大学物理之气体动理论

落到每个槽内的钢球数 N1 ，N2 Ni
每个槽内的钢球数与总数之比（几率）：
f (x)
N1 , N 2 N i
NN
N
比值与狭槽的位置和狭槽的宽度有关
Ni f (x) x
N
0
x x x
x f ( x)是位置的函数即分布函数
x
f (x) Ni (1) Nx
表示处在 x 附近单位间隔内 的钢球数占总数的百分比
速率分布函数的物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间内分子数占总 分子数的百分率。
麦克斯韦速率分布函数：
f (v) 4 (
m0
) e v 3 2
m0 v2 2kT
2
2 kT
f(v)
f(vp)
N v2 f (v)dv
N
v1
面积= dN N 出现在v~v+dv 区间内的概率
分子出现在
v1 v2 vp v v+dv
n ni vi2x n
nvx2
p m0nvx2
p
m0
nv
2 x
1 3
m0
nv2
因为
k
1 2
m0
v2
所以
p
2 3
n k
道尔顿分压定律：混合气体的压强等于其中各种气 体分子组分压强之总和。
p p1 p2 p3
10-2-2 温度的微观意义
p
2 3
n k
p nkT
结论：
k
3 2
kT
温度标志着物体内部分子热运动的剧烈程度， 它是大量分子热运动的平均平动动能的量度。
vp
2kT M
f(v) T1
(1) T1 < T2
(2) 绿：氧 黄：氢
T2
v v p1 p2
v
§10-6 气体分子的平均自由程和碰撞频率
10-6-1 分子的平均碰撞频率
碰撞频率（z）：单位时间内，分子与其它分子发 生碰撞的平均次数。
d d
分子直径：d，分子数密度： n
单位时间内有 d 2vn 个分子和其它分子发生碰撞
v
v1~v2区间内
麦克斯韦速率分布曲线
的概率
0 f (v)dv 1
曲线下的总面积 恒等于1
10-4-3 三个统计速率
（1）平均速率：
设：速率为v1的分子数为N1个； 速率为v2的分子数为个N2 ；…。
总分子数： N = N1+ N2 + …+ Nn
v Nivi N1v1 N2v2 Nnvn
内能： 气体中所有分子的动能和分子间相互作用势 能的总和。
理想气体内能： 气体中所有分子的动能。
一摩尔理想气体内能：
Emol
NA
i 2
kT
i 2
RT
质量为m，摩尔质量为M的理想气体内能：
E
m M
Emol
m M
i RT 2
§10-4 麦克斯韦速率分布
10-4-1 麦克斯韦速率分布函数
对某个气体分子来说，任意时刻速度的大小和方向 完全是偶然的 ，无规律的
1 2
m0
v
2 z
பைடு நூலகம்
1 2
kT
能量均分定理：
在温度为T 的平衡态下，物质分子的每个自由
度都具有相同的平均动能，其值为 kT 2 。
分子平均动能：
k
i kT 2
“i”为分子自由度数
单原子分子： i 3
k
3 2
kT
双原子分子： i 5
k
5 kT 2
多原子分子： i 6
k
6 2
kT
10-3-3 理想气体的内能 摩尔热容
N
N
v vdN
vf (v)dv
N
0
v 8kT 8RT 1.60 RT
M
M
（2）均方根速率：
v2 v2 f (v)dv
v2 3kT 3RT 1.73 RT
m0
M
M
（3）最概然速率：
在平衡态条件下，理想气体分子速率分布在vp 附近的单位速率区间内的分子数占气体总分子数的
百分比最大。
对于热力学系统，在温度为 T 的平衡态下 设在 v—v+d v 的速率区间 d v 内有dN 个分子
f (v)
0
v v dv
dv
N1 , N 2 N i
NN
N
比值与v的位置和dv的宽度有关
与（1）式比较有：
f (v) dN
v
Ndv
速率分布函数：
f
(v)
lim
v0
N Nv
1 N
dN dv
f (v)dv dN N
d f (v) 0 dv
f(v)
vp
2kT m0
2RT 1.41 RT
M
M
vpv v2
v
例. 图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分 布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2) 如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气
的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的
是氢气？
解：
然而就大量分子整体而言，在一定条件下，分子的 速度分布遵守一定的统计规律——气体速度分布律
如果只考虑速度的大小——气体速率分布律
速度方向的分布是均匀的
什么是速率的分布？ 类比：成绩的分布
90-100
80-90 …
5人 10人
60 以下 3人
速率的分布 就是统计各 个速率的分 子数目
分布函数 以伽尔顿板为例
氢、氧、氮等
五个自由度
多原子分子：三个以上原子构成一个分子
水蒸汽、甲烷等
六个自由度
10-3-2 能量按自由度均分原理
单原子分子(前面的讨论中将分子按质点考虑)
k
1 2
m0
v2
1 2
m0
v
2 x
1 2
m0
v
2 y
1 2
m0 vz2
3 2
kT
vx2
vy2
vz2
1 v2 3
1 2
m0
vx2
1 2
m0
v
2 y
速度。假设每组的分子
z
数密度为 ni ，速率为 vi 。
n ni
y
O
vi dS
x
vixdt
x方向分子与器壁碰撞后动量的增量：
m0 vix m0 vix 2m0 vix 分子对器壁的冲量： 2m0 vix
同组中dt时间内与面元
y
dS碰撞的分子数：
ni vixdtdS
冲量：
nivixdtdS 2m0vix
作直线运动的质点： 作平面运动的质点： 作空间运动的质点：
一个自由度 二个自由度 三个自由度
运动刚体的自由度：
y
y’
cos2 cos2 cos2 1
结论： 自由刚体有六个自由度
C
x’
z’
三个平动自由度
x
z 三个转动自由度
单原子分子：一个原子构成一个分子
氦、氩等
三个自由度
双原子分子：两个原子构成一个分子
O
vi dS
x
vixdt
z
因为只有 vix > 0 的分子才能与一侧器壁发生 碰撞，所以有：
dI nim0vi2xdtdS
i
作用于面元的压力：
dF dI dt
ni m0 vi2xdS
i
压强：
p dF dI dS dt dS
i
nim0 vi2x m0
i
ni vi2x
ni vi2x
碰撞频率： z z 2 dd22nnvv
10-6-2 平均自由程
平均自由程（）：分子在连续两次和其它分子发
生碰撞之间所通过的自由路程的平均值。
v
z
平均自由程：
1 2 d 2n
p nkT
结论：
kT 2 d 2 p
• 平均自由程只与分子的直径和密度有关，而与 平均速率无关。
• 当温度一定时，平均自由程与压强成反比，压 强越小，平均自由程越长。
10-1-3 理想气体的微观模型 理想气体的微观模型：
1、分子可以看作质点 本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。
2、除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。 3、分子间的碰撞是完全弹性的。
理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。
§10-2 理想气体状态方程的微观解释
10-2-1 理想气体压强的统计意义
阿佛加德罗常数 NA=6.022×1023mol-1
2.分子之间存在相互作用力 分子之间存在的吸引 或排斥的相互作用力
3.分子在不停地作无规则的运动 布朗运动
10-1-2 分子热运动与统计规律
统计的基本思想
统计规律，是指大量偶然事件整体所遵循的规律。
例.伽尔顿板
实验内容： 一次投入大量小球， 或多次投入单个小球。 观察落入某个槽中的 小球数
第十章
气体动理论
本章从物质的微观结构出发，以气体为研究对象，运用统计 的方法，研究大量气体分子热运动的规律，并对气体的某些 性质给予微观本质的说明
重点内容在于介绍统计物理学中处理问题的统计方法，同时揭 示气体的一些宏观性质的微观实质。
§10-1 气体动理论的基本概念
10-1-1 分子动理论的基本观点 1.宏观物体是由大量微观粒子（分子或原子）组成的。
例：有10个粒子，其速率分别是1，3，5，7， 8，9， 10，11，13，15ms-1，计算它们的平均速率和方均根 速率。
v
1 N
10
vi
i1
1 (1 3 5 7 8 9 10 1113 15) 8.2m S 1 10
v2
1 N
10
vi2
i1
1 (12 32 52 72 82 92 102 112 132 152) 9.19m S 1 10
克劳修斯指出：“气体对容器壁的压强 是大量分子对容器壁碰撞的平均效果”
统计假设
每个分子速度按方向的分布是均匀的
0 x y z
2 x
2 y
2 z
2
2 x
2 y
2 z
x2
2 y
z2
12
3
立方体容器： 设: 体积：V 分子数：N
分子数密度：n 分子质量：m0
将分子按速度分组，每
一组的分子具有相同的
因为
k
1 2
m0
v2
3 kT 2
方均根速率：
v2 3kT 3RT
m0
M
说明： 压强是大量分子与器壁不断碰撞的结果；
温度是大量分子热运动剧烈程度的标志; 统计平均值; 对个别分子谈压强和温度毫无意义。
§10-3 能量按自由度均分原理
10-3-1 自由度
自由度：确定一个物体在空间的位置所必需的独 立坐标数目。
热力学系统：单个分子的运动无规则，大量分子的集体 表现一定存在一种统计规律。 微观量：分子的质量、速度、动量、能量等
在宏观上不能直接进行测量和观察。 宏观量： 温度、压强、体积等
在宏观上能够直接进行测量和观察。
气体动理论的基本观点： 单个分子运动遵循力学规律 大量分子运动遵循统计规律
本章正是用这种统计的方法才能求出大量分子运动有关 的一些物理量的平均值，从而对于大量气体分子热运动 相联系的宏观现象的微观本质作出解释