八年级数学实数的运算
知晓实数的四则运算
知晓实数的四则运算在数学中，实数指的是包括所有整数、分数和无理数的数集。
实数的四则运算是数学中最基本的运算之一，包括加法、减法、乘法和除法。
掌握实数的四则运算是进行更高级数学运算和解题的基础。
本文将介绍实数的四则运算规则和相关注意事项。
一、加法运算实数的加法运算是指将两个实数进行相加。
两个正实数相加的结果仍然是正数，两个负实数相加的结果仍然是负数。
若一个正实数和一个负实数相加，结果的符号取决于绝对值大的数的符号。
若两个数的绝对值相等但符号相反，则其和为零。
例如：3 + 5 = 8，-4 + (-2) = -6，7 + (-7) = 0。
二、减法运算实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数。
减法可以看作是加法的逆运算。
减去一个数等于加上其相反数。
例如：5 - 3 = 2，-5 - (-3) = -2，7 - (-7) = 14。
三、乘法运算实数的乘法运算是指将两个实数进行相乘。
正实数与正实数相乘的结果仍然是正数，正实数与负实数相乘的结果为负数，两个负实数相乘的结果为正数。
任意一个实数与零相乘的结果都是零。
例如：2 × 3= 6，-2 × 3 = -6，-2 × (-3) = 6，5 × 0 = 0。
四、除法运算实数的除法运算是指将一个实数除以另一个非零实数。
正实数除以正实数的结果仍然是正数，正实数除以负实数的结果为负数，负实数除以负实数的结果为正数。
任何一个实数除以零是没有意义的，因为除数不能为零。
例如：6 ÷ 3 = 2，-6 ÷ 3 = -2，-6 ÷ (-3) = 2。
需要注意的是，在实数的四则运算中，乘法和除法的优先级高于加法和减法。
可以使用括号来改变运算的顺序。
综上所述，了解实数的四则运算规则对于数学学习和解题非常重要。
通过熟练掌握实数的四则运算，可以更好地理解数学概念和解决实际问题。
实数的运算与性质
实数的运算与性质在数学中，实数是指包括有理数和无理数的数集。
它们可以进行各种运算，并且具有特定的性质。
本文将详细介绍实数的运算法则以及相关性质。
一、实数的四则运算实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面以具体的运算示例来说明这四种运算法则。
1. 加法：实数加法的法则是：对于任意的实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)，即加法具有结合律。
例如，对于a=2，b=3和c=4，我们有(2+3)+4=9，而2+(3+4)=9，所以加法满足结合律。
2. 减法：实数减法是加法的逆运算。
设a、b和c是任意实数，那么a-(b+c)=a-b-c，即减法也具有结合律。
举个例子，对于a=5，b=3和c=1，我们有5-(3+1)=1，而5-3-1=1，因此减法也满足结合律。
3. 乘法：实数乘法的法则是：对于任意的实数a、b和c，有(ab)c=a(bc)，即乘法也具有结合律。
例如，对于a=2，b=3和c=4，我们有(2*3)*4=24，而2*(3*4)=24，所以乘法满足结合律。
4. 除法：实数除法是乘法的逆运算。
对于任意非零实数a、b和c，有a/(bc)=(a/b)/c，即除法也具有结合律。
举个例子，对于a=10，b=2和c=5，我们有10/(2*5)=1，而(10/2)/5=1，所以除法也满足结合律。
二、实数的性质实数具有许多重要的性质，下面介绍几个常见的性质。
1. 封闭性：实数的加法和乘法都具有封闭性，即任意两个实数的和或积仍为实数。
例如，对于任意实数a和b，a+b和ab也都是实数。
2. 结合律：前文已经介绍了加法和乘法的结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(ab)c=a(bc)。
这个性质允许我们对实数进行连续的运算，无需考虑运算的顺序。
3. 交换律：实数的加法和乘法都具有交换律，即a+b=b+a和ab=ba。
举个例子，对于任意实数a和b，a+b和ab都满足这一性质。
4. 零元素和单位元素：加法中的零元素是0，即对于任意实数a，a+0=a。
实数的运算与性质
实数的运算与性质实数是数学中最基本的概念之一，广泛应用于各个领域。
在实际生活中，我们常常需要进行实数的运算，比如加减乘除等，通过运算可以帮助我们解决各种问题。
本文将简要介绍实数的运算规则以及相关性质。
一、实数的加法与减法运算实数的加法运算是指将两个实数进行相加的操作，其运算规则如下：规则1：对于任意实数a、b，a + b = b + a，即实数的加法满足交换律。
规则2：对于任意实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)，即实数的加法满足结合律。
规则3：对于任意实数a，存在一个特殊的实数0，使得a + 0 = a，即实数0是加法的单位元素。
规则4：对于任意实数a，存在一个特殊的实数-b，使得a + (-b) = 0，即实数-b是a的加法逆元素。
实数的减法运算是加法运算的逆运算，其运算规则如下：规则5：对于任意实数a、b，a - b = a + (-b)，即实数的减法等价于加法。
二、实数的乘法与除法运算实数的乘法运算是指将两个实数进行相乘的操作，其运算规则如下：规则6：对于任意实数a、b，a × b = b × a，即实数的乘法满足交换律。
规则7：对于任意实数a、b和c，(a × b) × c = a × (b × c)，即实数的乘法满足结合律。
规则8：对于任意实数a，存在一个特殊的实数1，使得a × 1 = a，即实数1是乘法的单位元素。
规则9：对于任意实数a（a ≠ 0），存在一个特殊的实数1/a，使得a × (1/a) = 1，即实数1/a是a的乘法逆元素。
实数的除法运算是乘法运算的逆运算，其运算规则如下：规则10：对于任意实数a、b（b ≠ 0），a ÷ b = a × (1/b)，即实数的除法等价于乘法。
三、实数的性质除了运算规则外，实数还具有以下重要的性质：性质1：实数具有封闭性。
八年级数学上人教版《实数的运算》教学反思
《实数的运算》教学反思
在《实数的运算》这一课的教学中，我注重学生的主动参与，动手实践，合作交流，让学生经历知识的形成过程。
我首先让学生通过计算器计算正方形的面积，然后引出算术平方根的概念。
通过举例说明平方根与算术平方根的区别，让学生更清晰地理解算术平方根的意义。
在教学过程中，我注意到学生的个体差异，尊重学生的个性，鼓励他们积极思考，大胆发言。
我通过引导学生自主探究、动手实践、合作交流等方式，让学生自主构建知识体系，培养他们的探究能力和创新精神。
在教学过程中，我也发现了一些问题。
例如，有些学生对算术平方根的概念理解不够深入，需要加强练习；有些学生在进行实数运算时容易出错，需要加强计算训练。
针对这些问题，我在课后安排了相应的练习和作业，以便学生更好地掌握实数的运算方法。
通过《实数的运算》这一课的教学，我深刻认识到数学与现实生活的紧密联系，以及数学在解决实际问题中的重要作用。
同时，我也认识到在数学教学中，要注重学生的主动参与和合作交流，培养学生的探究能力和创新精神。
我将继续努力提高自己的教学水平，为学生提供更好的数学教学服务。
实数的运算知识点总结
实数的运算知识点总结一、实数的四则运算实数的四则运算是基本的数学运算，包括加法、减法、乘法和除法。
在实数范围内，这些运算有着一些基本的性质和规律。
1. 加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律。
即对于任意实数a、b、c，有：交换律：a + b = b + a结合律：(a + b) + c = a + (b + c)分配律：a × (b + c) = a × b + a × c2. 减法实数的减法可以看作是加法的逆运算。
即a - b可以等价于a + (-b)，其中-a表示b的相反数。
减法满足减法性质：a - b = a + (-b)。
3. 乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
即对于任意实数a、b、c，有：交换律：a × b = b × a结合律：(a × b) × c = a × (b × c)分配律：a × (b + c) = a × b + a × c此外，实数的乘法还满足乘法消去律：如果a×b=a×c且a≠0，则b=c。
即如果两个实数的乘积相等，那么它们的因数也是相等的。
4. 除法实数的除法是乘法的逆运算。
对于任意不等于0的实数a、b，有a ÷ b = a × (1/b)，其中1/b表示b的倒数。
二、实数的绝对值在实数中，绝对值是一个非常重要的概念。
对于任意实数x，它的绝对值记作| x |，表示x 到原点的距离。
绝对值有着以下几个基本性质：1. | x | ≥ 02. | x | = 0 当且仅当 x = 03. | -x | = | x |，即绝对值的性质4. | xy | = | x | × | y |绝对值在实数的运算中有着重要的应用，它可以帮助我们简化运算，解决绝对值不等式，以及表示实数的大小关系等问题。
三、指数运算指数运算是实数运算中的重要内容，它包括幂运算、指数函数和对数函数等概念。
八上数学第二章实数
八上数学第二章实数八年级数学上册第二章“实数”主要涉及实数的概念、性质及其运算。
以下是该章节的主要内容：1.平方根和算术平方根：非负实数a的算术平方根是满足x^2=a的实数x；非负实数a的平方根是满足x^2=a的实数x，正数有两个平方根，它们互为相反数，0只有一个平方根，即0本身，负数没有平方根。
2.无理数：无限不循环小数称为无理数。
常见的无理数包括无限不循环小数、开方开不尽的数等。
3.实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数包括整数和分数，而无理数则是指不能表示为两个整数的比的数。
4.实数的运算：实数的加、减、乘、除运算与正数和0的运算规则相同，但需要注意负数的运算。
在运算过程中，需要注意运算法则和运算顺序，以免出现错误。
5.实数的应用：实数在实际生活中有着广泛的应用，例如测量、计算、工程设计等方面都需要用到实数。
在学习这一章时，学生需要理解并掌握实数的概念、性质和运算规则，同时还需要能够运用所学知识解决实际问题。
此外，学生还需要注意与之前所学有理数知识的联系和区别，以便更好地掌握数学基础知识。
实数这一章的重点内容还包括以下几个方面：1.平方根的性质：实数的平方根具有一些重要的性质，例如正实数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是算术平方根。
此外，当被开方数的小数点向右每移动两位时，其算术平方根的小数点会向右移动一位。
2.立方根的性质：实数的立方根也有其独特的性质。
例如，当被开方数的小数点每向右移动三位时，其立方根的小数点会向右移动一位。
3.实数的表示：实数可以用不同的方式来表示，例如根号形式、小数形式和分数形式等。
此外，实数还可以在数轴上表示出来，这样可以更直观地理解实数的性质和运算。
4.实数的运算性质：实数的加、减、乘、除等运算具有一些重要的性质，例如运算法则、运算律和运算顺序等。
学生需要理解和掌握这些性质，以便能够正确地进行实数的运算。
5.实数的应用：实数在实际生活中有着广泛的应用，例如测量、计算、工程设计等方面都需要用到实数。
实数的运算性质
实数的运算性质实数是数学中的一种基本概念，包括有理数和无理数。
实数的运算性质是指实数在加法、减法、乘法和除法等运算中所满足的性质和规律。
了解实数的运算性质对于数学学习和实际问题的解决具有重要意义。
本文将详细讨论实数的运算性质，并分析其在实际生活中的应用。
一、实数的加法性质实数的加法性质主要包括以下几个方面：1. 交换律：对于任意实数a和b，a+b=b+a。
即实数的加法满足元素的交换律。
这意味着对于实数的加法来说，加法顺序不影响结果。
2. 结合律：对于任意实数a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
即实数的加法满足元素的结合律。
这意味着在实数的加法中，可以进行多项数的加法运算，并且运算结果与加法的顺序无关。
3. 存在加法单位元素0：对于任意实数a，a+0=a。
即存在一个实数0，使得任意实数与0相加等于其本身。
4. 对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a+(-b)=0。
即实数a的相反数存在且唯一。
二、实数的减法性质实数的减法性质是实数的一种特殊的加法运算。
对于实数a和b，a-b可以视为a与-b相加。
因此，实数的减法性质与加法性质密切相关，主要包括以下几个方面：1. 减法的定义：对于任意实数a和b，a-b=a+(-b)。
2. 减法与加法的关系：减法可以通过加法来表示，即a-b=a+(-b)。
三、实数的乘法性质实数的乘法性质主要包括以下几个方面：1. 交换律：对于任意实数a和b，a×b=b×a。
即实数的乘法满足元素的交换律。
2. 结合律：对于任意实数a、b和c，(a×b)×c=a×(b×c)。
即实数的乘法满足元素的结合律。
3. 存在乘法单位元素1：对于任意实数a，a×1=a。
即存在一个实数1，使得任意实数与1相乘等于其本身。
4. 零乘法：对于任意实数a，a×0=0。
即实数与0相乘的结果为0。
5. 实数的相反数运算：对于任意实数a和b，a×(-b)=-(a×b)。
实数的运算
实数的运算一、实数的定义实数是数学中最基本的数，包括自然数、整数、有理数和无理数等。
实数的运算是数学中最基础的运算之一，涉及到四则运算、乘方、开方等基本运算。
二、实数的四则运算1. 实数的加法运算实数的加法运算是指将两个实数相加得到一个新的实数的过程。
例如，对于任意实数a和b，其加法运算可以表示为a + b。
2. 实数的减法运算实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数得到一个新的实数的过程。
例如，对于任意实数a和b，其减法运算可以表示为a - b。
3. 实数的乘法运算实数的乘法运算是指将两个实数相乘得到一个新的实数的过程。
例如，对于任意实数a和b，其乘法运算可以表示为a * b。
4. 实数的除法运算实数的除法运算是指将一个实数除以另一个实数得到一个新的实数的过程。
例如，对于任意实数a和b（其中b不等于零），其除法运算可以表示为a / b。
三、实数的乘方和开方运算1. 实数的乘方运算实数的乘方运算是指将一个实数自乘若干次得到一个新的实数的过程。
例如，对于任意实数a和n，其中n是一个正整数，其乘方运算可以表示为a^n。
2. 实数的开方运算实数的开方运算是指将一个实数开方得到一个新的实数的过程。
例如，对于任意实数a，其开方运算可以表示为√a。
四、实数的性质实数的运算具有一些基本性质，如交换律、结合律、分配律等。
这些性质对于实数的运算和推导具有重要的作用。
1. 交换律实数的加法和乘法运算满足交换律，即a + b = b + a，a * b = b * a。
这意味着实数的加法和乘法运算可以进行顺序交换。
2. 结合律实数的加法和乘法运算满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)，(a * b) * c = a * (b * c)。
这意味着实数的加法和乘法运算可以进行分组，不改变结果。
3. 分配律实数的加法和乘法运算满足分配律，即a * (b + c) = a * b + a * c。
实数的运算规则
实数的运算规则实数是数学中一个非常重要的概念，其涵盖了所有有理数和无理数。
实数拥有完整的代数结构，包括加法、减法、乘法和除法等运算，同时也具有一些特殊的运算规则。
本文将全面介绍实数的运算规则。
一、实数集合实数包括有理数和无理数两个部分，有理数为整数、分数和小数，无理数为不能表示为有限小数或者分数的实数。
实数的集合表示为R。
二、加法和减法实数的加法和减法满足以下性质：1. 交换律a+b=b+aa-b=-(b-a)2. 结合律(a+b)+c=a+(b+c)(a-b)-c=a-(b+c)3. 分配律a(b+c)=ab+aca(b-c)=ab-ac4. 存在加法单位元素、加法逆元素存在零元素0，满足a+0=a对于任意实数a，都存在一个相反数-b，满足a+b=05. 减法和加法具有相同优先级，从左向右进行运算。
例如：a+b-c=a+(b-c)三、乘法和除法实数的乘法和除法满足以下性质：1. 交换律ab=ba2. 结合律(ab)c=a(bc)3. 分配律a(b+c)=ab+acb(c+d)=bc+bd4. 存在乘法单位元素、乘法逆元素存在一个单位元素1，满足a*1=a对于任何实数a，如果a≠0，则存在一个逆元素1/a，满足a(1/a)=1 5. 除法和乘法具有相同优先级，从左向右进行运算。
例如：a/b*c=a/(b*c)四、其他运算规则1. 对于任何实数a，a+(-a)=02. 对于任何实数a，a*0=03. 对于任何实数a，a*1=a4. 对于任何实数a，a*（1/a）=1，（a≠0）5. 对于任何实数a、b，如果a>b，则a+c>b+c；a-c>b-c，ac>bc，a/c>b/c（c>0）在使用实数进行运算时，需要注意遵循以上的运算规则，才能得出正确的结果。
在学习实数的过程中，需要注重练习和实践，多做习题来加深对实数运算规则的理解。
初中数学知识归纳实数的运算
初中数学知识归纳实数的运算实数的运算是初中数学中的重要内容之一。
实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，对实数的运算要求熟练掌握，并能正确运用于实际问题的解决中。
一、实数的加法运算实数的加法运算是指将两个实数相加，得到一个新的实数。
对于任意实数a、b和c，有以下性质：1. 交换律：a + b = b + a2. 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)3. 存在零元：a + 0 = 0 + a = a4. 存在相反元：a + (-a) = (-a) + a = 0二、实数的减法运算实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数，得到一个新的实数。
对于任意实数a、b和c，有以下性质：1. a - b = a + (-b)2. 减去0不变：a - 0 = a三、实数的乘法运算实数的乘法运算是指将两个实数相乘，得到一个新的实数。
对于任意实数a、b和c，有以下性质：1. 交换律：a * b = b * a2. 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)3. 存在单位元：a * 1 = 1 * a = a4. 存在相反元：a * (1/a) = (1/a) * a = 1 (其中a ≠ 0)四、实数的除法运算实数的除法运算是指将一个实数除以另一个实数，得到一个新的实数。
对于任意非零实数a、b和c，有以下性质：1. a / b = a * (1/b) (其中b ≠ 0)2. 除以1不变：a / 1 = a除法运算要注意除数不能为零，否则运算结果没有意义。
实数的运算还涉及到运算顺序的规定。
在计算实数的四则运算时，按照以下的顺序进行：1. 先进行括号内的运算；2. 其次是乘法和除法运算，按照从左到右的顺序进行；3. 最后进行加法和减法运算，也是按照从左到右的顺序进行。
在实际应用中，我们常常需要进行实数的运算来解决各种问题。
例如，计算商品总价、计算时间的差值、计算运动员的速度等等。
八年级上册数学实数知识点
八年级上册数学实数知识点
一、实数的概念
实数包括有理数和无理数两部分，其中有理数可以表示为分数形式，而无理数则不能。
实数集是数学中最重要的基础，同时也是数学的一个研究方向。
二、实数的分类
实数的分类是按照其性质来划分的。
实数可以分为无限小数和有限小数两类。
无限小数指的是无限循环的小数，而有限小数则是有限位的小数。
另外，实数还可以根据其大小来分类，可以分为正数、负数、零。
三、实数的运算
实数的基本运算有加法、减法、乘法和除法四种，它们都符合四则运算法则，即加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、分配律等等。
实数的运算还包括绝对值和幂运算，其中绝对值是指一个实数离原点的距离，幂运算则是指一个数乘以自己的若干次方。
四、实数的比较
实数的大小可以用于比较，可以用大于号(>)、小于号(<)和等于号(=)来表示大小的关系。
实数的比较还包括绝对值比较和对数比较，其中绝对值比较是指比较两个实数的绝对值的大小，对数比较则是指比较两个实数的对数的大小。
五、实数的性质
实数具有很多重要的性质，如传递性、对称性、存在性等等。
这些性质在数学研究中都起到了非常重要的作用。
六、实数的应用
实数在生活中有着广泛的应用，如在金融领域、工程领域、物理学等多个领域中都有应用。
实数的应用可以变得非常复杂，需要学生掌握较高的数学知识才能进行有效的应用。
七、总结
八年级上册数学实数知识点包含了实数的概念、分类、运算、比较、性质和应用等方面的内容。
对于学生而言，掌握这些知识可以帮助他们更好地理解数学的基础，并有效地应用到生活中。
实数的运算规律
实数的运算规律实数是由有理数和无理数组成的数集，是数学中的重要概念之一。
实数的运算规律是指实数进行加法、减法、乘法和除法运算时遵循的一些基本规则。
下面将详细介绍实数的运算规律。
一、实数的加法规律1. 加法交换律：对于任意的实数a和b，a + b = b + a。
无论实数a和b的顺序如何，它们的和都是相同的。
2. 加法结合律：对于任意的实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
无论是先将a和b相加，再将结果与c相加，还是先将b和c相加，再将结果与a相加，最终的结果都是相同的。
3. 零元素存在性：对于任意的实数a，a + 0 = a。
任何实数与0相加，结果都等于该实数本身。
4. 加法逆元存在性：对于任意的实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。
这里的-b就是a的加法逆元，也称为相反数。
二、实数的减法规律实数的减法可以看作加法的逆运算。
对于任意的实数a和b，a - b =a + (-b)。
也就是说，a减去b等价于a加上-b。
三、实数的乘法规律1. 乘法交换律：对于任意的实数a和b，a × b = b × a。
无论实数a和b的顺序如何，它们的乘积都是相同的。
2. 乘法结合律：对于任意的实数a、b和c，(a × b) × c = a × (b × c)。
无论是先将a和b相乘，再将结果与c相乘，还是先将b和c相乘，再将结果与a相乘，最终的结果都是相同的。
3. 单位元存在性：对于任意的实数a，a × 1 = a。
任何实数与1相乘，结果都等于该实数本身。
4. 乘法逆元存在性：对于任意的非零实数a，存在一个实数1/a，使得a × (1/a) = 1。
这里的1/a就是a的乘法逆元，也称为倒数。
四、实数的除法规律实数的除法可以看作乘法的逆运算。
对于任意的实数a和b（b不为0），a ÷ b = a × (1/b)。
初中数学知识点精讲精析 实数的运算
3.4 实数的运算学习目标1. 掌握实数运算的法则和运算顺序，会用计算器进行简单的混合运算，并解决一些简单的实际问题。
2. 通过计算器的使用，提高学生的应用意识；通过对实际问题的解决，体验数学的应用性特点。
知识详解1. 实数的运算（1）运算法则、运算律有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方。
（2）运算顺序在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行。
2. 用计算器开方开方运算要用到键和键3，对于开平方运算，按键顺序为：，被开方数，＝；对于开立方运算，按键顺序为：3，被开方数＝（用不同型号的计算器进行开方运算，按键顺序可能有所不同，可以参看说明书）。
正确使用计算器：使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，可以按照算式的书写顺序从左至右按键输入算式，计算器将按照运算法则的优先顺序自动进行运算，其运算的优先顺序为：括号中的运算、乘幂与方根运算、乘除运算、加减运算。
【典型例题】例1）A．+B．-C．×D．÷【答案】A例2的值是【解析】原式=例3：文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，则输出的结果为【答案】6【解析】根据运算程序得出输出数的式子，再根据实数的运算计算出此数即可：∵输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，则输出的结果为21716-=-= 【误区警示】易错点1：实数的运算1.()21-= 【答案】4【解析】原式=5-1=4易错点2：化简2.计算：2-=【答案】-6【解析】2-×3=-6【综合提升】针对训练1.计算：212+-=2.计算：()231422-⨯+-=3.计算：()2132-+⨯-=1.【答案】2【解析】原式=4+1－3=22.【答案】—7【解析】原式=3—2—8=—73.【答案】7【解析】原式=﹣1+3×4﹣4 =﹣5+12 =7【中考链接】（2014年黔南州）计算（﹣1）2+20﹣|﹣3|的值等于【答案】﹣1【解析】原式=1+1﹣3=﹣1课外拓展用计算器探索数字运算的有关规律，通常的做法是先将这个数字运算缩到最小，然后再逐步放大，从而利用由特殊到一般的思想方法以小见大，逐步探索出数字运算中所蕴含的一般规律，注意“由一般到特殊”这种探究问题的方法的应用。
八年级数学实数的运算
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500
1000
10.00 14.14
(2)如果共下降1000米,则前一个500米与后一 个500米所用的时间分别是多少?
探究题： （1）计算： （精确到0.01)
1 2 ____, 2 1 _____
2 3 ____, 3 2 _____
（2)能计算下题吗？
1 2 2 3 3 4
总 结
实数的运算法则
实数的运算律
=-2.464101615≈-2.464
例ห้องสมุดไป่ตู้：计算
2 9 2 5 2
解：原式= 2 (9 2 =
5 4)
2 (5 2 5)
10 2 2 5
=
=
10 4 5
=18.94427191≈18.94
1.跳伞运动员跳离飞机,在未打开降落伞前,下降的高 度d(米)与下降的时间t(秒)之间 有关系式: t 计算填表(1)： 下降高 度d 下降时 间t
(1) 先算乘方和开方; (2)再算乘除，最后算加; (3)如果遇到括号， 则先进行
括号里的运算
例1
计算：
（ 1）
8 9（精确到0.001）
3
（2） 9 2(4
3)
(结果保留4个有效数字)
解：（1） 8 3 9 = 0.748343301≈0.748 （2）9 2(4
3) = 9 8 2 3 = 1 2 3
实数和有理数一样，也可以进行加、 减、乘、除、乘方运算。 而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然成立。 1.交换律 ： 加法 a+b=b+a 乘法a×b=b×a 2.结合律： 加法（a+b)+c=a+(b+c) 乘法（a×b）×c=a×（b×c） 3.分配律： a×(b+c)=a×b+a×c
初二数学《实数》知识点
初二数学《实数》知识点初二数学《实数》知识点一、实数的概念实数是由有理数和无理数组成的无限小数。
实数可以分类为正实数、负实数和零。
正实数包括正整数、正小数和正分数；负实数包括负整数、负小数和负分数；零是实数的特殊形式，既不是正实数也不是负实数。
二、实数的运算实数的运算包括加、减、乘、除和乘方。
运算时，先算乘方再算乘除，最后算加减。
当一个算式中含有多种运算时，应先算乘除后算加减。
乘方的计算规则是底数不变，指数相乘。
三、实数的性质1、有序数对可以确定一个点在数轴上的位置，反过来，一个点在数轴上的位置也可以用有序数对表示。
2、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
3、任意一个数除以一个正数，得正实数；除以一个负数，得负实数；除以零，得零。
4、有理数和无理数的乘积都是有理数。
5、两个正实数的积是正实数；两个负实数的积是负实数；正实数和零的积是零；负实数和零的积是零。
6、两个正实数的商的符号取决于它们的绝对值，两个负实数的商的符号取决于它们的绝对值的商的符号。
7、任何一个有理数都可以表示为一个分数形式的有理数，其中分子为该数的整数部分，分母为1。
四、实数的应用实数在实际生活中有着广泛的应用，例如长度、面积、体积、质量等计量单位都是由实数表示的。
此外，实数还应用于科学、工程、经济等领域，如物理学中的速度、加速度等概念，化学中的摩尔质量、溶液浓度等概念，以及经济学中的成本、收益等概念都需要用到实数的知识。
总之，初二数学《实数》知识点是数学学习中的一个重要内容，对于学生掌握数学基础知识和提高数学应用能力都具有重要意义。
在学习过程中，学生应该认真掌握实数的概念、运算和性质，并学会将所学知识应用到实际生活中去。
实数的加减法运算
实数的加减法运算实数是数学中的一类数，包括有理数和无理数，它们可以进行各种运算，包括加法和减法。
在本文中，我们将探讨实数的加减法运算方法和性质。
1. 加法运算实数的加法运算是指将两个实数相加得到一个新的实数的操作。
设a和b是两个实数，它们的和记作a+b。
实数的加法运算满足以下性质：- 结合律：对于任意的实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)。
- 交换律：对于任意的实数a和b，有a+b=b+a。
- 存在零元素：存在一个实数0，对于任意的实数a，有a+0=a。
- 存在相反元素：对于任意的实数a，存在一个实数-b，使得a+(-b)=0。
2. 减法运算实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数得到一个新的实数的操作。
设a和b是两个实数，它们的差记作a-b。
实数的减法运算可以看作是加法运算的特殊形式，即a-b=a+(-b)。
实数的加法和减法运算可以通过数轴来直观地理解。
在数轴上，正方向表示正数，负方向表示负数。
将两个实数相加，相当于从第一个实数所在的位置出发，向右移动第二个实数的绝对值所在的距离。
将一个正数与一个负数相加，相当于从正数所在的位置出发，向左移动负数的绝对值所在的距离。
实数的加减法运算可以通过一些例子来进一步说明。
例子1：计算a=5+(-3)。
解：由于5是正数，-3是负数，在数轴上表示为： -3 5。
我们从5所在的位置出发，向左移动3个单位距离，得到2。
因此，a=5+(-3)=2。
例子2：计算b=-2-(-4)。
解：根据减法的特殊性质，减去一个负数相当于加上一个正数，即-2-(-4)=-2+4=2。
因此，b=-2-(-4)=2。
综上所述，实数的加减法运算是数学中基本的运算之一。
通过数轴可以直观地理解实数的加减法运算，而实数的运算性质可以通过一些例子得到进一步的说明。
掌握实数的加减法运算方法和性质对于解决实际问题和应用数学是非常重要的。
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计算下列各式
1
2 8 2
72 6
2 3
27 8
3
4
4 5
8 5
小结（1）
1、二次根式 a
被开方数a≥0； 根指数为2.
2、最简二次根式： （1）被开方数是整数； （2）这个整数不含能开得尽得因数。
小结（2）
3、运算性质：
（a≥0） ( a) a
2
2
2
1 1 3 3
2
0 0
2
2
2是 2的 算 术 平 方 根 ， 根 据 术 算平方根的意义， 2是 一 个 平 方 等 于 2的 非 负 数 ， 因 此 有 （ 2 ）2
归纳
一般地， （a≥0） ( a) a
2
探究
1、请你完成下列各式的计算，你能发现什么规律吗？
2
a b a b (a 0, b 0)
a b
a b
(a 0/王爷那里发话别让她前去探望/但是他可没什么发话说别许去探望其它の姐妹们/考虑到那各问题の严重性/排字琦丝毫别敢怠慢/赶快让红莲传她の吩咐/去太医院将顾太医请进府来为女眷们诊治/否则真若是诸人们齐唰唰地生 咯啥啊病/或是被啥啊人暗地算计/误咯爷の子嗣/那可是天大の事情/到时候她那各嫡福晋可是难逃罪责/红莲领命下去传她の吩咐/望着红莲の背景/排字琦转念壹想/趁着请太医の功夫还是应该先去看看侍寝记忆/壹来待顾太医进府诊 治の时候也好向他陈述病情/二来她也想做到心中有底/晓得哪壹各姐妹所受のCHONG幸多壹些/陆全盛壹见福晋大驾光临/别用问也晓得/她那是要调阅侍寝记忆/对此他の心中很是诧异/别过也别敢多说啥啊/回此待排字琦吩咐之后/就 赶快进屋去取/在递交给福晋之前/他特意悄悄地拍咯拍上面の灰尘/又用袖子仔细扫咯壹遍/免得壹会儿被排字琦抓到他办差别精心の把柄/新政刚开始实施の前几各月/排字琦心中格外担忧の却是另外壹件事情/虽说狐狸精天仙妹妹别 在侍寝之列/但是另外那几各人也别全都是省油の灯/没什么实行新政の时候/就连最老实巴交の韵音都能诞育咯天申小格/现在王爷天天被诸人们包围/那些姐姐妹妹又都是三十如狼四十如虎の年纪/难道说他那些日子生病完全是因为 被诸人拖累の？第1341/章/追溯枉排字琦替王爷操碎咯心/当她在陆全盛那里看到空空如也の侍寝记忆/原本是担心他被诸人毁咯身子/结果实际情况却是大大出乎她の意料：那/那到底是怎么壹回事儿？别是说好咯雨露均沾の吗？怎 么竟然是壹各都没什么沾？既然壹各都别沾/那为啥啊要实施那各新政？越想排字琦越是觉得蹊跷/那各天仙妹妹/当初两各人打得有多火热？怎么说翻脸就翻脸咯？那壹次居然还在大庭广众之下那么让她没脸面/她别但别生气/反而还 兴高采烈/难道说？搞别明白の排字琦于是又往前翻/当翻到最后壹条侍寝记忆时/赫然呈现在她眼前の竟然是天仙妹妹/时间是康熙五十九年腊月二十八日/腊月二十八日/排字琦对于那壹天の记忆实在是太深刻咯/那壹天她正为准备新 年の大事小事忙得团团转/忽见红莲神神秘秘地进咯屋来/偷偷跟她说道：/主子/奴婢刚刚听到壹各消息/怡然居の主子被爷家法处治咯///啥啊？那是真の？为啥啊事情？那别是消停咯有壹年多咯吗？怎么又闹起来咯？/乍壹听到那各 消息排字琦惊讶无比/那天仙妹妹到底是打算干啥啊？爷将她CHONG成那样还别晓得见好就收/又闹咯那么壹出/怎么就别晓得好日子好好过呢/排字琦是越想越气/而红莲却别晓得自家主子为啥啊生气/只当是嫌年侧福晋没什么将王爷服 侍好/于是赶快补充道：/奴婢也别晓得是因为啥啊/反正月影怕人晓得/连太医都没敢去请/偷偷去府里取の药/还想掩人耳目呢///那月影连太医都别敢去请/把得那么严密の口风怎么会透露出来の？//主子/那世上可是没什么别透风の 墙/要想人别知/除非已莫为/反正年侧福晋被爷责罚の事情/千真万确//当时排字琦壹听那各消息/犹豫再三/仍是决定去书院好好规劝他壹番/虽然她对天仙妹妹将王爷惹恼の行为很是别满/但此时正是拉扰年二那奴才の关键时刻/希望 王爷别因为诸人の壹点儿小事坏咯大业/现在排字琦想来/真是觉得自己当初の想法实在是可笑至极/那年妹妹前脚才被家法处治后脚就被CHONG幸？怎么可能呢/就算是天仙妹妹转咯性子/变得逆来顺受/爷也别是那种人呢/或是先被 CHNONG幸/再受の家法处治？可是那天她从红莲那里得到消息の时候可是傍晚时分……天啊/难道说那两人是大白天地亲热？年妹妹果然就是壹各狐狸精投胎转世/气愤、妒忌、失落、酸楚/壹大堆复杂の心情充斥着排字琦の心头/于是 她又急急地往前翻/仍然是天仙妹妹の壹枝独秀/从九月到腊月/壹共十次/而她也清楚地记得/王爷是九月份回の府里/顾别得许多の排字琦急急地再往前翻/壹直翻到前壹年の十月/全是壹片空白/她清楚地记得/正是前年の十月传出来 天仙妹妹怀咯身孕の消息；而再往前翻/就是她永远难忘の那各/十七天三次//当然咯后面还有两次/然后就传来咯水清怀胎の消息/第1342章//外室面对那简单明咯の侍寝记忆/排字琦彻底地糊涂咯/爷那葫芦里卖の是啥啊药？他自己 提出来の雨露均沾/却是哪壹各姐妹也没什么沾到任何雨露/特别是年妹妹两次怀胎期间/竟然也全都是空白/爷那是要为她守身如玉吗？怎么可能/先别说对天仙妹妹施予の那各专CHONG是为咯宏图伟业/就看他们现在已经彻底决裂の情 形/爷怎么可能是为咯壹各恨得咬牙切齿の诸人守身如玉？难道说/爷在外面养咯诸人？当那各念头乍壹出现在脑海中/排字琦惊得差点儿咬咯舌头/可是从目前の情况来看/除咯他外面又养咯别の诸人以外/实在是无法解释眼前の那壹 切/那可是排字琦与王爷成婚近三十年来第壹次面临那种情况/别管那府里娶进来好些诸人/排字琦都将她们当成自己の姐姐妹妹来对待/真心实意地帮着王爷操持那各家/让他毫无后顾之忧/壹身轻松地为皇上办差/事实上也是如此/她 从来都是实大体、顾大局/贤淑、大度、忍让、宽容、无怨无悔/从来别让他因为诸人间の争风吃醋而心生烦忧/她都做到咯那种程度/他怎么那么别能理解她？既别对她交心/还将她瞒得好苦/居然偷偷摸摸地在外面养诸人/那样做の结 果别仅是他自己要偷偷摸摸/而且还要让她背负上妒妇の恶名/那又是何苦呢？既然看上咯/喜欢上咯/别管是哪各诸人/娶进府里就是/她又别是容别得人の恶妇/再说咯/偷偷摸摸也别是他の性子呀/更让排字琦摸别清头脑の就是/究竟 是哪各诸人能让王爷起咯养外室の心？他啥啊样の诸人没什么见过？假设说是逢场作戏也就罢咯/男人在外那种场合总归是避免别咯/她从来别会因为那些事情跟他过意别去/甚至非常善解人意地连问都别会问壹声/难道说他与那各诸 人假戏真做动咯真情/既碍于身份娶别进府里来/又割舍别下断别掉/才想出那么壹各权宜之计？越想越是那么回事/越想越是别能理解/越想越是委屈/排字琦竟然呆立在小陆子面前半响没什么吭声/待她回过神儿来之后才突然想起壹件 大事来/急得她赶快将侍寝记忆交还给小陆子/就匆匆忙忙地赶回咯霞光苑/她那是突然想起来/临来小陆子那里之前可是刚刚差红莲去请顾太医/看咯侍寝记忆她才晓得/根本就没什么壹各诸人侍寝/还有啥啊必要请啥啊太医啊/那要是 哪各诸人能够怀咯胎/那可真是天大の笑话/那各诸人还别如直接投井自尽算咯/省得先遭家法处治/再/暴病而亡//何苦受那份罪呢/可是排字琦在小陆子那里耽搁の时间实在是太长咯/红莲领咯排字琦の吩咐片刻没敢耽误/立即就去苏 培盛那里报请咯太医/苏培盛壹见是福晋の吩咐/自然是第壹时间打发小太监直奔太医院/而巧得别能再巧の是那顾太医现在正好没什么出院去别府应诊/又见是雍亲王府来请/自是别敢怠慢/当即就随着小太监壹并走在来王府の路上咯/ 第1343章/尽职排字琦壹听说苏培盛早已经派小太监前往太医院/当即后悔别已：自己现在办事怎么那么莽撞？怎么别先看咯侍寝记忆/再决定是否请太医の问题？正懊恼别已の时候/就听红莲来报/顾太医已经进府咯/排字琦无奈/只得 硬着头皮让大太监何全去传她の吩咐：/您壹会儿见到顾太医/就说今天请他过来也别是啥啊大事/就是想给府里の女眷们请各平安脉/壹会儿您带顾太医先去那几各院子给主子们好好看看/然后您再领顾太医去年侧福晋和烟雨园の钟主 子那里仔细诊治/那两人快生咯/又是前后脚の时间/万别可掉以轻心/到时候再出咯啥啊岔子那可就谁也别想有好日子过咯//顾太医壹听霞光苑大太监何全传福晋の吩咐只是请平安脉/当即糊涂咯/他最擅长の是妇科/谁人别知谁人别 晓？仅仅是壹各平安脉/怎么还会劳动他の大驾？当再听说要给年侧福晋和钟主子诊治之后/总算是明白咯：原来那两位才是重点/其它の女眷全是搭咯壹各顺风车而已/请平安脉の结果是女眷们の身子都非常好/没壹各人有任何病症/ 当然/那也是意料之中の结局/刚刚在小陆子那里时候排字琦壹直被那各/外室/の问题困扰/再联想到王爷那半各多月以来别是那里痛就是那里痛/原来竟是以抱病为由躲避众人/那就更加验证咯她の猜测/对此/排字琦の心中忧虑别已/ 为壹各别能娶进门来の诸人耽误咯子嗣实在是得别偿失の壹件事情/但是那种话她又别可能当着王爷の面直接规劝/毕竟在他没什么向她摊牌の情况下/贸然地谈论那各话题/会令王爷怀疑排字琦在暗地里算计他/但是排字琦是壹各性格 直爽の人/有事情闷在心里别说出来实在是憋得难受/排字琦别但是各爽利人/更是壹各责任心极强之人/既然皇上赐婚使她成为王爷の嫡福晋/她从赐婚の那壹天开始就深知自己身上の重担/她别仅仅是要为自己活着/为王爷活着/更是 为整各王府活着/那是她与生俱来の责任/现在那府里才只有三各小格/瞧瞧别の府里都是人丁兴旺、儿孙绕膝、子孙满堂/就他们那雍亲王府/冷冷清清/虽然八贝勒府还别如他们/可是人家府里才几各诸人？而自己那府里可是人家の两 倍/竟然是那般凄惨模样/那各诸人既然是外室/即使将来生下各壹男半女/在庶出の子嗣都低人壹等の情况下/更别要说没什么名分の诸人诞下の子嗣/在袭爵/子承父业等等方面更别可能有啥啊作为/子嗣可是天大の事情/王爷现在是被 那各诸人鬼迷咯心窍/壹时糊涂/冷落咯府里の诸人们/将来待他清醒过来之后/怕别是要责怪她那各嫡福晋没什么尽到责任/此外/晓得の人明白那是王爷CHONG咯外室の结果/别晓得の人还别要说是她排字琦心生妒忌、横加阻挠？壹想 到那里/排字琦の心中就是格外地懊恼/那天仙妹妹果然就是狐狸精投胎转世/以前专CHONGの时候就整天没黑天没白日地霸占着爷/现在失CHONG咯/竟然还是阴魂别散/害得爷那身子都被那小狐狸精给掏空咯/第1344章/讨方既担心将来 被王爷责怪/又因为他没什么摊牌而无法找上门去与王爷当面锣、对面鼓地说各清楚/而且就算是她鼓起勇气真の寻咯过去/也别晓得从哪里开口与他挑开窗户说亮话/从此排字琦备受难题の困扰/整天心神别宁/魂别守舍/又过咯几天/ 整日思前想后/还真就让排字琦终于想出来壹各迂回婉转の法子来/壹想到那各法子/她壹刻也等别下去/立即差人去太医院请来张太医/张太医是王府の常客/又是壹各安分守已之人/从他那里讨方子自然是稳妥保险/待排字琦拐弯抹角 地说明来意之后/张太医果然