(推荐)常用分布函数的数学期望与方差
六个常用分布的数学期望和方差 ppt课件
E (X)μ,D (X)σ2
例1.已知 X~(3),Y求2X1, E(Y ) ,D(Y ) , E[3(X2 1)] 解：X~(3), E(X)3, D(X)3 则
E (Y)E (2X1)2E(X)1 5
D (Y)D (2X1) 4D(X) 12
E[3(X2 1)] 3E(X2)3 3 {D (X )[E (X )2 ]}3 33
由二项分布定义可知，X是n重贝努利试验中事件A发
生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p，设
1 X k 0
A 在k 次 第发,k 生 1 ,2 , ,n A 在k 次 第不 发 生
则Xk服从二点分布，其分布律为： X
0
1
E(Xk)p, D (Xk)p(1p) Pk 1-p p
X X 1 X 2 X n
e 22 dx（令
2
t
x ）
1
t2
(t)e2dt
2
2
t2
e 2 dt
D (X )E {X [E (X )2 ]} (x)2
1
(x)2
e 22 dxLeabharlann 22t2t2e2 dt （令 t x ）
2
2
2
t2
(t)d e2
2
t2
te2
2
t2
e 2dt
2
2
即
2 2
附： 几种重要随机变量的数学期望和方差
一.二点分布 二.二项分布 三.泊松分布
四.均匀分布 五.正态分布 六.指数分布
一.二点分布
若随机变量X服从二点分布，其分布律为：
X
0
1
Pk
1-p
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
8个常见分布期望和方差
8个常见分布期望和方差概率分布的期望和方差为了理解和预测复杂的概率分布，其中最重要的两个因素是期望和方差。
概率分布的期望是由可能的结果的各种频率的平均值。
它是一个数字，可以确定概率变量的未来值的变化，用来表明对分布结果的期望：方差是描述随机变量变化程度的数字，它表示数据离期望值多大程度。
期望和方差是描述统计定律的基本量，它们是用于理解和预测随机变量的行为的最重要的两个概念。
此外，方差也是可以利用的重要的统计概念，用来表明总体变化的大小，以及在给定范围内期望出现变化的可能性。
尽管，有很多不同的概率分布存在，但是在概率领域，最常用的概率分布可以分为三类：正态分布，二项分布和卡方分布。
下文将分别介绍这三类分布的期望和方差。
正态分布是指概率分布中，观测值的分布曲线呈现出钟形状，中心对称型的曲线。
正态分布的期望可以表示为：E（x）=μ，即随机变量的期望值就是均值。
正态分布的方差可以表示为：V（x）=σ2，其中σ2是样本数据的方差，表示数据的变化程度。
二项分布研究的是独立重复试验，其中均有概率p成功，概率q失败，这里p+q=1。
对二项分布，其期望值E(X)=np，即期望值取决于p值和重复次数n；其中变异系数V(x)=npq，表示数据变异的程度。
卡方分布也被称为卡方正态或卡方分位数分布，它描述的是数据来源于独立正态分布的累积分布，通常用于统计检验中的卡方检验。
对卡方分布，其期望值E(X)=n；变异系数V(x)=2n,表示数据变异的程度。
总的来说，概率分布的期望和方差是理解和预测复杂概率分布的基础，它们提供了一种可以用来确定观测值的有效值并预测观测结果的方法。
通过期望和方差，我们可以很容易地推断三类常见分布的理论值，进一步推断复杂概率分布的变化趋势，从而帮助更好地。
常见分布的期望和方差
罕有散布的期望和方差(0,1)N 2()Yx n t =概率与数理统计重点摘要1.正态散布的盘算：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ.2.随机变量函数的概率密度：X 是屈服某种散布的随机变量,求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =.（拜见P66～72）3.散布函数(,)(,)xyF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基赋性质：⑴.是变量x,y 的非降函数;⑵.0(,)1F x y ≤≤,对于随意率性固定的x,y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=; ⑶.(,)F x y 关于x 右持续,关于y 右持续;⑷.对于随意率性的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ,有下述不等式成立：4.一个主要的散布函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5.二维随机变量的边沿散布：边沿概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边沿散布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xX yY F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰二维正态散布的边沿散布为一维正态散布.6.随机变量的自力性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X,Y 互相自力.简称X 与Y 自力.7.两个自力随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰个中Z ＝X ＋Y8.两个自力正态随机变量的线性组合仍屈服正态散布,即22221212(,Z aX bY N a b a b μμσσ=+++). 9.期望的性质：……（3）.()()()E X Y E X E Y +=+;（4）.若X,Y 互相自力,则()()()E XY E X E Y =. 10.方差：22()()(())D X E X E X =-.若X,Y不相干,则()()()D X Y D X D Y +=+,不然()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++,()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-11.协方差：(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--,若X,Y 自力,则(,)0Cov X Y =,此时称：X 与Y 不相干. 12.相干系数：(,)()()XY Cov X Y X Y ρσσ==1XY ρ≤,当且仅当X 与Y 消失线性关系时1XY ρ=,且1,b>0;1,b<0XY ρ⎧=⎨-⎩ 当 当。
数学期望与方差的公式
数学期望与方差的公式
数学期望是描述一个随机变量在概率分布中的中心位置的量。
数学期望的计算公式如下：E(X) = ∑x*P(x)
其中，E(X)表示数学期望，x表示随机变量的取值，P(x)表示每个取值的概率。
方差是描述一个随机变量的分布程度的度量，它表示随机变量与其期望之差的平方值的期望。
方差的计算公式如下：
D(X) = E((X-E(X))^2)
其中，D(X)表示方差，E(X)表示数学期望。
另外，有时候也可以使用简化版的方差计算公式：
D(X) = ∑(x-E(X))^2*P(x)
在使用这个公式计算方差时，需要注意的是，需要先计算数学期望值E(X)，然后再计算方差。
使用数学期望和方差可以帮助我们更好地了解一个随机变量的分布情况，在统计分析中有广泛的应用。
常见分布的期望和方差
罕睹分散的憧憬战圆好之阳早格格创做(0,1)N 2()Yx n t =概率取数理统计沉面纲要1、正态分散的预计：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ.2、随机变量函数的概率稀度：X是遵循某种分散的随机变量，供()Y f X =的概率稀度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =.（拜睹P66～72）3、分散函数(,)(,)xyF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具备以下基赋本量：⑴、是变量x ，y 的非落函数；⑵、0(,)1F x y ≤≤，对付于任性牢固的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 闭于x 左连绝，闭于y 左连绝；⑷、对付于任性的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述没有等式创造：4、一个要害的分散函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率稀度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边沿分散：边沿概率稀度：()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边沿分散函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xX yY F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰二维正态分散的边沿分散为一维正态分散.6、随机变量的独力性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独力.简称X 取Y 独力.7、二个独力随机变量之战的概率稀度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X ＋Y8、二个独力正态随机变量的线性推拢仍遵循正态分散，即22221212(,Z aX bYN a b a b μμσσ=+++).9、憧憬的本量：……（3）、()()()E X Y E X E Y +=+；（4）、若X ，Y 相互独力，则()()()E XY E X E Y =. 10、圆好：22()()(())D X E X E X =-. 若X ，Y 没有相闭，则()()()D X Y D X D Y +=+，可则()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-11、协圆好：(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--，若X ，Y 独力，则(,)0Cov X Y =，此时称：X 取Y 没有相闭. 12、相闭系数：(,)()()XYCov X Y X Y ρσσ==1XY ρ≤，当且仅当X 取Y 存留线性闭系时1XYρ=，且1,b>0;1,b<0XYρ⎧=⎨-⎩ 当 当。
概率论八大分布的期望和方差
概率论八大分布的期望和方差
概率论是数学中一个很重要的分支，它通过概率来研究不确定性事件发生的规律。
其中，概率论8大分布描述了多次实验和事件中，可能出现的概率位置及其期望等统计量，被广泛用于对数据的拟合和预测。
首先说明的是正态分布，即平均数和方差成正比的分布，它的期望为μ，标准差为σ，因此它的方差为σ²。
接下来介绍的是指数分布，它是描述数据发生在某一时刻及其之前的分布，其期望是1/λ，方差也为1/λ²，其中λ>0。
三角分布是描述一个实验发生三次时的分布，其期望是a+b+c/3，方差为abcb/36。
威布尔分布的期望是α/(1+α)，方差为α/((1+α)²(1+2α))。
泊松分布是按概率论中常用的概率模型，其期望是λ，方差也为λ。
F比例的期望依赖于自由度的不同，给定两个自由度为m和n的差异，它的期望为m/n，方差为2m²n²/((m+n)²(m+n+2))。
相间分布是另一种概率模型，它描述了一个试验出现在某个位置的概率，它的期望为μ+σ/2，及其方差为(σ/2)²。
最后要介绍的是Gamma分布，它由α和β决定，其期望为αβ，方差为
αβ²。
以上是概率论8种分布的期望和方差。
科学家们利用这些概念，处理概率性事件作出合理的决策，从而取得成果。
从长远来看，熟悉概率论8大分布的期望和方差，对于科学家精确处理概率性问题有着至关重要的作用。
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
4第三节-常见分布的数学期望和方差(共23张)
常见分布的期望和方差.pdf
x +
FX (x) = F(x, +) =
边缘分布函数：
[
− −
f (u, y)dy]du
y +
FY ( y) = F(+, y) =
[
− −
f (x, v)dx]dv
二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若 F(x, y) = FX (x)FY ( y) 则称随机变量 X，Y 相互独立。简称 X 与 Y 独立。
9、期望的性质：……（3）、 E(X +Y) = E(X ) + E(Y) ；（4）、若 X，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X )E(Y) 。
10、方差： D(X ) = E(X 2 ) − (E( X ))2 。 若 X，Y 不相关，则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) ，否则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) + 2Cov(X ,Y) ，
分布类型
0-1 分布 B（1，p） 二项分布 B（n，p）
泊松分布 P(λ)
均匀分布 U（ a,b ） 正态分布 N（ , 2 ）
指数分布 E（λ）
2 分布， 2 (n)
t 分布， t(n)
常见分布的期望和方差
概率密度函数
pi = P X = i = Cni piqn−i (q =1− p),(i =1, 2,..., n)
⑵、 0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x，y 有： F(−, y) = F(x, −) = 0 ；
⑶、 F(x, y) 关于 x 右连续，关于 y 右连续；
⑷、对于任意的 (x1, y1), (x2, y2 ), x1 x2, y1 y2 ，有下述不等式成立：
常见分布的期望和方差78835
常见分布的期望和方差x n(0,1)N2()概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算:()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ。
2、随机变量函数的概率密度:X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。
（参见P66～72）3、分布函数(,)(,)x yF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基本性质:⑴、是变量x ，y 的非降函数；⑵、0(,)1F x y ≤≤,对于任意固定的x,y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续;⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立:22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥4、一个重要的分布函数:1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xX yY F x F x f u y dy duF y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。
简称X 与Y 独立.7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X ＋Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即22221212(,Z aX bYN a b a b μμσσ=+++)。
八大分布期望和方差
八大分布期望和方差当讨论统计学里的发现时，最基本也是最重要的就是八大分布，这一系列重要分布包括正态分布、指数分布、对数正态分布、伽马分布、贝塔分布、卡方分布、正交分布以及负指数分布。
它们的作用是描述统计数据的变化，因此在数学概念、统计推断、机器学习和真实应用中非常重要。
其中，期望是一类随机变量的期望中心，它是描述一组变量期望值的一维度量。
一个分布的期望通常可以定义为特定条件下事件发生的概率乘以该事件的可能取值数目的加和，也就是均值。
另一方面，方差是一种二维描述，它表示分布中变量值距离各自的期望大小的一种度量。
方差定义为分布中变量值与其期望之差的平方值的期望和。
方差可以帮助我们识别变量间的相关性，也可以有助于正确估计参数。
介绍了期望和方差的定义，接下来介绍八大分布的期望和方差。
1.正态分布：正态分布的期望是变量的均值，而方差则是一个常数的平方。
2.指数分布：指数分布的期望是变量的平均值，方差是变量的平均值的平方。
3.对数正态分布：对数正态分布的期望是变量的自由参数个数，方差是变量的自由参数个数的平方。
4.伽马分布：伽马分布的期望是变量的期望值，方差是变量的期望值的平方。
5.贝塔分布：贝塔分布的期望是变量的平均值，方差是变量的平均值的平方。
6.卡方分布：卡方分布的期望是变量的特征参数的平方，方差是变量的特征参数的二次方。
7.正交分布：正交分布的期望是变量的均值，方差则是一个常数的平方。
8.负指数分布：负指数分布的期望是变量的均值，方差是变量均值的平方。
以上就是八大分布期望和方差的大致情况了。
从上述讨论可以看出，期望与方差是遵循某种特定公式的，而这两个概念也是人们在分布情况的基本分析上的重要指标。
期望和方差的定量分析对正确估计概率和识别变量间的相关性非常重要，并且在实际应用中也发挥了重要作用。
常见分布的期望和方差
欢迎下载 2概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ。
2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。
（参见P66～72）3、分布函数(,)(,)x yF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基本性质：⑴、是变量x ，y 的非降函数；⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=；⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立：22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy duF y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰ 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。
简称X 与Y 独立。
欢迎下载 37、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X ＋Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即22221212(,Z aX bY N a b a b μμσσ=+++):。