期权定价的连续模型及BS公式
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调整。
2020/10/8
可以在c 和k 之间建立一个关系式，使得 cWk 的方差
等于 2T
即令： Var(cWk ) c2Var(Wk ) c2k 2T
于是式（5-6）
ST S0eT eWT e 2T / 2
其中 WT ~ N (0,T )
20120/10/8
对数正态模型（为什么？）
为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。
对 S1 进行重新定义：
S1 e e t cZ1c2 / 2S0
为什么？
210220/10/8
随机变量Z 的一个重要等式
c2
E ecZ e 2
（5-5）
于是
E exp(cZ c2 / 2) 1
E S1 et S0
第二个因素表示的随机变量的漂移率为零
20520/10/8
特别注意：
ln
St S0
Bt
2
2
t
Bt
2
2
t
~
N
2
2
t,
2t
目的：对期权进行定价
20620/10/8
几何布朗运动参数估计：
波动率 漂移率
思路：用样本均值和方差来代替总体的均值和方差
若已知在一段较长时间[0,T]内的股价数据 ，这段时间由n个
长度相等的子区间 t 所构成，如果已知第 i(i 0,1, , n) 个
3月21日 5.27 5.22 5.29 5.26 5.27 5.27 5.27 5.26
3月22日 5.3 5.28 5.31 5.43 5.46 5.46 5.53 5.56
3月23日 5.6 5.68 5.69 5.69 5.67 5.61 5.68 5.68
230320/10/8
假设： ◦ 证券价格遵循几何布朗运动，即μ和σ为常数； ◦ 允许卖空； ◦ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； ◦ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； ◦ 不存在无风险套利机会； ◦ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； ◦ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。 ◦ 欧式期权，股票期权，看涨期权
Black-Scholes方程的结果认为，由于在方程中消掉 了漂移项 ，而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期， 也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价格与 人们对证券价格未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并 不影响期权价格。
230720/10/8
从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出 现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的 波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主 观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标 的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
期权定价的连续模型及BS公 式
2020/10/8
保罗· 萨缪尔森在1965年首次提出：
其中：
dSt Stdt StdBt
St ——股票在 t 时刻的价格
——常量
Bt ——服从布朗运动。
（5-1）
1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜
观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种 运动叫做布朗运动。
20420/10/8
方程（5-1）是一个SDE，一般SDE没有简洁的封闭形式的解。 方程（5-1）的解（几何布朗运动）
St S0 exp Bt 2 / 2 t （5-8）
式中，Bt ~ N (0,t) 由此得到的就是股价的几何布朗运动模型（GBM）。
式（5-8）与具有连续时间变量T的离散模型（5-7）相同。
24020/10/8
若 S T 表示 T 时刻的股价
则根据二叉树模型，在一个给定时间间隔 t
S1 et S0 Sk1 et Sk
25020/10/8
于是
Sk ekt S0
令 T kt
S T Sk eT S0
这表明k个小时间段的共同影响等同于相应大时间段 T kt 的影响。
26020/10/8
上式是下列微分方程的解：
dS S
dt S (T ) eT S0 （5-2）
27020/10/8
在式（5-1）中，如果令 0
即可得到上述微分方程，这是一个确定性的公式。 然而，股价并不具有公式（5-2）所示的可预测性和确定性。 令随机变量 Z ~ N (0,1)
定义
其中，Z1 ~ N (0,1)
aS ber
（5-11）
240220/10/8
用无风险利率r 贴现得
er aer S b
于是
er aer S 0 aS0
er 0 a er S S0
（5-12）
240320/10/8
对式（5-12）两边求期望，则如果下列条件成立
E er S S0 0
则
E er 0 0
包含了随机项，因此更接近实际！
21020/10/8
该模型有一个优点，包含了随机变量；但存在一
个不足之处，即有两个不确定项。
第一个漂移项来自 et 中的 ，其作用类似于债券
和货币基金市场中的利率 r
k
第二个漂移项来自于
c Zi e i
当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面，即 et
210120/10/8
理论公式定价。
24020/10/8
习题： 若某日某股票的相关数据如下，求V
S0 80 X 100
0.8
r 0.05
0.29
240120/10/8
一、修正的模型 主要思路：让模型定价等于市价
资产组合：a股价格为S0的股票＋现金b
则投资额为：
0 aS0 b
经过时间 后，投资的资金将变为：
230420/10/8
由Black-Scholes公式，欧式看涨期权的价格
V S0 N d1 Xer N d2 （5-10）
式中 V
期权价格
S0
股票现价
N (x) 标准正态分布函数
Nx PX x
X 期权的执行价格
距离到期的时间
230520/10/8
d1
ln S0
/
X r
2
/2
于是，理论上
E U 2 / 2 t
Var U 2t
20920/10/8
第二步
样本均值：
U
1 n
n
Ui
i 1
样本方差：
S 2
1 n 1
n i 1
U i
U
2
根据式（5-9）U 的观测值的均值为 2 / 2 t
方差为 2t 。
23020/10/8
第三步
解方程：
得
U 2 / 2t
如果令 于是
S~ S0eB m
（5-15）
S0 er E S
S0 er E
S e B m 0
240620/10/8
即
E e B (mr) 1
m r 2 /2
为什么？
因此，修正的股价模型为：
S~
S
eB
0
r
2
/ 2
（5-16）
240720/10/8
修正模型看上去与GBM模型非常接近，但其与股价 模型是完全不同的模型，因为该模型中股价的增长率被 人为设低了。
240820/10/8
V erT EST X
将式（5-16）代入得
S S e BT r 2 / 2 T
T
0
240920/10/8
若Z ~ N (0,1) 则用 T Z代替BT 于是
4 3 2 1
0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
6 5 4 3 2 1 0
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
10 8 6 4 2 0
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
2.4
1.8
2.2
2 1.6
1.8 1.4
1.6
1.2 1.4
1
1.2
0.8
0
20
40
60
80 100 120 140 160
1
0
20
40
60
80 100 120 140 160
0.5, 1
1, 1
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
（5-6）
S0 股票的初始价格； ekt 漂移因子（复利因子）；
ecWk 随机因子； ekc2 / 2 修正因子。
210520/10/8
特别注意：
模型（5-6）尽管也是一种离散模型， 但比二叉树模型具有更丰富的意义。
因为
S1
e e e S t cW1 c2 / 2 0
允许 S1 取任何正值
为什么？
S S eWT 2 / 2 T
T
0
：表明长期趋势； ：表明波动率。
这两个参数如何影响股价？
（5-7）
1.4
10
1.3 8
1.2
1.1
6
1
4
0.9
2 0.8
0.7
0
20
40
60
80 100 120 140 160
0
0
20
40
60
80 100 120 140 160
0, 0.5
2
0, 1
（5-13）
0 er E
（5-14）
由此，即使a值变化，上式总是成立。
240420/10/8
采用股价模型 S~ 代替真正股价 S ，方差保持不变 ，且满足下式
S0 er E S
于是对于任何用来复制的投资组合，存在下式
0 er E
现在的问题是，是否存在这样的 S ？
240520/10/8
d2 d1
是否注意到，这一公式中没有出现漂移率：
参数是投资者在短时间后获得的预期收益率， 依附于某种股票的衍生证券的价值一般独立于。
参数是股票价格波动率。
230620/10/8
Black-Scholes定价系统在完全市场中得到期权价格与 漂移率无关，被称为风险中性定价方法，无套利是这种定价 的基本假设。
子区间末的股价 Si，则样本观测值有n+1
20720/10/8
第一步 计算时间序列值：
Ui lnSi1 lnSi
由于
Ui Bti1 Bti 2 / 2 t （5-9）
20820/10/8
应该注意到：
Bti1 Bti , iid ,且Bti1 Bti ~ N 0, t
210320/10/8
进一步
若令： 则： 因为：
k
kt
c Zi kc2 / 2
i1
S e e S k
0
k
Wk Zi i1
Wk ~ N 0, k
Zi ,iid,且Zi ~ N 0,1,i 1, 2, , k
210420/10/8
则
Sk e e kt cWk ekc2 / 2S0
式（5-6）的分析：
由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以大大简化 我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券定价时，所有投资 者都是风险中性的。
230820/10/8
所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险 利率回报。
风险中性假设的结果：投资者进入了一个风险中性世界 ◦ 所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率 ◦ 所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程 而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不 仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所 有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论， 适合于现实世界。
230920/10/8
应该注意的是： 实际期权交易中，很多看涨期权是通过竞价市场而非
210620/10/8
当 E exp(cW1 c2 / 2) 1 时
是否 S1 et S0
否！
S0 1, 0.10, c 0.40, t 1
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
200
400
600
800
1000
1200
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
c 为常数
S1 etecZ1 S0
28020/10/8
于是，可得股价序列 S2 , S3 , Sk
即
Sk etecZk Sk1
（5-3）
设 Zi ,iid, Zi ~ N (0,1),i 1, 2, , k
29020/10/8
于是得：
k
Sk
c e e kt i1
Zi
S0
（5-4）
与式（5-2）相比有什么特点？
S 2 2t
U S 2 / 2
t
S / t
230120/10/8
一般经验法则是设定度量波动率的时期 等于将应用波动率所对应的时期。
230220/10/8
习题：
以下是包钢股票2007年3月20日到2007年3月23日半
小时价，请以天为时间单位计算 和 。
3月20日 5.22 5.18 5.2 5.25 5.24 5.24 5.24 5.24
35
40
45
50
210920/10/8
式（5-6）中将时间分成小的增量 t ，并考虑 k 步
运行的影响，一段固定的时间 T kt可以分成许多小时 间段。
事实上，针对同样的时间 T ，可以分成不同的 k 个 区间。
应该注意到：随着 k 的增加，Wk 的方差 k 会增加。
为了使得 cWk 的总方差独立于 k ，需要对常量 c 随 k 进行
2020/10/8
可以在c 和k 之间建立一个关系式，使得 cWk 的方差
等于 2T
即令： Var(cWk ) c2Var(Wk ) c2k 2T
于是式（5-6）
ST S0eT eWT e 2T / 2
其中 WT ~ N (0,T )
20120/10/8
对数正态模型（为什么？）
为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。
对 S1 进行重新定义：
S1 e e t cZ1c2 / 2S0
为什么？
210220/10/8
随机变量Z 的一个重要等式
c2
E ecZ e 2
（5-5）
于是
E exp(cZ c2 / 2) 1
E S1 et S0
第二个因素表示的随机变量的漂移率为零
20520/10/8
特别注意：
ln
St S0
Bt
2
2
t
Bt
2
2
t
~
N
2
2
t,
2t
目的：对期权进行定价
20620/10/8
几何布朗运动参数估计：
波动率 漂移率
思路：用样本均值和方差来代替总体的均值和方差
若已知在一段较长时间[0,T]内的股价数据 ，这段时间由n个
长度相等的子区间 t 所构成，如果已知第 i(i 0,1, , n) 个
3月21日 5.27 5.22 5.29 5.26 5.27 5.27 5.27 5.26
3月22日 5.3 5.28 5.31 5.43 5.46 5.46 5.53 5.56
3月23日 5.6 5.68 5.69 5.69 5.67 5.61 5.68 5.68
230320/10/8
假设： ◦ 证券价格遵循几何布朗运动，即μ和σ为常数； ◦ 允许卖空； ◦ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； ◦ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； ◦ 不存在无风险套利机会； ◦ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； ◦ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。 ◦ 欧式期权，股票期权，看涨期权
Black-Scholes方程的结果认为，由于在方程中消掉 了漂移项 ，而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期， 也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价格与 人们对证券价格未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并 不影响期权价格。
230720/10/8
从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出 现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的 波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主 观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标 的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
期权定价的连续模型及BS公 式
2020/10/8
保罗· 萨缪尔森在1965年首次提出：
其中：
dSt Stdt StdBt
St ——股票在 t 时刻的价格
——常量
Bt ——服从布朗运动。
（5-1）
1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜
观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种 运动叫做布朗运动。
20420/10/8
方程（5-1）是一个SDE，一般SDE没有简洁的封闭形式的解。 方程（5-1）的解（几何布朗运动）
St S0 exp Bt 2 / 2 t （5-8）
式中，Bt ~ N (0,t) 由此得到的就是股价的几何布朗运动模型（GBM）。
式（5-8）与具有连续时间变量T的离散模型（5-7）相同。
24020/10/8
若 S T 表示 T 时刻的股价
则根据二叉树模型，在一个给定时间间隔 t
S1 et S0 Sk1 et Sk
25020/10/8
于是
Sk ekt S0
令 T kt
S T Sk eT S0
这表明k个小时间段的共同影响等同于相应大时间段 T kt 的影响。
26020/10/8
上式是下列微分方程的解：
dS S
dt S (T ) eT S0 （5-2）
27020/10/8
在式（5-1）中，如果令 0
即可得到上述微分方程，这是一个确定性的公式。 然而，股价并不具有公式（5-2）所示的可预测性和确定性。 令随机变量 Z ~ N (0,1)
定义
其中，Z1 ~ N (0,1)
aS ber
（5-11）
240220/10/8
用无风险利率r 贴现得
er aer S b
于是
er aer S 0 aS0
er 0 a er S S0
（5-12）
240320/10/8
对式（5-12）两边求期望，则如果下列条件成立
E er S S0 0
则
E er 0 0
包含了随机项，因此更接近实际！
21020/10/8
该模型有一个优点，包含了随机变量；但存在一
个不足之处，即有两个不确定项。
第一个漂移项来自 et 中的 ，其作用类似于债券
和货币基金市场中的利率 r
k
第二个漂移项来自于
c Zi e i
当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面，即 et
210120/10/8
理论公式定价。
24020/10/8
习题： 若某日某股票的相关数据如下，求V
S0 80 X 100
0.8
r 0.05
0.29
240120/10/8
一、修正的模型 主要思路：让模型定价等于市价
资产组合：a股价格为S0的股票＋现金b
则投资额为：
0 aS0 b
经过时间 后，投资的资金将变为：
230420/10/8
由Black-Scholes公式，欧式看涨期权的价格
V S0 N d1 Xer N d2 （5-10）
式中 V
期权价格
S0
股票现价
N (x) 标准正态分布函数
Nx PX x
X 期权的执行价格
距离到期的时间
230520/10/8
d1
ln S0
/
X r
2
/2
于是，理论上
E U 2 / 2 t
Var U 2t
20920/10/8
第二步
样本均值：
U
1 n
n
Ui
i 1
样本方差：
S 2
1 n 1
n i 1
U i
U
2
根据式（5-9）U 的观测值的均值为 2 / 2 t
方差为 2t 。
23020/10/8
第三步
解方程：
得
U 2 / 2t
如果令 于是
S~ S0eB m
（5-15）
S0 er E S
S0 er E
S e B m 0
240620/10/8
即
E e B (mr) 1
m r 2 /2
为什么？
因此，修正的股价模型为：
S~
S
eB
0
r
2
/ 2
（5-16）
240720/10/8
修正模型看上去与GBM模型非常接近，但其与股价 模型是完全不同的模型，因为该模型中股价的增长率被 人为设低了。
240820/10/8
V erT EST X
将式（5-16）代入得
S S e BT r 2 / 2 T
T
0
240920/10/8
若Z ~ N (0,1) 则用 T Z代替BT 于是
4 3 2 1
0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
6 5 4 3 2 1 0
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
10 8 6 4 2 0
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
2.4
1.8
2.2
2 1.6
1.8 1.4
1.6
1.2 1.4
1
1.2
0.8
0
20
40
60
80 100 120 140 160
1
0
20
40
60
80 100 120 140 160
0.5, 1
1, 1
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
（5-6）
S0 股票的初始价格； ekt 漂移因子（复利因子）；
ecWk 随机因子； ekc2 / 2 修正因子。
210520/10/8
特别注意：
模型（5-6）尽管也是一种离散模型， 但比二叉树模型具有更丰富的意义。
因为
S1
e e e S t cW1 c2 / 2 0
允许 S1 取任何正值
为什么？
S S eWT 2 / 2 T
T
0
：表明长期趋势； ：表明波动率。
这两个参数如何影响股价？
（5-7）
1.4
10
1.3 8
1.2
1.1
6
1
4
0.9
2 0.8
0.7
0
20
40
60
80 100 120 140 160
0
0
20
40
60
80 100 120 140 160
0, 0.5
2
0, 1
（5-13）
0 er E
（5-14）
由此，即使a值变化，上式总是成立。
240420/10/8
采用股价模型 S~ 代替真正股价 S ，方差保持不变 ，且满足下式
S0 er E S
于是对于任何用来复制的投资组合，存在下式
0 er E
现在的问题是，是否存在这样的 S ？
240520/10/8
d2 d1
是否注意到，这一公式中没有出现漂移率：
参数是投资者在短时间后获得的预期收益率， 依附于某种股票的衍生证券的价值一般独立于。
参数是股票价格波动率。
230620/10/8
Black-Scholes定价系统在完全市场中得到期权价格与 漂移率无关，被称为风险中性定价方法，无套利是这种定价 的基本假设。
子区间末的股价 Si，则样本观测值有n+1
20720/10/8
第一步 计算时间序列值：
Ui lnSi1 lnSi
由于
Ui Bti1 Bti 2 / 2 t （5-9）
20820/10/8
应该注意到：
Bti1 Bti , iid ,且Bti1 Bti ~ N 0, t
210320/10/8
进一步
若令： 则： 因为：
k
kt
c Zi kc2 / 2
i1
S e e S k
0
k
Wk Zi i1
Wk ~ N 0, k
Zi ,iid,且Zi ~ N 0,1,i 1, 2, , k
210420/10/8
则
Sk e e kt cWk ekc2 / 2S0
式（5-6）的分析：
由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以大大简化 我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券定价时，所有投资 者都是风险中性的。
230820/10/8
所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险 利率回报。
风险中性假设的结果：投资者进入了一个风险中性世界 ◦ 所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率 ◦ 所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程 而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不 仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所 有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论， 适合于现实世界。
230920/10/8
应该注意的是： 实际期权交易中，很多看涨期权是通过竞价市场而非
210620/10/8
当 E exp(cW1 c2 / 2) 1 时
是否 S1 et S0
否！
S0 1, 0.10, c 0.40, t 1
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
200
400
600
800
1000
1200
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
c 为常数
S1 etecZ1 S0
28020/10/8
于是，可得股价序列 S2 , S3 , Sk
即
Sk etecZk Sk1
（5-3）
设 Zi ,iid, Zi ~ N (0,1),i 1, 2, , k
29020/10/8
于是得：
k
Sk
c e e kt i1
Zi
S0
（5-4）
与式（5-2）相比有什么特点？
S 2 2t
U S 2 / 2
t
S / t
230120/10/8
一般经验法则是设定度量波动率的时期 等于将应用波动率所对应的时期。
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习题：
以下是包钢股票2007年3月20日到2007年3月23日半
小时价，请以天为时间单位计算 和 。
3月20日 5.22 5.18 5.2 5.25 5.24 5.24 5.24 5.24
35
40
45
50
210920/10/8
式（5-6）中将时间分成小的增量 t ，并考虑 k 步
运行的影响，一段固定的时间 T kt可以分成许多小时 间段。
事实上，针对同样的时间 T ，可以分成不同的 k 个 区间。
应该注意到：随着 k 的增加，Wk 的方差 k 会增加。
为了使得 cWk 的总方差独立于 k ，需要对常量 c 随 k 进行