高考抽象函数专题

抽象函数专题

几类抽象函数模型

练习题

1．定义域为(0，＋ )的函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (4)＝2，则f (2)的值为_________． 答案：12．

解：

因为f (4)＝f (2)＋f (2)，f (2)＝f (2)＋f (2)， 所以f (4)＝4 f (2)，f (2)＝1

2

．

2．函数f (x )满足f (x ＋y 2)＝f (x )＋2[f (y )]2且f (1)≠0，则f (2018)的值为_______． 答案：1009．

解：f (0)＝0，f (1)＝12，f (x ＋1)＝f (x )＋12，f (2018)＝f (1)＋2017×1

2＝1009．

3．(1)函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，若f (1)＝1，则f (8)＝ A ．－1 B ．1

C ．19

D ．43

答案：D ． 解：

因为f (1)＝1，y ＝1代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，得 f (x ＋1)－f (x )＝x ＋2，因此： f (2)－f (1)＝3 f (3)－f (2)＝4 ……… f (8)－ f (7)＝9 累加，得f (8)＝43．

(2)函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，若f (1)＝1，则f (－8)＝

A．－1 B．1 C．19 D．43

答案：C．

解：

因为f (1)＝1，y＝1代入f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，得

f (x＋1)－f (x)＝x ＋2，因此：

f (1)－f (0)＝2

f (0)－f (－1)＝1

f (－1)－f (－2)＝0

f (－2)－f (－3)＝－1

f (－3)－f (－4)＝－2

f (－4)－f (－5)＝－3

f (－5)－f (－6)＝－4

f (－6)－f (－7)＝－5

f (－7)－f (－8)＝－6

累加，得f (－8)＝19．

另外：

f (x－x)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1

f (0)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1

f (x)＋f (－x)＝x 2－2

4．定义在R上的函数f (x)满足f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，则下列说法正确的是A．f (x)为奇函数B．f (x)为偶函数

C．f (x)＋1为奇函数D．f (x)＋1为偶函数

答案：C

解：

x1＝x2＝0代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (0)＝－1．

x1＝x，x2＝－x代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (x)＋f (－x)＝－2，f (x)图象关于点(0，－1)对称，所以f (x)＋1为奇函数．

5．设f (x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，当f (x)＋f (x －8)≤2时x的取值范围是

A．(8，＋∞) B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)

答案：B

解：

2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪

⎧

x >0，x －8>0，

x (x －8)≤9，

解得8

6．定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (0)＝0，f (x )＋f (1－x )＝2，f (x 5)＝1

2 f (x )，当0≤ x 1< x 2≤1

时，f (x 1)≤f (x 2)，则f (3

25)的值为 ．

答案：12

7．(1)已知函数f (x )满足2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0，求f (x )的表达式． 解：

因为2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0①，所以－2xf (－x )－3f (x )＋x ＋1＝0②． ①×2x 得4x 2f (x )－6 x f (－x )－2 x 2＋2 x ＝0； ②×3得－6xf (－x )－9f (x )＋3x ＋3＝0②． 相减得

4x 2f (x )＋9f (x )－2 x 2＋2 x －3x －3＝0，所以

f (x )＝2 x 2＋x ＋34x 2＋9

．

(2)设函数f (x )满足f (x )－2f (1x )＝x (x ≠0)，求证：|f (x )|≥22

3．

证明：

因为f (x )－2f (1x )＝x ①，所以f (1x )－2f (x )＝1

x ②．

②×2得2f (1x )－4f (x )＝2

x

③．

①＋③得f (x )＝－x 3 －23x ， |f (x )|＝|x |3 ＋23|x|≥22

3．

8．(12分)

定义在R 上的单调函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，设f (3)＝log 23． (1)判断函数()f x 的奇偶性；

(2)若f (k ⋅3x )＋f (3x －9x －4)<0，求实数k 的取值范围． 解：

(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0． 取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．

(2)奇函数，(0)0f =，2(3)log 3f =，所以(3)(0)f f >， ()f x 是定义在R 上的单调函数，所以函数()f x 在R 上的单调递增函数，奇函数，不等式