第二十七章《相似》教材分析

第二十七章《相似》教材分析一地位与作用从数学知识上，相似形的几何性质是全等形的几何性质的自然而然的延伸和拓展；相似作为图形的一种变换也是全等变换的拓广和发展，同时，相似也是学习锐角三角函数、投影与视图的基础．所以说相似在空间与几何的学习中起着承上启下的作用。

从学生的数学认知发展来看，学生通过对直线形的学习，已积累了对图形的丰富的感性认识、一定的逻辑推理论证能力和利用几何模型分析解决实际问题的能力，这为相似的学习提供了坚实的知识基础和能力基础；同时，从特殊的“全等”研究到一般的“相似”研究也符合学生从特殊到一般的认知规律，学生在探究学习全等时所积累的数学思想和方法可以顺理成章地迁移到相似的研究中，这可以进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力，巩固和提高学生的逻辑推理证明的能力。

此外，相似被广泛应用于现实生活中（测物体的高度、测河宽，制作艺术字等）。

在物理中，学习力学、光学等，也都要用到相似的知识。

通过对相似的应用研究，可进一步的加强学生数学建模的意识，提高学生分析解决实际问题的能力，对于学生今后从事各种实际工作也有重要作用。

二课程学习目标1．了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，了解黄金分割；2．通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定定理，并能利用这些性质和判定定理解决生活中的一些实际问题；3．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4．结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力．三知识结构框图四教学重点、难点重点：相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定是本章的重点内容；难点：相似三角形的判定定理的证明．四基：基础知识：比例线段及其性质，相似多边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，位似的定义及性质；基本技能：会用比例线段求线段长或列方程，会用相似多边形、相似三角形的性质与判定解决简单的实际问题，会画位似图形（含在坐标系中）；基本思想：类比与对比思想、转化与化归思想、方程与函数思想、建模思想；基本实践活动：如制作地图，测物体的高度，测河宽，制作艺术字等．五课时安排本章教学时间约需13（+2）课时，具体分配如下（仅供参考）：预备知识比例的概念和性质2课时27．1 图形的相似2课时27．2 相似三角形共7课时相似的判定4课时相似的性质2课时相似的应用1课时27．3 位似2课时数学活动小结2课时六教学建议1.借助本章教材内容的特点，培养学生阅读能力和自主学习的能力数学阅读能力是一种非常重要的数学学习能力，从中考试题的发展趋势来看，对学生阅读理解能力的要求逐渐提高；同时自主、主动地参与学习才能产生真正意义的学习。

在平时的教学中，应该注意对学生数学阅读能力和自主学习能力的培养。

从全等到相似，是一个从特殊到一般的过程，学生容易利用在前面学到的有关知识以及研究问题的方法进行相似的学习。

老师可以在本章的某些章节（如相似三角形的性质与判定等）适当改变教学方式，引导学生用类比的方法进行自主学习。

教师要指导学生阅读教材的方法：如何粗读，如何细读，怎样去理解概念、定理，怎样提炼解题的思想方法，如何设身处地地经历知识的形成过程，要让学生通过阅读，通过自主学习知其然，更要知其所以然，对难以理解的概念或难以解决的问题作出记号，以便带着疑问去听课。

2.在教学中应注重知识形成过程的教学从中考试题的考察来看，有从常规的对固定知识的应用的考察到向“知识的形成过程”的考察发展的趋势，这也体现了课标中关于要重视学生的学习体验，重视知识的形成过程的要求。

因此在教学中，让学生经历相似的定义、性质和判定定理的形成过程。

让学生不仅要懂得结论、理解结论，也要了解结论是怎么来的。

3．重视知识间的联系，注重数学思想方法的教学（1）类比思想：研究相似三角形的判定的问题时，可以和研究全等三角形的问题作类比：判定两个三角形全等，不一定要六个条件一一验证，有简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS），类似的，研究两个三角形相似时，也不是要对所有的对应角和对应边一一验证，也有简单方法。

研究相似多边形的面积时，教科书也同研究多边形的内角和问题进行了类比：我们已经通过推理论证得到了相似三角形的面积比等于相似比的平方，类似于研究多边形内角和的方法，可以把多边形划分成若干个三角形，从而也能得到相似多边形面积的比等于相似比的平方。

在教学时，要充分注意这些新旧知识联系的内容，注意从学生学习的规律出发，加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移作用。

这样有助于学生对于新知识的理解。

相似和全等图形性质的区别和联系：他们的对应角都相等；全等图形的对应边也相等，周长也相等，面积也相等；相似多边形对应边成比例，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

（2）转化与化归思想(多边形的问题转化为已经解决的熟知的三角形的问题来解决等)（3）建模思想：实际生活中的问题，建立相似三角形的模型（几种基本图形）来解决,如测量旗杆的高度、河的宽度等。

（4）方程与函数思想（利用对应边的比相等建立方程或函数关系式）（5）分类与整合思想（当相似三角形不确定时，采用分类与整合思想）4．重视基础知识、基本解题方法的归纳与提升（1）相似三角形的常见图形及其变换：常见图形（1）若DE//BC，则．（2）若DE//BC，则．（3）若∠ADE=∠B，则．AB CD EAB CDE AB CDE（1）（2）（3）平行型斜交型..垂直型（4）若∠ACD=∠B ，则 ．（5）若AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，则 ．（6）若AC ⊥BC ，DE ⊥BC ，则 ．（7）在直角梯形ABCD 中，若AE ⊥DE ，则 ．（2）证明四条线段成比例的常用方法：①线段成比例的定义；②三角形相似的预备定理；③利用相似三角形的性质；④转化:等线段代换、等比代换、等积代换．⑤构造相似基本图形（通常是添加平行线）构成比例．⑥利用面积关系 5.几个需要说明的问题：①．以“∽”、“相似于”连接的形式，都是严格对应，不用分类；“…与以…为顶点的三角形相似” 、“△…与△…相似”表述的形式是不严格对应，需要考虑分类．②．对于相似比，要注意顺序和对应的问题。

如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比．两三角形相似后，可得对应边的比相等，然后才可得一个三角形自身两边的比与另一三角形对应的两边的比． ③．类比全等，相似的传递性可直接应用． ④．类似于判定三角形全等没有“边边角”，判定三角形相似也没有“边边角”．反例 与全等时“边边角”的反例相同． ⑤．要特别重视实际应用．⑥．在没有明确指出只画一个图形的情况下，利用位似变换把一个图形放大或缩小需要画出两个图形，尤其是在平面直角坐标系下求变换后的坐标时要有两个答案．七 各节教学要点27．1图形的相似预备知识一：比例线段1.两线段的比:在同一单位下，两线段的长度比.ACBDE ABCE D（6）（7）ABCDABCD（4）（5）2.（成）比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a b ＝cd，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．设a 、b 、c 、d 为线段，若线段a 、b 、c 、d 成比例，即a:b ＝c:d ，b 、c 叫比例内项，a 、d 叫比例外项，d 叫做a 、b 、c 的第四比例项；如果a:b=b:c ，或b 2=ac ，那么b 叫a 、c 的比例中项.在介绍比例中项之后，适当补充黄金分割的知识. 3.比例性质：（1）比例的基本性质（这是等积式与比例式互相转化的依据）的比例中项）、为，则；若，则若c a b ac b cbb a bc ad d c b a (2==== 的比例中项）、为则且；若则且若c a b cbb a dc b a (,0bc ,ac b ,0bd ,bc ad 2=≠==≠= 例1.已知（2x-3y ）∶(x+y)=1∶2,求x ∶y ；（2） 合比性质若d c b a =，则d d c b b a +=+或ddc b b a -=-. 例2. 已知35a b =，则32a ba b+=- .*推广：若dcb a =，则d kc kd k c k b k a k b k a k 43214321++=++（分母不能为0）．（3）等比性质如果)0(≠+++===n d b nmd c b a ，那么b a n d b mc a =++++++ *推广：如果n md c b a === ，那么b a n k d k b k m k c k a k tt =++++++ 2121（分母不能为0）．例3.已知234a b c==，则23a b c b-+= . 总结证明比例式的常用方法：（1）“见比设k”：（以等比性质证明为例）∵)0(≠+++===n d b nm d c b a ，∴设k ====n md c b a ．则nk m dk c bk a ===，，， ． 又∵0≠+++n d b ， ∴bak n d b n d b k n d b nk dk bk n d b m c a ==++++++=++++++=++++++ )(．（2）利用等式性质：（以合比性质证明为例）证明一：∵d c b a =， 证明二：∵d c b a =， ∴11±=±d cb a ． ∴bc ad =． ∴ddc b b a ±=±． ∴bd bc bd ad ±=±． ∴)()(d c b b a d ±=±． ∴ddc b b a ±=±． （3）利用比例的性质：（以等比性质证明为例）∵d c b a =，∴d b c a =（更比）． ∴ddb c c a +=+（合比）．∴b a d c d b c a ==++（更比）． 同理：ban d b m c a =++++++ ． 预备知识二：平行线分线段成比例定理我们提炼出这样的一个图形已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，交AB 、AC 于D 、E . 求证：ACAEAB AD =. 证明：连接CD 、BE .∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，CDE BDE S S ∆∆=.∴ACD ABE S S ∆∆=AB CDEABCDE l 1 l 2 l 3l 4 l 5 A BC D El 1 l 2 l 3l 4 l 5 F ABCDE又∵AC AE S S ABC ABE =∆∆,ABAD S S ABC ACD =∆∆.∴AC AEAB AD =. 请试着证明：已知：如图，DE ∥BC ，求证：ACAEAB AD =. 证明：过点E 作EF//BD ，交CB 延长线于FBF AEBC AC∴=∵四边形BDEF 为平行四边形，∴DE=BF.DE AE BC AC ∴=，同理，ABAD BC DE =.∴AC AEAB AD =定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。