几何概率的要素确实定性）．题中甲获胜的概率只与图中几何要素相关，我们就说它是几何概型．注意：（ 1）这里“只”特别重要，假如没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其余要素相关，这是错误的．（2）正确理解“几何要素”，一般说来指地区长度（或面积或体积）．2.指引学生议论归纳几何概型定义，教师清晰———抽象归纳假如每个事件发生的概率只与组成该事件地区的长度（面积或体积）成比率，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式以下：3.再次提出问题，并组织学生议论（1）情境中两种状况下甲获胜的概率分别是多少？（ 2）在 500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机拿出2ml 水样放到显微镜下察看，求发现草履虫的概率．（3）某人午觉悟来，发现表停了，他翻开收音机，想听电台报时，求他等候的时间不多于 10min 的概率．经过以上问题的商讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．三、典型例题1. 假定你家订了一份报纸，送报人可能在清晨6： 30～ 7： 30 之间把报纸送到你家，而你父亲走开家去工作的时间在清晨7：00～ 8：00 之间，问你父亲在走开家前能获得报纸（称为事件 A ）的概率是多少．剖析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．解法 1：如图，方形地区内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲走开家去工作的时间．假定随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以切合几何概型的条件．依据题意，只需点落到暗影部分，就表示父亲在走开家前能获得报纸，即事件 A 发生，所以解法 2：设 X ， Y 是 0～ 1 之间的平均随机数．X ＋ 6.5 表示送报人送到报纸的时间，Y ＋7 表示父亲走开家去工作的时间．假如Y ＋7＞ X＋，即 Y ＞ X －，那么父亲在走开家前能获得报纸．用计算机做多次试验，即可获得P（ A）．教师指引学生独立解答，充足调换学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展现自己的解答过程，要修业生说明解答的依照．教师总结，并清晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．重申：这里采纳随机数模拟方法，是用频次去预计概率，所以，试验次数越多，频次越靠近概率．2.如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此预计圆周率的值．解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个地区的豆子数与这个地区的面积近似成正比，即假定正方形的边长为2，则因为落在每个地区的豆子数是能够数出来的，所以这样就获得了π的近似值．此外，我们也能够用计算器或计算机模拟，步骤以下：（1）产生两组 0～ 1 区间的平均随机数， a1＝ RAND ， b1＝RAND ；（2）经平移和伸缩变换， a＝（ a1－） *2 ， b＝（ b1－） *2 ；（ 3）数出落在圆内a2＋ b2＜ 1 的豆子数 N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．能够发现，跟着试验次数的增添，获得π的近似值的精度会愈来愈高．本例启迪我们，利用几何概型，并经过随机模拟法能够近似计算不规则图形的面积．［练习］1.如图 30-4，假如你向靶子上射 200 镖，你希望多少镖落在黑色地区．2.利用随机模拟方法计算图 30-5 中暗影部分（ y＝ 1 和 y＝ x2围成的部分）的面积．3.画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．作业：课本几何概型课前预习教案一、预习目标1.认识几何概型，理解其基本计算方法并会运用．2.经过比较前方学过的知识，让学生自主思虑，找寻几何概型的随机模拟计算方法，设计预计未知量的方案，培育学生的实质操作能力．二、预习内容1.，简称为几何概型．2.在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式以下：3.议论：（1）情境中两种状况下甲获胜的概率分别是多少？（ 2）在 500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机拿出2ml 水样放到显微镜下察看，求发现草履虫的概率．三、提出迷惑同学们，经过你的自主学习，你还有哪些迷惑，请把它填在下边的表格中迷惑点迷惑内容课内研究教案一、学习目标：认识几何概型，理解其基本计算方法并会运用．学习重点与难点：几何概型的计算方法．二、学习过程：例 1. 假定你家订了一份报纸，送报人可能在清晨6：30～ 7： 30 之间把报纸送到你家，而你父亲走开家去工作的时间在清晨7：00～ 8： 00 之间，问你父亲在走开家前能获得报纸（称为事件 A ）的概率是多少．剖析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．解法 1：解法 2：例 2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此预计圆周率的值．解：用计算器或计算机模拟，步骤以下：（1）（2）（3）三、反省总结1、数学知识：2、数学思想方法：四、当堂检测一、选择题1.取一根长度为 3 m 的绳索，拉直后在随意地点剪断，那么剪得两段的长都不小于 1 m 的概率是 .1 B. 1C.1A. D.不确立2342.已知地铁列车每 10 min 一班，在车站停 1 min. 则乘客抵达站台立刻乘上车的概率是A. 1B.1C.1D.11091183.在 1 万 km 2的海疆中有 40 km 2的大陆架储藏着石油，若是在海疆中随意一点钻探，钻到油层面的概率是 .A.111D.1 251B. C.249250252二、填空题1.以以下图，在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.2cm3cm2.以以下图，在一个边长为a、 b（ a＞ b＞ 0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为1a 与1a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为3 2________.13 ab12 aa三解答题1 在等腰 Rt△ ABC 中，在斜边AB 上任取一点M，求 AM 的长小于AC 的长的概率 .答案一、选择题二、填空题1.42.5912三、解答题解：在 AB 上截取 AC′ = AC，于是 P（ AM ＜ AC） =P（ AM ＜AC）CAM C'B=答： AM 的长小于 AC 的长的概率为2. 2AC AC2 AB AB2课后练习与提升1．两根相距 6 m 的木杆上系一根绳索，并在绳索上挂一盏灯，则灯与两头距离都大于 2 m 的概率是 ________.2. 以以下图，在直角坐标系内，射线线落在∠ xOT 内的概率是 ________.OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射yA TO x3. 以以下图，在半径为1 的半圆内，搁置一个边长为1的正方形ABCD ，向半圆内任2投一点，该点落在正方形内的概率为_________.DA CB4. 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机拿出10 mL，含有麦锈病种子的概率是多少？。
人教新课标版数学高一人教B版数学必修三导学案 -随机现象事件与基本事件空间
3.1.1．随机现象3.1.2．事件与基本事件空间一、学习目标：了解：随机现象和必然现象,明确试验的含义理解：不可能事件,必然事件,随机事件,基本事件,基本事件空间的概念应用：理解新概念,反思生活中的实例二、知识探究：问题1：必然现象的关键词是______, 即在一定条件下______发生某种结果的现象. 比如：问题2：随机现象的特点是什么？1结果的性2 各种结果在数量上呈一定的性问题3：你知道实验和试验的区别吗?问题4：什么是随机事件,必然事件,不可能事件? 你能举出些与众不同的实例吗?问题5：什么样的事件是基本事件？问题6：基本事件空间是什么？三、能力探究题型1随机现象和必然现象含义的理解例1.判断下列哪些是随机现象？（1）高一3班运动会总分排名第一；（2）王瑞同学早自习迟到；（3）杆石桥路口单位时间通过10辆奥迪；（4）郭店2012年4月1日刮西北风；（5）当x是实数时，x的平方≥0;（6）手电筒的电池没电，灯泡发亮；（7）一个电影院某天的上座率超过50%.（8）标准大气压下，100摄氏度的水沸腾题型2随机事件,必然事件,不可能事件的判断例2.从12个苹果手机中任意抽取出3个，其中10个正品，2个次品，下列事件：A．3个都是正品 B.至少有一个是次品C．3个都是次品D．至少有一个正品E．有1个正品F．有2个次品G．至多有2个次品H .没有次品K.没有正品，其中随机事件有不可能事件有必然事件有第一页题型3. 基本事件与基本事件空间的理解例3.将数字1，2，3任意排成一排，写出该试验的基本事件空间例4.投掷两枚硬币，观察朝上的面，写出基本事件空间例5.投掷两颗骰子，用（x,y）表示结果，x,y分别代表第一和第二颗骰子出现的点数，写出1）事件“出现点数之和大于8”2）事件“出现点数相等”3）事件“出现点数均为偶数”4) 事件“点（x,y）在直线y=x的上方区域内”四、探究应用1．投掷三枚硬币，观察朝上的面，该试验基本事件总数为2．投掷两颗骰子，观察点数，基本事件总数为可思考：投掷三颗呢？四颗呢？3. 从A，B，C，D，E，F6名同学中选出4人参加数学趣味赛，1）写出该试验的基本事件空间2）写出“A没被选中”所包含的基本事件可思考3）如果题目改为选出2人参加，基本事件空间总数是多少？你的所悟是什么？五、回顾总结1．本节的新概念你知道有几个？谁记的最多？2．本节的方法你学到了哪些？是解决什么问题的？第二页六、课后作业（一）课本习题（二）双基达标1．下列现象是随机现象的是（）A.太阳从东边升起B买彩票中奖. C水结冰体积变小. D.三角形内角和为180度2．下列事件中，必然事件是（）A. 10人中至少2人生日在同一月B.11人中至少2人生日在同一月C.13人中至少有2人是同一个星座D.12人中至少有2人是同一个星座3．一盒有9个球标号分别为1，2，3，…,9，从中摸出一球，观察标号，则这个试验的基本空间总数是（）A. 10 B 9 . C 6. D.1．4．在1到10这10个数字中，任取3个数字，那么事件“这3个数字之和大于6”是（）A. 必然事件 B.随机事件 C. 不可能事件 D.以上均不是5．在10件同类产品中，8件是正品，2件是次品，从中任意抽取3件的必然事件是( ) A．3件都是正品 B.至少有1件是次品 C. 3件都是次品 D.至少有1件是正品6.投掷两颗骰子，点数之和为8的事件包含的基本事件有_______个7. 从甲，乙，丙，丁中任选3人当代表，其基本事件空间为_____________________________8.袋中白球1个，红球1个，每次任取1个，有放回的取3次，基本事件空间为：9.一盒放5个相同的球，分别标有号码1，2，3，4，5。
人教新课标版数学高一数学人教B版必修3学案 3.1.3 频率与概率
3.1.3 频率与概率自主学习学习目标理解概率的统计定义，掌握频数、频率和概率的含义，结合实例，分析随机事件的频数、频率和概率．自学导引1．概率的统计定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn，当n 很大时，总是在某个________附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度____________，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作____________．2．概率的性质(1)____≤P (A )≤____.(2)必然事件A 的概率P (A )＝____. (3)不可能事件A 的概率P (A )＝____.3．概率是可以通过________来“测量”的，或者说频率是概率的一个________，概率从________上反映了一个事件发生可能性的大小．对点讲练知识点一 概率的概念例1 某种病的治愈率是0.3，那么，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？该如何理解治愈率是0.3呢？点评 只有正确理解概率的含义，才能澄清日常生活中出现的一些错误认识． 变式迁移1 如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于12，这种理解正确吗？知识点二 频率与概率例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率mn(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？点评 概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得． 变式迁移2 一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数n 5 5449 60713 520 17 190 男婴数m2 8834 970 6 9948 892(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)； (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？知识点三概率的应用例3为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅作上记号(不影响其存活)，然后将其放回保护区，经过一段时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．点评由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以，可用样本出现的频率来近似地估计总体中该结果出现的概率．变式迁移3种子公司在春耕前为了支持农业建设，采购了一批稻谷种子，进行了种子发芽试验．在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽．(1)计算“种子发芽”这个事件发生的频率；(2)若用户需要该批稻谷种芽100 000粒，需采购该批稻谷种子多少公斤(每公斤约1 000粒)?(1)概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们平时所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不肯定性与积累结果的规律性，才是概率意义下的“可能性”，而日常生活中的“可能”“估计”侧重于某次的偶然性．(2)概率与频率关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率.课时作业一、选择题1．据测算，在“福彩”30选7型活动中，中500万大奖的概率为二百万分之一，这说明()A．买一张彩票不可能中得500万大奖B．只要购买二百万元彩票，就一定会中得500万大奖C．500万大奖根本不存在D．买一张彩票即中得500万大奖的可能性几乎为零2．某市对该市观看中央台播放的2011年春节联欢晚会进行统计，该市收视率为65.4%，这表示( )A ．该市观看该节目的频数B ．在1 000户家庭中总有654户收看该节目C ．反映该市观看该节目的频率D ．该市收看该节目共有654户3．某人进行打靶练习，他打了10发，结果有6发中靶，若用A 表示中靶这一事件，则A 的( )A ．概率为35B ．频率为35C ．频率为6D ．概率接近0.64．某汽车交易市场共发生了150项交易，将销售记录按付款方式及汽车类型加以区分如下：如果从销售记录中随机抽取一项，该项是分期付款的概率大约是( ) A ．0.95 B ．0.5 C ．0.8 D ．0.255．根据山东省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某配镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为( )A ．374副B ．224.4副C ．不少于225副D ．不多于225副二、填空题6．一对夫妇前两胎生的都是男孩，则第三胎生一个女孩的概率是________．7．下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率就是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n 次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，其中正确的说法有________．8．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间是从某年5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．三、解答题9．(1)某厂一批产品的次品率为110，问任意抽取其中10件产品是否一定会发现一件次品？为什么？(2)10件产品中次品率为110，问这10件必有一件次品的说法是否正确？为什么？10．下面的表中列出了10次抛掷硬币的试验结果，n 为抛掷硬币的次数，m 为硬币正面向上的次数．计算每次实验中“正面向上”这一事件的频率，并考查它的概率．实验 序号 抛掷的次数n正面向上 的次数m “正面向上” 出现的频率1 500 2512 500 2493 500 2564 500 2535 500 2516 500 2467 500 2448 500 2589 500 262 105002473．1.3 频率与概率自学导引1．常数 越来越小 P(A) 2．(1)0 1 (2)1 (3)0 3．频率 近似 数量 对点讲练例1 解 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是30%，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数量的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的；因此前7个人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也有可能没有治愈．治愈的概率是0.3，是指如果患病的人有1 000人，那么我们根据“治愈的频率应在治愈的概率附近摆动”这一前提，就可以认为这1 000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了在大量重复试验条件下，随机事件发生的频率是稳定性．变式迁移1 解 这种理解是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”，“反面向上”的可能性都为12，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是12，而不会大于12.例2 解 (1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88，0.92，0.89，0.91.(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89. 变式迁移2 解 (1)①第一年内：n 1＝5 544，m 1＝2 883，故fn 1(A)＝m 1n 1≈0.520 0.②第二年内：n 2＝9 607，m 2＝4 970.故fn 2(B)＝m 2n 2≈0.517 3.③第三年内：n 3＝13 520，m 3＝6 994，故fn 3(C)＝m 3n 3≈0.517 3.④第四年内：n 4＝17 190，m 4＝8 892，故fn 4(D)＝m 4n 4≈0.517 3.(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.例3 解 设该自然保护区中天鹅的数量为n ，则200n ≈20150，n ≈1 500.所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．变式迁移3 解 (1)“种子发芽”这个事件发生的频率为1 9622 000＝0.981.(2)100 000×10.981÷1 000＝102(公斤)．课时作业 1．D 2．C 3．B 4．C 5．C 6．0.5 7．①④⑤ 8．3%9．解 (1)不一定，此处次品率即指概率．从概率的统计定义看，当抽取件数相当多时，其中出现次品的件数与抽取总件数之比在110附近摆动，110是随机事件结果，而不是确定性数字结果，事实上这10件产品中有11种可能：全为正品，有1件次品，2件次品，…，10件次品，本题若改为“可能有一件次品”便是正确的了．(2)正确．这是确定性数学问题．10．解 由f n (A)＝n An ，可分别得出这10次实验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512，0.506，0.502,0.492,0.488,0.516,0.524，0.494，这些数字在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”的概率为0.5.。
人教新课标版数学高一人教B版数学必修三导学案 3.1.3频率与概率
3.1.3频率与概率一、梯度目标（学习要求）了解：频率和概率的含义理解：频率和概率的区别与联系应用：能够理解概率在实际应用中的含义二、知识探究问题1：什么是频率?问题2：概率的概念是什么?问题3：概率和频率的区别和联系是什么? 你能否形象地解释你的理解？三、能力探究题型1 对概率概念的理解例1：如何理解“明天北京的降雨概率为60%，济南的降雨概率为90%”，北京降雨而济南没有，有没有这种可能？试从概率的角度加以分析例2．某医院治疗某种疾病的治愈率为10%，现有10人前来就诊，前9人都未治愈，那么第10个人一定能治愈吗？如何理解10%？题型2 频率与概率的关系及求法例3.为了测试贫困和发达地区同龄儿童的智力水平，出了10个题每题10分，统计如下：贫困地区：参加人数30 50 100 200 500 800，60分以上人数16 27 52 104 256 402 ，则60分以上频率分别为发达地区：参加人数为30 50 100 200 500 800 ，60分以上人数为17 29 56 111 276 440 ，则60分以上频率分别为1）利用计算器求出各个频率（填在前面的横线上）2）求两地区参加测试的儿童得60分以上的概率3）试分析贫富差距带来人的智力差别的原因例4．将一枚硬币掷1000次，正面朝上的频数最接近__________次四、回顾总结1．这节课你弄清楚了几个概念，举生活实例说明一下？2．生活中还有没有让你困惑的，关于概率方面的问题，提出来大家探讨一下？五、课后作业(一)课后习题（二）双基达标1.天气预报，预报“明天降水概率为85％”，是指（）A.明天有85％的地区降水，其他15％的地区不降水B.明天该地区约有85％的时间降水，其他时间不降水C.气象台的专家中，有85％的人认为会降水，另外15％的专家认为不降水D.明天该地区降水的可能性为85％2.下列叙述, 说法正确的是（）A.频率就是概率B.频率是客观存在的，与试验次数无关C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的，在试验前不能确定3.一枚硬币连掷10次，正面朝上出现6次，用A表示正面朝上这一事件，则A的（）A.概率为6B.频率接近0.6C.频率为0.6D.概率是0.64. 某医院治疗某种疾病的治愈率为20%，前4人都未治愈，那么第5个人的治愈率为（）A1 B 0 C 20% D 10%5.射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数分别为10 20 100 200 500，击中靶心次数分别为8 19 92 178 455 ，频率分别为___ ___ ___ __ ____ 根据表中有关数据，指出这位射手击中靶心的频率和概率.6.（1）某厂一批产品的次品率为10%，问任意抽取其中10件产品是否一定会发现一件次品？为什么？（2）10件产品中次品率为10%，问这10件产品中必有一件次品的说法是否正确？为什么？（三）综合提高7．有一个容量为66的样本，数据的分组及频数分别如下：[11.5，15.5）2 [15.5，19.5）4 [19.5，23.5）9 [23.5，27.5）18 [27.5，31.5）11 [31.5，35.5）12 [35.5，39.5）7 [39.5，43.5）3 ，根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5）的概率是_________8. 38班班主任对全班50名同学进行了作业量多少的调查，数据如下：认为作业多作业不多总数喜欢电脑游戏18 9 27不喜欢电脑游戏8 15 23总数26 24 50如果校长随机地问这个班的一名同学，下面事件发生的概率是多少，如果是你，你回答多少？1）认为作业多2)喜欢电脑游戏并认为作业不多另外，这些数据你怎么看待？9．某产品质量指标值越大，说明质量越好，且大于或等于102位优质产品，现用配方A 和配方B做试验，各生产100件，测量如下：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94,98）[98, 102）[102,106）[106, 110）频数分别为8，20 ，42 ，22，8。
人教新课标版数学高一数学人教B版必修3学案 2.3 变量的相关性1
2.3变量的相关性【入门向导】西方流传的一首民谣丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国．马蹄铁上一个钉子是否丢失与一个帝国存与亡关系有多大呢？显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述，那么这究竟是一种什么样的关系？相关关系我们可以从以下三个方面加以认识：(1)相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系．(2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，还可能是伴随关系．(3)函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化．例1有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中是相关关系的是________．解析②⑤中两变量间的关系是函数关系；①③④中两变量的关系是非确定性关系，是相关关系．答案①③④将样本中的n个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中，就得到了散点图．根据散点图中点的分布趋势可直观地判断并得出两个变量的关系．散点图定义在具有相关关系的两个变量基础上，借助散点图，我们可以看两个变量关系的密切程度，进行相关回归分析．如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们称正相关；如果散点图中的点散布在左上角到右下角的区域，我们称为负相关．例2x 24568y 30 40 6050 70试就此数据判断x 与y 之间是否有相关关系． 分析 怎样看两变量之间是否有相关关系呢？从数据表中看得出来吗？目前，简明直观的方法是画出散点图．解 根据所给数据，画出散点图如下图．由图可知，这些点大致位于一条直线的附近，故知广告支出费x 与销售额y 之间具有相关关系．在观察散点图特征时，我们会发现有时各点大致分布在一条直线的附近，且可以画出不止一条类似的直线，而最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征，即为n 个偏差的平方和最小．设所求直线方程y ^＝a ＋bx ，其中a ，b 是待定系数，则y ^i ＝a ＋bx i (i ＝1,2，…，n )．于是得到各个偏差y i －y ^i ＝y i －(bx i ＋a )(i ＝1,2，…，n )．显然，偏差y i －y ^i 的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，故采用n 个偏差的平方和Q ＝∑n i ＝1(y i －bx i －a )2.采用最小二乘法可求出使Q 为最小值时的a 和b . b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2， a ^＝y －b ^x ， 其中x ＝1n ∑n i ＝1x i ，y ＝1n ∑ni ＝1y i.x 151152153154156157158160160 162 163 164 y40 41 41 41.5 42 42.5 43 44 45454645.5(1)画出散点图；(2)如果变量x 、y 有线性关系，求出回归直线方程. 解 (1)画出散点图．(2)由(1)得变量x 、y 具有线性相关关系．用计算器求得回归直线方程：y ^＝0.450x －27.759.1．散点图及回归直线方程在实际中的应用有误例1 有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一人均GDP (万元) 10 8 6 4 3 1 患白血病 的儿童数351312207175132180(1)画出散点图，并判定两个变量是否具有线性相关关系；(2)通过计算可得两个变量的回归直线方程为y ^＝23.25x ＋102.25，假如一个城市的人均GDP 为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？错解 (1)根据表中数据画出散点图，如图所示，从图可以看出，虽然后5个点大致分布在一条直线的附近，但第一个点离这条直线太远，所以这两个变量不具有线性相关关系．(2)将x ＝12代入y ^＝23.25x ＋102.25， 得y ^＝23.25×12＋102.25＝381.25>380， 所以上述断言是正确的．错解辨析 在第(1)问中，是否具有线性相关关系，要看大部分点、主流点是否分布在一条直线附近，个别点是不影响“大局”的，所以可断定这两个变量具有线性相关关系．在第(2)问中，381.25只是一个估计值，由它不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．如果这个城市的污染很严重，有可能人数远远超过380，若这个城市的环境保护的很好，则人数就有可能远远低于380.正解 (1)根据表中数据画散点图，如错解图所示，从图可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．(2)将x ＝12代入y ^＝23.25x ＋102.25，得y ^＝23.25×12＋102.25＝381.25>380，即便如此，但因381.25只是一个估计值，会受其他情况的影响，所以不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．2．忽略线性相关关系的判断致误在学习本章内容时，很多同学总是认为，只要是给出数据，就一定存在线性相关关系，当然一定可以求回归直线方程；其实不然，并非给出数据，就有线性相关关系，即便是求出回归直线也不一定有价值．例2 假设关于某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：x /年 123456y /万元5.0 0.8 0.56.57.0 1.2根据资料判断y 对x 是否呈线性相关关系？若存在，借助回归直线方程估计使用年限为10年时，维修费用大约是多少？若不存在，请根据资料，求出第二年到第五年维修费用总共是多少？错解 由于x ＝3.5，y ＝3.5，∑6i ＝1x 2i ＝91， ∑6i ＝1x i y i ＝76.3， b ^＝∑6i ＝1x i y i －6x y ∑6i ＝1x 2i －6x 2＝2.817.5＝0.16， a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.16×3.5＝2.94， 于是回归直线方程为y ^＝0.16x ＋2.94，当x ＝10(年)时，y ^＝0.16×10＋2.94＝4.54(万元)．正解 先画出散点图，如下图所示．观察这个散点图，这些点没有分布在一条直线附近，所以y 对x 不呈线性相关关系． 由于第二年到第五年的维修费用表中已经给出，所以总费用W ＝0.8＋0.5＋6.5＋7.0＝14.8(万元)，即第二年到第五年的维修费用为14.8万元.1．数形结合的思想方法数形结合是统计内容中一个很突出的特点．获取了一个科学样本后，需要对样本数据进行整理分析，为了使样本的数据特征更直观，我们经常需要作图、读图，并精确地作出样本数据的频率分布直方图、茎叶图、折线图、散点图等，还要能理解各种图所包含的意义，通过图看出样本数据的分布状况、数据的变化趋势、变量间的关系，进而估计总体的状况．2．转化与化归的思想方法统计中充分体现出了转化与化归的思想方法，如部分与整体的转化，数与图的转化，随机性问题与确定性问题的转化等．统计的基本思想是用样本去估计总体，也就是用有代表性的一部分来估计整体的情况，这就反映出由部分向整体转化的思想．例 对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析 图(1)中的数据y 随着x 的增大而减小，因此变量x 与变量y 负相关；图(2)中的数据随着u 的增大，v 也增大，因此u 与v 正相关．答案 C1．(辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加______万元．解析 由题意知－(0.254x ＋0.321)＝0.254.答案 0.2542．(广东)某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.解析 儿子和父亲的身高可列表如下：父亲身高 173 170 176 儿子身高170176182设回归直线方程y ^＝a ^＋b x ，由表中的三组数据可求得b ＝1，故a ^＝y －b ^x ＝176－173＝3，故回归直线方程为y ^＝3＋x ，将x ＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案 1853．(威海模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (x3456y 2.53 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解 (1)散点图如下：(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋4×5＋6×4.5＝66.5. ∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x ·y ∑4i ＝1x 2i －4x 2＝66.5－4×3.5×4.586－4×4.52＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴y ^＝0.7x ＋0.35.(3)现在生产100吨甲产品用煤 y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴90－70.35＝19.65.∴降低19.65吨标准煤．。
2017-2018学年高中数学人教B版必修3 同步导学案：第3章 3-1 事件与概率 含答案 精品
（一）知识点讲解
基本概念：
1．必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
2．不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
3．确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
4．随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件．
发芽的粒数
2
4
9
60
116
282
639
1339
2715
发芽的频率
（1）完成上面表格：
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
4．某篮球运动员，在同一条件下进行投篮练习，结果如下表如示．
投篮次数
进球次数m
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
5．生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。
课题
3.1.1随机事件的概率，3.1.2概率的意义
总课时
1
教学要求
1．了解随机事件、必然事件、不可能事件及确定事件的概念；
人教版高中数学B版必修三导学案(全册)
学案：1.1.1-1.1.2算法与程序框图一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、【重点难点】1、体会算法的思想，了解算法的含义。
2、能说明解决简单问题的步骤，提高逻辑思维能力。
三、【学习目标】1、通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力，发展应用算法的能力。
问题的能力；2初步了解高斯消去法的思想四、自主学习1、算法的要求例1、写出二元一次方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩的算法例2：用数学语言写出对任意3个整数. ,,a b c 求出最大值的算法。
五、合作探究1.试写出判断直线0Ax By C ++=与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系算法。
2. 用数学语言写出对任意3个整数. ,,a b c 求出最小值的算法。
3正三棱锥S ABC -的侧棱长为l ，底面边长为a 写出求此三棱锥S ABC -体积的一个算法。
4.某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊及青菜中的一种，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃菜，设计过河的算法。
六、总结升华1、知识与方法：2、数学思想及方法：七、当堂检测（见大屏幕）导学案：1.1.3（1）算法的三种基本逻辑结构和框图表示一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、【重点难点】1、重点是利用三种逻辑结构编写框图；2、解决实际问题。
三、【学习目标】1、理解三种框图的逻辑结构；2、会利用三种逻辑结构编写框图；3、通过设计程序框图解决实际问题；四、自主学习1、框图的三种逻辑结构有哪些？例1、已知点00(,)p x y 和直线:0l Ax By C ++=，求点00(,)p x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d 的算法，及其程序框图。
人教新课标版数学高一人教B版数学必修三导学案 3.1.4概率的加法公式
3.1.4概率的加法公式一、学习目标了解：集合中的交,并,补在概率中的应用理解：互斥事件和对立事件的区别与联系，互斥事件的加法公式并熟练运用应用：利用互斥和对立事件求复杂事件的概率二、知识探究问题1：____________________________________ 叫做互斥事件1）互斥所研究的是两个或者_______事件的关系2）每个事件总是由几个基本事件组成的，从集合的角度讲，互斥事件就是它们的交集为___ 问题2：对立事件的概念是什么? 判断是否为对立事件的依据是什么？问题3：互斥事件和对立事件的区别和联系是什么?区别：联系：问题4：互斥事件的概率加法公式为：（1）___________________________________ （2）___________________________________三、能力探究题型1 互斥事件和对立事件的判断例1：投掷一颗骰子，观察点数.判断下列事件是否为对立事件：1）出现奇数与出现偶数2）数字大于4与数字小于4例2：某辩论小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛.指出下列事件哪些是对立事件，哪些是互斥事件. 1) 恰有1名男生与恰有2名男生2) 至少有1名男生与全是男生3) 至少有1名男生与全是女生4) 至少有1名女生与至少有1名男生5) 有1名男生与有1名女生互斥：对立：题型2 概率的加法公式例3：投掷一颗骰子，出现3点或者5点的概率是多少？例4 王瑞射击一次中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，求射击1次1）射中10环或者9环的概率2）至少射中7环的概率题型3 对立事件概率公式的应用例5 投掷两颗骰子，至少出现一个奇数点的概率是多少？题型4 利用互斥和对立事件求概率例6袋中12个球，红黑黄绿四色.任取1球，得到红球的概率是1/3，得到黑球或者黄球的概率是5/12，得到黄球或者绿球的概率也是5/12，求得到黑球，黄球，绿球的概率分别是多少？四、探究应用1．甲乙两人下棋，下成和棋的概率是1/2，乙获胜的概率是1/3，则乙不输的概率是__________2.一个箱子内有9张票，标号1到9，从中任取2张，至少有一个奇数号的概率是___________五、回顾总结1．本节课的概念有几个？易混淆的是哪些？你如何区分？2．本节课的公式你记住几个？什么情况下用该公式？3本节课你学到了哪些新方法？六、课后作业（一）课本课后习题（二）双基达标1. 判断下列事件是否是互斥事件，对立事件，并说明原因. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中（1）恰有1名男生和恰有2名男生；（2）至少有一名男生和至少有一名女生；（3）至少有一名男生和全是男生；（4）至少有1名男生和全是女生；2.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对3.从装有2个红球和2白球的口袋内任取2个球，那么互斥但不对立的两个事件是（）A.至少有1个白球，都是白球B.至少有1个白球，至少有1个红球C.恰有1个白球，恰有2个白球D.至少有1个白球，都是红球4.李锐在打靶，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）A至少有1次中靶B 两次都中靶C 两次都不中靶D只有一次中靶5.如果事件A,B互斥，那么（）A.A并B 是必然事件B. A补并B补是必然事件C. A补与B 补一定互斥D. A补与B补一定不互斥6．现有语文，数学，物理，化学，英语书5本，胡老师任取1本，是理科书的概率是___________7.在某一时期内，“母猪”河的年最高水位在各个范围内的概率如下：年最高水位（m）［8，10）0.1 ［10，12）0.28 ［12，14）0.38 ［14，16）0.08 ［16，18）0.16 计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：（1）［10，16）（2）［8，12）（3）［14，18）8.射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7 环、7环以下的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.。
人教版高一数学必修3复习导学案.docx
必修3第一章 § 3-1算法初步【课前预习】阅读教材P2—P33完成下面填空1 . 算法是指；2. 算法的特点是：、、、 _________________________3. 程序框有四种：、、、—4. 算法的三种基本逻辑结构：顺序结构： _______________________________________ 条件结构： _______________________________________ 循环结构： _______________________________________5. 算法的基本语句：【课初5分钟】课前完成下列练习：1、 下列不能看成算法的是（）A. 从长沙到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达B. 做红烧肉的菜谱C. 方程x 2-l=0有两个实根D. 求1+2+3+4+5的值,先计算1+2=3,再由于3+3=6, 6+4=10, 10+5=15,最终结果为 152、 将两个数a=8, b=17交换，使a=17, b=8,下面语句 正确一组是（）3、用二分法求方程X 2 -2 = 0的近似根的算法中①输入语句的格式: ②输出语句的格式: 表示.③赋值语句的格式: 表示.要用到的算法结构（）A.顺序结构B.条件结构C.循环结构D.以上都用4、判断下列给出的语句是否正确，将错误的语句 改正过来？(1) INPUT a;b;c (2) INPUT (3) PRINT A = 4(4) 3 = B (5) x + y = 0 (6) A = B强调（笔记）:【课中35分钟】边听边练边落实5、某位同学用WHILE 型语句和UNTIL 型语句分别设计了一个求! + - + - + ••• + —的值的程序，程2 3 100序如下：试判断是否正确？i=l sum=] WHILE i<100 sum =sum+l/ii=i+l WENDPRINT sum ENDPRINT sum END6、阅读下图的程序框图，若输入的〃是100,④条件结构及其算法语句的两种形式:7、下边为一个求20个数的平均数的程序，在横线 上应填充的是（）A. i>20B. i<20C. i>=20D. i<=201、 执行程序语句A 二20, A 二-A+10,最后A 二2、 写出下列程序的运行结果. (2) INPUT xIF x<10 THEN P=x*O.35 ELSEP=10*0.35+(x-10)*0.7 ENDIF PRINT P END若x=6』JP=； 若x=18测P= _______ .3、 求满足1+2+3+4+……+刀>560的最小自然数〃。
辽宁省庄河市高级中学人教B版高一数学必修三导学案：3.3.2随机数的含义与应用
3. 3.2几何概型及均匀随机数的产生一、教材分析1.几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，其概率计算原理通俗、简洁，对应随机大事及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积.2.假如一个随机试验可能消灭的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置，将随机大事转化为几何问题，即可利用几何概型的概率公式求大事发生的概率.二、教学目标（1）正确理解几何概型的概念； （2）把握几何概型的概率公式；（3）会依据古典概型与几何概型的区分与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； （4）了解均匀随机数的概念；（5）把握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题． 三、教学重点难点1、几何概型的概念、公式及应用；2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 四、学情分析五、教学方法1．自主探究，互动学习2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结怀疑→情境导入、呈现目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前预备1、通过对本节学问的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，把握数学思想与规律推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．七、课时支配：1课时 七、教学过程1、创设情境：在概率论进展的早期，人们就已经留意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必需考虑有无限多个试验结果的状况。
例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能消灭的结果都是无限多个。
2、基本概念：（1）几何概率模型：假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：1）试验中全部可能消灭的结果（基本大事）有无限多个；2）每个基本大事消灭的可能性相等．3、例题分析： 课本例题略例1 判下列试验中大事A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。
人教新课标版数学高一人教B版数学必修三导学案 用样本的频率分布估计总体的分布
2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布学习目标：1.学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图和茎叶图，并总结各自的特点2.感知应用数学知识解决问题的方法3.增强探索问题和解决问题的信心，享受成功的快乐 重点：列频率分布表，画频率分布直方图 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布：1.当天落实用20分钟左右的时间，阅读探究课本中的内容，熟记基础知识，自主高效预习。
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。
3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。
一． 教材助读1．频率分布是指一个样本数据在样本容量中所占比例的大小，一般可以用频率分布直方图反映样本的频率分布（在平面直角坐标中，横轴表示数据分组，即各组组距，纵轴表示频率）。
其一般步骤为：（1） 求极差，即计算 （2） 决定 （3） 将数据（4） 列 区间一般左闭右开 （5） 画频率分布直方图2.我们把反映总体频率分布的表格为频率分布表。
3.在频率分布直方图中，=⨯=组距组距小长方形的面积 ，且各小长方形的面积的总和等于 .4．连接频率分布直方图中 的中点，就得到频率分布折线图.5．在做频率折线图时随着所分的组数增加，组距减小，相应的 图会越来越接近于一条 ，称之为 .6．当数据是两位有效数字时，用 表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示 位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。
（见课本P63图2-5）二． 预习自测（自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”）1. 关于频率分布直方图中的有关数据，下列说法正确的是（ ）A.直方图中矩形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率B.直方图中矩形的高表示取某数的频率C.直方图中矩形的高表示该组上的个体数D.直方图中矩形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值2.用__________表示数据有很多优点：（1）所有的数据都可以从图中得到；（2）方便记录与表示3．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是：（）A．总体容量越大，估计越精确B．总体容量越小，估计越精确C．样本容量越大，估计越精确D．样本容量越小，估计越精确第三组的频数和频率分别是：（）A．14和0.14 B．0.14和14 C．1/14和0.14 D．1/3和1/14我的疑惑？（请你将预习中未能解决的问题和疑惑的问题写下来，待课堂上与老师同学探究解决）一．质疑探究---质疑解疑、合作探究(单位ｃｍ)(1)列出样本频率分布表﹔(2)画出频率分布直方图;(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.例2某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50. 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51.根据上图对两名运动员的成绩进行比较。
数学人教B版必修3导学案：§3.3 几何概型 Word版含解析
教学目标：1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.一、导入新课：1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.二、新课讲授：提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?撰稿教师：赵志岩结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P （正,正）=P （正,反）=P （反,正）=P （反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为214141=+. (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31, 于是事件A 发生的概率P(A)=31. 第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.三、知能训练：1.与长度有关的几何概型例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？2.与面积有关的几何概型例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的43,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？3.与体积有关的几何概型例4 在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？4.与角度有关的几何概型例6 在圆心角为90°的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.注意：在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.3.3.2 随机数的含义与应用------阅读教材110---114.。
高一数学人教b版必修3学案：3.4 概率的应用
§3.4 概率的应用【入门向导】大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等．除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A 、B 、C 、D 四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗？答案是否定的．假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上．经过计算，这种情况发生的概率非常小，相当于1 000亿个靠运气的考生仅有0.874人能通过．所以靠运气通过考试是不可能的．概率广泛应用于体育运动、管理决策、天气预报以及某些科学实验中，它在这些应用中起着极其重要的作用．(1)游戏的公平性：在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，也就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．如足球比赛前，裁判用抛硬币的方式来决定场地，由于抛掷一枚质地均匀的硬币“出现正面”和“出现反面”的概率都是0.5，因此这是公平的．(2)天气预报的概率解释：天气预报的“降水”是一个随机事件．“明天本地降水的概率是80%”是指本地降水的可能性是80%，而不是本地有80%的区域降水．(3)试验与发现：概率学知识在科学发展中起着非常重要的作用．例如，孟德尔豌豆试验，孟德尔经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，他认为其中一定有某种遗传规律，通过深入研究，得出了遗传学的一条重要的统计规律．例 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．错解一 化有可能结果有36个，其中含5点的结果有6个，含6点的结果有6个．∴至少有一个5点或6点的结果有12个．∴所求概率为1236＝13 错解二 事件A ：含有点数5，事件B ：含有点数6.则P (A )＝P (B )＝1136∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝1136＋1136＝1118. 错解辨析 错解一漏掉了部分基本事件；错解二误认为A 、B 是互斥事件.正解 同时抛掷两枚骰子，共有36种不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个．∴所求概率为P ＝2036＝59.长期以来，由于我国在数学教育中对概率统计内容的忽视，人们认为数学只能研究确定的对象，得出确定的结论，因此对于随机现象方面的数学很不习惯．现在，概率统计内容的学习将进入一个全面普及的阶段．我们逐渐认识到数学可以研究一些偶然现象后面的必然规律性，应该像对待推理论证、运算求解一样，把数据分析当作最普通、最基本的数学素养．不过，随机数学虽然有自己的思维方式，却仍然要使用一些确定性的数学工具．学习中要通过大量的试验了解随机数学发生发展的过程，这将有利于随机思想的接受与普及．例1某食品公司为新产品问世拟举办2004年国庆促销活动，方法是买一份糖果摸一次彩，摸彩的器具是黄、白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同．另有一只棱长约为30厘米密封良好且不透光的长方体木箱(木箱上方可容一只手伸入)．该公司拟按中奖率1%设大奖，其余99%则为小奖，大奖奖品的价值为400元，小奖奖品的价值为2元．请你按公司的要求设计一个摸彩方案．解本题并不要求计算中奖概率，而是在给定的中奖率条件下设计摸奖的方案，因此本题是个开放性问题，可以有多种构思，可谓“一果多因”．我们不妨提出了如下5个方案：方案一在箱内放置100个乒乓球，其中1个为黄球，99个为白球．顾客一次摸出一个乒乓球，摸到黄球为中大奖，否则中小奖．方案二在箱内放置15个乒乓球，其中2个为黄球，13个为白球，顾客摸球和中奖办法与方案2相同．方案三在箱内放置25个乒乓球，其中3个为黄球，22个为白球，顾客一次摸出2个乒乓球，摸到2个均为黄球为中大奖，否则中小奖．方案四在箱内放置10个乒乓球，其中3个为黄球，7个为白球，顾客一次摸出3个乒乓球或分几次摸，一次摸1个或2个，共摸出3个，不放回(考虑到儿童一次摸3个球比较困难)，如果摸出的3个乒乓球均为黄色即中大奖，否则中小奖．例2深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。
人教新课标版数学高一人教B版必修3导学案 分层抽样
一、课前准备（预习教材53页，找出疑惑之处）阅读教材完成下列问题:1.什么情况下进行分层抽样?应遵循什么要求?步骤有哪些?2.对于简单随机抽样､系统抽样､分层抽样你能找出哪些异同? 二、新课导学 创设情境假设某地区有高中生2400人,初中生10900人,小学生11000人,此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因,要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查,你认为应当怎样抽取样本? 三、自主学习(一)分层抽样的定义一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样｡ (二)分层抽样的步骤:探究交流(1)分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每层抽取若干个体构成样本,所以分层抽样为保证每个个体等可能入样,必须进行 ( )A ､每层等可能抽样B ､每层不等可能抽样C ､所有层按同一抽样比等可能抽样(2)如果采用分层抽样,从个体数为N 的总体中抽取一个容量为n 样本,那么每个个体被抽到的可能性为 ( )A.N 1B.n 1C.N nD.N n三、典型例题例1某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )A.15,5,25B.15,15,15C.10,5,30D.15,10,20例2 一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其中人口比例为3:2:5:2:3,从3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法?并写出具体过程｡(三)､简单随机抽样､系统抽样､分层抽样的比较。
数学同步新导学案人教B必修三讲义：第三章 概率 3.3_3.4 Word版含答案
3.3随机数的含义与应用3.4概率的应用学习目标 1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.2.会求一些简单的几何概型的概率.3.了解随机数的意义，能用计算机随机模拟法估计事件的概率.4.应用概率解决实际问题．知识点一几何概型的概念思考往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？答案出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．梳理1．几何概型的定义事件A理解为区域Ω的某一子区域A，如图，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．知识点二几何概型的概率公式思考既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？答案可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示．梳理几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝μAμΩ，其中，μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．知识点三均匀随机数1．随机数随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．2．计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法．1．与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)2．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)题型一几何概型的识别例1下列关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性答案 A解析几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件为有限个．反思与感悟几何概型特点的理解(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．跟踪训练1判断下列概率模型是古典概型还是几何概型．(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．解 (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型．(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．题型二 几何概型的计算 命题角度1 与长度有关的几何概型例2 某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率．解 如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T 1，T 2，T 1T 2＝15.设T 0T 2＝3，TT 0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A .则当乘客到站时刻t 落到T 1T 上时，事件A 发生．因为T 1T ＝15－3－10＝2，T 1T 2＝15，所以P (A )＝T 1T T 1T 2＝215. 引申探究1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率．解 由原题解析图可知，当t 落在TT 2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P ＝TT 2T 1T 2＝1315. 2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．解 由原题解析图可知，当t 落在T 0T 2上时，乘客立即上车，故所求概率P ＝T 0T 2T 1T 2＝315＝15. 反思与感悟 若一次试验中所有可能的结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A 发生的概率．跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为r (r ＜a )的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．解 记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A ，如图，由图可知，硬币圆心在线段AB 上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD (不含点C ，D )上出现时硬币不与平行线相碰，所以P (A )＝线段CD 的长度线段AB 的长度＝2a －2r 2a ＝a －r a .命题角度2 与面积有关的几何概型例3 设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求：(1)x ＋y ≥0的概率；(2)x ＋y ＜1的概率；(3)x 2＋y 2≥1的概率．解 如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)，S 正方形ABCD ＝4.(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝12. (2)设E (0,1)，F (1,0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝72， 所以P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFE S 正方形ABCD ＝724＝78. (3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π，所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙O S 正方形ABCD＝4－π4. 反思与感悟 如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．跟踪训练3 欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有一个边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是( )A.49πB.43πC.9π4D.3π4答案 A解析 ∵S 正方形＝1 cm 2，S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫322＝9π4(cm 2)， ∴P ＝S 正方形S 圆＝49π，故选A. 命题角度3 与体积有关的几何概型例4 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h 2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h 2. 设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S 4. 由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ， 区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝724Sh . 所以点M 到底面的距离小于h 2的概率为P ＝78. 反思与感悟 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π答案 D 解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.题型三均匀随机数及随机模拟方法例5在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.解随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积正方形的面积≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数.设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则圆的面积正方形的面积＝π2×2＝π4，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4.所以就得到了π的近似值．反思与感悟(1)用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大．(2)用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．跟踪训练5利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2所围成的图形的面积．解以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND；(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝698，所以P＝N1N＝阴影面积矩形面积＝6981 000，即阴影部分的面积S＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396.1．下列概率模型是几何概型的为()A．已知a，b∈{1,2,3,4}，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率B．已知a，b满足|a|≤2，|b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率C．从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，求甲被选中的概率D．求张三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天计算)答案 B解析对于选项B，a，b满足的条件为坐标平面内某一区域，涉及面积问题，为几何概型，其他三个选项均为古典概型．2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()A.13 B.12 C.14 D.16答案 B解析向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝△ABD的面积△ABC的面积＝12.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是()A.13 B.23C.43D．无法计算答案 C解析在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)＝S22＝S4＝13，解得S＝43.4．在200 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出20 mL 水样利用显微镜观察，则发现草履虫的概率是________． 答案 0.1解析 记“从200 mL 水中随机取出20 mL 水样利用显微镜观察，发现草履虫”为事件A ，则由几何概型的概率计算公式可得P (A )＝20200＝0.1. 5．在区间[0,1]上任取三个数a ，b ，c ，若向量m ＝(a ，b ，c )，求|m |≥1的概率． 解 ∵a ，b ，c ∈[0,1]，∴Ω＝{(a ，b ，c )|0≤a ≤1,0≤b ≤1,0≤c ≤1}构成的区域为单位正方体(其中原点O 为正方体的一个顶点)．设“|m |≥1”为事件A ，则A 表示“|m |＜1”，即a 2＋b 2＋c 2＜1，这样的点(a ，b ，c )位于单位正方体内，且在以原点为球心，1为半径的球内，V ′＝18×43π×13＝π6.又V 正方体＝1，∴P (A )＝V ′V 正方体＝π6， 因此P (|m |≥1)＝P (A )＝1－P (A )＝1－π6.1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题． 3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).一、选择题1．在区间(15,25)内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是( ) A.13 B.12 C.310 D.710 答案 C解析 ∵a ∈(15,25)，∴P (17<a <20)＝20－1725－15＝310.2．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，以AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( ) A.925 B.1625 C.310 D.15答案 D解析 以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P ＝210＝15.3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你立刻看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得立刻看到黄灯的概率为P ＝580＝116. 4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π4答案 A解析 由题意得，无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π2，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P ＝2－π22＝1－π4. 5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45 答案 C解析 设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm(0＜x ＜12)， ∴矩形面积为x (12－x )cm 2，由x (12－x )＜32，解得x ＞8或x ＜4， ∴0＜x ＜4或8＜x ＜12. ∴所求概率为4＋412＝23，故选C. 6．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 选项A 中，概率P ＝38；选项B 中，概率P ＝28＝14；选项C 中，概率P ＝26＝13；选项D 中，概率P ＝13，则概率最大的为A ，故选A.7．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <33AC 的概率为( )A.33 B.34 C.32 D.14答案 D解析 由题意，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，则AC ＝3AD ，即AD ＝33AC ，AB ＝3AC ＝3AD ，所以要使过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <33AC ，只要AM <AD 即可，由DA ＝DC ，得∠ACD ＝∠CAD ＝30°，所以AM <33AC 的概率为30°120°＝14.故选D. 二、填空题8．有一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m 的概率是________． 答案13解析 从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点．如图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，于是事件A 发生的概率P (A )＝13.9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________． 答案334π解析 设圆面半径为R ，如图所示，△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC ·OD ＝3·CD ·OD＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24，∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π.10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm ，黄心直径是12.2 cm ，运动员在距离靶面70 m 外射箭．假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么射中黄心的概率是________． 答案 0.01解析 由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，若要射中黄心，则中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的圆内，所以P ＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25，则圆O 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． 答案 16解析 因为圆心(0,0)到直线l 的距离为5，圆O 的半径为23，所以直线l 与圆O 相离．设l 0∥l 且圆心到l 0的距离为3，则满足题意的点A 位于l 0，l 之间的弧上(不在直线l 0上)，结合条件可求得该弧所对的圆心角为周角的16，由几何概型的概率计算公式可得P ＝16.三、解答题12．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，求使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率．解 在区间[－π，π]内随机取两个数记为(a ，b )，表示边长为2π的正方形边界及内部(正方形的中心为原点)．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，需4a 2＋4b 2－4π≥0，即a 2＋b 2≥π，表示以原点为圆心，π为半径的圆的圆周及外部，且在正方形的内部，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以有零点的概率为3π24π2＝34.13.如图，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解 弦长不超过1，故OQ ≥32，因为Q 点在直径AB 上是随机的，设事件A 为“弦长长度超过1”，由几何概型概率的计算公式得，P (A )＝32×22＝32.所以其对立事件A “弦长不超过1”的概率为P (A )＝1－P (A )＝1－32.四、探究与拓展14．在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________． 答案 1－π4解析 如图，要使图中点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率P ＝2－π22＝1－π4. 15．两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．解 设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约定地点(0≤x ，y ≤1)，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤23.(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－⎝⎛⎭⎫13212＝89.。
人教新课标版数学高一数学人教B版必修3学案 3.1 事件与概率
第三章概率§3.1事件与概率【入门向导】在第二次世界大战爆发初期，大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．为此，有位美国将领专门请教了几位数学家，数学家们分析后认为一定数量的船(如100艘)编队规模越小，则编次越多(如每个编次20艘，就要有5个编次)，与敌人相遇的概率就越大．美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口，结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件，有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件，在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件．对随机事件的理解应包含以下两个方面(1)随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；(2)随机事件可以重复地进行大量实验，每次实验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性．例1分析下面给出的五个事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)某地2月3日下雪；(2)函数y＝a x(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；(3)实数的绝对值不小于0；(4)在标准大气压下，水在1℃结冰；(5)a，b∈R，则ab＝ba.分析在一定条件下，看事件是否有可能发生．解(1)随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪．(2)随机事件，函数y＝a x，当a>1时，在定义域上是增函数，；当0<a<1时，在定义域上是减函数．(3)必然事件，实数的绝对值非负．(4)不可能事件，在标准大气压下，水在0℃结冰．(5)必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立．1．频率在相同的条件S 下重复n 次试验，若某一事件A 发生的次数为n A ，则事件A 发生的比例f n (A )＝n An 为事件A 发生的频率．2．概率一般地，对于给定的随机事件A ，在相同条件下，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们把这个常数记作P (A )，称为随机事件A 的概率．概率是用来度量随机事件发生的可能性的大小的量，能为决策提供关键性的依据．3．频率与概率的区别与联系(1)频率随着试验次数的变化而变化，是随机的，在试验前无法确定．而概率则是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关；(2)在实际应用中，只要次数足够多，所得的频率就可以近似地看作随机事件的概率； (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值． 例2 2004年雅典奥运会上，中国射击运动员王义夫在决赛中以0.2环的微弱优势战胜了俄罗斯运动员内斯特鲁耶夫，摘得该项目的金牌．下表是两人在参赛前训练中击中10环以上(包括10环)的次数统计：王义夫：射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中10环以上的次数 9 17 44 92 179 450 击中10环以上的频率射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中10环以上的次数 8 17 44 93 177 453 击中10环以上的频率请根据以上表格的数据回答以下问题：(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员击中10环以上的概率各是多少． 解 (1)两位运动员击中10环以上的频率分别为： 王义夫：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9； 内斯特鲁耶夫：0.8,0.85,0.88,0.93,0.885,0.906.(2)由(1)中的数据可知两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.9附近，且随着射击次数的增加，频率都稳定在0.9左右．所以可估计两人击中10环以上的概率均为0.9，也就是说两人的实力相当．对立事件和互斥事件是一对易混淆的概念．我们应从三方面加以区分：①从定义上加以区分，对立事件必是互斥事件，两个互斥或对立的事件不能同时发生，但对立事件有且只有一个发生，而互斥事件则可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生；②从集合的观点看，表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集；③两个对立事件的概率之和一定等于1，而两个互斥事件的概率之和小于或等于1.例3 假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一个炸弹，军火库发生爆炸的概率．解 因为只投掷了一个炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的． 令A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，则P (A )＝0.025，P (B )＝P (C )＝0.1.令D 表示军火库爆炸这个事件，则有D ＝A ＋B ＋C ，又因为A ，B ，C 是两两互斥事件，故所求概率为P (D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.1．对概率的意义理解错误例1 若某种彩票每1 000张设一张一等奖，那么买1 000张这种彩票一定中一等奖吗？错解 因为中一等奖的概率为11 000，所以买1 000张这种彩票一定中一等奖．正解 买1 000张这种彩票不一定中一等奖．2．混淆频率与概率例2 把一枚质地均匀的硬币连续掷1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，求掷一次硬币正面朝上的概率．错解 由题意，根据公式可知4981 000＝0.498.∴掷一次硬币正面朝上的概率是0.498.正解 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5.3．对互斥事件概念理解有误例3 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A 为“出现奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，求P (A ∪B )．错解 P (A ∪B )＝1.正解 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1，A 2，A 3，A 4，由题意知这四个事件彼此互斥．故P (A ∪B )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4) ＝16＋16＋16＋16＝23.气象台预报“本市明天的降雨概率是80%”，市民甲听了后说“本市明天将有80%的地区降雨”，市民乙听了后说“本市明天将有80%的时间降雨”，市民丙听了后说“明天出行不带雨具肯定要淋雨”，市民丁听了预报后第二天出门带了雨具但第二天该市并没有降雨，于是丁说“我市的天气预报也太不准确了”．这些市民的说法是否正确？显然降雨概率80%不是说有80%的地区降雨，也不是说有80%的时间降雨，而是指降雨的可能性为80%，故市民甲、乙的说法都是错误的．天气预报的“降雨”是一个随机事件，在一次试验中，概率为80%的事件可能发生，也可能不发生．因而市民丙说明天一定会下雨也是错误的，市民丁依据第二天没有下雨就说本市的天气预报太不准确也是不对的．在42位美国总统中，有两人的生日相同，三人的卒日相同，什尔克生于1795年11月2日，哈定则生于1865年11月2日；门罗卒于1831年7月4日，而亚当斯、杰佛逊都卒于1826年7月4日，还有两位总统的卒日都是3月8日：费尔莫死于1874年，塔夫脱死于1930年，这是巧合吗？这是历史上有名的生日问题，记n 为相关的人数，n 个人中至少有两人的生日在同一天的概率为P (A n102023304050P (A ) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97上表所列的内容足以引起多数人的惊奇，因为“至少两人生日相同”这一事件发生的概率，并不如大多数人直觉想像中的那样小，而是相当大．由表中可以看出，当人数是40时，“至少有两人生日相同”的概率为0.89，因此，在42位美国总统中，有两人生日相同，三人卒日相同，根本不是什么巧合，而是很正常的．所谓“化归”就是转化和归结，在解决数学问题时，人们常常将待解决的问题甲，通过某种转化，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题乙，然后，通过问题乙的解去求问题甲．例一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，则是互斥事件的有________．①恰有1件次品和全是次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品．解析设n为任取2件产品中次品的个数，则所有n的取值可构成集合U＝{n∈Z|0≤n≤2}．①中“恰有1件次品”，则此事件中n的取值构成集合P＝{1}．“全是次品”事件中n的取值构成集合Q＝{2}，由于P∩Q＝∅，故这两个事件互斥．②中“至少有1件次品”，则P＝{n∈Z|1≤n≤2}，“全是次品”，则Q＝{2}，由于P∩Q＝{2}≠∅，故不互斥．③中“至少有1件正品”，注意要把正品转化为次品，则Q＝{n∈Z|0≤n≤1}，“至少有1件次品”，则P＝{n∈Z|1≤n≤2}，由于P∩Q＝{1}≠∅，故不互斥．④中“至少有1件次品”，则P＝{n∈Z|1≤n≤2}，“全是正品”，则Q＝{0}，即没有次品，因为P∩Q＝∅，故这两个事件互斥．答案①④点评首先是搞清两事件互斥的概念，其次是将本题中的正品转化为次品．含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)＝1－P(A)进行求解.1．(2011·济南模拟)在一批产品中，有多于4件的次品和正品，从这批产品中任抽4件，事件A为抽取4件产品中至少有一件次品，那么A为()A．抽取的4件产品中至多有一件次品B．抽取的4件产品中恰有1件次品C．抽取的4件产品中没有次品D．抽取的产品中有多于4件的次品解析由对立事件的意义，“至少一件”的反面是“没有一件”．答案 C2．(2011·四川)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：15.5,19.5) 423.5,27.5)1831.5,35.5)1239.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为2266＝13.答案 B 3．(2011·重庆)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在114.5,124.5)内的样本数据为120,122,116,120，共4个，故所求频率为410＝25＝0.4. 答案 C。
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最新整理高一数学教案人教版B版高一数学必修三导
学案
导学案：3.4概率的应用
一、使用说明
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、重点难点
重点：应用概率解决实际问题；
难点：如何把实际问题转化为概率的有关问题.
三、学习目标
1、把实际问题转化为概率的有关问题，并用概率和数学的方法来分析问题和解决问题；
四、自主学习
例：为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响存活，然后放回水库，经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数。
五、合作探究
1、李炎是一位喜欢调查研究的好学生，他对高三年级的12个班（每班50人）同学的生日作过一次调查，结果发现每班都有三位同学的生日相同，难道这是一种巧合吗？
2、你能设计一个摸奖方案吗？
某食品公司为新产品问世拟举办国庆促销活动，方法是买一份糖果摸一次彩，摸彩的器具是黄、白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同。
另有一只棱长约为30厘米密封良好且不透光的长方体木箱（木箱上方可容一只手伸人）。
该公司拟按中奖率1%设大奖，其余99%则为小奖，大奖奖品的价值为400元，小奖奖品的价值为2元。
请你按公司的要求设计一个摸彩方案。
六、总结升华
1、知识与方法：
2、数学思想及方法：
七、当堂检测（见大屏幕）
导学案：章末复习
一、使用说明
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、知识结构
三、思考与交流
1、掷一颗骰子得到6点的概率是，是否意味着把它掷6次能得到一次6点？用概率的统计定义说明你的观点。
2、古典概型和几何概型的区别是什么，各自有什么特征？
四、巩固与提高：
1、从甲乙丙三人中任选两名代表，求甲被选中的概率。
2、若以连续投掷两次骰子，分别得到的点数m，n作为点P的坐标，求点P 落在外的概率。
3某班有50名学生，其中男女各25名，今有这个班的一名学生在街上碰到
另一名同班同学，试问：碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大？
4、两人独立地破译1份密码，已知甲破译密码的成功率是0.4，乙破译密码的成功率是0.3，甲乙同时破译密码的成功率是0.12，求该密码能被破译的概率。
5、把一个体积为64的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1的小正方体，从中任取一块，求这块有两面涂红漆的概率。
五、总结升华
1、知识与方法：
2、数学思想及方法：
六、当堂检测（见大屏幕）
必修三第三章概率测试题
一、选择题（3分×10=30分）
1、如果事件、是互斥事件，则[]
A、是必然事件
B、是必然事件
C、与一定互斥C、与一定不互斥
2、设、是互斥事件，它们都不发生的概率是且，则=[]
A、B、C、D、
3、一个家庭有三个小孩，所有可能的基本事件的个数是[]
A、4
B、6
C、8
D、10
4、平面上画有等距的平行线组，间距为，把一枚半径为的硬币随机掷在平面上，硬币与平行线相交的概率[]
A、B、C、D、
5、掷两个骰子，恰好出现一个点数比另一个点数大3的概率[]
A、B、C、D、
6、有100张卡片（从1号到100号），从中任取一张，取到的卡片是6或8的倍数的概率[]
A、0.24
B、0.23
C、0.15
D、0.14
7、掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为[]
A、B、C、D、
8、在区间（0，1）中，随机的取出两数，其和小于的概率[]
A、B、C、D、
9、A、B两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应该等候另一个一刻钟，过时即离开，两人能会面的概率[]
A、B、C、D、
10、3名代表都以相同的概率分配到4个单位中的任一个工作，则至少有2人被分配到同一单位工作的概率[]
A、B、C、D、
二、填空题（3分×5=15分）
11、在1万的海域中有40的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探时随机的，钻到石油层的概率是；
12、同学4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中各拿出一张贺卡，则贺卡不同的分配方法有种；
13、在平面直角坐标系中，点的且，则点在线的上方的概率；
14、将骰子先后各抛一次，用分别记录它们的点数，若落在不等式（为常数）所表示的区域内，设为事件A使，则的最小值为；。