传感器与自动检测技术-2-2

2.2 随机误差及其处理
2) 单次测量值的标准差的估计
由于真值未知时，随机误差 xi 不可求，可用各次测量值与算术平均值 之差——剩余误差
i xi x
代替误差 xi 来估算有限次测量中的标准差，得到的结果就是单次测量的
标准差，用ˆ 表示，它只是σ的一个估算值。由误差理论可知单次测量的
标准差的计算式为
S
NN 1
ˆ 平均值的标准偏差的无偏估计值 x 为： ˆ x
S N N 1
应当注意的是，测量数据的方差为： s2
N
vi2
i 1
S
NN
它不是母体方差的无偏估计值。因为无偏方差的计算中没有用真值，而用的是平均值，因此 自由度减少了一个。
2.2 随机误差及其处理
随机误差与系统误差的来源和性质不同，所以处理的方法也不同。由
于随机误差是由一系列随机因素引起的，因而随机变量可以用来表达随 机误差的取值范围及概率。若有一非负函数，其对任意实数有分布函数
x
F(x) f (x)dx
称 f (x) 为 x 的概率分布密度函数
Px1 x x2 F (x2 ) F (x1)
2.2 随机误差及其处理
随机误差的标准差
标准差σ定义为
n
(xi x0 )2
i 1
n
它是一定测量条件下随机误差最常用的估计值。在服从正态分布的情况 下，随机误差落在(－σ，＋σ)区间的概率为68.3%。区间(－σ，＋σ)称为 置信区间，相应的概率称为置信概率。显然，置信区间扩大，则置信概 率提高。置信区间取(－2σ，＋2σ) 、 (－3σ，＋3σ)时，相应的置信概率
2.2 随机误差及其处理
在研究随机误差的统计规律时，不仅要知道随机变
量在哪个范围内取值，而且要知道在该范围内取值的概 率，两者是相互关连的。
置信区间：定义为随机变量取值的范围，常用正态分
z 布的标准误差 的倍数来表示，即 z ，其中 为置
信系数。
置信概率：随机变量在置信区间 z内取值的概率，
合，k 4 ；而在一般工程和贸易中，k 1.96；在统计学中，k 2.58
2.2 随机误差及其处理
（2）真值的估计与标准偏差
测量的主要任务是求得被测量的真值，前面介绍了真值是对
同一检测量在同样条件下进行无限多次测量所取得的测量平均值。
由于实际测量中的测量次数是有限的，所以测量平均值并不等于 真值。那么，如何估计测量平均值的正态分布情况。
2.2 随机误差及其处理
1
2a
0
a a a
式中 a ——随机误差 的极限值。
均匀分布是一种常见的误差分布，如图2.4所示。 例如，仪器刻度差引起的误差，仪器最小分辨率限制
引起的误差，数字仪表的量化误差（ 1），数字计算中
的舍入误差等等。此外，对一些只知道误差出现的大 致范围，而不知道其分布规律的误差，在处理时常按 均匀分布的误差对待。
ˆ
n
(xi x )
i 1
n 1
n
2 i
i 1
n 1
这一公式称为贝塞尔公式。
2.2 随机误差及其处理
实验数据分析中，常常采用去偏差并归一化的前
处理方法，即设标准单位 t x m
利用标准正态分布 N0,1 进行分析考察，如式
y f t
1
t2
2
exp
2
下表给出了标准正态分布 N0,1的一些 t 与 f t 的代表
是选用标准差作为误差限的理由之一。
2)极限偏差
当置信系数 k 3时，置信度P=99.73%，故可以认为真值落在 3 范围内的
概率已接近100%。因此，在工程测试中常以 3这个参数来表示测量精度，
称为极限误差或最大误差，用 表示m，即
m 3
值得提醒的是，对于不同学科，不同测量对象和测量的目的而言，极限误 差所取的置信系数是不同的。例如，在某些与人身事故有直接关系的场
0.00 0.50 0.6745 0.7979 1.00 1.96 2.00 3.00
概率密度 f t 0.3989 0.3521 0.3177 0.2901 0.2420 0.0584 0.054 0.0044 0.00
置信概率fz 0.0000 0.3829 0.5000 0.5751 0.6827 0.9500 0.9545 0.9973 1.0000
和
值x ，可ˆ确定被测量真值
ˆ
m x kt N
式中 kt
ˆ
N
——小样本数据均值的极限误差 或随机不确定度。
2.2 随机误差及其处理
（1）随机误差的表示方法
由前面分析可知，在一定的置信概率P下，真值 m 一定落在
以测得值 x 为中心，以误差限 k为区间的一个范围内，
即
m x k
N
式中
xi m2
NE
x
m2
N 2 N 2 N 1 2
即
E
S N
1
2
N
2.2 随机误差及其处理
所以，方差的无偏估计为：
N
vi2
ˆ 2 i1
S
N 1 N 1
无偏标准偏差为：
ˆ S
N 1
将公式代入可得数据平均值的方差 2 的无偏估计值，即 x
N
vi2
i 1
N 1 N
ˆ
2 x
vi2
i 1
NN 1
。应用概率论方法可导出
f (x)
1 exp[ 1
2
2
x2
2 ]
σ特 征量
xi2 (n )
n
随机误差的正态分布曲线
σ标准差
n为测量 次数
值得注意的是，通常所说随机误差服从正态分布是从统计角度而言的，也就是针对测 量次数极大而测量分辨率又极高的情况而言。
2.2 随机误差及其处理
真实值与算术平均值
i1
N
由于所取置信概率不同，以及表示误差的习惯差异，
误差有各种表示方法，但以下面两种情况最为常见。
2.2 随机误差及其处理
1)标准偏差
标准偏差所对应的置信度P=68.3%，置信系数，即真值 m 处于 xi
范围内的可信程度为68.3%。从正态分布曲线的几何图形上看，当 x m
处正好是曲线的拐点，也即当 x m 以后，概率密度变化比较慢，这就
关，但与自由度N-1有关。当N较大（大于30）时，t 分 布和正态分布的差异就很小了，当 N 时，两者就
完全相同。
图2.5 分布曲线
t 分布曲线
2.2 随机误差及其处理
根据 t分布置信系数列表，当测量数据较少时，由给
定的置信概率P和自由度 ，f 可查表得出 分布t 置信系数 ，
再m 根的kt据置小信样区本间数，据即的
数值。
正态分布的概率密度和置信概率的数值表
T 或z
0.00 0.50 0.6745 0.7979 1.00 1.96 2.00 3.00
概率密度 f t 0.3989 0.3521 0.3177 0.2901 0.2420 0.0584 0.054 0.0044 0.00
置信概率fz 0.0000 0.3829 0.5000 0.5751 0.6827 0.9500 0.9545 0.9973 1.0000
2.2 随机误差及其处理
f
1 2a
a 0 a
图2.4 均匀分布曲线
2.2 随机误差及其处理
2）t 分布
t 分布主要用来处理小样本（即测量数据比较少）的测
量数据。正态分布理论只适合于大样本的测量数据，而对
小样本的测量数据通常采用 t 分布理论来处理。 t 分布的
概率密度函数为：
ft, f
f 2 f
例如：铝合金板抗拉强度，电容器电容变化、噪声发声器 输出电压
但在实际中，各种非正态分布也很多，故对随机误差一般 将其按下述方法给予描述。
2.2 随机误差及其处理
1. 随机误差的正态分布规律
实践和理论证明，大量的随机误差服从正态分布规律。正态分布的曲线如图所示。图
中的横坐标表示随机误差 x xi x0，纵坐标为误差的概率密度 f (x)
1
n
n
xi
i 1
1n
n
xi
i 1
x0
1
n
n
xi
i 1
x x0
2.2 随机误差及其处理
根据随机误差的抵偿特征，即
lim
n
1 n
n
xi
i 1
0
于是 x x0
可见，当测量次数很多时，算术平均值趋于真实 值，也就是说，算术平均值受随机误差影响比单 次测量小。且测量次数越多，影响越小。因此可 以用多次测量的算术平均值代替真实值，并称为 最可信数值。
设对某一物理量进行直接多次测量，测量值分别为
下x1,x2,x3,x4…,xn,各次测量值的随机误差为 xi xi x0 。将随机误差相加
n
n
n
xi (xi x0 ) xi nx0
i 1
i 1
i 1
两边同除n得
用 x 代表测量列的算术平均值
x
1 n
(x1
x2
xn )
1 n
n
xi
i 1
2.2 随机误差及其处理
实验数据分析中，常常采用去偏差并归一化的前
处理方法，即设标准单位 t x m
利用标准正态分布 N0,1 进行分析考察，如式
y f t
1
t2
2
exp
2
下表给出了标准正态分布 N0,1的一些 t 与 f t 的代表
数值。
正态分布的概率密度和置信概率的数值表
T 或z
当每个测量结果 xi 按 N m, 2 正态分布时，一组测量数据
x1, x2 ,, xN 的平均值为：
x
1 N
N i 1
xi
1 N
x1 x2
xN
其期望值恰好就是真值 m，即
Ex
1 N
E
N i 1
xi
1 N
N
mm
i 1
由于 x也属于正态分布，因此可以用 x 的标准偏差来表征测量结
x2 f (x)dx
x1
为误差在 [x1, x2 ]之间的概率，在测量系统中，若系统误差已经减小到可以忽略 的程度后才可对随机误差进行统计处理。
2.2 随机误差及其处理
随机误差的正态分布
由概率论的中心极限定理可知：大量的、微小的及独立的 随机变量之总和服从正态分布。大多数随机误差服从正 态分布，其应用范围包括各种物理、机械、电气、化学 等特性分布
即 fz p x z z f xdx 2
x2
z
e 2
2
dx
z
2 0
置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率，即
z 1fz px z
2.2 随机误差及其处理
置信系数取不同典型值时，正态分布的置信概率数值如表 2.1所示。由此可知，置信系数越大，置信区间越宽，置信概 率越大，随机误差的范围也越大，对测量精度的要求越低。
要比单 越多，
越计测大小值越量的好，次x离。数i 越散增向度加母越，体小x真。值值然的m而减集，小中由逐，于渐即不用x显与x著i作N了为成，反m故比的并，最非随佳N越着估
2.2 随机误差及其处理
（3）标准偏差 的估计
因为数学平均值 x 就是真值 m的无偏估计，即当 N
时，x
平方和S
m。为了求得标准偏差
P(2σ)=95.4%,P(3σ)=99.7.
f (x)
2.2 随机误差及其处理
如图是不同σ值时的 f (x曲) 线。σ值越小，曲线陡且峰值高，说明测量值
的随机误差集中，小误差占优势，各测量值的分散性小，重复性好。反之， σ值越大，曲线较平坦，各测量值的分散性大，重复性差。
不同σ的概率密度曲线
i xi x
在实际测量中，如有95%的置信概率时，其可靠性已经足
够了，此时的置信区间是 2，置信水平为5%。
（2）随机误差的非正态分布
随机误差的概率分布有多种类型，除正态分布外，在计量
和测量中经常遇到的非正态分布有均匀分布、t 分布等。
1）均匀分布
均匀分布特点是：在某一区域内，随机误差出现的概率处 处相等，而在该区域外随机误差出现的概率为零。均匀分布 的概率密度函数为：
2 f
1
t2 f
N
2
2
式中
ˆ
x
—— 的估计值；
——测得值的平均值；
t x m
ˆ N
N ——测量次数；
f —— f =N-1称为自由度；
x —— x t x1et dt 是伽马函数。 0
2.2 随机误差及其处理
t 分布的概率密度曲线如下图所示，它与标准正态分
布的图形相似，其特点在于分布与标准差的估计值无
果的离散 度。
2.2 随机误差及其处理
由
2 x
Dx
D
1 N
N xi
i1
1 N2
N
Dxi
i 1
1 N2
N 2
2
N
其标准偏差为： x
N
此式表明，子样平均值的方差
2 x
并不等于母体
方差 2 ，而只是它的N分之一。由这一结论可推论到
等精度测量条件下，多批次测量（即分组多次测量）
所批获次得测的量平所均获值得（的也结即果分精组确平均，值而的且平测均量值次）数xi
N
N
S vi2 xi x 2
的无偏估计，需要先考虑残差 N
xi m x m2
i 1
i 1
i 1
N
xi
m2
2xi
mx m x m2
2
i 1
N
xi m2 N x m2
i 1
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则S
的期望值为：
ES
E
N
xi
m2
Nx
m
2
i1
E
N i 1
xi
m2