初二数学特殊的平行四边形
特殊的平行四边形
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.若梯形的上底边长为 ,中位线长为 ,则此梯形的下底长为
A. B. C. D.
10.如图，在梯形ABCD中，边AB与CD平行，对角线BD与边AD的长相等.若 ＝110°， °，那么 等于
A.80°B.90°C.100°D.110°
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15.以线段 、 为梯形的两底，以 为一腰，则另一腰长d的范围是________；
A.30°B.45°C.60°D.135°
4.等腰梯形ABCD中， ，AC与BD交于O点，图中全等三角形有
A.两对B.四对C一对D.三对
5.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，若∠D=110°，∠ACD=30°，则∠BAC等于
A.80°B.90°C.100°D.110°
6.等腰梯形中，下列判断正确的是
3、判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有一个角是直角的平行四边形是矩形。
４、面积公式：S＝ab（a是一边的长，b是这边上的）
．
2如图，E为矩形ABCD的边CD上的一点，AB＝AE＝4，BC＝2，则∠BEC是（）
（A）15°（B）30°（C）60°（D）75°
3如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为…（）
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（）A．10B．12C．15D．20【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长=3AB=15．2.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20B．24C．28D．40【答案】A【解析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．3.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【答案】B【解析】设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=×8×6=24cm2．4.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（）A．16 B．12 C．24 D．20【答案】B【解析】根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．5.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．6.如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】利用角平分线的性质定理可得AC边上的高．进而求得所求三角形的面积．7.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，再根据等腰三角形的定义即可得出图中的等腰三角形的个数．8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A．BE=AF B．∠DAF=∠BEC C．∠AFB+∠BEC="90°" D．AG⊥BE【答案】C【解析】∵ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC．∵BF=CE，∴△ABF≌△BCE．∴AF=BE（第一个正确）．∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三个错误）．∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∴∠DAF=∠BEC（第二个正确）．∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°．∴∠CBE+∠AFB=90°．∴AG⊥BE（第四个正确）．所以不正确的是C，故选C．9.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形【答案】C【解析】A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误．10.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B【解析】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．11.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形【答案】C【解析】由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠ADF，∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．12.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_______度．【答案】65【解析】因为AB=AD，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又BE=BO，所以∠BEO=∠BOE，根据三角形内角和定理求解．13.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是______．【答案】12【解析】易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．14.如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn的面积为_______．【答案】【解析】后面的每一个平行四边形都与第一个矩形ABCD同底不同高，而第n个平行四边形的高是矩形ABCD的，所以平行四边形ABCn On的面积为．15.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_______．【答案】AC=BD或AB⊥BC【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_______时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）【答案】AC=BC【解析】由已知可得四边形的四个角都为直角，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可知添加条件为AC=BC时，能说明CE=CF，即此四边形是正方形．17.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．计算：∠PBA=∠PCQ=30°．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形．∴∠ABC=∠BCD=90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形．∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．∴∠PBA=∠PCQ=30°．【解析】因为矩形的内角是直角，等边三角形的内角是60∘，所以根据这两个特殊角可以计算角的度数．18.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【解析】若要证明四边形BEDF是菱形，只需要证明四边形BEDF是平行四边形即可，而DE∥BF，只需要证明DE=BF即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DE=BF可通过证明△OED≌△OFB．19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．(1) 证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．【答案】解：(1) ∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAC =∠DAC．∵ AB=AD，∠BAF =∠DAF，AF=AF．∴△ABF≌△ADF．∴∠AFB=∠AFD．又∵∠CFE =∠AFB，∴∠AFD=∠CFE．∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．(2) ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD．∴∠DAC=∠ACD．∴AD=CD，∵AB="AD" ， CB=CD，∴AB=CB=CD=AD．∴四边形ABCD是菱形．(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD．理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF．又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF．∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC =∠DEF=90°．∴∠EFD =∠BCD．【解析】(1)利用已知条件和公共边，证得△ABC≌△ADC，即可证明∠BAC=∠DAC；再证明△ABF≌△ADF，得到∠AFB=∠AFD，再利用对顶角相等，易知结论；(2)有平行线的性质和(1)中结论，易知∠DAC=∠ACD，所以AD=CD，进而证得AB=CB=CD=AD，即可证明结论；(3)当BE⊥CD时，有(2)可知BC="CD" ，∠BCF=∠DCF，利用△BCF≌△DCF证得∠CBF=∠CDF，再利用等角的余角相等即可证明结论∠EFD =∠BCD．20.已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．【答案】解：（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．【解析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．。
初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》简介
初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》简介平行四边形是特殊的四边形。
本章我们在平行线、三角形和四边形的基础上进一步研究平行四边形；并通过平行四边形角、边的特殊化，研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形，认识这些概念之间的联系与区别，明确它们的内涵与外延；探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理，进一步明确命题及其逆命题的关系，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力。
本章教学时间约需14课时，具体分配如下（仅供参考）：18.1 平行四边形6课时18.2 特殊的平行四边形6课时数学活动小结2课时一、教科书内容和本章学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容平行四边形是常见的几何图形，既有丰富的性质，又在现实生活中具有广泛的应用，尤其是矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的性质更加丰富、应用更加广泛。
学生在第一学段已经学习过平行四边形，本学段七年级下册“三角形”一章中研究了多边形及其内角和等内容，包括四边形及其内角和；八年级上册“全等三角形”一章又研究了三角形全等的判定及全等三角形的性质。
这些内容是学习本章的重要基础。
本章引言直接进入特殊的四边形——平行四边形：两组对边分别平行的四边形的学习，在平行四边形的基础上，学习矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形。
“18.1 平行四边形”主要研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理；在平行四边形概念和性质的基础上，介绍两条平行线间距离的概念；作为性质定理和判定定理的一个应用，探究并证明三角形中位线定理。
“18.2 特殊的平行四边形”首先研究特殊的平行四边形：矩形和菱形，它们分别是有一个角是直角，或有一组邻边相等的特殊的平行四边形。
18.2.1和18.2.2分别研究矩形和菱形的概念、性质定理和判定定理，在矩形和菱形的基础上，再研究它们的特殊情况：同时具有两个特殊条件的平行四边形：正方形，它是有一个角是直角的特殊菱形，或者是有一组邻边相等的特殊矩形。
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1. (2011福建莆田)如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．(1)求证：DB＝CF；(2)如果AC＝BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】(1)证明：∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．(2)四边形BDCF是矩形．证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，∴四边形BDCF为平行四边形．∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．∴四边形BDCF是矩形．2.矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为20cm，则AB的长为()A．1cmB．2cmC．cmD．cm【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC．又∵O是BC的中点，∴BO＝CO，∴△ABO≌△DCO，∴AO＝DO．∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∴∠BAO＝∠AOB＝45°，∴AB＝OB．设AB＝xcm，则BC＝2xcm，∴2(x＋2x)＝20，解得，故选D．3. (2014重庆)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】在矩形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，所以∠OBC＝∠OCB＝30°，所以∠AOB＝∠OCB＋∠OBC＝60°．4.(2014四川巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF．(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是________，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)添加条件：BE∥CF(答案不唯一)．证明：如图，∵BE∥CF，∴∠1＝∠2．∵点H是边BC的中点，∴BH＝CH．又∵∠3＝∠4，∴△BEH≌△CFH．(2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形，理由如下：连接BF，CE．∵△BEH≌△CFH．∴EH＝FH，又BH＝CH，∴四边形BFCE是平行四边形．又∵BH＝EH，∴EF＝BC，∴四边形BFCE是矩形．5.已知在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为矩形，添加的条件可以是________．(只填一个即可)【答案】∠A＝90°(答案不唯一)【解析】由可知，该四边形是平行四边形，根据矩形的定义，只要加上条件“一个角是直角”即可，故填∠A＝90°，或∠B＝90°，或∠C＝90°，或∠D＝90°．6.如图所示，在□ABCD中，点E，F分别为BC边上的点，且BE＝CF，AF＝DE求证：□ABCD是矩形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．∵BE＝CF，∴BF＝CE．又∵AF＝DE，∴△ABF≌△DCE．∴∠B＝∠C．又∵∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°．∴□ABCD是矩形．【解析】已知四边形ABCD是平行四边形，欲证它是矩形，只需证一角是直角即可，由题意易知△ABF≌△DCE，而∠B＋∠C＝180°，因此有∠B＝∠C＝90°，问题迎刃而解．7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为EF．若，AD＝3，则△DEF的周长为________．【答案】6【解析】∵沿EF折叠后，点B与点D重合，点A在点A′的位置，∴A′E＝AE，，BF＝DF．∵四边形ABCD为矩形，∴，BC＝AD＝3，∠C＝∠A＝90°．在Rt△DCF中，设CF＝x，则DF＝BF＝3－x，由勾股定理得，解得x＝1，∴DF＝3－x＝3－1＝2．同理，DE＝2．连接BD，交EF于点O，则点B与点D关于EF称，∴，BD⊥EF．在Rt△EDO中，，由DE＝DF，BD⊥EF，得EO＝OF＝1，∴EF＝2，∴△DEF的周长为DE＋DF＋EF＝2＋2＋2＝6．8.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD、BC于点E、F，AB＝2，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】矩形ABCD的面积＝AB·BC＝2×4＝8，图中阴影部分面积的和等于矩形面积的一半，故选C．9.如图，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF＝15°，求∠DOC与∠COF的度数．【答案】75°【解析】解：∵DF平分∠ADC，∴∠FDC＝45°．又∵∠BDF＝15°，∴∠BDC＝45°＋15°＝60°．又∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC＝BO＝OD，∴△DOC是等边三角形．∴∠DOC＝60°．在Rt△DCF中，∠FDC＝45°，∴CF＝CD＝OC，∴∠COF＝∠CFO．又∵∠OCF＝90°－∠OCD＝90°－60°＝30°，∴∠COF＝75°．10.（2013湖南邵阳）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件________，使四边形ABCD为矩形．【答案】∠B＝90°（答案不唯一）【解析】∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．当∠B＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，∴添加的条件为∠B＝90°．11.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．∠AOB＝45°D．∠ABC＝90°【答案】D【解析】因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形，A、B两选项为平行四边形具有的性质，C选项添加后也不是矩形，根据矩形的定义知D正确．故选D．12.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A．对角相等B．对角线互相平分C．一组对边平行另一组对边相等D．对角线相等【答案】D【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．13.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由：(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．(提示：旋转前后，图形中对应的角和对应的边分别相等)【答案】见解析【解析】(1)DE⊥FG，理由如下：由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°．∴∠BDE＋∠BED＝90°．∴∠GFE＋∠BED＝90°．∴∠FHE＝90°．∴DE⊥FG．(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE，∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°．∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE．∴四边形CBEG是正方形．14.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( )A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，所以等腰三角形有△ABC，△ADC，△ABD，△CBD，△OAB，△OBC，△OCD，△OAD．15.下列命题错误的是( )A．有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D ．有一个角是直角的菱形是正方形【答案】A【解析】由定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，A 不正确，故选A ．16. 如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 也是正方形A′B′C′O 的一个顶点，两个正方形的边长都等于1，当正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动时，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？并说明理由．【答案】两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°． ∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF ＝90°，∴∠BOC ＝∠EOF ． ∴∠BOC －∠BOF ＝∠EOF －∠BOF ，即∠COF ＝∠BOE ．∴△BOE ≌△COF(ASA)，∴S △BOE ＝S △COF ．∴重叠部分面积等于S △BOC ．∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1，∴，即两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．【解析】正方形的两条对角线分正方形为四个全等的等腰直角三角形．通过证△BOE ≌△COF ，得．17. 如图，将矩形ABCD 中的△AOB 沿着BC 的方向平移线段AD 长的距离．（1）画出△AOB 平移后的图形．（2）设（1）中O 点平移后的对应点为E ，试判断四边形CODE 的形状，并说明理由．（3）当四边形ABCD 是什么四边形时，（2）中的四边形CODE 是正方形？并说明你的理由．【答案】（1）平移后的图形如图．（2）四边形CODE 是菱形．理由如下：∵△AOB 平移后得到△DEC ， ∴DE ∥AC ，CE ∥BD ． ∵四边形ABCD 是矩形，∴，，且AC＝BD，∵OC＝OD，∴四边形CODE是菱形．（3）当四边形ABCD是正方形时，（2）中的四边形CODE是正方形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∴菱形CODE是正方形．【解析】在图形移动过程中，图形的大小、形状不变，可得四边形CODE是菱形．当AC⊥BD 时，四边形CODE是正方形，此时四边形ABCD是正方形．18.（2013江苏南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD 上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB．（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°．又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．∴四边形MPND是正方形．19.（2013济宁）如图中图（1），在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF＝BE．（2）如图中图（2），在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【答案】（1）证明：如图（1），在正方形ABCD中，AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴BE＝AF．（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图（2），过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则BE＝NQ，AF＝MP．只需证BE＝AF即可．与（1）的情况完全相同．【解析】（1）根据正方形的性质可得AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，再根据同角的余角相等求∠ABE＝∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的性质证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后解法与（1）相同．20.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下面能判断这个四边形是正方形的是（）A．AD⊥CD，AC＝BDB．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【解析】对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形．21.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为________．【答案】【解析】由题意，知△BFC≌△AEB，∴CF＝BE，∴．22. 已知，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A ．∠D ＝90°B ．AB ＝CDC ．AD ＝BCD ．BC ＝CD【答案】D【解析】由∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定为正方形，故选D ．23. (2014福建福州)如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为( )A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】由已知得AB ＝AE ，∠BAE ＝150°，∴∠ABF ＝15°，∴∠BFC ＝∠ABF ＋∠BAF ＝15°＋45°＝60°．24. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是________．【答案】1【解析】由题意可知△DEO ≌△BFO ，∴S △DEO ＝S △BFO ，∴．25. 如图所示，在菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB ＝4cm ．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是________．【答案】cm2；cm【解析】在菱形ABCD中，由AE垂直平分BC可知△ABC是正三角形，故BC＝AC＝4cm，由勾股定理可知cm，∴菱形ABCD的面积是(cm2)，同时菱形的面积还等于两条对角线乘积的一半，∴对角线BD的长为(cm)．26.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，并且BD＝4，AC＝6，．(1)AC与BD有什么位置关系？为什么？(2)四边形ABCD是菱形吗？为什么？【答案】见解析【解析】(1)AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，．在△OBC中，OC2＋OB2＝9＋4＝13＝BC2，∴△OBC为直角三角形，即OC⊥OB，∴AC⊥BD．(2)四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形．27.(2012山西)如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )A．cmB．cmC．cmD．cm【答案】D【解析】由菱形的性质知菱形边长为(cm)，所以，得cm，故选D．28. (2013山东潍坊)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)【答案】本题答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等【解析】根据对角线互相垂直平分可添加OA＝OC；或添加AD＝BC或AB＝DC或AD∥BC或AB∥DC或AB＝BC或AD＝DC，由三角形全等得到AO＝CO，再由对角线互相垂直平分得到四边形ABCD是菱形．29.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，求证：四边形AFCE是菱形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠CAE＝∠ACF又∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF．∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EF⊥AC．∴四边形AFCE是菱形．【解析】要证四边形AFCE是菱形，首先要证四边形AFCE是平行四边形．30.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝10．(1)求∠ABC的度数；(2)求对角线AC的长度；(3)求菱形ABCD的面积．【答案】(1)连接BD，交AC于点O，如图．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∵E是AB的中点，且DE⊥AB，∴AD＝BD．∴△ABD是等边三角形．∴∠ABD＝60°．∴∠ABC＝60°×2＝120°．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分．∴．∴在Rt△AOB中，，∴．(3)．【解析】(1)连接BD，与AC相交于点O，可证△ABD是等边三角形，所以∠ABD＝60°，可得∠ABC的度数；(2)在Rt△OAB中，由勾股定理可求出OA的长，则AC＝2OA；(3)根据菱形的面积公式可求其面积．。
初中数学知识点总结：特殊的平行四边形
初中数学知识点总结：特殊的平行四边形知识点总结一、特殊的平行四边形1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形。
（2）性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。
（3）判定定理：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
③有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。
2.菱形：（1）定义：邻边相等的平行四边形。
（2）性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（3）判定定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③四条边相等的四边形是菱形。
（4）面积：3.正方形：（1）定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
（2）性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分。
正方形既是矩形，又是菱形。
（3）正方形判定定理：①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；②一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④邻边相等的矩形是正方形⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形。
二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：1.矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，其性质都是在平行四边形的基础上扩充来的。
矩形是由平行四边形增加“一个角为90°”的条件得到的，它在角和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；菱形是由平行四边形增加“一组邻边相等”的条件得到的，它在边和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；正方形是由平行四边形增加“一组邻边相等”和“一个角为90°”两个条件得到的，它在边、角和对角线方面都具有比平行四边形更多的特性。
2.矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类：一类是以四边形为出发点进行判定，另一类是以平行四边形为出发点进行判定。
而正方形除了上述两个出发点外，还可以从矩形和菱形出发进行判定。
八年级数学特殊的平行四边形——正方形人教实验版知识精讲
初二数学特殊的平行四边形——正方形人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：特殊的平行四边形——正方形1. 掌握正方形的定义，弄清楚正方形和平行四边形、矩形、菱形的关系.2. 掌握正方形的性质和判定方法.二、知识要点： 1. 正方形（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. （2）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质. ①正方形各边的性质：四条边相等，对边平行. ②正方形各角的性质：四个角都是直角.③正方形对角线的性质：正方形的对角线互相平分、互相垂直、相等，且每一条对角线平分一组对角.④正方形的对称性：正方形是轴对称图形，对边中点所在直线和对角线所在直线都是正方形的对称轴.B（3）正方形的识别：①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； ③一个内角是直角的菱形是正方形； ④对角线相等的菱形是正方形；⑤有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形； ⑥对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形. 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系平行四边形三、重点难点：本讲重点是正方形的性质，难点是平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的共性，特性及从属关系.【典型例题】例1. 如图所示，已知正方形ABCD ，点E 是AB 延长线上一点，连结EC ，作AG ⊥EC 于G ，AG 交BC 于F ，求证：AF ＝CE.ABC DEFG分析：AF 、CE 分别在R t △ABF 与R t △CBE 中，可考虑证明它们全等，而四边形ABCD 为正方形，有相等的直角和相等的边，为证全等提供了条件.证明：因为四边形ABCD 是正方形， 所以AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CBE ＝90°. 因为AG ⊥CE ，所以∠CGF ＝90°，所以∠BCE ＋∠CFG ＝90°，∠BCE ＋∠E ＝90°， 所以∠CFG ＝∠E ，又因为∠CFG ＝∠AFB ， 所以∠E ＝∠AFB.所以△ABF ≌△CBE （SAS ）. 所以AF ＝CE.例2. 把一X 矩形纸片像图中那样折一下，再沿CD 剪下，则纸片ABCD 是什么样的四边形？说明理由.分析：根据矩形的性质和图形折叠前后的变化规律判断四边形ABCD 的形状. 解：正方形. 理由如下：因为这是一X 矩形纸片，所以∠BAD ＝∠B ＝90°. △ADC 是△ABC 折叠得到的，即△ABC ≌△ADC. 所以∠ADC ＝∠B ＝90°， 所以四边形ABCD 是矩形. 又AB ＝AD ，所以纸片ABCD 是正方形.例3. 如图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G. 试说明AE ＝FG .A BC DEFG分析：由EF ⊥BC ，EG ⊥CD 可得矩形EFCG ，则FG ＝EC ，再证△ABE ≌△CBE ，得AE ＝EC ，即可得到AE ＝FG .解：连结EC ，因为四边形ABCD 是正方形， EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，所以四边形EFCG 为矩形. 所以FG ＝CE.因为BD 是正方形ABCD 的对角线. 所以∠ABE ＝∠CBE. 又BE ＝BE ，AB ＝CB ， 所以△ABE ≌△CBE. 所以AE ＝EC ， 所以AE ＝FG .评析：用CE 沟通AE 和FG 之间的联系.例4. （1）下列命题中正确的是（ ）A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形（2）如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是__________（只填一个条件即可）.A DC BO第(2)题 （3）如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是__________. （写出一种情况即可）AB CD分析：（1）这个问题可以这样考虑：对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 故选A. （2）这个问题实际上是问什么样的菱形是正方形？有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，考虑角可补充的条件是∠BAD ＝90°或AD ⊥AB ；考虑对角线补充：AC ＝BD. （3）本题应考虑和角相关的矩形的识别方法，有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形. 可添加的条件是∠A ＝90°或∠B ＝90°，AD ＝BC ，AB ∥CD 等.解：（1）A （2）∠BAD ＝90°（或AD ⊥AB ，AC ＝BD 等）（3）∠A ＝90°或AD ＝BC 或AB ∥CD例5. 如图所示，正方形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，菱形AEFC ，EH ⊥AC ，垂足为H ，求证：EH ＝12FC.ABC E FHDO分析：要证EH ＝12FC ，EH 在矩形OBEH 中，得EH ＝OB ＝12BD ，而FC 是菱形AEFC的边，CF ＝AC ＝BD ，所以EH ＝12FC ，问题的关键是要证四边形OBEH 是矩形.证明：由正方形ABCD 得AC ＝BD ，AC ⊥BD ，∠BOC ＝90°. 又因为EH ⊥AC ，所以EH ∥OB.又因为四边形AEFC 是菱形，得AC ＝CF ，AC ∥EF ，所以OH ∥BE. 因此四边形OBEH 是矩形，因此EH ＝OB ＝12BD ＝12AC ＝12FC.评析：综合考查了正方形、菱形的性质和矩形的判定方法.【方法总结】正方形是特殊的平行四边形，是特殊的矩形，是特殊的菱形. 它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 分清楚这几种图形的从属关系，从关系图中确定它们性质的相同点和不同点.平行四边形矩形菱形正方形【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 下列选项中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A. 四边都相等B. 四角都相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分 2. 正方形的对角线长为a ，则它的对角线的交点到各边的距离是（ ）A. 22aB. 24aC. a 2D. 22a3. 正方形是轴对称图形，那么它的对称轴的条数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 54. 在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ） A. AC ＝BD ，AB ∥CD B. AD ∥BC ，∠A ＝∠CC. AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD. AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形6. 已知四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）A. ∠D ＝90°B. AB ＝CDC. AD ＝BCD. BC ＝CD*7. 如图1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A. 34cm 2B. 36cm 2C. 38cm 2D. 40cm 2图1二. 填空题1. 具有平行四边形、矩形和菱形性质的四边形是__________.2. 已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝12cm ，•则BO ＝__________cm ，•∠OAB ＝__________度.3. 任意一个平行四边形，当它的一个锐角增大到_______度时，就变成了矩形；•当它的一组邻边变到_______时，就变成了菱形；当它的两条对角线变到______时，就变成了正方形.4. 矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们具有很多共性，如：__________（填一条即可）.5. 正方形的面积为49，则它的边长为__________，对角线长为__________.*6. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BD 上一点，过E 作EF ⊥BC 于F ，EG ⊥CD 于G ，若正方形ABCD 的周长是a ，则四边形EFCG 的周长为__________.ABCDEF G**7. 如图所示，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE ＝1，F 为AB 上的一点，AF ＝2，P 为AC 上的一动点，则当PF ＋PE 为最小值时，PF ＋PE ＝__________.ABC DPEF三. 解答题 1. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ＝OF ，求证：•∠OCF ＝∠OBE.ABCDE FO2. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F. 求证：四边形CFDE 是正方形.ABC DEF*3. 如图所示，点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，DF 、CE 交于点M ，CE 的延长线交DA 的延长线于G ，试探索：（1）DF 与CE 的位置关系； （2）MA 与DG 的大小关系.ABCDE F MG**4. 如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F.（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明； （2）求证：AE ＝FC+EF.ABCDE FG【试题答案】一. 选择题1. A2. B3. C4. C5. D6. D7. B二. 填空题1. 正方形2. 6，453. 90，相等，垂直且相等4. 对边平行、对角线互相平分、对角相等等 5. 7，7 2 6. 12a 7. 17三. 解答题1. 提示：证明△OCF ≌△OBE 可得2. 先证四边形DECF 是矩形，又∵DE ＝DF ，∴四边形CFDE 是正方形3. （1）DF ⊥CE 提示：先证△EBC ≌△FCD ，得∠ECB ＝∠FDC ，根据互余的关系，•求出∠CMF ＝90°即可. （2）由△GAE ≌△CBE 得GA ＝CB ，再根据直角三角形斜边上中线的性质，得MA ＝12DG .4. （1）ΔAED ≌ΔDFC. 因为四边形ABCD 是正方形，所以 AD ＝DC ，∠ADC ＝90°. 又因为 AE ⊥DG ，CF ∥AE ，所以 ∠AED ＝∠DFC ＝90°，所以 ∠EAD ＋∠ADE ＝∠FDC ＋∠ADE ＝90°，所以 ∠EAD ＝∠FDC. 所以 ΔAED ≌ΔDFC （AAS ）.（2）因为 ΔAED ≌ΔDFC ，所以 AE ＝DF ，ED ＝FC. 因为 DF ＝DE ＋EF ，所以 AE ＝FC ＋EF.。
八年级数学特殊的平行四边形1
课题特殊的平行四边形课型新授课时4-2教学目标1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力.2.能够用综合法证明菱形的性质定理和判定定理以及其它相关结论3.进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用4.体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法.重点用综合法证明菱形的性质定理和判定定理以及其它相关结论难点用综合法证明菱形的性质定理和判定定理以及其它相关结论策略方法讨论、探究式教学媒体投影仪板书设计特殊的平行四边形菱形的性质：菱形的判定教学环节教学内容教师活动学生活动一、引入新课二、定理证明菱形的性质：(1)菱形的四条边都相等(2)菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角1.证明：菱形的四条边都相等2. 证明：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角组织课堂教学板书证明过程已知□ABCD，AB=BC求证：AB=BC=CD=AD证明：□ABCD⇒AB= CDBC= AD ⇒AB=BCAB=BC=CD=AD已知菱形ABCD求证AC⊥BD,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8回忆并口答学生思考并分小组讨论，寻找定理证明的解决方法ADBC教学环节教学内容教师活动学生活动三、例题分析四、想一想例2如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积分析：（1）菱形对角线互相垂直，可在Rt△ABE中用勾股定理求解（2）菱形的面积公式：S菱=21abS菱=ah,此题用前一个公式怎样判别一个四边形是菱形？并证明菱形的判定定理.1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明：菱形ABCD⇒BO=DOAB=ADAO=AO△ABO≌△AOD⇒∠9=∠10∠9+∠10=1800∠9=900⇒AC⊥BD△ABO≌△AOD⇒∠1=∠2,同理∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴∠AED=900(菱形的对角线互相垂直)DE=21BD=21×10=5(cm)(菱形的对角线互相平分)∴AE=22DEAD-=22513-=12(cm)∴AC=2AE=2×12=24(cm)(2) 菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积=2×△ABD的面积=2×21×BD×AE=2×21×10×12=120(cm2)板书证明过程1已知□ABCD AC⊥BD求证：菱形ABCD证明：□ABCD⇒BO=DOAC⊥BD学生思考并分小组讨论，寻找定理证明的解决方法ABCDO12345678910⇒⇒ABCDEABCDO教学环节教学内容教师活动学生活动五、例题五、练习2.四条边都相等的四边形是菱形.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，那么四边形AEFG为菱形．1.证明：菱形的面积等于其对角线乘积的一半.2. 已知菱形两邻角的比是1∶2，周长是16cm，则菱形的面积是83.⇒AB=AD□ABCD菱形ABCD2已知AB=BC=CD=AD求证：菱形ABCD证明：AB=CDBC=AD⇒□ABCDAB=BC⇒菱形ABCD证明：∠1=∠2,EF⊥BCEA⊥AC⇒EA=EF∠EFC=EAC∠1=∠2EC=EC⇒△EFC≌△EAC⇒∠3=∠4EF⊥BCEA⊥AC ⇒EF∥AD⇒∠5=∠4⇒∠5=∠3⇒AE=AGEA=EF⇒EF=AGEF∥AD⇒□ABCD学生思考并分小组讨论，寻找定理证明的解决方法做练习⇒ADBC12345教学 环节 教学内容 教师活动学生活动六、提高题 七、课堂小结 3.已知菱形的两条对角线长分别为a.b ．它的周长和面积 分别是222a b ， 21ab.4从菱形的一个钝角顶点向它的两条对边作垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于60°. 5. 如图，BD 是∠ABC 的平分线，ED ∥BC ，DF ∥AB ，证明：四边形BFDE 是菱形. 1. 两张等宽的长方形纸条交叉叠放，证明]：重叠部分一定是一个菱形2. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线交AB 于E ，交AC 于F ，证明：四边形AEDF 是菱形．1. 菱形的性质定理2. 菱形的判定定理布 置 作 业课 后 记ACB DE F。
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】C【解析】首先根据菱形的菱形的每一条对角线平分一组对角可得∠BAD的度数，再根据菱形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，再代入所求的∠BAD的度数即可算出答案．2.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20B．24C．28D．40【答案】A【解析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm【答案】C【解析】由折叠可知，∠BAE=∠B1AE，∴∠BAE=∠B1AE=45°，又∵∠B=45°，∴∠AEB=45°，∴BE=AB=4，∴CE=BC－BE=8－6=2．故选C．4.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．5.如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】利用角平分线的性质定理可得AC边上的高．进而求得所求三角形的面积．6.如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为（）A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【解析】∵ABCD为矩形，∴AO=OC．∵EF⊥AC，∴AE=EC．∴△CDE的周长=CD+DE+EC=CD+DE+AE=CD+AD=10（cm）．7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=5，则四边形CODE的周长是（）A．5 B．7 C．9 D．10【答案】D【解析】根据矩形性质求出OC=OD，根据菱形判定得出四边形DECO是菱形，求出OD=OC=EC=DE=，即可求出答案．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB∥CD，且AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF【答案】D【解析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．10.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4cm，则点P到BC的距离是______cm．【答案】4【解析】根据菱形的性质，BD是∠ABC的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离．11.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是______．【答案】12【解析】易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是______．【答案】18【解析】求出∠CDB=∠DAE，∠C=∠ADE=90°，AD=DC，证△ADE≌△DCB，推出DE=BC，得出平行四边形DEBC，推出BE=DC，根据勾股定理求出DC，即可得出答案．13.如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是_______cm．【答案】48【解析】∵OA=OC，EF⊥AC，∴AE=CE，∵矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD），∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．14.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_______．【答案】AC=BD或AB⊥BC【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【解析】若要证明四边形BEDF是菱形，只需要证明四边形BEDF是平行四边形即可，而DE∥BF，只需要证明DE=BF即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DE=BF可通过证明△OED≌△OFB．16.如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．（1）说明 EO=FO．（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？【答案】解：（1）∵MN∥BC，∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∵CE，CF分别为∠BOC，∥GOC的角平分线，∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF，（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形，（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，理由：∵O点为AC的中点时，四边形AECF是矩形，∴AC=EF，∵AC⊥BC，MN∥BC，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．【解析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可确定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，根据矩形的判定定理（对角线相等且互相平分的四边形为矩形），结合（1）所推出的结论，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可确定四边形AECF为矩形；（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，根据（2）所推出的结论，由AC⊥BC，MN∥BC，确定AC⊥EF，即可推出结论．17.已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．【答案】解：（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．【解析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．18.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴ND∥AM．∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME．又∵点E是AD边的中点，∴DE=AE．∴ΔNDE≌ΔMAE，∴ND=MA，∴四边形AMND是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（2）当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形．【解析】（1）由四边形ABCD为菱形，可以说明ΔNDE≌ΔMAE，得到ND=MA和ND∥AM，推出四边形AMND是平行四边形．（2）若四边形AMDN为矩形，则∠AMD为直角，此时AM=1．19.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC．E，F分别为AB，CD的中点，∴BE=AB，DF=CD，∴BE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形在△ABD中，E是AB的中点，∴AE=BE=AB=AD，而∠DAB=60°，∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，故DE=BE．∴平行四边形DEBF是菱形．（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：∵AD∥BC且AG∥DB，∴四边形AGBD是平行四边形．由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，∴∠ADE=∠DEA=60°，∠EDB=∠DBE=30°．故∠ADB=90°．∴平行四边形AGBD是矩形．【解析】（1）利用平行四边形的性质证得△AED是等边三角形，从而证得DE=BE，问题得证；（2）利用平行四边形的性质证得∠ADB=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形．20.已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．【答案】（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD．又∵D是AC的中点，∴AD=CD．∵∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE．∴AF=CE．（2）解：若AC=EF，则四边形AFCE是矩形．证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形．【解析】（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD=CD，∠ADF=∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF=CE．（2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形．。
特殊的平行四边形是哪两个
特殊的平行四边形
特殊的平行四边形有菱形和矩形。
菱形：特殊的平行四边形之一。
有一组邻边相等的平行四边形。
菱形的性质：
（1）在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角；
（4）菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线；（5）菱形是中心对称图形；菱形的中点四边形总是矩形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的判定定理：
（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。
（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。
（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形的性质：
（1）具有平行四边形的一切性质。
（2）矩形的四个角都是直角。
（3）矩形的对角线相等。
（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。
矩形的面积：矩形的面积=长×宽特殊的平行四边形。
初二数学特殊平行四边形
初二数学特殊平行四边形一、 知识点回顾：1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形。
2．菱形的性质：①对角线互相垂直平分； ②四条边都相等；③对角相等,邻角互补； ④每条对角线平分一组对角． A B C D A B B C C D D⇒===是菱形 12AC BDABCD ⊥⎧⇒⎨∠=∠⎩是菱形3．菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形。
A B C D A B C DA CB D ⎫⇒⎬⊥⎭平行四边形是菱形（3）四条边都相等的四边形。
A B B CC D D AA B C D ===⇒是菱形。
4．菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半。
5、补充性质：①菱形周长为边长的四倍②顺次连接菱形各边中点为矩形③正方形是特殊的菱形定 义矩 形正方形有一个内角是直角的平行四边形 一组邻边相等的矩形 性质边对边平行，对边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 四个角都是直角对角线 互相平分，相等互相平分，互相垂直，相等 判 定有一个角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 有三个角是直角的四边形有一个是直角的菱形一组邻边相等的矩形ABCD12A BCD二、典型例题分析：例1 、如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，DH 为AB 边上的高，（1）若周长为20 cm ，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.（2）若AC=16㎝，BD=12㎝，求菱形的高。
例2、如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=8，求：（1）∠ABC 的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积。
例3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE•垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF=CE ．求证：四边形ACEF 为菱形．ADCBEA DCBH例4、如图在□ABCD 中，AC 、BD 交于O ，EF 和GH 都过点O ，且EF ⊥GH 。
新人教版初中数学——特殊的平行四边形-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——特殊的平行四边形知识点归纳及中考题型解析一、矩形的性质与判定1．矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）2．矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形．二、菱形的性质与判定1．菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．2．菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形．三、正方形的性质与判定1．正方形的性质：（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．2．正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；（4）对角线相等且互相垂直、平分．四、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．五、中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一矩形的性质与判定1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．典例1 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于A．105°B．110°C．115°D．120°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=O B．∴∠BAO=∠ABO=55°．∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故选B．典例2 如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是–1，则对角线AC、BD的交点表示的数A．5.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】A【解析】连接BD交AC于E，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴190,2B AE AC ∠==，∴13AC=，∴AE=6.5，∵点A表示的数是−1，∴OA=1，∴OE=AE−OA=5.5，∴点E表示的数是5.5，即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5；故选A.1．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是A ．AB =BC B ．AC 垂直BD C ．∠A =∠C D ．AC =BD2．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，并且6015DAC ADB ∠=︒∠=︒，，点E 是AD 边上一动点，延长EO 交于BC 点F ，当点E 从点D 向点A 移动过程中（点E 与点D ，A 不重合），则四边形AFCE 的变化是A ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形考向二 菱形的性质与判定1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等； 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 2．菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．典例3 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A ．两组对边分别平行 B ．两组对边分别相等 C ．一组邻边相等D ．对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）【答案】BO=DO（答案不唯一）【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD 互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO（答案不唯一）．3．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．考向三正方形的性质与判定1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．典例5面积为9㎝2的正方形以对角线为边长的正方形面积为A．18㎝2B．20㎝2C．24㎝2D．28㎝2【答案】A【解析】∵正方形的面积为9cm2，∴边长为3cm，∴根据勾股定理得对角线长cm，∴以=2=18cm2.故选A．典例6如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，过点C作CF⊥AE于F，DE交CF于G，则四边形ADGF的周长是A．8 B．C．D．【答案】D【解析】如图，连接AG，∵∠B=90°，AB=BC=4，∴∠CAB=∠ACB=45°，AC，∵把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，∴AD=AB=4，∠EAD=∠CAB=45°，∴∠FAB=90°，CD=AC﹣AD﹣4，∵∠B=90°=∠FAB，CF⊥AE，∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=4，∴四边形ABCF是正方形，∴AF=CF=AB=4=AD，∠AFC=∠FCB=90°，∴∠GCD =45°，且∠GDC =90°，∴∠GCD =∠CGD =45°，∴CD =GD ﹣4，∵AF =AD ，AG =AG ，∴Rt △AGF ≌Rt △AGD （HL ），∴FG =GD ﹣4，∴四边形ADGF 的周长=AF +AD +FG +GD ﹣﹣，故选D ．5．如图，在正方形ABCD 内一点E 连接BE 、CE ，过C 作CF ⊥CE 与BE 延长线交于点F ，连接DF 、DE ．CE =CF =1，DE ，下列结论中：①△CBE ≌△CDF ；②BF ⊥DF ；③点D 到CF 的距离为2；④S 四边形DECF +1．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在正方形ABCD 中，,2BE FC CF FD ==，AE 、BF 交于点G ，下列结论中错误的是A ．AE BF ⊥B ．AE BF =C ．43BG GE =D ．ABGCEGF S S=四边形考向四 中点四边形1．中点四边形一定是平行四边形；2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．典例7如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH 为平行四边形，故C正确；D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH 为菱形，故D错误，故选D．7．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形8．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是A．S1=3S2B．2S1=3S2C．S1=2S2D．3S1=4S21．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=A．5 B．4 C．3.5 D．32．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有A．2条B．4条C．5条D．6条3．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF 的长为A．158B．154C．152D．154．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm5．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是A．108°B．72°C．90°D．100°6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF 交于点G．下列结论错误的是A．AE=BF B．∠DAE=∠BFCC．∠AEB+∠BFC=90°D．AE⊥BF7．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=65°，则∠AEB=____________.8．如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP=_______．9．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长．10．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由．1．下列命题正确的是A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形2．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于AB．C．D．203．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是A．0 B．4 C．6 D．84．如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为A．135B．125C．195D．1655．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5DE ，则GE的长为__________．6．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A 点，D点的对称点为D点，若FPG，A EP90△的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__________.△的面积为4，D PH7．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．8．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE=AF；（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．9．已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．10．如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为A D．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．11．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．12．如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．13．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG=DE；（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．1．【答案】D【解析】结合选项可知，添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D．2．【答案】A【解析】点E从D点向A点移动过程中，当∠EOD<15°时，四边形AFCE为平行四边形，当∠EOD=15°时，AC⊥EF，四边形AFCE为菱形，当15°<∠EOD <75°时，四边形AFCE 为平行四边形， 当∠EOD =75°时，∠AEF =90°，四边形AFCE 为矩形， 当75°<∠EOD <105°时，四边形AFCE 为平行四边形，故选A ． 3．【答案】B【解析】如图，由题意知AB =BC =AC ，∵AB =BC =AC ，∴△ABC 为等边三角形，即60B ∠=︒，根据平行四边形的性质，18060120.BAD ∠=-=︒︒︒故选B ．4．【解析】∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形， ∴∠FAD =∠EDA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAD =∠FAD ，∴∠EAD =∠EDA ， ∴AE =ED ，∴四边形AEDF 是菱形． 5．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =90°， ∵CF ⊥CE ，∴∠ECF =∠BCD =90°，∴∠BCE =∠DCF ，在△BCE 与△DCF 中，BC CDBCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （SAS ），故①正确；∵△BCE ≌△DCF ，∴∠CBE =∠CDF ，∴∠DFB =∠BCD =90°，∴BF ⊥ED ， 故②正确，过点D 作DM ⊥CF ，交CF 的延长线于点M ，∵∠ECF =90°，FC =EC =1，∴∠CFE =45°，∵∠DFM +∠CFB =90°，∴∠DFM =∠FDM =45°，∴FM =DM ，∴由勾股定理可求得：EF ，∵DE ，∴由勾股定理可得：DF =2，∵EF 2+BE 2=2BE 2=BF 2，∴DM =FM ∵△BCE ≌△DCF ，∴S △BCE =S △DCF ，∴S 四边形DECF =S △DCF +S △DCE =S △ECF +S △DEF =S △AFP +S △PFB =12B ． 6．【答案】C【解析】在正方形ABCD 中，AB =BC ，∠ABE =∠C =90，又∵BE =CF ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴AE =BF ，∠BAE =∠CBF ，∴∠FBC +∠BEG =∠BAE +∠BEG =90°，∴∠BGE =90°，∴AE ⊥BF ．故A 、B 正确； ∵CF =2FD ，∴CF :CD =2:3，∵BE =CF ，AB =CD ，32AB BE ∴=， ∵∠EBG +∠ABG =∠ABG +∠BAG =90°，∴∠EBG =∠BAG ， ∵∠EGB =∠ABE =90°，∴△BGE ∽△ABE ，32BG AB GE BE ∴==，故C 不正确, ∵△ABE ≌△BCF ，∴S △ABE =S △BFC ，∴S △ABE –S △BEG =S △BFC –S △BEG ，∴S 四边形CEGF =S △ABG ， 故D 正确．故选C ．7．【答案】C【解析】∵顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形， 当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选C ． 8．【答案】C【解析】如图，设AC 与EH 、FG 分别交于点N 、P ，BD 与EF 、HG 分别交于点K 、Q ， ∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ， 同理可证EH ∥BD ，∴△EBK ∽△ABM ，△AEN ∽△EBK ，1．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ，OA =OC ，∠BAD =90°， ∵∠ADB =30°，∴AC =BD =2AB =8，∴OC =AC =4．故选B ． 2．【答案】D【解析】∵AC =16，四边形ABCD 是矩形， ∴DC =AB ，BO =DO =12BD ，AO =OC =12AC =8，BD =AC ， ∴BO =OD =AO =OC =8，∵∠AOD =120°，∴∠AOB =60°，∴△ABO 是等边三角形，∴AB =AO =8，∴DC =8，即图中长度为8的线段有AO 、CO 、BO 、DO 、AB 、DC 共6条，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接AF ．根据折叠的性质，得EF 垂直平分AC ，则设，则，在中，根据勾股定理，得，解得． 在中，根据勾股定理，得AC =5，则AO =2.5．12．AF CF =AF x =4BF x =-Rt △ABF 229(4)x x =+-258x =Rt △ABC在中，根据勾股定理，得 根据全等三角形的性质，可以证明则故选B ．4．【答案】B【解析】∵菱形ABCD 的对角线∴AC ⊥BD ，OA =AC =4 cm ，OB =BD =3 cm ，根据勾股定理，（cm ）．设菱形的高为h ，则菱形的面积，即，解得，即菱形的高为cm ．故选B ． 5．【答案】B【解析】如图，连接AP ，∵在菱形ABCD 中，∠ADC =72°，BD 为菱形ABCD 的对角线，∴∠ADP =∠CDP =12∠ADC =36°. ∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，∴PA =P D. ∴∠DAP =∠ADP =36°.∴∠APB =∠DAP +∠ADP =72°. 又∵菱形ABCD 是关于对角线BD 对称的，∴∠CPB =∠APB =72°.故选B.6．【答案】CRt △AOF 158，OF =，OE OF =154．EF=8cm 6cm AC BD ==，，12125AB ===12AB h AC BD =⋅=⋅15862h =⨯⨯245h =245【解析】∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵BE=CF，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，∠DAE=∠BFC，∵∠FBC+∠BFC=90°，∠AEB=∠BFC，∴∠FBC+AEB=90°，∴AE ⊥BF，所以A、B、D三个选项正确，∠AEB=∠BFC，故C选项错误，故选C.7．【答案】50°【解析】如图所示，由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°，∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50°．故答案为：50°．8．【答案】1【解析】∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，∵BP=2，∴PP，∵PC=3，∴CP，∴AP=CP′=1，故答案为1．9．【解析】（1）∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10.10．【解析】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△ABE，∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BEBD=BE﹣DE1．11．【解析】（1）OE=OF，理由如下：因为CE平分∠ACB，所以∠1=∠2，又因为MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠3=∠2，所以EO=CO，同理，FO=CO，所以OE=OF．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：因为OE=OF，点O是AC的中点，所以四边形AECF是平行四边形，又因为CF平分∠BCA的外角，所以∠4=∠5，又因为∠1=∠2，所以∠1=∠2，∠2+∠4=11802⨯︒=90°，即∠ECF=90°，所以平行四边形AECF是矩形．（3）当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由如下：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，又因为∠ACB=90°，CE，CN分别是∠ACB与∠ACB的外角的平分线，所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，所以AC⊥MN，所以四边形AECF是正方形．1．【答案】A【解析】A．有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B．四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误；对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；故选A．【名师点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.2．【答案】C【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），∴AO=2，OB=1，AC⊥BD，∴由勾股定理知：AB==，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=DC=BC=AD∴菱形ABCD的周长为：C．【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．3．【答案】D【解析】如图，过E点作关于AB的对称点E′，则当E′，P，F三点共线时PE+PF取最小值，∵∠EAP=45°，∴∠EAE′=90°，又∵AE=EF=AE′=4，∴PE+PF的最小值为E′F=，∵满足PE+PF∴在边AB上存在两个P点使PE+PF=9，同理在其余各边上也都存在两个P点满足条件，∴满足PE+PF=9的点P的个数是8，故选D．【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.4．【答案】A【解析】正方形ABCD 中，∵BC =4， ∴BC =CD =AD =4，∠BCE =∠CDF =90°， ∵AF =DE =1，∴DF =CE =3，∴BE =CF =5，在△BCE 和△CDF 中，BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），∴∠CBE =∠DCF ， ∵∠CBE +∠CEB =∠ECG +∠CEB =90°=∠CGE ， cos ∠CBE =cos ∠ECG =BC CGBE CE=， ∴453CG =，CG =125，∴GF =CF ﹣CG =5﹣125=135， 故选A ．【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE ≌△CDF 是解本题的关键． 5．【答案】4913【解析】如图，令AE 与BF 的交点为M . 在正方形ABCD 中，∠BAD =∠D =90︒，∴∠BAM +∠FAM =90︒， 在Rt ADE △中，13==A E ，∵由折叠的性质可得ABF GBF △≌△， ∴AB =BG ，∠FBA =∠FBG ， ∴BF 垂直平分AG ， ∴AM =MG ，∠AMB =90︒， ∴∠BAM +∠ABM =90︒， ∴∠ABM =∠FAM ，∴ABM EAD △∽△，∴AM AB DE AE = ，∴12513AM =，∴AM =6013，∴AG =12013，∴GE =13–120491313=. 【名师点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.6．【答案】【解析】∵A 'E ∥PF ，∴∠A 'EP =∠D 'PH ，又∵∠A =∠A '=90°，∠D =∠D '=90°，∴∠A '=∠D '，∴△A 'EP ～△D 'PH ， 又∵AB =CD ，AB =A 'P ，CD =D 'P ，∴A 'P = D 'P ， 设A 'P =D 'P =x ，∵S △A 'EP ：S △D 'PH =4：1，∴A 'E =2D 'P =2x ，∴S △A 'EP =2112422A E A P x x x ''⨯⨯=⨯⨯==， ∵0x >，∴2x =，∴A 'P =D 'P =2，∴A 'E =2D 'P =4，∴EP ==∴1=2PH EP =112DH D H A P ''===，∴415AD AE EP PH DH =+++=+=+ ∴2AB A P '==，∴25)10ABCD S AB AD =⨯=⨯=矩形，【名师点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质. 7．【答案】24【解析】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC =CD =AD ，BO =DO ， ∵点E 是BC 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线， ∴CD =2OE =2×3=6，∴菱形ABCD 的周长=4×6=24； 故答案为：24．【名师点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．8．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，AB ADBAE ADF AE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE=AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA=∠FAD，∴∠GAE+∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∵AB=4，DE=1，∴AE=3，∴BE，在Rt△ABE中，12AB×AE=12BE×AG，∴AG=435⨯=125．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，在△ABE和△CDF中，B DAEB CFD AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=90°，∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．【名师点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．10．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，在△ADF和△CDE中，AD CDD D DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1=∠2．【名师点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．11．【答案】见解析．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD=BC，在△ADF和△CBE中，AD CBD B DF BE⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE．【名师点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．12．【答案】见解析．【解析】∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能由题中已知信息推出四边形ABCD是平行四边形是关键．13．【解析】（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF，∵∠BFG=180°﹣∠GFH，∠DHE=180°﹣∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG=DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG，∵EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周长=8．【名师点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．。
初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形-章节测试习题
章节测试题1.【题文】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=CD，点E在AD上，DE=BD，M、N分别是AB、CE的中点．（1）求证：△ADB≌△CDE；（2）求∠MDN的度数．【答案】见解析【分析】（1）由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，根据已知条件即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠DCE，根据直角三角形的性质得到AM=DM，DN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，等量代换得到∠ADM=∠CDN，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD与△CDE中，∵AD=CD，∠ADB=∠ADC，DB=DE，∴△ABD≌△CDE；（2）解：∵△ABD≌△CDE，∴∠BAD=∠DCE，∵M、N分别是AB、CE的中点，∴AM=DM，DN=CN，∴∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，∴∠ADM=∠CDN，∵∠CDN+∠ADN=90°，∴∠ADM+∠ADN=90°，∴∠MDN=90°．2.【题文】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG且EG⊥CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立，即EG=CG且EG⊥CG.【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;【解答】解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴，同理，在Rt△DEF中，，∴CG=EG；（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：在△D AG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG，在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG，在矩形AENM中，AM=EN.，在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG，（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。
八年级数学 特殊的平行四边形矩形和菱形
C
O
A
E
B
分析：由矩形的特征及条件不难发现△ OAD是等边三角形，
△ADE是等腰直角三角形，利用这两个特殊三角形的特征
就可以使问题得以解决．
解∵矩形ABCD∴AC?BD AD?OD ? ADC?90?
∵DE平分? ADC ? BDE?15?
∵? ADO?? ADE?? BDE?45??15??60?
与之相关的Rt? ABC三角形中有斜边上高和中线，Rt? ADC
中有中线和角平分线，这样不论从哪个Rt? 入手，利用基本
图形中提供的。
C
12
A
E FH
B
[例4] 在矩形ABCD中，AB?6，BC?4，E是AB上一点，
CE? 5，DF ⊥CE于F ．求DF ．
D
C
F
A
E
B
分析：分析：由AB、BC可求S矩形， 而EC、CF可以看作
A
∵AD//BC ∴? B ? ? BAD ? 180?
即1（180? ? x) ? (2 x ? 60?) ? 180? B
2
M
解得x? 20?
C
∴? BAD?2x?60??100?
D N
[例3] 已知：如图，菱形ABCD中，E是BC上一点， AB? AE，∠EAD? 2∠BAE． 求证：BE? AF．
AEFD为Y
由于AG是? ABC的高，DF? BC，故AE//DF，只得再寻找
一个条件。
A
E
D
B
GFC
[例5] 已知：如图，分别以△ABC的各边为边，在BC边的 同侧作等边△ABE、等边△CBD和等边△ACF，连结DE、 DF．问：当△ ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩 形、菱形．
人教版初中数学讲义八年级下册第09讲 专题4 平行四边形(特殊的平行四边形)中的最值问题(解析版)
第09讲专题4平行（特殊）四边形中的最值问题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）A．2B．C．3D．【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC•BC＝，∴＝，∴CM＝，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM＝＝，即DE的最小值是，故选：B．2．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AD＝2AB＝8，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为．【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，过点A作AN⊥BC于点N，∴AM＝DM＝AD＝×8＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝AD＝×8＝4，∴AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝∠DMC＝×60°＝30°，∴∠ACD＝∠MCA+∠MCD＝30°+60°＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，在Rt△ACN中，∠ACN＝∠BCD﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，∴AN＝AC＝×4＝2，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AG，∵AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为4，最小值为2，∴EF的最大值为2，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为2﹣＝，故答案为：．3．如图，在▱ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为2﹣4．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，连接AC，∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则AH＝AB•sin∠ABC＝4sin60°＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝4cos60°＝2，∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，在Rt△ACH中，AC＝＝＝2，∵点B与点Q关于直线AP对称，∴AQ＝AB＝4，∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝2﹣4，故答案为：2﹣4．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为6．【解答】解：如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AB＝AC＝12，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故答案为：6．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（）A．12B．10C．9.6D．4.8【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，∵F，M分别是AD，DE的中点，∴FM＝，∴当AE取最小值时，FM的值最小，由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，∴CH＝，∴BH＝＝＝8，∴＝48，又∵，∴，∴AE＝9.6，∴FM＝4.8，故选：D．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4cm，∴，∵四边形PAQC是平行四边形，∴AB∥CQ，∴当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时PQ＝CD＝2cm，故选：A．7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．4B．5C．6D．10【解答】解：∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF是△MND的中位线，∴EF＝DN，当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，∴EF长度的最大值为5，故选：B．8．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD 的最小值是（）A．B．3+3C．6+D．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵MD＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故选：D．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∴BD＝＝10，∵点A和点M关于BE对称，∴AB＝BM＝6，∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4．故DM的最小值为4．故选：C．G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝5，则GH的最小值是7.5．【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，∴AC＝＝＝10，∵P是线段EF的中点，∴AP＝EF＝2.5，∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴四边形PGCH是矩形，∴GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣2.5＝7.5，∴GH的最小值是7.5，故答案为：7.5．11．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为．【解答】解：如图，连接AC、AE、CF、CG，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝CD，DE＝DG＝EF，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝DE+CF+CG＝EF+CF+AE，∴当点A、E、F、C在同一直线上时（此时点F与点C重合），DE+CF+AE最小，最小值为线段AC长，在Rt△ABC中，AC＝，∴d1+d2+d3的最小值为．12．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．（提示：根据轴对称的性质）【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为D，∴FD＝FB，∴FE+FB＝FE+FD≥DE．只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴AE＝AD＝1，DE＝＝，∴EF+BF的最小值为．13．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A、C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，O是MN的中点，若AB＝5，BC＝12，当点P在AC上运动时，BO的最小值是．【解答】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，∴∠ABC＝∠PMB＝∠PNB＝90°，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝13，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴点O是BP的中点，∴BO＝BP＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝，∴MN＝，∴BO的最小值＝MN＝，故答案为：．14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN＝1，连接CN，则CN的最小值为﹣1．【解答】解：过点M作MH⊥CD，交CD的延长线于点H，如图所示：在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，∴∠HDM＝∠A＝60°，∴∠HMD＝30°，∵点M是AD边的中点，∴DM＝1，∴DH＝，根据勾股定理，得HM＝，∵CD＝2，∴CH＝，根据勾股定理，得CM＝，∵MN＝1，当点N运动到线段CM上的点N′时，CN取得最小值，CN′＝CM﹣MN＝﹣1，∴CN的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．15．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为．【解答】解：连接OE，作OH⊥CD于点H，∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，∴AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝12，OD＝OB＝BD＝5，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝＝13，，∵CD•OH＝OC•OD＝S△COD∴×13OH＝×12×5，解得OH＝，∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°，∴四边形OGEF是矩形，∴OE＝FG，∴OE≥OH，∵FG≥，∴FG的最小值为，故答案为：．16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则BF+DE最小值是（）A．13B．10C．12D．5【解答】解：延长AD，取点M，使得AD＝DM，连接MP，如图，∵EF∥BC，四边形ABCD是矩形，∴四边形AEFD和四边形EBCF是矩形，∵AD＝DM，AE＝DF，∠EAD＝∠FDM＝90°，∴△ADE≌△DMF（SAS），∴DE＝MF，∴BF+DE＝BF+FM，∵点E，F分别是AB，DC上的动点，故当B，F，M三点共线时，BF+DE的值最小，且BF+DE的值等于BM的值，在Rt△BAM中，，故选：B．17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，HA＝4+4＝8，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH＝∴BF+DE最小值为4．故选：C．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为（）A．4.8B．5C．2.4D．3.6【解答】解：如图，连接AD，∵∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，∴，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，，∴，∴AO的最小值为2.4，故选：C．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．【解答】（1）证明：∵DF∥AC，∠C＝90°，∴∠DFB＝∠C＝90°，∴∠DFC＝90°＝∠C，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠DFC＝∠C，∴四边形CEDF是矩形；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，∴CD＝EF，∴当CD有最小值时，EF的值最小，∵当CD⊥AB时，CD有最小值，∴CD⊥AB时，EF有最小值，∵C到AB的距离是5，即点C到AB的垂直距离为5，∴CD的最小值为5，∴EF的最小值为5．20．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【解答】（1）证明：连接AC，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∠CAF+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠ACF＝60°，AC＝AB，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．（2）解：四边形AECF的面积不变．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，＝S△ACF，则S△ABE＝S△AEC+S△ACF＝S△故S四边形AECFAEC+S△ABE＝S△ABC，是定值；作AH⊥BC于H点，如图所示：∵∠AHB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°，∴，在Rt△ABH中，根据勾股定理得：，＝S△ABC＝．∴S四边形AECF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝S菱形ABCD﹣S△AEF，∵S△CEF∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，∵△AEF为等边三角形，∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，∵当AE⊥BC时，AE最小，∴AE的最小值为AH的长，过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示：∵△AEF为等边三角形，∴，∠AEF＝60°，∴，∴，∴，＝S四边形AECF﹣S△AEF＝16，∴S△CEF即△CEF的面积的最大值为．21．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，即∠ABM＝∠EBN，在△AMB和△ENB中，，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，∵四边形ABCD是正方形，∴点M为BD的中点；②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．。
八年级下 特殊的平行四边形
特殊的平行四边形1．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．2．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD 是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD 是平行四边形．3．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．4．矩形的性质（1）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是____；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线____；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的___．5．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形 + 一组邻边相等=菱形）①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有__条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）6．菱形的判定（1）四条边都_____的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形7．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．8．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．（1）性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的_____的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形的两条对角线相等．（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．10．等腰梯形的判定（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．教学重点：能用综合法来证明特殊的平行四边形的相关结论；教学难点：运用特殊的平行四边形的性质定理和判定定理解决计算问题；1.菱形的性质；平行四边形的性质．【例1】菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直练1.如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=°．练2.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2.菱形的性质；坐标与图形性质．【例2】如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．练3.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．3. 矩形的性质；菱形的判定．【例3】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定练4.下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直练5.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE 交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．4．正方形的判定；矩形的性质．【例4】（2014•山东淄博一中期末）如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是．练6.下列说法中，错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．四个角都相等的四边形是矩形D．等腰梯形的对角线相等5．直角梯形；平行四边形的性质；等腰梯形的性质．【例5】如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A 点开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形？等腰梯形？练7．已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明．1、下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.两边相等的平行四边形是菱形2、关于下列结论，正确的是_______________________。
八年级数学特殊的平行四边形3
∴ ∠1=30°
又∵ ∠ABC=90°（矩形的每个内角都是直角 ）
∴BD = 2AB=2×4=8cm
例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个 小三角形，如果四个小三角形的周长的和是 86cm，对角线的长是13cm，那么矩形的周长是 多少？
在矩形ABCD中,有
A
D
AD=BC;AB=CD;AC=DB;
（3）由已知矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线， 该垂线分直角为3：1两部分，则垂线与另一条对角线的 夹角是（ ）B （A）50度（B）45度（C）30度（D）22.5度
4. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四 条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是 [ D ]
课
A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形 C．对角线互垂直平分的四边形 D．对角线垂直的四边形
∴ ACBE是矩形
A
E
D
∴CE = AB
1 由于CD= 2 CE
1 ∴ CD = 2 AB
C
B
例1 已知：矩形ABCD的两条对角线相交
与O，∠AOD=120°，AB = 4cm.
求矩形对角线的长
A
D
1
解：∵四边形ABCD是矩形
O
∴OA = OD（矩形的对角线相等且平分） B
C
∵ ∠AOD=120°
AO=OC=OB=OD
O
B
C
∴AD+BC+AB+DC+2AC+2BD=86
又∵AC=DB=13
∴AD+AB+BC+DC=86－52=34
（1）矩形具有而平行四边形不具有的性质（ D ） （A）内角和是360度（B）对角相等（C）对边平行且相 等（D）对角线相等
八年级数学下册《特殊的平行四边形》教案、教学设计
2.提高题：完成课本第76页第7-10题，旨在培养学生运用特殊平行四边形知识解决实际问题的能力。
3.拓展题：选择一道与特殊平行四边形相关的拓展题，要求学生在课后查阅资料、思考讨论，提高学生的自主学习能力。
4.小组作业：以小组为单位，共同完成一道特殊平行四边形的综合应用题，培养学生团队合作精神和解决问题的能力。
6.加强学习评价，关注学生的个体差异，提高教学质量。
-过程性评价：关注学生在课堂上的表现，如发言、讨论、作业等，给予及时的反馈和指导。
-总结性评价：通过测试、竞赛等形式，检验学生对特殊平行四边形知识的掌握程度，为后续教学提供依据。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
-利用多媒体展示生活中常见的特殊平行四边形实物，如窗户、桌面、魔方等，引发学生对特殊平行四边形的关注。
-讲解矩形、菱形、正方形的性质，如对边平行、对角相等、邻边垂直等。
-结合实例，讲解特殊平行四边形的判定方法。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，每组选择一种特殊平行四边形，探讨其性质和判定方法。
-小组内部分工合作，共同完成探讨任务。
2.教学目的：
-培养学生的合作意识和团队精神。
4.掌握特殊的平行四边形在实际生活中的应用，如建过观察、猜想、验证等环节，让学生自主探究特殊的平行四边形的性质，培养他们的观察力和动手操作能力。
2.利用小组合作、讨论交流等形式，引导学生发现并解决问题，提高合作意识和团队精神。
3.运用实际问题，激发学生的学习兴趣，让他们在解决问题的过程中，掌握数学思维方法，提高分析问题和解决问题的能力。
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特殊的平行四边形中考要求知识点睛1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．中点中点平行中点定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．5．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．6．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：① 边的性质：对边平行，四条边都相等．② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）正方形菱形矩形平行四边形7．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．例题精讲板块一、菱形的性质及判定【例1】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【解析】省略【答案】连接BD 、AF 、EB∵菱形ABCD 中BD AC ⊥，EF AC ⊥，∴BD ∥EF ∵AD ∥FC ，∴四边形BDEF 是平行四边形，∴ED FB = ∵AE ED =，∴AE FB =又∵AE FB ∥，∴四边形AFBE 是平行四边形 ∴AB 与EF 互相平分【例2】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA【解析】∵AE AB = ∴B AEB ∠=∠同理D AFD ∠=∠ ∵四边形ABCD 是菱形∴AD BC B D BAD C ∠=∠∠=∠∥，，，∴AEB AFD ∠=∠ ∵B D ∠=∠ ∴BAE DAF ∠=∠∵DE EF AF ==，∴AEF △是等边三角形，∴60EAF ∠=︒ 设BAE x ∠=，则602BAD x ∠=︒+∵180ABE ABE BAE ∠+∠+∠=︒，∴902xABE ∠=︒- ∵AD BC ∥，∴180B BAD ∠+∠=︒，∴906021802xx ︒-+︒+=︒ ∴20x =︒ ∴602100C BAD x ∠=∠=︒+=︒【答案】100︒【例3】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA【解析】连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形∴AB BC CD AD ===∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒， ∵60EAF ∠=︒ ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△ ∴AE AF = ∵60EAF ∠=︒ ∴AEF △为等边三角形 ∴60AEF ∠=︒∵AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠ ∴18CEF ∠=︒分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．【答案】18︒ABCDEF【例4】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【解析】省略【答案】∵CH AB ⊥，∴90HAF AFH ∠+∠=︒∵90ACB ∠=︒，∴90CAD ADC ∠+∠=︒∵AD 平分CAB ∠，∴CAD HAF ∠=∠，∴AFH CDF ∠=∠ ∵AFH CFD ∠=∠，∴CDF CFD ∠=∠，∴CF CD = ∵AD 平分CAB ∠，DC AC ⊥，DE AB ⊥ ∴CD DE =，∴CF DE = 又∵CH AB ⊥，DE AB ⊥∴CF ∥DE ，故四边形ABCD 是平行四边形 ∵CD DE =，∴四边形ABCD 是菱形【例5】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【解析】省略 【答案】当32BC AB =时，四边形ABFC 是菱形． ∵AB GF ∥，AG BF ∥ ∴四边形ABFG 是平行四边形 ∵Rt ABE ∆中，60B ∠=︒∴30BAE ∠=︒ ∴12BE AB =∵BE CF =，32BC AB = ∴12EF AB =∴AB BF =∴四边形ABFG 是菱形．【例6】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA【解析】省略【答案】⑴ 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠ BAC ≠60°（或A 与F 不重合、△ABC 不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A 与F 重合、△ABC 为正三角形）． ⑵ 150︒．板块二、与菱形相关的几何综合题【例7】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE【解析】省略【答案】⑴∵PM AC EF AB ∥，∥∴四边形AEPM 为平行四边形 ∵AB AC =，AD 平分CAB ∠ ∴CAD BAD ∠=∠∵AD BC BAD EPA ⊥∠=∠， ∴CAD EPA ∠=∠ ∵EA EP =∴四边形AEPM 为菱形⑵当P 为EF 中点时，12EFBM AEPM S S =四边形菱形∵四边形AEPM 为菱形，∴AD EM ⊥ ∵AD BC ⊥ ∴EM BC ∥ 又EF AB ∥ ∴四边形EFBM 为平行四边形板块三、中位线与平行四边形【例8】 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNCB D A【解析】连接PN ,NQ ,MQ ,PM ．证明PNQM 为菱形． 【答案】见解析【例9】 如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠CDEFH G BA【解析】省略【答案】连结BD ，取BD 中点P ，连结PE PF ，，由条件易得PE PF ，分别是BDC DBA ∆∆，的中位线，所以PE DC PF BA ∥，∥，且1122PE DC PF BA ==，，因为AB CD =，所以PE PF =，所以PEF PFE ∠=∠，由PE DC ∥可得：PEF CHE ∠=∠，同理可得PFE BGE ∠=∠，所以BGE CHE ∠=∠PABG H FDC【例10】 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA【解析】延长AM 、AN 交BC 于点Q 、R ．由等腰三角形三线合一可得AM QM =、AN RN = 再由三角形中位线可得MN BC ∥．【答案】见解析【例11】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【解析】如图，连结AC 、BD ．∵PQ 为ABC ∆的中位线 ∴PQ AC ∥且12PQ AC =同理MN AC ∥且12MN AC =∴MN PQ ∥且MN PQ = ∴四边形PQMN 为平行四边形． 在AEC ∆和DEB ∆中AE DE =，EC EB =,60AED CEB ∠=︒=∠即AEC DEB ∠=∠ ∴AEC DEB ∆∆≌ ∴AC BD = ∴1122PQ AC BD PN ===. QEP NMD CBA【答案】见解析板块四、正方形的性质及判定【例12】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【解析】省略【答案】12【例13】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF = OFE DC BA【解析】省略 【答案】5【例14】 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．G FEDC BA【解析】省略 【答案】3【例15】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【解析】如图，连结AC ．NMFEDCBA【解析】100︒【例16】 如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【解析】连结PC ，则45PCD PCB BCP DCP ∆∆∠=∠=︒≌，，又1PBP CBP ∆∆≌，得145BPP BCP ∠=∠=︒ 【答案】45︒【例17】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【解析】省略【答案】设正方形的边长为a ，如图所示．引BG AE ⊥于G ，则ABG ∆为等腰直角三角形．1122BG BD BE == 所以，在直角BEG ∆中， 30BEG ∠=︒．由于12∠=∠，23∠=∠，所以 1315∠=∠=︒．从而，在EFD ∆中，()180********F ∠=︒-∠+∠-︒=︒=∠，DE DF =．【例18】 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【解析】省略【答案】⑴∵四边形ABCD 是正方形，∴BC CD =，90BCD ∠=︒． ∵180BCD DCE ∠+∠=︒， ∴90BCD DCE ∠=∠=︒． 又∵CG CE =，∴BCG DCE ∆∆≌． ⑵∵DCE ∆绕D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆， ∴CE AE '=． ∵CE CG =， ∴CG AE '=．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BE DG '∥，AB CD =． ∴AB AE CD CG '-==， 即BE DG '=．∴四边形DE BG '是平行四边形．【例19】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【解析】省略【答案】MN BM DN =+，延长CD 至'M ，使'M D BM =，证明''ADM ABM AM N AMN ∆∆∆∆≌，≌，测ABCDEF E 'G得1''452MAN M AN M AM ∠=∠=∠=︒【例20】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEGCDFBA【解析】省略【答案】当且仅当GHD ∆为直角三角形时，GD 的中线AH AD =．由已知证明GHD ∆为直角三角形并不困难．因为ABCD 为正方形，所以AB BC =．由于EF AC ∥，所以AE FC =． 又AG AD DC ==，90GAE DCF ∠=∠=︒所以AGE DCF ∆≌． 从而G CDF ∠=∠．因为CD GA ⊥，所以FD GE ⊥（即GH ），90DHG ∠=︒．故DHG ∆为直角三角形，且AH 为斜边DG 的中线，从而12AH GD AD ===正方形的边长．【例21】 如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【解析】省略【答案】当P 运动到BC 中点时，四边形PFME 为正方形∵AMB △是等腰直角三角形 ∴45ABM ∠=︒ 又∵90ABC ∠=︒∴45PBF ABC ABM ∠=∠-∠=︒ 同理可得：45PCE ∠=︒∴45PBF PCE ∠=∠=︒ ∴90BMC ∠=︒ ∴四边形FMEP 为矩形在PBF △和PCE △中，90PBF PCE BFP CEP PB PC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴PBF PCE △≌△ ∴PF PE =∴四边形PEMF 为正方形．【例22】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【解析】省略【答案】⑴ 证明：在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥∴BAD DAC ∠=∠∵AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线 ∴MAE CAE ∠=∠∴1180902DAE DAC CAE ∠=∠+∠=⨯︒=︒ 又∵AD BC ⊥，CE AN ⊥ ∴90ADC CEA ∠=∠=︒ ∴四边形ADCE 为矩形． ⑵ 例如，当12AD BC =时，四边形ADCE 是正方形 证明：∵AB AC =，AD BC ⊥于D ∴12DC BC = 又12AD BC =，DC AD = 由⑴四边形ADCE 为矩形∴矩形ADCE是正方形．。