第讲函数与方程
第8讲 函数与方程
第八讲《函数与方程》【学习目标】理解零点与方程实数解的关系，掌握函数的概念，性质，图像和方法的综合问题，熟悉导数与零点的结合，方程，不等式，数列与函数结合的问题。
【基础知识回顾】：1、2.用二分法求方程近似解的一般步骤：【基础知识自测】1、已知不间断函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，且)()(b f a f ∙<0，则方程0)(=x f 在区间⎣⎦b a ,上 （ ） （A ） 至少有一实根 （ B ） 至多有一实根 （C ）没有实根 （ D ）必有唯一的实根2、函数xx f x 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ）（A ） （1，2） （ B ） （2，3） （ C ） （e,3） （ D ）(e,+∞) 4、若函数)(x f 的图像与函数)(x g 的图像有且只有一个交点，则必有（ ）（A ）、函数)(x f y =有且只有一个零点 （B ）、函数)(x g y =有且只有一个零点 C 、函数)()(x g x f y +=有且只有一个零点 D 、函数)()(x g x f y -=有且只有一个零点5、已知y=x(x-1)(x+1)的图像如图所示，令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解得叙述正确的是① 有三个实根 ② 当x>1时，恰有一实根③当0<x<1时，恰有一实根 ④当-1<x<0时，恰有一实根 ⑤当-x<-1时，恰有一实根【典型例题剖析】一、确定函数的零点例1、判断方程0243=--x x 在区间[]0,2-内至少有几个实数解，并说明理由。
跟踪练习：已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x,f(x)对应填表：则函数在区间[]61，上的零点至少有（ ）A 2个B 3个C 4个D 5个 二、用二分法解决函数的零点问题例2、用二分法求函数f(x)=13--x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1内的一个零点。
高考数学总复习第一讲：函数与方程
高考数学总复习第一讲：函数与方程函数描述了自然界中量的依存关系,反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系．在解决某些数字问题时,先设定一些未知数,然后把它们当作数,根据题设本身各量间的制约,列出等式,所设未知数沟通了变量之间的关系,这就是方程的思想．函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,一个函数假设有解析表达式,那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程,两个变量存在着对应关系,如果这个对应关系是函数,那么这个方程可以看成是一个函数,一个一元方程,它的两端可以分别看成函数,方程的解即为两个函数图象交点的横坐标,因此,许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之,许多有关函数的问题那么可以用方程的方法解决．总之,在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想,用它来指导解题．在解题中,同时要注意从不同的角度去观察探索,寻求多种方法,从而得到最正确解题方案．一、例题分析例1．F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数,试比拟α,β的大小．分析：一般情况下,F〔x〕可以看成两个幂函数的差．函数值为正数,即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方,这时为了判断幂指数α,β的大小,就需要讨论α,β的值在〔1,+∞〕上,或是在〔0,1〕上,或是在〔0,1〕内的常数,于是F〔x〕成为两个同底数指数函数之差,由于指数函数y=a t(0<α<1)是减函数,又由于xα-xβ>0,所以得α<β．例2．0<a<1,试比拟的大小．分析：为比拟aα与(aα) α的大小,将它们看成指数相同的两个幂,由于幂函数在区间[0,+∞]上是增函数,因此只须比拟底数a与aα的大小,由于指数函数y=a x(0<a<1)为减函数,且1>a,所以a＜aα,从而aα<(aα) α．比拟aα与(aα) α的大小,也可以将它们看成底数相同〔都是aα〕的两个幂,于是可以利用指数函数是减函数,由于1>a,得到aα<(aα) α．由于a＜aα,函数y=a x(0<a<1)是减函数,因此aα>(aα) α．综上, ．解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当,解决问题简单．例3．关于x的方程有实根,且根大于3,求实数a的范围．分析：先将原方程化简为a x=3,但要注意0<x<3且x≠1．现将a x看成以a为底的指数函数,考虑底数a为何值时,函数值为3．如图〔1〕,过〔3,3〕点的指数函数的底,现要求0<x<3时,a x=3,所以,又由于x≠1,在图〔1〕中,过〔1,3〕点的指数函数的底a=3,所以．假设将a x=3变形为,令,现研究指数函数a=3t,由0<x<1且x≠1,得,如图〔2〕,很容易得到：．通过本例,说明有些问题可借助函数来解决,函数选择得当,解决就便利．例4．函数f(x)是定义在实数集上的周期函数,且是偶函数,当x∈[2,3]时,f(x)=x,那么当x∈[-2,0]时,f(x)的解析式是〔〕．〔A〕f(x)=x+4 〔B〕f(x)=2-x〔C〕f(x)=3-|x+1| 〔D〕f(x)=3+|x+1|解法一、∵f(-2)=f(2)=2 f(-1)=f(3)=3,∴只有〔A〕、〔C〕可能正确．又∵f(0)=f(2)=2,∴〔A〕错,〔C〕对,选〔C〕．解法二、依题意,在区间［2,3］上,函数的图象是线段AB, ∵函数周期是2, ∴线段AB左移两个单位得［0,1］上的图象线段CD；再左移两个单位得［–2,1］上的图象线段EF ．∵函数是偶函数, ∴把线段CD沿y轴翻折到左边,得［–1,0］上的图象线段FC．于是由直线的点斜式方程,得函数在［–2,0］上的解析式：即由于x∈[-2,-1]时,x+1≤0,x∈(-1,0)时,x+1>0, 所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0]．解法三、当x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3],∵函数周期是2,∴f(x+4)=f(x)．而f(x+4)=x+4, ∴x∈[-2,-1]时,f(x)=x+4=3+(x+1)．当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1], 且-x+2∈[2,3]．∵函数是偶函数,周期又是2,∴ ,于是在［–2,0］上, ．由于x∈[-2,-1]时,x+1≤0,x∈(-1,0)时,x+1>0, 根据绝对值定义有x∈[-2,0]时,f(x)=3-|x+1|．此题应抓住“偶函数〞“周期性〞这两个概念的实质去解决问题．例5．y=log a(2-ax)在［0,1］上是x的减函数,那么a的取值范围是〔〕．〔A〕〔0,1〕〔B〕〔1,2〕〔C〕〔0,2〕〔D〕［2,+∞］分析：设t=2-ax,那么y=log a t, 因此,函数是上面这两个函数的复合函数,其增减性要考查这两个函数的单调性,另外,还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用．解法一、由于a≠1,所以〔C〕是错误的．又a=2时,真数为2–2x,于是x≠1,这和矛盾,所以〔D〕是错的．当0<a<1时,t=2-ax是减函数,而y=log a t也是减函数, 故y=log a(2-ax)是x的增函数,所以〔A〕是错的．于是应选〔B〕．解法二、设t=2-ax,y=log a t 由于a>0,所以t=2-ax是x的减函数, 因此,只有当a>1,y=log a t是增函数时,y=log a(2-ax)在［0,1］上才是减函数；又x=1时,y=log a(2-a), 依题意,此时,函数有定义,故2–a>0 综上可知：1<a<2, 故应选〔B〕．例6． ,函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称,那么g(5)=_____________-解法一、由去分母,得 ,解出x,得 , 故 ,于是 , 设 ,去分母得, ,解出x,得 ,∴的反函数．∴．解法二、由 ,那么 , ∴ ,∴．即的反函数为 ,根据：∴．解法三、如图,f(x)和f-1(x)互为反函数,当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时,做为“镜面〞的另一侧的“象〞f(x)的图象一定向下平移1个单位,因此f-1(x+1)的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称．故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1,∴．本解法从图象的运动变化中,探求出f-1(x+1)的反函数,表达了数形结合的优势出二、稳固练习（1）函数在区间上的最大值为1,求实数a的值．〔1〕解：f(x)在区间上最大值可能在端点外取得,也可能在顶点外取得, , ,而顶点横坐标 ,最大值在顶点外取得,故此解舍去．当最大值为f(2)时,f(2)=1, ,顶点在应在区间右端点取得最大值,此解合理．当最大值在顶点处取得时,由 ,解得 ,当,此时,顶点不在区间内,应舍去．综上,．〔2〕函数的定义域是［a,b］,值域也是［a,b］,求a.b的值．2〕解：y=f(x)的图象如图,分三种情况讨论．当a<b≤0时,f(x)为递增函数,有 ,解得, ,由于b>0,应舍去．当0≤a<b时,f(x)为递减函数,有 ,解得：a=1,b=2．当a<0<b时,f(x)最大值在顶点处取得,故 , ,所以最小值应在a处取得．〔2〕解：y=f(x)的图象如图,分三种情况讨论．当a<b≤0时,f(x)为递增函数,有 ,解得, ,由于b>0,应舍去．当0≤a<b时,f(x)为递减函数,有 ,解得：a=1,b=2．当a<0<b时,f(x)最大值在顶点处取得,故 , ,所以最小值应在a处取得．,解得： ,综上,或〔3〕求函数的最小值．解〔3〕分析：由于对数的底已明确是2,所以只须求的最小值．〔3〕解法一：∵ ,∴x>2．设 ,那么 ,由于该方程有实根,且实根大于2,∴解之,μ≥8．当μ=8时,x=4,故等号能成立．于是log2≥0且x=4时,等号成立,因此的最小值是3．解法二：∵ ,∴x>2设 ,那么 =∴μ≥8且 ,即x=4时,等号成立,∴log2μ≥3且x=4时,等号成立．故的最小值是3．〔4〕a>0,a≠1,试求方程有解时k的取值范围． 4〕解法一：原方程由②可得：③,当k=0时,③无解,原方程无解；当k≠0时,③解为 ,代入①式,．解法二：原方程 ,原方程有解,应方程组,即两曲线有交点,那么ak<-a或0<ak<a(a>0)∴k<-1或0<k<1．〔5〕设函数〔Ⅰ〕解不等式f(x)≤1〔Ⅱ〕求a的取值范围,使f(x)在[0,+∞]上是单调函数．5〕解〔Ⅰ〕,不等式f(x≤1),即由此得：1≤1+ax即ax≥0,其中常数a>0, ∴原不等式即∴当0<a<1时,所给不等式解集为 ,当a≥1时,所给不等式解集为{x|x≥0}．〔Ⅱ〕在区间[0,+∞)上任取x1,x2,使得x1<x2,〔ⅰ〕当a≥1时,∵∴又∴所以,当a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数．〔ⅱ〕当0<a<1时,在[0,+∞)上存在两点满足f(x1)=1,f(x2)=1 ,即f(x1)=f(x2),∴函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数．。
方程与函数思想在圆锥曲线的应用(第一讲)
方程与函数思想在圆锥曲线的应用 【核心内容及思想】解析几何是将形与数结合在一起的一门学科.研究形的问题，往往是通过数表示出来，而数又是通过方程予与定量的.因此求解析几何的有关问题，常常通过方程予与解答.深刻理解方程思想对于研究解析几何中问题有着至关重要的作用.方程思想的核心是运用数学的符号化语言，将问题中已知量和未知量(或参变量---对于一个式子（函数、方程或不等式），若含有两个或两个以上的变量，如果其中一个变量在允许的范围内的变化，直接或间接地影响另外一个或两个变量的变化（或性质改变），则我们将这一变量称为参变量.)之间的数量关系，抽象为方程（或方程组）、不等式等数学模型，然后通过对方程(或方程组)、不等式的变换求出未知量的值，使问题获解. 【例题及习题】1. （1）若椭圆的长轴长为2，离心率为12，则椭圆的标准方程为______________(2)若双曲线的渐近线方程为32y x =±，则该双曲线的离心率为_________(3) 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为___________． 2. 若圆1O 的方程为()41)1(22=+++y x ，圆2O 的方程为()12)3(22=-+-y x ，则方程()1)2()3(41)1(2222--+-=-+++y x y x 表示的轨迹是（ ）A ． 经过1O 、2O 的直线B ． 线段21O O 的中垂线C ． 两圆公共弦所在的直线D.一条直线且过该直线上点到两圆的切线长相等3. 点P 在2211620x y -=上，若19,PF =则2PF =4. 设(),P x y 1=上的点,()14,0F -,()24,0F ，则必有（ ） （A ）1210PF PF +≤ （B ）1210PF PF +< （C ）1210PF PF +≥ （D ）1210PF PF +>5. 在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数()(2)3f x k x =-+的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题： ① 存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；② 存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有两条； ③ 存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有三条；④ 存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有四条. 其中所有真命题．．．的序号是 A ．①②③ B ．③④ C ．②④ D ．②③④ 6. 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”7.已知直线l 与抛物线y 2=x 交于点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),若y 1y 2=-1,点O 为坐标原点，则△OAB 是（ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 锐角三角形D 任意三角形8. 过抛物线y 2=x 上一点A （4,2）作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B 、C 两点，直线BC 的斜率为____.9. 抛物线x 2=2y 上离点A （0，a ）最近的点恰好是顶点的充要条件是（ ）A a ≤0B a 21≤ C a ≤1 D a ≤210.设椭圆42x ＋y 2=1上一点，F 1、F 2是椭圆的左、右两个焦点，则｜PF 1｜｜PF 2｜的最大值为＿＿＿＿＿；最小值为＿＿＿＿11. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且BF 2FD =uu r uu r，则C 的离心率为 .12. 已知圆A ：()2232x y -+=，点P 是抛物线C ：24y x =上的动点，过点P 作 圆A 的两条切线，则两切线夹角的最大值为 .13. 在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点①求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；②写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．14. 如图，在平面直角坐标系中，方程为220x y Dx Ey F ++++=的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上 .（1）求证：0F <；（2）若四边形ABCD 的面积为8，对角线AC 的长为2，且0A B A D ∙=，求224D E F +-的值；（3）设四边形ABCD 的一条边CD 的中点为G ，OH AB ⊥且垂足为H .试用平面解析几何的研究方法判断点O 、G 、H15. 已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为22=e .（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）若过点B （2，0）的直线l （斜率不等于零）与椭圆C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），且∆OBE 与∆OBF 的面积之比为12，求直线l 的方程.16.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设Q （x ，y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值.17.在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.18.已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.19. 已知过抛物线x 2=4y 的对称轴上一点P(0，m)(m>0)作直线l ，l 与抛物线交于A 、B 两点.(1)若角∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围. (2)若l 的方程为x-2y+12=0,且过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A(A 在第一象限)处有共同的切线，求圆C 的方程.20. 已知抛物线2:4C y x =，点M (m ,0)在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若m =1，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；（Ⅱ）若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.21. 椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率e=32,直线l 交椭圆于点A 、B ，满足CA ＝2BC ，其中，定点C （1,0）.当△OAB 取得最大值时，求椭圆的方程.,(0,),,,.2l y P m C A B AP PB λ=直线与轴交于点与椭圆交于相异两点且22. 如图，椭圆22:14y C x +=短轴的左右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D ，.（Ⅰ）若CE FD =，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，若12:k k =23O ，焦点在y 轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为（1）求椭圆方程；（2）若m 求,4=+λ的取值范围.24.已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）.（1） 求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.25.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.26. 已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12e =. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程； (Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.27. 设动点M 的坐标为(,)x y （x y ÎR 、），向量a (2,)x y =-，b (2,)x y =+，且+a b =8.（I ）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)N 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若OP OA OB =+uu u r uu r uu u r（O为坐标原点），是否存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.28. 如图，已知A B 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，P Q 、是该椭圆上不同于顶点的两点，且直线AP 与QB 、PB 与AQ 分别交于点M N 、． （1）求证：MN AB ⊥；（2）若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，试求直线MN 的方程．30. 已知点(1,)M y 在抛物线2:2C y px =(0)p >上，M 点到抛物线C 的焦点F 的距离为2，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程； （Ⅲ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值.31. 已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e .（Ⅰ）若e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点. 若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围.。
第二章 第八节 函数与方程
1.函数的零点
横轴的交点的横坐标 （1）定义：函数y=f(x)的图像与___________________称为这
个函数的零点. （2）几个等价关系：
解
交点
零点
2.函数零点的存在性定理 连续曲线 函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像是_________，并且
f(a)·f(b)<0 _____________，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零
（2）(2013·阜阳模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的 零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可能是( （A）f(x)=4x-1 （C）f(x)=ex-1 （B）f(x)=(x-1)2 （D）f x ln(x 1 )
2
)
（3）（2013·湛江模拟）设函数y=x3与 y ）2 的图像的交 （ x 点为（x0,y0）,若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是_____. 【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点，根据函数 的单调性判断零点的个数. (2)根据g(x)的单调性及g(0),g(0.25),g(0.5)的符号确定函数 g(x)零点所在区间，从而明确函数f(x)的零点所在区间，最后 通过求函数f(x)的零点确定f(x). (3)画出两个函数的图像寻找零点所在区间.
立的条件是x=e,故g(x)的值域是［2e,+≦)，因此，只需m≥2e, 则g(x)=m就有实数根.
e2 方法二：作出 g x x (x 0) 的大致图像如图： x
可知若使g(x)=m有实数根，则只需m≥2e.
（2）若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图像
高三数学复习学案：第1讲 函数与方程思想
函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点．1．函数的思想用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识．2．方程的思想在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．题型二 函数与方程思想在方程问题中的应用例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．变式训练 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围．题型三 函数与方程思想在不等式问题中的应用例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有的实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．变式训练 设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围．第1讲 函数与方程思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为________．2．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是________．3．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－6,1)，而(λa ＋b )⊥(a －λb )，则实数λ＝__________.4．方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为________．5．已知R 上的减函数y ＝f (x )的图象过P (－2，3)、Q (3，－3)两个点，那么|f (x ＋2)|≤3的解集为________．6．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为__________．7．若关于x 的方程4cos x －cos 2x ＋m －3＝0恒有实数解，则实数m 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )－2，其中a <b ，且α，β(α<β)是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系为________．9．已知等差数列{a n }共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的和为30，则它的公差d ＝________.10．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是__________．11．若存在a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围是____________．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2， －3≤x ≤3，x 2－6，x <－3或x >3，若0<m <n ，且f (m )＝f (n )，则mn 2的取值范围是________．二、解答题13．设P (x ，y )是椭圆x 24＋y 22＝1上的动点，定点M (12，0)，求动点P 到定点M 距离的最大值与最小值．14.已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．15．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)满足条件：f (x －1)＝f (3－x )，且方程f (x )＝2x 有等根．是否存在实数m ，n (m <n )，使f (x )定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m,4n ]，如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，说明理由．。
高考数学第1讲 函数与方程思想——骨肉相连
大二轮复习 数学（文）
应用(四) 构造“方程形式”，利用方程思想解决问题 (2018·全国卷Ⅲ)已知点 M(－1，1)和抛物线 C：y2＝4x，
过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点．若∠AMB＝90°， 则 k＝________．
大二轮复习 数学（文）
解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为 F(1，0)， 设直线方程为 y＝k(x－1)， 直线方程与 y2＝4x 联立，消去 y， 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2＝1，x1＋x2＝2kk2＋2 4.
大二轮复习 数学（文）
大二轮复习 数学（文）
解析：由余弦定理得 cos B＝a2＋2ca2c－b2，
∴a2＋c2－b2＝2accos
B．
又∵S＝ 43(a2＋c2－b2)，
∴12acsin B＝ 43×2accos B，∴tan B＝ 3， ∵B∈0，π2 ，∴∠B＝π3 . 又∵∠C 为钝角，∴∠C＝2π 3 －∠A>π2 ，∴0<∠A<π6 .
大二轮复习 数学（文）
3．设 0<a<1，e 为自然对数的底数，则 a，ae，ea－1 的大小关系为
( B) A．ea－1<a<ae
B．ae<a<ea－1
C．ae<ea－1<a
D．a<ea－1<ae
大二轮复习 数学（文）
解析：选 B.设 f(x)＝ex－x－1，x>0，则 f′(x)＝ex－1>0， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)>0， ∴ex－1>x，即 ea－1>a. 又 y＝ax(0<a<1)在 R 上是减函数，得 a>ae， 从而 ea－1>a>ae.故选 B.
第1讲 函数、方程、不等式的思想(讲学稿)2
【课题】函数与方程的思想方法【课型】复习课【上课时间】2011-3-7【学习目标】1.掌握初等函数的基本性质；2.通过建立函数关系式或构造中间函数，把方程和不等式问题转化为函数问题来解决；3.体会数学知识之间的相互联系，养成分析问题和总结方法的习惯。
【学习过程】一、热身训练1.若方程013422=-++m mx x 有两个负根，则实数m 的取值范围是2.方程012lg =-+x x 的实数解的个数是3.不等式042>+-k x kx 恒成立，则实数k 的取值范围是4.数列n n n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110)1(},{，,N n ∈则当=n 时，n a 最大。
二、新课讲解订正栏例题1 方程222=+-x x 的实数解的个数是 。
练习（1）不等式12+>-x x 的解集是（2）已知α是方程42=+x x 的根，β是方程4log 2=+x x 的根，则=+βα例题2 已知关于x 的方程0122=+++m mx x 的两个实数根1x 与2x 满足212x x <<，求实数m 的取值范围。
例题3 已知关于x 的方程0322=++a ax x 在]1,1[-上有实数解，求实数a 的取值范围。
练习（1）若关于x 的方程0532=+-a x x 的一个根在)0,2(-内，另一个根在)3,1(内，求a 的取值范围。
（2）已知a 是实数，函数a x ax x f --+=322)(2，如果函数)(x f y =在区间]1,1[-上有零点，则实数a 的取值范围是（3）（2010上海高考）若0x 是方程3121x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛的解，则0x 属于区间（ ） A.)1,32( B.)32,21( C.)21,31( D.)31,0(例题4 对满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 的范围。
练习：设不等式)2(442x m x x ->+-对满足1||≤m 的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围。
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
第八节 函数与方程 课件(共31张PPT)
答案：C
2．函数 f(x)＝4cos2 x2·cosπ2－x－2sin x－|ln(x＋1)| 的零点个数为________．
解析：f(x)＝2(1＋cos x)sin x－ 2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋ 1)|，x>－1，函数 f(x)的零点个数即为 函数 y1＝sin 2x(x>－1)与 y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的 交点个数．分别作出两个函数的图象如图所示，可知有两 个交点，则 f(x)有两个零点．
x2－2x，x≤0， 1．已知函数 f(x)＝1＋1x，x>0， 则函数 y＝f(x)＋
3x 的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：令 f(x)＋3x＝0，
则xx≤2－02，x＋3x＝0或x1>＋01x，＋3x＝0，
解得 x＝0 或 x＝－1，
所以函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是 2.
的取值范围是( )
A．a<－1
B．a>1
C．－1<a<1 D．0≤a<1 解析：令 f(x)＝2ax2－x－1， ①当 a＝0 时，－x－1＝0，x＝－1 不合适． ②a≠0 时，f(0)·f(1)<0，a>1.验证若 f(0)＝0，此式不成立； 当 f(1)＝0 时，2a－1－1＝0.
a＝1，方程另一根为－12(不合题意)，故 a>1，选 B. 答案：B
考点 2 判断函数零点个数
[例 1] (1)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，的零点个数
为( )
A．3
B．2
C．7
D．0
(2)已知函数 y＝f(x)是周期为 2 的周期函数，且当 x∈
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第9节 函数与方程
f( )= -lo +1= -log23=log2 -log2 <0,
f( )= -lo +1= >0,
所以函数 f(x)=x-lo x+1 的零点所在的区间为( , ).故选 C.
(2)(2024·广东深圳模拟)定义开区间(a,b)的长度为b-a.经过估
对于B,因为f(1)=-1<0,f(2)=log32+2-2=log32>0,即f(1)f(2)<0,
所以∃x0∈(1,2),使得f(x0)=0,B正确;对于C,D,当x>2时,f(x)>f(2)>0,
所以f(x)在区间(2,3)和(3,4)上无零点,C错误,D错误.故选B.
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图
象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间
(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是
否有交点来判断.
[针对训练]
(1)(2024·云南昆明模拟)函数f(x)=x- lo x +1的零点所在的区
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函
数的图象,然后数形结合求解.
角度二
求函数零点之和
[例4] (2024·江西新余模拟)函数f(x)=2-
-
-
高一数学竞赛讲座2函数方程与函数迭代
函数方程与函数迭代函数方程问题一直是各国重大竞赛中的热点问题，以IMO 为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中，有30多道是函数方程的试题，几乎是每届一题.在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的.究其原因，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论〔一般是要直接求出表达式〕.【根底知识】表示某一类〔或某一个〕函数所具有的一定性质的关系式叫做函数方程〔其中()f x 为未知函数〕.如果一个函数对其定义域内变量的一切值均满足所给的方程，那么称()f x 为这个函数方程的解.寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，就是解函数方程.我们粗略地归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类： 1.换元法： 2.解方程〔组〕法 3.待定系数法 4.代值减元法当所给的函数方程中变量不止一个时，和普通方程一样，求解时首先要设法减少变量个数，代值减元就是一种减少变量的方法，它通过适当地对自变量赋于特殊值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.5.柯西法先求出对于自变量取所有正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解.这里我们给出一个定理：柯西函数方程的解定理：假设()f x 是单调〔或连续〕函数，且满足()()()f x y f x f y +=+(,),x y R ∈那么()(1).f x xf =〔我们将此定理的证明放于例题中进行讲解.〕6.递归法借助数列对函数方程加以研究的方法.设()f n 是定义在R +上的函数，如果存在递推关系S 和初始条件1(1),f a =当知道(1),(2),,()f f f n 的值后，由S 可以惟一确定(1)f n +的值，我们称()f n 为递归函数.递推法主要解决递归函数问题.7.不动点法一般地，设函数()f x 的定义域为D ，假设存在0x D ∈，使00()f x x =成立，那么称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为函数()y f x =图象的不动点.对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后利用数学归纳法证明，往往会使算法简单些.【典例精析】【例1】11()(),x xf x f x x--+=求().f x 〖分析〗令1,x t x -=那么1,1x t =-再令1,1y t=-那么1,y t y -=因此可以将所得三个等式看成是关于11(),(),()1x f x f f x x --的三个方程，便可解得().f x解：设1,x t x -=那么1,1x t =-代入原式，得11()(),11f f t t t +=--即11()()1,11f f x x x+=+-- ○1 设1,1t x =-那么代入原式，得111()()1.1t t f f t t t --+=+-即1121()(),1x x f f x x x--+=- ○2 将○1○2与原方程联立，解得321().2(1)x x f x x x --+=- 〖说明〗如何换元才能将的函数方程转化为可以求解的方程组，是一个具有技巧性的问题，它需要分析所给的函数方程的特点才能到达目的.本例通过再次换元得到关于11(),(),()1x f x f f x x--的方程组，消去11(),(),1x f f x x--从而求得().f x 【例2】证明：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f ，满足条件： (1) 对所有非零实数x ，f (x )=xf (1x)；〔2〕对所有的x ≠－y 的非零实数对(x ,y )，有f (x )+f (y )=1+f (x +y ) 2.证明：f (x )=x +1显然适合〔1〕、〔2〕。
函数与方程的思想详解
专题函数与方程思想一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
二、经典例题剖析(根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析，要求例题不得少于8个)1. (湖北卷)关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( ).A. 0B. １C. ２D. ４解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1. 根据题意可令｜x 2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t 2－t ＋k ＝0，(*)作出函数t ＝｜x 2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t ＝0或t ＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根.(1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个，故选A.2. 由函数f(x)＝(x 2－1)2－|x 2－1|的图象(如下图)及动直线g(x)＝k 可得出答案为A.3. 设t ＝|x 2－1|(t≥0)，t 2－t ＋k ＝0，方程的判别式为Δ＝1－4k ，由k 的取值依据Δ＞0、△＝0、△＜0从而得出解的个数.4. 设函数f(x)＝，利用数轴标根法得出函数与x 轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A. 答案：A点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.2. (广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ). Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 3 Ｄ. 2解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d 据题意得：答案：C点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d ，q)列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.3. (安徽卷)已知＜α＜π，tanα＋cotα＝－.(１)求tanα的值；(２)求的值.解析：(１)由tanα＋cotα＝－103得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13， 又3π4＜α＜π，所以tanα＝－13=为所求.答案： 点评：第(１)问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα＋cotα＝－103变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.4. (江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ).Ａ. ０ Ｂ. －２ Ｃ. －52Ｄ. －３ 解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：１. 分离变量，有a≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2. 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围. 3. 设f(x)＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.5. (全国卷Ⅱ)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且(λ＞0).过A 、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明为定值； (2)设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f(λ)的表达式，并求S 的最小值.解：(1)证明：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由，得(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，即将①式两边平方并把代入得 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y′＝12x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即. 解出两条切线的交点M 的坐标为，所以＝ .所以为定值，其值为0. (2)由(1)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB| |FM|. |FM|＝＝＝＝＝.因为|AF|、|BF|分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝()2.于是S ＝12|AB| |FM|＝12()3由≥2知S≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4.点评：在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.6. 设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( ).Ａ. (－3，0)∪(3，＋∞) Ｂ. (－3，0)∪(0，3)Ｃ. (－∞，－３)∪(3，＋∞) Ｄ. (－∞，－３)∪(０，３)解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x ＜0时，F′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x ＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)，所以选D.答案：D点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F(x)＝f(x)g(x)，再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.7. 函数f(x)是定义在［０，１］上的增函数，满足f(x)＝２f(x 2)且f(１)＝１，在每一个区间(］(i ＝１，２……)上，y ＝f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分.(1) 求f(０)及f(12)，f(14)的值，并归纳出f()(i ＝１，２，……)的表达式； (２)设直线x ＝，x ＝，x 轴及y ＝f(x)的图象围成的梯形的面积为a i (i ＝１，２，……)，记Ｓ(k)＝lim n→∞(a 1＋a 2＋…a n )，求Ｓ(k)的表达式，并写出其定义域和最小值. 解析：以函数为细节，注重命题结构网络化，(１)由f(0)＝２f(０)，得f(０)＝０.由f(１)＝２f(12)及f(１)＝１，得 f(12)＝12f(１)＝12.同理，f(14)＝12f(12)＝14. 归纳得f()＝(i ＝１，２，……).(２)当＜x≤=时，所以｛a n ｝是首项为12(１－k 4)，公比为14的等比数列，所以.Ｓ(k)的定义域为｛k|0＜k≤1｝，当k ＝1时取得最小值12. 点评：高考命题寻求知识网络化已是大势所趋，而函数是把各章知识组合在一起的最好的“粘合剂”.高考试题注重知识的联系，新而不偏，活而不怪.这样的导向，就要求在学习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，注意培养我们用联系的观点去思考问题的习惯.8. 对任意实数k ，直线：y ＝kx ＋b 与椭圆：(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 取值范围是 .解析：方法１，椭圆方程为，将直线方程y ＝kx ＋b 代入椭圆方程并整理得. 由直线与椭圆恒有公共点得化简得由题意知对任意实数k，该式恒成立，则Δ′＝12(b－1)2－4［１６－(b－1)2］≤0，即－１≤b≤３方法２，已知椭圆与y轴交于两点(０，－１)，(０，３).对任意实数k，直线：y＝kx＋b与椭圆恒有公共点，则(０，b)在椭圆内(包括椭圆圆周)即有≤1，得－1≤b≤3.点评：方法１是运用方程的思想解题，这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法２运用数形结合的思想解题，是相应的变代数问题为几何问题的方法.高考试题中设置一题多解的试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判出能力与素养上的差异.三、方法总结与2008年高考预测(一)方法总结1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程
第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．例1(1)(2022·杭州模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x) x的图象可能是()log＝1b(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论一定成立的是()A．a＋b≤0 B．a－b>0C．a－b≤0 D．a＋b≥0规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1(1)(2022·山东名校大联考)若a＝log32，b＝log52，c＝e0.2，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<b<c(2)(2022·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．考点二 函数的零点 核心提炼判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断．(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 考向1 函数零点个数的判断例2 已知f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 5|x |的零点个数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8考向2 求参数的值或范围例3 (2022·河北联考)函数f (x )＝e x 和g (x )＝kx 2的图象有三个不同交点，则k 的取值范围是________．规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2 (1)(2022·合肥模拟)若f (x )为奇函数，且x 0是y ＝f (x )－2e x 的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e －x －2B ．y ＝f (x )e x ＋2C ．y ＝f (x )e x －2D ．y ＝f (－x )e x ＋2(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x <0，x ，x ≥0，若关于x 的方程f (x )＝a (x ＋1)有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．考点三 函数模型及其应用核心提炼解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．例4 (1)(2022·西安模拟)2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球．中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式Δv ＝v e ln m 0m 1，其中Δv 为火箭的速度增量，v e 为喷流相对于火箭的速度，m 0和m 1分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭v e 达到5公里/秒，m 0m 1从100提高到600，则速度增量Δv 增加的百分比约为( ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)A ．15%B ．30%C ．35%D ．39%(2)(2022·福州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L ＝00GG L D ，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，L 0表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，G 0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 3≈0.477 1)( )A ．11B ．22C ．227D ．481易错提醒 构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型．(2)构建的函数模型有误．(3)忽视函数模型中变量的实际意义．跟踪演练3 (1)(2022·荆州联考)“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)河水污染质量指数为m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝r k ＋⎝⎛⎭⎫m 0－r k e kt -v (m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年(2)(2022·广东大联考)水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间t(单位：小时)与失去的新鲜度y满足函数关系式：y＝220301,010100012,10100,20tt tt+⎧<⎪⎪⎨⎪⋅⎪⎩≤，≤≤为了保障水果在销售时的新鲜度不低于85%，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log23≈1.6)() A．20小时B．25小时C．28小时D．35小时。
18《函数与方程、不等式之间的关系》函数 PPT教学课件(第1课时)
第三章 函 数
栏目 导引
第三章 函 数
【解】 (1)Δ＝49＞0，方程 2x2＋5x－3＝0 的两 根为 x1＝－3，x2＝12， 作出函数 y＝2x2＋5x－3 的图像，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为x－3＜x＜12.
栏目 导引
第三章 函 数
(2)原不等式等价于 3x2－6x＋2≥0，Δ＝12＞0，
元二次不等式的解法
核心素养 数学抽象
直观想象、 数学运算
第三章 函 数
问题导学 预习教材 P112－P114 的内容，思考以下问题： 1．函数零点的概念是什么？ 2．函数的零点与方程的根有什么关系？ 3．一元二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数与判别式 Δ 之间有什么关系？
栏目 导引
f(2)＝6m＋5＞0， m＞－56，
所以－56＜m＜－12，即 m 的取值范围是－56，－12.
栏目 导引
第三章 函 数
(2)根据函数图像与 x 轴的两个交点均在区间(0，1)内，画出图
像如图所示：
Δ＞0，
由图像得0f(＜0)－ ＞m0，＜1， f(1)＞0，
m＞1＋ 2或m＜1－ 2， －1＜m＜0，
即m＞－12，
所以－12＜m＜1－ 2，
m＞－12，
即 m 的取值范围是－12，1－
2.
栏目 导引
第三章 函 数
(1)解此类问题一般从四个方面考虑： ①抛物线的开口方向； ②一元二次方程根的判别式； ③对应区间端点函数值的符号； ④抛物线的对称轴与区间端点的位置关系． (2)对一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根的分布总结如下 表(其中 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，对于 a＜0 的情况可依照 a＞0 的情况列出)：
函数与方程、+不等式之间的关系(第2课时)课件
提示:1和3.
(2)判断f(0)f(2)与f(2)f(4)的符号.
提示:∵f(0)=3,f(2)=-1,f(4)=3,
∴f(0)f(2)<0,f(2)f(4)<0.
2.函数零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,
并且 f(a)f(b)<0 (即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间
f(x)=(x-1)(x-2)在区间(0,3)内有零点1和2,f(0)f(3)>0,
所以f(a)f(b)的符号不能确定.
(2)由题意,得f(1)f(2)=(1+a)(2+a)<0,解得-2<a<-1.
答案:(1)D (2)(-2,-1)
二、二分法
1.思考并回答问题:
(1)从机房到用户有一根光缆线,现测得光缆线上有一个断点,如何尽快找
内有且只有一个零点.( √ )
(3)如果函数零点两侧的函数值同号,那么不适合用二分法求此零点近似
值.( √ )
(4)用二分法最后一定能求出函数的零点.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
函数零点存在定理及应用
【例1】 (1)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零
(a,b)中至少有一个零点,即∃x0∈(a,b), f(x0)=0 .
3.(1)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)的符号(
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定
)
(2)若函数f(x)=x+a在区间(1,2)内有零点,则实数a的取值范围
高一数学函数与方程知识精讲
高一数学函数与方程【本讲主要内容】函数与方程方程的根与函数的零点；二分法的定义；用二分法求零点的近似值的步骤【知识掌握】 【知识点精析】1. 方程的根与函数的零点：（1）零点；（2）根与零点。
（1）方程的根与函数的零点：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
（2）零点判断法：如果函数)(x f u =在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a ，b ）内有零点，即存在∈c （a ，b ），使得0)(=c f 。
这个c 也就是方程0)(=x f 的根。
2. 二分法的定义：对于在区间[a ，b]上连续不断，且0)()(<⋅b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ）。
3. 用二分法求零点的近似值的步骤：第1步：确定区间[a ，b]，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε； 第2步：求区间（a ，b ）的中点1x ； 第3步：计算)(1x f ；（1）若0)(1=x f ，则1x 就是函数的零点；（2）若0)x (f )a (f 1<⋅，则令1x b =[此时零点),(10x a x ∈]； （3）若0)()(1<⋅b f x f ，则令1x a =[此时零点),(10b x x ∈]；第4步：判断是否达到精确度ε：即若ε<-b a ，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）～（4）。
【解题方法指导】例1. 判断下列函数是否有零点，若有，有几个零点？ （1）)(1)(R a ax x f ∈+=； （2）1)(2++=x x x f ； （3）12)(2-+-=x x x f ； （4）24)(x x x f +-=； （5）1)(3-=x x f解析：判断函数的零点，可以从两个方面进行，一是看方程0)(=x f 的实根的个数，二是看)(x f y =的图象与x 轴的公共点的个数。
第2讲 基本初等函数、函数与方程
)
A.1.5
B.1.2
C.0.8
√
D.0.6
≈1.259)
1
2
3
考情预览 明确考向
4
考法聚焦 讲练突破
解析:在 L=5+lg V 中,L=4.9,所以 4.9=5+lg V,
即 lg V=-0.1,
解得 V=10
-0.1
=
.
=
≈
≈0.8,
.
所以其视力的小数记录法的数据约为 0.8.故选 C.
和性质分0<a<1,a>1两种情况,着重关注两个函数图象的
异同.
考情预览 明确考向
典例 1
考法聚焦 讲练突破
(1)已知 lg a+lg b=0(a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1),则函
x
数 f(x)=a 与 g(x)= x 的图象可能是(
√
)
考情预览 明确考向
考法聚焦 讲练突破
- ,
2
而( + ) -4 =8+4 -16=4 -8=4( -2)<0,
即 -1<1- ,所以 g( )>g( ),
综上,g( )<g( )<g( ).
x
又 y=e 为增函数,故 a<c<b,即 b>c>a.故选 A.
1
2
3
考情预览 明确考向
4
考法聚焦 讲练突破
两函数的图象有 3 个不同的公共点,不满足题意.
2020届高三数学复习 函数与方程、不等式 讲座 课件(共20张PPT)
借助于二次函数的图像特征来求解
尝试分离参数的方法，来回避分类讨论
总结
01 函数思想是一种思维习惯，要用变量和函数的
观点来思考问题
02 求 y f (x) 的零点和解 f (x) 0 求根是一致的，但方法是多样的，
特别要注意数形结合的使用。
如果要判断函数有几个零点，则必须结合其图像与性质（单调性、奇偶性）。
02 函数 f (x) 在[a,b]上是连续不断的曲线，且 f (a) f (b) 0 ，满足这些条件一定有零点。 但不满足这些条件也不能说一定没有零点。
产品介绍 Product introduction
关于零点存在性定理
如图：
已知 x, y 0 ，则有： x y 2 xy （当且仅当 x y 等号成立）
若 x y S (和为定值)，
则当 x y 时，积 xy 取得最大值 S 2 ； 4
即： xy （ x+y）2 = S 2 24
若 xy P (积为定值)
则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 P
则 f (x) a fmin (x) a
因为 x 0 ，由平均值不等式： x+ 1 2（当且仅当 x 1 ，即： x 1时等号成立），
x
x
所以： f (x)min 2 故： a 2
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introduction 函数与不等式
【例 3.】变式：关于 x 的不等式 x+ 1 a 0 对 x [2, ) 恒成立， x
【例 1】关于 x 的一元二次方程 x2 ax 3 a 0 ，求当 a 为何值时，分别有以下的结论：
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②(2011年新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为( C )
A.－14，0
B.0，41
C.14，12
D.12，34
解析：因为
f14＝e
1 4
－2<0，f12＝e
1 2
－1>0，所以
1 1 f4·f2<0.
又因为函数 y＝ex 是单调增函数，y＝4x－3 也是单调增函数，
y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程 2x＝x2 的一个根位于下列哪个区间( )
A．(0.6,1.0) C．(1.8,2.2)
B．(1.4,1.8) D．(2.6,3.0)
解题思路：判断函数f(x)＝2x－x2 在各个区间两端点的符号． 解析：①由f(0.6)＝1.516－0.36>0，f(1.0)＝2.0－1.0>0，排除 A；由 f(1.4)＝2.639－1.96>0，f(1.8)＝3.482－3.24>0，排除B；由 f(1.8)＝3.482－3.24>0，f(2.2)＝4.595－4.84<0，可确定方程2x＝x2 的一个根位于区间(1.8,2.2)上． 答案：C
给定精度ε，用二分法求函数 y＝f(x)的零点近似值 的步骤如下：
(1)确定区间[m，n]，验证f(m)·f(n)<0，给定精度ε； (2)求区间[m，n]的中点x1； (3)计算f(x1)： ①若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的零点； ②若f(m)f(x1)<0，则令n＝x1[此时零点x0∈(m，x1)]； ③若f(x1)f(n)<0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]．
算 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点 x0∈________，第二次应
计算________．以上横线上应填的内容为( A )
A．(0,0.5)，f(0.25)
B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75)
D．(0,0.5)，f(0.125)
3．lgx－—1x ＝0 有解的区域是( B )
A．0，＋∞)
4．(2010 年天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一个区间
是( C ) A．(－2，－1) C．(0,1)
B．(－1,0) D．(1,2)
5．关于 x 的一元二次方程 5x2－ax－1＝0 有两个不同的实根， 一根位于区间(－1,0)，另一根位于区间(1,2)，则实数 a 的取值范围
的取值范围.
1．图 3－6－1 是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公 共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)在区间( ) 上的零点．( B )
A．[－2.1，－1] C．[4.1,5]
图 3－6－1 B．[1.9,2.3] D．[5,6.1]
2．用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时，第一次经计
考点2 二分法的应用
例2：已知函数 f(x)＝lnx＋2x－6. (1)证明函数 f(x)在其定义域上是增函数； (2)证明函数 f(x)有且只有一个零点； (3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.
解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 设x1<x2，则lnx1<lnx2,2x1<2x2. ∴lnx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6. ∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)∵f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0， ∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点． 又由(1)知 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此 f(x)＝0 至多有一 个根，从而函数 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (3)由(2)知 f(x)的零点 x0 在(2,3)上， 取 x1＝52，∵f52＝ln52－1<0，∴f52·f(3)<0.∴x0∈52，3. 取 x1＝141，∵f141＝ln141－12>0，∴f52·f141<0.∴x0∈52，141. 而141－52＝14≤14，∴52，141即为符合条件的区间．
所以函数 f(x)＝ex＋4x－3 是单调增函数．
所以函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零点在14，12内．
判断函数 y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用 以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是 否有根落在给定区间上；②利用函数零点的存在性定理进行判断； ③通过函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判 断．
为________.
考点1 判断函数零点所在的区间 例1：①利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …
第6讲 函数与方程
考纲要求
考纲研读
对于零点性质要注意函数与
1.结合二次函数的图象，了解函数 方程的结合，借助零点的性质 的零点与方程根的联系，判断一元
可研究函数的图象、确定方程 二次方程根的存在性及根的个数．
的根；对于连续函数，利用根
2．根据具体函数的图象，能够用二 的存在性定理，可用来求参数 分法求相应方程的近似解.
【互动探究】 1．(2011年山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且
a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)， n∈N*，则n＝__2__.
解析：f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0， ∴x0∈(2,3)．故所求的n＝2.
【互动探究】 2．用二分法求方程 x3－2x－5＝0 在区间[2,3]上的近似解，取
区间中点 x0＝2.5，那么下一个有解区间为___[_2_,2_._5_]__．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0， f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝2.5×(2.52－22)>0，故下一个有解区间 为[2,2.5]．