(通用版)202x高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性讲义 理

第三节函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称口诀记忆奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称.(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．并不是所有周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.[熟记常用结论]1．奇偶性的5个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．2．周期性的4个常用结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝1f x，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝－1f x，则函数的周期为2a.3．对称性的3个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、选填题1．下列函数中为偶函数的是( )A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x解析：选B A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.2．下列函数为奇函数的是( )A．y＝x B．y＝e xC．y＝|x| D．y＝e x－e－x解析：选D A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是( ) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))解析：选B 因为(a ，f (a ))是函数y ＝f (x )图象上的点，且y ＝f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以点(－a ，f (－a ))，即(－a ，－f (a ))一定在y ＝f (x )的图象上．4．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：135．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝－1＋2＝1. 答案：1考点一[基础自学过关]函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：定义法当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数． 法二：图象法作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以定义域关于原点对称． 又f (－x )＝4－－x2－x2＝4－x2x 2，所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ， 因为f (－x )＋f (x ) ＝log a [－x ＋－x2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1)＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x ) ＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )] ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0.即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[名师微点]判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．(2)图象法：(3)性质法：设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．[提醒] 分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x ＜0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．(1)(2019·广州调研)已知函数f (x )＝2x2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________.(2)函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. (3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为________．[解析] (1)易知f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x2－x －1＋a ＝－2x 2x －1－a ，所以2a ＝－2x 2x －1－2－x 2－x －1＝－2x2x －1－11－2x ＝－1，所以a ＝－12.(2)∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)＝x －1，即x ＜0时，f (x )＝x －1.(3)由题意得，g (－x )＝f (－x －1)，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)， 即f (x －1)＋f (x ＋1)＝0.∴f (2 017)＋f (2 019)＝f (2 018－1)＋f (2 018＋1)＝0. [答案] (1)－12(2)x －1 (3)0[解题技法]与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )，f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f (x )，可考虑列等式f (0)＝0求解．[过关训练]1．设f (x )－x 2＝g (x )，x ∈R ，若函数f (x )为偶函数，则g (x )的解析式可以为( )A ．g (x )＝x 3B ．g (x )＝cos xC ．g (x )＝1＋xD ．g (x )＝x e x解析：选B 因为f (x )＝x 2＋g (x )，且函数f (x )为偶函数，所以有(－x )2＋g (－x )＝x2＋g (x )，即g (－x )＝g (x )，所以g (x )为偶函数，由选项可知，只有选项B 中的函数为偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ＜0，g x ＋1，x >0，若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1解析：选 C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ＜0，g x ＋1，x >0，f (x )是奇函数，∴f (－3)＝－f (3)，∴log 2(1＋3)＝－(g (3)＋1)，则g (3)＝－3.故选C.3．若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x(t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则t ＝________.解析：f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x ＝t ＋t sin x ＋x 2x 2＋cos x， 设g (x )＝t sin x ＋x2x 2＋cos x，则g (x )为奇函数，g (x )max ＝a －t ，g (x )min ＝b －t .∵g (x )max ＋g (x )min＝0，∴a ＋b －2t ＝0，即2－2t ＝0，解得t ＝1.答案：1考点三[师生共研过关]函数的周期性(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 019(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C.(2)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2，∵当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1.故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. [答案] (1)C (2)1 010[解题技法]函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x 轴的直线上，对称轴平行于y 轴)，那么这个函数一定具有周期性．[口诀记忆]函数周期三类型：一类直接定义求；二类图象题中有，图象重复是破口；三类图见两对称，隐藏周期别疏忽.[过关训练]1．[口诀第2句]已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即周期为1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2.2．[口诀第3、4句]已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 当0≤x ＜2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x ＜4时，0≤x －2＜2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )， 所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.同理可得，当4≤x＜6时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5＝4，x6＝5.当x7＝6时，也符合要求．综上可知，共有7个交点．3．[口诀第5、6句]已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是( )A．f(log27)＜f(－5)＜f(6)B．f(log27)＜f(6)＜f(－5)C．f(－5)＜f(log27)＜f(6)D．f(－5)＜f(6)＜f(log27)解析：选C 因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)＝0.于是，结合题意可画出函数f(x)在[－2,4]上的大致图象，如图所示．又2＜log27＜3，所以结合图象可知－1＜f(log27)＜0，故f(－5)＜f(log27)＜f(6)，故选C.考点四[全析考法过关] 函数性质的综合应用考法(一) 单调性与奇偶性综合[例1] (2018·石家庄质检)已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为( )A．{x|0＜x＜1或x>2} B．{x|x＜0或x>2}C．{x|x＜0或x>3} D．{x|x＜－1或x>1}[解析] 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)>0可转化为－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，故选A.[答案] A考法(二) 奇偶性与周期性综合[例2] (2019·赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)[解析] ∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.[答案] D考法(三) 单调性、奇偶性与周期性结合[例3] (2019·达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>b[解析] ∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，∴a>c>b，故选D.[答案] D[规律探求][过关训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )A．－50 B．0C ．2D ．50解析：选C ∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 解析：选D 根据题意，∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2.又∵f (x )在定义域R 上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f (x )在[0,1]上是增函数，∴函数f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f (x )在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32[课时跟踪检测]一、题点全面练1．(2018·天水一模)下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D 对于A ，y ＝x ＋1为非奇非偶函数，不满足条件．对于B ，y ＝－x 2是偶函数，不满足条件．对于C ，y ＝1x是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．对于D ，设f (x )＝x |x |，则f (－x )＝－x |x |＝－f (x )，则函数为奇函数，当x >0时，y ＝x |x |＝x 2，此时为增函数，当x ≤0时，y ＝x |x |＝－x 2，此时为增函数，综上，y ＝x |x |在R 上为增函数．故选D.2．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：选B 由已知得f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.故选B.3．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14D ．－12解析：选A ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.4．(2018·佛山一模)已知f (x )＝2x＋a2x 为奇函数，g (x )＝bx －log 2(4x＋1)为偶函数，则f (ab )＝( )A.174B.52 C ．－154D ．－32解析：选D 根据题意，f (x )＝2x＋a 2x 为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫2－x＋a2－x ＋⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a 2x ＝0，解得a ＝－1.g (x )＝bx －log 2(4x ＋1)为偶函数，则g (x )＝g (－x )，即bx －log 2(4x ＋1)＝b (－x )－log 2(4－x＋1)， 解得b ＝1，则ab ＝－1， 所以f (ab )＝f (－1)＝2－1－12－1＝－32. 5．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析：选A ∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)．又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又∵1＜2＜3，∴f (1)>f (2)＝f (－2)>f (3)，故选A.6．已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x 1＋x ＋t ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝6，则实数t ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．3解析：选D 令g (x )＝a sin x ＋b ln 1－x 1＋x ，易知g (x )为奇函数，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3.故选D.7．(2019·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x－1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解析：选D 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0192＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 008＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝－3＋1. 8．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，53C ．(1,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞解析：选A ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1＜x ＜1，f (－x )＝－f (x )，∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，即f (m －2)>f (－2m ＋3)．∵f (x )是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －2＜1，－1＜2m －3＜1，m －2＜－2m ＋3，∴1＜m ＜53.9．(2019·洛阳第一次统考)若函数f (x )＝ln(e x＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________.解析：法一：(定义法)∵函数f (x )＝ln(e x＋1)＋ax 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ln(e－x＋1)－ax ＝ln(e x＋1)＋ax ，∴2ax ＝ln(e －x＋1)－ln(e x＋1)＝ln e －x＋1e x ＋1＝ln 1ex ＝－x ，∴2a＝－1，解得a ＝－12.法二：(取特殊值)由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)，∴ln(e －1＋1)－a ＝ln(e 1＋1)＋a ，∴2a ＝ln(e －1＋1)－ln(e 1＋1)＝ln e －1＋1e ＋1＝ln 1e＝－1，∴a ＝－12.答案：－1210．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x＋2)；③当0≤x ＜1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋0＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0) ＝212－1＋20－1 ＝2－1. 答案：2－1二、专项培优练(一)技法专练——活用快得分 1．[巧用性质]已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．8 解析：选C f (x )＝2·2|x |＋1＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1， 设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R)， ∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0.∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4.2．[巧用性质]设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为________．解析：由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1. 所以x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 3．[数形结合]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，作出f (x )的图象如图所示，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．(二)素养专练——学会更学通4．[逻辑推理]奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选D 由函数f (x ＋2)为偶函数可得，f (2＋x )＝f (2－x )．又f (－x )＝－f (x )，故f (2－x )＝－f (x －2)，所以f (2＋x )＝－f (x －2)，即f (x ＋4)＝－f (x )．所以f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，故该函数是周期为8的周期函数．又函数f (x )为奇函数，故f (0)＝0.所以f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1.5．[逻辑推理]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解析：选D ∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数，∴f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．6．[数学运算]定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值等于( )A ．403B ．405C ．806D ．809解析：选B 定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.7．[数学运算]设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求函数f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。