第讲函数与方程

所以函数 f(x)＝ex＋4x－3 是单调增函数．
所以函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零点在14，12内．
判断函数 y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用 以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是 否有根落在给定区间上；②利用函数零点的存在性定理进行判断； ③通过函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判 断．
考点2 二分法的应用
例2：已知函数 f(x)＝lnx＋2x－6. (1)证明函数 f(x)在其定义域上是增函数； (2)证明函数 f(x)有且只有一个零点； (3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.
解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 设x1<x2，则lnx1<lnx2,2x1<2x2. ∴lnx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6. ∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
的取值范围.
1．图 3－6－1 是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公 共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)在区间( ) 上的零点．( B )
A．[－2.1，－1] C．[4.1,5]
图 3－6－1 B．[1.9,2.3] D．[5,6.1]
2．用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时，第一次经计
给定精度ε，用二分法求函数 y＝f(x)的零点近似值 的步骤如下：
(1)确定区间[m，n]，验证f(m)·f(n)<0，给定精度ε； (2)求区间[m，n]的中点x1； (3)计算f(x1)： ①若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的零点； ②若f(m)f(x1)<0，则令n＝x1[此时零点x0∈(m，x1)]； ③若f(x1)f(n)<0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]．
y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程 2x＝x2 的一个根位于下列哪个区间( )
A．(0.6,1.0) C．(1.8,2.2)
B．(1.4,1.8) D．(2.6,3.0)
解题思路：判断函数f(x)＝2x－x2 在各个区间两端点的符号． 解析：①由f(0.6)＝1.516－0.36>0，f(1.0)＝2.0－1.0>0，排除 A；由 f(1.4)＝2.639－1.96>0，f(1.8)＝3.482－3.24>0，排除B；由 f(1.8)＝3.482－3.24>0，f(2.2)＝4.595－4.84<0，可确定方程2x＝x2 的一个根位于区间(1.8,2.2)上． 答案：C
【互动探究】 2．用二分法求方程 x3－2x－5＝0 在区间[2,3]上的近似解，取
区间中点 x0＝2.5，那么下一个有解区间为___[_2_,2_._5_]__．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0， f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝2.5×(2.52－22)>0，故下一个有解区间 为[2,2.5]．
第6讲 函数与方程
考纲要求
考纲研读
对于零点性质要注意函数与
1.结合二次函数的图象，了解函数 方程的结合，借助零点的性质 的零点与方程根的联系，判断一元
可研究函数的图象、确定方程 二次方程根的存在性及根的个数．
的根；对于连续函数，利用根
2．根据具体函数的图象，能够用二 的存在性定理，可用来求参数 分法求相应方程的近似解.
算 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点 x0∈________，第二次应
计算________．以上横线上应填的内容为( A )
A．(0,0.5)，f(0.25)
B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75)
D．(0,0.5)，f(0.125)
3．lgx－—1x ＝0 有解的区域是( B )
(2)∵f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0， ∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点． 又由(1)知 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此 f(x)＝0 至多有一 个根，从而函数 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (3)由(2)知 f(x)的零点 x0 在(2,3)上， 取 x1＝52，∵f52＝ln52－1<0，∴f52·f(3)<0.∴x0∈52，3. 取 x1＝141，∵f141＝ln141－12>0，∴f52·f141<0.∴x0∈52，141. 而141－52＝14≤14，∴52，141即为符合条件的区间．
A．(0,1] C．(10,100]
B．(1,10] D．(100，＋∞)
4．(2010 年天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一个区间
是( C ) A．(－2，－1) C．(0,1)
B．(－1,0) D．(1,2)
5．关于 x 的一元二次方程 5x2－ax－1＝0 有两个不同的实根， 一根位于区间(－1,0)，另一根位于区间(1,2)，则实数 a 的取值范围
②(2011年新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为( C )
A.－14，0
B.0，41
C.14，12
D.12，34
源自文库
解析：因为
f14＝e
1 4
－2<0，f12＝e
1 2
－1>0，所以
1 1 f4·f2<0.
又因为函数 y＝ex 是单调增函数，y＝4x－3 也是单调增函数，
【互动探究】 1．(2011年山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且
a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)， n∈N*，则n＝__2__.
解析：f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0， ∴x0∈(2,3)．故所求的n＝2.
为________.
考点1 判断函数零点所在的区间 例1：①利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …