固体物理习题解答

解： 最靠近原点的晶面在三 个基矢上的截距分别为
a1 、a2 、a3 h1 h2 h3
晶面指数为
d
c os
a1
h1
d c os
a2
h2
d c os
a3
h3
h1
a1
cos d
h2
a2
cos d
h3
a3
cos d
a1 cos
d
a2 cos
d
a3 cos
d
(
s1
cos
,
s2
cos
2
2
4
ABC面的密勒指数为 (131)
11
（2）AC晶列的指数
C
cr
uuur uuur uuur AC OC OA
B
r
A
b
[cr
1
(ar
r b
)]
(ar
r b
)
1
r a(i
r j
r 2k
)
ar
2
2
所以AC晶列的晶列指数为 [112]
12
第二章 习题
2.1 证明简单六角布喇菲格子的倒格子仍为简单六角布喇菲 格子，并给出其倒格子的晶格常数。
第一章 习题 1.1 何谓布喇菲格子？试画出NaCl晶体的结点所构成的布喇 菲格子。
答：所谓布喇菲格子是指晶体由完全相同的原子组成， 原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都 一样。（Bravais格子） 氯化钠结构：面心立方Na+布氏格子和面心立方Cl-的布 氏格子套构而成的复式格子。
1
1.2 为何金刚石结构是复式格子？ 答：金刚石晶胞 位于立方体体内原子和立方体角或面心 原子价键的取向各不相同，所以是复式 格子
这种复式格子实际上是两个面心立 方格子套构而成的。
2
1.3
对于六角密堆积结构，试证明：
c a
(8)1/2 3
1.633
。
底面原子及与体心原子之间均紧密接触
则红线的长度为 y 3 a 3
y2
c 2
2
a2
c 2
2
2
3 3
a
a2
c a
8 1/ 2 3
1.633
a c/2 a
如果
16
简立方、体心立方、面心立方、六角密积以及金刚石结构 的致密度依次为
3
2
2
3
6
8
6
6
16
8
1.6
基矢为
av1
r ai
av2
r aj
av3
a 2
r (i
r j
r k)
的晶体为何种结构？
方法1：先计算出原胞体积
V
r a1
r • (a2
r a3 )
1 a3 2
由原胞体积可推断为体心结构
方法2：由已知的三个基矢构造三个新的基矢
a
角线长度为 3a 4r r 3 a
4 晶胞体积为 V a3
晶胞内包含2个原子，所以有：
2 4(
x 3
3a )3 4
3
a3
8
6
(3) 面心立方
任意一个原子球有12个最近邻，若原子
以刚性球堆积，则面心原子与面角处4个
a
原子球相切，因此，面对角线长度为
2a 4r 晶胞体积为 V a3
晶胞内包含4个原子，所以有： 4
(ar
r b)
1
r (b
cr )
1
(2ar
ar
Leabharlann Baidu
r b
cr )
2
12a(2ri
r j
r k)
uuur uuur uuur BC OC OB
[cr
1
(ar
r b
)]
1
2r (b
cr )
1
r a(i
r k)
2
2
2
uuur uuur 1 r r r 1 r r a2 r r r
BA BC (2a b c) (a c) (i 3 j k)
Vc
ac 3 2
1
单位体积内原子数（即密度）为 Vc
六角密堆积每个晶胞包含6个原子，一个原子所占的体积为
Vs a
3 2
a
3
c
/
6
3 a2c 4
1
3
a2 8
2
a
4 3
2 a3 2
因为密度不变，所以
11 Vc Vs
即：
ac3 / 2
2 a3 2
1
a ac / 2 6 0.377nm
6 4 (a)3
x 3 2
2
3 3 ca2 2
6
7
(5) 金刚石结构
任意一个原子球有4个最近邻，若原子以 刚性球堆积，则空间对角线四分之一处 的原子与三个面上的面心原子球及顶角 处原子球相切，因此有
3a 8r
晶胞体积为 V a3
晶胞内包含8个原子，所以有：
8 4(
x
3 a3
3a )3 8
3
4
(
2a )3
(4) 六角密积
x 3 4 a3
2
6
任意一个原子球有12个最近邻，若原子
以刚性球堆积，则面心原子与面上其它6
个原子球相切，因此有 a 2r
由第1题知 c 8a 4 2 r
3
3
晶胞体积 V c (6 1 a2 sin 60o ) 3 3 ca2
2
2
晶胞内包含6个原子，所以有：
,
s3
cos
)
其中 s1, s2, s3 是保证 h1, h2 , h3 为互质数的因子,称为互质因
子
10
1.14 如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上的两面心，求：
（1）ABC面的密勒指数； （2）AC晶列的指数。
C
cr
（1）
uuur
uuur
B
r
矢量 BA 与矢量 BC 的叉乘即是
b
A
uAuurBC面uu的ur 法u线uu矢r 量 BA OA OB
c 1.633 as 0.615 nm
4
1.5 如将等体积的刚球分别排成简立方、体心立方、面心立
方、六角密积以及金刚石结构，设x表示刚球体积与总体积 之比，试针对不同的结构求x 。
解：理想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原 子球占据的体积与晶胞体积的比值称为晶体的致密度，即题
中的x
设n为一个晶胞中的刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，
c 1.633 a
，则可认为是由原子密排面所组成，但这些平面
之间是疏松堆积的。
3
1.4 金属Na在273K因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆
积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶
格常数ac =0.423nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，
试求其晶格常数。
解：体心立方每个晶胞包含2个原子，一个原子所占的体积为
V表示晶胞体积，则致密度为
n 4r3
x 3 V
5
(1) 简单立方
a 任意一个原子球有6个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则有 a 2r,V a3
晶胞内包含一个原子，所以有： (2) 体心立方
x
4 (a)3
32
a3
6
任意一个原子球有8个最近邻，若原子
以刚性球堆积，则体心原子与处在8个
顶角位置处的原子球相切，因此，对
ar1'
r a3
av1
a 2
r (i
r j
r k)
ar2'
r a3
av2
a 2
r (i
r j
r k)
ar3'
av1
r a2
av3
a 2
r (i
r j
r k)
由此可推断为体心结构
9
1.7、1.8、1.9、1.10、1.12和1.13见课件
1.11 已知三斜晶系的晶体中，三个基矢为 av1 ，av2 和 av3 , 现测知 该晶体的某一晶面法线与基矢的夹角依次为α、β和γ，试求 该晶面的面指数