第五章波动率的估计(GARCH模型)

EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后 的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设νt~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2X t′β + δg (ht ) + ε t
g()是条件方差的函数通常是ht ，ln ht
2 利用 E(vT +1 − 1 | FT ) = 0 从而得GARCH(1,1)以T为 预测原点的向前两步预测公式 hT (2) = E(hT +2 | FT )
2 t
= ht v
2 t
将
2 = E[α 0 + (α1 + β1 )hT +1 + α1hT +1 (vT +1 − 1) | FT ]
ε t = htν t
ht = α 0 + α ε
2 1 t −1
+L+α ε
2 p t −q
反映波动率的非对称性 ε t = htν t
S-1是虚拟变量，如果εt-1<0，则S-1取值为1， 如果εt-1≥0则S-1取值为0。 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好 消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线
20
15
SIG2
10
5
0 -10
-5
0 Z
5
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht = k 0 + β 1 ln ht −1 + L + β r ln ht − r +
= α 0 + (α1 + β1 )hT (1)
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
hT (l ) = α 0 + (α 1 + β 1 ) hT (l − 1) l >1
对上式重复迭代我们得到向前l步预测能够写成
α 0 [1 − (α 1 + β1 ) l −1 ] hT (l ) = + (α 1 + β 1 ) l −1 hT (1) 1 − α 1 − β1 α0 → , (l → ∞) 1 − α 1 − β1
令 wt = ε t2 − ht 合并同类项有
j > q 时α j
=0
l > p 时 βl = 0
而
wt = ε t2 − ht 满足：
E ( wt ) = 0
cov( wt , wt − j ) = 0,
j ≥1
但 wt 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性 峰度=4阶原点矩/标准差的四次方 4 正态分布的峰度=3意味着 E (v t ) = 3
GARCH性质 3）参数αi , i=1,2,…,q和βi , i=1,2,…,p大 于零是保证条件方差为正的充分条件,而 不是必要条件。 4)可以证明 {ε2t}平稳的条件是α1+…+αq+β1+…+β p <1。 ε α … α β … β
GARCH预测
考虑GARCH(1,1)模型，假定T为预测原点。对 向前一步预测，我们有，
变形有 ht = α 0 + β 1 ht −1 + L + β p ht − p + α 1ε t2−1 + L + α q ε t2− q
ε t2 = α0 + wt − β1wt −1 −L− β p wt − p
+ (β1 + α1 )ε + L+ (β p + αr )ε
2 t −1 2 t −r
εt =
ht ν t
2 1 t −1 2 q t −q
ht = α0 + β1ht−1 +L+ β p ht−p +α ε +L+α ε
相比ARCH模型： ARCH 1) GARCH (p,q)模型是ARCH模型的扩展, 即GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差 平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线 性函数。 2) GARCH模型适合在计算量不大时,方便地描述了 高阶的ARCH过程,因而具有更大的适用性
引入GARCH模型的背景： ARCH模型虽然简单但为了充分描述波动 性聚类的特点往往需要很多参数，即要 提高ARCH模型的阶数p。但p较大时，参 数估计不再精确，由此计算出的条件方 差也不精确，存在较大误差。为克服这 一问题，Bollerslev1986提出了广义的 ARCH模型。
GARCH（p,q） 广义条件异方差模型
ht = α0 + α ε + β1ht−1
2 1 t −1
=α0 +α1εt2−1 + β1 (α0 +α1εt2−2 + β1ht−2 ) =α0 (1+ β1 ) +α ε +α β ε
2 1 t −1 2 1 1 t −2
+β h
2 1 t −2
=α0 (1+ β1 + β12 +L + γ1εt2−1 + γ 2εt2−2 + γ 2εt2−3 +L )
E (ε t4 ) = 3E ( ht2 )
GARCH(1,1)过程的峰度
E (ε t4 ) 6α 12 K= = 3+ 2 2 [ E (ε t )] 1 − 2α 12 − (α 1 + β1 ) 2
GARCH性质
1)当p=0时,GARCH过程成为ARCH过程,ARCH过程 是GARCH的特例，这也是该过程被称为广义 的原因。 2)GARCH过程的含义是条件方差ht是ht-1,…ht-p 和εt-1,εt-q的函数。
GARCH(1,1)
ε t = ht ν t
ht = α 0 + β1 ht −1 + α 1ε t2−1
ht是条件方差，随时间变化而变化。 无条件均值
E (ε t ) = 0
α0 无条件方差 Var (ε t ) = 1 − α1 − β1
GARCH(1,1)的性质： 1) GARCH(1,1)等价一个无穷的ARCH过程
ARMA和GARCH过程的比较 和 过程的比较
性质
髙斯 白噪声
ARMA
GARCH
ARMAGARCH
条件均值 条件方差 条件分布 边际均值 和方差 边际分布
常数 常数 正态 常数 正态
非常数 常数 正态 常数 正态
0 非常数 正态 常数 厚尾
非常数 非常数 正态 常数 厚尾
实际例子5.2
实际例子5.3
α 1 g (vt −1 ) + ... + α q g (vt − q )
g (vt ) = {| ν t | − E (| ν t |)} + θν t
θ>0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负 扰动要大；θ<0同等程度的正扰动引起条件方差 的变化比负扰动要小; θ=0同等程度的正扰动引 起条件方差的变化与负扰动相等。
金融时间序列模型
第五章：波动率的估计
金融时间序列模型
其它ARCH类模型
ARCH(q)模型
ε t = ht ν t 2 2 ht = α 0 + α 1ε t −1 + L + α q ε t −q
Vt是独立白噪声过程
为反映收益率波动的异方差性， ARCH模型将条件 方差 ht 表示为滞后残差平方的线性函数
hT +1 = α 0 + α ε + β1 hT
2 1 T
于是
2 hT (1) = E (hT +1 | FT ) = α 0 + α 1ε T + β1 hT
GARCH（1，1）的向前多步预测
对向前多步预测，我们用 ε GARCH(1,1)公式改写为
ht +1 = α 0 + α 1 ht −1vt2−1 + β1 ht = α 0 + (α 1 + β1 )ht + α 1 ht (vt2 − 1)
是无穷阶ARCH过程
ε t2 是一个ARMA(r,p)过程,其中 r = max( p, q ) 2) 过程
对于GARCH(p,q),
εt =
ht v t
+ β1ε t2−1 + L β p ε t2− p + α 1ε t2−1 + L + α q ε t2− q + ε t2
ht + ε t2 = α 0 − β 1 (ε t2−1 − ht −1 ) − L − β p (ε t2− p − ht − p )
ARCH与GARCH模型一些共同的缺点 不能反应波动率的非对称特点 约束强，要求系数非负，如果要求高阶 矩存在，还有更多的约束 不能解释为什么存在异方差，只是描述 了条件异方差的行为
GJR模型
ht = k 0 + β1ht −1 + L + β p ht − p + α1ε t2−1 + L + α q ε t2−q + λS −1ε t2−1
GARCH(1,1)的无条件方差
练习题1：求GARCH(1,2)的向前一步和向 前两步预测公式 GARCH(1,2)模型：
ε t = ht vt
ht = α 0 + β 1 ht −1 + α 1ε t2−1 + α 2 ε t2− 2
vt 是独立同分布的白噪声过程，并且
E (vt ) = 0, Var (vt ) = 1.