高中数学复习提升限时训练(第11周)

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高三数学下学期周练十一理试题

正阳县第二高级中学2021-2021学年下期高三理科数学周练十一制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

一.选择题〔其中只有一个选项是正确的，每一小题5分，一共60分〕：1. 复合命题“p 且q 〞为真是“p 或者q 〞为真的( )条件A 充要B 必要不充分C 充分不必要D 。

既不充分也不必要z ，假设()31225222z z i i ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭〔i 为虚数单位〕，那么在复平面内，复数所对应的点位于〔〕3. 在1231x x 的展开式中，x 项的系数为( ) A ． 512C B ．612C C ． 712C D ．812C “(),,0,2a b c ∈，求证()2a b -，()2b c -，()2c a -不可能都大于1〞时，反证时假设正确的选项是〔〕A. 假设()2a b -,()2b c -,()2c a -都小于1B. 假设()2a b -,()2b c -,()2c a -都不大于1C. 假设()2a b -,()2b c -,()2c a -都大于15. 椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合，12,e e 分别为12,C C 离心率，那么〔〕A. m n >且121e e >B. m n >且121e e <C. m n <且121e e >D. m n <且121e e <6. 以下函数中，0x =是其极值点的函数是〔〕A ．3()f x x =-B ．()cos f x x =-C ．()sin f x x x =-D ．1()f x x= 7. 曲线2y x =与直线2y x =所围成图形的面积为〔〕 A.163 B. 83 C. 43 D. 2322(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A ，B 两点，AF BF >，那么:AF BF =〔〕A.5 B 。

第11周期中复习(1)-2020-2021学年高一数学周计划高效训练(人教A版必修1)

第11周期中复习（1）一、选择题1．已知集合{2A =，3，4，7}，{|270}B x x =-+<，则()(R A B =⋂ )A ．{3，4}B ．{2，3}C ．{2，3，4}D ．{3，4，7}【答案】B【解析】集合{2A =，3，4，7}，7{|270}{|}2B x x x x =-+<=>，7{|}2R C B x x∴=， (){2R A B ∴=⋂，3}．故选B ． 2．函数21log (24)3y x x =-+-的定义域是( )A ．(2,3)B ．(2,)+∞C ．(3,)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞【答案】D【解析】要使原函数有意义，则24030x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >，且3x ≠，∴原函数的定义域是(2，3)(3⋃，)+∞．故选D ．3．如表表示y 是x 的函数，则该函数的值域是()A ．{|22}y y -B ．RC ．{|13}y y -D ．{2-，0，2}【答案】D【解析】函数的值域就是y 的取值形成的集合，∴根据表格看出，该函数的值域为{2-，0，2}．故选D ．4．在下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．()21f x x =+，x N ∈，()21g x x =-，x N ∈B ．()11f x x =+，()g x =C ．(1)(3)()1x x f x x -+=-，()3g x x =+D ．()||f x x =，()g x =【答案】D【解析】A ．两个函数的定义域都为N ，但两个函数的解析式不相同，即对应法则不一样，故不表示同一函数； B ．()f x 的定义域为{|1}x x，()g x 的定义域为{|1x x 或1}x -，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；C ．()f x 的定义域为{|1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；D ．()f x 的定义域为R ，()||g x x =的定义域为R ，两个函数的定义域相同，对应法则相同，故表示同一函数．故选D ．5．下列函数中，值域为(0,)+∞的是()A ．2()log ||f x x = B ．2()|2|f x x x =- C ．()f x = D ．21()()2x f x -=【答案】D【解析】函数2()log ||f x x =值域为R ；2()|2|f x x x =-的值域为[0，)+∞；30x >；()f x 的值域为[0，1)；2x R -∈，21()2x y -=的值域为(0,)+∞．∴值域是(0,)+∞的是21()2x y -=．故选D ．6．下列集合不能用区间形式表示的是( )①{1A =，2，3，4} ②{|x x 是三角形} ③{|1x x >，且}x Q ∈ ④∅ ⑤{|0x x ，或3}x⑥{|25x x <，}x N ∈ A ．①②③ B ．③④⑤ C ．⑤⑥ D ．①②③④⑥【答案】D【解析】对于①，集合A 中的元素是不连续的四个实数，故不能用区间表示；对于②，所有三角形构成的集合只能用描述法表示，不能用区间表示；对于③，集合{|1x x >，且}x Q ∈中的元素不连续，不能用区间表示；对于④，空集中不含任何元素，不能用区间表示；对于⑤，集合{|0x x ，或3}x可以区间表示为(-∞，0][3，)+∞；对于⑥，集合{|25x x <，}x N ∈中的元素不连续，不能用区间表示．∴不能用区间表示的有①②③④⑥．故选D ．7．下列函数()f x 中，满足对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，当12x x <时，都有12()()f x f x >的是( )A ．2()f x x =B ．1()f x x=C ．()||f x x =D ．()21f x x =+【答案】B【解析】由题意可知()f x 是(0,)+∞上的单调递减函数，2()f x x =是在(0,)+∞上的单调递增函数，A 错； ()||f x x =是在(0,)+∞上的单调递增函数，C 错； ()21f x x =+是在R 上的单调递增函数，D 错； 1()f x x=是在(0,)+∞上的单调递减函数，B 对；故选B ．8．函数1y x x=-在[1，2]上的最大值为()A ．0B ．32C ．2D ．3【答案】B 【解析】1y x x=-，[1x ∈，2]， 2110y x ∴'=+>， ∴函数1y x x=-在[1，2]上单调递增，2x ∴=时，函数1y x x=-在[1，2]上的最大值为32，故选B ．9．已知幂函数()f x 的图象过点(4,2)，则幂函数()f x 的解析式为( )A ．3()f x x =B ．2()f x x =C ．()0)f x xD ．1()(0)f x x x -=≠【答案】C【解析】设()f x x α=，R α∈；由幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，所以42α=，解得12α=；所以函数()f x 的解析式为12()0)f x x x =．故选C ．10．已知0.2a ln =，0.2b e =，0.2e c =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】0.210a ln ln =<=，0.201b e e =>=， 000.20.21e c <=<=， a c b ∴<<．故选B ．11．根据下列表格对应的值判断关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个解的范围应是( )A ． 3.24x <B ．3.24 3.25x <<C ．3.25 3.26x <<D ． 3.26x >【答案】B【解析】由题意可知(3.24)0.020f =-<，(3.25)0.010f =>， (3.24)(3.25)0f f ∴<，由零点判断定理可知：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个解的范围应是：3.24 3.25x <<．故选B ． 12．若函数(12)3,1()21,1xa x a x f x x -+<⎧=⎨-⎩的值域为R ，则a 的取值范围是( )A ．[0，1)2B ．1(,1]2C ．[1-，1)2D ．1(0,)2【答案】A【解析】由题意可得，(12)3y a x a =-+单调递增且1231a a -+，故12011a a ->⎧⎨+⎩，解可得，102a <．故选A ．二、填空题 13．若2(1)0()1x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则()f x 的单调增区间是__________，单调减区间是__________．【答案】(,0)-∞，[1，)+∞；[0，1] 【解析】函数的图象为：则当0x <时，函数为增函数，当0x 时，2()(1)f x x =-，对称轴为1x =，则当01x 时，函数单调递减，当1x 时，函数单调递增，故函数的单调递增区间为(,0)-∞，[1，)+∞，单调递减区间为[0，1]，故答案为：(,0)-∞，[1，)+∞；[0，1]．14．求值：23(log 3)(log 4)=__________．【答案】2【解析】：23344(log 3)(log 4)2232lg lg lg lg lg lg ===．故答案为2． 15．函数221,0(),0x x x f x lnx x ⎧++=⎨>⎩，则(f f（1）)=__________．【答案】1 【解析】函数221,0(),0x x x f x lnx x ⎧++=⎨>⎩，f∴（1）10ln ==， (f f∴（1）)(0)1f ==．故答案为：1． 16．已知函数3,0()3,0xlog x x f x x >⎧=⎨⎩且关于x 的方程()0f x a -=有两个实数根，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(0，1]【解析】因为方程()0f x a -=有两个实数根，所以()f x 的图象与函数y a =的图象有两个交点，如图所示，可知01a <．故答案为：(0，1]．三、解答题17．求下列函数的定义域：（1）()f x =；（2）221()log ()4f x x x =-+；（3）()f x =．【解析】（1）要使()f x 有意义，则23210x x -++，解得113x -，()f x ∴的定义域为1[,1]3-；（2）要使()f x 有意义，则2210410x x x ⎧-+>⎪⎨⎪-⎩，解得1x -或1x ， ()f x ∴的定义域为{|1x x -或1}x ；（3）要使()f x 有意义，则240210x x x +>⎧⎨-->⎩，解得142x -<<-或1x >， ()f x ∴的定义域为1{|41}2x x x -<-或．18．已知函数2(2)()1()(2)2x x x f x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩．（1）求()f x 的最大值；（2）求2(1log 3)f +的值．【解析】（1）2x 时，()2x f x =是增函数，2x ∴时，()4max f x =；2x >时，1()()2x f x =是减函数，2x ∴>时，1()4f x <． ()f x ∴的最大值为4；（2）21log 32+>，221332111(1log 3)()()222log log f +∴+==111236==． 19．若函数22()(53)4f x x a a x =+-++在3(,]2-∞上单调递减．（1）求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式31log ()log 82xa a ．【解析】（1）二次函数的对称轴2532a a x -+=-，开口向上，由题意可得，253322a a -+-，整理可得，2560a a -+，解可得，23a ，（2）由（1）可知1a >，由31log ()log 82xa a 可得31()82x ，所以33x -，解可得1x -．故不等式的解集(-∞，1]-． 20．已知函数2()21xf x a =-+是奇函数．（1）求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数；（2）求不等式22(2)(32)0f t t f t -+-的解集．【解析】（1）2()21xf x a =-+奇函数， (0)10f a ∴=-=即1a =，2()112xf x =-+，设12x x <，则12211212222(22)()()01212(12)(12)x x x x x x f x f x --=-=<++++，12()()f x f x ∴<，()f x ∴在R 上是增函数；（2）由（1）可知()f x 为单调递增的奇函数，不等式22(2)(32)0f t t f t -+-可化为222(2)(32)(23)f t t f t f t ---=-，22223t t t ∴--，即2230t t +-，解可得1t 或3t -故不等式的解集{|1t t 或3}t -21．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x 时，()21f x x =-+．（1）求()f x 的解析式；（2）若f （a ）7=-，求实数a 的值．【解析】（1）设0x <，则0x ->，且()f x 是R 上的偶函数，当0x 时，()21f x x =-+，()21()f x x f x ∴-=+=， ∴210()210x x f x x x -+⎧=⎨+<⎩；（2）f（a ）7=-，∴当0a 时，f （a ）217a =-+=-，解得4a =；当0a <时，f （a ）217a =+=-，解得4a =-，4a ∴=±．22．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()41f x x x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）讨论函数()()g x f x mx =-零点的个数．【解析】（Ⅰ）当0x <时，0x ->，22()()4141f x x x x x -=-++=++，由()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，所以0x <时，2()()41f x f x x x =--=---；当0x =时，(0)0f =．则2241,0()0,041,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（Ⅱ）由()()g x f x mx =-，又()f x 为奇函数，y mx =-也为奇函数，可得()g x 为奇函数．可令()0g x =，即()f x mx =，当0x =时，显然()0g x =，无论m 取何值，0x =均为()g x 的零点；当0x >时，由()f x mx =，即241x x mx -+=，可得14m x x =+-，作出14y x x=+-的图象，如右图：当2m =-时，函数()g x 在(0,)+∞有一个零点；当2m >-时，函数()g x 在(0,)+∞有两个零点；当2m <-时，函数()g x 在(0,)+∞无零点．根据奇函数的对称性可得，当2m =-时，函数()g x 在(,)-∞+∞有3个零点；当2m >-时，函数()g x 在(,)-∞+∞有5个零点；当2m <-时，函数()g x 在(,)-∞+∞有1个零点．。

2021年高一数学下学期第十一次周练试题

1．已知a，b，c是直线，α，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；③a∥α，b⊂α，则a∥b；④若a，b异面，且a∥β，则b与β相交；⑤若a，b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．42．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是( ) A．平行B．相交C．异面D．平行或异面3．设三条互相平行的直线a，b，c中，a⊂α，a⊄β，b⊂β，c⊂β，则α与β的关系是( )A．相交B．平行C．平行或相交D．平行、相交或重合4．α，β是不重合的两个平面，在下列条件中，可以判定α∥β的是( ) A．△ABC⊂α，△A′B′C′⊂β，且△ABC∽△A′B′C′B．α内有两条直线平行于βC．α内有无数个点到β的距离相等D．α中任一条直线与β平行5．若正n边形的两条对角线分别与平面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是( )A．8 B．7C．6 D．56．夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是______________．7．若直线a∥平面α，平面α∥平面β，则直线a与平面β的关系是________．8．若命题“如果平面α内有3点到平面β的距离相等，那么α∥β”是正确命题，则此3点应满足________．9．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面AB1D1∥平面BDC1.11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是AB，CD，A1B1，C1D1的中点，求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：(1)E，F， B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.答案：1． A2． D3． C4． D5． D6．平行或相交7． a∥β或a⊂β8．这3点不在同一直线上，且在平面β的同侧9．③10．如图所示，∵AB綊A1B1，C1D1綊A1B1，∴AB綊C1D1.∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1.又AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.同理B1D1∥平面BDC1，又AD1∩B1D1＝D1，∴平面AB1D1∥平面BDC1.11．∵E，E1分别是AB，A1B1的中点，∴A1E1∥BE，且A1E1＝BE.∴四边形A1EBE1是平行四边形．∴A1E∥BE1.∵A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.同理A1D1∥平面BCF1E1，A1E∩A1D1＝A1.∴平面A1EFD1∥平面BCF1E1.12． (1)连接B1D1，E，F分别是边B1C1和C1D1的中点，如图．∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1.∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面．(2)∵M，N分别是A1B1和A1D1的中点，∴MN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴MN∥BD.∵MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接DF，MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF綊A1D1，∴MF綊AD.∴四边形ADFM是平行四边形．∴AM∥DF.∵AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE，AM∩MN＝M.故平面MAN∥平面EFDB.28111 6DCF 淏22222222222222。

2021年高中生数学第十一周测试试卷

选择题若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + a 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-2, 0)D. (2, +∞)已知等比数列{an} 的前n 项和为Sn，且a1 + a2 = 3，a3 + a4 = 12，则a7 + a8 = ( )A. 48B. 96C. 192D. 384在ΔABC 中，角A, B, C 的对边分别为a, b, c。

若a = 2，b = 3，sin C = 1/2，则ΔABC 的面积为( )A. 3/2B. 3√3/2C. 3/4D. 3√3/4已知随机变量ξ 的分布列为P(ξ = k) = ak (k = 1, 2, 3)，其中a 是常数，则E(ξ) = ( )A. 5/6B. 7/6C. 3/2D. 2已知函数f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0, |φ| < π/2) 的最小正周期为π，且f(x) 的图象关于直线x = π/6 对称，则f(π/3) = ( )A. -1B. -√3/2C. 1D. √3/2填空题若x, y 满足约束条件{ x - y ≤ 1, x + y ≥ 1, x ≤ 1 }，则目标函数z = 2x + y 的最小值为_______。

已知双曲线C 的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)，且离心率e = 2，右焦点到渐近线的距离为√3，则 C 的方程为_______。

已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，且a1 + a3 = 8，a7 + a9 = 28，则S10 = _______。

已知函数f(x) = { x^2 + 2x, x ≥ 0, x^2 - 2x, x < 0 }，若f(a) = 3，则 a = _______。

已知向量a = (1, -1)，b = (2, λ)，若a ⊥ b，则λ = _______。

2021年高三(高补班)上学期周练(11.11)数学试题含答案

2021年高三（高补班）上学期周练（11.11）数学试题含答案一、单项选择题1．由函数和函数的图象围成的封闭图形的面积为（）A 、B 、C 、D 、2．函数的导数是（）A ．B ．C ．D ．3．命题的否定是（）A ．B ．C ．D ．4．已知，则函数的定义域为（）A ．B ．C ．D ．5．已知集合{}{}|110,,|A x x x N B x x n A =<<∈==∈，则（）A ．B ．C ．D ．6．的值是（）A ．B ．C ．2D ．7．为圆上的一个动点，平面内动点满足且 (为坐标原点)，则动点运动的区域面积为（）A. B. C. D.8．中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是9．已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ．10．设奇函数上是单调函数，且若函数对所有的都成立，当时，则的取值范围是（）A ．B ．t ≥2,或t ≤-2C ．D ．11．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是（）A ．B ．C ．D ．12．已知函数是定义在R 上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足, 则的最小值是（）A ．B ．1C ．D ．2二、填空题13．在中，内角所对的边分别为，已知，的面积，则角的大小为_________14．．15．点P 为双曲线右支上的一点，其右焦点为，若直线的斜率为，M 为线段的中点，且，则该双曲线的离心率为．16．平行四边形中，为平行四边形内一点，且，若，则的最大值为．三、解答题17．已知等差数列满足：，，其前项和为.(1）求数列的通项公式及；(2）若等比数列的前项和为，且，，求.18．如图，在直角梯形中，π122AD BC BAD AB BC AD ∠====∥，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到图中的位置，得到四棱锥.(Ⅰ) 证明：平面；(Ⅱ) 若平面平面，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值．19．函数．（1）若，求函数的定义域；（2）设，当实数时，证明：．20．已知圆C 经过两点，且圆心在直线上。

高考数学课时提升作业十一 1.4.3

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课时提升作业十一正切函数的性质与图象一、选择题(每小题5分，共25分)1.函数y=tan的定义域为( )A.B.C.D.【解析】选D.由tan=-tan，所以x-≠kπ+，k∈Z，从而x≠kπ+，x∈R，k∈Z.2.函数y=tanx+是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解析】选A.定义域是∩{x|x≠kπ，k∈Z}=.又f(-x)=tan(-x)+=-=-f(x)，即函数y=tanx+是奇函数.3.函数y=l gtanx的增区间是( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(kπ，kπ+π)(k∈Z)【解析】选B.由tanx>0，得kπ<x<kπ+(k∈Z).又y=tanx在上是增函数.所以函数y=lgtanx的增区间是(k∈Z).4.(2015·黔西南州高一检测)在下列给出的函数中，以π为周期且在内是增函数的是( )A.y=sinB.y=cos2xC.y=sinD.y=tan【解析】选D.A中函数周期为4π，不符合题意；B中函数周期为π，在内是减函数；C中函数周期为π，u=2x+在内是增函数，y=sinu在u∈上先增后减，故y=sin在内不具有单调性；D中函数周期为π，u=x-在内是增函数.y=tanu在u∈是增函数，故y=tan在内是增函数，故选D.5.若f(x)=tan，则( )A.f(0)>f(-1)>f(1)B.f(0)>f(1)>f(-1)C.f(1)>f(0)>f(-1)D.f(-1)>f(0)>f(1)【解析】选A.f(x)在kπ-<x+<kπ+，k∈Z，即kπ-<x<kπ+，k∈Z上是增函数，而f(0)=tan，f(1)=tan=tan=tan，f(-1)=tan.所以f(0)>f(-1)>f(1).二、填空题(每小题5分，共15分)6.函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为2π，则f=________. 【解析】由已知=2π，所以ω=，所以f(x)=tan，所以f=tan=tan=1.答案：17.比较大小：tan________tan.【解析】因为y=tanx在上是增函数，-<-<-<，所以tan<tan.答案：<【补偿训练】比较大小：tan126°与tan496°.【解析】因为tan496°=tan136°，y=tanx在90°<x<270°时是增函数，270°>136°>126°>90°，所以tan136°>tan126°，即tan496°>tan126°.8.(2016·承德高一检测)满足tan≥-的x的集合是________. 【解析】把x+看作一个整体，利用正切函数图象可得kπ-≤x+<kπ+，所以kπ-≤x<kπ+，k∈Z.故满足tan≥-的x的集合是.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知函数f(x)=3tan.(1)求f(x)的定义域、值域.(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性.【解析】(1)由x-≠+kπ，k∈Z，解得x≠+2kπ，k∈Z.所以定义域为，值域为R.(2)f(x)为周期函数，周期T==2π.f(x)为非奇非偶函数.由-+kπ<x-<+kπ，k∈Z，解得-+2kπ<x<+2kπ，k∈Z.所以函数的单调递增区间为(k∈Z).10.(2016·温州高一检测)已知函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1<T<，求正整数k的值，并写出f(x)的奇偶性、单调区间.【解析】因为1<T<，所以1<<，即<k<π.因为k∈N*，所以k=3，则f(x)=2tan，由3x-≠+kπ，k∈Z得x≠+，k∈Z，定义域不关于原点对称，所以f(x)=2tan是非奇非偶函数.由-+kπ<3x-<+kπ，k∈Z得-+<x<+，k∈Z.所以f(x)=2tan的单调增区间为，k∈Z.一、选择题(每小题5分，共10分)1.函数f(x)=的定义域为( )A.{x|x∈R且x≠，k∈Z}B.{x|x∈R且x≠kπ+，k∈Z}C.{x|x∈R且x≠2kπ+，k∈Z}D.{x|x∈R且x≠kπ-，k∈Z}【解析】选A.得所以x≠π且x≠π，所以x≠，k∈Z.【拓展延伸】巧求三角函数的定义域(1)求三角函数的定义域，既要注意一般函数定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性.(2)求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行.在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，利用各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.(3)一般地，已知弦函数的取值范围，求角的取值范围用三角函数线简单；已知切函数的取值范围，求角的取值范围用图象比较好.2.若函数y=tanωx在内是减函数，则( )A.0<ω≤1B.-1≤ω<0C.ω≥1D.ω≤-1【解析】选B.若ω使函数在上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故-1≤ω<0.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2016·荆州高一检测)若tan≤1，则x的取值范围是________. 【解析】令z=2x-，在上满足tanz≤1的z的值是-<z≤，在整个定义域上有-+kπ<z≤+kπ，解不等式-+kπ<2x-≤+kπ，得-+<x≤+，k∈Z.答案：(k∈Z)4.(2016·宜城高一检测)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)，y=f(x)的部分图象如图，则f=________.【解题指南】根据图象得=-，求出ω，然后将点及(0，1)代入求解.【解析】由图知，=-，所以T=，所以ω=2.所以f(x)=Atan(2x+φ)，将代入得，Atan=0，即tan=0，又|φ|<，所以φ=，所以f(x)=Atan.又f(0)=1，所以Atan=1，所以A=1.所以f=1·tan=tan=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知-≤x≤，f(x)=tan2x+2tanx+2.求f(x)的最大值、最小值及相应的x 值.【解析】因为-≤x≤，所以-≤tanx≤1，f(x)=tan2x+2tanx+2=(tanx+1)2+1，当tanx=-1，即x=-时，f(x)min=1.当tanx=1，即x=时，f(x)max=5.【补偿训练】求函数y=-tan2x+10tanx-1，x∈的值域.【解析】因为x∈，所以tanx∈[1，]，y=-tan2x+10tanx-1=-(tanx-5)2+24，当tanx=1时y min=8，当tanx=时，y max=10-4，值域为[8，10-4].6.有两个函数f(x)=asin，g(x)=btan(k>0)，它们的周期之和为，且f=g，f=-·g+1.求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间.【解析】根据题意，可得：解得故f(x)=sin，g(x)=tan.当kπ-<2x-<kπ+(k∈Z)时g(x)单调递增，即-<x<+，k∈Z时，函数g(x)单调递增.所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z).关闭Word文档返回原板块。

高中数学选修2-3课后限时训练11 随机变量及其分布检测卷

高中数学选修2－3课后限时训练11 随机变量及其分布检测卷(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是( ) A ．两次掷出的最大点数 B ．第一次减去第二次的点数差 C ．两次出现点数之和 D ．投掷的次数解析：投掷的次数是个数值，不是随机变量．答案：D2．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X ，则下列结论正确的是( ) A ．E (X )＝0.01B ．P (X ＝k )＝0.01k ×0.9910－k C ．D (X )＝0.1D ．P (X ＝k )＝C k 10×0.01k ×0.9910－k 解析：∵X ～B (10,0.01)，∴E (X )＝10×0.01＝0.1，D (X )＝10×0.01×0.99＝0.099.∴P (X ＝k )＝C k 10×0.01k ×0.9910－k . 答案：D3．已知随机变量2ξ＋η＝14，若ξ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和9.6 B ．2和9.6 C ．2和5.6D ．6和5.6解析：∵ξ～B (10,0.6)，∴E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4. ∵2ξ＋η＝14，∴η＝14－2ξ，∴E (η)＝E (14－2ξ)＝14－2E (ξ)＝2，D (η)＝D (14－2ξ)＝(－2)2D (ξ)＝4D (ξ)＝9.6，故选B ．答案：B4．在一次智力竞赛中，每位参赛者要从5道题中不放回地依次抽取2道题作答，已知5道题中包含自然科学题3道，人文科学题2道．则参赛者甲连续两次都抽到自然科学题的概率是( )A ．310B ．12C ．35D ．25解析：因为这道题中包含自然科学题3道，人文科学题2道，甲第一次抽到自然科学题概率为35，所以第一次抽到自然科学题的前提下，第2次抽到自然科学题的概率为P ＝24＝12，故参赛者甲连续两次都抽到自然科学题的概率为35×12＝310，故选A ．答案：A5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的两个数之和为偶数”，事件B 为“取到的两数均为偶数”，P (B |A )＝( )A ．18B ．14C ．25D ．12解析：∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.答案：B6．已知ξ～N (1，σ2)，a ∈R ，则“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 23的展开式的常数项为3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件解析：⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 23的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(ax )3－r ·⎝⎛⎭⎫1x 2r ＝C r 3a 3－r x 3－3r ，当r ＝1时，T r ＋1为常数项，即常数项为C 13a 2＝3，∴a ＝±1，由ξ～N (1，σ2)，P (ξ>a )＝0.5知a ＝1，∴“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 23的展开式的常数项为3”的充分不必要条件．答案：A7．以下三个命题中：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40；②线性回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^恒过样本中心(x ，y )；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ＞0)．若ξ在(－∞，1)内取值的概率为0.1，则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：②③正确．答案：C8．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ≥4)＝0.32，则P (0≤ξ≤2)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.18D ．0.34解析：随机变量ξ服从正态分布ξ～N (2，σ2)， ∴μ＝2.∵P (ξ≥4)＝0.32，∴P (0≤ξ≤2)＝P (2≤ξ≤4)＝0.5－0.32＝0.18，故选C ．答案：C9．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．1116解析：由题意知，所有重卦有26＝64(种)，恰有3个阳爻的重卦有C 36＝20(种)，∴恰有三个阳爻的概率为2064＝516，故选A ．答案：A10．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4解析：由题意知，E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2.∴D (X )＝(1－2)2×13＋(2－2)2×13＋(3－2)2×13＝23.∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.答案：A11．已知0＜a ＜14，随机变量ξ的分布列如下：ξ －1 0 1 P3414－a a当a 增大时( ) A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大C ．E (ξ)增大，D (ξ)减小 D ．E (ξ)减小，D (ξ)减小解析：依题意E (ξ)＝－1×34＋0×⎝⎛⎭⎫14－a ＋1×a ＝a －34， ∴当a 增大时，E (ξ)增大；D (ξ)＝⎣⎡⎦⎤－1－⎝⎛⎭⎫a －342×34＋⎣⎡⎦⎤0－⎝⎛⎭⎫a －342×⎝⎛⎭⎫14－a ＋⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫a －342·a ＝－a 2＋52a ＋316＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋74， ∵0＜a ＜14，∴当a 增大时，D (ξ)增大，故选A ．答案：A12．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.79，则P (ξ≤－2)＝0.21B ．若n 组数据(x 1，y 1)…(x n ，y n )的散点都在y ＝－2x ＋1上，则相关系数r ＝－1C ．若随机变量ξ服从二项分布ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，15，则E (ξ)＝1 D ．“am 2<bm 2”是“a <b ”的必要不充分条件解析：根据正态分布的性质，P (ξ≤－2)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ≤4)＝0.21，所以A 正确；根据散点图中对应的点都在直线上，可知其为确定的函数关系，从而有相关系数r ＝－1，故B 正确；根据二项分布的期望公式E (ξ)＝np ＝5×15＝1，可知C 正确；由am 2<bm 2可以推出a <b ，而a <b 不一定有am 2<bm 2，故“am 2<bm 2”是“a <b ”的充分不必要条件，所以D 不正确，故选D ．答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)13．在A ，B 两个袋子中都有6张分别写有数字0,1,2,3,4,5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，两张卡片上的数字之和记为X ，则P (X ＝7)＝________.解析：从两个袋子各任取一张，共有36个不同的结果，其中数字之和X ＝7的包括(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)四种，∴P (X ＝7)＝436＝19.答案：1914．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．解析：甲队以4∶1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：P 1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：P 2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：P 3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：P 4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，则甲队以4∶1获胜的概率为：P ＝P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝0.036＋0.036＋0.054＋0.054＝0.18.答案：0.1815．多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A 、B 、C 、D 四个选项中选出所有正确的答案．在一次考试中有5道多选题，某同学一道都不会，他随机地猜测，则他答对题数的期望值为________．解析：答对每道题的概率为P ＝1C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝115，设答对题数为ξ，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，115，所以E (ξ)＝5×115＝13. 答案：1316．给出下列四个命题：①不等式|x ＋1|＋|x －2|≥3对任意x ∈R 恒成立； ② 7－6>5－4；③设随机变量X ～N (0,1)．若P (X >1)＝p ，则P (－1<X ≤0)＝12－p ；④设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13，则P (X ＝1)＝13. 其中，所有正确命题的序号有________．解析：①中，|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴正确；②中，若7－6>5－4，则7＋4>6＋5，即11＋228>11＋230. ∵28<30，∴7－6>5－4不成立， ∴不正确；③中，∵随机变量X ～N (0,1)中，μ＝0， ∴P (x ≥0)＝12，∵P (X >1)＝p ，∴P (0≤x <1)＝12－p ，∴P (－1<x ≤0)＝12－p ，∴正确；④中，随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13，∴P (X ＝1)＝C 13·13×⎝⎛⎭⎫1－132＝49，∴不正确．综上，所有正确命题的序号有①③. 答案：①③三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．(1)求P (X ＝2)；(2)求事件“X ＝4且甲获胜”的概率．解：(1)X ＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P (X ＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X ＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.18．(12分)某校为了了解学生对学校开展的课外体育活动的认可程度，从A ，B 两个班分别随机调查了20个学生，得到了学生对课外体育活动的认可度评分如下．(1)值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据学生认可度评分，将学生的认可度从低到高分为三个等级：率；②已知两个班级的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求B 班级的认可度等级低于A 班级的认可度等级的概率．解：(1)由茎叶图可看出，A 班认可度评分平均值大于B 班认可度评分平均值，且A 班评分更集中． (2)①记事件A 2为：A 班基本认可，记事件B 2为：B 班基本认可，记事件C 为：两人来自同一班级， ∵P (A 2)＝1220＝35，P (B 2)＝820＝25，∴P (C )＝35×35＋25×25＝1325.②记事件A 1为：A 班不认可，记事件B 1为：B 班不认可，记事件A 3为：A 班高度认可，记事件B 3为：B 班高度认可，记事件D 为：B 班认可度等级低于A 班认可度等级，则P (A 1)＝420＝15，P (B 1)＝1020＝12，P (A 3)＝420＝15，P (B 3)＝220＝110，∴P (D )＝P (B 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 3)＋P (B 2)P (A 3)＝12×35＋12×15＋25×15＝1225.19．(12分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球和4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列．解：(1)设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．则一次摸奖恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37×13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37×23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37×13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知X 的分布列为：20.(12分)每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，甲、乙两人独立来该租车点租自行车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两个小时的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三个小时的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四个小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)．解：(1)依题意得，甲、乙在三个小时以上且不超过四个小时还车的概率均为14，记甲、乙两人所付租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，ξ可能取值为0,2,4,6,8，P (ξ＝0)＝18，P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516，P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516，P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316，P (ξ＝8)＝14×14＝116. 故分布列为：所以E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.21．(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． (1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B －·C ＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B －·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B －)P (C )＝0.31. (2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B －·A 0·C －)＝P (B －)P (A 0)P (C －) ＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06， P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C －＋B －·A 0·C ＋B －·A 1·C －)＝P (B )P (A 0)P (C － )＋P (B － )P (A 0)P (C )＋P (B － )P (A 1)P (C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.22．(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.6 826)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.。

2021年高二数学上学期第十一次周练试题新人教A版

2021年高二数学上学期第十一次周练试题新人教A版1．已知数列{a n}中，a n＋1＝a n＋2，则数列{a n}是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．以上都不对2．已知数列{a n}满足a1>0，且a n＋1＝nn＋1an，则数列{a n}的最大项是( )A．a1B．a9 C．a10D．不存在3．已知数列{a n}的通项公式是a n＝2nn＋1，那么这个数列是( )A．递增数列 B．递减数列C．摆动数列D．常数列4．已知a n＝－2n2＋9n＋3，则数列{a n}中的最大项为( )A．a1＝10 B．a2＝13C．a3＝12 D．以上均不正确5．函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意a1∈(0，1)，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列{a n}满足a n＋1＞a n(n∈N＋)，则该函数的图像可能是( )6．(xx·黄冈高二检测)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N ＋)，则a 2012＝________．7．已知数列{a n }，a n ＝2n 2－10n ＋3，它的最小项是________．8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －102，则数列从第________项开始值大于零．9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋10n ＋11，试作出其图像，并判断数列的增减性．10．已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋), (1)求证：a n <1；(2){a n }是递增数列还是递减数列？为什么？11．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．答案：1．A2．A3．A4．B5．A6． 137． 2或3项 8． 26 9．列表：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … a n20273235363532272011…由数列的图像知，当1≤n ≤5时数列递增；当n ≥5时数列递减．10． (1)证明 a n ＝f (n )＝n －1n ＝1－1n<1. (2)∵a n ＋1－a n ＝（n ＋1）－1n ＋1－n －1n ＝(1－1n ＋1)－(1－1n )＝1n （n ＋1）>0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }是递增数列．d=35163 895B 襛35247 89AF 覯1>h T24978 6192 憒38288 9590 閐(20066 4E62 乢30336 7680 皀。

人教A版高中数学必修一课时提升作业(十一) 1.3.1.2

课时提升作业(十一)函数的最大值、最小值(25分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.定义在R 上的函数f(x)满足f(x)>4,则f(x)的最小值是　( )A.4B.f(4)C.4.001D.不能确定【解析】选D.根据函数最小值的概念可知,此函数的最小值不能确定.【误区警示】对于最小值概念理解不到位而错选A.2.(2015·银川高一检测)函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是　( ) 3xA.2B.3C.-1D.1【解析】选D.易判断f(x)在区间[1,3]上是单调递增的,所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)=1.【补偿训练】函数f(x)=在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是　( ) 1x ‒1A.,1B.1,C.,1D.1, 15151717【解析】选B.函数f(x)=在[2,6]上单调递减,当x=2时,f(x)有最大值为1x ‒11,当x=6时,有最小值为. 153.(2015·昆明高一检测)函数f(x)=则f(x)的最大值、最{2x +6,1≤x ≤2,x +7,‒1≤x ≤1,小值分别为　( )A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对【解析】选A.函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,所以函数f(x)的最大值为f(2)=10,最小值为f(-1)=6.【补偿训练】设定义在R 上的函数f(x)=x|x|,则f(x)　( )A.只有最大值B.只有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值【解析】选D.f(x)=画出图象可知,函数f(x)既无最大值又无最小{x 2,x ≥0,‒x 2,x <0,值.4.已知函数f(x)=x 2-4x+10,x ∈[-1,m],并且f(x)的最小值为f(m),则实数m 的取值范围是　( )A.(-1,2]B.(-1,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,-1)【解题指南】由条件可知f(x)在区间[-1,m]上单调递减,所在区间[-1,m]是f(x)在R 上的减区间的子集,据此可求得m 的范围.【解析】选A.函数f(x)=x 2-4x+10的对称轴为直线x=2,所以f(x)在(-∞,2]上单调递减,又f(x)在[-1,m]上的最小值是f(m),所以[-1,m]是f(x)的单调减区间,所以-1<m ≤2.5.已知f(x)=,则y=f(x+2)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为　1x ‒2( )A.与B.与1 181213C.与D.与 19131813【解析】选A.因为f(x+2)=,x ∈[2,8],易证f(x+2)=在[2,8]上是减少的,所1x 1x以x=8时,y min =;x=2时,y max =,故选A.1812二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=f(x)的定义域为[-4,6],且在区间[-4,-2]上递减,在区间(-2,6]上递增,且f(-4)<f(6),则函数f(x)的最小值是 ,最大值是 .【解析】因为y=f(x)在[-4,-2]上递减,在(-2,6]上递增,故当x=-2时f(x)取最小值f(-2),又因为f(-4)<f(6),所以最大值为f(6).答案:f(-2)　f(6)7.函数f()=x-1的最小值是 .x 【解析】设=t,t ≥0,所以f(t)=t 2-1,t ≥0,x 所以f(x)=x 2-1,x ≥0,因为f(x)=x 2-1在[0,+∞)上为增函数,所以f(x)的最小值为-1.即f()=x-1的最小值是-1.x 答案:-18.(2015·天津高一检测)若函数y=(k>0)在[2,4]上的最小值为5,则k 的值k x为 .【解析】因为k>0,所以函数y=在[2,4]上是减函数,所以当x=4时,y min =,此k x k 4时=5,所以k=20. k 4答案:20三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·日照高一检测)求函数f(x)=+x 在[2,+∞)上的最小值.x 【解析】设2≤x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=+x 1--x 2x 1x 2=+(x 1-x 2)x 1‒x 2x 1+x 2=(x 1-x 2)<0. (1x 1+x 2+1)所以f(x 1)-f(x 2)<0,f(x 1)<f(x 2).所以f(x)=+x 在[2,+∞)上单调递增.x 所以f(x)min =f(2)=+2.210.(2015·天水高一检测)已知函数f(x),当x,y ∈R 时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)+f(-x)=0.(2)若f(-3)=a,试用a 表示f(24).(3)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)=-,试求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小12值.【解析】(1)令x=y=0得f(0)=0,再令y=-x 得f(-x)=-f(x),所以f(x)+f(-x)=0.(2)因为f(-3)=a 则f(3)=-a,所以f(24)=8f(3)=-8a.(3)设x ∈(-∞,+∞),且x 1<x 2,则f(x 2)=f[x 1+(x 2-x 1)]=f(x 1)+f(x 2-x 1),又因为x 2-x 1>0,所以f(x 2-x 1)<0,f(x 1)+f(x 2-x 1)<f(x 1),所以f(x 2)<f(x 1),所以f(x)在R 上是减少的,所以f(x)max =f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(x)min =f(6)=6f(1)=6×=-3. (-12)(20分钟　40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·太原高一检测)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a 的值是　( )A.2B.-2C.2或-2D.0 【解题指南】分a 大于0、小于0和等于0分别计算.【解析】选C.当a=0时,不满足题意;当a>0时,y=ax+1在[1,2]上为增函数,所以2a+1-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,y=ax+1在[1,2]上为减函数,所以a+1-(2a+1)=2,解得a=-2,故a=±2.2.(2015·宿州高一检测)函数f(x)=的最大值是　( ) 11‒x(1‒x)A. B. C. D. 45543443【解题指南】欲求最大值,可转化为求分母的最小值.【解析】选D.分母1-x(1-x)=x 2-x+1=+≥,显然0<f(x)≤,故最大值(x ‒12)2343443为. 43二、填空题(每小题5分,共10分)3.函数y=|-x 2+2x+3|在区间[0,4]上的最大值是 .【解析】由y=知此函数在[0,3]上的最大值为4,{x 2‒2x ‒3,x >3或x <‒1,‒(x 2‒2x ‒3),‒1≤x ≤3,在[3,4]上的最大值为5,所以在[0,4]上的最大值为5.答案:54.(2015·济宁高一检测)定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等的实数x 1,x 2,总有>0成立,且f(-3)=a,f(-1)=b,则f(x)在[-3,-1]上的最大值f (x 1)‒f(x 2)x 1‒x 2是 .【解析】由>0,得f(x)在R 上是增函数,则f(x)在[-3,-1]上的最f (x 1)‒f(x 2)x 1‒x 2大值是f(-1)=b.答案:b三、解答题(每小题10分,共20分)5.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b 的关系(如图所示).(1)根据图象,求一次函数y=kx+b 的解析式.(2)设公司获得的利润为S 元(利润=销售总价-成本总价;销售总价=销售单价×销售量,成本总价=成本单价×销售量).①试用销售单价x 表示利润S;②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?【解析】(1)由图象知,当x=60时,y=40;当x=70时,y=30,代入y=kx+b 中,得解得 {40=60k +b,30=70k +b,{k =‒1,b =100,所以y=-x+100(50≤x ≤80).(2)①由题意可知:S=xy-50y=x(-x+100)-50(-x+100)=-x 2+150x-5000=-(x-75)2+625(50≤x ≤80).②由①知S=-(x-75)2+625(50≤x ≤80),当x=75时,利润S 取得最大值625, 所以当销售单价为75元/件时,可获得最大利润625元,此时销售量为25件.6.已知函数f(x)对任意x,y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-. 23(1)求证:f(x)是R 上的单调减函数.(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.【解析】(1)设x 1和x 2是任意的两个实数,且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,因为x>0时,f(x)<0,所以f(x 2-x 1)<0,又因为x 2=(x 2-x 1)+x 1,所以f(x 2)=f[(x 2-x 1)+x 1]=f(x 2-x 1)+f(x 1),所以f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1)<0,所以f(x 2)<f(x 1). 所以f(x)是R 上的单调减函数.(2)由(1)可知f(x)在R 上是减函数, 所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2. (-23)所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.。

赣榆区高一数学下学期周练11(无答案)(2021年整理)

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一、填空题1．化简0000cos96cos24sin96sin24-= ___________．2．一扇形所在圆的半径为10,cm 周长是45,cm 那么这个扇形的圆心角为______ rad 。

3．过点()2,0A 与圆221x y +=相切的直线方程为__________________。

4．函数sin cos y x x =+的单调递增区间为______________． 5。

已知()12a =，,()11b =，,则与2a b +方向相同的单位向量e = ． 6．已知()510sin ,sin ,,ααβαβ=-=-均为锐角,则cos β=__________。

7。

已知两圆的圆心距是 3 ,两圆的半径分别为方程0352=+-x x 的两根，则两圆的位置关系是．8.函数()()23sin (0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<部分图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形。

ϕ的终边经过点(3，则ω=________ ϕ=________．9．已知非零向量,a b 满足()2b a b -⊥,且()2a a b ⊥-,则a 与b 的夹角是．10．函数()cos f x x π=与函数()2g log 1x x =-图像所有交点的横坐标之和为．11．已知三个向量a ， b ， c 共面,且均为单位向量， 0a b ⋅=，则a b c +-的取值范围是．12．设直线l ： 3440x y ++=，圆C : ()2222(0)x y r r -+=>,若圆C 上存在两点,P Q ，直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=，则r 的取值范围是__________.13。

2021年高三上学期周练(11.11)数学试题含答案

2021年高三上学期周练（11.11）数学试题含答案一、选择题1．设全集，2{|ln(2)},{|2}A x Z y x B x x x =∈=-=≤，则（）A ．B ．C ．D ．2．设，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．3．在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（）A ．B ．C ．D ．4．已知命题“”是假命题，给出下列四个结论：①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是假命题；④命题“”是真命题.其中正确的结论为（）A 、①③B 、②③C 、①④D 、②④5．已知()522100121031...x x a a x a x a x -+=++++，则（）A ．B ．C ．D ．6．（xx 春•凉州区校级期末）设f （x ）=，则f （5）的值为（）A ．8B ．9C ．10D ．117．为圆上的一个动点，平面内动点满足且 (为坐标原点)，则动点运动的区域面积为（）A. B. C. D.8．中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是9．以为端点的线段的垂直平分线方程是（Ａ）3x-y-8=0 （B ）3x+y+4=0 （C ）3x-y+6=0 （D ） 3x+y+2=010．已知函数在区间上是的减函数，则的范围是（）A ．B ．C ．D ．11．已知，当取最小值时，的值等于（）A ．B ．－C ．19D ．12．椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知复数（是虚数单位），则．14．是的方程的解，则这三个数的大小关系是．15．函数是上的增函数，且(sin )(cos )(sin )(cos )f f f f ωωωω+->-+，其中为锐角，并且使得函数在上单调递减，则的取值范围是．16．已知点A(x ，lgx1)，B(x2，lgx2)是函数f(x)＝lgx 的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，因此有结论＜lg ()成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1,2x1)，B(x2,2x2) 是函数g(x)＝2x 的图象上的不同两点，则类似地有__________成立．三、解答题17．已知数列满足，．（1）证明数列是等差数列；（2）求数列的通项公式．18．选修4-1：几何证明选讲如图所示，在中，是的角平分线，的外接圆交于点.（1）证明：；（2）若，求的值.19．已知函数f （x ）对任意的a ，b ∈R ，都有f （a+b ）=f （a ）+f （b ）﹣1，且当x ＞0时，（1）判断并证明f（x）的单调性；（2）若f（4）=3，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜2．20．如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，且．（1）求证：平面；（2）若，求钝二面角的余弦值．21．已知顶点在单位圆上的△，角，，所对的边分别是，，，且．（1）求的值；（2）若，求的取值范围．22．已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·a3＝15，S4＝16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足b1＝a1，①求数列{bn}的通项公式；②是否存在正整数m，n（m≠n），使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．BADCC AABBB11．A12．A13．14．15．16．17．解：（1）证明：由已知可得：，两边同除以，整理可得，∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列．（2）解：由（1）可得，∴数列的通项公式．18．解：（1）证明：延长至，连接，使得.因为，所以，又，所以又因为是的角平分线，故，则∽，所以，又，所以.（2）解：∵是的角平分线，，∴，所以，由圆的割线定理得，，∴，，∴. 19．解：f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，令a=b=0，∴f（0）=f（0）+f（0）﹣1，∴f（0）=1，令a=x，b=﹣x，∴f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1，∴f（﹣x）=2﹣f（x），令x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣1=f（x2）+2﹣f（x1）﹣1＞1，∴f（x2）＞f（x1），故函数在R上单调递增；（2）f（4）=2f（2）﹣1=3，∴f（2）=2，∴f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），∴3m 2﹣m ﹣2＜2，∴﹣1＜m ＜．20．解：（1）如图，过点作于，连接．∴，可证得四边形为平行四边形．∴平面．（2）连接．由（1），得为中点，又，为等边三角形，∴．分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系．则(1,0,0),(2,3,3),(0,0,3),(0,3,0)B F E A -， (3,3,3),(1,3,0),(1,0,3)BF BA BE =-=-=-．设平面的法向量为．由，得，令，得．设平面的法向量为．由，得，令，得．∴．故二面角的余弦值是．21．解：（1）因为，由正弦得，，所以．因为，且，所以．（2）由，得，由，得，，所以224sin 2sin 4sin 2sin()3sin 33b c B C B B B B π-=-=--=．因为，所以，即，所以．22．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得解得或（舍去）所以a n ＝2n －1．（2）①因为b 1＝a 1，所以1111111()(21)(21)22121n n n n b b a a n n n n ++-===--+-+ 即,……累加得：所以也符合上式．故②假设存在正整数m 、n （m ≠n ），使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m ．又，所以即化简得：当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2，（舍去）；当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．20222 4EFE 仾23878 5D46 嵆d26026 65AA 斪39868 9BBC 鮼 28259 6E63 湣h*p36742 8F86 辆 24602 601A 怚31300 7A44 穄。

高考数总复习课时提升作业(十一)第二章第八节文

(1) 若 a>b>c 且 f(1)=0, 试证明 f(x) 必有两个零点 .
1
(2) 若对 x1,x 2∈ R, 且 x 1<x2,f(x 1) ≠ f(x 2), 方程 f(x)= [f(x 1)+f(x 2)] 有两个不等实根 , 证明必有一实根属于
2
(x 1,x 2).
14. 已知二次函数 f(x)=x 2+(2a-1)x+1-2a.
则函数 f(x)=sgn(lnx)-lnx
的零点个数为 (
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
5. 设 x 1,x 2 是方程 ln|x-2|=m(m 为实常数 ) 的两根 , 则 x1+x 2 的值为 (
)
(A)4
(B)2
(C)-4
(D) 与 m有关
6.(2013 ·吉安模拟 ) 设 f(x) 与 g(x) 是定义在同一区间 [a,b] 上的两个函数 , 若函数 y=f(x)-g(x) 在 x∈ [a,b]
(1) 判断命题“对于任意的 a∈R(R 为实数集 ), 方程 f(x)=1 必有实数根”的真假 , 并写出判断过程 .
(2) 若 y=f(x) 在区间 (-1,0) 及(0, 1 ) 内各有一个零点 , 求实数 a 的范围 . 2
答案解析
1. 【解析】选 D.f'(x)=
1
-
1,当
x ∈ (0,3)
9. 【解析】函数 f(x) 的零点的个数就是函数
y=ax 与函数 y=x+a 交点的个数 , 两函数的图像如图所示 , 可知
a>1 时两函数图像有两个交点 ,0<a<1 时两函数图像有唯一交点 , 故 a>1.

高三上数学课时提升作业十一 3.3

课时提升作业十一排序不等式一、选择题(每小题4分,共12分)1.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( )A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.【解析】选A.因为0<a1<a2,0<b1<b2,由排序不等式可知a1b1+a2b2最大.2.(2016·商丘高二检测)设a1,a2,…,a n都是正数,b1,b2,…,b n是a1,a2,…,a n的任一排列,则a1+a2+…+a n的最小值为( )A.1B.nC.n2D.无法确定【解析】选B.因为a1,a2,…,a n都是正数,不妨设a1≤a2≤…≤a n,则≤≤…≤. 由题意及排序不等式知,反序和最小,所以a1+a2+…+a n≥a1·+a2·+…+a n·=n,即a1+a2+…+a n的最小值为n.3.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是( )A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零【解题指南】限制a,b,c的大小关系,取两数组利用排序不等式求解.【解析】选B.设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得:a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2016·梅州高二检测)若a>0,b>0且a+b=1,则+的最小值是________. 【解析】不妨设a≥b>0,则有a2≥b2,且≥,由排序不等式+≥·a2+·b2=a+b=1.当且仅当a=b=时取等号,所以+的最小值为1.答案:15.设a,b都是正数,若P=+,Q=+,则二者的关系是________.【解析】由题意不妨设a≥b>0.由不等式的性质,知a2≥b2,≥.所以≥.根据排序原理,知×+×≥×+×.即+≥+.答案:P≥Q【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不等式比较大小.三、解答题6.(10分)(2016·广州高二检测)已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).【证明】设正数a,b,c满足a≤b≤c,则a2≤b2≤c2,由排序不等式得,a2b+b2c+c2a≤a3+b3+c3,a2c+b2a+c2b≤a3+b3+c3,两式相加,得:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知x≥y,M=x4+y4,N=x3y+xy3,则M与N的大小关系是( )A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤N【解析】选B.由排序不等式,知M≥N.2.(2016·长沙高二检测)已知x1,x2,…,x n均为正数,A=++…+,B=x1x2+x2x3+…+x n x1.则A与B的大小关系为( )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B【解析】选C.因为x1,x2,…,x n均为正数,不妨设x1≤x2≤…≤x n,根据排序不等式,得++…+≥x1x2+x2x3+…+x n x1.即A≥B.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·武汉高二检测)若a,b,c>0,a2+b2+c2=3,则ab+bc+ca的最大值是________.【解析】不妨设a≥b≥c>0,则b,c,a为乱序,于是由排序不等式知a2+b2+c2≥ab+bc+ac,所以ab+bc+ca≤3,即ab+bc+ca的最大值为3.答案:34.(2016·珠海高二检测)设a1,a2,…,a n为正数,且a1+a2+…+a n=5,则++…++的最小值为________.【解析】由所求代数式的对称性,不妨设0<a1≤a2≤…≤a n,所以≤≤…≤,≥≥…≥,而,,…,,为,,,…,的一个排列,由乱序和≥反序和,得·+·+…+·+·≥·+·+…+·,即++…++≥a1+a2+…+a n=5,故所求最小值为5.答案:5三、解答题5.(10分)设x>0,求证:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.【解题指南】题中只给出了x>0,但是对于x≥1,x<1并不确定,因此,需要分类讨论.【证明】(1)当x≥1时,1≤x≤x2≤…≤x n.由排序原理知,1·1+x·x+x2·x2+…+x n·x n≥x n·1+x n-1·x+…+1·x n,所以1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)x n.①又因为x,x2,…,x n,1为1,x,x2,…,x n的一个排序,于是由排序原理得1·x+x·x2+…+x n-1·x n+x n·1≥1·x n+x·x n-1+…+x n-1·x+x n·1.所以x+x3+…+x2n-1≥nx n.②①+②,得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.(2)当0<x<1时,1>x>x2>…>x n,同理可得结论.综合(1)与(2),所以当x>0时,1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.【补偿训练】设a1,a2,…,a n为实数,证明:≤.【证明】不妨设a1≤a2≤a3≤…≤a n由排序原理得+++…+=a1a1+a2a2+a3a3+…+a n a n.+++…+≥a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a1+++…+≥a1a3+a2a4+a3a5+…+a n a2……+++…+≥a1a n+a2a1+a3a2+…+a n a n-1以上n个式子两边相加n(+++…+)≥(a1+a2+a3+…+a n)2两边同除以n2得≥所以≥结论得证.。