8第八章-边界层理论基础和绕流运动
8第八章-边界层理论基础和绕流运动
8第⼋章-边界层理论基础和绕流运动第⼋章边界层理论基础和绕流运动8—1 设有⼀静⽌光滑平板宽b ＝1m ，长L ＝1m ，顺流放置在均匀流u ＝1m/s 的⽔流中，如图所⽰，平板长边与⽔流⽅向⼀致，⽔温t ＝20℃。
试按层流边界层求边界层厚度的最⼤值δmax 和平板两侧所受的总摩擦阻⼒F f 。
解：20℃⽔的运动粘度ν＝1.003?10-6 m 2/s 密度3998.2/kg m ρ=6119970091.00310ν-?===?L uLRe 因为 56310997009310?<=按层流边界层计算。
max 1/25.4470.0055m Re L L δ===3f 1/21.46 1.4610-===?L C Re 223998.2122 1.461011N 1.46N 22f ff u F C A ρ-?=== 8—2 设有极薄的静⽌正⽅形光滑平板，边长为a ，顺流按⽔平和铅垂⽅向分别置放于⼆维恒定均速u 的⽔流中，试问：按层流边界层计算，平板两种置放分别所受的总摩擦阻⼒是否相等，为什么？解：因为两种置放情况的物理模型和数学模型及其分析、推导所得计算公式是相同的，所以两种情况平板所受的总摩擦阻⼒相等。
8—3 设有⼀静⽌光滑平板,如图所⽰,边长1m,上宽0.88m,下宽0.38m,顺流铅垂放置在均匀流速u =0.6m/s 的⽔流中，⽔温t=15℃。
试求作⽤在平板两侧的总摩擦阻⼒F f 。
注：若为层流边界层，C f 按式（8—24）计算。
解：由表1—1查得，15℃时⽔的密度ρ=999.13/kg m ，运动粘度ν=1.139×10-6m 2/s 。
⾸先判别流态，计算平板上宽雷诺数560.60.884635655101.13910-?===Re ，按层流边界层计算。
设z 轴铅垂向上,平板宽度x 为0.38+0.5z ，阻⼒系数C f 按式（8-24）计算,即12f 60.6(0.380.5)1.328 1.13910--?+??==z C1521.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创?犏臌总摩擦阻⼒F f 按式(8—20)计算，f f12012(0.380.5)d 2F C u z z r =?ò11522 1.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创创+犏臌ò题8-1图21999.10.6(0.380.5)d 2z z 创创+ 110.658(0.380.5)d z z =ò。
流体力学第八章(20160228)
8.3 边界层的动量积分方程
利用动量定理，建立了边界层的动量 代入并整理边界层的动量积分方程— 积分方程。 PCD PAB PAC Fx —卡门动量积分方程 d d 2 dp 单位宽度，则单位时间通过AB、CD、 dy dy 0 u u u dx 0 x dx 0 x dx AC 各个面上的动量分别为 边界层的动量积分方程的求解 P u dy
0
AB
边界层的动量积分方程有5个未知量， 流场速度：由势流方程求解；压强： 作用在ABCD上的外力。忽略质量力， 由伯努利方程求解；边界层厚度：动 只有表面力， 量方程求解；边界层内流速：边界层 内流速分布关系式；边界层内切应力： p 1 p dxd 0dx 边界层内切应力分布关系式。 F x dx
P AB dx u xdy P CD P AB 0 x x u xdy dx P AC u 0 0 x
0
x
u dy dx
0 2 x
d u0 dx
0
d u xdy dx
0
u 2 xdy
第八章 边界层理论基础和绕流运动
王浩 1251934
本章概论
8.1 边界层的基本概念
8.2 边界层微分方程普朗特边界层方程 8.3 边界层的动量积分方程
8.4 平板上的层流边界层
8.5 平板上的湍流边界层
8.6 边界层的分离现象和卡门涡街
8.7 绕流运动
8.1 边界层的基本概念
8.1.1边界层的提出
dp 0 dx
流体力学 第八章 绕流运动
第八章绕流运动一、应用背景1、问题的广泛存在性：在自然界和工程实际中，存在着大量的流体绕物体的流动问题（绕流问题），如：飞机在空气中的飞行、河水流过桥墩、大型建筑物周围的空气流动、植物护岸（消浪，船行波），粉尘颗粒在空气中的飞扬和沉降，水处理中固体颗粒污染物在水中的运动。
（一种：流体运动；另外一种：物体运动），我们研究，将坐标系固结于物体上，将物体看成静止的，讨论流体相对于物体的运动。
2、问题的复杂性上一章的内容中可以看出，流体力学的问题可以归结为求解在一定边界条件和初始条件下偏微分方程组的求解。
但描述液体运动的方程式非常复杂的：一方面，是方程的非线性性质，造成方程求解的困难；另一方面，复杂的边界条件和初始条件都给求解流体力学造成了很多麻烦。
迄今为止，只有很少数的问题得到了解决。
平面泊萧叶流动，圆管coutte流动等等。
而我们所要解决的绕流问题正是有着非常复杂的边界条件。
3、问题的简化及其合理性流体力学对此的简化则是，简化原方程，建立研究理想液体的势流理论。
实际液体满足势流运动的条件：粘性不占主导地位，或者粘性还没有开始起作用。
正例：远离边界层的流体绕流运动、地下水运动、波浪运动、物体落入静止水体中，水的运动规律研究。
反例：研究阻力规律、能量损失、内能转换等等。
圆柱绕流（经典之一）半无限长平板绕流（经典之二）分成两个区域：一个区域是远离边界的地方，此区域剪切作用不明显，而且流体惯性力的影响远远大于粘性力的影响（理想液体）（引导n-s方程）；另一个是靠近边界的地方（附面层，粘性底层），此区域有很强烈的剪切作用，粘性力的影响超强，据现代流体力学的研究表明，此区域是产生湍流的重要区域，有强烈的剪切涡结构，但此区域只有非常薄的厚度。
此区域对绕流物体的阻力、能量耗损、扩散、传热传质都产生重要影响。
4、本章的主要研究内容（1） 外部：理想液体，（简化方法，求解方式）、（2） 内部：附面层理论，（简化方法，求解方式，求解内容，现象描述） （3） 两者的衔接。
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8—1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场,摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大,粘性力也大,此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替,从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力〉〉粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现.a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度,这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外,0=∂∂yu,粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动.c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向（即yu∂∂)速度梯度很大,所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体,粘性力也很小,故可忽略不计，所以可认为，边图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层界层外的流动是无旋的势流.边界层的基本特征有: (1)1<<Lδ⇒薄层性质,其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2） 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
第8章 边界层理论基础及绕流运动
ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=
−
1 ρ
∂p ∂x
+
ν
∂ 2u x ∂y 2
∂ux ∂x
+
∂uy ∂y
=
0
边界条件： y =∞（或y = δ），ux = U0 y = 0，ux = 0， uy = 0
其中 U0 = U0(x) =边界层外界限上外部流动的流速 且 p = p(x) = 边界层外界限上外部流动的压强
=
1 2
δ
∫ ∫ δ2 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux u0
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η(1− η)dη = 1 δ
0
6
∫ ∫ ( ) δ3 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux 2 u0 2
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η 1− η2
0
dη = 1 δ 4
10
8.2 边界层微分方程
——利用边界层的性质对粘性流体基本方程（纳维－斯托克斯方 程）的简化。
⎟⎠⎞
=
−δ
dp dx
− τ0
其中: dp/dx和u0应由外部流动求出 → 三个未知量：τ0、δ、ux
应用动量积分方程求解边界层问题的步骤： (1) 补充 ux (x, y)、τ0(δ)关系式，积分方程转变为δ的常微分方程
（2）求解方程 → δ(x) →τ0(x) → 总阻力→ 计算位移厚度等其他 参数。
∫ ∫∫ ∑ 积分形式的动量方程
∂ ∂t
ρurdV
cv
+
cs
ρurundA
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8-1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。
a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外，0=∂∂yu，粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。
c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即yu∂∂)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层边界层外的流动是无旋的势流。
边界层的基本特征有： (1)1<<Lδ⇒薄层性质，其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2) 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
第八章 边界层理论
U0 x Re x v
（8—1）
Usually we take Reynolds number at transition point is
Rec 5 105
（8—2）
15
随着边界层厚度的增加，粘性对边界层内流体的约束作 用减小，而惯性作用增大。当粘性作用控制不住水质点的运 动时，就和流体在圆管中流动一样，由层流转变成紊流，此 现象称为边界层转捩，并且在过渡区和紊流区下面存在一层 流底层 0 。 假设主流中流速为 U 0 ，到平板前端的距离为 x ，这时 的雷诺数为
3
第八章 §8–1 引言
边界层理论
§8–2 边界层的基本概念 §8–3 边界层的运动微分方程式 §8–4 边界层中的各种厚度
§8–5 边界层的动量方程式和摩擦切应力
§8–6 光滑平板上的层流边界层 第八章 习题
4
Chapter 8 Boundary Layer Theory
§8-1 Introduction
因为随着平板长度的增加，摩擦损失亦增加，流体内部的能 量减少，流速亦减少，为了满足连续条件，边界层的厚度增大。
12
3、laminar flow section, transition section and turbulent flow section also exists in the boundary layer, under the transition section and turbulent flow section, there also exists a bottom layer 0 of laminar flow. As shown in Fig.8-1. y
8 第八章 边界层与绕流阻力解析
应用量级比较法
流 体 力 学 与 流 体 机 械
Fluid Mechanics and Machinery
第二节 边界层微分方程
~ L, ~ 1 ~ , dy ~ ~ , x ~ 1, u x ~ U
ux ~ 1, x u y ~ 1, u y ux 1 2 ux 2ux 1 ~ , ~ 1, ~ 2, ~1 2 2 y y x y u y ~ 1, u y x ~ , 2u y x
u x u x 1 p 2 u x 2 u x uy ( 2 2 ) u x y x x y x 2 2 u y 1 p u y u y u y uy ( 2 2 ) u x y y x y x u x u y x y 0
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第一节 边界层概念 2 边界层的形成与发展
U
层流边界层
过渡区
紊流边界层
Rex=Ux/
层流底层
x
边界层的发展
流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在 Rek=21053106
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械
U 2 U U u dy
2 0
2
0
u U
u 1 U
u dy 0 U
u 1 U
dy
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流 体 力 学 与 流 体 机 械
第二节 边界层微分方程 对不可压缩、二维、恒定流绕流流动，忽略质量力， 则其N-S方程式为：
869《水力学》考试大纲
869《水力学》考试大纲一、考试的基本要求掌握水力学的基本概念、基本原理及基本计算，掌握实验的基本技能，并具有一定的分析、解决本专业涉及水力学问题的能力。
二、考试方式和考试时间闭卷考试，总分150，考试时间为3小时。
三、参考书目《工程流体力学》（水力学）（第三版）上册、下册，闻德荪主编，高等教育出版社四、试题类型：主要包括选择题、填空题、作图题、计算题、综合案例题等类型，并根据每年的考试要求做相应调整。
五、考试内容及要求第一章绪论1.工程流体力学的任务及其发展简史2. 连续介质假设·流体的主要物理性质3. 作用在流体上的力4.工程流体力学的研究方法基本要求：了解流体力学的任务及发展简史；理解连续介质假设含义；掌握流体的主要物理力学性质；理解流体的粘滞性、掌握牛顿内摩擦定律、掌握作用于流体上的质量力和表面力；了解工程流体力学的研究方法。
第二章流体静力学1．流体静压强特性，2．流体的平衡微分方程——欧拉平衡微分方程3．流体静力学基本方程4．液体的相对平衡5．压缩气体中的压强分布规律6．作用在平面上的液体总压力7．作用在曲面上的液体总压力8．力和潜体及浮体的稳定基本要求：熟练掌握静压强的特性，静压强三种计量单位和表示方法，相对平衡压强分布规律，平面及曲面上静水总压力大小、方向及作用点，压力体的概念及绘制。
第三章流体运动学1．描述流体运动的两种方法2．描述流体运动的一些基本概念3．流体运动的类型4．流体运动的连续性方程基本要求：掌握拉格朗日方法和欧拉方法的异同，流量、断面平均速度等概念，均匀流、恒定流特点，流线的特点。
掌握连续性方程及其应用。
第四章理想流体动力学1．理想流体的运动微分方程2．理想流体元流的伯努利方程基本要求：掌握元流伯努利方程的推导及应用。
第五章实际流体动力学基础1．实际流体的N---S2．实际流体元流的伯努利方程3．实际流体总流的伯努利方程4．不可压缩气体的伯努利方程5．总流的动量方程基本要求：掌握功能原理推求元流、总流伯努利方程，伯努利方程及动量方程的应用。
边界层及绕流
边界层及绕流由于流体粘滞性的存在，紧靠平板的一层流体质点将附着于平板表面上，与平板表面无U，相对运动，流速为0，而在距平板法线方向一定距离处流速仍为未受扰动的原有流速因此从平板表面到未扰动的流体之间存在着一个流速分布不均匀的区域，这个区域就是水流受平板影响的范围叫边界层。
边界层厚度常用符号δ表示。
边界层的厚度是沿平板而变化的。
因为粘滞流体流经平板时有内摩擦阻力发生，克服阻力必耗损一部分能量，以致平板附近部分水流的流速变缓，流经平板距离越长，耗损能量越多，水流受平板影响范围也越大，所以边界层的厚度总是沿板端的距离x而增加的。
边界层内的流体形态可能是层流，也可能是紊流。
在板端附近边界层极薄，流速自0U，因此流速剃度极大，以致产生很大的内摩擦阻力，所以板端附近边界层内的迅速增至流体往往是层流。
沿板端距离越远，边界层厚度越厚。
流速剃度随边界层厚度增加而变小，内摩擦阻力也相应减小，边界层内的流体可自层流逐渐过渡到紊流。
但在紊流边界层中靠近固体表面仍有一层极薄的粘性存在，如图所示若雷诺数用下列形式表示：0Re x U xγ=则距板端距离越远，雷诺数也越大。
当雷诺数达到某一临界值时，流体即自层流转变为紊流。
据实验结果临界雷诺数约在5*510～610之间，如流体非常平静，最高的临界雷诺数也可超过610。
根据边界层的概念，可把粘滞流体分成两个区域：在边界层外，流速剃度为0，无内摩擦力发生，因而也可视为理想流体的流动，符合势流的运动规律；在边界层以内，流速自0增至0U ，流速剃度很大，内摩擦力十分显著。
因此，分析边界层内的运动规律时，必须以粘滞流体所服从的定律（纳为－斯托克斯方程式）为依据。
边界层的分离现象及绕流阻力流体压强在驻点N 处最大，在较高压强作用下，流体由此分道向圆柱体两侧流动。
由于圆柱面的阻滞作用便形成了边界层。
边界层内的特点是流体流动时有能量损失，从N 点起向下游达到A 或B 以前，由于圆柱表面的弯曲，使流体挤压，流速沿程增加，故沿边界层的外边界上0U x ∂∂＝正值，p x∂∂＝负值，即在外边界上压强是沿程下降的，由此可知在NA 或NB 一段边界层内的流体是处于加速减压状态的，也就是说，在该段边界层内用压强下降来补偿能量损失外，尚有一部分压能转变为动能。
第8章 边界层理论_1
dp e 0 dx
：
u y F F ( ) U d
f ( ) F ( )d
2. 边界层厚度估计 (Standard Boundary Layer Thickness)
名义厚度定义：u=0.99Ue 处的y 值d (x) 。
边界层内惯性力与粘性力之比属同量级:
u 2 2 2 U L U L d d x ~ 0 0 Re L ~ 1 2 2 n L u n U 0 d L n 2 y y u
2v 2v v v 1 p u v n 2 2 x y y x y
pe 1 U e2 const 2
dpe dU e U e dx dx
u v 0 x y dU e u u 2u u v Ue n 2 x y dx y
第8章 边界层理论
(Boundary Layer Theory)
—— Flow Over Immersed Bodies Background: 粘性绕流的流动特征与粘性阻力， 阻力产生与减阻。
L. Prandtl: a German (1904)， ———近代流体力学的奠基人。
ห้องสมุดไป่ตู้
边界层与阻力
—— Flow Over Immersed Bodies
（3）边界层内压力沿壁面法向不变，等于外部势流压力：
p 0 y
p pe
y d
u （4）边界层内速度分布具有渐进性：
u 0.99U e , y
0
8 第八章 边界层与绕流阻力解析
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第一节 边界层概念 1 绕物体的流动图画 ① 理想流体中的圆柱绕流 达朗贝尔疑难：
D E F
D E : A , u , p E: Amin , umax , pmin
D p F E
E F : A , u , p u D u F , pD pF
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第三节 曲壁边界层的分离 曲面边界层（理想）
1 1 p U 2 ps us2 2 2
us
AB
U umax
ps
p pmin
pmin p
p
ps s
0
顺压梯度,压能变动能 逆压梯度,动能变压能
BC umax U
0
us
B A C
A
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B
C
A
B
C
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第三节 曲壁边界层的分离 曲面边界层（粘性） 固体壁面上速度为零， 存在边界层。 壁面上存在切应力。 沿边界层外边界速度和压强与理想流 体绕流时有同样的变化趋势，存在逆
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第一节 边界层概念 2 边界层的形成与发展
U
层流边界层
过渡区
紊流边界层
Rex=Ux/
层流底层
x
边界层的发展
流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在 Rek=21053106
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边界层理论-
到20世纪初，航空工业的发展，需要解决粘性流体中较大速度的物体运动问题，促使粘性流体运动的理论大 大地向前推进。1904年普朗特（1875-1953）在德国海德尔堡第三届国际数学家学会上宣读题为“关于摩擦极小 的流体运动”的论文，建立了边界层理论。他根据对水槽中水流实验的观察分析，提出边界层的概念：粘性极小 的流体绕物体流动时，在紧靠物体附近存在着一层极薄的边界层，其中粘性起着很大的影响。而在边界层外，流 体中的粘性可以忽略不计，可认为是理想流体。由于边界层极薄，经简化N-S方程得出普朗特边界层方程，对过 去不可理解和难以解答的现象，如流体阻力问题，给予明确的解答。普朗特建立的边界层理论，改变了长期以来 理论流体力学和水力学相互脱节的状况，将理论与实践紧密地联系在一起，形成了理论与实验并重的现代流体力 学。
边界层理论
科学理论
01 理论提出
03 分析方法 05 分离和转捩
目录
02 基本特征 04 边界层方程组 06 历史和发展
流体在大雷诺数下作绕流流动时，在离固体壁面较远处，粘性力比惯性力小得多，可以忽略；但在固体壁面 附近的薄层中，粘性力的影响则不能忽略，沿壁面法线方向存在相当大的速度梯度，这一薄层叫做边界层。流体 的雷诺数越大，边界层越薄。从边界层内的流动过渡到外部流动是渐变的，所以边界层的厚度δ通常定义为从物 面到约等于99%的外部流动速度处的垂直距离，它随着离物体前缘的距离增加而增大。根据雷诺数的大小，边界 层内的流动有层流与湍流两种形态。一般上游为层流边界层，下游从某处以后转变为湍流，且边界层急剧增厚。 层流和湍流之间有一过渡区。当所绕流的物体被加热（或冷却）或高速气流掠过物体时，在邻近物面的薄层区域 有很大的温度梯度，这一薄层称为热边界层。
层流边界层和紊流边界层都能发生分离，但由于紊流内脉动运动引起的动量交换，使边界层内的速度剖面均 匀化，增大壁面附近流体的动能，所以紊流边界层比层流边界层承受较大的逆压梯度，而不易分离。
绕流运动详解
来流速度v∞平行于平板。由于平板极薄，边界层外部 的流动不受平板的影响，因此边界层外边界上流速处
处边界相上等压，强等p于也来处流处速相度等v，∞。ddpx 由0 于。流对速于不不变可，压边缩界流层体，外 平板绕流边界层动量方程可写成：
vd dx0vxd yd dx0vx2dy 0
（1）
该方程适用于层流和紊流边界层。
图7－3
一 平板层流边界层的计算
设定平板上为层流边界层，首先补充边界层流速分布
关系式，假定层流边界层内的流速分布与管流中的层流
速度分布相同，即
r2 v vmax(1 r02 )
应用于层流边界层，流速分布为
vx
y2
v[1 2 ]
或
vx
2v
(yy2)
2
（2）
补充第二个关系式，由牛顿内摩擦定律，求平板上的切
应力
0 d dx|v y y 0 d d[2 y v (y 2 y 2)|y ] 0 2 v
上式中负号表示切应力和x轴的方向相反，用其绝对值
0
2v
（3）
把（2）、（3）代入（1）
v d d0 x 2 v (y 2 y 2)d y d d0 x [2 v (y 2 y 2)2 d ] y 2v
设平板固定不动，来流的速度为 V ，方向与板面方向一 致。当流体流过平板时，根据固壁无滑移条件，板面上流体 质点的速度为零，在与板面垂直的方向上存在很大的速度梯 度，因此存在很大的摩擦应力，它将阻滞邻近的流体质点的 运动。在边界层区域以外，速度基本均匀，保持和来流速度 基本相同的大小和方向。绕流边界层在平板的前缘开始形成， 随着流动向下游发展，受摩擦应力的影响，越来越多的流体 质点受到阻滞，边界层的厚度也随之增加。在平板的前部边 界层呈层流状态，随着流程的增加，边界层的厚度也在增加， 层流变为不稳定状态，流体的质点运动变得不规则，最终发 展为紊流，这一变化发生在一段很短的长度范围，称之为转 类区，转类区的开始点称为转类点。转类区下游边界层内的 流动为紊流状态。如图所示，由于紊流边界层内的流体质点 更容易和外部主流区的流动进行动量交换，因此紊流区域边 界层厚度的增加比层流增加的更快。在转类区和紊流区的壁 面附近，由于流体的质点的随机脉动受到平板壁面的限制， 因此在靠近壁面的更薄的区域内，流动仍保持为层流状态， 称为粘性底层。
水力学 第八章 边界层理论基础与绕流运动
2、边界层的厚度（Boundary Layer Thickness）
（1）边界层名义厚度
自固体边界表面沿其外法线到纵向流速 ux 达到主流速U0的99%处的距离。 边界层的厚度顺流增大，所以δ 是 x 的函数，即：δ （x）。
8-1 边界层的基本概念
4
（2）边界层位移厚度d（流量亏损厚度、排挤厚度）
第八章
§8 — 1 §8 — 2 §8 — 3 §8 — 4 §8 — 5 §8 — 6 §8 — 7
第八章
边界层理论基础和绕流运动
边界层的基本概念 边界层微分方程•普朗特边界层方程 边界层的动量积分方程 平板上的层流边界层 平板上的湍流边界层 边界层的分离现象和卡门涡街 绕流运动
1
边界层理论基础和绕流运动
3 10 Re xcr
5
教材中取： （2）边界层厚度
Re xcr 5.0 10
U 0xcr 3 106 v
5
1）层流边界层： 5 x Re 1x/ 2
8-1 边界层的基本概念
10
0.381x 2）紊流边界层： /5 Re1 x
2、管流或明渠流的边界层
进口处没有特别干扰的光 滑圆管流，进口段或起始段 长度为
8-1 边界层的基本概念
7
3、层流边界层与紊流边界层
当边界层厚度较小时，流速梯度很大，粘滞应力也很大，边界层内 的流动属于层流，这种边界层称为层流边界层（Laminar Boundary Layer）。 当雷诺数达到一定数值时，边界层内的流动经过一过渡段后转变为湍 流，成为湍流边界层（Turbulence Boundary Layer） 。
如图所示，可知： ρU δ δd 也可表示为：
工程流体力学 第2版 项目8 边界层理论基础
普朗特针对大雷诺数流动，提出边界层概念和正确地简化NS方程组的方法，使相当发展的理想流体理论有了实际价值。所 以边界层理论被誉为近代流体力学的重大发展之一。目前，边 界层理论已广泛地应用于航空、航海、水利、气象、机械、化 工及环境科学等方面。本项目主要介绍边界层理论中最基本的 内容，包括：边界层概念，边界层基本特征及边界层厚度，边 界层方程，并对平板层流边界层的计算问题和边界层分离现象 及绕流阻力等进行了分析和讨论。
代入连续性方程的积分方程得：
以上积分关系式可以改造成更简单的形式：
任务5 平板上层流边界层的计算
一、平板层流边界层 （1）边界层内的流速分布关系式
图8 层流边界层速度分布
（2）边界层内的切应力分布关系式 图9 层流边界层阻力分布
如需求流体对平板两面的总摩擦阻力时，只需将上式乘2即可。
二、平板上的紊流边界层 （1）光滑平板上的紊流边界层
【案例导入】
改变世界的科技—特斯拉涡轮机
图1 特斯拉涡轮机
图2 内部原理图
主要内容
任务1 边界层的概念 任务2 边界层厚度 任务3 平面层流边界层的微分方程 任务4 边界层的动量积分方程 任务5 平板上层流边界层的计算 任务6 边界层分离现象及绕流阻力
任务1 边界层的概念
一、边界层的定义 如图3所示，假设一薄平板平行于流速的方向，流体以均匀速 度U流过平板。
Ux Rex v
图3 边界层和外流区
（1）边界层的定义
在雷诺数较大的流动中，紧靠物体表面，流速受到粘性显 著影响，摩擦剪应力不能略去不计，这一极薄层流体，定义为 边界层（附面层）。
通常设定v = 0. 99 U的位置线作为边界层的外边界（理论上 讲应伸至无穷远），U为完全理想流体绕流时物面上的切向速 度。
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第八章 边界层理论基础和绕流运动8—1 设有一静止光滑平板宽b ＝1m ，长L ＝1m ，顺流放置在均匀流u ＝1m/s 的水流中，如图所示，平板长边与水流方向一致，水温t ＝20℃。
试按层流边界层求边界层厚度的最大值δmax 和平板两侧所受的总摩擦阻力F f 。
解：20℃水的运动粘度ν＝1.003⨯10-6 m 2/s 密度3998.2/kg m ρ=6119970091.00310ν-⨯===⨯L uLRe因为 56310997009310⨯<=<⨯L Re按层流边界层计算。
max 1/25.4475.447m 0.0055m Re 997009L L δ=== 3f 1/21.46 1.4610997009-===⨯L C Re 223998.2122 1.461011N 1.46N 22f ff u F C A ρ-⨯==⨯⨯⨯⨯⨯= 8—2 设有极薄的静止正方形光滑平板，边长为a ，顺流按水平和铅垂方向分别置放于二维恒定均速u 的水流中，试问：按层流边界层计算，平板两种置放分别所受的总摩擦阻力是否相等，为什么？解：因为两种置放情况的物理模型和数学模型及其分析、推导所得计算公式是相同的，所以两种情况平板所受的总摩擦阻力相等。
8—3 设有一静止光滑平板,如图所示,边长1m,上宽0.88m,下宽0.38m,顺流铅垂放置在均匀流速u =0.6m/s 的水流中，水温t =15℃。
试求作用在平板两侧的总摩擦阻力F f 。
注：若为层流边界层，C f 按式（8—24）计算。
解：由表1—1查得，15℃时水的密度ρ=999.13/kg m ，运动粘度ν=1.139×10-6m 2/s 。
首先判别流态，计算平板上宽雷诺数560.60.884635655101.13910ν-⨯===<⨯⨯L uLRe ，按层流边界层计算。
设z 轴铅垂向上,平板宽度x 为0.38+0.5z ，阻力系数C f 按式（8-24）计算,即12f 60.6(0.380.5)1.328 1.13910--⨯+⎡⎤==⨯⎢⎥⨯⎣⎦L z C Re1521.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创?犏臌总摩擦阻力F f 按式(8—20)计算，f f12012(0.380.5)d 2F C u z z r =?ò11522 1.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创创+犏臌ò21999.10.6(0.380.5)d 2z z 创创+ 1120.658(0.380.5)d z z =?ò。
因0.380.5x z =+，所以d 0.5d x z = ，或d 2d =z x 。
代入上式得题8-1图0.88130.8822f 0.380.3820.6582 1.3163=⨯⨯=⨯⎰F x dx x0.88(0.830.23)N 0.528N =?=8—4 油的动力粘度μ=50×10-3Pa·s ，密度r =990kg/m 3，流速u =0.3m/s ，流过一水平放置的静止光滑平板。
试求距离平板始端150mm 处的边界层厚度δ以及边界层厚度为50mm 处距离平板始端的距离L 。
解：（1）30.39900.158915010x u x Re r m -创===´，为层流边界层。
5.4770.028m d ==?（2）0.05m d =时，假设仍为层流边界层0.05===0.495m L =30.39900.49529405010L Re -创==´，为层流边界层。
0.05m d ==8—5 试按光滑平板上的湍流边界层计算习题8—1中平板上边界层厚度的最大值maxd 和平板两侧所受的总摩擦阻力F f 。
解：max 150.3810.024m Re L Ld ===3f 150.074= 4.6710LC Re -==? ()2f f f =22u F C A r 两侧23998.212 4.671011N4.66N 2-´=创创?max d 、F f 值均大于习题8—1按层流边界层计算所得的值。
8—6 空气的温度t ＝0℃，流速u ＝30m/s ，在一个标准大气压下，流过一水平放置的（静止）光滑平板。
已知距平板始端4m 处的某点流速u x ＝27m/s ，试求该点距平板的垂直距离y 。
解：t ＝0℃时，空气的动力粘度μ=1.71×10-5Pa·s ，密度31.293kg/m r =。
51.29330490736841.7110x ux Re r m -创===´，在5731010:´范围内。
按湍流边界层计算150.3810.3810.062m xx Re d ==?17x y u u d 骣÷ç=÷ç÷ç桫 77270.062m 0.03m 30x u y ud 骣骣÷÷çç=??÷÷çç÷÷çç桫桫8—7 有一宽b ＝2.5m ，长L ＝30m 的光滑平板潜没在静水中，以5m/s 的速度等速拖曳，平板长边与运动方向一致，水温为20℃，试求光滑平板的总摩擦阻力F f 。
解：t ＝20℃时，水的运动粘度n =1.003×10-6m 2/s ，密度998.2r =kg/m 3。
65301.00310o L U L Re n -´===´149551346＞107，按湍流边界层计算。
()fm 2.580.4550.002lg L C Re == 220fm f 998.25220.002 2.530N 3743.25N 22U F C A r ´==创创=总8—8 空气的温度t ＝40℃，流速U 0＝60m/s ，流过一长L ＝6m ，宽b ＝2m 的光滑平板, 平板长边与流速方向一致。
设平板边界层由层流转变为湍流的条件为60crcr 10x U x Re n==。
试求平板两侧所受的总摩擦阻力F f （注：按混合边界层计算）。
解：t ＝40℃时，空气的运动粘度521.6810m /s n -=?，密度31.128kg/m r =。
60560621428571101.6810L U L Re n -´===>´，按混合边界层计算。
Re x cr =106，由表8-1可查得A=3300()fm 11550.0740.07433000.002352142857121428571L LA C Re Re =-=-= 220f fm 1.12860220.0023526N 114.5N 22U F C bLr ´=?创创=8—9 空气的温度为293K ，流速u =30m/s,在一个标准大气压下，流过一水平放置的光滑平板。
层流边界层转变为湍流边界层的临界雷诺数cr x Re 5510=?，试求（1）边界层流态转变处离平板始端距离x cr 和该处离平板垂直距离y ＝1mm 处的流速u x ；（2）离平板始端1m 处的边界层厚度和每米宽平板所需的总拖曳力F f 。
（按混合边界层计算）解：（1）t =293K 时，空气的动力粘度51.8110Pa s m -=醋，密度31.205kg/m r =。
cr cr =x Re ux rm55cr cr 510 1.8110m 0.25m 1.20530x Re x u m r -创?===´cr 1/2cr 5.477 5.4770.00194m x x Re d ==? 2222300.001()(0.001)m/s 22.96m/s 20.0019420.00194x u y u y d d ´=-=-=´(2) 551.205301199********.8110L uL Re r m -创===>?´为湍流边界层。
1/5=0.3810.3810.0209m L x Re d =?f m 1/50.074170017000.003221997238L LC Re Re =-==22f fm 1.20530220.0032211N 3.49N 22u F C bL r ´==创创=8—10 设有一宽b =2.5m ，长L =30m 的粗糙平板潜没在静水中，以5m/s 的速度等速拖曳，平板宽边b 与运动方向一致，水温为20℃，平板当量粗糙度∆=0.3mm 。
试求粗糙平板的总摩擦阻力F f 。
解：由表1—1查得，水温t =20℃时，水的密度ρ= 998.2 kg/m 3，运动粘度ν=1.003×10-6m 2/s 。
5065 2.5124626125101.00310ν-⨯===>⨯⨯b U bRe ，为湍流边界层。
允许粗糙度∆'650100100 1.00310m 2.00610m 0.02mm 0.3mm /5U ν--⨯⨯≤==⨯≈<∆=＞14×0.02=0.28mm ，粗糙平板，且可认为属于湍流边界层粗糙区。
层流边界层长度 56cr cr 0510 1.00310m 0.1m 5-⨯⨯⨯===x Re v x U与平板宽边b =2.5m 相比，可略去不计。
按湍流边界层粗糙区计算摩阻系数C f ，即2.5 2.5f 2.5(1.62lg1.89)(1.62lg 1.89)0.0003--=+=+∆b C 31013.5-⨯= 2320f f 2 5.1310998.252.5302N 22U F C A r -创创创== 9601.44N =8—11 球形尘粒密度s ρ= 2.5×103kg/m 3，在20℃的大气中等速自由沉降。
若空气阻力可按斯托克斯阻力公式计算，试求尘粒最大直径d max 和自由沉降速度u f 。
解：由表1-2查得空气的运动粘度ν=1.5×10-5m 2/s ，密度ρ=1.205 kg/m 3 。
55.8410m 58.4μm d -===?max 58.4μm d =2f 1()18s u d g r r nr=-2510.000058418 1.510 1.205-=?创? (2.51000 1.205)9.8m/s 创-? f u 0.257m/s =8—12 球形水滴在20℃的大气中等速自由沉降，若空气阻力可按斯托克斯阻力公式计算，试求水滴最大直径d max 和自由沉降速度u f 。
解：（1）由表1-2查得空气的运动粘度ν=1.5×10-5m 2/s ，密度ρ=1.205 kg/m 3 ，水的密度F ρ= 998.2kg/m 3。