2018年山东省济南市高考数学一模试卷(理科)(J)

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2018届山东省实验中学高三第一次模拟考试数学(理)试卷(word版)

2018届山东省实验中学高三第一次模拟考试数学试题(理科)2018.04说明：本试卷满分150分，分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷为第l 页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上。

书写在试题上的答案无效．考试时间120分钟．第I 卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题．每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．)1．设集合(){}{}22log 2,320=A A x y x B x x x C B ==-=-+<，则A ．()1-∞，B ．(]1-∞，C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．在复平面内，复数2312iz i-++对应的点的坐标为()2,2-，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设()(),11,2,x R a x b a b a b ∈=-⊥+=，向量且，则ABC ．D ．104．已知双曲线()221my x m R -=∈与抛物线28x y =有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为A ．13y x =±B ．3y x =±C ．y =D ．3y x =±5．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n = A ．2 B ．3 C ．4D ．56.已知()()(()0.10.841log ,log 3,log ,3f x a f b f c f xπ====，则A. b a c <<B. a b c <<C. c b a <<D. c a b <<7.某几何体的三视图如图所示，则它的最长棱长是A.2B.C.D.38.将函数()2cos cos 44g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变）后得到()h x 的图象，设()()214f x x h x =+，则()f x '的图象大致为9.如果6314ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x 项的系数为 A.392B. 392-C. 212-D.21210.已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为2,1,60AB AC BAC ==∠=，则此球的表面积等于 A. 5πB. 20πC. 8πD. 16π11.已知A,B 是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3,OAB AB FB S AB ∆==，则的值为 A.92B.29C.4D.212.已知偶函数()f x 满足()()()(]44,000,4f x f x f x +=-=∈且，当时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()[]20200200fx af x +>-在，上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围 A. 1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B. 1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D. 1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知实数,x y 满足约束条件5320,210x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-+≤⎩则3z x y =+的最小值为__________.14.在平面区域(){},02,04x y x y ≤≤≤≤内投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率为____________.15.在23ABC ABC π∆∠=中，，过B 点作BD ⊥AB 交AC 于点D ，如果1A B C D==，则AD=____________. 16.已知函数()()sin 0,0,2f x x a πωπϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭，直线()y a f x =与的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2，4，现有如下命题： ①该函数在[]24，上的值域是a ⎡⎤⎣⎦②在[]24，上，函数在3x =处取得最大值 ③该函数的最小正周期可以是83④函数()f x 的图象可能过原点以上正确的命题的序号是____________.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：60分.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：()111,32n n naa a n N a *+==∈-. （I ）令11n nb a =-，求证：数列{}n b 为等比数列并求数列{}n a 的通项公式；（II ）令,n n n c na S =为数列{}n c 的前n 项和，求证：2n S <.18. （本小题满分12分）在刚刚过去的济南市第一次模拟考试中，某班同学表现优异，成绩突出，现将全班50名同学的成绩按班内名次统计成如下的2×2列联表：（I ）完成列联表，若定义前20名的学生为优等生，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为该班“成绩是否优等与性别有关”？请说明理由.附：()()()()()()22n ad bc k n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.（II ）优等生中的男生成绩在学校前100名的只有2人，现从这8人中抽取3人，记其中成绩在学校前100名的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

山东省济南市2018届高三数学第一次模拟考试试题文

山东省济南市2018届高三数学第一次模拟考试试题文一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合2{|230}A x x x =+-=，{1,1}B =-，则AB =（ )A ．{1}B ．{1,1,3}-C ．{3,1,1}--D ．{3,1,1,3}-- 2.若命题“p 或q ”与命题“非p "都是真命题，则( ） A ．命题p 与命题q 都是真命题 B ．命题p 与命题q 都是假命题 C ．命题p 是真命题，命题q 是假命题 D ．命题p 是假命题，命题q 是真命题3。

欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

特别是当x π=时,10i e π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

根据欧拉公式可知,4ie 表示的复数在复平面中位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4。

下列曲线中离心率为3的是（ ) A ．22198x y -= B ．2219x y -= C ．22198x y += D ．2219x y += 5.若sin 410A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（） A ．35 B ．45 C ．35或45 D ．346。

已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩,若2z x y =-,则z 的取值范围是（）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.将函数()cos 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （）A ．为奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．为偶函数,在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C ．周期为π,图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称8。

山东省济南市高三数学第一次模拟考试试题文

山东省济南市2018届高三数学第一次模拟考试试题文一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =+-=，{1,1}B =-，则AB =（）A ．{1}B ．{1,1,3}-C ．{3,1,1}--D ．{3,1,1,3}-- 2.若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则（） A ．命题p 与命题q 都是真命题 B ．命题p 与命题q 都是假命题 C ．命题p 是真命题，命题q 是假命题 D ．命题p 是假命题，命题q 是真命题3.欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x π=时，10i e π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，4ie 表示的复数在复平面中位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.下列曲线中离心率为3的是（） A ．22198x y -= B ．2219x y -= C ．22198x y += D ．2219x y += 5.若sin 410A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（） A ．35 B ．45 C ．35或45 D ．346.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.将函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （）A ．为奇函数，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 B ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1BD 的中点，则PAC ∆在该正方体各个面上的正投影可能是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④ 9.函数1x x y e+=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ． 10.执行如图所示的程序框图，当输入2018i =时，输出的结果为（）A ．-1008B ．1009C ．3025D ．302811.已知双曲线C ：22194x y -=的两条渐近线是1l ，2l ，点M 是双曲线C 上一点，若点M 到渐近线1l 距离是3，则点M 到渐近线2l 距离是（） A ．1213 B ．1 C ．3613D ．3 12. 设1x ，2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ，b 满足5b =，253a b +=，52a b -=，则a = ． 14.如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩（单位：环），则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为．15.在平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=，30B ∠=，AB =5BC =，则线段BD 的长度为．16.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n S n n =+，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PB 的中点.（1）证明：//PD 平面CEF ；（2）若PE ⊥平面ABCD ，2PE AB ==，求四面体P DEF -的体积.19. 2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损 100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(2,1)M 在抛物线C ：2x ay =上，直线l ：(0)y kx b b =+≠与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线OA ，OB 的斜率之和为-1.（1）求a 和k 的值；（2）若1b >，设直线l 与y 轴交于D 点，延长MD 与抛物线C 交于点N ，抛物线C 在点N 处的切线为n ，记直线n ，l 与x 轴围成的三角形面积为S ，求S 的最小值.21.设函数221()ln f x x a x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，记()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a <.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P 的直线l的参数方程为11222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11PM PN+的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()222f x x x =--+. （1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: CDCDB 6-10: ADBCB 11、12：AD 二、填空题13.314. 2 15. 16. 420(,)33三、解答题17.解：（1）由22n S n n =+，得当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=-2222(1)(1)n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-.所以41n a n =-. （2）11n n n b a a +=1(41)(43)n n =-+111()44143n n =--+，所以11111[()()437710n T =-+-11()]4143n n +⋅⋅⋅+--+ 111()4343129nn n =-=++. 18.（1）证明：连接BE 、BD ，BD 交CE 于点O ， ∵E 为线段AD 的中点，//AD BC ，12BC AD ED ==，∴BC ED ∨， ∴四边形BCDE 为平行四边形， ∴O 为BD 的中点，又F 是BP 的中点， ∴//OF PD ，又OF ⊂平面CEF ，PD ⊄平面CEF ， ∴//PD 平面CEF .（2）解法一：由（1）知，四边形BCDE 为平行四边形，∴BE CD ∨， ∵四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，12AB BC AD ==， ∴AB AE BE ==，∴三角形ABE 是等边三角形，∴3DAB π∠=，做BH AD ⊥于H，则BH =∵PE ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD平面ABCD AD =，BH AD ⊥，BH ⊂平面ABCD ，∴BH ⊥平面PAD ，∴点B 到平面PAD 的距离为BH =又∵F 为线段PB 的中点，∴点F 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离的一半，即h =122PDE S PE DE =⋅=，∴13PDEF PDE V S h =⋅12323=⋅⋅=. 解法二：//CD BE ，CD ⊄平面BEP ，BE ⊂平面BEP ，∴//CD 平面BEP ， ∴点D 到平面BEP 的距离等于点C 到平面BEP 的距离，做CT BE ⊥于点T ，由BC BE EC ==，知三角形BCE 是等边三角形，∴CT =， ∵PE ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面BEP ，∴平面BEP ⊥平面ABCD ，又平面BEP平面ABCD BE =，CT BE ⊥，CT ⊂平面ABCD ，∴CT ⊥平面BEP ，∴点C 到平面BEP 的距离为CT ，又F 为线段PB 的中点，∴12PEF PBE S S =114PE BE =⋅=，∴13PDEF PEF V S CT =⋅1133=⋅=. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PB 的中点.（1）证明：//PD 平面CEF ；（2）若PE ⊥平面ABCD ，2PE AB ==，求四面体P DEF -的体积. 19.解：（1）根据图1和表1得到22⨯列联表：将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(172828192)20020036436⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12.21≈.∵12.21 6.635>，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为19296200100=，设备改造前产品为合格品的概率约为17286200100=；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好. （3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，18096010040168800⨯-⨯=，所以该企业大约获利168800元.20.解：（1）将点(2,1)M 代入抛物线C ：2x ay =，得4a =，24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x b =-，解法一：1212OA OBy y k k x x +=+2212121144x xx x +121()4x x =+，由已知得121()14x x +=-，所以414k=-，1k =-. 解法二：1212OA OB kx b kx b k k x x +++=+1212()2b x x k x x +=+424kbk k b=+=-，由已知得1k =-.（2）在直线l 的方程y x b =-+中，令0x =得(0,)D b ，12DM bk -=，直线DM 的方程为：11(2)2b y x --=-，即(1)2b xy b -=+，由2(1)24b x y b x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22(1)40x b x b ---=，解得：2x =，或2x b =-，所以()22,N b b -，由24x y =，得214y x =，1'2y x =，切线n 的斜率1(2)2k b b =-=-，切线n 的方程为：2(2)y b b x b -=-+，即2y bx b =--，由2y bx b y x b⎧=--⎨=-+⎩，得直线l 、n 交点Q ，纵坐标221Q b y b =-，在直线y x b =-+，2y bx b =--中分别令0y =，得到与x 轴的交点(,0)R b ，(,0)E b -，所以12Q S RE y =()23122211b b b b b b =+=--，22(23)'(1)b b S b 2-=-，(1,)b ∈+∞，当3(1,)2b ∈时，函数单调递减；当3(,)2b ∈+∞时，函数单调递增；∴当32b =时，S 最小值为272.21.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，23212'()1()f x a x x x=+-+222322x x a x x ++=-23(2)()x x a x +-=，当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，当(0,)x a ∈，'()0f x <，()f x 单调递减；当(,)x a ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增. （2）由（1）知，min ()()f x f a =221(ln )a a a a a =---1ln a a a a=--，即1()ln g a a a a a=--. 解法一：21'()1ln 1g a a a =--+21ln a a =-，321''()0g a a a=--<， ∴'()g a 单调递减，又'(1)0g >，'(2)0g <，所以存在0(1,2)a ∈，使得0'()0g a =，∴当0(0,)a a ∈时，'()0g a >，()g a 单调递增；当0(,)a a ∈+∞时，'()0g a <，()g a 单调递减；∴max 0()()g a g a =00001ln a a a a =--，又0'()0g a =，即0201ln 0a a -=，0201ln a a =， ∴00020011()g a a a a a =--002a a =-，令00()()t a g a =，则0()t a 在(1,2)上单调递增，又0(1,2)a ∈，所以0()(2)211t a t <=-=，∴()1g a <.解法二：要证()1g a <，即证1ln 1a a a a --<，即证：2111ln a a a--<，令211()ln 1h a a a a =++-，则只需证211()ln 10h a a a a =++->， 23112'()h a a a a=--2332(2)(1)a a a a a a ---+==，当(0,2)a ∈时，'()0h a <，()h a 单调递减；当(2,)a ∈+∞时，'()0h a >，()h a 单调递增；所以min ()(2)h a h =111ln 21ln 20244=++-=->，所以()0h a >，即()1g a <.22.【解析】（1）由已知得：1122x t y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去t得21)y x -=-，20y -+-=，即：l20y -+-=.曲线C ：4sin ρθ=得，24sin ρρθ=，即224x y y +=，整理得22(2)4x y +-=，即：C ：22(2)4x y +-=.（2）把直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中得：221(1))42t ++=，即230t t +-=，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则121213t t t t +=-⎧⎨⋅=-⎩， ∴11PM PN +1212PM PN t t PM PN t t ++==⋅⋅1212t t t t -==⋅=. 23.【解析】（1）当2x ≤-时，()4f x x =-+，∴()646f x x ≥⇒-+≥2x ⇒≤-，故2x ≤-；当21x -<<时，()3f x x =-，∴()636f x x ≥⇒-≥2x ⇒≤-，故x φ∈；当1x ≥时，()4f x x =-，∴()646f x x ≥⇒-≥10x ⇒≥，故10x ≥；综上可知：()6f x ≥的解集为(,2][10,)-∞+∞.（2）由（1）知：4,2()3,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如图所示：作出函数()f x 的图象，由图象知，当1x =时， 13a -+≤-，解得：2a ≤-，∴实数a 的取值范围为(,2]-∞-.【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤，当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞-.。

2018年山东省济南理科数学全国卷高考模拟

2018年山东省济南全国卷高考模拟理科数学考试时间：120分钟一、选择题(共12个小题，每题5分，共计60分) 1.已知复数i iz 345+=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（） A.i 54B.i 54-C.54D.54-2.已知集合{}3,2,1,0,1-=A 。

{}x y x B 3log 1|-==，则集合=B A （） A.{}2,1,0B.{}2,1C.{}3,2,1,0D.{}3,2,13.某产品广告宣传费与销售额的统计数据如下表，根据数据表的回归直线方程a x b yˆˆˆ+=，其中2ˆ=b ，据4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若673=+a a ，则=9S （） A.15B.18C.27D.395.定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当)0,1(-∈x 时，xe xf -=)(，则=)29(f （） A.e B.e - C.e 1 D.e1- 6.已知nxx )2(3+的展开式的各项系数之和为243，则展开式中7x 的系数为（） A.5 B.40C.20D.107.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+≤--042002y x y x y x ，y x z 21-=的最大值为（）A.6-B.23 C.37 D.38.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得。

”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此法求解。

右图是解决这类问题的程序框图，若输入24=n ，则输出的结果为（） A.23 B.47 C.24 D.489.若函数)0(12cos )42(sin sin 4)(2>-++⋅=ωωπωωx x x x f 在]32,2[ππ-上是增函数，则ω的取值范围是（）A.)1,0[B.),43[+∞ C.),1[+∞D.]43,0(10.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的左支分别交于点A ，B ，若)(2OF OB OA +=，则双曲线的离心率是（） A.3 B.2C.32+D.511.已知函数)(x f y =对任意),0(π∈x 满足x x f x x f cos )(sin )(>'（)(x f '为)(x f 的导函数），则下列不等式成立的是（）A.)6(2)4(ππf f <B.)6(2)4(ππf f >C.)4(2)6(ππf f >D.)4(2)6(ππf f < 12.已知)32()(23b a d cx bx ax x f <+++=在R 上是单调递增函数，则ab c 32-的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题13.若非零向量,=，0)2=⋅-，则a 与b 的夹角为________________-14.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若13360==︒=b a B ，，，则c 的值为________________________15.已知)0,2(F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦长为6.若)2,2(-A ，点M 为椭圆上一点，则MF MA +的最大值为_______________16.如图一张矩形白纸ABCD ，210,10==AD AB ，E,F 分别为AD ，BC 的中点，现分别将△ABE ，△CDF 沿BE ，DF 折起，且A ，C 在平面BFDE 同侧。

2018年高考理科数学模拟试卷(共三套)(含答案)

2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。

[首发]山东省济南市章丘区2018届高三第一次适应性考试理科数学答案

绝密★启用前2018年高考第一次适应与模拟数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，满分共60分.DCBCD BBACB DC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分共20分.13.4π14.556 15.2>a 16.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-215,215 三、解答题17.解析：（1）11=a ∴212=a ，433=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⋅=-=----31413121213121312222122k k k k a a a a又61312=-a ，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-312k a 是以首项为61，公比为41的等比数列（4分）当2≥k 时，⎪⎭⎫⎝⎛-=-+=-+=---+324132423221321212212k k k k a a a a 又⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-32413213a a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+3212k a 是以31321=-a 为首项，以41为公比的等比数列（6分）（2）12416131-⎪⎭⎫⎝⎛=-k k a ，12416131-⎪⎭⎫⎝⎛+=k k a ，112413132--⎪⎭⎫ ⎝⎛=-k k a ，112413132--⎪⎭⎫⎝⎛+=k k a （8分）()()k k k k a a a a a a a a a S 24212312212+++++++=+++=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--1101104141416134141413132k k k k kk k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=41323241141121（12分）18.解：（1）记旅客8：30—9：00时间段上车为事件)3,2,1(=i A i ，旅客9：00--9：30时间段上车为事件)3,2,1(=i B i ，该旅客候车时间不超过20分钟为事件C ,则167414341)()()(133=⨯+=+=B A P A P C P （4分）（2）ξ可取值为3525155，，，；41)5(==ξp ；1634143)51(=⨯==ξp ；832143)52(=⨯==ξp1634143)53(=⨯==ξp ；（8分）所以ξ的分布列是因此ξ的数学期望是分201635825161545)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 钟.（12分）19.（1）取C A ''中点O '，连接O O '，则ABC O O 平面⊥'，以O 为坐标原点，O O OB OA ',,所在的直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，则)32,0,0(),23,3,0(),0,0,1(),0,3,0(),0,0,1(),32,0,1('O E C B A A -' 则)0,0,2(),32,3,0(),23,3,0('''-==-==AC C A B O OE 故，0,0'''=⋅=⋅C A B O 所以，''',C A OE B O OE ⊥⊥ 又''''O C A B O =所以，B C A OE ''⊥面（6分）（2）由（1）知，)32,3,1(),32,0,2(''--=--=B A C A设面BC A '的法向量为),,(z y x =则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+032303z y x z x ，)1,1,3(-=∴m （8分）面B C A ''的法向量为)23,3,0(=OE （10分），所以C B A C '-'-的二面角θ为5341552330cos =⋅++=θ,所以二面角C B A C '-'-的平面角θ的余弦值为53.（12分） 20.解：（1）：由题意)0,1(2F ，把)23,1(-代入椭圆E ，得34,1,1491222222==∴=-=+b a b a b a ，，因此椭圆E 方程为13422=+y x .（4分）（2）直线AB 方程为：)1(-=x k y ，代入椭圆E 方程，并整理得0)3(48)34(2222=-+-+k x k x k ，（6分）设),,(),,(2211y x B y x A 则有34)3(4,34822212221+-=+=+k k x x k k x x ，A'A 'C 'B BE OC把4=x 代入直线AB 方程得：)3,4(k M ，从而2114233,123,1233222111-=--=--=--=k k k x y k x y k .又因为B F A ,,2三点共线，所以kx yx y =-=-112211（10分）所以1)(2232)1111(2311123123212121212211221121++--+⋅-=-+---+-=--+--=+x x x x x x k x x x y x y x y x y k k12134834)3(42348232222222-=++-+--+⋅-=k k k k k k k k ,又213-=k k ，所以3212k k k =+,即无论k 取何值，总满足3k 是1k 和2k 的等差中项.（12分）21.解析（1）由已知得)()()(x g x f x F -==b x x x --ln ， 222ln 11ln 1)(x x x x x x F --=--='∴ 当0x 1<<时， 221x 0,lnx 0,1x lnx 0->->∴-->，；当x 1>时， 221x 0,lnx 0,1x lnx 0-<-<∴--<．故()F x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减；（4分）（2）由12-=a b ，得x a x x a x )12(ln )(2---=ϕ，则xa x x a x x a x ))(12()12(2)(+--=---='ϕ，由12,x x 是)(x ϕ的两个极值点，得12,x x 是方程0))(12()(=+--='x a x x x ϕ的两根21和a -．则0>-a ，即0a <，（6分）由2321>-x x ，得2321>+a ，由0a <，解得2-<a ，此时21>-a ，所以)(x ϕ在)21,0(上递减，在),21(a -递增，在),(+∞-a 递减．于是)(x ϕ在21=x 处取极小值)21(ϕ，在a x -=处取极大值)(a -ϕ．从而=-)()(21x x ϕϕ412ln )ln()21()(2-++-=--a a a a a ϕϕ，（8分）令),2(+∞∈-=a t ，则=)(t h =-)()(21x x ϕϕ412ln ln 2--+-=t t t t ，则12ln ln 2)(---='t t t h ，令=)(t G 12ln ln 2)(---='t t t h ，则tt G 12)(-='，因为()2,t ∈+∞，所以012)(>-='tt G ，则)(t G 递增，所以02ln 23)2()(>-=>G t G ，即0)(>'t h ，所以)(t h 递增，（10分）于是=>)2()(h t h 2ln 4415-，即2ln 4415)()(21->-x x ϕϕ．（12分）22.解：（1）曲线C 1的普通方程为422=+y x ，设曲线C 1上任一点为P （x,y ）,曲线C 2上对应的点为()',''y x P ,则y=2y ’,x=x ’,代入曲线2C 的普通方程得1422=+y x （4分）（2）设直线AB 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x ，将其代入1422=+y x 得()03cos 21sin 322=-++ααt t ，（6分）则1sin 33221+-=αt t所以1sin 33221+-==⋅αt t ，同理1cos 332+-=⋅α故()()1cos 331sin 3322+-++-=⋅+⋅=+⋅+=⋅ααAM BM AMα2sin 494152+-=（8分）所以，当4πα=或43π，⋅取得最大值512-（10分）23.（1）依题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,3211,21,3)(x x x x x x x f于是得⎪⎩⎪⎨⎧≤≥⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<-⎩⎨⎧≤--≤⇔≤3321x 322113313)(x x x x x x f 或或解得11x -≤≤，即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（4分）（2）因为121|a a a+--= 1112a a +--， 11111212a a a a+--≤++-，当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时取等号，所以11123a a +--≤，即1213a a a +--≤，（8分）又因为当x R ∈时，33||22x x ++-≥ 33322x x ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()min 3g x =. 所以()121a a g x a+--≤，对a R ∀∈，且0a ≠成立.（10分）。

山东省济南市高三一模考试理科综合试题

2018年高三第四次模拟考试理科综合能力测试本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I卷1至5页，第Ⅱ卷5至14页，共300分。

考试时间150分钟。

注意事项：1．本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 S 32 C1 35.5 K 39 Fe56 Cu 64第I卷(共126分)一、选择题：本题包括13小题。

每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列有关生物体内物质运输的叙述，正确的是A．一种氨基酸只能由一种tRNA转运B．神经递质只能通过血液运输到作用部位C．胰岛B细胞分泌胰岛素的过程需要消耗能量D．神经细胞受到刺激后，细胞内的钠离子大量外流，产生动作电位2．下列有关细胞生命历程的叙述，正确的是A．细胞生长，其表面积增大，导致细胞的物质交换效率升高B．在一个细胞周期中，末期和间期是连续的C．细菌在无丝分裂过程中需进行DNA复制D．细胞凋亡受基因控制，有利于多细胞生物个体的生长发育3．关于下列生物实验相关图像的叙述，正确的是A．图甲中色素带IV的颜色为蓝绿色，它在层析液中的溶解度最小B．图乙所示的样方中，植物种群密度约为3株／m2C．图丙中细胞壁和细胞膜之间的液体是细胞中流出的水分D．图丁中的细胞为洋葱根尖分生区细胞，大部分处于细胞分裂间期4．下列有关植物激素调节的说法，不正确的是A．植物幼苗的向光生长现象说明生长素的作用具有两重性B．赤霉素和细胞分裂素分别通过促进细胞伸长和细胞分裂，从而促进植物生长C．脱落酸的主要作用是抑制细胞分裂，促进叶和果实的衰老和脱落D．植物体各个部位均能合成乙烯，乙烯具有促进果实成熟的作用5．下图表示生物体内遗传信息的传递和表达过程。

山东省济南第一中学2018届高三1月月考数学理试题含答案精品

济南一中高三年级2018新年学业检测数学试题（理科）说明：满分150分，时间120分钟。

分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（综合题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第5页，请将答案按要求写在答题纸指定位置。

第Ⅰ卷（选择题，共12题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i -- 2. 已知集合A ＝{x |x 2－x ＞0}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则( )A 、A ∩B ＝∅ B 、A ∪B ＝RC 、B ⊆AD 、A ⊆B3.下列说法正确的是（） A 、a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B 、“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C 、命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++>”D、命题:",sin cos p x R x x ∀∈+≤，则p ⌝是真命题 4. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为（）A ．2B ． 3 C. 4 D ．55. 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任选两个数x 和y ，则sin y x <的概率为( )A. 221π-B.22π C. 241π-D.24π6. 一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n 为6时，输出结果为2.45，则m 可以是( ) A 、0.6 B 、0.1 C 、0.01 D 、0.057.将函数cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向右平移B第10题图()0m m >个单位长度得到点P '，若P '位于函数cos 2y x =的图象上，则( )A.12t =-，m 的最小值为6π B. t =，m 的最小值为12πC. 12t =-，m 的最小值为12π D. t =，m 的最小值为6π8.已知正项非常数等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13711,,37S S S 成等比数列，则2017201420172014a a a a -=+（）A.20142017 B. 20174029 C. 34029 D. 340319. 当0a >时，函数2()(2)xf x xax e =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10.如图，扇形AOB 中，1,90OA AOB =∠=，M 是OB 中点，P 是弧AB 上的动点，N 是线段OA 上的动点，则PM PN ⋅的最小值为 ( )A ．0BCD ．111.已知三棱锥P ABC -中，,,3PA ABC BAC π⊥∠=平面且2,1,AC AB PA ==3BC =，则该三棱锥的外接球的体积等于 ( )12.已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程211()()1022f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实根，则m 的取值范围是（） A．(2,2)e + B．(1,1)e + C.1)2e + D ．(2,2)2e+ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.已知m ，n 是两条不同的直线，γβα，，是三个不同的平面，则下列命题正确的有① 若γα⊥，γβ⊥，则βα//② ②若α////m n m ，，则α//n③若n =⋂βα，α//m ，β//m ，则n m // ④若α⊥m ，n m ⊥，则α//n14.已知函数(1)y f x =+是R 上的偶函数，且1x >时()0f x '<恒成立，又(4)0,(3)(4)0f x f x =++<则的解集是 .15.设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z x y =-的取值范围是 .16.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第1题为：今有户出银一斤八两一十二铢，今以家有贫富不等，今户别作差品，通融出之，最下户出银八两，以次户差各多三两，问户几何？题目的意思是：每户应交税银1斤8两12铢，若考虑贫富的差别，家最贫者交8两，户别差为3两，则户数为 .(1斤=16两.1两=24铢)三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab ．（Ⅰ）若λ＝6，B ＝5π6，求sin A ；（Ⅱ）若λ＝4，AB 边上的高为3c 6，求C ．18. （本小题满分12分）各项均不为0的数列{}n a 满足122(),2n n n n n a a a a a ++++=且3812.5a a ==（Ⅰ）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式为26nn a b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90，AC ＝CB ＝2，M ，N 分别为AB ，A 1C 的中点．（Ⅰ）求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；（Ⅱ）若平面CMN ⊥平面B 1MN ，求直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值．AC 11CB MNA 120.（本小题满分12分）2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动了世界．朝鲜声明氢弹试验对周边生态环境未产生任何负面影响，未提及试验地点．中国外交部发表措辞严厉的声明对朝鲜核试验“坚决反对”，朝鲜“氢弹试验”事件引起了我国公民热议，其中丹东市（丹东市和朝鲜隔江）某QQ聊天群有300名网友，新疆乌鲁木齐某微信群由200名微信好友．为了了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名好友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地网友留言信息条数分成5组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求丹东市网友的平均留言条数（保留整数）；（Ⅱ）为了进一步开展调查，从样本中留言条数不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率；（Ⅲ）规定：“留言条数”不少于70条为“强烈关注”．①请根据已知条件完成下列2×2的列联表；②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？附：临界值表及参考公式K2=，n=a+b+c+d21.(12)()(1)ln ()af x x a x a R x =--+∈本小题分已知函数01()a f x I <≤（）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．22.（本小题满分10分）已知0,0a b >>，函数11()||||f x x x a b=+--的最大值为1. （Ⅰ）求11a b +的值；（Ⅱ）求411a ba b +--的最小值，并求出此时对应的a 与b 的值.济南一中高三年级2018新年学业检测数学试题（理科）答案一、选择题答案：1—12 BBACD BCDBD AA ；二、填空题答案 13-16 ③ ()()6,30,--⋃+∞ 83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1217.解：（Ⅰ）由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab 结合正弦定理得：4sin 2A －26sin A ＋1＝0，于是sin A ＝6±24． …4分因为0＜A ＜π 6，所以sin A ＜ 12，取sin A ＝6－24…6分（Ⅱ）由题意可知S △ABC ＝ 1 2ab sin C ＝312c 2，得：1 2ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )．从而有：3sin C ＋cos C ＝2，即sin (6c π+)＝1又7666c πππ<+<，所以3c π=． …12分18.（19）.解：（Ⅰ）连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点，又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，又BC 1平面BB 1C 1C ，MN 平面BB 1C 1C ，故MN ∥平面BB 1C 1C ．…4分（Ⅱ）由A 1A ⊥平面ABC ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1．以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC 1＝2λ（λ＞0），则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1)．取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由CM →·m ＝0，MN →·m ＝0得：⎩⎨⎧x ＋z ＝0，－x ＋λy ＝0，令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ) 同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ) …8分∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴ m ·n ＝λ2＋1－3λ2＝0 解得λ＝22，得n ＝(22，1，322)，又AB →＝(2，0，－2)，设直线AB 与平面B 1MN 所成角为θ，则sin θ＝|cos n ，AB →|＝＝66．所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是66．…12分20（1）45×0.01×10+55×0.025×10+65×0.04×10+75×0.02×10+85×0.005×10=63.5≈64．∴丹东市网友的平均留言条数是64条．（3分）（2）留言条数不足50条的网友中，丹东市网友有0.01×10×100×=6人，乌鲁木齐网友有0.005×=2人，从中随机抽取2人共有=28种可能结果，其中至少有一名乌鲁木齐网友的结果共有=12+1=13种情况，∴至少抽到1名乌鲁木齐网友的概率为P=．（7分）（3）①列联表如下：（8分）②K2的观测值k=≈1.79，（10分）∵1.79＜2.706，∴没有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关．（12分）21.（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0，得a＜x ＜1故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）（4分）（Ⅱ）先考虑“至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“∀x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立．令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，（6分）求导函数φ′（x）=（a+1）（1+lnx）当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0∴φ（x）的最小值为，（8分）由得，故当时，f（x）≤x恒成立，当a+1=0时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，（10分）当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，（11分）综上所述，即或a≤﹣1时，至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立．（12。

山东省济南市2018届高考第一次模拟考试数学(理)试题-有答案

高考模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数11212i i+++（其中i 为虚数单位）的虚部为（） A ．35B ．35i C ．35- D ．35i - 2.若集合{|12}A x x =<<，{|,}B x x b b R =>∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（） A ．2b ≥ B ．12b <≤ C ．1b ≤ D ．1b <3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（）A ．4x =，22s <B ．4x =，22s >C ．4x >，22s <D ．4x >，22s >4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）A ．2213632x y += B ．22198x y += C ．22195x y +=D ．2211612x y += 5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为（） A ．4 B ．2 C ．12 D ．146.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．18B ．14 C ．316 D ．388.已知函数()sin()f x x ωϕ=+)x ωϕ+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出M ，N 的值分别为（）A ．13，21B ．34，55C ．21，13D ．55，34 10.设函数212()log (1)f x x =+112x++，则使得()(21)f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（） A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦11.设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长1F M 与双曲线的右支相交于点N ，若13MN FM =，则此双曲线的离心率为（）A B ．53 C ．43D 12.设1x ，2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与3a b -平行，则实数x 的值是．14.某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆.则该几何体的体积为．15.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含4x 项的系数为．16.如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为0a ；点(1,0)处标数字1，记为1a ；点(1,1)-处标数字0，记为2a ；点(0,1)-处标数字-1，记为3a ；点(1,1)--处标数字-2，记为4a ；点(1,0)-处标数字-1，记为5a ；点(1,1)-处标数字0，记为6a ；点(0,1)处标数字1，记为7a ； …以此类推，格点坐标为(,)i j 的点处所标的数字为i j +（i ，j 均为整数），记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则2018S =．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2b A a B c -=. （1）证明：tan 3tan B A =-；（2）若222b c a +=+，且ABC ∆，求a .18.如图1，在高为6的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且6CD =，12AB =，将它沿对称轴1OO 折起，使平面1ADO O ⊥平面1BCO O .如图2，点P 为BC 中点，点E 在线段AB 上（不同于A ，B 两点），连接OE 并延长至点Q ，使//AQ OB .（1）证明：OD ⊥平面PAQ ；（2）若2BE AE =，求二面角C BQ A --的余弦值.19.2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表造有关；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品．．．进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合．．格品中的频率．．．．．．代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望. 附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：24x y =，直线l 与抛物线1C 交于A ，B 两点.（1）若直线OA ，OB 的斜率之积为14-，证明：直线l 过定点；（2）若线段AB 的中点M 在曲线2C ：214(4y x x =--<<上，求AB 的最大值. 21.已知函数2()ln (21)f x a x x a x =-+-()a R ∈有两个不同的零点. （1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x a +>.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P 的直线l 的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11PM PN+的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()222f x x x =--+.（1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.2018年济南市高考数学模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5: CDABA 6-10: ACDBC 11、12：BD 二、填空题13. 2 14. 315. -48 16. -249 三、解答题 17.【解析】（1）根据正弦定理，由已知得：sin cos cos sin B A B A -2sin 2sin()C A B ==+，展开得：sin cos cos sin B A B A -2(sin cos cos sin )B A B A =+，整理得：sin cos 3cos sin B A B A =-，所以，tan 3tan B A =-.（2）由已知得：222b c a +-=，∴222cos 2b c a A bc+-=22bc ==，由0A π<<，得：6A π=，3tan A =，∴tan 3B = 由0B π<<，得：23B π=，所以6C π=，a c =，由12sin23S ac π=212a ==2a =. 18.【解析】（1）【解法一（几何法）】取1OO 的中点为F ，连接AF ，PF ；∴//PF OB ， ∵//AQ OB ，∴//PF AQ ，∴P 、F 、A 、Q 四点共面，又由图1可知1OB OO ⊥， ∵平面1ADO O ⊥平面1BCO O ，且平面1ADO O平面11BCO O OO =，∴OB ⊥平面1ADO O ， ∴PF ⊥平面1ADO O ，又∵OD ⊂平面1ADO O ， ∴PF OD ⊥.在直角梯形1ADO O 中，1AO OO =，1OF O D =，1AOF OO D ∠=∠，∴1AOF OO D ∆≅∆，∴1FAO DOO ∠=∠，∴190FAO AOD DOO AOD ∠+∠=∠+∠=， ∴AF OD ⊥. ∵AFPF F =，且AF ⊂平面PAQ ，PF ⊂平面PAQ ，∴OD ⊥平面PAQ .（1）【解法二（向量法）】由题设知OA ，OB ，1OO 两两垂直，所以以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长度为m ，则相关各点的坐标为(0,0,0)O ，(6,0,0)A ，(0,6,0)B ，(0,3,6)C ，(3,0,6)D ，(6,,0)Q m . ∵点P 为BC 中点，∴9(0,,3)2P ，∴(3,0,6)OD =，(0,,0)AQ m =，9(6,,3)2PQ m =--， ∵0OD AQ ⋅=，0OD PQ ⋅=，∴OD AQ ⊥，OD PQ ⊥，且AQ 与PQ 不共线， ∴OD ⊥平面PAQ .（2）∵2BE AE =，//AQ OB ，∴132AQ OB ==，则(6,3,0)Q ，∴(6,3,0)QB =-，(0,3,6)BC =-. 设平面CBQ 的法向量为1(,,)n x y z =，∵1100n QB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴630360x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =，则2y =，1x =，则1(1,2,1)n =，又显然，平面ABQ 的法向量为2(0,0,1)n =，设二面角C BQ A --的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，则12126cos 6n n n n θ⋅==⋅. 19.【解析】（1）根据图3和表1得到22⨯列联表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(172828192)20020036436⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12.210≈.∵12.210 6.635>，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图3和表1可知，设备改造前产品为合格品的概率约为1724320050=，设备改造后产品为合格品的概率约为1922420025=；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优. （3）由表1知：一等品的频率为12，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为12；二等品的频率为13，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为13；三等品的频率为16，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为16. 由已知得：随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480.240P X =（）1116636=⨯=，300P X =（）12111369C =⨯⨯=，360P X =（）1211115263318C =⨯⨯+⨯=， 420P X =（）12111233C =⨯⨯=，480P X =（）111224=⨯=.∴随机变量X 的分布列为：∴240300369E X =⨯+⨯（）3604204804001834+⨯+⨯+⨯=. 20.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，（1）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由24x yy kx m⎧=⎨=+⎩，得：2440x kx m --=， ()2160k m ∆=+>，124x x k +=，124x x m =-，1212OA OBy y k k x x ⋅⋅=⋅2212121144x xx x ⋅=⋅12164x x m⋅==-，由已知：14OA OB k k⋅=-，所以1m =， ∴直线l 的方程为1y kx =+，所以直线l 过定点(0,1). （2）设()00,M x y ，则12022x x x k +==，2002y kxm k m =+=+，将()00,Mx y 带入2C：214(4y x x =--<<得： 22124(2)4k m k +=-，∴243m k =-.∵0x -<，∴2k -<<，∴k <<又∵()216k m ∆=+22216(43)32(2)0k k k =+-=->，∴k <<，故k 的取值范围是：(k ∈.AB ==243m k =-代入得：AB =22≤=当且仅当2212k k +=-，即2k =±时取等号，所以AB 的最大值为. 21.【解析】（1）【解法一】函数()f x 的定义域为：(0,)+∞.'()221a f x x a x =-+-(21)()x a x x+-=， ①当0a ≤时，易得'()0f x <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当0a >时，令'()0f x =得：x a =，则'()f x + 0 - max 极大设()ln 1g x x x =+-，∵1'()10g x x=+>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增. 又∵(1)0g =，∴1x <时，()0g x <；1x >时，()0g x >. 因此：（i ）当01a <≤时，max ()()0f x a g a =⋅≤，则()f x 无零点，不符合题意，舍去.（ii ）当1a >时，max ()()0f x a g a =⋅>， ∵12()(1)f a e e =-2110e e --<，∴()f x 在区间1(,)a e上有一个零点， ∵(31)ln(31)f a a a -=-2(31)(21)(31)a a a --+--[ln(31)(31)]a a a =---，设()ln h x x x =-，(1)x >，∵1'()10h x x=-<， ∴()h x 在(1,)+∞上单调递减，则(31)(2)ln 220h a h -<=-<， ∴(31)(31)0f a a h a -=⋅-<，∴()f x 在区间(,31)a a -上有一个零点，那么，()f x 恰有两个零点.综上所述，当()f x 有两个不同零点时，a 的取值范围是(1,)+∞. （1）【解法二】函数的定义域为：(0,)+∞.'()221a f x x a x =-+-(21)()x a x x+-=， ①当0a ≤时，易得'()0f x <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当0a >时，令'()0f x =得：x a =，则max 极大∴要使函数()f x 有两个零点，则必有()(ln 1)0f a a a a =+->，即ln 10a a +->，设()ln 1g a a a =+-，∵1'()10g a a=+>，则()g a 在(0,)+∞上单调递增，又∵(1)0g =，∴1a >；当1a >时： ∵12()(1)f a e e =-2110e e--<， ∴()f x 在区间1(,)a e上有一个零点；设()ln h x x x =-， ∵11'()1xh x x x-=-=，∴()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ∴()(1)10h x h ≤=-<，∴ln x x <，∴2()ln (21)f x a x x a x =-+-22(21)3ax x a x ax x x ≤-+-=--23(3)ax x x a x ≤-=-，则(4)0f a <，∴()f x 在区间(,4)a a 上有一个零点，那么，此时()f x 恰有两个零点.综上所述，当()f x 有两个不同零点时，a 的取值范围是(1,)+∞. （2）【证法一】由（1）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当(0,)x a ∈时，()f x 是增函数；当(,)x a ∈+∞时，()f x 是减函数；不妨设：12x x <，则：120x a x <<<；设()()(2)F x f x f a x =--，(0,2)x a ∈，则：'()'()'(2)F x f x f a x =--2(21)2a ax a x a x=-+-+-2(2)(21)a x a --+- 22()22(2)a a x a x a x x a x -=+-=--. 当(0,)x a ∈时，'()0F x >，∴()F x 单调递增，又∵()0F a =， ∴()0F x <，∴()(2)f x f a x <-， ∵1(0,)x a ∈，∴11()(2)f x f a x <-， ∵12()()f x f x =，∴21()(2)f x f a x <-，∵2(,)x a ∈+∞，12(,)a x a -∈+∞，()f x 在(,)a +∞上单调递减， ∴212x a x >-，∴122x x a +>. （2）【证法二】由（1）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当(0,)x a ∈时，()f x 是增函数；当(,)x a ∈+∞时，()f x 是减函数；不妨设：12x x <，则：120x a x <<<；设()()()F x f a x f a x =+--，(0,)x a ∈，则'()'()'()F x f a x f a x =++-2()(21)a aa x a a x a x=-++-++-2()(21)a x a --+- 222()()a a x a x a x a x a x =+-=+-+-. 当(0,)x a ∈时，'()0F x >，∴()F x 单调递增，又∵(0)0F =，∴()0F x >，∴()()f a x f a x +>-， ∵1(0,)a x a -∈，∴12()()f x f x =11(())(())f a a x f a a x =--<+-1(2)f a x =-， ∵2(,)x a ∈+∞，12(,)a x a -∈+∞，()f x 在(,)a +∞上单调递减， ∴212x a x >-，∴122x x a +>. 22.【解析】（1）由已知得：1122x t y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去t得21)y x -=-，20y -+-=，即：l20y -+=.曲线C ：4sin ρθ=得，24sin ρρθ=，即224x y y +=，整理得22(2)4x y +-=，即：C ：22(2)4x y +-=.（2）把直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中得：221(1))42t ++=，即230t t +-=，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则121213t t t t +=-⎧⎨⋅=-⎩，∴11PM PN +1212PM PN t t PM PN t t ++==⋅⋅1212t t t t -==⋅3=. 23.【解析】（1）当2x ≤-时，()4f x x =-+，∴()646f x x ≥⇒-+≥2x ⇒≤-，故2x ≤-；当21x -<<时，()3f x x =-，∴()636f x x ≥⇒-≥2x ⇒≤-，故x φ∈；当1x ≥时，()4f x x =-，∴()646f x x ≥⇒-≥10x ⇒≥，故10x ≥；综上可知：()6f x ≥的解集为(,2][10,)-∞+∞.（2）由（1）知：4,2()3,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如图所示：作出函数()f x 的图象，由图象知，当1x =时，13a -+≤-，解得：2a ≤-， ∴实数a 的取值范围为(,2]-∞-. 【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤，当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，-∞-. 综上，实数a的取值范围为(,2]。

2018年山东省济南理科数学全国卷高考模拟卷

2018年山东省济南全国卷高考模拟卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i2．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数则（）A．2+πB．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣6310．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．3212．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则=．14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为．15．（5分）在等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n ﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为．﹣116．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF 的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．（1）求a及角A的大小；（2）求的值．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）求证：BD⊥CC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的交点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选：C．2【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．故选：A．3．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，∴a4+a5+a6+a7=2（a1+a10）=18，∴a1+a10=9，∴=45．故选：D．4．A．B．C．D．【解答】解：设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，=××=，S平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=，∴S△BCI∴所求的概率为P===．故选：A．5．【解答】解：设双曲线C：的右焦点F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=x，由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A（a，b），可得AF的中点为（，b），代入双曲线的方程可得﹣=1，可得4a2﹣2ac﹣c2=0，由e=，可得e2+2e﹣4=0，解得e=﹣1（﹣1﹣舍去），故选：D．6．【解答】解：∵，=∫cos2tdt===，∴=（）+（﹣cosx）=﹣2．故选：D．7．【解答】解：第1次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2；第2次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=3；第3次循环后，S==2，不满足退出循环的条件，k=4；…第n次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=n+1；…第2018次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2019第2019次循环后，S==2，满足退出循环的条件，故输出的S值为2，故选：C．8．【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos（4x﹣）．故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，故选：B．9．【解答】解：展开式中所有各项系数和为（2﹣3）（1+1）6=﹣64；=（2x﹣3）（1+++…），其展开式中的常数项为﹣3+12=9，∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9=﹣73．故选：A．10．【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF，底面是正六边形，有一PAF侧面垂直底面，且P在底面的投影为AF中点，过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心O，设△PAF的外接圆半径为r，，解得r=，∴，则该几何体的外接球的半径R=，∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4πR2=．故选：C．11．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设直线l1：y=k1（x﹣1），直线l2：y=k2（x﹣1），由题意可知，则，联立，整理得：k12x2﹣（2k12+4）x+k12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：x3+x4=2+，由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1+x2+p=4+，丨DE丨=x3+x4+p=4+，∴|AB|+|DE|=8+==，当且仅当=时，上式“=”成立．∴|AB|+|DE|的最小值24，故选：C．12．【解答】解：根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数，有g′（x）=﹣+x+1==，分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：根据题意，向量，，若，则•=2sinα﹣cosα=0，则有tanα=，又由sin2α+cos2α=1，则有或，则=（，）或（﹣，﹣），则||=，则=2+2﹣2•=；故答案为：14．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），=，令t=5x﹣3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值为﹣2．∴目标函数的最小值为．故答案为：．15．【解答】解：等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设首项为a1，公比为q，则：，整理得：，解得：．则：，所以：b n =a 2n ﹣1﹣a 2n ==﹣22n ﹣4，则：T 2n ==．故答案为：．16．【解答】解：∵PF ⊥AF ，PF ⊥EF ，AF ∩EF=F ， ∴PF ⊥平面ABCD ．设PF=x ，则0＜x ＜1，且EF=DF=x ．∴五边形ABCEF 的面积为S=S 梯形ABCD ﹣S △DEF =×（1+2）×1﹣x 2=（3﹣x 2）． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V=（3﹣x 2）x=（3x ﹣x 3），设f （x ）=（3x ﹣x 3），则f′（x ）=（3﹣3x 2）=（1﹣x 2）， ∴当0＜x ＜1时，f′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，1）上单调递增，又f （0）=0，f （1）=． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是（0，）．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）由2bcosA +acosC +ccosA=0及正弦定理得 ﹣2sinBcosA=sinAcosC +cosAsinC ，即﹣2sinBcosA=sin （A +C ）=sinB ，在△ABC 中，sinB ＞0，所以．又A ∈（0，π），所以．在△ABC 中，c=2b=2，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b 2+c 2+bc=7，所以．（2）由，得=，所以．18．【解答】解：（1）连接A1B，A1D，AC，因为AB=AA1=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D．设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD，又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC．又AA1⊂平面A1AC，所以BD⊥AA1，又CC1∥AA1，所以BD⊥CC1．（2）由，及，知A 1B⊥A1D，于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD，A1∩AC=O，得A1O⊥底面ABCD，所以OA、OB、OA1两两垂直．如图，以点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O ﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），C（﹣1，0，0），，，，由，得D1（﹣1，﹣1，1）．设（λ∈[0，1]），则（x E+1，y E+1，z E﹣1）=λ（﹣1，1，0），即E（﹣λ﹣1，λ﹣1，1），所以．设平面B 1BD的一个法向量为，由得令x=1，得，设直线DE与平面BDB1所成角为θ，则，解得或（舍去），所以当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．【解答】解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ=26.5，σ≈11.95，∴P（14.55＜Z＜38.45）=P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826，∴Z落在（14.55，38.45）内的概率是0.6826．②根据题意得X～B（4，），；；；；．∴X的分布列为∴．20．【解答】解：（1）由已知可得解得a2=2，b2=c2=1，所求椭圆方程为．（2）由得（1+2k2）x2+8kx+6=0，则△=64k2﹣24（1+2k2）=16k2﹣24＞0，解得或．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设存在点D（0，m），则，，所以==．要使k AD+k BD为定值，只需6k﹣4k（2﹣m）=6k﹣8k+4mk=2（2m﹣1），k与参数k无关，故2m﹣1=0，解得，当时，k AD+k BD=0．综上所述，存在点，使得k AD+k BD为定值，且定值为0．21．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其导数为f'（x）=e x﹣2（a﹣1），当函数f（x）在区间[0，1]上单调递增时，f'（x）=e x﹣2（a﹣1）≥0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≤（e x）min=1（其中x∈[0，1]），解得；当函数f（x）在区间[0，1]单调递减时，f'（x）=e x﹣2（a﹣1）≤0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≥（e x）max=e（其中x∈[0，1]），解得．综上所述，实数a的取值范围是．（2）函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，则g'（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，分析可得f（x）=g'（x）．由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点．由（1）知，当时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意．当时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；所以．令f'（x）=0，得x=ln（2a﹣2）∈（0，1），所以函数f（x）在区间[0，ln（2a﹣2）]上单调递减，在区间（ln（2a﹣2），1]上单调递增．记f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），因此x1∈（0，ln（2a﹣2）]，x2∈（ln（2a﹣2），1），必有f（0）=1﹣b＞0，f （1）=e﹣2a+2﹣b＞0．由g（1）=0，得a+b=e，所以，又f（0）=a﹣e+1＞0，f（1）=2﹣a＞0，所以e﹣1＜a＜2．综上所述，实数a的取值范围为（e﹣1，2）．22．【解答】解：（1）圆C1：（θ是参数）消去参数θ，得其普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式并化简，得圆C1的极坐标方程，由圆C2的极坐标方程，得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入上式，得圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）由（1）知圆C1的圆心C1（﹣1，﹣1），半径r1=a；圆C 2的圆心C2（1，1），半径，，圆C1与圆C2外切，∴，解得，即圆C1的极坐标方程为．将代入C1，得，得；将代入C2，得，得；故．23．【解答】解：（1）此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4．即不等式的解集为．（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n=mn，，即m+2n≥8，当且仅当即时取等号．∴f（m）+f（﹣2n）=|2m+1|+|﹣4n+1|≥|（2m+1）﹣（﹣4n+1）|=|2m+4n|=2（m+2n）≥16，当且仅当﹣4n+1≤0，即时，取等号．∴f（m）+f（﹣2n）≥16．。

2018年山东省济南市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2018年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（其中i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）若集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＞b，b∈R}，则A⊆B的一个充分不必要条件是（）A．b≥2B．1＜b≤2C．b≤1D．b＜13．（5分）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则（）A．，s2＜2B．，s2＞2C．，s2＜2D．，s2＞24．（5分）已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a3＝1，a5与的等差中项为，则a1的值为（）A．4B．2C．D．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若z＝2x﹣y，则z的取值范围是（）A．[﹣5，6）B．[﹣5，6]C．（2，9）D．[﹣5，9] 7．（5分）七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形．现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期为π，且，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递增C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递减9．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出M，N的值分别为（）A．13，21B．34，55C．21，13D．55，3410．（5分）设函数，则使得f（x）≤f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．11．（5分）设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为M，延长F1M与双曲线的右支相交于点N，若，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），则x1+4x2的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[5，+∞）D．（5，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，，若与平行，则实数x的值是．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆．则该几何体的体积为．15．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x4项的系数为．16．（5分）如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a0；点（1，0）处标数字1，记为a1；点（1，﹣1）处标数字0，记为a2；点（0，﹣1）处标数字﹣1，记为a3；点（﹣1，﹣1）处标数字﹣2，记为a4；点（﹣1，0）处标数字﹣1，记为a5；点（﹣1，1）处标数字0，记为a6；点（0，1）处标数字1，记为a7；…以此类推，格点坐标为（i，j）的点处所标的数字为i+j（i，j均为整数），记S n ＝a1+a2+…+a n，则S2018＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b cos A﹣a cos B＝2c．（1）证明：tan B＝﹣3tan A；（2）若，且△ABC的面积为，求a．18．（12分）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB ＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O．如图2，点P 为BC中点，点E在线段AB上（不同于A，B两点），连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB．（1）证明：OD⊥平面P AQ；（2）若BE＝2AE，求二面角C﹣BQ﹣A的余弦值．19．（12分）2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30）内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25）或[30，35）内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．附：20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．（1）若直线OA，OB的斜率之积为，证明：直线l过定点；（2）若线段AB的中点M在曲线C2：上，求|AB|的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣x2+（2a﹣1）x（a∈R）有两个不同的零点．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞2a（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）当x∈R时，f（x）≥﹣x+a恒成立，求实数a的取值范围．2018年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（其中i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：复数＝+＝﹣i+﹣i＝﹣i．其虚部为﹣．故选：C．2．（5分）若集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＞b，b∈R}，则A⊆B的一个充分不必要条件是（）A．b≥2B．1＜b≤2C．b≤1D．b＜1【解答】解：∵集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＞b}，若A⊆B，则b≤1，故A⊆B的一个充分不必要条件是b＜1，故选：D．3．（5分）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则（）A．，s2＜2B．，s2＞2C．，s2＜2D．，s2＞2【解答】解：某7个数的平均数为4，方差为2，则这8个数的平均数为＝×（7×4+4）＝4，方差为s2＝×[7×2+（4﹣4）2]＝＜2．故选：A．4．（5分）已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆长轴的长为6，即2a＝6，得a＝3∵两个焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝•2a＝6，得c＝1，因此，b2＝a2﹣c2＝9﹣1＝8，再结合椭圆焦点在x轴上，可得此椭圆方程为：．故选：B．5．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a3＝1，a5与的等差中项为，则a1的值为（）A．4B．2C．D．【解答】解：正项等比数列{a n}公比设为q（q＞0），满足a3＝1，a5与的等差中项为，可得a1q2＝1，a5+＝1，即a1q4+a1q3＝1，可得2q2+3q﹣2＝0，解得q＝﹣2（舍去），q＝，则a1＝4，故选：A．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若z＝2x﹣y，则z的取值范围是（）A．[﹣5，6）B．[﹣5，6]C．（2，9）D．[﹣5，9]【解答】解：变量x，y满足约束条件不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z＝2x﹣y过点A时，z取得最小值，由，可得A（﹣2，1）时，在y轴上截距最大，此时z取得最小值﹣5．当直线z＝2x﹣y过点C时，z取得最小值，由，可得C（2，﹣2）时，因为C不在可行域内，所以z＝2x﹣y的最大值小于4+2＝6，则z的取值范围是：[﹣5，6）．故选：A．7．（5分）七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形．现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设4号板正方形的边长为1，则5号板直角边长为1，3号板斜边长为，7号板斜边长为2，直角边长为，则大正方形边长为，大正方形的面积为，阴影部分面积为，∴从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期为π，且，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递增C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递减【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ）∵f（x）的最小正周期为π，即＝π∴ω＝2，则2sin（2x+φ）又∵，可知对称轴x＝，∴2sin（2×+φ）＝±2即+φ＝．k∈Z．∵φ可得：φ＝．则f（x）＝2sin（2x+）．求解单调递减区间：令可得：．故选：D．9．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出M，N的值分别为（）A．13，21B．34，55C．21，13D．55，34【解答】解：当i＝1时，不满足退出循环的条件，i＝2，M＝2，N＝3；当i＝2时，不满足退出循环的条件，i＝3，M＝5，N＝8；当i＝3时，不满足退出循环的条件，i＝4，M＝13，N＝21；当i＝4时，不满足退出循环的条件，i＝5，M＝34，N＝55；当i＝5时，满足退出循环的条件，故输出的M，N值分别为：34，55故选：B．10．（5分）设函数，则使得f（x）≤f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．【解答】解：根据题意，函数，分析可得f（﹣x）＝[1+（﹣x）2]+＝（1+x2）+＝f（x），则函数f（x）为偶函数，分析易得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，若f（x）≤f（2x﹣1），则有f（|x|）≤f（|2x﹣1|），即有|x|≥|2x﹣1|，变形可得x2≥4x2﹣4x+1，解可得：≤x≤1，即x的取值范围是[，1]；故选：C．11．（5分）设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为M，延长F1M与双曲线的右支相交于点N，若，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，设F1（﹣c，0），可得|F1M|＝＝b，若，则|MN|＝3b，即|NF1|＝|F1M|+|MN|＝4b，在直角三角形MF1O中，|OF1|＝c，cos∠F2F1M＝，由双曲线的定义可得|NF2|＝|NF1|﹣2a＝4b﹣2a，在△NF1F2中，cos∠F2F1M＝＝，即有16b2＝4c2+16b2﹣（4b﹣2a）2，即2c＝4b﹣2a，可得2b＝a+c＝2，化为3c2﹣2ac﹣5a2＝0，即有（c+a）（3c﹣5a）＝0，可得3c＝5a，即有e＝＝，故选：B．12．（5分）设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），则x1+4x2的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[5，+∞）D．（5，+∞）【解答】解：由设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），可知x1是方程的解；x2是方程的解；则x1，x2分别为函数的图象与函数y＝y＝a x和函数y＝log a x的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1，），B（x2，）由a＞1，知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y＝a x和y＝log a x以及的图象均关于直线y＝x对称，所以两交点一定关于y＝x对称，由于点A（x1，），关于直线y＝x的对称点坐标为（，x1），所以，有x1x2＝1，而x1≠x2则x 1+4x2＝x1+x2+3x2≥＞2+3＝5即x1+4x2∈（5，+∞）故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，，若与平行，则实数x的值是2．【解答】解：向量，，则＝（3，1+x），＝（1，3﹣x），又与平行，则3（3﹣x）﹣（1+x）＝0，解得x＝2．故答案为：2．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆．则该几何体的体积为．【解答】解：由题目所给三视图可得，该几何体为两个半圆锥的组合体，底面半径为：1．高为：，合并为一个圆锥，所以几何体的体积为：＝π．故答案为：．15．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x4项的系数为﹣48．【解答】解：令x＝1，（1﹣a）×（2﹣1）5＝2，解得a＝﹣1．又（2x﹣）5的通项公式T r+1＝（﹣1）r25﹣r•x5﹣2r令5﹣2r＝3，5﹣2r＝5．解得r＝1或0．∴该展开式中常数项﹣80+32＝﹣48，故答案为：﹣48．16．（5分）如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a0；点（1，0）处标数字1，记为a1；点（1，﹣1）处标数字0，记为a2；点（0，﹣1）处标数字﹣1，记为a3；点（﹣1，﹣1）处标数字﹣2，记为a4；点（﹣1，0）处标数字﹣1，记为a5；点（﹣1，1）处标数字0，记为a6；点（0，1）处标数字1，记为a7；…以此类推，格点坐标为（i，j）的点处所标的数字为i+j（i，j均为整数），记S n ＝a1+a2+…+a n，则S2018＝﹣249．【解答】解：设a n的坐标为（x，y），由归纳推理可得a n＝x+y，第一圈从（1，0）点到（1，1）点共有8个点，由对称性得a1+a2+…+a8＝0，第二圈从（2，1）到（2，2）共16个点，由对称性得a9+a10+…+a14＝0，由归纳法得第n圈共有8n个点，这8n项的和也是0，设a2018，在第n圈，则S n＝8+16+…8n＝4（n+1）n，得前22圈共有2024个数，则S2024＝0，则S2018＝S2024﹣（a2024+a2023+…+a2019），a2024所在点的坐标为（22，23），则a2024＝22+22＝44，a2023所在点的坐标为（21，22），则a2023＝21+22＝43，a2022＝20+22＝42，a2021＝19+22＝41，a2020＝18+22＝40，a2019＝17+22＝39，则a2024+a2023+…+a2019＝249，则S2018＝S2024﹣（a2024+a2023+…+a2019）＝0﹣249＝﹣249，故答案为：﹣249三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b cos A﹣a cos B＝2c．（1）证明：tan B＝﹣3tan A；（2）若，且△ABC的面积为，求a．【解答】（1）证明：b cos A﹣a cos B＝2c，根据正弦定理可得：sin B cos A﹣cos B sin A＝2sin C＝2sin（A+B），展开得：sin B cos A﹣cos B sin A＝2（sin B cos A+cos B sin A），整理得：sin B cos A＝﹣3cos B sin A，所以，tan B＝﹣3tan A．（2）解：由已知得：，∴＝，由0＜A＜π，得：，，∴，由0＜B＜π，得：，所以，a＝c，由＝，得：a＝2．18．（12分）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB ＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O．如图2，点P 为BC中点，点E在线段AB上（不同于A，B两点），连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB．（1）证明：OD⊥平面P AQ；（2）若BE＝2AE，求二面角C﹣BQ﹣A的余弦值．【解答】（1）解法一（几何法）证明：取OO1的中点为F，连接AF，PF；∴PF∥OB，∵AQ∥OB，∴PF∥AQ，∴P、F、A、Q四点共面，又由图1可知OB⊥OO1，∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O＝OO1，∴OB⊥平面ADO1O，∴PF⊥平面ADO1O，又∵OD⊂平面ADO1O，∴PF⊥OD．在直角梯形ADO1O中，..，OF＝O1D，∠AOF＝∠OO1D，∴△AOF≌△OO1D，∴∠F AO＝∠DOO1，∴∠F AO+∠AOD＝∠DOO1+∠AOD＝90°，∴AF⊥OD．∵AF∩PF＝F，且AF⊂平面P AQ，PF⊂平面P AQ，∴OD⊥平面P AQ．解法二（向量法）由题设知OA，OB，OO1两两垂直，所以以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，则相关各点的坐标为O（0，0，0），A（6，0，0），B（0，6，0），C（0，3，6），D（3，0，6），Q（6，m，0）．∵点P为BC中点，∴，∴，，，∵，，∴，，且与不共线，∴OD⊥平面P AQ．（2）∵BE＝2AE，AQ∥OB，∴，则Q（6，3，0），∴，．设平面CBQ的法向量为，∵，∴，令z＝1，则y＝2，x＝1，则，又显然，平面ABQ的法向量为，设二面角C﹣BQ﹣A的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，则．19．（12分）2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30）内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25）或[30，35）内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．附：【解答】解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．完成下面的2×2列联表：将2×2列联表中的数据代入公式计算得：＝≈12.210．∵12.210＞6.635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．（3）由表1知：一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为．由已知得：随机变量X的取值为：240，300，360，420，480．P（X＝240）＝，P（X＝300）＝，P（X＝360）＝，P（X＝420）＝，P（X＝480）＝．∴随机变量X的分布列为：∴．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．（1）若直线OA，OB的斜率之积为，证明：直线l过定点；（2）若线段AB的中点M在曲线C2：上，求|AB|的最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），（1）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，由，得：x2﹣4kx﹣4m＝0，△＝16（k2+m）＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4m，＝＝，由已知：，所以m＝1，∴直线l的方程为y＝kx+1，所以直线l过定点（0，1）．（2）设M（x0，y0），则，，将M（x0，y0）带入C2：得：，∴m＝4﹣3k2．∵，∴，∴，又∵△＝16（k2+m）＝16（k2+4﹣3k2）＝32（2﹣k2）＞0，∴，故k的取值范围是：．＝，将m＝4﹣3k2代入得：，当且仅当k2+1＝2﹣k2，即时取等号，所以|AB|的最大值为．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣x2+（2a﹣1）x（a∈R）有两个不同的零点．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞2a【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝＝﹣，若a≤0，则f′（x）＜0，此时f（x）在（0，+∞）递减，不符合题意．若a＞0，则由f′（x）＝0，解得：x＝a，当0＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；要使函数f（x）＝alnx﹣x2+（2a﹣1）x（a∈R）有两个不同的零点．只需f（a）＝alna+a2﹣a＞0即可．令h（a）＝alna+a2﹣a（a＞0），h′（a）＝lna+2a，易知h′（a）＝lna+2a在（0，+∞）递增．且h′（1）＞0，∴存在x0∈（0，1）使h′（x0）＝0，∴a∈（0，x0）时，h（a）递减，a∈（x0，+∞）h（a）递增，∴h（a）＝alna+a2﹣a（a＞0），的草图如下：∴a的取值范围为（1，+∞）．（2）令g（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a）则g（x）＝alnx﹣x2+（2a﹣1）x﹣aln（2a﹣x）﹣（2a﹣1）（2a﹣x）+（2a﹣x）2，g′（x）＝，当0＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）递增，而g（a）＝0，故g（x）＜g（a）＝0，故0＜x＜a时，f（x）＜f（2a﹣x）；不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a＜x2，∴0＜2a﹣x1＞a，得：f（x1）＝f（x2）＜f（2a﹣x1），∵f（x）在（a，+∞）递减，∴x2＞2a﹣x1，即：x1+x2＞2a．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值．【解答】解：（1）由已知得：，消去t得，∴化为一般方程为：，即：l：．曲线C：ρ＝4sinθ得，ρ2＝4ρsinθ，即x2+y2＝4y，整理得x2+（y﹣2）2＝4，即：C：x2+（y﹣2）2＝4．（2）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程中得：，即t2+t﹣3＝0，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则，∴＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）当x∈R时，f（x）≥﹣x+a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x≤﹣2时，f（x）＝﹣x+4，∴f（x）≥6⇒﹣x+4≥6⇒x≤﹣2，故x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，f（x）＝﹣3x，∴f（x）≥6⇒﹣3x≥6⇒x≤﹣2，故x∈ϕ；当x≥1时，f（x）＝x﹣4，∴f（x）≥6⇒x﹣4≥6⇒x≥10，故x≥10；综上可知：f（x）≥6的解集为（﹣∞，2]∪[10，+∞）．（2）由（1）知：，【解法一】如图所示：作出函数f（x）的图象，由图象知，当x＝1时，﹣1+a≤﹣3，解得：a≤﹣2，∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．【解法二】当x≤﹣2时，﹣x+4≥﹣x+a恒成立，∴a≤4，当﹣2＜x＜1时，﹣3x≥﹣x+a恒成立，∴a≤﹣2，当x≥1时，x﹣4≥﹣x+a恒成立，∴a≤﹣2，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．。

山东省济南市高三数学第一次模拟考试试题文

山东省济南市2018届高三数学第一次模拟考试试题文一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =+-=，{1,1}B =-，则AB =（）A ．{1}B ．{1,1,3}-C ．{3,1,1}--D ．{3,1,1,3}-- 2.若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则（） A ．命题p 与命题q 都是真命题 B ．命题p 与命题q 都是假命题 C ．命题p 是真命题，命题q 是假命题 D ．命题p 是假命题，命题q 是真命题3.欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x π=时，10i e π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，4ie 表示的复数在复平面中位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.的是（） A ．22198x y -= B ．2219x y -= C ．22198x y += D ．2219x y += 5.若sin 410A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（） A ．35 B ．45 C ．35或45 D ．346.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.将函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （）A ．为奇函数，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 B ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1BD 的中点，则PAC ∆在该正方体各个面上的正投影可能是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④ 9.函数1x x y e+=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ． 10.执行如图所示的程序框图，当输入2018i =时，输出的结果为（）A ．-1008B ．1009C ．3025D ．302811.已知双曲线C ：22194x y -=的两条渐近线是1l ，2l ，点M 是双曲线C 上一点，若点M 到渐近线1l 距离是3，则点M 到渐近线2l 距离是（） A ．1213 B ．1 C ．3613D ．3 12. 设1x ，2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ，b 满足5b =，253a b +=，52a b -=，则a = ． 14.如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩（单位：环），则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为．15.在平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=，30B ∠=，33AB =5BC =，则线段BD 的长度为．16.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n S n n =+，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PB 的中点.（1）证明：//PD 平面CEF ；（2）若PE ⊥平面ABCD ，2PE AB ==，求四面体P DEF -的体积.19. 2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45]频数4369628324（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损 100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？附：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(2,1)M 在抛物线C ：2x ay =上，直线l ：(0)y kx b b =+≠与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线OA ，OB 的斜率之和为-1.（1）求a 和k 的值；（2）若1b >，设直线l 与y 轴交于D 点，延长MD 与抛物线C 交于点N ，抛物线C 在点N 处的切线为n ，记直线n ，l 与x 轴围成的三角形面积为S ，求S 的最小值.21.设函数221()ln f x x a x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，记()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a <.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P 的直线l的参数方程为11222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11PM PN+的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()222f x x x =--+. （1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: CDCDB 6-10: ADBCB 11、12：AD 二、填空题13.314. 2 15. 16. 420(,)33三、解答题17.解：（1）由22n S n n =+，得当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=-2222(1)(1)n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-.所以41n a n =-. （2）11n n n b a a +=1(41)(43)n n =-+111()44143n n =--+，所以11111[()()437710n T =-+-11()]4143n n +⋅⋅⋅+--+ 111()4343129nn n =-=++. 18.（1）证明：连接BE 、BD ，BD 交CE 于点O ， ∵E 为线段AD 的中点，//AD BC ，12BC AD ED ==，∴BC ED ∨， ∴四边形BCDE 为平行四边形， ∴O 为BD 的中点，又F 是BP 的中点， ∴//OF PD ，又OF ⊂平面CEF ，PD ⊄平面CEF ， ∴//PD 平面CEF .（2）解法一：由（1）知，四边形BCDE 为平行四边形，∴BE CD ∨， ∵四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，12AB BC AD ==， ∴AB AE BE ==，∴三角形ABE 是等边三角形，∴3DAB π∠=，做BH AD ⊥于H，则BH =∵PE ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD平面ABCD AD =，BH AD ⊥，BH ⊂平面ABCD ，∴BH ⊥平面PAD ，∴点B 到平面PAD 的距离为BH =又∵F 为线段PB 的中点，∴点F 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离的一半，即2h =，又122PDE S PE DE =⋅=，∴13PDEF PDE V S h =⋅12323=⋅⋅=. 解法二：//CD BE ，CD ⊄平面BEP ，BE ⊂平面BEP ，∴//CD 平面BEP ， ∴点D 到平面BEP 的距离等于点C 到平面BEP 的距离，做CT BE ⊥于点T ，由BC BE EC ==，知三角形BCE 是等边三角形，∴CT =， ∵PE ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面BEP ，∴平面BEP ⊥平面ABCD ，又平面BEP平面ABCD BE =，CT BE ⊥，CT ⊂平面ABCD ，∴CT ⊥平面BEP ，∴点C 到平面BEP 的距离为CT ，又F 为线段PB 的中点，∴12PEF PBE S S =114PE BE =⋅=，∴13PDEF PEF V S CT =⋅1133=⋅=. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PB 的中点.（1）证明：//PD 平面CEF ；（2）若PE ⊥平面ABCD ，2PE AB ==，求四面体P DEF -的体积. 19.解：（1）根据图1和表1得到22⨯列联表：将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(172828192)20020036436⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12.21≈.∵12.21 6.635>，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为19296200100=，设备改造前产品为合格品的概率约为17286200100=；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好. （3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，18096010040168800⨯-⨯=，所以该企业大约获利168800元.20.解：（1）将点(2,1)M 代入抛物线C ：2x ay =，得4a =，24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x b =-，解法一：1212OA OBy y k k x x +=+2212121144x xx x +121()4x x =+，由已知得121()14x x +=-，所以414k=-，1k =-. 解法二：1212OA OB kx b kx b k k x x +++=+1212()2b x x k x x +=+424kbk k b=+=-，由已知得1k =-.（2）在直线l 的方程y x b =-+中，令0x =得(0,)D b ，12DM bk -=，直线DM 的方程为：11(2)2b y x --=-，即(1)2b xy b -=+，由2(1)24b x y b x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22(1)40x b x b ---=，解得：2x =，或2x b =-，所以()22,N b b -，由24x y =，得214y x =，1'2y x =，切线n 的斜率1(2)2k b b =-=-，切线n 的方程为：2(2)y b b x b -=-+，即2y bx b =--，由2y bx b y x b⎧=--⎨=-+⎩，得直线l 、n 交点Q ，纵坐标221Q b y b =-，在直线y x b =-+，2y bx b =--中分别令0y =，得到与x 轴的交点(,0)R b ，(,0)E b -，所以12Q S RE y =()23122211b b b b b b =+=--，22(23)'(1)b b S b 2-=-，(1,)b ∈+∞，当3(1,)2b ∈时，函数单调递减；当3(,)2b ∈+∞时，函数单调递增；∴当32b =时，S 最小值为272.21.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，23212'()1()f x a x x x=+-+222322x x a x x ++=-23(2)()x x a x +-=，当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，当(0,)x a ∈，'()0f x <，()f x 单调递减；当(,)x a ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增. （2）由（1）知，min ()()f x f a =221(ln )a a a a a =---1ln a a a a=--，即1()ln g a a a a a=--. 解法一：21'()1ln 1g a a a =--+21ln a a =-，321''()0g a a a=--<， ∴'()g a 单调递减，又'(1)0g >，'(2)0g <，所以存在0(1,2)a ∈，使得0'()0g a =，∴当0(0,)a a ∈时，'()0g a >，()g a 单调递增；当0(,)a a ∈+∞时，'()0g a <，()g a 单调递减；∴max 0()()g a g a =00001ln a a a a =--，又0'()0g a =，即0201ln 0a a -=，0201ln a a =， ∴00020011()g a a a a a =--002a a =-，令00()()t a g a =，则0()t a 在(1,2)上单调递增，又0(1,2)a ∈，所以0()(2)211t a t <=-=，∴()1g a <.解法二：要证()1g a <，即证1ln 1a a a a --<，即证：2111ln a a a--<，令211()ln 1h a a a a =++-，则只需证211()ln 10h a a a a =++->， 23112'()h a a a a=--2332(2)(1)a a a a a a ---+==，当(0,2)a ∈时，'()0h a <，()h a 单调递减；当(2,)a ∈+∞时，'()0h a >，()h a 单调递增；所以min ()(2)h a h =111ln 21ln 20244=++-=->，所以()0h a >，即()1g a <.22.【解析】（1）由已知得：1122x t y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去t得21)y x -=-，20y -+-=，即：l20y -+-=.曲线C ：4sin ρθ=得，24sin ρρθ=，即224x y y +=，整理得22(2)4x y +-=，即：C ：22(2)4x y +-=.（2）把直线l的参数方程11232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程中得：2213(1)()422t t++=，即230t t+-=，设M，N两点对应的参数分别为1t，2t，则121213t tt t+=-⎧⎨⋅=-⎩，∴11PM PN+1212PM PN t tPM PN t t++==⋅⋅21212121212()4t t t t t tt t t t-+-⋅==⋅⋅133=.23.【解析】（1）当2x≤-时，()4f x x=-+，∴()646f x x≥⇒-+≥2x⇒≤-，故2x≤-；当21x-<<时，()3f x x=-，∴()636f x x≥⇒-≥2x⇒≤-，故xφ∈；当1x≥时，()4f x x=-，∴()646f x x≥⇒-≥10x⇒≥，故10x≥；综上可知：()6f x≥的解集为(,2][10,)-∞+∞.（2）由（1）知：4,2()3,214,1x xf x x xx x-+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如图所示：作出函数()f x的图象，由图象知，当1x=时，13a-+≤-，解得：2a≤-，∴实数a 的取值范围为(,2]-∞-.【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤，当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞-.。

2018年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。

） 1、设z=，则∣z ∣=（）A.0B. 12 C.1 D. √2 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则C R A =（） A 、{x|-1<x<2} B 、{x|-1≤x ≤2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3 = S 2+ S 4，a 1 =2，则a 5 =（） A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、125、设函数f （x ）=x ³+（a-1）x ²+ax .若f （x ）为奇函数，则曲线y= f （x ）在点（0，0）处的切线方程为（）A.y= -2xB.y= -xC.y=2xD.y=x6、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB→ =（） A. 34 AB → - 14 AC → B. 14 AB → - 34 AC → C. 34 AB → + 14 AC → D. 14 AB → + 34 AC→建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。

圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）A. 2√17B. 2√5C. 3D. 28.设抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM → ·FN→ =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f （x ）= g （x ）=f （x ）+x+a ，若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是( )A. [-1，0）B. [0，+∞）C. [-1，+∞）D. [1，+∞）10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。

2018年济南市一模试题

高考模拟考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =+-=，{1,1}B =-，则AB =（）A ．{1}B ．{1,1,3}-C ．{3,1,1}--D ．{3,1,1,3}-- 2.若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则（） A ．命题p 与命题q 都是真命题 B ．命题p 与命题q 都是假命题 C ．命题p 是真命题，命题q 是假命题 D ．命题p 是假命题，命题q 是真命题3.欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x π=时，10i e π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，4ie 表示的复数在复平面中位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.下列曲线中离心率为3的是（） A ．22198x y -= B ．2219x y -= C ．22198x y += D ．2219x y += 5.若sin 410A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（） A ．35 B ．45 C ．35或45 D ．346.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.将函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （）A ．为奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称8.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为1BD 的中点，则PAC ∆在该正方体各个面上的正投影可能是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④ 9.函数1x x y e+=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ． 10.执行如图所示的程序框图，当输入2018i =时，输出的结果为（）A ．-1008B ．1009C ．3025D ．302811.已知双曲线C ：22194x y -=的两条渐近线是1l ，2l ，点M 是双曲线C 上一点，若点M 到渐近线1l 距离是3，则点M 到渐近线2l 距离是（） A ．1213 B ．1 C ．3613D ．3 12. 设1x ，2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ，b 满足5b =，253a b +=，52a b -=，则a = ． 14.如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩（单位：环），则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为．15.在平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=，30B ∠=，AB =5BC =，则线段BD 的长度为．16.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n S n n =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PB 的中点.（1）证明：//PD 平面CEF ；（2）若PE ⊥平面ABCD ，2PE AB ==，求四面体P DEF -的体积.19. 2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损 100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(2,1)M 在抛物线C ：2x ay =上，直线l ：(0)y kx b b =+≠与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线OA ，OB 的斜率之和为-1.（1）求a 和k 的值；（2）若1b >，设直线l 与y 轴交于D 点，延长MD 与抛物线C 交于点N ，抛物线C 在点N 处的切线为n ，记直线n ，l 与x 轴围成的三角形面积为S ，求S 的最小值. 21.设函数221()ln f x x a x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，记()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a <.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P 的直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11PM PN+的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()222f x x x =--+. （1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.2018年济南市高三教学质量检测文科数学参考答案一、选择题1-5: CDCDB 6-10: ADBCB 11、12：AD 二、填空题14. 2 15. 420(,)33三、解答题17.解：（1）由22n S n n =+，得当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=-2222(1)(1)n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-.所以41n a n =-. （2）11n n n b a a +=1(41)(43)n n =-+111()44143n n =--+，所以11111[()()437710n T =-+-11()]4143n n +⋅⋅⋅+--+ 111()4343129n n n =-=++. 18.（1）证明：连接BE 、BD ，BD 交CE 于点O ， ∵E 为线段AD 的中点，//AD BC ，12BC AD ED ==，∴BC ED ∨， ∴四边形BCDE 为平行四边形， ∴O 为BD 的中点，又F 是BP 的中点， ∴//OF PD ，又OF ⊂平面CEF ，PD ⊄平面CEF ， ∴//PD 平面CEF .（2）解法一：由（1）知，四边形BCDE 为平行四边形，∴BE CD ∨， ∵四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，12AB BC AD ==， ∴AB AE BE ==，∴三角形ABE 是等边三角形，∴3DAB π∠=，做BH AD ⊥于H ，则BH =∵PE ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD平面ABCD AD =，BH AD ⊥，BH ⊂平面ABCD ，∴BH ⊥平面PAD ，∴点B 到平面PAD 的距离为BH =又∵F 为线段PB 的中点，∴点F 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离的一半，即2h =122PDE S PE DE =⋅=，∴13PDEF PDE V S h =⋅12323=⋅=. 解法二：//CD BE ，CD ⊄平面BEP ，BE ⊂平面BEP ，∴//CD 平面BEP ， ∴点D 到平面BEP 的距离等于点C 到平面BEP 的距离，做CT BE ⊥于点T ，由BC BE EC ==，知三角形BCE 是等边三角形，∴CT =， ∵PE ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面BEP ，∴平面BEP ⊥平面ABCD ，又平面BEP平面ABCD BE =，CT BE ⊥，CT ⊂平面ABCD ，∴CT ⊥平面BEP ，∴点C 到平面BEP 的距离为CT = 又F 为线段PB 的中点，∴12PEF PBE S S =114PE BE =⋅=，∴13PDEF PEF V S CT =⋅1133=⋅=18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PB 的中点.（1）证明：//PD 平面CEF ；（2）若PE ⊥平面ABCD ，2PE AB ==，求四面体P DEF -的体积. 19.解：（1）根据图1和表1得到22⨯列联表：将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(172828192)20020036436⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12.21≈. ∵12.21 6.635>，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为19296200100=，设备改造前产品为合格品的概率约为17286200100=；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好. （3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，18096010040168800⨯-⨯=，所以该企业大约获利168800元.20.解：（1）将点(2,1)M 代入抛物线C ：2x ay =，得4a =，24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x b =-，解法一：1212OA OBy y k k x x +=+2212121144x xx x +121()4x x =+，由已知得121()14x x +=-，所以414k=-，1k =-. 解法二：1212OA OB kx b kx b k k x x +++=+1212()2b x x k x x +=+424kb k k b =+=-，由已知得1k =-.（2）在直线l 的方程y x b =-+中，令0x =得(0,)D b ，12DM bk -=，直线DM 的方程为：11(2)2b y x --=-，即(1)2b xy b -=+，由2(1)24b x y b x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22(1)40x b x b ---=，解得：2x =，或2x b =-，所以()22,N b b -，由24x y =，得214y x =，1'2y x =，切线n 的斜率1(2)2k b b =-=-，切线n 的方程为：2(2)y b b x b -=-+，即2y bx b =--，由2y bx b y x b⎧=--⎨=-+⎩，得直线l 、n 交点Q ，纵坐标221Q b y b =-，在直线y x b =-+，2y bx b =--中分别令0y =，得到与x 轴的交点(,0)R b ，(,0)E b -，所以12Q S RE y =()23122211b b b b b b =+=--，22(23)'(1)b b S b 2-=-，(1,)b ∈+∞，当3(1,)2b ∈时，函数单调递减；当3(,)2b ∈+∞时，函数单调递增；∴当32b =时，S 最小值为272.21.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，23212'()1()f x a x x x =+-+222322x x a x x ++=-23(2)()x x a x+-=，当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，当(0,)x a ∈，'()0f x <，()f x 单调递减；当(,)x a ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增. （2）由（1）知，min ()()f x f a =221(ln )a a a a a =---1ln a a a a=--，即1()ln g a a a a a=--.解法一：21'()1ln 1g a a a =--+21ln a a =-，321''()0g a a a=--<， ∴'()g a 单调递减，又'(1)0g >，'(2)0g <，所以存在0(1,2)a ∈，使得0'()0g a =，∴当0(0,)a a ∈时，'()0g a >，()g a 单调递增；当0(,)a a ∈+∞时，'()0g a <，()g a 单调递减；∴max 0()()g a g a =00001ln a a a a =--，又0'()0g a =，即0201ln 0a a -=，0201ln a a =， ∴00020011()g a a a a a =--002a a =-，令00()()t a g a =，则0()t a 在(1,2)上单调递增，又0(1,2)a ∈，所以0()(2)211t a t <=-=，∴()1g a <.解法二：要证()1g a <，即证1ln 1a a a a --<，即证：2111ln a a a--<，令211()ln 1h a a a a =++-，则只需证211()ln 10h a a a a =++->， 23112'()h a a a a =--2332(2)(1)a a a a a a ---+==，当(0,2)a ∈时，'()0h a <，()h a 单调递减；当(2,)a ∈+∞时，'()0h a >，()h a 单调递增；所以min ()(2)h a h =111ln 21ln 20244=++-=->，所以()0h a >，即()1g a <.22.【解析】（1）由已知得：11222x t y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去t得21)y x -=-，20y -+=，即：l20y -+=.曲线C ：4sin ρθ=得，24sin ρρθ=，即224x y y +=，整理得22(2)4x y +-=，即：C ：22(2)4x y +-=.（2）把直线l的参数方程11222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中得：221(1))42t ++=，即230t t +-=，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则121213t t t t +=-⎧⎨⋅=-⎩， ∴11PM PN +1212PM PN t t PM PN t t ++==⋅⋅1212t t t t -==⋅=23.【解析】（1）当2x ≤-时，()4f x x =-+，∴()646f x x ≥⇒-+≥2x ⇒≤-，故2x ≤-；当21x -<<时，()3f x x =-，∴()636f x x ≥⇒-≥2x ⇒≤-，故x φ∈；当1x ≥时，()4f x x =-，∴()646f x x ≥⇒-≥10x ⇒≥，故10x ≥；综上可知：()6f x ≥的解集为(,2][10,)-∞+∞.（2）由（1）知：4,2()3,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如图所示：作出函数()f x 的图象，由图象知，当1x =时， 13a -+≤-，解得：2a ≤-， ∴实数a 的取值范围为(,2]-∞-.【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤，当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞-.。

2018级(高三)第一次诊断性测试理科数学参考答案精品

山东省实验中学2018级第一次诊断性测试理科数学参考答案DBDD CABD CBDB13.1sin ,≥∈∃x R x 14. [)∞,2 15. )27(f <)1(f <)25(f , 16. 217解：.2.01,0,042>⇒⎪⎩⎪⎨⎧><->-=∆⇔m m m p 为真命题 …………3分.310144)]2(4[2<<⇒<⨯⨯--=∆⇔m m q 为真命题 …………6分 .,,一真一假与为假为真q p q p q p ∴∧∨ …………7分若.3,31,2,≥≥≤>m m m m q p 所以或且则假真…………9分若.21,31,2,≤<<<≤m m m q p 所以且则真假 …………11分综上所述，m 的取值范围为}.3,21|{≥≤<m m m 或 …………12分 18．求曲线123y x y y x =+==-，围成的平面图形的面积．13013221 (1,1)2'120 (0,0)4'10313 B(3,1)6'31211)(2)33121(2036x y A y x y y x y y xx y x y x y S x dx x x dxx x x ⎧=⎧=⎪⎨⎨=+=⎪⎩⎩⎧==⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩⎧==⎧⎪-⎨⎨=-⎩⎪+=⎩∴=+-+++-⎰⎰ 解：由得即由得即O －－由得即＝231)131312'3x ＝19.已知函数421,0()3,1c ccx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩ 满足29()8f c =；（1）求常数c 的值；（2）解不等式()2f x <．解：（1）因为01c <<，所以2c c <；由29()8f c =，即3918c +=，12c = (4)（2）由（1）得211122()31x x f x x x x ⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤ (6)由()2f x <得，当102x <<时，解得102x <<， (8)当112x <≤时，2320x x +-<解得1223x <≤， (10)所以()2f x <的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． (12)20.已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β.解：（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得sin α= (2)∴sin 7tan cos 1ααα===..4于是22tan tan 21tan 1ααα===--..6 （Ⅱ）由02παβ<<<，得02παβ<-<又∵()13cos 14αβ-=，∴()sin αβ-==8 由()βααβ=--得：()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11317142=⨯+= (1)0 所以3πβ= (12)21.已知)(x f 对一切实数y x ,都有2)1(),()()(=+=+f y f x f y x f ，当x ＞0时，)(x f ＜0（1）证明)(x f 为奇函数（2）证明)(x f 为R 上的减函数（3）解不等式)21()1(2x x f x f ----＜4 （1）证明，依题意取)0(2)0(0f f y x ===有∴0)0(=f ……………………1分又取x y -=可得))(0()()()(R x f x f x f x x f ∈=-+=- 即)(0)()(R x x f x f ∈=-=∴))(()(R x x f x f ∈-=-……………………3分由x 的任意性可知)(x f 为奇函数……………………4分（2）证明：设0),(,12121221>--+=<x x x x x x x x 其中则…………5分 ∴)]([)()()(121221x x x f x f x f x f -+-=-)()]()([)(121211x x f x x f x f x f --=-+==………………7分∵012>-x x ∴0)(12<-x x f∴)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-即 ∴)(x f 在R 上减函数……………………8分（3）解：依题意有4)1()1()2(=+=f f f ………………9分 ∴不等式可化为),2()21()1(2f x x f x f <---- 即)2()21()1(2f x x f x f +--<-∴)23()1(2x x f x f --<-………………10分因为)(x f 是R 上的减函数∴142312>-<-->-x x x x x 或解得………………11分所以不等式的解集为}14{>-<x x 或………………12分）22.已知函数()()32,0f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数，在[]0,2是减函数，且方程()0f x =有三个根，它们分别是,2,αβ。

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2018年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.复数12+i +11+2i(其中i为虚数单位)的虚部为A. 35B. 35i C. −35D. −35i【答案】C【解析】解：复数12+i +11+2i=2−i(2+i)(2−i)+1−2i(1+2i)(1−2i)=25−15i+15−25i=35−35i.其虚部为−35．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.若集合A={x|1<x<2}，B={x|x>b,b∈R}，则A⊆B的一个充分不必要条件是A. b≥2B. 1<b≤2C. b≤1D. b<1【答案】D【解析】解：∵集合A={x|1<x<2}，B={x|x>b}，若A⊆B，则b≤1，故A⊆B的一个充分不必要条件是b<1，故选：D．根据A⊆B的充分不必要条件，可得b<1，即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则A. x=4，s2<2B. x=4，s2>2C. x>4，s2<2D. x>4，s2>2【答案】A【解析】解：某7个数的平均数为4，方差为2，则这8个数的平均数为x=18×(7×4+4)=4，方差为s2=18×[7×2+(4−4)2]=74<2．故选：A．由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解即可．本题考查了平均数和方差的计算应用问题，是基础题．4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为A. x236+y232=1 B. x29+y28=1 C. x29+y25=1 D. x216+y212=1【答案】B【解析】解：椭圆长轴的长为6，即2a=6，得a=3∵两个焦点恰好将长轴三等分，∴2c=13⋅2a=6，得c=1，因此，b2=a2−c2=9−1=8，再结合椭圆焦点在x轴上，可得此椭圆方程为：x29+y28=1．故选：B．根据题意，2a=6，且2c=13⋅2a=2，可得a=3且c=1，再根据椭圆中a、b、c的平方关系得到b2的值，结合椭圆焦点在x轴，得到此椭圆的标准方程．本题给出椭圆的长轴长和焦点的位置，求椭圆的标准方程，着重考查了椭圆的基本概念和标准方程等知识，属于基础题．5.已知正项等比数列{a n}满足a3=1，a5与32a4的等差中项为12，则a1的值为A. 4B. 2C. 12D. 14【答案】A【解析】解：正项等比数列{a n}公比设为q(q>0)，满足a3=1，a5与32a4的等差中项为12，可得a1q2=1，a5+32a4=1，即a1q4+32a1q3=1，可得2q2+3q−2=0，解得q=−2(舍去)，q=12，则a1=4，故选：A．设等比数列的公比为q，q>0，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，计算即可得到所求首项．本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.已知变量x，y满足约束条件{x−y−4⩽0,−2⩽x<2,y⩽1,若z=2x−y，则z的取值范围是()A. [−5,6)B. [−5,6]C. (2,9)D. [−5,9]【答案】A【解析】解：变量x ，y 满足约束条件{x −y −4≤0−2≤x <2y ≤1不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z =2x −y 过点A 时，z 取得最小值，由{y =1x=−2，可得A(−2,1)时，在y 轴上截距最大，此时z 取得最小值−5．当直线z =2x −y 过点C 时，z 取得最小值，由{x −y −4=0x=2，可得C(2,−2)时，因为C 不在可行域内，所以z =2x −y 的最大值小于4+2=6，则z 的取值范围是：[−5,6)．故选：A ．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z =2x −y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．7. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板和2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板和5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A. 18B. 14C. 316D. 38【答案】C【解析】解：设4号板正方形的边长为1，则5号板直角边长为1，3号板斜边长为√2，7号板斜边长为2，直角边长为√2，则大正方形边长为2√2，大正方形的面积为2√2×2√2=8，阴影部分面积为12×1×1+12×√2×√2=32， ∴从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是328=316．故选：C ．设4号板正方形的边长为1，结合图形求出大正方形的边长及5号板与7号板的直角边长，再求出阴影部分的面积，由测度比为面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查学生的读图视图能力，是基础题．8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+√3cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(π3−x)=f(x)，则()A. f(x)在(0,π2)上单调递减 B. f(x)在(π6,2π3)上单调递增C. f(x)在(0,π2)上单调递增 D. f(x)在(π6,2π3)上单调递减【答案】D【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)+√3cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ+π3)∵f(x)的最小正周期为π，即2πω=π∴ω=2，则2sin(2x+φ+π3)又∵f(π3−x)=f(x)，可知对称轴x=π6，∴2sin(2×π6+φ+π3)=±2即2π3+φ=π2+kπ.k∈Z．∵−π2≤φ≤π2可得：φ=−π6．则f(x)=2sin(2x+π6).求解单调递减区间：令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ可得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3．故选：D．利用辅助角公式化简，根据周期为π求解ω，f(π3−x)=f(x)，可知对称轴x=π6，求解φ.结合三角函数的单调性判断即可．本题主要考查了三角函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，倍角公式化简的应用，属于基础题．9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出M，N的值分别为A. 13，21B. 34，55C. 21，13D. 55，34【答案】B【解析】解：当i=1时，不满足退出循环的条件，i=2，M=2，N=3；当i=2时，不满足退出循环的条件，i=3，M=5，N=8；当i=3时，不满足退出循环的条件，i=4，M=13，N=21；当i=4时，不满足退出循环的条件，i=5，M=34，N=55；当i=5时，满足退出循环的条件，故输出的M，N值分别为：34，55故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量M，N的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10.设函数f(x)=log12(1+x2)+11+2|x|，则使得f(x)≤f(2x−1)成立的x的取值范围是()A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. [13,1] D. (−∞,13]∪[1,+∞)【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)=log12(1+x2)+11+2|x|，分析可得f(−x)=log12[1+(−x)2]+11+2|−x|=log12(1+x2)+11+2|x|=f(x)，则函数f(x)为偶函数，分析易得：f(x)在(0,+∞)上为减函数，若f(x)≤f(2x−1)，则有f(|x|)≤f(|2x−1|)，即有|x|≥|2x−1|，变形可得x2≥4x2−4x+1，解可得：13≤x≤1，即x的取值范围是[13,1]；故选：C．根据题意，分析可得函数f(x)为偶函数且在(0,+∞)上为减函数，进而可以将f(x)≤f(2x−1)转化为|x|≥|2x−1|，变形可得x2≥4x2−4x+1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及复合函数的单调性，关键是分析函数f(x)的单调性．11. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1作一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长F 1M 与双曲线的右支相交于点N ，若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则此双曲线的离心率为( )A. √132B. 53C. 43D. 2√63【答案】B【解析】解：双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)，一条渐近线方程为bx −ay =0，设F 1(−c,0)，可得|F 1M|=√b 2+a 2=b ，若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|MN|=3b ，即|NF 1|=|F 1M|+|MN|=4b ，在直角三角形MF 1O 中，|OF 1|=c ， cos∠F 2F 1M =bc，由双曲线的定义可得|NF 2|=|NF 1|−2a =4b −2a ，在△NF 1F 2中，cos∠F 2F 1M =|F 1F 2|2+|NF 1|2−|NF 2|22|F 1F 2|⋅|NF 1|=4c 2+16b 2−(4b−2a)22⋅2c⋅4b，即有16b 2=4c 2+16b 2−(4b −2a)2，即2c =4b −2a ，可得2b =a +c =2√c 2−a 2，化为3c 2−2ac −5a 2=0，即有(c +a)(3c −5a)=0，可得3c =5a ，即有e =ca =53，故选：B ．设出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得|F 1M|=b ，进而得到|MN|，分别在直角三角形MF 1O 中运用勾股定理，在△NF 1F 2中，运用余弦定理，结合双曲线的定义和离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的渐近线方程的运用，注意运用解三角形的余弦定理，以及勾股定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12. 设x 1，x 2分别是函数f(x)=x −a −x 和g(x)=xlog a x −1的零点(其中a >1)，则x 1+4x 2的取值范围是 A. [4,+∞) B. (4,+∞) C. [5,+∞) D. (5,+∞) 【答案】D【解析】解：由设x 1，x 2分别是函数f(x)=x −a −x 和g(x)=xlog a x −1的零点(其中a >1)，可知x1是方程a x=1x 的解；x2是方程1x=log a x的解；则x1，x2分别为函数y=1x的图象与函数y=y=a x和函数y=log a x的图象交点的横坐标；设交点分别为A(x1,1x1)，B(x2,1x2)由a>1，知0<x1<1；x2>1；又因为y=a x和y=log a x以及y=1x的图象均关于直线y=x对称，所以两交点一定关于y=x对称，由于点A(x1,1x1)，关于直线y=x的对称点坐标为(1x1,x1)，所以x1=1x2，有x1x2=1，而x1≠x2则x1+4x2=x1+x2+3x2≥2√x1x2+3x2>2+3=5即x1+4x2∈(5,+∞)故选：D．函数的零点即方程的解，将其转化为图象交点问题，又有函数图象特点，得到交点的对称问题，从而求解本题考查了函数的概念与性质、对数函数以及指数函数．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(2,x)，若a⃗+b⃗ 与3a⃗−b⃗ 平行，则实数x的值是______．【答案】2【解析】解：向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(2,x)，则a⃗+b⃗ =(3,1+x)，3a⃗−b⃗ =(1,3−x)，又a⃗+b⃗ 与3a⃗−b⃗ 平行，则3(3−x)−(1+x)=0，解得x=2．故答案为：2．根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出x的值．本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．14.某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为2√3，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆.则该几何体的体积为________．【答案】√33π【解析】解：由题目所给三视图可得，该几何体为两个半圆锥的组合体，底面半径为：1.高为：√3，合并为一个圆锥，所以几何体的体积为：13×12×π×√3=√33π.故答案为：√33π．三视图复原可知几何体是两个半圆锥的组合体，根据三视图数据，求出几何体的体积．本题考查三视图求表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．15.(x−ax )(2x−1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x4项的系数为________．【答案】−48【解析】解：令x=1，(1−a)×(2−1)5=2，解得a=−1．又(2x−1x)5的通项公式T r+1=(−1)r25−r C5r⋅x5−2r令5−2r=3，5−2r=5．解得r=1或0．∴该展开式中常数项−80+32=−48，故答案为：−48．令x=1，(1−a)×(2−1)5=2，解得a=−1.再利用(2x−1x)5的通项公式，进而得出．本题考查了二项式定理、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a0；点(1,0)处标数字1，记为a1；点(1,−1)处标数字0，记为a2；点(0,−1)处标数字−1，记为a3；点(−1,−1)处标数字−2，记为a4；点(−1,0)处标数字−1，记为a5；点(−1,1)处标数字0，记为a6；点(0,1)处标数字1，记为a7；……以此类推，格点坐标为(i,j)的点处所标的数字为i+j(i,j均为整数)，记S n=a1+ a2+⋯+a n，则S2018=________．【答案】−249【解析】解：设a n的坐标为(x,y)，由归纳推理可得a n=x+y，第一圈从(1,0)点到(1,1)点共有8个点，由对称性得a1+a2+⋯+a8=0，第二圈从(2,1)到(2,2)共16个点，由对称性得a9+a10+⋯+a14=0，由归纳法得第n圈共有8n个点，这8n项的和也是0，设a2018，在第n圈，则S n=8+16+⋯8n=4(n+1)n，得前22圈共有2024个数，则S2024=0，则S2018=S2024−(a2024+a2023+⋯+a2019)，a2024所在点的坐标为(22,23)，则a2024=22+22=44，a2023所在点的坐标为(21,22)，则a2023=21+22=43，a2022=20+22=42，a2021=19+22=41，a2020=18+22=40，a2019=17+22= 39，则a2024+a2023+⋯+a2019=249，则S2018=S2024−(a2024+a2023+⋯+a2019)=0−249=−249，故答案为：−249根据点的变化规律得到第n圈共有8n个点，这8n项的和也是0，然后利用整体法进行转化求解即可．本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找规律是解决本题的关键.综合性较强，难度较大．三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA−acosB=2c．(1)证明：tanB=−3tanA；(2)若b2+c2=a2+√3bc，且△ABC的面积为√3，求a．【答案】(1)证明：bcosA−acosB=2c，根据正弦定理可得：sinBcosA−cosBsinA=2sinC=2sin(A+B)，展开得：sinBcosA−cosBsinA=2(sinBcosA+cosBsinA)，整理得：sinBcosA=−3cosBsinA，所以，tanB=−3tanA．(2)解：由已知得：b2+c2−a2=√3bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =√3bc2bc=√32，由0<A<π，得：A=π6，tanA=√33，∴tanB=−√3，由0<B<π，得：B=2π3，所以C=π6，a=c，由S=12acsin2π3=12×√32a2=√3，得：a=2．【解析】(1)利用正弦定理以及三角形的内角和，结合两角和与差的三角函数，化简求解即可．(2)利用余弦定理求出A，求出B，得到C，然后求解三角形的面积即可．本题考查三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．18.如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB//CD，且CD=6，AB=12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E 在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ//OB．(1)证明：OD⊥平面PAQ；(2)若BE=2AE，求二面角C−BQ−A的余弦值．【答案】(1)解法一(几何法)证明：取OO1的中点为F，连接AF，PF；∴PF//OB，∵AQ//OB，∴PF//AQ，∴P、F、A、Q四点共面，又由图1可知OB⊥OO1，∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O=OO1，∴OB⊥平面ADO1O，∴PF⊥平面ADO1O，又∵OD⊂平面ADO1O，∴PF⊥OD．在直角梯形ADO1O中，OF=O1D，∠AOF=∠OO1D，∴△AOF≌△OO1D，∴∠FAO=∠DOO1，∴∠FAO+∠AOD=∠DOO1+∠AOD=90∘，∴AF⊥OD．∵AF∩PF=F，且AF⊂平面PAQ，PF⊂平面PAQ，∴OD⊥平面PAQ．解法二(向量法)由题设知OA，OB，OO1两两垂直，所以以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，则相关各点的坐标为O(0,0，0)，A(6,0，0)，B(0,6，0)，C(0,3，6)，D(3,0，6)，Q(6,m，0)．,3)，∵点P为BC中点，∴P(0,92∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,6)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,m,0)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗=(6,m −92,−3)， ∵OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴OD ⊥平面PAQ ．(2)∵BE =2AE ，AQ//OB ，∴AQ =12OB =3，则Q(6,3，0)，∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,6)．设平面CBQ 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{−3y +6z =0−6x+3y=0，令z =1，则y =2，x =1，则n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,2,1)，又显然，平面ABQ 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，设二面角C −BQ −A 的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，则cosθ=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√66．【解析】(1)解法一(几何法)：取OO 1的中点为F ，连接AF ，PF ；推出PF//OB ，证明OB ⊥OO 1，得到OB ⊥平面ADO 1O ，证明PF ⊥平面ADO 1O ，即可证明PF ⊥OD.然后证明AF ⊥OD.得到结果OD ⊥平面PAQ ．解法二(向量法)：由题设知OA ，OB ，OO 1两两垂直，所以以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长度为m ，求出相关的坐标，证明OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，然后证明OD ⊥平面PAQ ．(2)求出平面CBQ 的法向量，平面ABQ 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C −BQ −A 的平面角的余弦函数值即可．本题考查向量法求解二面角的平面角的大小，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19. 2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表． 1质量指标值 [15,20)[20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45]频数4 369628324(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计行比较；(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．附：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】解：(1)根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．完成下面的2×2列联表：设备改造前设备改造后合计合格品172192364不合格品28836合计200200400将列联表中的数据代入公式计算得：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400×(172×8−28×192)2200×200×364×36≈12.210．∵12.210>6.635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．(2)根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．可知，设备改造前产品为合格品的概率约为172200=4350，设备改造后产品为合格品的概率约为192200=2425；设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优． (3)由表1知：一等品的频率为12，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为12；二等品的频率为13，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为13；三等品的频率为16，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为16．由已知得：随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480． P(X =240)=16×16=136，P(X =300)=C 21×13×16=19，P(X =360)=C 21×12×16+13×13=518，P(X =420)=C 21×12×13=13，P(X =480)=12×12=14．∴E(X)=240×136+300×19+360×518+420×13+480×14=400．【解析】(1)根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表完成2×2列联表，求出K 2K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)≈12.210>6.635，从而有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．(2)根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表，得到设备改造前产品为合格品的概率和设备改造后产品为合格品的概率，从而求出设备改造后性能更优．(3)由表1知从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为12；二等品的频率为13，三等品的频率为16，由已知得：随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480.分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望．本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查相互独立事件事件概率乘法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：x 2=4y ，直线l 与抛物线C 1交于A ，B 两点．(1)若直线OA ，OB 的斜率之积为−14，证明：直线l 过定点；(2)若线段AB 的中点M 在曲线C 2：y =4−14x 2(−2√2<x <2√2)上，求|AB|的最大值．【答案】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，(1)证明：由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx +m ，由{y =kx +m x 2=4y，得：x 2−4kx −4m =0， △=16(k 2+m)>0，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4m ， k OA ⋅k OB =y 1⋅y 2x1⋅x 2=14x 12⋅14x 22x 1⋅x 2=x 1⋅x 216=−m4，由已知：k OA ⋅k OB =−14，所以m =1，∴直线l 的方程为y =kx +1，所以直线l 过定点(0,1)． (2)设M(x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22=2k ，y 0=kx 0+m =2k 2+m ，将M(x 0,y 0)带入C 2：y =4−14x 2(−2√2<x <2√2)得：2k 2+m =4−14(2k)2，∴m =4−3k 2．∵−2√2<x 0<2√2，∴−2√2<2k <2√2，∴−√2<k <√2，又∵△=16(k 2+m)=16(k 2+4−3k 2)=32(2−k 2)>0，∴−√2<k <√2，故k 的取值范围是：k ∈(−√2,√2)．|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√16(k 2+m)，将m =4−3k 2代入得：|AB|=4√2√(k 2+1)(2−k 2)≤4√2(k 2+1)+(2−k 2)2=6√2，当且仅当k 2+1=2−k 2，即k =±√22时取等号，所以|AB|的最大值为6√2．【解析】(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =kx +m ，联立{y =kx +m x 2=4y，利用韦达定理，通过k OA ⋅k OB =−14，转化求解m =1，推出直线l 过定点． (2)设M(x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22=2k ，y 0=kx 0+m =2k 2+m ，将M(x 0,y 0)带入C 2：y =4−14x 2(−2√2<x <2√2)通过判别式推出k 的范围，利用弦长公式求出AB ，利用基本不等式求解弦长的最大值即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长的最值的求法，范围问题的求解，考查计算能力．21.已知函数f(x)=alnx−x2+(2a−1)x(a∈R)有两个不同的零点．(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2>2a．【答案】解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=ax −2x+(2a−1)=−(2x+1)(x−a)x，若a≤0，则f′(x)<0，此时f(x)在(0,+∞)递减，不符合题意．若a>0，则由f′(x)=0，解得：x=a，当0<x<a时，f′(x)<0，当x>a时，f′(x)>0，此时f(x)在(0,a)递增，在(a,+∞)递减；要使函数f(x)=alnx−x2+(2a−1)x(a∈R)有两个不同的零点.只需f(a)=alna+ a2−a>0即可．令ℎ(a)=alna+a2−a(a>0)，ℎ′(a)=lna+2a，.易知ℎ′(a)=lna+2a在(0,+∞)递增．且ℎ′(1)>0，∴存在x0∈(0,1)使ℎ′(x0)=0，∴a∈(0,x0)时，ℎ(a)递减，a∈(x0,+∞)ℎ(a)递增，∴ℎ(a)=alna+a2−a(a>0)，德草图如下：∴a的取值范围为[1,+∞)．(2)令g(x)=f(x)−f(2a−x)，x∈(0,a)则g(x)=alnx−x2+(2a−1)x−aln(2a−x)−(2a−1)(2a−x)+(2a−x)2，g′(x)=2(x−a)2x(2a−x)>0，当0<x<a时，g′(x)<0，g(x)在(0,a)递增，而g(a)=0，故g(x)<g(a)=0，故0<x<a时，f(x)<f(2a−x)；不妨设0<x1<x2，则0<x1<a<x2，∴0<2a−x1>a，得：f(x1)=f(x2)<f(2a−x1)，∵f(x)在(a,+∞)递减，∴x2>2a−x1，即：x1+x2>2a．【解析】(1)f′(x)=a x −2x +(2a −1)=−(2x+1)(x−a)x，分以下情况讨论：若a ≤0，若a >0，(2)令g(x)=f(x)−f(2a −x)，x ∈(0,a)g′(x)=2(x−a)2x(2a−x)>0，可得g(x)在(0,a)递增，得：f(x 1)=f(x 2)<f(2a −x 1)，即：x 1+x 2>2a ．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的零点个数的判断，函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力．22. 在直角坐标系xOy 中，过点P(1,2)的直线l 的参数方程为{x =1+12t,y =2+√32t (t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求1|PM|+1|PN|的值．【答案】解：(1)由已知得：{x −1=12ty −2=√32t，消去t 得y −2=√3(x −1)， ∴化为一般方程为：√3x −y +2−√3=0，即：l ：√3x −y +2−√3=0．曲线C ：ρ=4sinθ得，ρ2=4ρsinθ，即x 2+y 2=4y ，整理得x 2+(y −2)2=4，即：C ：x 2+(y −2)2=4．(2)把直线l 的参数方程{x =1+12t y =2+√32t(t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程中得：(12t +1)2+(√32t)2=4，即t 2+t −3=0，设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则{t 1⋅t 2=−3t 1+t 2=−1，∴1|PM|+1|PN|=|PM|+|PN||PM|⋅|PN|=|t 1|+|t 2||t 1⋅t 2|=|t 1−t 2||t 1⋅t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1⋅t 2|t 1⋅t 2|=√133．【解析】(1)消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，利用极坐标与直角坐标方程的互化求解即可．(2)直线的参数方程代入曲线方程，利用参数的几何意义，通过韦达定理转化求解即可．本题考查参数方程以及极坐标方程的互化，参数的几何意义的应用，考查转化思想以及计算能力．23. 已知函数f(x)=|2x −2|−|x +2|．(1)求不等式f(x)≥6的解集；(2)当x ∈R 时，f(x)≥−x +a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)当x ≤−2时，f(x)=−x +4，∴f(x)≥6⇒−x +4≥6⇒x ≤−2，故x ≤−2；当−2<x <1时，f(x)=−3x ，∴f(x)≥6⇒−3x ≥6⇒x ≤−2，故x ∈ϕ；当x ≥1时，f(x)=x −4，∴f(x)≥6⇒x −4≥6⇒x ≥10，故x ≥10；综上可知：f(x)≥6的解集为(−∞,2]∪[10,+∞)． (2)由(1)知：f(x)={−x +4,x ≤−2−3x,−2<x <1x −4,x ≥1，【解法一】如图所示：作出函数f(x)的图象，由图象知，当x =1时，−1+a ≤−3，解得：a ≤−2， ∴实数a 的取值范围为(−∞,−2]．【解法二】当x ≤−2时，−x +4≥−x +a 恒成立，∴a ≤4，当−2<x <1时，−3x ≥−x +a 恒成立，∴a ≤−2，当x ≥1时，x −4≥−x +a 恒成立，∴a ≤−2，综上，实数a 的取值范围为(−∞,−2]．【解析】(1)通过去掉绝对值符号，当x ≤−2时，当−2<x <1时，当x ≥1时，分别求解不等式的解集即可．(2)化简f(x)={−x +4,x ≤−2−3x,−2<x <1x −4,x ≥1，【解法一】利用数形结合转化求解即可．【解法二】通过x 的范围转化不等式求解即可．本题考查函数的最值的求法，分段函数的应用绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想的应用以及计算能力．。

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