期权定价的连续模型及BS公式

240820/10/8
V erT EST X
将式（5-16）代入得
S S e BT r 2 / 2 T
T
0
240920/10/8
若Z ~ N (0,1) 则用 T Z代替BT 于是
20420/10/8
方程（5-1）是一个SDE，一般SDE没有简洁的封闭形式的解。 方程（5-1）的解（几何布朗运动）
St S0 exp Bt 2 / 2 t （5-8）
式中，Bt ~ N (0,t) 由此得到的就是股价的几何布朗运动模型（GBM）。
式（5-8）与具有连续时间变量T的离散模型（5-7）相同。
如果令 于是
S~ S0eB m
（5-15）
S0 er E S
S0 er E
S e B m 0
240620/10/8
即
E e B (mr) 1
m r 2 /2
为什么？
因此，修正的股价模型为：
S~
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S
eB
0
r
2
/ 2
（5-16）
240720/10/8
修正模型看上去与GBM模型非常接近，但其与股价 模型是完全不同的模型，因为该模型中股价的增长率被 人为设低了。
期权定价的连续模型及BS公 式
2020/10/8
保罗· 萨缪尔森在1965年首次提出：
其中：
dSt Stdt StdBt
St ——股票在 t 时刻的价格
——常量
Bt ——服从布朗运动。
（5-1）
1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜
观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种 运动叫做布朗运动。
2.4
1.8
2.2
2 1.6
1.8 1.4
1.6
1.2 1.4
1
1.2
0.8
0
20
40
60
80 100 120 140 160
1
0
20
40
60
80 100 120 140 160
0.5, 1
1, 1
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
包含了随机项，因此更接近实际！
21020/10/8
该模型有一个优点，包含了随机变量；但存在一
个不足之处，即有两个不确定项。
第一个漂移项来自 et 中的 ，其作用类似于债券
和货币基金市场中的利率 r
k
第二个漂移项来自于
c Zi e i
当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面，即 et
210120/10/8
于是，理论上
E U 2 / 2 t
Var U 2t
20920/10/8
第二步
样本均值：
U
1 n
n
Ui
i 1
样本方差：
S 2
1 n 1
n i 1
U i
U
2
根据式（5-9）U 的观测值的均值为 2 / 2 t
方差为 2t 。
23020/10/8
第三步
解方程：
得
U 2 / 2t
S 2 2t
U S 2 / 2
t
S / t
230120/10/8
一般经验法则是设定度量波动率的时期 等于将应用波动率所对应的时期。
230220/10/8
习题：
以下是包钢股票2007年3月20日到2007年3月23日半
小时价，请以天为时间单位计算 和 。
3月20日 5.22 5.18 5.2 5.25 5.24 5.24 5.24 5.24
c 为常数
S1 etecZ1 S0
28020/10/8
于是，可得股价序列 S2 , S3 , Sk
即
Sk etecZk Sk1
（5-3）
设 Zi ,iid, Zi ~ N (0,1),i 1, 2, , k
29020/10/8
于是得：
k
Sk
c e e kt i1
Zi
S0
（5-4）
与式（5-2）相比有什么特点？
由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以大大简化 我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券定价时，所有投资 者都是风险中性的。
230820/10/8
所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险 利率回报。
风险中性假设的结果：投资者进入了一个风险中性世界 ◦ 所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率 ◦ 所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
210320/10/8
进一步
若令： 则： 因为：
k
kt
c Zi kc2 / 2
i1
S e e S k
0
k
Wk Zi i1
Wk ~ N 0, k
Zi ,iid,且Zi ~ N 0,1,i 1, 2, , k
210420/10/8
则
Sk e e kt cWk ekc2 / 2S0
式（5-6）的分析：
aS ber
（5-11）
240220/10/8
用无风险利率r 贴现得
er aer S b
于是
er aer S 0 aS0
er 0 a er S S0
（5-12）
240320/10/8
对式（5-12）两边求期望，则如果下列条件成立
E er S S0 0
则
E er 0 0
调整。
2020/10/8
可以在c 和k 之间建立一个关系式，使得 cWk 的方差
等于 2T
即令： Var(cWk ) c2Var(Wk ) c2k 2T
于是式（5-6）
ST S0eT eWT e 2T / 2
其中 WT ~ N (0,T )
20120/10/8
对数正态模型（为什么？）
Black-Scholes方程的结果认为，由于在方程中消掉 了漂移项 ，而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期， 也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价格与 人们对证券价格未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并 不影响期权价格。
230720/10/8
从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出 现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的 波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主 观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标 的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
3月21日 5.27 5.22 5.29 5.26 5.27 5.27 5.27 5.26
3月22日 5.3 5.28 5.31 5.43 5.46 5.46 5.53 5.56
3月23日 5.6 5.68 5.69 5.69 5.67 5.61 5.68 5.68
230320/10/8
假设： ◦ 证券价格遵循几何布朗运动，即μ和σ为常数； ◦ 允许卖空； ◦ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； ◦ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； ◦ 不存在无风险套利机会； ◦ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； ◦ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。 ◦ 欧式期权，股票期权，看涨期权
理论公式定价。
24020/10/8
习题： 若某日某股票的相关数据如下，求V
S0 80 X 100
0.8
r 0.05
0.29
240120/10/8
一、修正的模型 主要思路：让模型定价等于市价
资产组合：a股价格为S0的股票＋现金b
则投资额为：
0 aS0 b
经过时间 后，投资的资金将变为：
上式是下列微分方程的解：
dS S
dt S (T ) eT S0 （5-2）
27020/10/8
在式（5-1）中，如果令 0
即可得到上述微分方程，这是一个确定性的公式。 然而，股价并不具有公式（5-2）所示的可预测性和确定性。 令随机变量 Z ~ N (0,1)
定义
其中，Z1 ~ N (0,1)
24020/10/8
若 S T 表示 T 时刻的股价
则根据二叉树模型，在一个给定时间间隔 t
S1 et S0 Sk1 et Sk
25020/10/8
于是
Sk ekt S0
令 T kt
S T Sk eT S0
这表明k个小时间段的共同影响等同于相应大时间段 T kt 的影响。
26020/10/8
20520/10/8
特别注意：
ln
St S0
Bt
2
2
t
Bt
2
2
t
~
N
2
2
t,
2t
目的：对期权进行定价
20620/10/8
几何布朗运动参数估计：
波动率 漂移率
思路：用样本均值和方差来代替总体的均值和方差
若已知在一段较长时间[0,T]内的股价数据 ，这段时间由n个
长度相等的子区间 t 所构成，如果已知第 i(i 0,1, , n) 个
210620/10/8
当 E exp(cW1 c2 / 2) 1 时
是否 S1 et S0
否！
S0 1, 0.10, c 0.40, t 1
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
200
400
600
800
1000
1200
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
210920/10/8
式（5-6）中将时间分成小的增量 t ，并考虑 k 步
运行的影响，一段固定的时间 T kt可以分成许多小时 间段。
事实上，针对同样的时间 T ，可以分成不同的 k 个 区间。
应该注意到：随着 k 的增加，Wk 的方差 k 会增加。
为了使得 cWk 的总方差独立于 k ，需要对常量 c 随 k 进行
4 3 2 1
0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
6 5 4 3 2 1 0
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
10 8 6 4 2 0
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
S S eWT 2 / 2 T
T
0
：表明长期趋势； ：表明波动率。
这两个参数如何影响股价？
（5-7）
1.4
10
1.3 8
1.2
1.1
6
1
4
0.9
2 0.8
0.7
0
20
40
60
80 100 120 140 160
0
0
20
40
60
80 100 120 140 160
0, 0.5
2
0, 1
d2 d1
是否注意到，这一公式中没有出现漂移率：
参数是投资者在短时间后获得的预期收益率， 依附于某种股票的衍生证券的价值一般独立于。
参数是股票价格波动率。
230620/10/8
Black-Scholes定价系统在完全市场中得到期权价格与 漂移率无关，被称为风险中性定价方法，无套利是这种定价 的基本假设。
尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程 而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不 仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所 有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论， 适合于现实世界。
230920/10/8
应该注意的是： 实际期权交易中，很多看涨期权是通过竞价市场而非
子区间末的股价 Si，则样本观测值有n+1
20720/10/8
第一步 计算时间序列值：
Ui lnSi1 lnSi
由于
Ui Bti1 Bti 2 / 2 t （5-9）
20820/10/8
应该注意到：
Bti1 Bti , iid ,且Bti1 Bti ~ N 0, t
230420/10/8
由Black-Scholes公式，欧式看涨期权的价格
V S0 N d1 Xer N d2 （5-10）
式中 V
期权价格
S0
股票现价
N (x) 标准正态分布函数
Nx PX x
X 期权的执行价格
距离到期的时间
230520/10/8
d1
ln S0
/
X r
2
/2
为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。
对 S1 进行重新定义：
S1 e e t cZ1c2 / 2S0
为什么？
210220/10/8
随机变量Z 的一个重要等式
c2
E ecZ e 2
（5-5）
于是
E exp(cZ c2 / 2) 1
E S1 et S0
第二个因素表示的随机变量的漂移率为零
（5-13）
0 er E
（5-14）
由此，即使a值变化，上式总是成立。
240420/10/8
采用股价模型 S~ 代替真正股价 S ，方差保持不变 ，且满足下式
S0 er E S
于是对于任何用来复制的投资组合，存在下式
0 er E
现在的问题是，是否存在这样的 S ？
240520/10/8
（5-6）
S0 股票的初始价格； ekt 漂移因子（复利因子）；
ecWk 随机因子； ekc2 / 2 修正因子。
210520/10/8
特别注意：
模型（5-6）尽管也是一种离散模型， 但比二叉树模型具有更丰富的意义。
因为
S1
e e e S t cW1 c2 / 2 0
允许 S1 取任何正值
为什么？