微分方程 级数练习及答案

一阶微分方程练习

1、求方程x xe y y x =+'的通解

2、求7

2(1)2(1)x y y x '+-=+的通解

3、解方程

3

d 3d y x y x

x

-=

4、求微分方程tan sec y y x x '-=满足初始条件()00y =的特解．

5、求微分方程2d d d y x y y x y e y -=的通解

二阶微分方程练习 1、求2

69279y y y x '''-+=-的特解。

2、求6128y y x '''-=-的特解。

3、求62y x ''=-的特解。

4、求62y x ''=-的特解。

5、求34cos 2sin y y x x '''+=+的特解。

6、写出下列微分方程的特解形式 （1）256e x y y y x '''-+=

（2）27122e x y y y x -'''-+=

（3）e x y y ''-=

（4）2e x y y y x -'''++=

答案：一阶微分

1.解：将方程变形为x

e

x

y y =+

'其中

x

x P 1)(=

，x e x Q =)(，用公式法

1

1

ln ln ()()

dx dx

x

x

x x

x x y e e e

dx C e e e

dx C -

-⎰⎰=+=+⎰⎰=1

1()()

x x

x

xe dx C xe e C x

x

+=

-+⎰

2.解：方程化为标准式：

2

5

)1(12+=+-

'x x y y ，用常数变异法，

先求对应齐次方程的通解。

d 20

d 1

y y x

x -=+，

d 2d 1

y x y

x =

+

d 2d 1y x

y

x =

+⎰

⎰ C

x y ln )1ln(2ln

++=，

2

)

1(+=x C y 把C 换成()C x ，即令

2

()(1)y C x x =⋅+，则有

/

/

2

()(1)2()(1)y

C x x C x x =+++，

代入标准式，得1

/

2()(1)C x x =+， 两端积分，得3

22()(1)3

C x x C =++。

原

方

程

的通解

])1(3

2[

)1(23

2

C x x y +++=。

3. 解 方程化为2

d 3d y y x

x x +=，利用公

式求解：

()()()d d e e d P x x

P x x y Q x x C -⎛⎫⎰

⎰=+ ⎪⎝⎭

⎰ 3

3

d d 2

e e

d x x x x

x x C -

⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭

⎰

()5

3

1d x x C x

=

+⎰3

3

6

x

Cx

-=

+．

4、解 利用公式法：通解：

()()()d d e e d P x x P x x y Q x x C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ tan d tan d e sec e d x x x x x x C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰

()1cos x C x

=+ 将初始条件()00y =代入,进

而确定任意常数0C =,

从而满足初始条件的特解为

cos x y x

=

5、解：方程应变为 /

1y

x x ye y

-

=-，

1(),()y

P y Q y ye y

=-

=-，由通解公式

cos d cos d e (2sin cos e

d )

y y

y y

x y y y C -⎰⎰

=+⎰=()y

y e C -+

二阶微分：

1、解：0λ=不是特征根，取0k =，

设()02*y x Ax Bx C =++，

求导代入整理，得：

2

2

9(912)(269)279

Ax B A x A B C x +-+-+=-比较系数92791202699A B A A B C =⎧⎪-=⎨⎪-+=-⎩解341A B C =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

特解为：2*341y x x =++

2、解：0λ=是特征方程的单根，取

1k =，设()1

*y x

A x

B =+，求导代入

整理，得：1226128A x A B x -+-=-

比较系数1212268

A A

B -=⎧⎨

-=-⎩解得：

1

1

A B =-⎧⎨

=⎩ 特解为：*(1)y x x =-+

3、解：0λ=是特征方程的重根，取

2

k =，设()2*y x Ax B =+，

求导代入整理，得：6262A x B x +=- 比较系数6622

A B =⎧⎨=-⎩ 解得：11

A B =⎧⎨

=-⎩

特解为：2*(1)y x x =-

4、解：0λ=是特征方程的重根，取

2k =，设()2

*y x Ax B =+，

求导代入整理，得：6262A x B x +=-

比较系数6622

A B =⎧⎨

=-⎩解得：11

A B =⎧⎨

=-⎩

特解为：2*(1)y x x =-

5、解：0α=，1β=，i=i αβ±±不

是特征方程的根，取0k =， 设特解*cos sin y A x B x =+， 求导代入整理，得：

(3)

c o

s (3

)s i A

B

x A B x x -++--=+

比较系数3432

A B A B -+=⎧⎨

--=⎩ 解得：11

A B =-⎧⎨

=⎩

特解为：*cos sin y x x =-+ 6 （1）解：2*e ()x y x Ax B =+