结构动力学第二讲

柔度法 以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外 力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据 位移协调条件建立体系的运动方程。
[例1] 试用刚度法建立图示刚架的运动方程
FP (t)
m
y(t )
l 2 EI
EI1
EI l 1
FP (t ) FS 2
FI FS1 FD
[解]
1） 确定自由度数: 横梁刚性，柱子无轴向变形。 1个自由度。
（2-3）
改写成：
FI
FD
1
y
P
（2-3’）
位移方程：
FI
FD
1
y
P
q ( t)
y(t )
其中：
Dp为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力：FI my 阻尼力：FD cy
d为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度： l 3
48EI 由此得到体系的运动方程：
y(t) Asint Bcost
▪ 设t=0时： y(0) y0 y(0) y0
▪ 代入： y(t) Asint Bcost
y0
0
B
▪ 代入： y(t) A cost B sint
y0
A
0
▪ 单自由度无阻尼体系运动方程的解：
y(t )
y0
s int
y0
cost
▪ 或写成：
y(t) sin(t )
[例2] 试用柔度法建立图示简支梁的运动方程
q ( t)
q ( t)
EI
m
y(t )
l
[解]
FD FI
1） 确定自由度数: 集中质量，仅竖向位移： 1个自由度。
2） 确定自由度的位移参数：质量 m 的位移： y(t )
3） 体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！
4） 列位移方程：
y P (FI FD )
结构的动力特性
数学模型
▪ 承受动力荷载的结构体系的主要物理特性： 质量、弹性特性、阻尼特性、外荷载
▪ 在最简单的单自由度体系模型中，所有特性都假定集结于 一个简单的基本动力体系模型内，每一个特性分别由一个 具有相应物理特性的元件表示：
▪ 质量m = 结构的惯性；
c
▪ 弹簧k = 结构的刚度；
▪ 阻尼器c = 结构的能量
自由度数相等。 ▪ 结构的自振频率与结构的质量和刚度有关。
阻尼
y
y
t
t
T
T
▪ 结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼。 ▪ 结构的自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。 ▪ 由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统。 ▪ 阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。 ▪ 等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用：
FD cy c 为阻尼系数，y为质量的速度。
结构体系运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
▪ 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。
▪ 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 ▪ 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
（3-12）
B y0 A y0
（3-13） （3-14）
y(t )
y0 sint
y0
cost
（3-13）
▪ 三角关系： sin(ab)cosasinbsinacosb
▪ 对比(3-13)： b — t; a —
▪ 显然有：
y0 cos
y0 sin
y0
y0
2
y02
▪ (3-13)成为：
m
EI1
y(t )
EI l 1
my cy ky F(t) （2-0）
my
cy
12E l13
I
12EI
l
3 2
y
FP
(t)
（2-2’）
令：
k
FS1
FS 2
12EI l13
12EI
l23
；k 为（等效）刚度系数。
由此得到体系的运动方程： my cy ky FP (t ) （2-2）
运动方程(2-2)与(2-0)的形式是一样的！
刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受 的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方 程，得到体系的运动方程。
[例2-0]
c
k
y (t )
F(t) m
y (t )
FD
FI
F (t )
FS
平衡方程： FI FD FS F (t )
刚度法
取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部 外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得 到体系的运动方程。
.
. y0 y0
.
y0
.
y0 y.0
y0
.
.
y0
.
y0
y0
y0
y0
y0
y0
yy.... 0000
yy000 yy000
yy..y.0.000
tt
ttt
t tt
（3-13） （3-14）
tt
▪ 物理意义：
1
12i
l2
柱端发生平移 y 时产生的梁-柱间剪力：
EI
12 EI FS1 l13 y
12EI
FS 2
l
3 2
y
l
等效粘滞阻尼力： FD cy
由此得到体系的运动方程：
my
cy
12E l13
I
12EI
l
3 2
y
FP (t)
（2-2’）
比较：
c k
y (t )
F(t) m
FP (t) l 2 EI
FI my
my
1 11
y
FE
(t)
位移方程：
my
1 11
y
12 11
FP
(t)
EI
作单位弯矩图，如右图：
l
用图乘法求11、12：
4l 3
7l 3
11 9EI 12 18 EI
代入位移方程，整理得：
my
9EI 4l 3
y
7 8 FP (t )
或：
my ky FE (t)
1 9EI
k 11
4l 3
任一时刻m 的惯性力 FI my
则m 的位移方程为：
y 11FI 12FP (t )
11(my)12FP (t)
整理得：my
1 11
y
12 11
FP
(t)
∵ P 12FP (t )
FE
(t)
P 11
FP
(t)
m
EI
1
FP (t )
2
l
l
l
P=1
1
2
11
P=1
1 2
12
FP (t )
1
y
2
FI my 弹性力： 等于弹簧刚度与位移的乘积： FS ky
阻尼力： 阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积： FD cy
由此得到体系的运动方程：
my cy ky F(t)
（2-0）
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
▪ 如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种 振动称为结构的强迫振动，又称受迫振动 。
固有频率
y
t
T
▪ 质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为 周期，单位时间内完成的循环次数称为频率。
▪ 结构在自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率。 ▪ 对大部分工程结构，结构的自振频率的个数与结构的动力
单自由度体系运动方程的建立
单自由度
c
体系模型
m
k
y (t ) F(t)
▪ 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性
▪ 自由度只有一个：水平位移y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
构的阻尼力 ▪ 随时间变化的荷载F(t)
[例2-0] 单自由度体系运动方程的建立
▪ 虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移 上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运 动方程。
▪ 变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据 理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导 出以广义坐标表示的运动方程。
• 对于不同的结构体系建立运动方程时，三种方法的应用各 有所长。本课程仅讨论直接平衡法。
▪ （3-2）称为（二阶线性常系数）齐次方程；
（3-2）
▪ 齐次方程的求解： my cy ky 0
（3-2）
▪ （3-2）称为（二阶线性常系数）齐次方程；
▪ 可设齐次方程解的形式为： y(t ) Ge st
y(t )Gse st y(t )Gs 2e st
▪ 代入（3-2）可得： (ms 2 cs k)Gest 0
直接平衡法
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。
根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度 法和柔度法。
FE (t )
P
含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与
实际动荷载产生的位移相等！
1
已经知道柔度d和刚度k 之间的关系为：
k
式（2-4）成为：
简支梁： my cy ky FE (t )
比较：
刚架： my cy ky FP (t )
（2-6） （2-2）
基本质量弹簧体系： my cy ky F (t )
（2-0）
结论：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一
质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：
my cy ky FP (t)
（2-7）
[练习题] 试建立图示简支梁的运动方程
[解]
1） 确定自由度数: 1个自由度。 2） 位移参数：质量 m 的位移y(t)。 3） 用柔度法：梁整体分析。
m
1
l
FP (t )
2
l
2l 3
2l 3
FE
(t
)
7 8
FP
(
t
)
单自由度体系的振动分析
单自由度体系的自由振动分析
y (t ) c
F(t) m
k
▪ 最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程：
my cy ky FP (t)
（3-1）
▪ 这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复 杂结构体系的广义坐标反应。
耗散.
k
y (t )
F(t) m
结构的动力响应
y t
定义
表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性， 又称自振特性。 ▪ 结构的动力特性与结构的质量、刚度、阻尼及其分布有关。
结构的自由振动与受迫振动
y
y
t
t
定义
▪ 结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动， 这种振动称为结构的自由振动。
2） 确定自由度的位移参数。 y(t )
3） 质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！ 4） 列动平衡方程：
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
（2-1）
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
其中各力的大小：
（2-1）
惯性力： FI my
弹性力: Fs=Fs1+Fs2： 位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力
（3-3）
▪ 其特征方程为：
(ms 2 cs k) 0
（3-4）
或：
s2 c s 2 0
m
▪ 式中w2=k/m，w是体系振动的圆频率。
▪ 根据阻尼系数c 值的不同，解出的特征参数s 值将具有不
同的特性。
无阻尼自由振动
▪ 自由振动方程： my cy ky 0
▪ 特征方程： ▪ If c=0： ▪ 代入(3-2)得：
my cy 1 y 5l q(t)
8
（2-4）
比较：
c k
y (t )
F(t) m
q ( t)
EI
m
l
my cy ky F(t) （0）
my cy 1 y 5l q(t) （2-4）
8
令：
5l FE (t) 8 q(t)
my cy 1
y FE (t)
（2-5）
FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式
arctan y0
y0
y0
y(t) cos sint sin cost
▪ 即：
y(t) sin(t )
（3-14）
▪ 物理意义：
y(t )
y0 sint
y0
cost
y(t) sin(t )
RRR
y0
I III y0
y0 y0
y0
y0
y0
.
y0
.
.
y0
Hale Waihona Puke Baidu
y0
.
y0
.
y0
y0
c
建立计算模型
k
y (t )
F(t) m
取质点为隔离 体画平衡力系 FD
FS
y (t )
FI
F (t )
建立平衡方程 FI FD FS F (t )
y (t )
FD
FI
F(t)
FS
平衡方程： FI FD FS F (t )
惯性力： 根据d’Alembert原理，等于质量与加速度的乘积：
如果去掉外荷载
c
FP(t)=0! k
定义
y (t )
F(t) m
等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动。
▪ 结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动， 这种振动称为结构的自由振动。
▪ 运动方程： my cy ky 0
▪ 自由振动产生的原因：初始时刻的干扰！ 初始位移；初始速度；初始位移+初始速度
s2 c s 2 0
m
s i
y(t ) G1 e it G 2 e it
▪ 引入Euler方程： eit cost i sint
得无阻尼自由振动的位移反应：
y(t) Asint Bcost
▪ A和B是由初始条件决定的常数。
（3-2） （3-9） （3-10） （3-12）
▪ 位移反应：