工程力学基础

X 0 Y 0 m (F ) 0
1.2 直杆的拉伸和压缩
1.2.1 对变形固体作的三个假设 连续性假设 均匀性假设 各向同性假设
1.2.2 杆件基本变形
1、拉伸、压缩 2、弯曲
3、剪切 4、扭转
拉伸与压缩
扭转
弯曲
1.2.3 工程实例
1.2.4 拉伸和压缩时横截面上的内力
N1 L L1 EA
N 3 N1 N 2 2N1
N3L L3 EA
N1 L N 3 L N1 L 2 N1 L EA EA EA EA
EA N1 3L 2 EA N2 3L
N1 E 210 109 L / 2000 6 1 2 35 10 Pa A 3L 3L N 3 2 E 2 210 109 L / 2000 3 70 106 Pa A 3L 3L
截面突变（如阶梯轴）和轴力突变，应将 杆件在截面突变处和轴力突变处分断， 分别求出各段的变形，再相加，得到总 体变形。
N ( x)dx d L EA( x)
L
L
0
N ( x)dx EA( x)
当截面尺寸和轴力沿截面的变化是平 缓的，且外力作用线与轴线重合， 总体变形积分计算。
例2-2 变截面杆是圆锥的一部分，左右两 端的直径分别为d1和d2。如果不计杆件的 自重，求在轴向拉力P作用下杆件的变形。
L
L 0
N ( x)dx EA( x)
d1 d 2 x d d 1 1 d1 L 2 2 2 d1 d 2 x Ax d d1 1 4 4 d1 L L 4 Pdx 4 PL L 2 0 Ed1 d 2 d1 d 2 x 2 Ed1 1 d1 L
八、超静定问题
例2-3 三根同材料和截 面的钢杆一端铰接墙 壁上，另一端铰接在 一平板刚体上，其中 两侧钢杆长度为L， N1=N2，N3=N1+N2 而中间一根钢杆较两 侧的短δ=L/2000，求 变形协调条件得到： 三杆的装配应力。设 L1 L3 E=210Gpa。
L1 L3
在工程上，强度条件可以解决三 类问题：强度校核、设计截面尺 寸、确定许可载荷。
例2-4 已知油压力p=2MPa，内径D=75mm， 活塞杆直径d=18mm，材料的许用应力 [ζ]=50MPa，校核活塞杆的强度。
P
D 2
4
p 8.84kN
N 4P 6 2 34.7 10 Pa A d
塑性材料和脆性材料机械性能的主要区别
1．塑性材料在断裂时有明显的塑性变形； 而脆性材料在断裂时变形很小； 2．塑性材料在拉伸和压缩时的弹性极限、 屈服极限和弹性模量都相同，它的抗拉 和抗压强度相同。而脆性材料的抗压强 度远高于抗拉强度，因此，脆性材料通 常用来制造受压零件。
六、温度对材料力学性能的影响
第三节 拉伸和压缩的强度条件
一、极限应力、许用应力和安全系数 极限应力用σ0表示 0 许用应力以[σ]表示

n
安全系数n ，其值恒大于1

s
ns

b
nb
n s =1.5～2.0， nb=2.5～4.5
二、拉伸和压缩的强度条件 强度条件

N A
1.1.7 平面力系的平衡方程式
平面力系平衡的必要与充分条件： 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。
mA (F ) 0, mB (F ) 0, X 0 mA (F ) 0, mB (F ) 0, mC (F ) 0
X 0, Y 0, mO (F ) 0
低碳钢：60%
反映材料力学性能的主要指标：
强度性能：抵抗破坏的能力，用σs和σb表示 弹性性能：抵抗弹性变形的能力，用E表示 塑性性能：塑性变形的能力，用延伸率δ和 截面收缩率ψ表示
三、铸铁拉伸的应力 -应变图
灰铸铁ζb =205MPa
四、低碳钢压缩的应力-应变图
五、铸铁压缩的应力-应变图
受压
N1 20kN N 2 30 20 10kN N3 40 30 20 50kN
N 1 20 103 1 50MPa 6 A 400 10 N2 10 103 2 25MPa 6 A 400 10 N3 50 103 3 125MPa 6 A 400 10
R 0 , M O 0
例1-4 梁AB，长L=6m，A、B端各作用一力 偶，m1=15kN.m，m2=24kN.m，转向如图所 示，求支座A、B的反力。
m 0
RA L m1 m2 0
m1 m2 24 15 RA 1.5(kN ) L 6
例1-5 直杆AB与弯杆BC铰接，已知AB杆上有一 力偶矩 为M的力偶作用，各杆重力不计。求 支座A、C处的约束反力。
1、概念：附加内力， 简称内力
2、截面法
F
y
0 , N P 0, N P
轴力，拉为正，压为负
截面法步骤
1、在需要求内力处假想用一横截面将 构件截开，分成两部分； 2、以任一部分为研究对象； 3、在截面上加上内力，以代替另一 部分对研究对象的作用 4、写出研究对象的平衡方程式，解 出截面上的内力。
A1 2 A3 2.50104 m2
由h/b=1.4 b1 b2 13.4mm
b3 9.5mm
h1 h2 18.7mm
例1-7 悬臂梁AB作用有均布荷载q，在自由端还 受一集中力和一力偶矩为m的力偶作用，梁长 度为L。求固定端A的约束反力。
XA 0 YA qL P 0 L M A qL P L m 0 A 2 1 2 解得： X A 0 , Y A qL P, M A qL PL m 2
PL L EA
E 弹性模量，低碳钢 E=(2.0-2.1)x105MPa EA 抗拉刚度
横向变形
横向线应变
d d1 d d d
ν 横向变形系数或泊松比

2、屈服阶段、屈服极限σS
滑移线或剪切线 Q235-A σS =235MPa
名义屈服极限σ0.2： 0.2%的塑性应变所对应的应力
主矢：R Fi
主矩：M O mi
1.1.5 物体的受力分析
1.1.5.1 约束和约束反力 自由体和非自由体 约束和约束反力：方向，作用点，大小 主动力（促使运动）和被动力
柔性体约束（柔索约束）
绳索，传动带，链条等，忽略刚性，不计重 力，绝对柔软且不可伸长 特点：只受拉，不受压，不能抗拒弯矩，限 制物体沿柔性体伸长的方向运动。
1 工程力学基础
物体的受力分析及其平衡条件 直杆的拉伸与压缩 梁的弯曲 剪切 圆轴的扭转 压杆稳定
理论力学：研究物体机械运动一般规律 材料力学：研究构件承载能力 构件承受荷载能力衡量： 1．强度：构件抵抗破坏的能力 2．刚度：构件抵抗变形的能力 3．稳定性：构件保持原有平衡形态能力
1.1 物体的受力分析及其平衡条件 1.1.1力的概念 1．刚体与变形体 2．力是物体间相互的机械作用 力的运动效应，由理论力学研究 力的变形效应，由材料力学研究 力的三要素：大小，方向，作用点。
一、拉伸和压缩试验 室温、静载（缓慢加载）、小变形等条件
金属标准试件，圆截面长试件标距L=10d； 短试件 L=5d，d=10mm。
二 碳 拉 验 力 能
、 钢 伸 及 学
低 的 实 其 性
1、弹性变形阶段、胡克定律
OA,比例极限ζP (弹性极限),Q235-A 200MPa
E
P L E A L
1、高温的影响 （1）高温对短期静载试验的影响
（2）高温对长期加载的影响
碳钢超过200度，外力不变，但变形随时间 的延续而不断增长，不可恢复。 蠕变条件：高温和应力 2、低温对材料力学性能的影响 低碳钢的弹性极限和屈服极限有所提高， 但延伸率降低，变脆
七、胡克定律的应用
NL PL L L EA EA
3、强化阶段、强度极限σb
Q235-A
ζb=375- 500MPa
4、颈缩阶段 （局部变形阶段）
L1 L （1）延伸率 P 100% 100% L
δ≥5%为塑性材料；δ<5%为脆性材料。
低碳钢：20-30%，铸铁：1%
（2）截面收缩率ψ
A A1 100% A
光滑接触面（线）约束
忽略摩擦，理想光滑。 特点：只受压，不受拉，沿接触点处 的公法线而指向物体，一般用N表示。 又叫法向反力。
Hale Waihona Puke Baidu
铰链约束
（1）固定铰链支座约束
（2）活动铰链支座约束
固定端约束
1.1.6 受力图
例1-1．某化工厂的卧式容器，容器总重量(包 括物料、保温层等)为Q，全长为L，支座B采 用固定式鞍座，支座C采用活动式鞍座。试 画出容器的受力图。
1.2.5 拉伸和压缩时横截面上的应力
1、应力
P P 平均应力：pC 应力：p lim pC lim A0 A0 A A
正应力ζ ，剪应力 η
N 横截面上的正应力： A
应力集中
这种在截面突 变处应力局 部增大的现 象称为应力 集中
例2-1 求截面1-1，2-2， 3-3上的轴力和应力， 画轴力图，已知 A=400mm2。
强度足够
例2-5 矩形截面的阶梯轴，AD段和DB段的横 截面积为BC段横截面面积的两倍。矩形截面 的高度与宽度之比h/b=1.4，材料的许用应力 [ζ]=160MPa。选择截面尺寸h和b
A1

N1
1.87510 4 m 2
A3

N3
1.25 104 m 2
A1 : A3 2 : 1
例1-2． 焊接在钢柱 上的三角形 钢结构管道 支架，上面 铺设三根管 道，试画出 结构整体及 各构件的受 力图。
例1-3 刚架自身重力不计，AC上作用载荷， 画出AC、BC及刚架整体的受力图
1.1.6 画受力图的步骤：
(1)简化结构，画结构简图； (2)选择研究对象，画出作用在其上的 全部主动力； (3)根据约束性质，画出作用于研究对 象上的约束反力。
合力矩定理
1.1.3.2.力偶 m F d
特征： 1、是一个基本的力学量，不能与一个力平衡， 力偶只能与力偶平衡。 2、力偶对作用面内任一点之矩与矩心的位置无 关，恒等于力偶矩。 3、同平面内两力偶等效是力偶矩相等。
M m
m 0
1.1.3.3 力的平移
1.1.4平面一般力系向一点的简化
轴力图
四、应变的概念
u m x 平均应变 u du lim 线应 变或应变 ： x0 x dx
绝对变形Δu，
γ为剪应变或角应变，弧度
线应变ε由正应力ζ决定 剪应变γ由剪应力η决定。
杆件受拉伸或压缩时的应变
绝对伸长ΔL， 相对伸长或线应变
L L
1.2.6 拉伸和压缩时材料的力学性能
m 0
M RA d 0
M 2 3 RA M d 3a
3 d a cos30 a 2
0
例1-6 刚架所受荷载、尺寸及支承情况见 图，求支座A及B处的反力。
X 0 Y 0 m (F ) 0
A
XA P 0 YA RB Q 0 R B 2b Q b m P a 0
1.1.2 力学公理
1、作用与反作用定律 2、二力平衡定律 二力构件和二力杆 3、加减平衡力系定律
4、力的平行四边形法则 5、刚化原理：平衡的变 形体刚化为刚体，则平衡 状态保持不变。
1.1.3 力矩与力偶 1.3.1.1力矩
mO ( F ) F d
mO ( R) mO (Fi )